人教版九年级上册数学课件：实际问题与二次函数
1．复习利用二次函数解决实际问题的方法
归纳： 1．由于抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点是最低（高） 点，当
x b 2a
时，二次函数 y = ax2 + bx + c 有最小（大） 值 y 4acb2． 4a
2．列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际 意义，确定自变量的取值范围；
3．在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大 值或最小值.
人 教 版 九 年 级上册 数学课 件：22 .3实际 问题与 二次函 数（17 张PPT）
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2．探究“拱桥”问题
问题3 如何建立直角坐标系？
l
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ห้องสมุดไป่ตู้
人 教 版 九 年 级上册 数学课 件：22 .3实际 问题与 二次函 数（17 张PPT）
2、某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部 AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽 车欲通过大门,货物顶部距地面2.7m,装货宽度为 2.4m.这辆汽车能否顺利通过大门?若能,请你通过计 算加以说明;若不能,请简要说明理由.
人 教 版 九 年 级上册 数学课 件：22 .3实际 问题与 二次函 数（17 张PPT）
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解：如图，以AB所在的直线为x轴， 以AB的垂直平分线为y轴，建立平面 直角坐标系.
∵AB=4 ∴A(-2,0) B(2,0) ∵OC=4.4 ∴C(0,4.4) 设抛物线所表示的二次函数为
• 学习重点： 建立坐标系，利用二次函数的图象、性质解决实际问 题．
1．复习利用二次函数解决实际问题的方法
问题1 解决上节课所讲的实际问题时，你用到了什么知识？ 所用知识在解决生活中问题时，还应注意哪些问题？
人 教 版 九 年 级上册 数学课 件：22 .3实际 问题与 二次函 数（17 张PPT）
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2．探究“拱桥”问题
问题4 解决本题的关键是什么？
人 教 版 九 年 级上册 数学课 件：22 .3实际 问题与 二次函 数（17 张PPT）
3．达标检测 人教版九年级上册数学课件：22.3实际问题与二次函数（17张PPT）
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2．探究“拱桥”问题
（1）求宽度增加多少需要什么数据？ （2）表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？ （3）如何求这组数据？需要先求什么？ （4）图中还知道什么？ （5）怎样求抛物线对应的函数的解析式？
1、有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为
20 m，拱顶距离水面 4 m．
（1）如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的
函数的解析式； y O
C A
h
DB x
20 m
（2）设正常水位时桥下的水深为 2 m，为保证过往 船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 18 m．求 水深超过多少 m 时就会影响过往船只在桥下顺利航 行．
时的抛物线解析式是
．y= (x+6)2+4
y
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o
x
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解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2，此时A(-10,-4), B(10,-4),则有-4=100a,解得a= ∴ y= x2 （2）设水面宽度CD=18m时，此时C(-9，n),D(9,n) 这两点都在抛物线上，则有当x=9时，y=n, ∴n= ∴AB与CD间的距离为4- = 则桥下水面的宽度为18 m时，水深2+ = 即当桥下水面的宽度不小于 18 m，水深不大于 m ∴水深超过 m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行．
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4．拓展延伸
1、如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部
离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x
轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的
抛物线解析式是y= (x-6)2+4，则选取点B为坐标原点
yax 24.4
∵抛物线过A(-2,0)
4 a 4 .4 0 a1.1
∴抛物线所表示的二次函数为 y1.1x24.4
当 x 1 . 2 时 y 1 . 1 ， 1 . 2 2 4 . 4 2 . 8 2 1 . 76
∴汽车能顺利经过大门.
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2．探究“拱桥”问题
问题2 图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面 宽 4 m . 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
九年级 上册
22.3 实际问题与二次函数 （第3课时）
课件说明
• 二次函数是单变量最优化问题的数学模型，如生活中 涉及的求最大利润，最大面积等．这体现了数学的实 用性，是理论与实践结合的集中体现．本节课主要研 究建立坐标系解决实际问题．
课件说明
• 学习目标： 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系， 正确建立坐标系，并运用二次函数的图象、性质解决 实际问题．
归纳： 1．由于抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点是最低（高） 点，当
x b 2a
时，二次函数 y = ax2 + bx + c 有最小（大） 值 y 4acb2． 4a
2．列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际 意义，确定自变量的取值范围；
3．在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大 值或最小值.
