第四章 第二节 平面波法
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平面波2
(V / m)
试求：
(1) 工作频率f;
(2) 磁场强度矢量的复数表达式；
(3) 坡印廷矢量的瞬时值和时间平均值；
解：(1) 真空中传播的均匀平面电磁波的电场强度矢量的复
数表达式为
所以有
r E&
(erx
jery )104 e j20 z
(V / m)
k 20 , v 1 3108, k 2 , f v
Re
1 2
E&( z)
H&* ( z )
108
0
r ez
小结：Plane Wave
• 相互激发的电场和磁场在方向上相互垂直。 • 相互垂直的电场和磁场构成等相位面
– 即面上的任何一点的电场或磁场的相位是相等的 – 等相位面与传播方向相垂直
• 等相位面是平面的电磁波称为平面波。又称为 横电磁波, TEM: transverse electromagnetic
• 在均匀的各向同性的媒质(Isotropic Homogeneous Media)中,等相位面总是平面, 这时的平面波称 为均匀平面波, Homogeneous Plane Wave.
小结：理想介质中的均匀平面波
Ex
Hy
2E
2E t 2
0
2Ex z 2
2Ex t 2
Ex
T
z＝z0
0
t
电场与时间的关系
空间固定点（如z=0）电场随时间振荡
场强也随z变化。 图给出的是不同时刻t1和 t2(t2>t1)的电场对距离z的关系曲线。 由图可 见， 在任一固定时刻， 场强随距离z同样按 正弦规律变化， 且随着时间的推移， 函数的
《平面波函数》课件
平面波函数的特性
1
平面波函数具有周期性，即波的振动状态会重复 出现，这是由于波的传播具有周期性。
2
平面波函数的空间形式是平面波，即波的传播方 向与波矢 $mathbf{k}$ 垂直，而振幅在空间中是 均匀分布的。
3
平面波函数的时间形式是简谐振动，即波的振动 形式是正弦或余弦函数，这是由于波动现象通常 是由振源的振动所激发。
奇函数对称性
对于另一些平面波函数，如正切波和余切波，函数图像关于原点对称。这意味着对于任 何实数x，f(x) = -f(-x)成立。
平面波函数的周期性
周期性定义
如果存在一个非零常数T，使得对于定义域内的所有x，f(x + T) = f(x)都成立，则称函数f(x)具有周期 性，T称为其周期。
常见周期函数
应用
在干涉实验中的应用
干涉实验是物理学中常用的实验方法，用于研究波的叠加和 相干性。平面波函数在干涉实验中扮演着重要的角色，因为 干涉现象是波函数相干叠加的结果。通过测量干涉条纹的分 布和变化，可以深入了解波的传播和叠加机制。
在干涉实验中，通常使用激光作为相干光源，其光场可以近 似为平面波函数。通过调整干涉臂的长度和角度，可以改变 干涉条纹的分布，进一步研究波函数的性质。
感谢观看
THANKS
这个表达式描述了波在三维空间中随时间和位置的变化规律，其中 $omega$ 和 $mathbf{k}$ 分别决定了波的频率和传播方向。
平面波函数的物理意义
平面波函数描述了波动现象中各点的 振动状态，它包含了波的振幅、相位 和传播方向等信息。
在物理中，波动是一种广泛存在的现 象，如声波、光波、电磁波等都可以 用平面波函数来描述。
在粒子加速器中的应用
固体物理学：第四章 第二节 平面波法
V(K4 K2)
V (K4 K3)
实际计算只能取有限阶的行列式。比如取100个平面波叠加 ，得到100x100的行列式，得到100个线性方程组，可以求出 100个能量本征值:
n为能带序号。
平面波方法优点是简单，有较好的解析形式。而且 通过不断增加平面波数，总能得到收敛解。
其缺点是收敛较慢，特别是对于靠近原子核的芯电 子，为了展开这些震荡厉害的芯电子，需要非常多的 平面波，在对角化时候速度非常慢，甚至变得不现实。
上面波函数还可以写成上面波函数还可以写成写成狄拉克符号形式写成狄拉克符号形式其中其中kk平面波平面波所以在周期场中单电子波函数是一系列相差一所以在周期场中单电子波函数是一系列相差一个倒格矢的平面波的叠加
