湖南省株洲市二中2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷
2015-2016学年湖南省株洲二中高一(上)期中数学试卷
2015-2016学年湖南省株洲二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1. 已知集合A ={x ∈N|x <6}，则下列关系式错误的是（ ） A.1.5∉A B.0∈A C.6∈A D.−1∉A2. 函数y =(1−x)12+log 3x 的定义域为（ ） A.(0, 1] B.(−∞, 1] C.[0, 1] D.(0, 1)3. 设集合U =R ，集合A ={x|x 2−2x >0}，则∁U A 等于（ ） A.{x|x ≤0或x ≥2} B.{x|x <0或x >2} C.{x|0≤x ≤2} D.{x|0<x <2}4. 设函数f(x)={1−x 2(x ≤1),x 2+x −2(x >1),则f(1f(2))的值为( )A.−2716 B.1516C.18D.895. 与函数y =10lg （x−1） 的图象相同的函数是( ) A.y =|x −1| B.y =x −1 C.y =(√x−1)2D.y =x 2−1x+16. 已知函数f(x)=2x+1x−1，其定义域是[−8, −4)，则下列说法正确的是（ ）A.f(x)有最大值53，最小值75B.f(x)有最大值53，无最小值 C.f(x)有最大值75，无最小值 D.f(x)有最大值2，最小值757. 已知0<a <b <1，则（ ）A.log a 3>log b 3B.3b <3aC.(1e)a <(1e)bD.(lg a)2<(lg b)28. 已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=2x 2−2x +1，则f(−1)=( ) A.−3 B.3 C.−2 D.29. 若x 0是方程(12)x=x 13的解，则x 0属于区间（ ） A.(12, 23) B.(23, 1)C.(13, 12)D.(0, 13)10. 已知函数f(x)={(2a −1)x +a ，x <1,log a x ，x ≥1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A.(0, 12)B.[13, 12) C.(13, 14)D.(0, 14)11. 设min {a,b}={a,a ≤b b,a >b ，若函数f(x)=min {3−x, log 2x}，则f(x)<12的解集为（ ）A.(0, √2)∪(52, +∞) B.(√2, +∞)C.(0, +∞)D.(0, 2)∪(52, +∞)12. f(x)=x 2−2x ，g(x)=ax +2(a >0)，若对任意的x 1∈[−1, 2]，存在x 0∈[−1, 2]，使g(x 1)=f(x 0)，则a 的取值范围是（ ） A.[12，3]B.(0,12]C.[3, +∞)D.(0, 3]二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）已知幂函数f(x)=x α的图象过点(4, 2)，则α=________．函数f(x)=log 12(x 2−2x −3)的单调递增区间为________．设奇函数f(x)的定义域为[−5, 5]，若当x ∈[0, 5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)<0的解集是________．设a 为常数且a <0，y =f(x)是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f(x)=x +a 2x−2，若f(x)≥a 2−1对一切x ≥0都成立，则a 的取值范围为________．三、解答题（本大题共6小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（1）计算27−13+lg 0.01−ln √e +3log 32 （2）已知x +x −1=3，求x 12+x −12x 2−x −2的值．已知集合A ={x|1≤x <6}，B ={x|2<x <9}． （1）分别求：A ∩B ，A ∪(∁R B)；（2）已知C ={x|a <x <a +1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围．已知二次函数f(x)=ax 2+bx(a, b ∈R)，若f(1)=−1且函数f(x)的图象关于直线x =1对称． （1）求a ，b 的值；（2）若函数f(x)在[k, k +1](k ≥1)上的最大值为8，求实数k 的值．已知f(x)=log 21+x 1−x（1）判断f(x)奇偶性并证明；（2）判断f(x)单调性并用单调性定义证明；（3）若f(1x−3)+f(−13)<0，求实数x 的取值范围．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G(x)（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R(x)（万元）满足R(x)={−0.4x 2+4.2x ，(0≤x ≤5),11，(x >5),假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数y =f(x)的解析式（利润=销售收入−总成本）；(2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？已知函数f(x)=log 2[1+2x +a ⋅(4x +1)] （1）a =−1时，求函数f(x)定义域；（2）当x ∈(−∞, 1]时，函数f(x)有意义，求实数a 的取值范围；（3）a =−12时，函数y =f(x)的图象与y =x +b(0≤x ≤1)无交点，求实数b 的取值范围．参考答案与试题解析2015-2016学年湖南省株洲二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1.【答案】此题暂无答案【考点】元素与集水根系的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】函数的定较域熔其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】补集体其存算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】函使的以值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】判断射个初数是律聚同一函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】函根的萄送木其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】对数值于小的侧较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】二分法求明程月近似解【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】分段水正的应用函数单验家的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】指、对数验极式的解法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】函数的较域及盛求法集合体包某关峡纯断及应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）【答案】此题暂无答案【考点】幂函明图研及年用指数的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】复合函表的型调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质函表的透象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本大题共6小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【答案】此题暂无答案【考点】对数都北算性质有于械闭数古的化简求值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】交常并陆和集工混合运算集合体系拉的参污取油问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二次于数在落营间上周最值二次明数织性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】对数验立图象钱秦质的综合应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二次于数在落营间上周最值根据体际省题完择函离类型分段水正的应用函数单验家的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】对数函数表础象与性质函数的定较域熔其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2015-2016学年湖南省株洲二中高一(上)数学期末试卷 及解析
2015-2016学年湖南省株洲二中高一（上）期末数学试卷一.选择题（每小题3分，共36分，每小题只有一个正确选项）1．（3.00分）已知全集U=|1，2，3，4，5|，且A={2，3，4}，B={1，2}，则A ∩（∁∪B）等于（）A．{2}B．{5}C．{3，4}D．{2，3，4，5}2．（3.00分）下列命题：①平行于同一平面的两直线相互平行；②平行于同一直线的两平面相互平行；③垂直于同一平面的两平面相互平行；④垂直于同一直线的两平面相互平行；⑤垂直于同一直线的两直线相互平行．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．（3.00分）计算21og63+log64的结果是（）A．log62 B．2 C．log63 D．34．（3.00分）直线l过点P（﹣1，2），且倾斜角为45°，则直线l的方程为（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y﹣1=0 C．x﹣y﹣3=0 D．x﹣y+3=05．（3.00分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（）A．﹣6 B．﹣3 C．D．6．（3.00分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）A．45°B．60°C．90°D．120°7．（3.00分）函数f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则下列各式成立的是（）A．f（﹣2）＞f（0）＞f（1）B．f（﹣2）＞f（﹣1）＞f（0）C．f（1）＞f（0）＞f（﹣2）D．f（1）＞f（﹣2）＞f（0）8．（3.00分）函数f（x）=lnx+e x的零点所在的区间是（）A．（）B．（）C．（1，e） D．（e，∞）9．（3.00分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．1 B．C．D．10．（3.00分）若动点P（x1，y1）在曲线y=2x2+1上移动，则点P与点（0，﹣l）连线中点的轨迹方程为（）A．y=2x2B．y=4x2C．y=6x2D．y=8x211．（3.00分）某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对进货价），则该家具的进货价是（）A．118元B．105元C．106元D．108元12．（3.00分）若函数f（x）=1+是奇函数，则m的值为（）A．0 B．C．1 D．2二．填空题（每小题4分，共16分）13．（4.00分）三个数0.76，60.7，log0.76的大小关系为．（按从小到大的顺序填写）14．（4.00分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1两顶点的坐标为B（﹣1，2，﹣1），D1（3，﹣2，3），则此正方体的外接球的表面积等于．15．（4.00分）已知A={x|＜（）x＜3}，B={x|log2x＞0}，A∪B=．16．（4.00分）过点（，0）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于．三．解答题（6分+6分+8分+8分+10分+10分，共48分）17．（6.00分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．18．（6.00分）已知函数f（x）=b•a x（其中a、b为常数，a＞0，a≠1）的图象过点，A（1，），B（3，）．