高中数学必修一 第五章 三角函数 单元测试 (5)(含答案解析)
高中数学必修一 第五章 三角函数 单元测试 (5)一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知角α是第二象限的角，则cosα的值一定( )A. 小于零B. 大于零C. 等于零D. 不确定2. 已知cos2αsinα+cosα=√24，则cos2(34π+α)的值是( )A. 78B. −78C. 47D. −473. 已知函数f(x)=√3sinx +cosx ，把函数f(x)的图象向右平移π3个单位，再把所得图象上所有的点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，关于函数g(x)，有下列四个结论：①g(x)的最小正周期为π ②g(x)的图象关于直线x =π6对称 ③g(x)在[π3,5π6]上单调递减④g(x)在[0,π]有3个零点 则其中正确结论的序号是( )A. ①②③B. ②④C. ③④D. ①③4. 已知函数f(x)=4sin ωx 2⋅cosωx 2(ω>0)在区间[−π2,2π3]上是增函数，且在区间[0,π]上恰好取得一次最大值为2，则ω的取值范围是( )A. (0,1]B. (0,34]C. [1,+∞)D. [12,34]5. 化简sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β−12cos2αcos2β=( )A. 12B. √2−1C. 14D. 2√2−16. 将函数f(x)=√3sin2x −cos2x 的图象向左平移a(a >0)个单位后，得到函数g(x)的图象若函数g(x)的图象关于直线x =π24对称，则实数a 的最小值为( )A. 5π24B. 7π24C. 5π12D. 7π127. 已知sin(π3+α)+sinα=4√35，则cos(α+2π3)的值是( )A. −2√35B. 2√35C. −45 D. 458.将函数y=sinx的图象向左平移π6个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)(纵坐标不变)，得到函数y=f(x)的图象．若函数y=f(x)在区间[0,π2]上有且仅有两个零点，则ω的取值范围为()A. (113,173] B. (1,73] C. [113,173) D. [1,73)二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）9.已知sinα+cosα=75，且tanα>1，则sinα的值为______．10.比较大小：tan45°______tan31°(填“>”或“<”)．11.函数y=sin(x+π6)的单调递增区间为______．12.y=2cos(2x−π3)+1的最大值为______．13.已知tanα=2，则sin2αcos2α=______．14.sin13π3=______．15.如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=π12对称，那么该函数在x∈[0,π2]上的最小值为______．16.若关于x的方程√3cos2x+sin2x−a=0在(0,π)内有两相异实根α，β，则α+β=______．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）17.已知函数f(x)=sin(π3+4x)+cos(4x−π6).(1)求f(x)的单调增区间；(2)求f(x)的图象的对称中心与对称轴．18.已知sinα=513，α为第二象限角．(1)求cosα的值；(2)求tan(α+π4)的值．19.设函数f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx，(ω>0)的最小正周期为2π．(1)求ω的值；(2)求f(x)的单调减区间；(3)求f(x)在区间[−π12,π3]上的值域．20.已知函数f(x)=2cos2x2−√3sinx−1．(1)求函数f(x)的最小正周期和值域．(2)若α为第二象限角，且f(α−π3)=−65，求cos2α1+cos2α−sin2α的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：设角α对应的点的坐标为(x,y)，则x<0，y>0，由余弦的定义可知，cosα=√x2+y2<0，故选：A．根据余弦的定义即可得解．本题考查三角函数值的符号判断，属于基础题．2.答案：A解析：解：∵cos2αsinα+cosα=(cosα+sinα)(cosα−sinα)sinα+cosα=cosα−sinα=√24，∴两边平方，可得1−sin2α=18，可得sin2α=78，∴cos2(34π+α)=cos(3π2+2α)=sin2α=78．故选：A．利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式可得cosα−sinα=√24，两边平方利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式可求sin2α的值，进而根据诱导公式化简所求即可计算得解．本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．3.答案：D解析：解：函数f(x)=√3sinx+cosx=2sin(x+π6)，把函数f(x)的图象向右平移π3个单位，得到ℎ(x)=2sin(x−π3+π6)=2sin(x−π6)，再把所得图象上所有的点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，得到函数g(x)=2sin(2x−π6)的图象．所以函数的最小正周期为T=2π2=π.故①正确当x=π6时，2×π6−π6=π6，所以sinπ6=12≠1，故②错误．由于x∈[π3,5π6]，所以2x−π6∈[π2,3π2]，所以函数g(x)在[π3,5π6]上单调递减，故③正确．当x=π12，7π12，时，g(x)在[0,π]有2个零点，故④错误．故选：D．首先利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出函数g(x)的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．4.答案：D解析：解：函数f(x)=4sinωx2⋅cosωx2=2sinωx．则函数f(x)在[−π2ω,π2ω]上是含原点的单调增区间．由于函数f(x)在区间[−π2,2π3]上是增函数，所以：[−π2ω,π2ω]⊇[−π2,2π3]．得到{−π2ω≤−π22π3≤π2ω，解得0<ω≤34．由于函数在区间[0,π]上恰好取得一次最大值为2，所以ωx=2kπ+π2(k∈Z)，即函数在x=2kπω+π2ω处取得最大值，可得：0≤π2ω≤π，所以ω≥12．综上所述ω∈[12,34 ]．故选：D．首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的关系式子集间的关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，子集间的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5.答案：A解析：解：∵cos2αcos2β=(cos2α−sin2α)(cos2β−sin2β)=cos2αcos2β−cos2αsin2β−sin2αcos2β+sin2αsin2β，∴sin2αsin2β+cos2αcos2β−12cos2αcos2β=−12(cos2αcos2β−cos2αsin2β−sin2αcos2β+sin2αsin2β)+sin2α⋅sin2β+cos2α⋅cos2β=12(cos2α⋅cos2β+sin2α⋅sin2β+cos2αsin2β+sin2αcos2β)=12(cos2α⋅cos2β+cos2αsin2β)+12(sin2α⋅sin2β+sin2αcos2β)=12cos2α+12sin2α=12．故选：A．由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简所给的式子，即可求得结果．