第四章 能带论
§4.2 平面波法
根据布洛赫定理，周期势场中的单电子波函数是一个 调幅平面波：
对调幅因子按倒格矢做傅里叶展开：
通常我们是通过设定一个最大的Kmax来确定 平面波的数目，相当于给定一个电子的最大 动能。由此我们可以定义一个平面波的截断 能量(cut-off energy):
我们以Ca的3s电子的波函数为例：
在原子核0.1埃范围内，波函数的变化非常剧烈，要用平面波来 展开这个波函数，必须要用周期小一个量级的波，即波长为 0.01埃。所以Kmax=2π/0.01埃=6.3x1012 m-1, 假设晶格常数为3埃， 那么第一布里渊区为9.2x1030m-3，在以Kmax为半径的球内，大概 有108个倒格矢，也就是要108个平面波！
上式中哈密顿量 =
周期势也可以在倒空间展开：
其中展开系数为
为平均势，通常取作0，而 为相对于平均势的起伏
用| k+K h’>齐次方程
课件06-1+平面波方法
15
3. 能带计算方法：平面波与赝势
• 用 作用于赝波函数，可得
• 进一步，有
• 将哈密顿算符写成
16
3. 能带计算方法：平面波与赝势
• 定义赝势为
• 形式上，就有 • （3.3.9）就是赝波函数满足的方程。 • 赝势是核的库仑吸引势V加上一个短程的、非厄米的排斥势[(3.3.8)中第 二项]，两项之和使得总的势减弱，变得比较平坦；对这样的赝系统， 平面波展开赝波函数可以很快收敛。 • 虽然波函数是赝波函数，但是所得的能级确是对应真实晶体波函数真实 价态的本征能量EV。 • 赝势一般是非局域的。
函数组成的布洛赫波正交。这种基函数就是正交化平面波。
• 假设内层波函数是孤立原子芯态波函数的布洛赫和：
• 显然它不是晶体哈密顿量算子的本征态，但可以先假定它是，满足
4
3. 能带计算方法：平面波与赝势
• 定义正交化平面波为
• 右边第一项表示平面波，第二项求和包含所有的内层态。 • 可以验证，如下的正交化条件是满足的： • 正交化平面波（3.1.7）在远离原子核是像一个平面波，在原子核附近具 有原子核波函数迅速变化的特点。详见下图： • 这样，就能用这种基较好地描述价态的特征。
• 对角化这个行列式，就可得能量本征值和波函数（3.1.1）中的展开系数。 • 原则上应该是无穷阶的，但通常使用一个切断能量：
3
3. 能带计算方法：平面波与赝势
• 平面波展开，收敛很慢。在原子核附近，原子核势具有很强的定域性， 电子具有很大的动能，波函数很快地震荡；远离原子核的地方，因为电 子屏蔽，势能较浅、变化平坦，电子动能很小。 • 需要很多的平面波！对于Al晶体，需要1016个平面波才能收敛到基态。 • 缩小基集的办法：正交化平面波！不仅要动量k+K小的平面波，还要原 子核附近具有大动量的孤立原子波函数的成分，并且与孤立原子芯态波
第二节平面简谐波的波动方程
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解：由题意 波长 周期
T
u
1
0.40 m
8 105 s
（1）原点处质点的振动表达式
y0 A cos t 0.1103 cos(25 103 t )m
（2）波函数
x y A cos (t ) u
3
x 3 0.110 cos 25 10 (t ) m 3 5 10
(6)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰M1和M2已 分别右移 3 4 而到达 M 1 '和 M 2 '处。
y /cm
M1
0.5 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.5
M1'
M2
M2'
a
10 20
b
30 40 50 60 70
x /cm t=3T/4