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2．探究“拱桥”问题
问题3 如何建立直角坐标系？
l
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ห้องสมุดไป่ตู้
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2、某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部 AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽 车欲通过大门,货物顶部距地面2.7m,装货宽度为 2.4m.这辆汽车能否顺利通过大门?若能,请你通过计 算加以说明;若不能,请简要说明理由.
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解：如图，以AB所在的直线为x轴， 以AB的垂直平分线为y轴，建立平面 直角坐标系.
∵AB=4 ∴A(-2,0) B(2,0) ∵OC=4.4 ∴C(0,4.4) 设抛物线所表示的二次函数为
• 学习重点： 建立坐标系，利用二次函数的图象、性质解决实际问 题．
1．复习利用二次函数解决实际问题的方法
问题1 解决上节课所讲的实际问题时，你用到了什么知识？ 所用知识在解决生活中问题时，还应注意哪些问题？
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2．探究“拱桥”问题
问题4 解决本题的关键是什么？
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3．达标检测 人教版九年级上册数学课件：22.3实际问题与二次函数（17张PPT）
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2．探究“拱桥”问题
（1）求宽度增加多少需要什么数据？ （2）表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？ （3）如何求这组数据？需要先求什么？ （4）图中还知道什么？ （5）怎样求抛物线对应的函数的解析式？
1、有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为
20 m，拱顶距离水面 4 m．
（1）如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的
函数的解析式； y O
C A
h
DB x
20 m
（2）设正常水位时桥下的水深为 2 m，为保证过往 船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 18 m．求 水深超过多少 m 时就会影响过往船只在桥下顺利航 行．
时的抛物线解析式是
．y= (x+6)2+4
y
人 教 版 九 年 级上册 数学课 件：22 .3实际 问题与 二次函 数（17 张PPT）
o
x
人 教 版 九 年 级上册 数学课 件：22 .3实际 问题与 二次函 数（17 张PPT）
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解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2，此时A(-10,-4), B(10,-4),则有-4=100a,解得a= ∴ y= x2 （2）设水面宽度CD=18m时，此时C(-9，n),D(9,n) 这两点都在抛物线上，则有当x=9时，y=n, ∴n= ∴AB与CD间的距离为4- = 则桥下水面的宽度为18 m时，水深2+ = 即当桥下水面的宽度不小于 18 m，水深不大于 m ∴水深超过 m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行．
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4．拓展延伸
1、如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部
离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x
轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的
抛物线解析式是y= (x-6)2+4，则选取点B为坐标原点
yax 24.4
∵抛物线过A(-2,0)
4 a 4 .4 0 a1.1
∴抛物线所表示的二次函数为 y1.1x24.4
当 x 1 . 2 时 y 1 . 1 ， 1 . 2 2 4 . 4 2 . 8 2 1 . 76
∴汽车能顺利经过大门.
人 教 版 九 年 级上册 数学课 件：22 .3实际 问题与 二次函 数（17 张PPT）
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2．探究“拱桥”问题
问题2 图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面 宽 4 m . 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
九年级 上册
22.3 实际问题与二次函数 （第3课时）
课件说明
• 二次函数是单变量最优化问题的数学模型，如生活中 涉及的求最大利润，最大面积等．这体现了数学的实 用性，是理论与实践结合的集中体现．本节课主要研 究建立坐标系解决实际问题．
课件说明
• 学习目标： 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系， 正确建立坐标系，并运用二次函数的图象、性质解决 实际问题．
合集下载
人教版九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数 课件(共18张PPT)
3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．
课堂导入
前面我们已经学习了利用二次函数解决几何最值问题及实际问 题中的最值问题，本节课我们继续学习利用二次函数解决拱桥、 隧道、以及一些运动类的“抛物线”型问题.