（1）求f（x）（2）若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈[1，+∞）时恒成立，求m的取值范围．19．（8.00分）已知函数f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值．20．（8.00分）如图，PA⊥平面ABC，PA=，AB=1，BC=，AC=2．（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）求二面角B﹣PA﹣C的大小．21．（10.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB 平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，，（Ⅰ）证明PA∥平面BDE；（Ⅱ）证明AC⊥平面PBD；（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．22．（10.00分）已知圆C：（x+2）2+（y﹣b）2=3（b＞0）过点（﹣2+，0），直线l：y=x+m（m∈R）．（1）求b的值；（2）若直线l与圆C相切，求m的值；（3）若直线l与圆C相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求实数m的值．2015-2016学年湖南省株洲二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题3分，共36分，每小题只有一个正确选项）1．（3.00分）已知全集U=|1，2，3，4，5|，且A={2，3，4}，B={1，2}，则A ∩（∁∪B）等于（）A．{2}B．{5}C．{3，4}D．{2，3，4，5}【解答】解：∵全集U=|1，2，3，4，5|，B={1，2}，∴CB={3，4，5}，∪∵A={2，3，4}，∴A∩（C∪B）={3，4}，故选：C．2．（3.00分）下列命题：①平行于同一平面的两直线相互平行；②平行于同一直线的两平面相互平行；③垂直于同一平面的两平面相互平行；④垂直于同一直线的两平面相互平行；⑤垂直于同一直线的两直线相互平行．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：在①中，平行于同一平面的两直线相交、平行或异面，故①错误；在②中，平行于同一直线的两平面相交或平行，故②错误；在③中，垂直于同一平面的两平面相交或平行，故③错误；在④中，由面面平行的判定定理得垂直于同一直线的两平面相互平行，故④正确；在⑤中，垂直于同一直线的两直线相交、平行或异面，故⑤错误．故选：D．3．（3.00分）计算21og63+log64的结果是（）A．log62 B．2 C．log63 D．3【解答】解：21og63+log64=log69+log64=log636=2．故选：B．4．（3.00分）直线l过点P（﹣1，2），且倾斜角为45°，则直线l的方程为（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y﹣1=0 C．x﹣y﹣3=0 D．x﹣y+3=0【解答】解：直线l过点P（﹣1，2），且倾斜角为45°，则直线l的斜率为k=tan45°=1，直线方程为y﹣2=1×（x+1），即x﹣y+3=0．故选：D．5．（3.00分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（）A．﹣6 B．﹣3 C．D．【解答】解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，∴它们的斜率相等，∴=3，∴a=﹣6．故选：A．6．（3.00分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）A．45°B．60°C．90°D．120°【解答】解：如图，连A1B、BC1、A1C1，则A1B=BC1=A1C1，且EF∥A1B、GH∥BC1，所以异面直线EF与GH所成的角等于60°，故选：B．7．（3.00分）函数f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则下列各式成立的是（）A．f（﹣2）＞f（0）＞f（1）B．f（﹣2）＞f（﹣1）＞f（0）C．f（1）＞f（0）＞f（﹣2）D．f（1）＞f（﹣2）＞f（0）【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，∵f（﹣2）=2，且2＞1＞0∴f（2）＞f（1）＞f（0）即f（﹣2）＞f（1）＞f（0）∵f（﹣1）=f（1）∴f（﹣2）＞f（﹣1）＞f（0）故选：B．8．（3.00分）函数f（x）=lnx+e x的零点所在的区间是（）A．（）B．（）C．（1，e） D．（e，∞）【解答】解：由于函数在（0，+∞）单调递增且连续，，f（1）=e＞0故满足条件的区间为（0，）故选：A．9．（3.00分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．1 B．C．D．【解答】解：由已知中的三视图可知：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S=×（1+2）×1=，高h=1，故棱锥的体积V==，故选：C．10．（3.00分）若动点P（x1，y1）在曲线y=2x2+1上移动，则点P与点（0，﹣l）连线中点的轨迹方程为（）A．y=2x2B．y=4x2C．y=6x2D．y=8x2【解答】解：设点P与点（0，﹣1）的中点M的坐标为（x，y）∴即x1=2x，y1=2y+1①∵点P在曲线y=2x2+1上移动，∴②将①代入②，得2y+1=（2x）2+1即y=4x2故选：B．11．（3.00分）某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对进货价），则该家具的进货价是（）A．118元B．105元C．106元D．108元【解答】解：设进价是x元，则（1+10%）x=132×0.9，解得x=108．则这件衬衣的进价是108元．故选：D．12．（3.00分）若函数f（x）=1+是奇函数，则m的值为（）A．0 B．C．1 D．2【解答】解：f（﹣x）=1++1，因为f（x）为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），即+1=﹣（1+），2==m，即m=2，故选：D．二．填空题（每小题4分，共16分）13．（4.00分）三个数0.76，60.7，log0.76的大小关系为log0.76＜0.76＜60.7．（按从小到大的顺序填写）【解答】解：∵0.76∈（0，1）；60.7＞1；log0.76＜0所以：log0.76＜0.76＜60.7故答案为：log0.76＜0.76＜60.714．（4.00分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1两顶点的坐标为B（﹣1，2，﹣1），D1（3，﹣2，3），则此正方体的外接球的表面积等于48π．【解答】解：因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1两顶点的坐标为B（﹣1，2，﹣1），D1（3，﹣2，3），所以球的直径为：BD1==4，所以球的半径是2，球的表面积：4π•12=48π故答案为：48π．15．（4.00分）已知A={x|＜（）x＜3}，B={x|log2x＞0}，A∪B=（﹣1，+∞）．【解答】解：A={x|＜（）x＜3}=（﹣1，2），B={x|log2x＞0}=（1，+∞），∴A∪B=（﹣1，+∞），故答案为：（﹣1，+∞）．16．（4.00分）过点（，0）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于﹣．【解答】解：由，得x2+y2=1（y≥0）∴曲线表示単位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点）由题知，直线斜率存在，设直线l的斜率为k，若直线与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合则﹣1＜k＜0∴直线l的方程为：即则圆心O到直线l的距离直线l被半圆所截得的弦长为|AB|=∴===令则当S△AOB有最大值为此时，∴又∵﹣1＜k＜0∴三．解答题（6分+6分+8分+8分+10分+10分，共48分）17．（6.00分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．【解答】解：（1）设C（m，n），∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．∴，解得．∴C（4，3）．（2）设B（a，b），则，解得．∴B（﹣1，﹣3）．∴k BC==∴直线BC的方程为y﹣3=（x﹣4），化为6x﹣5y﹣9=0．18．（6.00分）已知函数f（x）=b•a x（其中a、b为常数，a＞0，a≠1）的图象过点，A（1，），B（3，）．（1）求f（x）（2）若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈[1，+∞）时恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=b•a x（其中a、b为常数，a＞0，a≠1）的图象过点，A（1，），B（3，）．∴，解得，则f（x）=•（）x．（2）若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈[1，+∞）时恒成立，则（）x+（）x﹣m=2x+3x﹣m，∴m≤2x+3x，∵y=2x+3x在[1，+∞）上为增函数，∴最小值为5，∴m≤5．19．（8.00分）已知函数f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值．【解答】解：（1）要使函数有意义：则有，解得﹣3＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为（﹣3，1）．（2）f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3）=log a（1﹣x）（x+3）==，∵﹣3＜x＜1，∴0＜﹣（x+1）2+4≤4，∵0＜a＜1，∴≥log a4，即f（x）min=log a4；由log a4=﹣4，得a﹣4=4，∴a==．20．（8.00分）如图，PA⊥平面ABC，PA=，AB=1，BC=，AC=2．（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）求二面角B﹣PA﹣C的大小．【解答】证明：（1）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC．在△ABC中，AB=1，BC=3，AC=2，∴AB2+BC2=AC2．∴AB⊥BC．又PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．解：（2）∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC．∴∠BAC为二面角BPAC的平面角．∵sin∠BAC==，∴∠BAC=60°，即二面角BPAC的大小为60°．21．（10.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB 平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，，（Ⅰ）证明PA∥平面BDE；（Ⅱ）证明AC⊥平面PBD；（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．【解答】解：（1）证明：设AC∩BD=H，连接EH，在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点，又有题设，E为PC的中点，故EH∥PA，又HE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE（2）证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC由（1）知，BD⊥AC，PD∩BD=D，故AC⊥平面PBD（3）由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以∠CBH为直线与平面PBD所成的角．由AD⊥CD，AD=CD=1，DB=2，可得DH=CH=在Rt△BHC中，tan∠CBH=，所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为．22．（10.00分）已知圆C：（x+2）2+（y﹣b）2=3（b＞0）过点（﹣2+，0），直线l：y=x+m（m∈R）．（1）求b的值；（2）若直线l与圆C相切，求m的值；（3）若直线l与圆C相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求实数m的值．【解答】解：（1）由题，圆C：（x+2）2+（y﹣b）2=3（b＞0）过点（﹣2+，0），则（﹣2++2）2+（0﹣b）2=3（b＞0），…（2分）解得：b=1…（4分）（2）因为直线l与圆C相切，所以圆心C（﹣2，1）到直线l的距离等于圆C的半径即：=…（6分）解得：m=3±…（7分）（3）设M（x1，y1）、N（x2，y2），由直线代入圆的方程，消去y得：2x2+2（m+1）x+m2﹣2m+2=0，…（8分）所以x1+x2=﹣（m+1），x1x2=，因为OM⊥ON，所以x1x2+y1y2=0，所以2x1x2+m（x1+x2）+m2=0所以m2﹣3m+2=0，解得：m=1，或m=2 …（13分）检验可知：它们满足△＞0，故所求m的值为1或2…（14分）。