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例3 ：如图是一平面余弦横波在时刻t=0的波形。此波形以 v=0.08m/s 的速度沿ox轴正向传播。 求：(1) a、b两点振动方向; (2) O点振动方程; (3) 波动表式 解：⑴ 由于波沿x正向传播，因 此任意时刻任意点都将重复其前 的点（图中左侧点）的振动，由 此可知： a点将向下振动； b点将向上振动。
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P处质点在时刻t 的位移为：
yP (t ) = Acos ω x t - + 0 u
波 函 数
因此，波线上任一点在任一时刻的位移都能 由上式给出。此即所求的沿x 轴正方向前进 的平面简谐波的波函数。 沿x轴负方向传播的平面简谐波的波函数：
T
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第四章 阵列信号处理
si (t ) = s (t − 1 riT α ) exp[ j (ωt − riT k )] c
通常信号的频带B比载波 ω 小很多，即s(t)变化 相对 ω 缓慢，则延时
1 c
r α <<
T
1 B
则可以认为 s (t − r α ) ≈ s (t ) 即信号包络 在各阵元上差异可忽略——窄带信号。
4.2 等距线阵与均匀圆阵
一、等距线阵 M个阵元等距排成一直线，阵元间距为d，到达波 的方向角定义为与阵列法线的夹角 θ ，称为波 达方向（DOA）。 在三维空间中还可以 θ θ 确定信源方位角 ψ
d
5
4
y
ψ
2
1
x
等距线阵（ULA）的方向向量
aULA (θ ) = [1, e = [1, e
−j 2π − j k d sin θ −j
,L, e
2π
− j k ( M −1) d sin θ T
]
λ
d sin θ
,L, e
λ
( M −1) d sin θ
]T
若有多个信源(p个),波达方向分别为 θ i (i − 1, L, p) 方向矩阵为
A = [a(θ1 ), a(θ 2 ),L, a(θ p )] = 1 ⎡ ⎢ e − j 2λπ d sin θ1 =⎢ ⎢ L ⎢ − j 2λπ ( M −1) d sin θ1 ⎣e ⎤ π − j 2λ d sin θ p ⎥ L e ⎥ ⎥ L L π − j 2λ ( M −1) d sin θ p ⎥ L e ⎦ L 1
θ
d sin θ
Vandermonde矩阵
阵列结构不允许其方向向量和空间角之间模糊， 等距线阵阵元间距不能大于 λ ，则可以保证 2 方向矩阵中各个列向量线性独立。 二、等距线阵的阵列响应与方向图 在单个信源情况下，阵列输出为各阵元信号的加 权和（不考虑噪声），
通常信号的频带B比载波 ω 小很多，即s(t)变化 相对 ω 缓慢，则延时
1 c
r α <<
T
1 B
则可以认为 s (t − r α ) ≈ s (t ) 即信号包络 在各阵元上差异可忽略——窄带信号。
4.2 等距线阵与均匀圆阵
一、等距线阵 M个阵元等距排成一直线，阵元间距为d，到达波 的方向角定义为与阵列法线的夹角 θ ，称为波 达方向（DOA）。 在三维空间中还可以 θ θ 确定信源方位角 ψ
d
5
4
y
ψ
2
1
x
等距线阵（ULA）的方向向量
aULA (θ ) = [1, e = [1, e
−j 2π − j k d sin θ −j
,L, e
2π
− j k ( M −1) d sin θ T
]
λ
d sin θ
,L, e
λ
( M −1) d sin θ
]T
若有多个信源(p个),波达方向分别为 θ i (i − 1, L, p) 方向矩阵为
A = [a(θ1 ), a(θ 2 ),L, a(θ p )] = 1 ⎡ ⎢ e − j 2λπ d sin θ1 =⎢ ⎢ L ⎢ − j 2λπ ( M −1) d sin θ1 ⎣e ⎤ π − j 2λ d sin θ p ⎥ L e ⎥ ⎥ L L π − j 2λ ( M −1) d sin θ p ⎥ L e ⎦ L 1
θ
d sin θ