本题主要考查了同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用问题，是中档题．6.答案：B解析：解：函数f(x)=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，函数的图象向左平移a个单位，得到g(x)=2sin(2x+2a−π6)的图象关于直线x=π24对称．即g(π24)=±2，所以π24×2+2a−π6=kπ+π2，(k∈Z)，解得a=12kπ+7π24，(k∈Z)，因为a>0，所以，当k=0时，a取得最小值为7π24．故选：B．首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数y= Asin(ωx+φ)的图象变换可求g(x)，根据正弦型函数的性质即可求出a的最小值，本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，正弦型函数的性质的应用，属于基础题．7.答案：C解析：解：∵sin(α+π3)+sinα=12sinα+√32cosα+sinα=√3sin(α+π6)=4√35，∴sin(α+π6)=45，则cos(α+2π3)=−cos(α−π3)=−cos(π3−α)=−sin(α+π6)=−45，故选：C．由题意利用两角和差的三角函数求得sin(α+π6)=45，再利用诱导公式求得cos(α+2π3)的值．本题主要考查两角和差的三角函数、诱导公式，属于中档题．8.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的零点，属于中档题．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求出f(x)的解析式，再根据正弦函数的零点，求得ω的取值范围． 【解答】解：将函数y =sinx 的图象向左平移π6个单位长度，可得y =sin(x +π6)的图象， 再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)(纵坐标不变)， 得到函数y =f(x)=sin(ωx +π6)的图象． 若函数y =f(x)在区间[0,π2]上有且仅有两个零点， 则2π≤ω⋅π2+π6<3π，即113≤ω<173，故选：C ．9.答案：45解析：解：∵sinα+cosα=75>0， ∴两边平方，可得1+2sinαcosα=4925，∴sinαcosα=sinαcosαsin 2α+cos 2α=tanα1+tan 2α=1225，可得12tan 2α−25tanα+12=0， ∵tanα>1，可得α为第一象限角， ∴解得tanα=43，可得cosα=34sinα， 又sin 2α+cos 2α=1， 解得sinα=45． 故答案为：45．将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式化简可得12tan 2α−25tanα+12=0，结合已知解方程可得tanα=43，进而根据同角三角函数基本关系式可求sinα的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，考查了方程思想的应用，属于基础题． 10.答案：>解析：解：因为0<31°<45°<90°，且正切函数y =tanx 在(0,90°)上单调递增， 所以tan45°>tan31°． 故答案为：>．根据正切函数y =tanx 在(0,90°)上单调递增即可得解． 本题考查正切值的大小比较，熟练掌握正切函数的单调性是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．11.答案：[2kπ−2π3,2kπ+π3]k∈Z解析：解：令−π2+2kπ≤x+π6≤π2+2kπ可得，−2π3+2kπ≤x≤π3+2kπ，k∈Z，故函数的单调递增区间[2kπ−2π3,2kπ+π3]，k∈Z．故答案为：[2kπ−2π3,2kπ+π3]，k∈Z．结合正弦函数的单调性即可直接求解．本题主要考查了正弦函数单调性的应用，属于基础试题．12.答案：3解析：解：当2x−π3=2kπ，整理得x=kπ+π6(k∈Z)时，y max=2+1=3．故答案为：3．直接利用余弦函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13.答案：−43解析：解：由于tanα=2，所以：sin2αcos2α=2sinαcosαcos2α−sin2α=2tanα1−tan2α=−43．故答案为：−43．直接利用三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14.答案：√32解析：解：sin13π3=sinπ3=√32，故答案为：√32．由题意利用诱导公式求得式子的值．本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．15.答案：−√3解析：解：当x=π12时，f(π12)=12+√3a2=±√1+a2，整理得：a=√3，所以函数f(x)=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3).当x∈[0,π2]，所以2x+π3∈[π3,4π3]，则：sin(2x+π3)∈[−√32,1]，当2x+π3=4π3时，即x=π2时，函数的最小值为2×(−√32)=−√3．故答案为：−√3．首先利用函数的对称性求出a的值，进一步利用关系式的变换的应用求出正弦型函数，进一步求出函数的最值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．16.答案：π6，或7π6解析：解：∵关于x的方程√3cos2x+sin2x−a=0，即2(√32cos2x+12sin2x)=a，即sin(2x+π3)=a2．由于方程在(0,π)内有两相异实根α，β，∴sin(2α+π3)=a2，sin(2β+π3)=a2．∴2α+π3+2β+π3=2×π2，或2α+π3+2β+π3=2×3π2，∴α+β=π6，或7π6，故答案为：π6，或7π6．由题意，方程sin(2x+π3)=a2在(0,π)内有两相异实根α，β，可得2α+π3+2β+π3=2×π2，由此求得结果．本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的图象和性质，属于中档题．17.答案：解：(1)f(x)=sin(π3+4x)+cos(4x−π6)=sin(4x+π3)+sin(4x+π3)=2sin(4x+π3)，令−π2+2kπ≤4x+π3≤π2+2k，则解得单调增区间为[−5π24+kπ2,π24+kπ2],k∈Z．(2)令4x+3π=kπ，可得x=−π12+kπ4，所以对称中心(−π12+kπ4,0)，令4x+π3=π2+kπ,可得：x=π24+kπ4，所以对称轴为x=π24+kπ4,k∈z．解析：(1)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为f(x)=2sin(4x+π3)，利用正弦函数的图象和性质即可求解其单调增区间．(2)令4x+3π=kπ，可得x=−π12+kπ4，可求其对称中心，令4x+π3=π2+kπ,x=π24+kπ4，可求其对称轴．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．18.答案：解：因为sinα=513，α为第二象限角；∴(1)cosα=−√1−sin2α=−1213．(2)由(1)知tanα=sinαcosα=−512，∴tan(α+π4)=1+tanα1−tanα=717．解析：(1)根据sin2α+cos2α=1以及a是第二象限角就可以求出cosα；(2)然后根据tanα=sinαcosα求出tanα的值；进而利用两角和的正切求出结论．本题考查了同角三角函数的基本关系以及两角和的正切，对sin2α+cos2α=1的灵活运用是解题的关键，属于基础题．19.答案：解：(1)∵函数f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx=1+sin2ωx+cos2ωx+1=√2sin(2ωx+π4)+2(ω>0)的最小正周期为2π2ω=2π，∴ω=12，f(x)=√2sin(x+π4).