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。
$\{1\}$ B。
$\{3,5\}$ C。
$\{1,3,4,5\}$ D。
$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。
$22$ B。
$10$ C。
$8$ D。
$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。
$-\frac{3}{4}$ B。
$-\frac{4}{3}$ C。
$\frac{3}{4}$ D。
$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{4}$ B。
$\frac{\pi}{3}$ C。
湖南省株洲市第二中学14—15学年上学期高一期末数学试题(附答案)
湖南省株洲市第二中学14—15学年上学期高一期末数学试题一、选择题（40分）1．sin(690)-︒的值为（ ）A B ．12- C ．12 D ．2．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则()U C A B ⋂等于（ ）A.{}23，B.{}145，，C.{}45，D.{}15，3．若函数()21,1ln ,1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩， 则()()f f e =（ ）（其中e 为自然对数的底数）A ．1B ．2C ．eD ．54．下列四组函数，表示同一函数的是（ ）．A ．()f x =()g x x =B ．()f x x =,()2x g x x =C ．()f x =()g xD ．()1f x x =+, ()1,11,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩5．关于空间两条直线a 、b 与平面α，下列命题正确的是A ．若//,a b b α⊂，则//a αB ．若//,a b αα⊂，则//a bC ．//,//a b αα，则//a bD ．若,,a b αα⊥⊥则//a b6．在空间直角坐标系中，点(1,3,5)P -关于XOY 面对称的点的坐标是A ．(1,3,5)--B ．(1,3,5)-C ．(1,3,5)D ．(1,3,5)--7．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A 、B 、C 为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC 等于 （ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°8．已知两点(2,3)M -、(3,2)N --，直线l 过点(1,1)P 且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是A ．344k -≤≤B ．34k ≥或4k ≤-C ．344k ≤≤D ．344k -≤≤ 9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A.1B.2C.31 D.34 10．圆221:(2)(3)1C x y -+-=，圆222:(3)(4)9C x y -+-=，M 、N 分别是圆1C ，2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PM PN +的最小值A．4 B1 C．6- D二、填空题（20分）11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，()2x f x =，则(2)f -= ． 12．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形，它的底角为45°，两腰长均为1，则这个平面图形的面积为 ．13．已知扇形的周长是8cm ，圆心角为2 rad ，则扇形的弧长为cm ．14．已知无论k 取任何实数，直线0)142()32()41(=-+--+k y k x k 必经过一定点，则该定点坐标为 ．15．我们称满足下面条件的函数)(x f y =为“ζ函数”：存在一条与函数)(x f y =的图象正视图 侧视图 俯视图 第9题图有两个不同交点（设为),(),,(2211y x Q y x P ）的直线，)(x f y =在221x x x +=处的切线与此直线平行.下列函数： ①xy 1= ②)0(2>=x x y ③21x y -= ④x y ln =, 其中为“ζ函数”的是 （将所有你认为正确的序号填在横线上）三、解答题（共6个大题，合计40分）16．（6分）设集合{}|280A x R x =∈-=，{}22|2(1)+0B x R x m x m =∈-+= （1）若4m =,求A B ⋃;（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围．17．（6分）已知函数22(),1x f x x R x =∈+. （1）求1()()f x f x+的值； （2）计算：111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++.18（7分）如图所示的长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC19．（6分）已知ABC 的三个顶点的坐标为(1,1),(3,2),(5,4)A B C ．（1）求边AB 上的高所在直线的方程；（2）若直线l 与AC 平行，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 与两条坐标轴围成的三角形的周长．20．（7分）已知点()1,3M ，直线:40l ax y -+=及圆0142:22=+--+y x y x C ．(1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为32，求a 的值．21．（8分）已知函数()|2|2f x x a x x =-+，a R ∈．（1）若0a =，判断函数()y f x =的奇偶性，并加以证明；（2）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（3）若存在实数[]2,2,a ∈-使得关于x 的方程()(2)0f x tf a -=有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．18．60°.19．（1）2140x y +-=（2）12720．（1）圆的切线方程为3=x 或0543=--y x ；（2）43-=a ； 21．（1）奇函数，（2）11a -≤≤，(3) 918t <<解析：（1）函数()y f x =为奇函数． 当0a =时，()||2f x x x x =+，x R ∈，∴()||2||2()f x x x x x x x f x -=---=--=- ∴函数()y f x =为奇函数；（2）22(22)(2)()(22)(2)x a x x a f x x a x x a ⎧+-≥=⎨-++<⎩，当2x a ≥时，()y f x =的对称轴为：1x a =-； 当2x a <时，()y f x =的对称轴为：1x a =+；∴当121a a a -≤≤+时，()y f x =在R 上是增函数，即11a -≤≤时，函数()y f x =在R 上是增函数；（3）方程()(2)0f x tf a -=的解即为方程()(2)f x tf a =的解．①当11a -≤≤时，函数()y f x =在R 上是增函数，∴关于x 的方程()(2)f x tf a =不可能有三个不相等的实数根；②当1a >时，即211a a a >+>-，∴()y f x =在(,1)a -∞+上单调增，在(1,2)a a +上单调减，在(2,)a +∞上单调增，∴当(2)(2)(1)f a tf a f a <<+时，关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根；即244(1)a t a a <⋅<+，∵1a >∴111(2)4t a a<<++．设11()(2)4h a a a=++，∵存在[]2,2,a ∈-使得关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根， ∴max 1()t h a <<，又可证11()(2)4h a a a=++在(1,2]上单调增 ∴max 9()8h a =∴918t <<； 12分 ③当1a <-时，即211a a a <-<+，∴()y f x =在(,2)a -∞上单调增，在(2,1)a a -上单调减，在(1,)a -+∞上单调增，。
【百强校】2015-2016学年湖南株洲二中高一上学期期末语文试卷(带解析)
试卷第1页，共9页绝密★启用前【百强校】2015-2016学年湖南株洲二中高一上学期期末语文试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：104分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、下面选项中对有关文化常识解读有误的一项是（ ）A ．古人幼时命名，成年（男子20）取字。
自称称名，如项羽自称为“籍”；尊称别人称字，即出入礼貌和尊敬对平辈或尊辈称字，如称屈平为屈原。
B ．古代帝王的自谦词有孤、寡、不谷；“朕”，秦以前不论尊卑，人人皆可自称“朕”，如《离骚》中“回朕车以复路兮”，秦始皇时起专用作皇帝自称。
C ．我国古代纪年、纪月、纪时，皆有特别方法及称谓。
有年号纪年法，如“永和九年”；有干支纪年法，如“癸丑”“壬戌”等。
朔、望、晦，分别指每月的月初、月中、月末的那一天；古人把一夜分为五个时辰，称为五更或五鼓，“寂寂人定初”指的是19-21点。
D ．古人座次有尊卑之分，帝面南，臣面北；宾东向，主西向；官位以右为上，坐车一般以左为上。
2、下列各句中，没有语病的一句是（ ）试卷第2页，共9页A ．我们不能否认浅阅读的作用，移动互联网技术至少使得有人低头看书了，现在我们应当树立多层次的阅读观，倡导自由阅读，广泛阅读。
B ．进人高中之后，部分学生借口以学业负担过重、学习压力过大为名，成天沉溺于题海之中，几乎放弃了必要的课外阅读。
C ．2015年11月30日《芈月传》在北京卫视首播当日CSM34的平均收视率高达1．97%以上，排名同时段全国第一名，观众构成中，25-34岁的年轻观众占比最高。
D ．在充满现代生活气息的今天，春节民俗依然活跃在全球华人中间，它已是华人世界最具代表性的文化符号，也是促进民族文化认同的节日。
2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题及参考答案