Vandermonde矩阵
阵列结构不允许其方向向量和空间角之间模糊， 等距线阵阵元间距不能大于 λ ，则可以保证 2 方向矩阵中各个列向量线性独立。 二、等距线阵的阵列响应与方向图 在单个信源情况下，阵列输出为各阵元信号的加 权和（不考虑噪声），
《平面电磁波》PPT课件
w E
1
B
2
2. 电磁场的能流密度 平面电磁波的能流密度
2 S EH E n E E n 1 S wn vwn wv
v为电磁波在介质中的相速。 由于能量密度和能流密度是场强的二次式，不能 把场强的复数表示直接代入。
计算和S的瞬时值时，应把实数表示代入，得
E ( x, t ) E0 e
i kx t
其中x表示坐标原点到某等相位面的距离 ，kx即为
传播这一距离所对应的相位差。
对于任意方向传播的平面波
令 k 表示一个矢量，其大小
为 k ，方向沿平面波的传播
方向。则任意一点 P 与原点
之间的相位差应为kx’，即
kx kx cos k x
真空中
值如图所示．随着时间的推移，整个波形向x轴方 向的移动速度为
vc
r r
四、电磁波的能量和能流
1. 电磁场的能量密度
1 1 2 1 2 w E D H B E B 2 2
对于平面电磁波情形
E
2
1
2
B
2
所以平面电磁波中，电场能量和磁场能量相等， 有
it
， g (t ) g 0e
it i
是f(t)和 g(t)的相位差. fg对一周期的平均值为
fg 2
2
0
dtf0 cos t g 0 cost
1 1 f 0 g 0 cos Re f * g 2 2 式中f *表示f的复共轭，Re表示实数部分。由此，
所以，一般情况下的平面表示式为
E(x, t ) E0ei k x t
电动力学第四章电磁波的传播
第四章电磁波的传播讨论电磁场产生后在空间传播的情形和特性。
分三类情形讨论：一：平面电磁波在无界空间的传播问题二. 平面电磁波在分界面上的反射与透射问题；三.在有界空间传播 -导行电磁波第一部分平面电磁波在无界空间的传播问题讨论一般均匀平面电磁波和时谐电磁波在无界空间的传播问题1时变电磁场以电磁波的形式存在于时间和空间这个统一的物理世界。
2 研究某一具体情况下电磁波的激发和传播规律，从数学上讲就是求解在这具体条件下Maxwell equations 或 wave equations 的解。
3 在某些特定条件下，Maxwell equations或wave equations可以简化，从而导出简化的模型，如传输线模型、集中参数等效电路模型等等。
4最简单的电磁波是平面波。
等相面（波阵面）为无限大平面电磁波称为平面波。
如果平面波等相面上场强的幅度均匀不变，则称为均匀平面波。
5许多复杂的电磁波，如柱面波、球面波，可以分解为许多均匀平面波的叠加；反之亦然。
故均匀平面波是最简单最基本的电磁波模式，因此我们从均匀平面波开始电磁波的学习。
§4.1波动方程 (1)§4.2无界空间理想介质中的均匀平面电磁波 (4)§4.3 正弦均匀平面波在无限大均匀媒质中的传播 (7)4.1-4.3 总结 (13)§4.4电磁波的极化 (14)§4.5电磁波的色散与波速 (16)4.4-4.5 总结 (18)§4.1 波动方程本节主要容：研究各种介质情形下的电磁波波动方程。
学习要求： 1. 明确介质分类； 2. 理解和掌握波动方程推到思路 3. 分清楚、记清楚无界无源区理想介质和导电介质区波动方程和时谐场情形下理想介质和导电介质区波动方程4.1.1介质分类：电磁波在介质中传播，所以其波动方程一定要知道介质的电磁性质方程。
一般情况下，皆知的电磁性质方程很复杂，因为反应介质电磁性质的介电参数是量。
第四章 电子衍射讲解
倒易截面的比例图像，倒易阵 点的指数就是衍射斑点的指数 （即正空间晶面指数）。通过 电子衍射花样上任意两个ghkl矢 量指数就可求出晶带指数（根 据晶带定律）。
多晶电子衍射谱的形成
X射线花样形成示意图
电子衍射花样形成示意图
电子衍射基本公式
R Rd L
Ld
通常将K=λL=Rd称为 相机常数，而L被称 为相机长度。