(2)令2kπ+π2≤x+π4≤2kπ+3π2，求得2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4，可得函数f(x)的减区间为[2kπ+π4,2kπ+5π4]，k∈Z．(3)在区间[−π12,π3]上，x+π4∈[π6,7π12]，故当x+π4=π6时，函数f(x)取得最小值为√2sinπ6=√22；当12x+π4=π2时，函数f(x)取得最大值为√2sinπ2=√2，故函数f(x)的值域为[√22,√2].解析：(1)由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得ω，可得函数的解析式．(2)由题意利用正弦函数的单调性，求出它的减区间．第11页，共11页 (3)由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得结果．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，定义域和值域，属于中档题． 20.答案：解：(1)函数f(x)=2cos 2x 2−√3sinx −1=cosx −√3sinx =2cos(x +π3)的最小正周期为2π1=2π，它的值域为[−2,2]．(2)若α为第二象限角，且f(α−π3)=−65=2cos(α−π3+π3)，∴cosα=−35，sinα=√1−cos 2α=45， 则cos2α1+cos2α−sin2α=2cos 2α−12cos 2α−2sinαcosα=−7251825+2425=−16．解析：(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式，可得它的周期和值域．(2)由题意求出cosα和sinα的值，再利用二倍角公式，求得cos2α1+cos2α−sin2α的值．本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，二倍角公式的应用，属于基础题．。
高中数学必修一第五章三角函数必须掌握的典型题(带答案)
高中数学必修一第五章三角函数必须掌握的典型题单选题1、若函数f(x)=sinωx (ω>0)，在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减，则ω=（ ）． A ．1B ．32C ．2D ．3答案：B分析：根据f (π3)=1以及周期性求得ω.依题意函数f(x)=sinωx (ω>0)，在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减， 则{f (π3)=sin π3ω=1T 2=πω≥π3， 即{π3ω=2kπ+π2,k ∈Z 0<ω≤3 ，解得ω=32.故选：B2、设函数f(x)=2sin (ωx +φ)−1(ω>0)，若对于任意实数φ，f(x)在区间[π4,3π4]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．[83,163)B ．[4,163)C ．[4,203)D ．[83,203) 答案：B分析：t =ωx +φ，只需要研究sint =12的根的情况，借助于y =sint 和y =12的图像，根据交点情况，列不等式组，解出ω的取值范围. 令f(x)=0，则sin (ωx +φ)=12 令t =ωx +φ，则sint =12则问题转化为y =sint 在区间[π4ω+φ,3π4ω+φ]上至少有两个，至少有三个t ，使得sint =12，求ω的取值范围.作出y =sint 和y =12的图像，观察交点个数，可知使得sint =12的最短区间长度为2π，最长长度为2π+23π， 由题意列不等式的：2π≤(3π4ω+φ)−(π4ω+φ)<2π+23π 解得：4≤ω<163.故选：B小提示：研究y =Asin (ωx +φ)+B 的性质通常用换元法（令t =ωx +φ），转化为研究y =sint 的图像和性质较为方便.3、cos 2π12−cos 25π12=（ ） A ．12B ．√33C ．√22D ．√32 答案：D分析：由题意结合诱导公式可得cos 2π12−cos 25π12=cos 2π12−sin 2π12，再由二倍角公式即可得解. 由题意，cos 2π12−cos 25π12=cos 2π12−cos 2(π2−π12)=cos 2π12−sin 2π12=cos π6=√32. 故选：D.4、已知α ∈(0,π)，且3cos 2α−8cos α=5，则sin α=（ ） A ．√53B ．23 C ．13D ．√59 答案：A分析：用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cosα的一元二次方程，求解得出cosα，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.3cos2α−8cosα=5，得6cos 2α−8cosα−8=0，即3cos 2α−4cosα−4=0，解得cosα=−23或cosα=2（舍去），又∵α∈(0,π),∴sinα=√1−cos 2α=√53. 故选：A.小提示：本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.5、已知f (x )=2√3sinwxcoswx +2cos 2wx ，（w >0），若函数在区间(π2,π)内不存在对称轴，则w 的范围为（ ）A ．(0,16]∪[13,34]B ．(0,13]∪[23,34] C ．(0,16]∪[13,23]D ．(0,13]∪[23,56]答案：C分析：先通过三角恒等变换将f (x )化简成正弦型函数，再结合正弦函数性质求解即可． 函数化简得f (x )=√3sin2wx +cos2wx +1=2sin (2wx +π6)+1， 由2wx +π6=kπ+π2(k ∈Z )，可得函数的对称轴为x =kπ+π32w(k ∈Z )， 由题意知，kπ+π32w≤π2且(k+1)π+π32w≥π，即k +13≤w ≤3k+46，k ∈Z ，若使该不等式组有解， 则需满足k +13≤3k+46，即k ≤23，又w >0，故0≤3k+46，即k >−43，所以−43<k ≤23，又k ∈Z ，所以k =0或k =1，所以w ∈(0,16]∪[13,23]．6、将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以A 、B 、C 为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（ ） （1）曲线Γ不是等宽曲线；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长； （3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB 的长； （4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等； （5）若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案：B分析：若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12，根据定义逐项判断即可得出结论. 若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12， （1）根据定义，可以得曲线Γ是等宽曲线，错误； （2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长，正确； （3）根据（2）得（3）错误；（4）曲线Γ的周长为3×16×2π=π，圆的周长为2π×12=π，故它们的周长相等，正确； （5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为π×126=π6，正三角形的面积S =12×1×1×√32=√34， 则一个弓形面积S =π6−√34， 则整个区域的面积为3(π6−√34)+√34=π2−√32， 而圆的面积为π(12)2=π4，不相等，故错误；综上，正确的有2个， 故选：B.小提示：本题主要考查新定义，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解题的关键．