2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题一、选择题（该大题共12小题，每小题5分，共计60分） 1.下列图形中，表示⊆M N 的是 （ ▲ ）2.120cos ︒= （ ▲ ） A.12-B.12C.32-D.223.下列命题正确的是 （ ▲ ）A ．向量AB 与BA 是两平行向量；B ．若,a b 都是单位向量,则a b =；C ．若AB =DC ,则A B CD 、、、四点构成平行四边形； D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同. 4.45154515cos cos sin sin ︒︒-︒︒= （ ▲ ）A.22 B.32C.12D.12-5.如图，在ABC ∆中，D 是AC 的中点，向量AB a =，AC b =，那么向量BD 可表示为 （ ▲ ） A.b a 1122- B.a b 12-C.b a 12-D.a b 12-6.函数2212()()=+-+f x x a x 在区间(],4-∞上是递减的，则实数a 的取值范 （ ▲ ） A.3≤-a B.3≥-a C.5≤a D.5≥a 7.已知指数函数()xf x a =和函数2()g x ax =+，下列图象正确的是 （ ▲ ）A. B. C. D.8.已知平面向量,a b ，8a =||，4||=b ，且,a b 的夹角是150︒，则a 在b 方向上的射影是 （ ▲ ）A.4-B.43-C.4D.439.要得到函数2sin 2=y x 的图像，只需将2sin(2)6π=-y x 的图像 （ ▲ ）A.向右平移6π个单位 B.向右平移12π个单位 C.向左平移6π个单位D.向左平移12π个单位10.若平面向量(3,4)b =与向量(4,3)a =，则向量,a b 夹角余弦值为 （ ▲ ）A.1225 B. 1225- C. 2425- D.2425 11.设()338x f x x =+-,用二分法求方程(),338012xx x +-=∈在内近似解的过程中得()()(),.,.,101501250f f f <><则方程的根落在区间 （ ▲ ）A ．(,.)1125B ．(.,.)12515C ．(.,)152D ．不能确定12.若函数tan ,0(2)lg(),0x x f x x x ≥⎧+=⎨-<⎩，则(2)(98)4f f π+⋅-= （ ▲ ）A.12B.12- C.2 D.2-二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分） 13.函数212()log ()=-f x x 的定义域是 ▲ ．14.有一半径为4的扇形，其圆心角是3π弧度，则该扇形的面积是 ▲ ． 15.已知平面向量(4,3)a =-和单位向量b ，且b a ⊥，那么向量b 为 ▲ ． 16.关于函数sin (()42)3f x x ＝＋π，(R)x ∈有下列命题： ①()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数；②()y f x =可改写为cos (6)42y x ＝-π； ③()y f x =的图象关于(0)6-，π对称； ④()y f x =的图象关于直线6x =-π对称； 其中正确的序号为 ▲ ．M N D.N M C. M N B. MN A. o 2 1 y x2 1 oy x2 1 oyx2 1 oy xD C AB 第5小题三、解答题（共6小题，共计70分） 17.化简或求值：(1)log lg lg 223212732548--⨯++ (2)已知3sin ,054x x =<<π,求cos 2cos()4xx +π. 18.已知全集U R =，集合{}A x x =<<17，集合{}B x a x a 125=+<<+，若满足A B B =，求 （1）集合U C A ；（2）实数a 的取值范围．19.若平面向量(1,2)a =，(3,2)b =-， k 为何值时: （1）()(3)ka b a b +⊥-；（2）//()(3)ka b a b +-？20.设函数()2sin(2)(0)f x x =+<<ϕϕπ，()y f x =图象的一个对称中心是(,0)3π.（1）求ϕ；（2）在给定的平面直角坐标系中作出该函数在(0,)2x ∈π的图象；（3）求函数()1()f x x R ≥∈的解集21.已知函数2()3sin 22cos f x x x =+.(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)将()f x 的图象向右平移12π个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数()g x 的图象，求()g x 的解析式．22.已知定义域为R 的函数2()21x x af x -+=+是奇函数（1）求a 值；（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题参考答案一、选择题（该大题共12小题，每小题5分，共计60分）CAACC ADBDD BC二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分） 13. 2{|>x x ,且3}≠x 或者填(2,3)(3,)+∞ ．14.83π. 15.34(,)55和 34(,)55--.16. ② ③ .三、解答题（共6小题，共计70分） 17.（本小题满分8分） 解：（1）原式=()lg lg 2193549-⨯-++=()lg 1931009-⨯-+=()19329-⨯-+=1113（2）3sin ,054x x π=<<2cos 1sin xx ∴=-=45227cos 2cos sin cos sin 72552222cos()cos sin 42222x x x x x x x x π-+∴====+-18.（本小题满分10分）解；（1）(,][,)U C A =-∞+∞17（2）A B B =B A ∴⊆（i ）当B φ=时，由a a 251+≤+得a 4≤-（ii ）当B φ≠时，由a a a a 11257125+≥⎧⎪+≤⎨⎪+<+⎩解得a 01≤≤a ∴的取值范围是(,][,]401-∞-.19.（本小题满分12分） 解：（1）a b (1,2),(3,2)==- ka b k k (3,22)∴+=-+ a b 3(10,4)-=-()(3)ka b a b +⊥-(k 3)10(2k 2)(4)0∴-⨯++⨯-=解得 k 19=（2）由（1）及//()(3)ka b a b +-得(k 3)(4)(2k 2)100-⨯--+⨯=解得 1k 3=-20.（本小题满分14分） 解： （1）(,)π03是函数()y f x = 的图像的对称中心sin()πϕ∴⨯+=2203()k k Z πϕπ∴+=∈23()k k Z πϕπ∴=-∈23(,)πϕπϕ∈∴=03()sin()f x x π∴=+223（2）列表：（3）()f x ≥1即sin()x π+≥2213sin()x π+≥1232解得,k x k k Z πππππ+≤+≤+∈5222636亦即,k x k k Z ππππ-+≤≤+∈124所以，()f x ≥1的解集是[,],k k k Z ππππ-++∈12421.（本小题满分12分）解：（1）依题意，得f x x x =++()3sin 2cos 21x x =++312(sin 2cos 2)122x π=++2sin(2)16将()y f x =的图像向右平移12π个单位长度，得到函数f x x x ππ=-++=+1()2sin[2()]12sin 21126的图像，该函数的周期为π，若将其周期变为π2，则得g x x =+()2sin 1 （2）函数f x ()的最小正周期为T π=，（3）当,k x k k Z πππππ-≤+≤-∈222262时，函数单调递增，解得,k x k k Zππππ-≤≤+∈36∴函数的单调递增区间为 [,],k k k Z ππππ-+∈36. 22.（本小题满分14分） 解：（1）由题设，需(),,()xxa f a f x +-==∴=∴=+112001212经验证，()f x 为奇函数，a ∴=1xπ12π3 π712 π56πx π+23 π3π2 ππ32π2π73 ()f x32-23（2）减函数.证明：任意,,,x x R x x x x ∈<∴->1212210由（1）得()()()()()x x x x x x x x f x f x --⨯--=-=++++2112212121121222212121212 ,x x x x x x <∴<<∴-<121212022220，()()x x ++>2112120()()f x f x ∴-<210所以，该函数在定义域R 上是减函数（3）由22(2)(2)0f t t f t k -+-<得f t t f t k -<--22(2)(2)()f x 是奇函数∴f t t f k t -<-22(2)(2)，由（2），()f x 是减函数. ∴原问题转化为t t k t ->-2222，即t t k -->2320对任意t R ∈恒成立.∴k ∆=+<4120，解得k <-13即为所求.。
株洲二中高三数学上学期期末试题文科附解析
株洲二中2015届高三数学上学期期末试题（文科附解析）株洲二中2015届高三数学上学期期末试题（文科附解析）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2﹣x≤0}，则M∩N=（）A．D．（﹣1，0]2．（5分）质检部门对某超市56种食用油（分别编号为1～56）进行抽样检查，用系统抽样的方法抽取了4种食用油，已知7号，35号被抽取到，那么另两种被抽取到的食用油编号是（）A．22号与49号B．21号与49号C．28号与42号D．21号与50号3．（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（）A．2，﹣B．2，﹣C．4，﹣D．4，5．（5分）等差数列的前n项和为Sn，若a2+a5+a8=15，a2+a4+a6=12，则S8的值是（）A．21B．24C．36D．76．（5分）下列命题说法错误的是（）A．若“p∧q”为真命题，则p，q均为真命题B．若命题p：∃x∈R，x2≥0，则￢p：∀x∈R，x2＜0C．“x＞2”是“x≥0”的充分不必要条件D．“x=”是“sinx=”的必要不充分条件7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的正视图面积为（）A．2+3πB．2+C．4+D．4+π8．（5分）如图，若输入两个不同的正数，经程序运行后输出的数相同，则称这两个数为“协同数”，那么下面所给的四组数中属于“协同数”的一组是（）A．6，64B．8，16C．16，256D．30，5129．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．410．（5分）如图所示，正方形ABCD边长为2，圆D的半径为1，E是圆D上任意一点，则的最小值为（）A．1+2B．﹣1﹣2C．1﹣D．1﹣2二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．（5分）复数z=（i为虚数单位），则复数z在复平面内所对应点在第象限．12．（5分）已知直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=a（a∈R），曲线C的参数方程为，若曲线C关于直线l对称，则a=．13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x ﹣3y的最大值为．14．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点A（3，m）（m＞0），若A到焦点F的距离为4，则以A为圆心与抛物线C的准线相切的圆的标准方程为．15．（5分）对于定义域和值域均为的函数f（x），设f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，fn（x）=f（fn﹣1（x））（n∈N*），若xo满足fn（x0）=x0，则xo称为f（x）的n阶周期点．（1）若f（x）=2x（0≤x≤1），则f（x）的2阶周期点的值为；（2）若f（x）=，则f（x）的2阶周期点的个数是．三、简答题（本大题共6小题，共75分，简答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且f（A）=2，b=1，且△ABC的面积为，求边a的值．17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，E是PC的中点．（1）求证：PC⊥BD；（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为4，求DE与平面PAC所成角的大小．18．（12分）2014年9月4日国务院发布了《国务院关于深化考试招生制度改革的实施意见》，其中指出：文理将不分科；总成绩由同一2015届高考的语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试成绩组成；外语科目提供两次考试机会；计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据2015届高考高校要求和自身特长，在其余六科中自主选择．某社区N名居民接受了当地电视台对《意见》看法的采访，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分5组：，得到的频率分布直方图如图所示，下表是年龄的频数分布表：区间人数25ab（1）求正整数a，b，N的值；（2）现要从年龄较小的前3组中采用分层抽样的方法选取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？再从这6人中随机选取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．19．（13分）已知数列中，a1=，且an+1=an，正项数列的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，2是bn+2和bn的等比中项．（1）求数列和的通项公式；（2）设cn=anbn，且数列的前n项和为Tn，求证：．20．