3、现在的电镜极靴缝都非常小，放入样品台以后很 难再放得下一个光阑；
现在电镜的选区光阑可以做到非常小，如JEOL 2010 的选区光阑孔径分别为：5μm,20μm,60μm,120μm
衍射与选区的对应
A 磁转角
一束平行于主轴的入射电子束通过电磁 透镜将被聚焦在轴线上一点，即焦点F
类比光学玻璃凸透镜
Mi M p
mmM, 误i 差
Mp 3.3%
仪器误差——电子波长的不稳定性
内标像机常数
随物镜电流变化的校正曲线
电子衍射花样的标定与分析
电子衍射谱的标定就是确定电子衍射图谱中的诸 衍射斑点（或者衍射环）所对应的晶面的指数和 对应的晶带轴（多晶不需要）。
电子衍射谱主要有多晶电子衍射谱和单晶电子衍 射谱。电子衍射谱的标定主要有以下几种情况：
简立方：N=1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, …
体 心：N=2, 4, 6, 8, 10, 12,…
=1:2:3:4:5:6:7:8
面 心：N=3,4,,,,8,,,11,12,,,,16,,,19,20,,,,24,,,27,28,…
金刚石：N=3, ,,,,8,,,11, ,,,,16,,,19, ,,,,24,,,27, ,…
在 透 射 电 子 显 微 分 析 中 ， 即 有 Fresnel （ 菲 涅 尔 ） 衍 射 （近场衍射）现象，同时也有Fraunhofer（夫朗和费） 衍射（远场衍射）。 Fresnel（菲涅尔）衍射（近场衍 射）现象主要在图像模式下出现，而Fraunhofer（夫朗 和费）衍射（远场衍射）主要是在衍射情况下出现。
多晶电子衍射谱的形成
X射线花样形成示意图
电子衍射花样形成示意图
电子衍射基本公式
R Rd L
Ld
通常将K=λL=Rd称为 相机常数，而L被称 为相机长度。
3、现在的电镜极靴缝都非常小，放入样品台以后很 难再放得下一个光阑；
现在电镜的选区光阑可以做到非常小，如JEOL 2010 的选区光阑孔径分别为：5μm,20μm,60μm,120μm
衍射与选区的对应
A 磁转角
一束平行于主轴的入射电子束通过电磁 透镜将被聚焦在轴线上一点，即焦点F
类比光学玻璃凸透镜
Mi M p
mmM, 误i 差
Mp 3.3%
仪器误差——电子波长的不稳定性
内标像机常数
随物镜电流变化的校正曲线
电子衍射花样的标定与分析
电子衍射谱的标定就是确定电子衍射图谱中的诸 衍射斑点（或者衍射环）所对应的晶面的指数和 对应的晶带轴（多晶不需要）。
电子衍射谱主要有多晶电子衍射谱和单晶电子衍 射谱。电子衍射谱的标定主要有以下几种情况：
简立方：N=1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, …
体 心：N=2, 4, 6, 8, 10, 12,…
=1:2:3:4:5:6:7:8
面 心：N=3,4,,,,8,,,11,12,,,,16,,,19,20,,,,24,,,27,28,…
金刚石：N=3, ,,,,8,,,11, ,,,,16,,,19, ,,,,24,,,27, ,…
在 透 射 电 子 显 微 分 析 中 ， 即 有 Fresnel （ 菲 涅 尔 ） 衍 射 （近场衍射）现象，同时也有Fraunhofer（夫朗和费） 衍射（远场衍射）。 Fresnel（菲涅尔）衍射（近场衍 射）现象主要在图像模式下出现，而Fraunhofer（夫朗 和费）衍射（远场衍射）主要是在衍射情况下出现。
第四章-平面波
第四章 平面波本章从麦克斯韦方程及物质的本构关系出发，研究在均匀介质中平面波的传播及其主要特征。
首先讨论线性、均匀、各向同性介质中均匀平面波的传播，再推广到各向异性介质中的情况。
比平面波更复杂的电磁波也可用平面波展开，本章对此也作了讨论。
最后讨论平面波传播的传输线模型，为以后用传输线模型求解复杂的场问题打下基础。