7、已知函数f(x)=2sin (x +π4)+m 在区间(0,π)上有零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(−√2,√2)B ．(−√2,2]C ．[−2,√2]D ．[−2,√2) 答案：D分析：令f(x)=0，则2sin (x +π4)=−m ，令g (x )=2sin (x +π4)，根据x 的取值范围求出g (x )的值域，依题意y =g (x )与y =−m 在(0,π)上有交点，即可求出参数的取值范围； 解：令f(x)=0，即2sin (x +π4)=−m ，令g (x )=2sin (x +π4)， 因为x ∈(0,π)，所以x +π4∈(π4,5π4)，所以sin (x +π4)∈(−√22,1]，即g (x )∈(−√2,2]，依题意y =g (x )与y =−m 在(0,π)上有交点，则−√2<−m ≤2，所以−2≤m <√2，即m ∈[−2,√2)； 故选：D8、已知函数f(x)=sin2x +√3cos2x 的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数g(x)的图象，且g(x)的图象关于y 轴对称，则|φ|的最小值为（ ） A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π12 答案：A分析：首先将函数f (x )化简为“一角一函数”的形式，根据三角函数图象的平移变换求出函数g(x)的解析式，然后利用函数图象的对称性建立φ的关系式，求其最小值． f(x)=sin2x +√3cos2x =2sin (2x +π3)，所以g(x)=f(x +φ)=2sin [2(x +φ)+π3] =2sin (2x +2φ+π3)，由题意可得，g(x)为偶函数，所以2φ+π3=kπ+π2(k ∈Z)， 解得φ=kπ2+π12(k ∈Z)，又φ>0，所以φ的最小值为π12．故选：A. 多选题9、若函数f (x )=√2sinxcosx +√2cos 2x −√22，则下列说法正确的是（ ） A ．函数y =f (x )的图象可由函数y =sin2x 的图象向右平移π4个单位长度得到 B ．函数y =f (x )的图象关于直线x =−3π8对称 C ．函数y =f (x )的图象关于点(−3π8,0)对称D ．函数y =x +f (x )在(0,π8)上为增函数 答案：BD分析：由三角函数的恒等变换化简f (x )=sin (2x +π4)，再由三角函数的平移变换可判断A ；求出f (−3π8)=−1可判断B 、C ；先判断y =f (x )在(0,π8)上为增函数，即可判断y =x +f (x )在(0,π8)的单调性.由题意，f (x )=√2sinxcosx +√2cos 2x −√22=√22sin2x +√22cos2x =sin (2x +π4)．函数y =sin2x 的图象向右平移π4个单位长度可得到f (x )=sin2(x −π4)=sin (2x −π2)=−cos2x ，故A 错误；f (−3π8)=sin [2×(−3π8)+π4]=−1，所以函数y =f (x )的图象关于直线x =−3π8对称，故B 正确，C 错误； 函数y =x 在(0,π8)上为增函数，x ∈(0,π8)时，2x +π4∈(π4,π2)，故函数f (x )在(0,π8)上单调递增，所以函数y =x +f (x )在(0,π8)上为增函数，故D 正确． 故选：BD ．10、已知函数f (x )=sinxcosx −cos 2x ，则（ ） A ．函数f (x )在区间(0,π8)上为增函数B ．直线x =3π8是函数f (x )图像的一条对称轴C ．函数f (x )的图像可由函数y =√22sin2x 的图像向右平移π8个单位得到 D ．对任意x ∈R ，恒有f (π4+x)+f (−x )=−1 答案：ABD解析：首先利用二倍角的正弦与余弦公式可得f (x )=√22sin (2x −π4)−12，根据正弦函数的单调递增区间可判断A ；根据正弦函数的对称轴可判断B ；根据三角函数图像的平移变换的原则可判断C ；代入利用诱导公式可判断D. f (x )=12sin2x −1+cos2x2=√22sin (2x −π4)−12.当x ∈(0,π8)时，2x −π4∈(−π4,0)，函数f (x )为增函数，故A 中说法正确；令2x −π4=π2+kπ，k ∈Z ，得x =3π8+kπ2，k ∈Z ，显然直线x =3π8是函数f (x )图像的一条对称轴，故B 中说法正确；函数y =√22⋅sin2x 的图像向右平移π8个单位得到函数y =√22⋅sin [2(x −π8)]=√22sin (2x −π4)的图像，故C 中说法错误； f (π4+x)+f(−x)=√22sin (2x +π4)−12+√22sin (−2x −π4) −12=√22sin (2x +π4)−√22sin (2x +π4)−1=−1，故D 中说法正确. 故选：ABD.小提示：本题是一道三角函数的综合题，考查了二倍角公式以及三角函数的性质、图像变换，熟记公式是关键，属于基础题.11、若角α的终边在直线y =−2x 上，则sinα的可能取值为（ ） A ．√55B ．−√55C ．2√55D ．−2√55答案：CD分析：利用三角函数的定义，分情况讨论sinα的可能取值. 设角α的终边y =−2x 上一点(a,−2a )， 当a >0时，则r =√5a ，此时sinα=y r=−2√55， 当a <0时，则r =−√5a ，此时sinα=y r=2√55， 故选：CD 填空题12、若cos 2θ=14，则sin 2θ+2cos 2θ的值为____. 答案：138##158分析：利用二倍角公式后，代入求解.∵cos2θ=14，∴sin2θ+2cos2θ=1−cos2θ2+1+cos2θ=32+12cos2θ=32+12×14=138．所以答案是：138.13、求值：sin10°−√3cos10°cos40°=____________．答案：−2分析：应用辅助角公式及诱导公式化简求值即可.sin10°−√3cos10°cos40°=2(12sin10°−√32cos10°)cos40°=2sin(10°−60°)cos40°=−2sin50°cos40°=−2．所以答案是：−214、函数f(x)=sinx−√3cosx的严格增区间为________．答案：[2kπ−π6,2kπ+5π6],k∈Z分析：利用辅助角公式将f(x)化为f(x)=2sin(x+π3)，然后由三角函数单调区间的求法，求得函数f(x)的单调区间.依题意f(x)=sinx−√3cosx=2sin(x−π3)，由2kπ−π2≤x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得2kπ−π6≤x≤2kπ+5π6，k∈Z，所以f(x)单调递增区间为[2kπ−π6,2kπ+π6](k∈Z).所以答案是：[2kπ−π6,2kπ+5π6](k∈Z)解答题15、设函数f(x)=sinx+cosx(x∈R).（1）求函数y=[f(x+π2)]2的最小正周期；（2）求函数y=f(x)f(x−π4)在[0,π2]上的最大值.答案：（1）π；（2）1+√22.分析：（1）由题意结合三角恒等变换可得y=1−sin2x，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得y=sin(2x−π4)+√22，再由三角函数的图象与性质即可得解.（1）由辅助角公式得f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，则y=[f(x+π2)]2=[√2sin(x+3π4)]2=2sin2(x+3π4)=1−cos(2x+3π2)=1−sin2x，所以该函数的最小正周期T=2π2=π;（2）由题意，y=f(x)f(x−π4)=√2sin(x+π4)⋅√2sinx=2sin(x+π4)sinx=2sinx⋅(√22sinx+√22cosx)=√2sin2x+√2sinxcosx=√2⋅1−cos2x2+√22sin2x=√22sin2x−√22cos2x+√22=sin(2x−π4)+√22，由x∈[0,π2]可得2x−π4∈[−π4,3π4]，所以当2x−π4=π2即x=3π8时，函数取最大值1+√22.。
2022高中数学第五章三角函数5
