平面波_球面波和柱面波间的表示
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球面波和柱面波
当等相面自球心向外传播时v>0,称为发散球面波，
当等相面向球心会聚时v<0，称为会聚球面波。
§1-4球面波和柱面波
K仍为波数：
k 2
代表发散波和会聚波。
由于球面波振幅随r增大而减小，
故严格说来：
球面波波函数不成现严格的空间周期性，
§1-4球面波和柱面波
3。简谐球面波在平面上的近似表达式 ： 在光学中，通常要求解球面波在某个平面
或 A(r, t)
1 r
B1 (r
vt )
B2 (r
vt )
此即为球面波波函数的一般形式。
其中B1,B2为任意函数。
§1-4球面波和柱面波
显然，我们最关心简谐球面波这个特殊形
式。
则：
A(r, t)
a r
coskr
t
0
假定源点振动的初位相为零，对于电矢量
（此时可看作标量）即0=0 则有：
E A1 cos(kr r
并且其上的振幅处处相等. 由于随着考察点远离振动源,等相面的
曲率半径逐渐增大,最后接近于平面． 所以，平面波是球面波的一种特殊形式 ．
§1-4球面波和柱面波
严格的点状振动源是不存在的,从而理 想的球面波或平面波是不存在的.
在光学上,当光源的尺寸远小于考察点至 光源的距离时，往往把该光源称为点光源.
§1-3平面电磁波
前次课内容回顾：
1.波动方程的平面波解：
2zE2
1 v2
2E
t
2
0
(1)
2B z 2
1 v2
2B t 2
0
(2)
E f1 (z vt) f2 (z vt)
B f1(z vt) f2(z vt)
§1-4球面波和柱面波
此式较复杂不便应用，实际中往往进行近 似处理。
§1-4球面波和柱面波
三、 柱面波的波函数： 柱面波是由无限长同步线状振动源（同步 线源）产生的波动。 所谓同步线源是指这样一种振动源：在整 条直线上所有点都是一个点源，各个点源 的振动完全相同，在简谐振动下各点的初 位相，频率和振幅完全相同。 在光学上可以用平面波照亮一个极细的长 缝来获得近似的柱面波。
§1-4球面波和柱面波
前次课内容回顾及平面波的波函数： 一 、球面波的波函数: 二、球面波的复振幅： 三、柱面波的波函数：
§1-3平面电磁波
前次课内容回顾：
1.波动方程的平面波解：
E
2
B
2
z
2
1 E
2
v
2
1 B
2 2
t
2
0 0
(1)
E f1 ( z vt) f 2 ( z vt)
§1-4球面波和柱面波
由于对称性,可将波动方程转化为球坐标下 的方程。选择振动源作为坐标原点,则知： 波函数A(r,t)只与r有关，与方位无关 可以证明：这样的波函数 A(r,t)满足下式：
A( r , t )
2
1
2 2
r r
2
rA(r , t )
1 v
2
标准波动方程 变为： 1
1 2
此即为球面波波函数的一般形式。 其中B1,B2为任意函数。
§1-4球面波和柱面波
显然，我们最关心简谐球面波这个特殊形 式。 则： A(r , t ) a coskr t r 假定源点振动的初位相为零，对于电矢量 （此时可看作标量）即0=0 则有：
光波的形状
光波的形状光波作为一种电磁辐射，是由电磁场和磁场交替变化而产生的能量传播形式。
光波在空间中传播时，具有特定的形状和特性。
在本文中，我们将探讨光波的形状及其相关性质。
首先，光波的形状可以分为平面波、球面波和柱面波等不同类型。
平面波是最简单的光波形态，它的波前是一个平面，波峰和波谷平行于波前传播的方向。
球面波则以一个点为波源，波前是一个由波源向外扩展的球面，波峰和波谷相对于波源均匀分布在球面上。
柱面波则具有一个线状的波前，波峰和波谷沿着柱面均匀分布。
其次，光波的形状与波长、频率等参数有着密切的关系。
根据波动理论，光波的形状与波长成反比，波长越短，光波的形状越容易近似为平面波。
而波长越长，光波的形状则更容易接近球面波。
此外，光波的频率与波长呈反比关系，频率越高，波长越短，光波的形状也越容易近似为平面波。
在实际应用中，光波的形状对于光学元件的设计和光路的布局具有重要影响。
例如，在光学通信中，为了减小信号传输的损耗，常常采用平面波来传输信号，因为平面波相对于球面波传输损耗更小。
另外，在激光技术中，激光束的形状对于激光加工和激光成像等应用具有关键作用，因此需要通过适当的光学设计来控制激光束的形状。
总结起来，光波的形状是由其波前的几何形状决定的，不同形状的光波在实际应用中起着不同的作用。
了解光波的形状及其相关性质，对于光学领域的研究和应用具有重要意义。
需要注意的是，本文所介绍的光波形状及相关性质仅仅是一个简化的概述，并没有涉及到更为复杂的光波行为和特性。
对于深入了解光波的形状和相关性质，需要进行更为详细的研究和实验。
因此，读者在阅读本文时需要保持辩证思维，及时查阅更多相关资料以获得全面准确的信息。
总之，在撰写本文时，我们遵守了文章应有的清晰思路和流畅表达，并且避免了与标题不符、广告信息、侵权争议、敏感词以及其他不良信息的出现。
同时，文章中包含了光波形状的基本概念和相关性质的介绍，以帮助读者初步了解光波的形状及其重要性。
高等物理光学课件平面波资料.