（13分）已知点M（，2）是椭圆=1（a＞b＞0）上的一点，MF2垂直于x轴，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A1，A2分别为椭圆的左、右顶点（1）求椭圆C的标准方程；（2）动直线l：x=my+1与椭圆C交于P、Q两点，直线A1P与直线A2Q交于点S，当直线l变化时，点S是否在一条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，请说明理由．21．（13分）已知函数f（x）=ax2﹣lnx，g（x）=bx，a，b∈R，h（x）=f（x）﹣g（x）（1）当a=时，求f（x）的极值；（2）当a＞0，且a为常数时，若函数p（x）=x对任意的x1＞x2≥4，＞﹣1恒成立，试用a表示出b的取值范围．湖南省株洲二中2015届高三上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2﹣x≤0}，则M∩N=（）A．D．（﹣1，0]考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．解答：解：由N中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，解得：0≤x≤1，即N=，∵M=（﹣1，1），∴M∩N=8．（5分）如图，若输入两个不同的正数，经程序运行后输出的数相同，则称这两个数为“协同数”，那么下面所给的四组数中属于“协同数”的一组是（）A．6，64B．8，16C．16，256D．30，512考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序，可得程序框图的功能是求分段函数y=的值，依次代入各个选项中的数值即可判断．解答：解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是求分段函数y=的值，当x=8时，8＜10，有y=28=256当x=16时，10＜16＜30，有y=162=256故选：B．点评：本题主要考查了程序框图和算法，模拟执行程序，正确得到序框图的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．9．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．4考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．解答：解：∵：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bx﹣ay=0，则c=2a，b=，∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为，∴d=，即，解得c=2，则焦距为2c=4，故选：C点评：本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础．10．（5分）如图所示，正方形ABCD边长为2，圆D的半径为1，E是圆D上任意一点，则的最小值为（）A．1+2B．﹣1﹣2C．1﹣D．1﹣2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：建立坐标系，利用向量的数量积运算、三角函数的单调性即可得出．解答：解：如图所示，A（0，﹣2），C（2，0），设E（cosθ，sinθ），θ∈专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解答：解：复数z==﹣3﹣i，则复数z在复平面内所对应点（﹣3，﹣1）在第三象限．故答案为：三．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．12．（5分）已知直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=a（a∈R），曲线C的参数方程为，若曲线C关于直线l对称，则a=﹣1．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先，讲给定的直线的极坐标方程化为直角坐标方程，曲线的参数方程化为普通方程，然后，根据直线关于圆的对称，得到该直线必过圆的圆心，建立等式，求解即可．解答：解：∵直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=a（a∈R），∴它的直角坐标方程为：x﹣y﹣a=0，曲线C的参数方程为，它的普通方程为：（x+1）2+y2=1，∵曲线C关于直线l对称，故该直线必过圆心（﹣1，0），代入，直线的直角坐标方程，得到﹣1﹣0﹣a=0，∴a=﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题重点考查了直线的极坐标方程和直角坐标方程的互化，圆的参数方程和普通方程互化等知识，圆关于直线的对称问题等知识，属于中档题．13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x ﹣3y的最大值为4．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．解答：解：由z=x﹣3y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最小，此时z最大，由，解得，即A（﹣2，﹣2）．将A（﹣2，﹣2）代入目标函数z=x﹣3y，得z=﹣2﹣3×（﹣2）=4．∴目标函数z=x﹣3y的最大值是4．故答案为：4点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．14．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点A（3，m）（m＞0），若A到焦点F的距离为4，则以A为圆心与抛物线C的准线相切的圆的标准方程为（x﹣3）2+（y ﹣2）2=16．考点：抛物线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意可得3﹣（﹣）=4，求得p=2，可得抛物线C：y2=4x．把点A（3，m）代入抛物线的方程，求得m 的值，可得圆心和半径，从而得到所求的圆的标准方程．解答：解：由题意结合抛物线的定义可得A到准线的距离为4，∴3﹣（﹣）=4，求得p=2，∴抛物线C：y2=4x．点A（3，m）代入抛物线C：y2=4x，结合m＞0，可得m=2．再根据题意可得圆的半径为4，故所求的圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=16，故答案为：（x﹣3）2+（y﹣2）2=16．点评：本题主要考查抛物线的定义和标准方程的应用，求圆的标准方程的方法，求出m的值，是解题的关键，属于中档题．15．（5分）对于定义域和值域均为的函数f（x），设f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，fn（x）=f（fn﹣1（x））（n∈N*），若xo满足fn（x0）=x0，则xo称为f（x）的n阶周期点．（1）若f（x）=2x（0≤x≤1），则f（x）的2阶周期点的值为0；（2）若f（x）=，则f（x）的2阶周期点的个数是4．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）若f（x）=2x，则f2（x）=4x，令f2（x0）=x0，可得f（x）的2阶周期点的值；（2）根据f（x）=，分0≤2x≤，即0≤x≤时，当＜2x≤1，即＜x≤时，＜x≤1时，讨论f（x）的2阶周期点的个数，最后综合讨论结果可得答案．解答：解：（1）∵f2（x）=f（f1（x））=f（2x）=4x，令f2（x）=x，解得：x=0．（2）当0≤2x≤，即0≤x≤时，f2（x）=f（f1（x））=f（2x）=4x，令f2（x）=x，解得x=0，当＜2x≤1，即＜x≤时，f2（x）=f（f1（x））=f（2x）=2﹣2（2x）=2﹣4x，令f2（x）=x，解得x=，故0≤x≤时，f（x）的2阶周期点有两个，同理＜x≤1时，f（x）的2阶周期点也有两个，故f（x）的2阶周期点共有4个．故答案为：0，4点评：本题考查的知识点是分段函数，其中正确理解f （x）的n阶周期点的定义，是解答的关键．三、简答题（本大题共6小题，共75分，简答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且f（A）=2，b=1，且△ABC的面积为，求边a的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦定理．专题：常规题型；三角函数的图像与性质；解三角形．分析：第（Ⅰ）问求函数的单调区间，要先把函数化成标准形式，即化成y=Asin（ωx+φ）+B的形式；第（Ⅱ）问根据f（A）=2求出角A，然后根据△ABC的面积为，结合余弦定理求出a的值．解答：解：（Ⅰ）f（x）=2cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+1=2sin（2x+）+1令﹣，k∈Z解得，kπ﹣，k∈Z∴f（x）的递增区间为（k∈Z）（Ⅱ）由f（A）=2sin（2A+）+1=2，得A=S△ABC=∴c=4，由余弦定理得a2=1+42﹣2×1×4×cos∴a=．点评：本题考查了求函数的单调区间，关键是化成标准形式；还考查了解三角形，注意根据条件选择适当的面积公式及正余弦定理．17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，E是PC的中点．（1）求证：PC⊥BD；（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为4，求DE与平面PAC所成角的大小．考点：直线与平面所成的角；棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）四边形ABCD为菱形，从而AC⊥BD，证明PA⊥BD，可得BD⊥平面PAC，即可证明PC⊥BD；（2）证明∠EDO就是DE与平面PAC所成的角，即可求得结论．解答：（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∴PC⊥BD；（2）解：由底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，知BD=2，∴VP﹣ABCD=ACBDPA=4，可得PA=2，由（1）知BD⊥平面PAC，∴DE在平面PAC的射影为OE，∴∠EDO就是DE与平面P所AC成的角，∵E是PC的中点，∴OE=PA=，∴在Rt△DOE中，tan∠EDO=，∴∠EDO=30°即DE与平面PAC所成的角为30°．点评：本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（12分）2014年9月4日国务院发布了《国务院关于深化考试招生制度改革的实施意见》，其中指出：文理将不分科；总成绩由同一2015届高考的语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试成绩组成；外语科目提供两次考试机会；计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据2015届高考高校要求和自身特长，在其余六科中自主选择．某社区N名居民接受了当地电视台对《意见》看法的采访，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分5组：，得到的频率分布直方图如图所示，下表是年龄的频数分布表：区间人数25ab（1）求正整数a，b，N的值；（2）现要从年龄较小的前3组中采用分层抽样的方法选取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？再从这6人中随机选取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）根据频率分布直方图，知频数比等于高之比，由此可得a、b、N的值；（2）计算分层抽样的抽取比例，用抽取比例乘以每组的频数，可得每组抽取人数；利用列举法写出从6人中随机抽取2人的所有基本事件，分别计算总个数与恰有1人在第3组的个数，根据古典概型概率公式计算．解答：解：（1）由题可知，25=0.02×5×N，显然N=250，a=25，b=0.08×5×250=100．（2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为，第2组的人数为，第3组的人数为，所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．设第1组的1位同学为A，第2组的1位同学为B，第3组的4位同学为C1，C2，C3，C4，则从六位同学中抽两位同学有：（A，B），（A，C1），（A，C2），（A，C3），（A，C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C4），（C1，C2），（C1，C3），（C1，C4），（C2，C3），（C2，C4），（C3，C4），共15种可能．