第五章 5.2.2A 组·素养自测一、选择题1．α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于( B ) A ．513B ．－513C ．512D ．－512[解析] ∵α是第四象限角，∴sin α<0. ∵⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝1213，sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin α＝－513.2．化简1－cos 2220°的结果为( D ) A ．sin220° B ．cos220° C ．－cos220° D ．－sin220°[解析] 1－cos 2220°＝|sin220°|，又220°为第三象限角，所以sin220°<0，故1－cos 2220°＝－sin220°.3．已知1＋sin x cos x ＝－12，则cos x sin x －1＝( A )A ．12B ．－12C ．2D ．－2[解析] 由sin 2x ＋cos 2x ＝1得cos 2x ＝1－sin 2x ，得cos 2x ＝(1－sin x )(1＋sin x )，得1＋sin xcos x＝cos x1－sin x ，所以cos x sin x －1＝－cos x1－sin x＝－⎝⎛⎭⎫－12＝12.故选A ． 4．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( B )A ．3B ．－3C ．1D ．－1[解析] ∵α为第三象限角，∴cos α<0，sin α<0，∴原式＝－cos αcos α－2sin αsin α＝－3.5．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，那么这个三角形的形状为( B )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形[解析] (sin α＋cos α)2＝49，∴2sin αcos α＝－59<0，又∵α∈(0，π)，sin α>0.∴cos α<0，∴α为钝角．6．已知sin α－3cos α＝0，则sin 2α＋sin αcos α值为( B ) A ．95B ．65C ．3D ．4[解析] 由sin α－3cos α＝0，∴tan α＝3， 又sin 2α＋sin αcos α＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α1＋tan 2α＝1210＝65.二、填空题7．在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则∠A ＝60°.[解析] ∵2sin 2A ＝3cos A ，∴2(1－cos 2A )＝3cos A ，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，∴cos A ＝12，cos A ＝－2(舍去)，∴A ＝60°.8．已知tan α＝cos α，那么sin α2[解析] 由于tan α＝sin αcos α＝cos α，则sin α＝cos 2α，所以sin α＝1－sin 2α，解得sin α＝－1±52.又sin α＝cos 2α≥0，所以sin α＝－1＋52.9．若2sin α＋cos α3sin α－2cos α＝1，则tan α的值为3.[解析] 2sin α＋cos α3sin α－2cos α＝1化为2tan α＋13tan α－2＝1，所以2tan α＋1＝3tan α－2，所以tan α＝3. 三、解答题10．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α(1＋1tan α)＝1sin α＋1cos α.[证明] 左边＝sin α(1＋sin αcos α)＋cos α(1＋cos αsin α)＝sin α＋sin 2αcos α＋cos α＋cos 2αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin α＋sin 2α＋cos 2αcos α＝1sin α＋1cos α＝右边．即原等式成立．11．(2021·黑龙江大庆高一月考)(1)已知0<x <π，sin x ＋cos x ＝15，求tan x 的值；(2)已知tan x ＝2，求sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的值． [解析] (1)由sin x ＋cos x ＝15，①两边平方，得1＋2sin x cos x ＝125，则sin x cos x ＝－1225. ∵0<x <π，∴π2<x <π，∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝1＋2×1225＝4925，∴sin x －cos x ＝75.②由①②解得⎩⎨⎧sin x ＝45，cos x ＝－35，∴tan x ＝－43.(2)由tan x ＝2，得sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x sin 2x ＋cos 2x＝tan 2x ＋2tan x ＋3tan 2x ＋1＝22＋2×2＋322＋1＝115.B 组·素养提升一、选择题1．若π<α<3π2，1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α的化简结果为( D )A ．2tan αB ．－2tan αC ．2sin αD ．－2sin α[解析] 原式＝(1－cos α)21－cos 2α＋(1＋cos α)21－cos 2α＝1－cos α|sin α|＋1＋cos α|sin α|＝2|sin α|， ∵π<α<3π2，∴原式＝－2sin α.2．若sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θ·cos θ＝( D )A ．－417B ．45C ．±417D ．417[解析] 由sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝2，得tan θ＝4，sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝417.3．(多选题)下列计算或化简结果正确的是( AB ) A ．2tan αcos αsin α＝2B ．若sin θ·cos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ＝2C ．若tan x ＝12，则2sin xcos x －sin x ＝1D ．若sin α＝255，则tan α＝2[解析] A 正确，2tan αcos αsin α＝2sin αcos α·cos αsin α＝2；B 正确，tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θcos θ＝2；C 不正确，2sin x cos x －sin x ＝2tan x1－tan x ＝2×121－12＝2；D 不正确，∵α范围不确定，∴tan α的符号不确定．4．(多选题)若α是第二象限的角，则下列各式中成立的是( BC ) A ．tan α＝－sin αcos αB ．1－2sin αcos α＝sin α－cos αC ．cos α＝－1－sin 2αD ．1＋2sin αcos α＝sin α＋cos α[解析] 由同角三角函数的基本关系式，知tan α＝sin αcos α，所以A 错；因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0，sin α＋cos α的符号不确定，所以1－2sin αcos α＝(sin α－cos α)2＝sin α－cos α，所以B ，C 正确，D 错． 二、填空题5．已知sin α－cos α＝2(0<α<π)，则sin α2tan α＝－1. [解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，sin α>0，解得sin α＝22，cos α＝－22，则tan α＝sin αcos α＝－1. 6．