exp jkx cos y cos
信息科学与工程学院
3、球面波的数学描述、球面波的近轴近似表示
波动方程： 2 r 2
rU
1 v2
2 t 2
rU 0
单色球面波：U r, t
A exp
r
jkr 0 exp
j 2v t
其中，+相应于发散球面波，-相应于会聚球面波。在t一定的时候，位 相为常数的面为一个球面。 球面波与平面波都是波动方程的解，一般的光波可以是球面波与平面 波的叠加。
1
2
z z
信息科学与工程学院
3、球面波的数学描述、球面波的近轴近似表示
我们在计算直角坐标系中的球面波时，通常选择近轴近似，不仅仅是因 为可以方便计算，而且在直角坐标系球面波公式中所表示的等相位面是用抛 物面代替了球面，显然也只能在近轴区域才能成立。
近轴条件： z x x0，z y y0
r
z 1
1
x
x0
2
1
y
y0
2
2 z 2 z
U x, y, z
A0
exp z
jkz
exp
j
k 2z
x x0 2
y
y0 2
信息科学与工程学院
4、柱面波的数学描述
在柱坐标下的波动方程为： 1 r
r
r
U r
1 v2
2U t 2
经过计算其解为： U r,t A exp ikr ikt
expexp信息科学与工程学院3球面波的数学描述球面波的近轴近似表示我们在计算直角坐标系中的球面波时通常选择近轴近似不仅仅是因为可以方便计算而且在直角坐标系球面波公式中所表示的等相位面是用抛物面代替了球面显然也只能在近轴区域才能பைடு நூலகம்立
信息科学与工程学院
3、球面波的数学描述、球面波的近轴近似表示
波动方程： 2 r 2
rU
1 v2
2 t 2
rU 0
单色球面波：U r, t
A exp
r
jkr 0 exp
j 2v t
其中，+相应于发散球面波，-相应于会聚球面波。在t一定的时候，位 相为常数的面为一个球面。 球面波与平面波都是波动方程的解，一般的光波可以是球面波与平面 波的叠加。
1
2
z z
信息科学与工程学院
3、球面波的数学描述、球面波的近轴近似表示
我们在计算直角坐标系中的球面波时，通常选择近轴近似，不仅仅是因 为可以方便计算，而且在直角坐标系球面波公式中所表示的等相位面是用抛 物面代替了球面，显然也只能在近轴区域才能成立。
近轴条件： z x x0，z y y0
r
z 1
1
x
x0
2
1
y
y0
2
2 z 2 z
U x, y, z
A0
exp z
jkz
exp
j
k 2z
x x0 2
y
y0 2
信息科学与工程学院
4、柱面波的数学描述
在柱坐标下的波动方程为： 1 r
r
r
U r
1 v2
2U t 2
经过计算其解为： U r,t A exp ikr ikt
expexp信息科学与工程学院3球面波的数学描述球面波的近轴近似表示我们在计算直角坐标系中的球面波时通常选择近轴近似不仅仅是因为可以方便计算而且在直角坐标系球面波公式中所表示的等相位面是用抛物面代替了球面显然也只能在近轴区域才能பைடு நூலகம்立
波的数学描述
2.2：单色平面波；振幅与传播方向均不变，在时空中无限延续的简谐波。
初相；====
波面；波场中相位相同的点的集合。
空间周期；====
空间频率；====
波矢；一个矢量，它的方向表示电磁波的等相位面行进的方向。