4.1得出电场强度E 与磁场强度H 满足的波方程，4.2从波方程得到简单介质中的平面波解，4.3、4.4讨论平面波的极化特性以及平面波在有耗介质中的传播，4.5介绍色散与群速的基本概念，4.6与4.7分别研究电各向异性介质和磁各向异性介质中平面波的传播特征。
4.8讨论髙斯波束的平面波展开，4.9证明电磁波沿某一方向传播可与特定参数传输线上电压、电流波的传播等效，即电磁波传播的传输线模型。
4.1 波方程3.4已分析过，麦克斯韦方程组中两个旋度方程是独立的。
在两个旋度方程中电场强度E 与磁场强度H 耦合在一起。
从解方程角度看，先要将E 跟H “去耦”，即从两个旋度方程消去H （或E ），然后得到只关于E （或H ）的方程。
本节讨论无源、简单介质中麦克斯韦方程的解，所谓无源，就是指所研究的区域内不存在产生电磁场的源J 与ρv 。
对于简单介质，ε、μ是常量。
在这种特定情况下，将物质的本构关系（3.4.1）、（3.4.2）代入麦克斯韦方程（3.2.8）~（3.2.11），得到 ∇⨯E =–j ωμH （4.1.1） ∇⨯H = j ωεE （4.1.2） ∇⋅E = 0 （4.1.3） ∇⋅H = 0 （4.1.4） 式（4.1.1）、（4.1.2）两个方程中，只有E 和H 两个独立的场量，但E 和H 耦合在一起。
为了从这两个方程得到只关于E 或H 的方程，对式（4.1.1）取旋度，并将式（4.1.2）代入，得到 ()()()E E H E μεωωεωμωμ2=-=⨯∇-=⨯∇⨯∇j j j利用恒等关系()()E E E 2∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇，而根据式（4.1.3），0=⋅∇E ，所以上式成为022=+∇E E μεω（4.1.5）同样对式（4.1.2）取旋度，将式（4.1.1）代入，并利用式（4.1.4）及上面的矢量运算恒等关系，得到022=+∇H H μεω（4.1.6）式（4.1.5）、（4.1.6）可合并写成 ()022=⎩⎨⎧+∇HEk（4.1.7） 式中μεω22=k（4.1.8）在自由空间或真空中，μ = μ0，ε = ε0，k 记作k 000220εμω=k（4.1.9）式（4.1.5）、（4.1.6）或（4.1.7）叫做无源简单介质中的波方程，在这个方程中E 跟H 不再耦合在一起。
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其缺点是收敛较慢，特别是对于靠近原子核的芯电 子，为了展开这些震荡厉害的芯电子，需要非常多的
平面波，在对角化时候速度非常慢，甚至变得不现实。
通常我们是通过设定一个最大的Kmax来确定平面 波的数目，相当于给定一个电子的最大动能。由 此我们可以定义一个平面波的截断能量(cut-off energy):
h \ h'
1
2
3
1 2
3
2 2 (k K1 ) E (k ) V ( K1 K 2 ) V ( K1 K3 ) 2m 2 2 (k K 2 ) E (k ) V ( K 2 K 3 ) V ( K 2 K1 ) 2m 2 2 (k K 3 ) E (k ) V ( K3 K 2 ) V ( K3 K1 ) 2m
a 是 （k+Kh ）的函数。
上面波函数还可以写成
写成狄拉克符号形式
其中|k+Kh>是 平面波
所以在周期场中，单电子波函数是一系列相差一 个倒格矢的平面波的叠加。 很显然，如果知道了波函数的展开系数a，就知道 了整个波函数。为了求解待定系数a，将波函数代入波 动方程得到：
上式中哈密顿量 =
周期势也可以在倒空间展开：
我们以Ca的3s电子的波函数为例：
在原子核0.1埃范围内，波函数的变化非常剧烈，要用平面波来 展开这个波函数，必须要用周期小一个量级的波，即波长为 0.01埃。所以Kmax=2π/0.01埃=6.3x1012 m-1, 假设晶格常数为3埃， 那么第一布里渊区为9.2x1030m-3，在以Kmax为半径的球内，大概 有108个倒格矢，也就是要108个平面波！
固体物理学
2013-2014学年第二学期
周 健 2014.05.22