其中2人年龄恰有1人在第3组的有：（A，C1），（A，C2），（A，C3），（A，C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C4），共8种可能，所以P=．故恰有1人在第3组的概率为．点评：本题考查频率分布直方图及古典概型的概率计算，解答此类题的关键是读懂频率分布直方图的数据含义．19．（13分）已知数列中，a1=，且an+1=an，正项数列的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，2是bn+2和bn的等比中项．（1）求数列和的通项公式；（2）设cn=anbn，且数列的前n项和为Tn，求证：．考点：数列的求和；等比数列的通项公式；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得数列是首项为，公比为的等比数列，是首项为1，公差为2的等差数列，由此能求出数列和的通项公式．（2）由cn=anbn==（n﹣）×（）n，利用错位相减法能证明．解答：（1）解：∵数列中，a1=，且an+1=an，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴an=（）n．∵正项数列的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，2是bn+2和bn的等比中项，∴4Sn=bn（bn+2）=，①，②，n≥2，①﹣②，得4bn=+2bn﹣2bn﹣1，n≥2∴（bn+bn﹣1）（bn﹣bn﹣1﹣2）=0，∵bn＞0，∴bn﹣bn﹣1=2，又，解得b1=1，∴是首项为1，公差为2的等差数列，∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（2）证明：∵cn=anbn==（n﹣）×（）n，∴Tn=+…+（n﹣）×，①+，②①﹣②，得：==﹣（n﹣）×=，∴Tn=﹣，∵0＜≤=，∴．点评：本题主要考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意错位相减法的合理运用．20．（13分）已知点M（，2）是椭圆=1（a＞b＞0）上的一点，MF2垂直于x轴，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A1，A2分别为椭圆的左、右顶点（1）求椭圆C的标准方程；（2）动直线l：x=my+1与椭圆C交于P、Q两点，直线A1P与直线A2Q交于点S，当直线l变化时，点S是否在一条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，请说明理由．考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据过右焦点F2且垂直于x轴的直线与椭圆C在第一象限的交点为M（，2），可得∴+=1，求出a2=9，b2=a2﹣c2=6，从而可得椭圆C的方程；（2）利用特殊位置猜想结论，再进行一般性的证明．将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理可以证明．解答：解：（1）∵过右焦点F2且垂直于x轴的直线与椭圆C在第一象限的交点为M（，2）．∴c=，b2=a2﹣c2=a2﹣3．∵点M（，2在椭圆上，∴+=1，∴3a2﹣9+4a2=a4﹣3a2∴a4﹣10a2+9=0，∴（a2﹣9）（a2﹣1）=0，∴a2=9或a2=1＜c2（舍去）．∴b2=a2﹣c2=6．∴椭圆C的方程为+=1；（2）当l⊥x轴时，P（1，），Q（1，﹣），又A1（﹣3，0），A2（3，0）A1P的方程：y=（x+3），A2Q的方程：y=（x﹣3），联立解得S（9，4）．当l过椭圆的上顶点时，y=﹣x，P（0，），Q（，﹣）A1P的方程：y=（x+3），A2Q的方程：y=（x﹣3），联立解得S（9，4）．若定直线存在，则方程应是x=9．下面给予证明．把x=my+1代入椭圆方程，整理得（2m2+3）y2+4my﹣16=0，△＞0成立，记P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=．A1P：y=（x+3），A2Q的方程：y=（x﹣3），当x=9时，纵坐标y应相等，=，须=，须2y1（my2﹣2）=y2（my1+4），须my1y2=4（y1+y2）∵y1+y2=，y1y2=．∴m=4成立．综上，定直线方程为x=9．点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查探究性问题，解题的关键是利用特殊位置猜想结论，再进行证明．21．（13分）已知函数f（x）=ax2﹣lnx，g（x）=bx，a，b∈R，h（x）=f（x）﹣g（x）（1）当a=时，求f（x）的极值；（2）当a＞0，且a为常数时，若函数p（x）=x对任意的x1＞x2≥4，＞﹣1恒成立，试用a表示出b的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）把a=代入f（x）的解析式并求出定义域，求出函数的导数化简后求出单调区间，从而可求出函数的极值；（2）先由题意求出h（x），将不等式化简后构造函数k （x）=p（x）+x，根据恒成立和函数的单调性定义转化为：k′（x）≥0在（2）∵h（x）=f（x）﹣g（x）=ax2﹣lnx﹣bx，∴函数p（x）=x=x（ax2﹣bx）=ax3﹣bx2，∵对任意的x1＞x2≥4，＞﹣1恒成立，∴p（x1）﹣p（x2）＞﹣x1+x2对任意的x1＞x2≥4恒成立，则p（x1）+x1＞p（x2）+x2对任意的x1＞x2≥4恒成立，设k（x）=p（x）+x=ax3﹣bx2+x，则k（x）在[4，+∞）上单调递增，∴k′（x）=ax2﹣2bx+1≥0在[4，+∞）上恒成立，∴2bx≤ax2+1，则（），构造函数F（x）=（a＞0），x∈[4，+∞），∴F′（x）=a﹣=，由F′（x）=0得，x=或﹣（舍去），①当时，即，则在[4，+∞）上有F′（x）＞0，∴函数F（x）在[4，+∞）上单调递增，∴函数F（x）的最小值是F（4）=，则=；②当时，即，则在[4，）上F′（x）＜0，在（，+∞）上有F′（x）＞0，∴函数F（x）在[4，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴函数F（x）的最小值是F（）=2，则=，综上可得，当时，b≤；当时，．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，构造函数法解决不等式问题，以及分类讨论思想、转化思想，考查了推理能力和计算能力，属于难题．。
【精品】2015-2016年湖南省株洲二中高二上学期数学期末试卷(理科)与答案
2015-2016学年湖南省株洲二中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共13小题，每小题3分，共36分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）复数i﹣i2在复平面内表示的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（3分）设x∈R，则x＞π的一个必要不充分条件是（）A．x＞3B．x＜3C．x＞4D．x＜43．（3分）准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣2x B．y2=﹣4x C．y2=2x D．y2=4x4．（3分）若f（x）=2sinθ﹣cosx，则f′（α）等于（）A．sinαB．cosαC．2sinα﹣cosαD．﹣3cosα5．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是（）①Z1，Z2不能比较大小；②Z1，Z2是虚数；③虚数不能比较大小．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①6．（3分）若，，与的夹角为60°，则k的值为（）A．0或﹣2B．0或2C．﹣2D．27．（3分）已知椭圆+=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8．弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10B．20C．2D．48．（3分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．149．（3分）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣1）f′（x）≤0，则必有（）A．f（﹣3）+f（3）＜2f（1）B．f（﹣3）+f（7）＞2f（1）C．f（﹣3）+f（3）≤2f（1）D．f（﹣3）+f（7）≥2f（1）10．（3分）的展开式中x2的系数为（）A．﹣1792B．1792C．﹣448D．44811．（3分）用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=，则当n=k+1时左端应在n=k 的基础上加上（）A．k2+1B．（k+1）2C．D．（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）212．（3分）已知抛物线y2=4x的准线过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点且与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，△AOB的面积为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．13．（3分）若存在实常数k和b，使得函数F（x）和G（x）对其公共定义域上的任意实数x都满足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，则称此直线y=kx+b为F（x）和G（x）的“隔离直线”．已知函数f（x）=x2（x∈R），g（x）=（x ＜0），h（x）=2elnx．有下列命题：①F（x）=f（x）﹣g（x）在x∈（﹣，0）内单调递增；②f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且b的最小值为﹣4；③f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是（﹣4，0]；④f（x）和h（x）之间存在唯一的“隔离直线”y=2x﹣e．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.14．（4分）用反证法证明命题“若a、b∈N，ab能被2整除，则a，b中至少有一个能被2整除”，那么反设的内容是．15．（4分）曲线y=cosx在[0，]上与x轴所围成的平面图形的面积为．16．（4分）已知等差数列{a n}中，有成立．类似地，在等比数列{b n}中，有成立．17．（4分）某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．设黑“电子狗”爬完2016段、黄“电子狗”爬完2015段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是．三、解答题：本大题共6小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18．（6分）已知函数f（x）=ax3+（a+1）x2+27（a+2）x+b的图象关于原点成中心对称，求f（x）在区间[﹣4，5]上的最值．19．（6分）已知5名学生和2名教师站在一排照相，求：（1）中间二个位置排教师，有多少种排法？（2）两名教师不相邻的概率为多少？20．（8分）已知数列{a n}的前n项和为S n且满足S n+a n=2n．（1）写出a1，a2，a3，并推测a n的表达式；（2）用数学归纳法证明所得的结论．21．（8分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且AC=BC=2，PA⊥平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点．（1）证明：AE⊥PD；（2）若H为PD上一点，且AH⊥PD，EH与平面PAD所成角的正切值为，求二面角E﹣AF﹣C的正弦值．22．（10分）如图，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M 与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求|OR|+|OS|的最小值．23．（10分）已知函数f（x）=e x，x∈R．（1）设x＞0，讨论曲线y=与直线y=m公共点的个数；（2）设函数h（x）满足x2h′（x）+2xh（x）=，h（2）=，试比较h（e）与的大小．