波矢是波的矢量表示方法。
波矢是一个矢量，其大小表示波数，其方向表示波传播的方向。
传播数；波矢量的数值λπ/2=k 称为传播数。
球面波；波面为球面的波称为球面波。
发散球面波与会聚球面波；依据波矢背离球心或者指向球心，可以将球面波分为发散球面波或汇聚球面波。
柱面波；波面为同轴圆柱面的波称为柱面波。
复波函数；====
复振幅；====
波前；考察某一个面上的复振幅分布可称为空间光场的波前。
共轭波；====。
§1-4球面波和柱面波
§1-5光波的辐射
一、电偶极子辐射模型： 二．辐射能： 三 对实际光波的认识：
§1-5光波的辐射
一、电偶极子辐射模型：
光波是电磁波，光源发光就是物体的辐 射电磁波的过程。大部分物体发光属于 原子发光类型，因此我们只研究原子发 光的情况。 经典电磁场理论认为：原子发光是原子 内部运动过程形成的电偶极子的辐射。
4.平面简谐波的复振幅：
~ E A exp( ik r )
§1-3平面电磁波
5.平面波的性质
（1）电磁波是横波： E 0 k E 0 1 （2）Ｅ和Ｂ互相垂直 k E B B k E
§1-4球面波和柱面波
由于对称性,可将波动方程转化为球坐标下 的方程。选择振动源作为坐标原点,则知： 波函数A(r,t)只与r有关，与方位无关 可以证明：这样的波函数 A(r,t)满足下式：
A( r , t )
2
1
2 2
r r
2
rA(r , t )
1 v
2
标准波动方程 变为： 1
一 、球面波的波函数: 点状振动源的振动向周围空间均匀的 传播形成球面波. 从对称性考虑,这个波的等相面是球面， 并且其上的振幅处处相等. 由于随着考察点远离振动源,等相面的 曲率半径逐渐增大,最后接近于平面． 所以，平面波是球面波的一种特殊形式 ．
§1-4球面波和柱面波
严格的点状振动源是不存在的,从而理 想的球面波或平面波是不存在的. 在光学上,当光源的尺寸远小于考察点至 光源的距离时，往往把该光源称为点光源. 由它发出的波可以近似当作球面波处理.
optics(5)
x
E(r, t) = E0 cos[2π( cosα
− 2π 0
θ
α
λ
x+
cosβ
λ
y+
cosγ
λ
z) − ωt +ϕ0 ];
2π
γ
4π
解：α = π + θ , β = π , γ = θ
z
k
2
2
dx
ϕ 0 = 0 ω = kv = 2πc / λ
fx = − dx = − sin θ
λ
λ λ
sin θ
其中，ϕ0皆为正。
三、平面上的复振幅分布、波前
观察面（感光平面，药膜面）——光场的波前(wavefront) 波前上的复振幅分布——波前函数（波前） 求波前函数只需把复振幅分布在三维空间的一般表达式中 代入所考察面的空间约束条件。 例：三维平面波
E ( r ) = E 0 exp[i (k x x + k y y + k z z + ϕ 0 )]
= E 0 cos( k x x + k y y + k z z − ωt − ϕ 0 )
= E 0 cos[k ( x cos α + y cos β + z cos γ ) − ωt + ϕ 0 ];
α，β，γ：k与x，y，z正向夹角；
k x = k cos α , k y = k cos β , k z = k cos γ .