Nanjing University
第四章 能带论
基组
波函数可以用任何一组正交、完备的基函数展开。
确定了基组，求解薛定谔方程就是要求解波函数在这 基组上的展开系数C。
把上面的波函数代入薛定谔方程，同时左乘 得到关于C的线性方程组：
其中展开系数为
为平均势，通常取作0，而
为相对于平均势的起伏
用<k+K h’|作用到 方程： 同时注意到：
得到待定系数a的线性齐次方程
其中的V矩阵元为：
所以上面的线性方程为
上面的方程有非零解的条件是系数行列式为零：
上面的方程中大K h是一个倒格矢，原则上是一个无穷 阶 的行列式，记作： 其对角元和非对角元写成：
因此，实际计算中很少完全直接采用平面波 来计算能带。一般是通过正交或者缀加平面 波，或者通过赝势结合平面波的方法。
不同的基组有不同的特点，常见的基组有以下几类：
原子轨道基 高斯型 Slater型 赝原子轨道 数值型 缀加形式 FLAPW，LMTO 平面波 数值基
在晶体中，用的比较多是平面波和赝原子轨道基组：
平面波基，其优点是形式简单，推导方便，基组与原 子位置无关，而且通过增加截断能可以方便地增加平 面波个数，从而达到收敛。 缺点是平面波原则上需要有无穷多个才会正交归一， 用来实际计算时只能取有限多个，但通常个数较多， 计算量很大。而且平面波是延展波，哈密顿矩阵通常 是非稀疏的，计算量和平面波个数的三次方成正比。
4
V ( K 4 K1 )
V (K4 K2 )
V ( K 4 K3 )
实际计算只能取有限阶的行列式。比如取100个平面波，得 到100x100的行列式，得到100个线性方程组，可以求出100 个能量本征值: n为能带序号。
平面波方法优点是简单，有较好的解析形式。而且
通过不断增加平面波数，总能得到收敛解。
哈密顿矩阵一般是稀疏的，可以实现O(N)的计算。
缺点是：一般计算精度相对较低；基组个数增加困 难，收敛性较差；基组位置与原子坐标有关，原子 如果位移，则基组会变。
§4.2 平面波法
根据布洛赫定理，周期势场中的单电子波函数是一个 调幅平面波：
对调幅因子按倒格矢做傅里叶展开：
其中
波函数写成：
展开系数写成u的逆傅里叶变换
通过求解系数行列式等于0，可以得到能量本征值和 本征波函数。（要先求出哈密顿在基组下的矩阵元 以及基组本身的交叠矩阵）。 哈密顿矩阵的大小等于基组的大小。理论上，基组 的选取没有特别的限制，只是来构造一个希尔伯特 空间，给哈密顿量有一个矩阵表达式。
虽然基组选择有很大自由度， 但基组选取一般有如下原则： 1. 2. 3. 完备的集合，通过线性组合获得实际的波函数 基组与原子波函数相近，从而减少展开基组的数目 最好形式简单，多中心积分容易计算
为了克服平面波的缺点，平面波基组通常与赝势结合， 或者通过正交平面波或者缀加平面波，来减少基组的 个数，从而使得计算实际材料变得可能。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
另一组通常采用的基组是局域基组，比如Wannier函 数或者赝原子轨道基组。 所谓局域基组是指基函数在实空间比较“集中”， 只有在一定空间范围内才有值，局域基组的优点是： 局域基数目一般比较少，计算量很小。
平面波，在对角化时候速度非常慢，甚至变得不现实。
通常我们是通过设定一个最大的Kmax来确定平面 波的数目，相当于给定一个电子的最大动能。由 此我们可以定义一个平面波的截断能量(cut-off energy):
h \ h'
1
2
3
1 2
3
2 2 (k K1 ) E (k ) V ( K1 K 2 ) V ( K1 K3 ) 2m 2 2 (k K 2 ) E (k ) V ( K 2 K 3 ) V ( K 2 K1 ) 2m 2 2 (k K 3 ) E (k ) V ( K3 K 2 ) V ( K3 K1 ) 2m
a 是 （k+Kh ）的函数。
上面波函数还可以写成
写成狄拉克符号形式
其中|k+Kh>是 平面波