新知探究 知识点1
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面宽 4 m．水面下降 1 m， 水面宽度增加多少？
达到最大高度的时刻是( B )
A.第8秒
B.第10秒
C.第12秒
D.第15秒
D
一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4 m 处起跳投篮，球沿一条抛物 线运动，当球运动的水平距离为 2.5 m 时，达到最大高度 3.5 m，然后准确 落入篮框内，已知篮圈中心距离地面高度为 3.05 m，在如图所示的平面直 角坐标系中，下列说法正确的是 ( A )
实际问题与二次函数
22.3
第3课时
知识回顾
建立函数 关系式
最大利润问题
确定自变量 取值范围
确定最 大利润
总利润=单件利润×销售量 或总利润=总售价-总成本.
涨价：要保证销售量≥0； 降价：要保证单件利润≥0.
利用配方法或公式法求最大值 或利用函数简图和性质求出.
学习目标 1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数 问题． 2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．
水面下降1 m，水面宽度增加_(_2__6__4_)_m.
新知探究 知识点1
解决抛物线型建筑问题的步骤： (1)建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形的图形放在坐标系中； (2)设出函数解析式，结合图形和已知条件，用待定系数法求函数解析式； (3)利用二次函数的图象与性质求解实际问题.
新知探究 跟踪训练
课堂导入
前面我们已经学习了利用二次函数解决几何最值问题及实际问 题中的最值问题，本节课我们继续学习利用二次函数解决拱桥、 隧道、以及一些运动类的“抛物线”型问题.
新知探究 知识点1
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面宽 4 m．水面下降 1 m， 水面宽度增加多少？
达到最大高度的时刻是( B )
A.第8秒
B.第10秒
C.第12秒
D.第15秒
D
一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4 m 处起跳投篮，球沿一条抛物 线运动，当球运动的水平距离为 2.5 m 时，达到最大高度 3.5 m，然后准确 落入篮框内，已知篮圈中心距离地面高度为 3.05 m，在如图所示的平面直 角坐标系中，下列说法正确的是 ( A )
实际问题与二次函数
22.3
第3课时
知识回顾
建立函数 关系式
最大利润问题
确定自变量 取值范围
确定最 大利润
总利润=单件利润×销售量 或总利润=总售价-总成本.
涨价：要保证销售量≥0； 降价：要保证单件利润≥0.
利用配方法或公式法求最大值 或利用函数简图和性质求出.
学习目标 1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数 问题． 2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．
水面下降1 m，水面宽度增加_(_2__6__4_)_m.
新知探究 知识点1
解决抛物线型建筑问题的步骤： (1)建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形的图形放在坐标系中； (2)设出函数解析式，结合图形和已知条件，用待定系数法求函数解析式； (3)利用二次函数的图象与性质求解实际问题.
新知探究 跟踪训练
新人教版九年级数学上册《实际问题与二次函数》优质课课件(共7张PPT)
2
������
4������������-������ 大值 4������ .
4������������-������ +bx+c 有最小值 4������ 2
;若 a<0,当 x=- 时,二次函数 y=ax2+bx+c 有最
������ 2������
2.求解最大(小)面积问题的一般步骤 求几何图形最大(小)面积的一般步骤如下: (1)利用问题中的已知条件和学过的有关数学公式列出关系式. (2)把关系式转化为二次函数解析式. (3)结合实际意义,确定自变量的取值范围. (4)画出函数的简图,利ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数的简图和性质求出几何图形的最大面积 或最小面积.
大
=
.
关闭
h 4 .9 m
4������������-������2 最大= 4������
=
-9.82 =4.9(m). 4× (-4.9)
关闭
解析
答案
1
2
3
3.如图,在△ABC 中,∠B=90° ,AB=12 mm,BC=24 mm,动点 P 从点 A 开始沿 边 AB 向 B 以 2 mm/s 的速度移动(不与点 B 重合),动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向 C 以 4 mm/s 的速度移动(不与点 C 重合).如果 P,Q 分别从 A,B 同时出 发,那么经过 s,四边形 APQC 的面积最小.