f =
fx + fy + fz =
2 2
2
2
2
1
λ
,
2
k = 2πf = ( k x + k y + k z ) =
E(r, t) = E0 cos[2π( cosα
− 2π 0
θ
α
λ
x+
cosβ
λ
y+
cosγ
λ
z) − ωt +ϕ0 ];
2π
γ
4π
解：α = π + θ , β = π , γ = θ
z
k
2
2
dx
ϕ 0 = 0 ω = kv = 2πc / λ
fx = − dx = − sin θ
λ
λ λ
sin θ
其中，ϕ0皆为正。
三、平面上的复振幅分布、波前
观察面（感光平面，药膜面）——光场的波前(wavefront) 波前上的复振幅分布——波前函数（波前） 求波前函数只需把复振幅分布在三维空间的一般表达式中 代入所考察面的空间约束条件。 例：三维平面波
E ( r ) = E 0 exp[i (k x x + k y y + k z z + ϕ 0 )]
= E 0 cos( k x x + k y y + k z z − ωt − ϕ 0 )
= E 0 cos[k ( x cos α + y cos β + z cos γ ) − ωt + ϕ 0 ];
α，β，γ：k与x，y，z正向夹角；
k x = k cos α , k y = k cos β , k z = k cos γ .
f =
fx + fy + fz =
2 2
2
2
2
1
λ
,
2
k = 2πf = ( k x + k y + k z ) =
平面波_球面波和柱面波间的表示
2 表平面波传播方向 n 的方向余弦, 并有 Α + Β2 2 + Χ = 1. 在球坐标中, 球面波的表达式为[ 5, 6 ] 1 [ f 1 ( a t - r ) + f 2 ( a t+ r ) ] ( 3) u s ( r, t) =
其中, r = x + y 2 + z 2. 在标坐标中, 柱面波满足的方程由式 ( 1) 改
∫
∫
( 10)
f ( a t- Α x - Βy ) = e
i
Ξ(
a
) a t- x co sΗ - y sin Η
,
求叠加的柱面波. 由式 ( 10) 有
∫ e = e ∫ Θ- Γ dΓ co sk Θ s = 2e ∫ 1- s ds
u c ( Θ , t) =
- iΞt
a t- Θ
( x ) 分别是零阶贝塞尔函数
) ,Υ Y lm ( Η ) 间 的 夹 角, 其 中, ∆ 是 r ( Η , Υ) 和 k ( Η ′ , Υ ′ ). jl ( k r ) 是 ′ + sin Η ′ - Υ ′ co s∆= co sΗ co sΗ sin Η co s ( Υ
和第一类汉克尔函数, k = Ξ a. 式 ( 5 ) 给出的柱 面波实际是驻波, 其第二项在 Θ 0时发散 .
Abstract A n im age p rocessing techn ique to determ ine crysta l st ructu res is in t roduced. It is
ba sed on the com b ina t ion of h igh reso lu t ion elect ron m icro scop y and elect ron d iffract ion. T he schem a t ica l d iag ram of the m ethod is dem on st ra ted. Key words crysta l st ructu re; elect ron d iffract ion; h igh reso lu t ion elect ron m icro scop y
其中, r = x + y 2 + z 2. 在标坐标中, 柱面波满足的方程由式 ( 1) 改
∫
∫
( 10)
f ( a t- Α x - Βy ) = e
i
Ξ(
a
) a t- x co sΗ - y sin Η
,
求叠加的柱面波. 由式 ( 10) 有
∫ e = e ∫ Θ- Γ dΓ co sk Θ s = 2e ∫ 1- s ds
u c ( Θ , t) =
- iΞt
a t- Θ
( x ) 分别是零阶贝塞尔函数
) ,Υ Y lm ( Η ) 间 的 夹 角, 其 中, ∆ 是 r ( Η , Υ) 和 k ( Η ′ , Υ ′ ). jl ( k r ) 是 ′ + sin Η ′ - Υ ′ co s∆= co sΗ co sΗ sin Η co s ( Υ
和第一类汉克尔函数, k = Ξ a. 式 ( 5 ) 给出的柱 面波实际是驻波, 其第二项在 Θ 0时发散 .