已知cos θ＝13，则sin θ(tan θ＋1tan θ)的值为3.[解析] 原式可化为sin θ(sin θcos θ＋cos θsin θ)＝sin θsin 2θ＋cos 2θsin θ·cos θ＝sin θ1sin θ·cos θ＝1cos θ＝3. 7．在△ABC 中，若tan A ＝23，则sin A 11[解析] 因为tan A ＝23>0，则∠A 是锐角，则sin A >0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin 2A ＋cos 2A ＝1，sin A cos A ＝23，得sin A ＝2211. 三、解答题8．(1)化简：tan α1sin 2α－1(其中α为第二象限角)； (2)求证：sin α1－cos α·cos α·tan α1＋cos α＝1.[解析] (1)解：因为α是第二象限角， 所以sin α>0，cos α<0.原式＝tan α1sin 2α－1＝tan α1－sin 2αsin 2α＝tan αcos 2αsin 2α＝sin αcos α·|cos αsin α|＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1. (2)证明：sin α1－cos α·cos α·tan α1＋cos α＝sin α1－cos α·cos α·sin αcos α1＋cos α＝sin α1－cos α·sin α1＋cos α＝sin 2α1－cos 2α＝sin 2αsin 2α＝1. 9．已知方程8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个实根是sin θ和cos θ. (1)求k 的值； (2)求tan θ＋1tan θ的值．[解析] (1)已知方程有两个实根sin θ，cos θ，应满足如下条件：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝36k 2－32(2k ＋1)≥0，①sin θ＋cos θ＝－34k ，②sin θ·cos θ＝2k ＋18.③∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，即(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1，④ ∴将②③代入④，得9k 216－2k ＋14＝1，即9k 2－8k －20＝0，解得k ＝－109或k ＝2(舍去)．∴k ＝－109.(2)tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θ·cos θ，由(1)知sin θ·cos θ＝2k ＋18＝－1172，∴tan θ＋1tan θ＝1sin θ·cos θ＝－7211.。
高中数学 章末综合测评(五)三角函数(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题
章末综合测评(五) 三角函数(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合M ＝{x |x ＝45°＋k ·90°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝90°＋k ·45°，k ∈Z }，则( ) A ．M ＝N B ．M N C ．M ND ．M ∩N ＝∅C [M ＝{x |x ＝45°＋k ·90°，k ∈Z }＝{x |x ＝(2k ＋1)·45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝90°＋k ·45°，k ∈Z }＝{x |x ＝(k ＋2)·45°，k ∈Z }．因为k ∈Z ，所以k ＋2∈Z ，且2k ＋1为奇数，所以M N ，故选C.]2．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( ) A.62B.32C.54D ．1＋34C [∵cos 75°＝sin 15°，∴原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15° ＝1＋12sin 30°＝1＋12×12＝54.]3．化简cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α得()A ．sin 2αB ．－sin 2αC ．cos 2αD ．－cos 2αA [原式＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin 2α.]4．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为() A ．－47B.47C.18D ．－18A [tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝3＋51－3×5＝－47.]5．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝45，且β在第三象限，则cos β2的值等于()A ．±55 B ．±255C ．－55D ．－255A [由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝45，得sin β＝－45.∵β在第三象限，∴cos β＝－35，∴cos β2＝±1＋cos β2＝±15＝±55.] 6．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( )A ．关于原点对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x ＝π6对称B [因为当x ＝0时，y ＝2sin π3＝3，当x ＝π6时，y ＝2sin 2π3＝3，当x ＝－π6时，y ＝2sin 0＝0.所以A 、C 、D 错误，B 正确．]7．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象(部分)如图所示，则ω和φ的取值是( )A ．ω＝1，φ＝π3B ．ω＝1，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π6C [由图象知，T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋π3＝4π＝2πω，∴ω＝12.又当x ＝2π3时，y ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2π3＋φ＝1， π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝π6.] 8．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，－π2＜α＜0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α等于( )A ．－435B ．－335C.335 D.435A [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝32sin α＋32cos α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3－π2＝－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝－3×45＝－435.] 9．已知sin α＋cos α＝23，α∈(0，π)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12的值为( )A.3＋226 B.3－226 C.1＋266 D.1－266A [∵sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝23，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，∵α∈(0，π)，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4，又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13， ∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－223.