所以在周期场中，单电子波函数是一系列相差一 个倒格矢的平面波的叠加。 很显然，如果知道了波函数的展开系数a，就知道 了整个波函数。为了求解待定系数a，将波函数代入波 动方程得到：
上式中哈密顿量 =
周期势也可以在倒空间展开：
我们以Ca的3s电子的波函数为例：
在原子核0.1埃范围内，波函数的变化非常剧烈，要用平面波来 展开这个波函数，必须要用周期小一个量级的波，即波长为 0.01埃。所以Kmax=2π/0.01埃=6.3x1012 m-1, 假设晶格常数为3埃， 那么第一布里渊区为9.2x1030m-3，在以Kmax为半径的球内，大概 有108个倒格矢，也就是要108个平面波！
固体物理学
2013-2014学年第二学期
周 健 2014.05.22
Nanjing University
第四章 能带论
基组
波函数可以用任何一组正交、完备的基函数展开。
确定了基组，求解薛定谔方程就是要求解波函数在这 基组上的展开系数C。
把上面的波函数代入薛定谔方程，同时左乘 得到关于C的线性方程组：
其中展开系数为
为平均势，通常取作0，而
为相对于平均势的起伏
用<k+K h’|作用到 方程： 同时注意到：
得到待定系数a的线性齐次方程
其中的V矩阵元为：
所以上面的线性方程为
上面的方程有非零解的条件是系数行列式为零：
上面的方程中大K h是一个倒格矢，原则上是一个无穷 阶 的行列式，记作： 其对角元和非对角元写成：
因此，实际计算中很少完全直接采用平面波 来计算能带。一般是通过正交或者缀加平面 波，或者通过赝势结合平面波的方法。
不同的基组有不同的特点，常见的基组有以下几类：
原子轨道基 高斯型 Slater型 赝原子轨道 数值型 缀加形式 FLAPW，LMTO 平面波 数值基
在晶体中，用的比较多是平面波和赝原子轨道基组：
平面波基，其优点是形式简单，推导方便，基组与原 子位置无关，而且通过增加截断能可以方便地增加平 面波个数，从而达到收敛。 缺点是平面波原则上需要有无穷多个才会正交归一， 用来实际计算时只能取有限多个，但通常个数较多， 计算量很大。而且平面波是延展波，哈密顿矩阵通常 是非稀疏的，计算量和平面波个数的三次方成正比。
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V ( K 4 K1 )
V (K4 K2 )
V ( K 4 K3 )
实际计算只能取有限阶的行列式。比如取100个平面波，得 到100x100的行列式，得到100个线性方程组，可以求出100 个能量本征值: n为能带序号。
平面波方法优点是简单，有较好的解析形式。而且
通过不断增加平面波数，总能得到收敛解。
哈密顿矩阵一般是稀疏的，可以实现O(N)的计算。
缺点是：一般计算精度相对较低；基组个数增加困 难，收敛性较差；基组位置与原子坐标有关，原子 如果位移，则基组会变。
§4.2 平面波法
根据布洛赫定理，周期势场中的单电子波函数是一个 调幅平面波：
对调幅因子按倒格矢做傅里叶展开：
其中
波函数写成：
展开系数写成u的逆傅里叶变换
通过求解系数行列式等于0，可以得到能量本征值和 本征波函数。（要先求出哈密顿在基组下的矩阵元 以及基组本身的交叠矩阵）。 哈密顿矩阵的大小等于基组的大小。理论上，基组 的选取没有特别的限制，只是来构造一个希尔伯特 空间，给哈密顿量有一个矩阵表达式。
虽然基组选择有很大自由度， 但基组选取一般有如下原则： 1. 2. 3. 完备的集合，通过线性组合获得实际的波函数 基组与原子波函数相近，从而减少展开基组的数目 最好形式简单，多中心积分容易计算
为了克服平面波的缺点，平面波基组通常与赝势结合， 或者通过正交平面波或者缀加平面波，来减少基组的 个数，从而使得计算实际材料变得可能。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
另一组通常采用的基组是局域基组，比如Wannier函 数或者赝原子轨道基组。 所谓局域基组是指基函数在实空间比较“集中”， 只有在一定空间范围内才有值，局域基组的优点是： 局域基数目一般比较少，计算量很小。