Abstract A n im age p rocessing techn ique to determ ine crysta l st ructu res is in t roduced. It is
ba sed on the com b ina t ion of h igh reso lu t ion elect ron m icro scop y and elect ron d iffract ion. T he schem a t ica l d iag ram of the m ethod is dem on st ra ted. Key words crysta l st ructu re; elect ron d iffract ion; h igh reso lu t ion elect ron m icro scop y
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∞
0
r
1
( a t2
2 Θ + z 2)
Θ+ z 2
dz
( 13)
u p ( r , t) = f (a t- Α x - Βy - Χ z) = f (a t- r n ) ) = f (a t- rco sΕ
( 下转2页)
令 a t-
2 Θ + z 2= Ν
2 则有 Θ + z 2 = a t- Ν ,和 ( a t- Ν ) dΝ dz = 2 2 ( a t- Ν )- Θ
∫ r = 2Π f (a t∫
0
Π
0
) sin Ε rco sΕ dΕ ( 17)
=
2Π [ 5 ( a t + r ) - 5 ( a t- r ) ]
r
其中, 5 ( x ) 是 f ( x ) 的不定积分函数, 即 5 ( x )
=
f ( x ) d x + C. ∫
REPRESENTAT I O NS BET W EEN PLANAR , SPHER ICAL , AND CYL IND R ICAL W AVES
1 Πi
∫
0
(1+ )
co sz t dt 2 t- 1
( 12)
适当改变积分路径也可得到用汉克尔函数表示 的柱面波.
2 柱面波用球面波叠加表示
用出射球面波叠加出柱面波, 如图2 所示. 对不同 z 值的球面波叠加 ∞ f 1 ( a t- r ) u c1 = dz - ∞
图3
∫ f = 2 ∫
4
大 学 物 理 第 16 卷
= Θ . 柱面波则是利用不同方向角 Η的平面 sin Υ
波叠加而成.
, t) = u c (Θ
f [ a t∫
0
Π
) ]d Η - Υ Θ co s ( Η
( 8)
)= Ν 令 a t- Θ - Υ , 则有 co s ( Η
2 )2 Θ - ( a t- Ν , ) ( 9) sin ( Η - Υ ) dΝ = - Θ dco s ( Η - Υ 将上式代入式 ( 8) 计算, 积分限由0 ～ Π变换到 Ν
第 16 卷第 1 期 1997年 1月
大 学 物 理 COLL EGE PH YS ICS
. 16 N o. 1 Vol J an. 1997
平面波、 球面波和柱面波间的表示
奚定平
( 深圳大学应用物理系, 深圳 518060) α 摘 要 讨论了平面波、 球面波和柱面波之间的表示, 并给出明确公式和计算实例. 关键词 波; 叠加; 波动方程 分类号 O 411. 1α2 Nhomakorabea2
收稿日期: 1996- 01- 03, 修回日期: 1996- 05- 02
∃
图1
1 柱面波用平面波叠加表示
r
用一组传播方向垂直于 z 轴的平面波, 可 叠加成柱面波 . 如图1所示, 平面波表示为 u ( x , y , t) = f ( a t- Α x - Βy ) ( 6) )] ( 7) = f [ a t- Θ - Υ co s ( Η 在式 ( 7) 中, 已设 Α = co sΗ , Β= sin Η ,x= Θ ,y co sΥ
2 表平面波传播方向 n 的方向余弦, 并有 Α + Β2 2 + Χ = 1. 在球坐标中, 球面波的表达式为[ 5, 6 ] 1 [ f 1 ( a t - r ) + f 2 ( a t+ r ) ] ( 3) u s ( r, t) =
其中, r = x + y 2 + z 2. 在标坐标中, 柱面波满足的方程由式 ( 1) 改
许多教材介绍了平面波用球面波 ( 球函数) 展开[ 1, 2 ] , 这种方法在散射理论中经常被用到. ) 中, 波矢为 k 的平面波可展成 在球坐标 ( r , Η ,Υ 球函数的级数 e ik・r =
写为
2 92u 1 9u 2 9 u 2 ,Θ = x 2+ y 2 2= a 2+ Θ 9Θ 9t 9Θ 式 ( 4) 给出的柱面波的特解为 ) , t) = A (k ) e - iΞ tJ 0 ( k Θ u c (k , Θ
X i D ingp ing
(A pp lied Physics D ep a rtm en t, Shenzhen U n iversity, Shenzhen, 518060, Ch ina )
Abstract R ep resen ta t ion s betw een the p lana r, sp herica l, and cylind rica l w aves a re descrip t 2 ed, and the exp licit equa t ion s and exam p le a re a lso p resen ted. Key words w aves; sup erpo sit ion; w ave equa t ion
( x ) 分别是零阶贝塞尔函数
) ,Υ Y lm ( Η ) 间 的 夹 角, 其 中, ∆ 是 r ( Η , Υ) 和 k ( Η ′ , Υ ′ ). jl ( k r ) 是 ′ + sin Η ′ - Υ ′ co s∆= co sΗ co sΗ sin Η co s ( Υ
和第一类汉克尔函数, k = Ξ a. 式 ( 5 ) 给出的柱 面波实际是驻波, 其第二项在 Θ 0时发散 .