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π6＝13×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×12＝22＋36.] 10．已知tan α和tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，则a ，b ，c 的关系是( )A ．b ＝a ＋cB ．2b ＝a ＋cC ．c ＝a ＋bD ．c ＝abC [由根与系数的关系得：tan α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－b a ，tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝ca ，tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝tan α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α1－tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－ba 1－c a＝1，得c ＝a ＋b .]11．函数f (x )＝A sin ωx (ω＞0)，对任意x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－a ，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94等于()A ．aB ．2aC ．3aD ．4aA [由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12， 得f (x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－12＝f (x )， 即1是f (x )的周期．而f (x )为奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝a .] 12．甲、乙两人从直径为2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿水池做匀速圆周运动，已知甲的速度是乙的速度的两倍，乙绕水池一周停止运动，若用θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数，l 表示甲、乙两人的直线距离，则l ＝f (θ)的大致图象是( )B [由题意知θ＝π时，两人相遇排除A ，C ，两人的直线距离大于等于零，排除D ，故选B.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知tan α＝－3，π2＜α＜π，那么cos α－sin α的值是________． －1＋32 [因为tan α＝－3，π2＜α＜π，所以α＝2π3， 所以cos α＝－12，sin α＝32，cos α－sin α＝－1＋32.]14．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上一点，且cos α＝x5，则tan 2α＝________.247[因为α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，所以x ＜0， 因为cos α＝x 5＝xx 2＋16，所以x ＝－3，所以tan α＝y x ＝－43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247.] 15．已知α满足sin α＝13，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为________．718 [∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝12cos 2α＝12(1－2sin 2α)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝718.] 16．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列说法：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数；③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是________．(把你认为正确的说法的序号都填上) ①②③ [∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－π3 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12， ∴f (x )max ＝2，即①正确．T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确． f (x )的递减区间为2k π≤2x －π12≤2k π＋π(k ∈Z )，即k π＋π24≤x ≤k π＋13π24(k ∈Z )，k ＝0时，π24≤x ≤13π24，即③正确． 将函数y ＝2cos 2x 向左平移π24个单位得y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π24≠f (x )，所以④不正确．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知cos(π＋α)＝－12，且角α在第四象限，计算：(1)sin(2π－α)；(2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin (π＋α)sin (π－α)·cos (α＋2n π)(n ∈Z )．[解] 因为cos(π＋α)＝－12，所以－cos α＝－12，cos α＝12.又角α在第四象限，所以sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)] ＝sin(－α)＝－sin α＝32. (2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin (π＋α)sin (π－α)·cos (α＋2n π)＝sin (α＋2n π＋π)－sin αsin αcos α＝sin (π＋α)－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.18．(本小题满分12分)已知α，β为锐角，sin α＝17，cos(α＋β)＝35.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值；(2)求cos β的值．[解] (1)∵α为锐角，sin α＝17，∴cos α＝1－sin 2α＝437，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin αcos π6＋cos αsin π6 ＝17×32＋437×12＝5314. (2)∵α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)，由cos(α＋β)＝35得，sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝45，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝35×437＋45×17＝4＋12335. 19．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？ [解] (1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，知k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )． 