（e2=7.389）2015-2016学年湖南省株洲二中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共13小题，每小题3分，共36分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）复数i﹣i2在复平面内表示的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数i﹣i2=1+i，则复数i﹣i2在复平面内对应的点的坐标：（1，1），位于第一象限．故选：A．2．（3分）设x∈R，则x＞π的一个必要不充分条件是（）A．x＞3B．x＜3C．x＞4D．x＜4【解答】解：由x＞π⇒x＞3，而反之不成立，因此x＞π的一个必要不充分条件是x＞3．故选：A．3．（3分）准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣2x B．y2=﹣4x C．y2=2x D．y2=4x【解答】解：由题意可知：=1，∴p=2且抛物线的标准方程的焦点在x轴的负半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2=﹣2px将p代入可得y2=﹣4x．故选：B．4．（3分）若f（x）=2sinθ﹣cosx，则f′（α）等于（）A．sinαB．cosαC．2sinα﹣cosαD．﹣3cosα【解答】解：f′（x）=sinx，则f′（α）=sinα，故选：A．5．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是（）①Z1，Z2不能比较大小；②Z1，Z2是虚数；③虚数不能比较大小．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①【解答】解；由三段论的格式知：大前提为③虚数不能比较大小，小前提为②z1，z2是虚数，结论：①z1，z2不能比较大小；故三段论的顺序是③②①．故选：D．6．（3分）若，，与的夹角为60°，则k的值为（）A．0或﹣2B．0或2C．﹣2D．2【解答】解：=，=，=2﹣1+k=1+k．∵与的夹角为60°，∴cos60°===，解得k=2．故选：D．7．（3分）已知椭圆+=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8．弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10B．20C．2D．4【解答】解：由题意可得椭圆+=1的b=5，c=4，a==，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，即有△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4．故选：D．8．（3分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．14【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选：B．9．（3分）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣1）f′（x）≤0，则必有（）A．f（﹣3）+f（3）＜2f（1）B．f（﹣3）+f（7）＞2f（1）C．f（﹣3）+f（3）≤2f（1）D．f（﹣3）+f（7）≥2f（1）【解答】解：∵（x﹣1）f′（x）≤0，∴x＞1时，f′（x）≤0；x＜1时，f′（x）≥0，∴f（x）在（1，+∞）为减函数；在（﹣∞，1）上为增函数，∴f（3）≤f（1）f（﹣3）≤f（1）∴f（﹣3）+f（3）≤2f（1），故选：C．10．（3分）的展开式中x2的系数为（）A．﹣1792B．1792C．﹣448D．448=•（﹣1）r•28﹣r•x8﹣2r，【解答】解：的展开式的通项公式为T r+1令8﹣2r=2，求得r=3，可得展开式中x2的系数为﹣25•=﹣1792，故选：A．11．（3分）用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=，则当n=k+1时左端应在n=k 的基础上加上（）A．k2+1B．（k+1）2C．D．（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2【解答】解：当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．故选：D．12．（3分）已知抛物线y2=4x的准线过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点且与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，△AOB的面积为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，抛物线y2=4x的准线过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点且与椭圆交于A、B 两点，∴椭圆的左焦点F（﹣1，0），∴c=1，∵O为坐标原点，△AOB的面积为，∴，∴，整理，得2a2﹣3a﹣2=0，解得a=2，或a=﹣（舍），∴e==．故选：C．13．（3分）若存在实常数k和b，使得函数F（x）和G（x）对其公共定义域上的任意实数x都满足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，则称此直线y=kx+b 为F（x）和G（x）的“隔离直线”．已知函数f（x）=x2（x∈R），g（x）=（x ＜0），h（x）=2elnx．有下列命题：①F（x）=f（x）﹣g（x）在x∈（﹣，0）内单调递增；②f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且b的最小值为﹣4；③f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是（﹣4，0]；④f（x）和h（x）之间存在唯一的“隔离直线”y=2x﹣e．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①∵F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣，∴x∈（﹣，0），F′（x）=2x+＞0，∴F（x）=f（x）﹣g（x）在x∈（﹣，0）内单调递增，故①对；②、③设f（x）、g（x）的隔离直线为y=kx+b，则x2≥kx+b对一切实数x成立，即有△1≤0，k2+4b≤0，又≤kx+b对一切x＜0成立，则kx2+bx﹣1≤0，即△2≤0，b2+4k≤0，k≤0，b ≤0，即有k2≤﹣4b且b2≤﹣4k，k4≤16b2≤﹣64k⇒﹣4≤k≤0，同理⇒﹣4≤b≤0，故②对，③错；④函数f（x）和h（x）的图象在x=处有公共点，因此存在f（x）和g（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y﹣e=k（x﹣），即y=kx﹣k+e，由f（x）≥kx﹣k+e（x∈R），可得x2﹣kx+k﹣e≥0当x∈R恒成立，则△≤0，只有k=2，此时直线方程为：y=2x﹣e，下面证明h（x）≤2x﹣e，令G（x）=2x﹣e﹣h（x）=2x﹣e﹣2elnx，G′（x）=，当x=时，G′（x）=0，当0＜x＜时G′（x）＜0，当x＞时G′（x）＞0，则当x=时，G（x）取到极小值，极小值是0，也是最小值．所以G（x）=2x﹣e﹣g（x）≥0，则g（x）≤2x﹣e当x＞0时恒成立．∴函数f（x）和g（x）存在唯一的隔离直线y=2x﹣e，故④正确．故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.14．（4分）用反证法证明命题“若a、b∈N，ab能被2整除，则a，b中至少有一个能被2整除”，那么反设的内容是a、b都不能被2整除．【解答】解：根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为：“a，b都不能被2整除”，故答案为：a、b都不能被2整除．15．（4分）曲线y=cosx在[0，]上与x轴所围成的平面图形的面积为1．【解答】解：曲线y=cosx在[0，]上与x轴所围成的平面图形的面积为cosxdx=sinx=sin﹣sin0=1，故答案为：1．16．（4分）已知等差数列{a n}中，有成立．类似地，在等比数列{b n}中，有成立．【解答】解：等差数列与等比数列的对应关系有：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法，等差数列中除法对应等比数列中的开方，故此我们可以类比得到结论：．故答案为：．17．（4分）某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．设黑“电子狗”爬完2016段、黄“电子狗”爬完2015段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是1．【解答】解：由题意，黑“电子狗”爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，同理，黄“电子狗”爬行路线为AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA，也是过6段后又回到起点．所以黑“电子狗”爬完2016段后实质是到达点A，黄“电子狗”爬完2015段后到达第三段的终点D．此时的距离为|AD|=1．故答案为：1三、解答题：本大题共6小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18．（6分）已知函数f（x）=ax3+（a+1）x2+27（a+2）x+b的图象关于原点成中心对称，求f（x）在区间[﹣4，5]上的最值．【解答】解：∵函数f（x）的图象关于原点成中心对称，则f（x）是奇函数，所以，f（0）=b=0，且a+1=0，解得a=﹣1，b=0，于是f（x）=﹣x3+27x，f′（x）=﹣3x2+27=﹣3（x+3）（x﹣3），∴当x∈（﹣3，3）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣4，﹣3）和（3，5）时，f′（x）＜0．又∵函数f（x）在[﹣4，5]上连续．∴f（x）在（﹣3，3）上是单调递增函数，在（﹣4，﹣3）和（3，5）上是单调递减函数，而f（﹣4）=﹣44，f（﹣3）=﹣54，f（3）=54，f（4）=44，∴f（x）的最大值是54，f（x）的最小值是﹣54．19．（6分）已知5名学生和2名教师站在一排照相，求：（1）中间二个位置排教师，有多少种排法？（2）两名教师不相邻的概率为多少？（1）先排教师有A22种方法，再排学生有A55种方法，故共有A22A55=240【解答】解：种；（2）采用“插空法”，先排4名学生，有A55种方法；再把2个教师插入5个学生形成的6个空中，方法有A62种．根据分步计数原理，所有满足条件的排法共有A55A62种，5名学生和2名教师站在一排照相任意排，有A77种，故两名教师不相邻的概率为=．20．（8分）已知数列{a n}的前n项和为S n且满足S n+a n=2n．（1）写出a1，a2，a3，并推测a n的表达式；（2）用数学归纳法证明所得的结论．【解答】解：（1）a1=，a2=，a3=，…．猜测a n=2﹣．（2）①由（1）已得当n=1时，命题成立；②假设n=k时，命题成立，即a k=2﹣，当n=k+1时，a1+a2+…+a k+a k+1+a k+1=2（k+1）+1，且a1+a2+…+a k=2k+1﹣a k∴2k+1﹣a k+2a k+1=2（k+1）+1=2k+3，∴2a k+1=2+2﹣，a k+1=2﹣，即当n=k+1时，命题成立．（11分）根据①②得n∈N+时，a n=2﹣都成立．21．（8分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且AC=BC=2，PA⊥平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点．（1）证明：AE⊥PD；（2）若H为PD上一点，且AH⊥PD，EH与平面PAD所成角的正切值为，求二面角E﹣AF﹣C的正弦值．【解答】（1）证明：由AC=AB=BC，可得△ABC为正三角形．因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE．而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD．又PD⊂平面PAD，所以AE⊥PD．（5分）（2）解：因为AH⊥PD，由（1）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．在Rt△EAH中，AE=，此时tan∠EHA===，因此AH=，∵AD=2，∴∠ADH=45°，则PA=2．∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD，过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS⊥AF于S，连接ES则∠ESO是二面角E﹣AF﹣C的平面角在Rt△AOE中，EO=AE•sin 30°=，AO=AE•cos 30°=，又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO•sin 45°=，又SE===，在Rt△ESO中，cos∠ESO===，即所求二面角的余弦值为．（12分）22．（10分）如图，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M 与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求|OR|+|OS|的最小值．【解答】解：（1）依题意，得a=2，e==，∴c=，b==1；故椭圆C的方程为+y2=1．（2）点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0）则直线MP的方程为：y﹣y0=（x﹣x0），令y=0，得x R=，同理：x S=，故x R x S=（**）又点M与点P在椭圆上，故x02=4（1﹣y02），x12=4（1﹣y12），代入（**）式，得：x R x S===4所以|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4，|OR|+|OS|≥2=4，当且仅当|OR|=|OS|=2，取得等号．则|OR|+|OS|的最小值为4．23．（10分）已知函数f（x）=e x，x∈R．（1）设x＞0，讨论曲线y=与直线y=m公共点的个数；（2）设函数h（x）满足x2h′（x）+2xh（x）=，h（2）=，试比较h（e）与的大小．（e2=7.389）【解答】解：（1）当x＞0，m＞0时，曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m＞0）的公共点个数即方程f（x）=mx2根的个数．由f（x）=mx2⇒m=，令v（x）=⇒v′（x）=，则v（x）在（0，2）上单调递减，这时v（x）∈（v（2），+∞）；v（x）在（2，+∞）上单调递增，这时v（x）∈（v（2），+∞），v（2）=．v（2）是y=v（x）的极小值，也是最小值．（5分）所以对曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数，讨论如下：当m∈（0，）时，有0个公共点；当m=时，有1个公共点；当m∈（，+∞）时有2个公共点；（8分）（2）令F（x）=x2h（x），则F′（x）=x2h′（x）+2xh=，所以h=，故h′===，令G（x）=e x﹣2F（x），则G′（x）=e x﹣2F′（x）=e x﹣2•=显然，当0＜x＜2时，G′（x）＜0，G（x）单调递减；当x＞2时，G′（x）＞0，G（x）单调递增；所以，在（0，+∞）范围内，G（x）在x=2处取得最小值G（2）=0．即x＞0时，e x﹣2F（x）≥0．故在（0，+∞）内，h′（x）≥0，所以h（x）在（0，+∞）单调递增，又因为h（2）==＞，h（2）＜h（e）所以h（e）＞．（14分）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
株洲市二中2015年下学期高一年级期末考试试卷数学试卷一. 选择题（每小题3分，共36分，每小题只有一个正确选项） 1. 已知全集{}12345U =，，，，，且{}234A =，，，{}12B =，，那么)(B C A U ⋂等于（）A ．{}2B ．{}5 C ．{}34，D ．{}2345，，， 2. 下列命题：①平行于同一平面的两直线相互平行；②平行于同一直线的两平面相互平行； ③垂直于同一平面的两平面相互平行；④垂直于同一直线的两平面相互平行； ⑤垂直于同一直线的两直线相互平行. 其中正确的有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个 3. 计算662log 3log 4+的结果是（）A ．log 62B ．2C ．log 63D ．3 4. 直线l 过点P (－1,2)，倾斜角为45°，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y －1＝0C ．x －y －3＝0D ．x －y ＋3＝05. 如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则a 的值为( )A ．－3B ．－6C ．32D ．236. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H，，，分别为1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF与GH 所成的角大小等于（ ） A ．45B ．60C ．90D ．1207.函数f （x ）是R 上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则下列各式成立的是（ ） A ．f （﹣2）＞f （0）＞f （1） B ．f （﹣2）＞f （﹣1）＞f （0） C ．f （1）＞f （0）＞f （﹣2） D ．f （1）＞f （﹣2）＞f （0）8. 函数()ln x f x x e =+的零点所在的区间是（）A ．（）B ．（） C ．（1，e ）D ．（e ，∞）9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A F DGE 1BH1C1D 1AA ．1B ．C ．D ．10. 若动点(, )P x y 在曲线221y x =+上移动，则P 与点(0,-1 )Q 连线中点的轨迹方程为（ ） A ．22y x = B ．24 y x = C ．26y x = D ． 28y x =11. 某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对进货价），则该家具的进货价是（ ）A ．108元 B. 105元 C. 106元 D. 118元 12. 若函数()11x mf x e =+-是奇函数,则实数m 的值是（）A ．0B ．21C ．1D ．2二．填空题（每小题4分，共16 分） 13．三个数60.70.70.76log 6，，的大小关系为____________ .（按从小到大的顺序填写） 14. 已知正方体1111ABCD A B C D -两顶点的坐标为)1,2,1(--B ，)3,2,3(1-D ，则此正方体的外接球的的表面积等于 ． 15. 已知，B ={x |log 2x ＞0} A ∪B =16. 过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l 的斜率等于三．解答题（6分+6分+8分+8分+10分+10分， 共48分）17. 已知⊿ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在的直线方程为2x -y -5=0,AC 边上的高BH 所在直线方程为x -2y -5=0，求： （1）顶点C 的坐标； （2）直线BC 的方程.18．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a 、b 为常数，a >0，a ≠1)的图象过点，A (1，16)，B (3，124)．(1) 求f (x )(2) 若不等式(1a )x ＋(1b )x －m ≥0在x ∈[1，＋∞)时恒成立，求m 的取值范围．19. 已知函数()()()log 1log 3a a f x x x =-++，其中01a <<.（1）求函数f (x )的定义域：（2）若函数f (x )的最小值为-4，求a 的值。
20. 如图,P A ⊥平面ABC , , AB =1, , AC =2.（1）求证: BC ⊥平面P AB ; （2）求二面角B-P A-C 的大小.21. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，且DB 平分∠ADC ，E 为PC 的中点，AD ＝CD ＝1，.（1）证明：P A ∥平面BDE ； （2）证明：AC ⊥平面PBD ；（3）求直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值.22. 已知圆22:(2)()3C x y b ++-=(0)b >过点(2-+, 直线():l y x m m R =+∈．（1）求b 的值；（2）若直线l 与圆C 相切，求m 的值； （3）若直线l 与圆C 相交于M 、N 两点，且OM ON ⊥（O 为原点），求实数m 的值．高一期末考试数学试卷答案一．选择题：1.C 2.D 3.B 4.D 5.B 6.B 7.B 8.A 9.C 10.B 11.A 12.D 二．13.60.70.7log 60.76<< 14.48π15.（﹣1，+∞） 16.k ＝－33. 三17.(1)111,2,12AC BH AC BHk k k k ∙=-∴=-=-=-∴直线AC 的方程为()125,y x -=--整理得2110x y +-=，由2110250x y x y +-=⎧⎨--=⎩得43x y =⎧⎨=⎩∴顶点C 的坐标为（4,3）（2）设顶点B 的坐标为(),a b ，点B 在中线CM 上，250a b ∴--= （1）线段AB 的中点M 坐标为51,22a b ++⎛⎫⎪⎝⎭，点M 在中线CM 上 5125022a b ++∴--=，即210a b --= （2）由（1）（2）得1,3ab =-=-即B 点的坐标为()1,3--直线BC 为343314y x --=----，即为6590x y --= 其它求法也可18.(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝16b ·a 3＝124，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝13，∴f (x )＝13×(12)x.(2)(1a )x ＋(1b )x －m ＝2x ＋3x －m ，∴m ≤2x ＋3x ，∵y ＝2x ＋3x 在[1，＋∞)上为增函数，∴最小值为5，∴m ≤5.19.（1）定义域为()3,1-（2）由已知得()()()log 13a f x x x =-+即()()2log 14a f x x ⎡⎤=-++⎣⎦()3,1x∈-且01a<<，1x∴=-时，有log44a=-1256a=20.(1)证明:∵P A⊥平面ABC,BC平面ABC,∴P A⊥BC.在△ABC中,AB=1,BC=3,AC=2,∴AB2+BC2=AC2.∴AB⊥BC.又P A∩AB=A,∴BC⊥平面P AB.(2)解:∵P A⊥平面ABC,∴P A⊥AB,P A⊥AC.∴∠BAC为二面角B P AC的平面角.∵,∴∠BAC=60°,即二面角B P AC的大小为60°.21.1）证明：连接AC，设AC∩BD＝H，连接EH，在△ADC中，∵AD＝CD，且DB平分∠ADC，∴H为AC的中点．又E为PC的中点，∴EH∥P A，又HE平面BDE ，，∴P A∥平面BDE.（2）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴PD⊥AC，由（1）知，BD⊥AC，PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PBD．（3）解：由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，∴∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角．由AD⊥CD，AD＝CD＝1，，可知DH＝CH ＝，.在Rt△BHC 中，.即直线BC与平面PBD 所成的角的正切值为.22.（1）由题知：22(22)(0)3b-+++-=(0)b>，解得：1b=（2）方法一：因为直线l与圆C相切，所以圆心C （-2,1）到直线l 的距离等于圆C解得：3m =±方法二：由224220x y x y y x m⎧++-+=⎨=+⎩ 消去y 得：()22221220x m x m m +++-+= 因为直线l与圆C 相切，所以()()22418220m m m ∆=+--+=解得：3m=±（3）设()11,M x y ，()22,N x y ，由圆的方程知120,0x x ≠≠由224220x y x y y x m⎧++-+=⎨=+⎩ 消去y 得： ()22221220x m x m m +++-+=()()()22122124182201222m m m x x m m m x x ⎧⎪∆=+--+>⎪⎪+=-+⎨⎪-+⎪=⎪⎩ ……………………………9分 OM ON ⊥∴ 11111OM ON y yk k x x ==-， 即12120x x y y +=∴()()()21212121220x x x m x m x x m x x m +++=+++=∴ ()22222102m m m m m -+-++= 2320m m -+=解得： 1m =，或2m =检验可知：它们满足0∆>，故所求m 的值为1m =，或2m =。