22.3 实际问题与二次函数
课标要求
知识梳理
1.能利用二次函数求出实际问题中的最大(小)值,发展解决问题的能 力. 2.经历探索商品销售中的最大利润问题的过程,增强数学应用意识.
课标要求
知识梳理
1.二次函数 y=ax2+bx+c 的最值的求法
������
4������������-������ 大值 4������ .
4������������-������ +bx+c 有最小值 4������ 2
;若 a<0,当 x=- 时,二次函数 y=ax2+bx+c 有最
������ 2������
2.求解最大(小)面积问题的一般步骤 求几何图形最大(小)面积的一般步骤如下: (1)利用问题中的已知条件和学过的有关数学公式列出关系式. (2)把关系式转化为二次函数解析式. (3)结合实际意义,确定自变量的取值范围. (4)画出函数的简图,利ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数的简图和性质求出几何图形的最大面积 或最小面积.
大
=
.
关闭
h 4 .9 m
4������������-������2 最大= 4������
=
-9.82 =4.9(m). 4× (-4.9)
关闭
解析
答案
1
2
3
3.如图,在△ABC 中,∠B=90° ,AB=12 mm,BC=24 mm,动点 P 从点 A 开始沿 边 AB 向 B 以 2 mm/s 的速度移动(不与点 B 重合),动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向 C 以 4 mm/s 的速度移动(不与点 C 重合).如果 P,Q 分别从 A,B 同时出 发,那么经过 s,四边形 APQC 的面积最小.
22.3 实际问题与二次函数
课标要求
知识梳理
1.能利用二次函数求出实际问题中的最大(小)值,发展解决问题的能 力. 2.经历探索商品销售中的最大利润问题的过程,增强数学应用意识.
课标要求
知识梳理
1.二次函数 y=ax2+bx+c 的最值的求法
人教版九年级数学上册《实际问题与二次函数》课件(共13张PPT)
建 立 直 角 坐 标 系 。 则 ： B(0,1.5)
连 接 B 、 C ， 过 点 C 作 C E y轴 于 点 E 。
又 由 题 意 知 C B E = 4 5 ,B E = 2 米
A E = 3 .5 米 C E = B E = 2 米
顶 点 C 2 ,3 .5
设 抛 物 线 的 解 析 式 为 ： y = a ( x - 2 )2 + 3 . 5
B(0,1.5)在 抛 物 线 上
1.5 = a ( 0 - 2 )2 + 3 . 5
y
a=-
1 2
y=-
1 ( x - 2 )2 + 3 . 5 2
当 y = 0 时 ， 即 ： 0 = - 1 ( x - 2 )2 + 3 . 5 2
EC B
x1 7 2 , x2 7 2 0 (舍 ） A
y x
0
实际问题与二次函数（三）
y
x
o
课前预习
问题一：有一桥洞为抛物线形的拱桥，这个 桥洞的最大高度为16m，跨度40m，现在把它 的图形放在坐标系中，如图示，若跨度中心点 M左右5m处各垂直竖立一根铁柱支撑拱桥， 则铁柱有多高？
y
N
M o
P 40 x
解 ： 由谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
-2
B（2，-2）
-3
1米
D
课堂小结
㈠生活当中的拱桥、喷出的水柱、投篮时篮 球的运动路线等等都成抛物线形，因此我们 可以用二次函数的知识来解决此类相关问题。
㈡解决此类抛物线实际问题的一般步骤： ①建立适当的直角坐标系 。 ②求抛物线的解 析式 。 ③ 根据函数解析式和已知量求相关的量。
人教版数学九年级上册2实际问题与二次函数课件
小结
（1） 如何求二次函数的最小（大）值，
并利用其解决实际问题？
（2） 在解决问题的过程中应注意哪些问题？
你学到了哪些思考问题的方法？
22.3 实际问题与二次函数
拱桥问题
一 利用二次函数解决实物抛物线型问题
探究3： 如图是抛物线形拱桥，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,
水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面降落 1 m,问此时水
洞顶点O到水面的距离为8m.在图中直角坐标系内，涵洞所在抛物线的函
数关系式是___．
)
课堂小结
转化
实际问题
数学模型
（实物中的抛物线形问题）
拱 桥 问 题
回归
（二次函数的图象和性质）
建立恰当的
直角坐标系
转化的关键
•
能够将实际距离准确
的转化为点的坐标；
•
选择运算简便的方法.