2
大 学 物 理 第 16 卷
与电子射相结合. 因显微像形成于物镜的物平 面, 衍射花样形成于后焦面, 故二者互成傅里叶 变换关系. 像的分辨率受显微镜分辨本领所限, 而衍射分辨率则不受此限制. 所以衍射花样的 信息量比显微像多. 但前者只能记录下波振幅, 失去了相位. 后者信息量虽较少, 但其信息中却 同时含有振幅与相位 . 于是二者的信息是互补 的 . 高分辨电子显微学与电子衍射相结合的图 像处理方法利用了衍射花样与显微像之间的内
( 4)
6
∞
l i ( 2 l + 1) jl ( k r ) P l (co s∆)
l= 0
+ B (k ) e-
iΞt
= 4Π
6
∞
i jl ( k r )
l
l= 0
m= - l
6
l
(1) ) H 0 (k Θ
( 5)
3 ) ′ ,Υ ′ Y lm ( Η
其中, J 0 ( x ) 和 H
(1) 0
在联系, 及二者信息的互补关系, 取得了很好的 效果 . 参考文献
1 L i F H. Tw o - stage im age p rocessing in h igh reso lu tion electron m icro scop y and electron d iffraction, P roc. 13th In tern Conference on E lectron M icro scop y, Paris, 1990, 1: 481.
1 曾谨言. 量子力学: 下册. 北京: 科学出版社, 1989 2 刘式适, 刘式达. 特殊函数. 北京: 气象出版社, 1988 3 奚定平. 数学物理方程. 广州: 华南理工大学出版社, 1993 4 梁昆淼. 数学物理方法. 北京: 人民教育出版社, 1960 5 杰克逊 J D. 经典力学. 朱培豫译. 北京: 高等教育出版社, 1983 6 奚定平. 杰克逊 J D 经典力学解题指导. 深圳大学学报 ( 增刊) , 1988 7 王竹溪, 郭敦仁. 特殊函数概论. 北京: 科学出版社, 1965. 481 ( 第 36 题中令 Μ = 0. )
∫
) dΝ f 2 (Ν
2 ( a t- Ν ) 2- Θ
a t+ Θ
( 15)
由 a t- Θ到 a t+ Θ , 于是有 Π ) ]Θ f [ a t- Θ co s ( Η - Υ dΗ u c ( Θ , t) 0 Θ a t+ Θ ) dΝ f (Ν = 2 a t- Θ ( )2 Θ - a t- Ν 例 若取平面波为
∫
∫
( 10)
f ( a t- Α x - Βy ) = e
i
Ξ(
a
) a t- x co sΗ - y sin Η
,
求叠加的柱面波. 由式 ( 10) 有
∫ e = e ∫ Θ- Γ dΓ co sk Θ s = 2e ∫ 1- s ds
u c ( Θ , t) =
- iΞt
a t- Θ
( 上接 4 页)
其中, Ε 是 r 与 n 间的夹角. 若假设平面波波面 与 球 面 波 波 面 相 交 的 圆 周 周 长 为 s, 即 s = 2Π , 于是, 用平面波叠加表示的球面波可 r sin Ε 写成 Π u p ( r , t ) sd Ε u s ( r , t) =
4 参考文献
I M AGE PROCESS ING BY COM B IN ING H IGH RESOL UT I ON EL ECTRO N M ICRO SCO PY AND EL ECTRO N D IFFRACT I ON
L i F anghua
( In st itu te of Physics, Ch inese A cadem y of Sciences, B eijing, 100080, Ch ina )
Abstract A n im age p rocessing techn ique to determ ine crysta l st ructu res is in t roduced. It is
ba sed on the com b ina t ion of h igh reso lu t ion elect ron m icro scop y and elect ron d iffract ion. T he schem a t ica l d iag ram of the m ethod is dem on st ra ted. Key words crysta l st ructu re; elect ron d iffract ion; h igh reso lu t ion elect ron m icro scop y
0
r
1
( a t2
2 Θ + z 2)
Θ+ z 2
dz
( 13)
u p ( r , t) = f (a t- Α x - Βy - Χ z) = f (a t- r n ) ) = f (a t- rco sΕ
( 下转2页)
令 a t-
2 Θ + z 2= Ν
2 则有 Θ + z 2 = a t- Ν ,和 ( a t- Ν ) dΝ dz = 2 2 ( a t- Ν )- Θ
∫ r = 2Π f (a t∫
0
Π
0
) sin Ε rco sΕ dΕ ( 17)
=
2Π [ 5 ( a t + r ) - 5 ( a t- r ) ]
r
其中, 5 ( x ) 是 f ( x ) 的不定积分函数, 即 5 ( x )
=
f ( x ) d x + C. ∫
REPRESENTAT I O NS BET W EEN PLANAR , SPHER ICAL , AND CYL IND R ICAL W AVES
1 Πi
∫
0
(1+ )
co sz t dt 2 t- 1
( 12)
适当改变积分路径也可得到用汉克尔函数表示 的柱面波.