谢 谢
。
4
2a
2. 求函数y＝ 2 2 + 2 − 3的最值。
解法一：a=2,b=2,c=-3,根据二次函数
的图像与性质，a>0,图像开口向上，有
最小值。由公式法可知：
4−2
=
4
=-3.5
解法二：函数可整理为
= 2 2 + 2 − 3 = 2 + 0.5
由此可得 =-3.5
Байду номын сангаас 课堂练习
1．某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8
m，两侧距地面4 m高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距
离为6 m，则校门的高度为(精确到0.1 m，水泥建筑物厚度忽略不计)(
22.3实际问题与二次函数 课件人教版数学九年级上册
【综合拓展类作业】
(2)设利润为w 当22≤x≤30 时 ，w=(x-20)(-x+70)=-x²+90x-1400=-(x45)²+625 ∵在22≤x≤30 范 围 内 ，w 随着x的增大而增大， ∴当x=30 时 ，w 取得最大值为400;
当30<x≤45 时 ，w=(x-20)(-2x+100)=-2x²+140x-2000=2(x-35)²+450 ∴当x=35 时 ，w 取得最大值为450 ∵450>400,
篱笆总长为900 m (篱笆的厚度忽略不计),当AB=_ 150 _m 时，矩形土
地ABCD 的面积最大.
B
F
C
【知识技能类作业】选做题：
3. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同，跨径也不 同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近 似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A, B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米(即AB=90 米), 以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物 线钢拱的函数表达式为( B )
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少? (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
解：1)S=x(24 -4x)=-4x²+24x(0<x<6)
2)当
时，
3)∵墙的可用长度为8米 ∴0<24 -4x ≤8 ∴4≤x<6 ∴当x=4cm时，S最大值=32平方米
有关抛物线形的实际问题的一般解题思路。 (1)建立适当的平面直角坐标系。 (2)根据题意找出已知点的坐标。 (3)求出抛物线解析式。 (4)直接利用图象解决实际问题。
人教版数学九年级上册：22.3《实际问题与二次函数》 PPT课件(共32页)
例3.如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下 底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条 横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬 道的宽为x米。
（1）用含x的式子表示横向甬道的面积； （2）当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽； （3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，如果修建甬道的总费 用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余 部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时， 所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？
两腰与下底的和为4 m，当水渠深x为_______时，横断面面积最 大，最大面积是____________。
【思路点拨】根据题目中给定的角度，求出两腰和下底之间的 关系式，进而列式转化为二次函数求解。
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
练习：如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120°， 两腰与下底的和为4 m，当水渠深x为_______时，横断面面积最 大，最大面积是____________。
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
活动1 基础性例题
例1.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙 长 25m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠 墙， 另三边用总长为 40 m 的栅栏围住 （如下图）。设绿化带 的BC 边长为 x m，绿化带的面积为y m²。 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围。 （2）当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
探究二：利用二次函数求几何最值的训练 练习：某窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形， 制造窗框的材料总长为15 m（图中所有线条长度之和），当x 等于多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积是多少？ （结果精确到0.01 m）
（1）用含x的式子表示横向甬道的面积； （2）当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽； （3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，如果修建甬道的总费 用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余 部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时， 所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？
两腰与下底的和为4 m，当水渠深x为_______时，横断面面积最 大，最大面积是____________。
【思路点拨】根据题目中给定的角度，求出两腰和下底之间的 关系式，进而列式转化为二次函数求解。
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
练习：如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120°， 两腰与下底的和为4 m，当水渠深x为_______时，横断面面积最 大，最大面积是____________。
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
活动1 基础性例题
例1.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙 长 25m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠 墙， 另三边用总长为 40 m 的栅栏围住 （如下图）。设绿化带 的BC 边长为 x m，绿化带的面积为y m²。 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围。 （2）当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
探究二：利用二次函数求几何最值的训练 练习：某窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形， 制造窗框的材料总长为15 m（图中所有线条长度之和），当x 等于多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积是多少？ （结果精确到0.01 m）
初中数学人教版九年级上册《2实际问题与二次函数》课件
(2) 设合作社每天获得的利润为w元，
则w=x(-0.5x+110)-20(-0.5x+ 110) =-0.5x2+120x-2 200=-0.5(x-120)2+5000，
因为60≤x≤150，
所以当x=120时，w取得最大值，此时w=5000，
故当房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元.