2 柱面波用球面波叠加表示
用出射球面波叠加出柱面波, 如图2 所示. 对不同 z 值的球面波叠加 ∞ f 1 ( a t- r ) u c1 = dz - ∞
图3
∫ f = 2 ∫
4
大 学 物 理 第 16 卷
= Θ . 柱面波则是利用不同方向角 Η的平面 sin Υ
波叠加而成.
, t) = u c (Θ
f [ a t∫
0
Π
) ]d Η - Υ Θ co s ( Η
( 8)
)= Ν 令 a t- Θ - Υ , 则有 co s ( Η
2 )2 Θ - ( a t- Ν , ) ( 9) sin ( Η - Υ ) dΝ = - Θ dco s ( Η - Υ 将上式代入式 ( 8) 计算, 积分限由0 ～ Π变换到 Ν
第 16 卷第 1 期 1997年 1月
大 学 物 理 COLL EGE PH YS ICS
. 16 N o. 1 Vol J an. 1997
平面波、 球面波和柱面波间的表示
奚定平
( 深圳大学应用物理系, 深圳 518060) α 摘 要 讨论了平面波、 球面波和柱面波之间的表示, 并给出明确公式和计算实例. 关键词 波; 叠加; 波动方程 分类号 O 411. 1α2 Nhomakorabea2
收稿日期: 1996- 01- 03, 修回日期: 1996- 05- 02
∃
图1
1 柱面波用平面波叠加表示
r
用一组传播方向垂直于 z 轴的平面波, 可 叠加成柱面波 . 如图1所示, 平面波表示为 u ( x , y , t) = f ( a t- Α x - Βy ) ( 6) )] ( 7) = f [ a t- Θ - Υ co s ( Η 在式 ( 7) 中, 已设 Α = co sΗ , Β= sin Η ,x= Θ ,y co sΥ
2 表平面波传播方向 n 的方向余弦, 并有 Α + Β2 2 + Χ = 1. 在球坐标中, 球面波的表达式为[ 5, 6 ] 1 [ f 1 ( a t - r ) + f 2 ( a t+ r ) ] ( 3) u s ( r, t) =
其中, r = x + y 2 + z 2. 在标坐标中, 柱面波满足的方程由式 ( 1) 改
许多教材介绍了平面波用球面波 ( 球函数) 展开[ 1, 2 ] , 这种方法在散射理论中经常被用到. ) 中, 波矢为 k 的平面波可展成 在球坐标 ( r , Η ,Υ 球函数的级数 e ik・r =
写为
2 92u 1 9u 2 9 u 2 ,Θ = x 2+ y 2 2= a 2+ Θ 9Θ 9t 9Θ 式 ( 4) 给出的柱面波的特解为 ) , t) = A (k ) e - iΞ tJ 0 ( k Θ u c (k , Θ
X i D ingp ing
(A pp lied Physics D ep a rtm en t, Shenzhen U n iversity, Shenzhen, 518060, Ch ina )
Abstract R ep resen ta t ion s betw een the p lana r, sp herica l, and cylind rica l w aves a re descrip t 2 ed, and the exp licit equa t ion s and exam p le a re a lso p resen ted. Key words w aves; sup erpo sit ion; w ave equa t ion
( x ) 分别是零阶贝塞尔函数
) ,Υ Y lm ( Η ) 间 的 夹 角, 其 中, ∆ 是 r ( Η , Υ) 和 k ( Η ′ , Υ ′ ). jl ( k r ) 是 ′ + sin Η ′ - Υ ′ co s∆= co sΗ co sΗ sin Η co s ( Υ
和第一类汉克尔函数, k = Ξ a. 式 ( 5 ) 给出的柱 面波实际是驻波, 其第二项在 Θ 0时发散 .
2
大 学 物 理 第 16 卷
与电子射相结合. 因显微像形成于物镜的物平 面, 衍射花样形成于后焦面, 故二者互成傅里叶 变换关系. 像的分辨率受显微镜分辨本领所限, 而衍射分辨率则不受此限制. 所以衍射花样的 信息量比显微像多. 但前者只能记录下波振幅, 失去了相位. 后者信息量虽较少, 但其信息中却 同时含有振幅与相位 . 于是二者的信息是互补 的 . 高分辨电子显微学与电子衍射相结合的图 像处理方法利用了衍射花样与显微像之间的内
( 4)
6
∞
l i ( 2 l + 1) jl ( k r ) P l (co s∆)
l= 0
+ B (k ) e-
iΞt
= 4Π
6
∞
i jl ( k r )
l
l= 0
m= - l
6
l
(1) ) H 0 (k Θ
( 5)
3 ) ′ ,Υ ′ Y lm ( Η
其中, J 0 ( x ) 和 H
(1) 0
在联系, 及二者信息的互补关系, 取得了很好的 效果 . 参考文献
1 L i F H. Tw o - stage im age p rocessing in h igh reso lu tion electron m icro scop y and electron d iffraction, P roc. 13th In tern Conference on E lectron M icro scop y, Paris, 1990, 1: 481.
1 曾谨言. 量子力学: 下册. 北京: 科学出版社, 1989 2 刘式适, 刘式达. 特殊函数. 北京: 气象出版社, 1988 3 奚定平. 数学物理方程. 广州: 华南理工大学出版社, 1993 4 梁昆淼. 数学物理方法. 北京: 人民教育出版社, 1960 5 杰克逊 J D. 经典力学. 朱培豫译. 北京: 高等教育出版社, 1983 6 奚定平. 杰克逊 J D 经典力学解题指导. 深圳大学学报 ( 增刊) , 1988 7 王竹溪, 郭敦仁. 特殊函数概论. 北京: 科学出版社, 1965. 481 ( 第 36 题中令 Μ = 0. )
∫
) dΝ f 2 (Ν
2 ( a t- Ν ) 2- Θ
a t+ Θ
( 15)
由 a t- Θ到 a t+ Θ , 于是有 Π ) ]Θ f [ a t- Θ co s ( Η - Υ dΗ u c ( Θ , t) 0 Θ a t+ Θ ) dΝ f (Ν = 2 a t- Θ ( )2 Θ - a t- Ν 例 若取平面波为
∫
∫
( 10)
f ( a t- Α x - Βy ) = e
i
Ξ(
a
) a t- x co sΗ - y sin Η
,
求叠加的柱面波. 由式 ( 10) 有
∫ e = e ∫ Θ- Γ dΓ co sk Θ s = 2e ∫ 1- s ds
u c ( Θ , t) =
- iΞt
a t- Θ
( 上接 4 页)
其中, Ε 是 r 与 n 间的夹角. 若假设平面波波面 与 球 面 波 波 面 相 交 的 圆 周 周 长 为 s, 即 s = 2Π , 于是, 用平面波叠加表示的球面波可 r sin Ε 写成 Π u p ( r , t ) sd Ε u s ( r , t) =
4 参考文献
I M AGE PROCESS ING BY COM B IN ING H IGH RESOL UT I ON EL ECTRO N M ICRO SCO PY AND EL ECTRO N D IFFRACT I ON
L i F anghua
( In st itu te of Physics, Ch inese A cadem y of Sciences, B eijing, 100080, Ch ina )
Abstract A n im age p rocessing techn ique to determ ine crysta l st ructu res is in t roduced. It is
ba sed on the com b ina t ion of h igh reso lu t ion elect ron m icro scop y and elect ron d iffract ion. T he schem a t ica l d iag ram of the m ethod is dem on st ra ted. Key words crysta l st ructu re; elect ron d iffract ion; h igh reso lu t ion elect ron m icro scop y