每涨价 1 元，每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，
已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？
降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元润（元）
销售量（件）
20
20-x
300
300+20x
建立函数关系式：y=(20-x)(300+20x)，
品买卖过程中，追求利润最大化是商家永恒的追求.如果你是商
场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
知识点1
某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，已知商品的进价
为每件 40 元，则每星期销售额是 18000 元，销售利润是 6000元.
数量关系
（1）销售额= 售价×销售量；
（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量；
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+100x+6000，
100
5时，y=-10×52+100×5+6000=6250.
当 x
2 (10)
即定价 65 元时，最大利润是 6250 元.
知识点1
例 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反应：
则w=x(-0.5x+110)-20(-0.5x+ 110) =-0.5x2+120x-2 200=-0.5(x-120)2+5000，
因为60≤x≤150，
所以当x=120时，w取得最大值，此时w=5000，
故当房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元.
每涨价 1 元，每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，
已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？
降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元润（元）
销售量（件）
20
20-x
300
300+20x
建立函数关系式：y=(20-x)(300+20x)，
品买卖过程中，追求利润最大化是商家永恒的追求.如果你是商
场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
知识点1
某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，已知商品的进价
为每件 40 元，则每星期销售额是 18000 元，销售利润是 6000元.
数量关系
（1）销售额= 售价×销售量；
（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量；
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+100x+6000，
100
5时，y=-10×52+100×5+6000=6250.
当 x
2 (10)
即定价 65 元时，最大利润是 6250 元.
知识点1
例 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反应：
人教版九年级上册课件 22.3 实际问题与二次函数 (共17张PPT)
建立二次函数的解析式。（建模） 把实际问题转换到二次函数的相关知 识上进行解决。（转化） 结合二次函数的图像解决相关的实际 问题（数形结合） 最优化
A题
假设篱笆（虚线）的长度为 40 米，两 面靠墙围成一个矩形，要求面积最大 ，如何围才能使矩形的面积最大？
B题
如图，在一面靠墙的空地上用长为40米的篱笆， 围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃 的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是 多少？ (3)若墙的最大可用长度为 8 米，则求围成花圃的 最大面积。
-5
O
5
10 15 20 25 30 35 40
x
X=16
方法二： ∵ 0＜x≤16＜20 ∴y随x的增大而增大 ∴当x=16时y最大，最大值为192。
解:(1)当AB=xm时，则BC=(40-2x)m ∴y=x(40-2x) Y=192 y =-2(x-10)² +200 x的取值范围是12 ≤ x ＜ 20 250 方法一：根据函数的图像 我们可以知道，当x=12时 y最大，最大值为192。
解： (1) ∵ AB为x米、∴ 花圃宽BC为
（40－4x）米
∴ S＝x（40－4x） ＝－4x2＋40 x （0<x<10）
A B
D C
4ac b 2 b (2)当x＝ 2a 5 时，S最大值＝ 4a ＝100（平方米）
(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ 0<40－4x ≤8 8≤x<10 ∴当x＝8cm时，S最大值＝64平方米
总结
1.分析题目中的变量。
人教版数学九年级上册2实际问题与二次函数课件(共20页)
分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来
确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星期少卖 件，实际卖出
件,销额为
元，买进商品需付
元因此，所得利润为
元
10x
(300-10x)
(60+x)(300-10x)
40(300-10x)
巩固训练、拓展思维
某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成，为了坚固起见，每段护 栏中需要间距4dm加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部5dm（如图），则这 条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）A、50m B、100m C、160m D、200m
某商品现在的售价为每件60元， 每星期可卖出300件，市场调查反 应：每涨价1元，每星期少卖出10 件；每降价1元，每星期可多卖出 18件，已知商品的进价为每件40 元，如何定价才能使利润最大？
22.3 实际问题Байду номын сангаас二次函数
前置作业
问题1.对于二次函数 y ax2 bx c ,如
何求出它的最值呢？
y
x b 2a
x b
y
2a
O
x
O
x
如果a>0,当 x= b 时， 如果a<0,当 x= b 时，
2a
2a
y有最小值 4ac b2
y有最大值 4ac b2
4a
4a
前置作业
问题2. 求出下列二次函数的最值。
y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)
即 y 10 x2 100 x 6000 (0≤X≤30)
y 10 x2 100 x 6000 (0≤X≤30)
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来
确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星期少卖 件，实际卖出
件,销额为
元，买进商品需付
元因此，所得利润为
元
10x
(300-10x)
(60+x)(300-10x)
40(300-10x)
巩固训练、拓展思维
某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成，为了坚固起见，每段护 栏中需要间距4dm加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部5dm（如图），则这 条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）A、50m B、100m C、160m D、200m
某商品现在的售价为每件60元， 每星期可卖出300件，市场调查反 应：每涨价1元，每星期少卖出10 件；每降价1元，每星期可多卖出 18件，已知商品的进价为每件40 元，如何定价才能使利润最大？
22.3 实际问题Байду номын сангаас二次函数
前置作业
问题1.对于二次函数 y ax2 bx c ,如
何求出它的最值呢？
y
x b 2a
x b
y
2a
O
x
O
x
如果a>0,当 x= b 时， 如果a<0,当 x= b 时，
2a
2a
y有最小值 4ac b2
y有最大值 4ac b2
4a
4a
前置作业
问题2. 求出下列二次函数的最值。
y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)
即 y 10 x2 100 x 6000 (0≤X≤30)
y 10 x2 100 x 6000 (0≤X≤30)
《实际问题与二次函数》课件 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
化带一边靠墙， 另三边用总长为 40 m 的栅栏围住 （如
下图）．设绿化带的 AB 边长为 x m，绿化带的面积为 y
m 2．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系 式，并写出自变量 x 的取值范围.
BA
（2）当 x 为何值时，满足条件 的绿化带的面积最大？
25 m
CD
• 分析：与墙垂直的边AB,DC长是x米，与墙平行的边BC长是
九年级 上册
22.3 实际问题与二次函数 （第1课时）
• 学习目标： 能够表示实际问题中变量之间的二次函数关系，
会运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大值 （或最小值）．
• 学习重点： 探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实
际问题的方法．
1．复习旧知 ，引出问题
1、二次函数的一般形式是什么？并说出它的开 口方向、对称轴、顶点坐标。
CD
• 分析：与墙垂直的边AB,DC长是x米，与墙平行的边BC长是
（40-2x）米，所以矩形面积是：y=x（ 40-2x ）
• 解：矩形面积是：
•
y=x（ 40-2x ）
B
•
y=-2x2+40x （12 ≤ x ＜20）
•
•
x
b 2a
= 10 ＜12
C
A 16 m
D
• ∵ a=-2 ＜0 ∴ 当 x＞10时，y随x 的增大而减小， 当x=12时， y有最大值： y=-2×122+40×12=192
整理后得 S l2 30l （0＜l＜30）．
∴
当
l
b 2a
2
（301）
15
时，
S 有最大值为
4ac b2 2．25 4a