所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)变换情况如下：y ＝sin 2x ――――――――――――→向左平移π12个单位长度y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12―――――――――――→将图象上各点向上平移32个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值． [解] (1)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )．(2)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝－2cos π4＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.21．(本小题满分12分)已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且满足sin 2(A ＋C )＝3sinB cos B ，cos(C －A )＝－2cos 2A .(1)试判断△ABC 的形状；(2)已知函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )，求f (A ＋45°)的值． [解] (1)∵sin 2(A ＋C )＝3sin B cos B ， ∴sin 2B ＝3sin B cos B ，∵sin B ≠0，∴sin B ＝3cos B ，∴tan B ＝3， ∵0°＜B ＜180°，∴B ＝60°， 又cos(C －A )＝－2cos 2A ， 得cos(120°－2A )＝－2cos 2A ，化简得sin 2A ＝－3cos 2A ，解得tan 2A ＝－3， 又0°＜A ＜120°，∴0°＜2A ＜240°， ∴2A ＝120°，∴A ＝60°，∴C ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． (2)∵f (x )＝sin x －3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x＝2(sin x cos 60°－cos x sin 60°) ＝2sin(x －60°)，∴f (A ＋45°)＝2sin 45°＝ 2.22．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 的长AD ＝23，宽AB ＝1，A ，D 两点分别在x ，y 轴的正半轴上移动，B ，C 两点在第一象限，求OB 2的最大值．[解] 过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H .设∠OAD ＝θ⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，则∠BAH ＝π2－θ，OA ＝23cos θ，BH ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝cos θ，AH ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ， ∴B (23cos θ＋sin θ，cos θ)，OB 2＝(23cos θ＋sin θ)2＋cos 2θ＝7＋6cos 2θ＋23sin 2θ＝7＋43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3. 由0＜θ＜π2，知π3＜2θ＋π3＜4π3，所以当θ＝π12时，OB 2取得最大值7＋4 3.。
合肥市实验学校必修第一册第五单元《三角函数》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．已知5π2sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．19-C ．3D ．192．已知一个扇形的半径与弧长相等，且扇形的面积为22cm ，则该扇形的周长为（ ） A ．6cm B ．3cm C ．12cm D ．8cm 3．在ABC 中，已知sin 2sin()cos C B C B =+，那么ABC 一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形D ．形状无法确定4．在ABC 中，tan sin cos A B B <，则ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定5．如果角α的终边过点2sin 30,2cos3()0P -，则sin α的值等于（ ）A ．12B ．12-C ．D ．6．如果函数()cos 3f x x θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于直线2x π=对称，那么θ的最小值为（ ）A ．6π B ．4πC ．3π D ．2π 7．函数πsin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π8．函数1()11f x x=+-的图象与函数()2sin 1(24)g x x x π=+-的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．2926tan 34tan 26tan 34++=（ ）A B ．C D ．10．要得到cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像（ ） A ．向左平移12π个单位B ．向右平移12π个单位C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位11．已知函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则sin 2α的值等于（ ）A ．2425-B ．35C ．2425D ．3512．已知tan 62πα⎛⎫= ⎪⎝⎭-，()tan 3αβ+=-，则πtan 6β⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．已知()0,απ∈且tan 3α=，则cos α=______.14．在ABC 中，若sin 2sin cos A C B =，则这个三角形的形状是________． 15．已知定义在R 上的偶函数()f x 的最小正周期为π，且当[0,]2x π∈时，()sin f x x =，则5()3f π=_______.16．已知1tan 43πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2θ的值为_______． 17．先将函数()()()cos 0,y x ϕϕπ=+∈的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移3π个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则ϕ=________. 18．若3sin 5αα=，是第二象限角，则sin 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．19．已知50sin 245ππαα⎛⎫⎛⎫∈-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，则tan α=__________. 20．设函数()()2sin 0,2f x x πωφφφ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图.若对任意的()()2x R f x f t x ∈=-，恒成立，则实数t 的最小正值为____.三、解答题21．已知函数()2sin cos f x x x = （1）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（2）求函数()f x 的单调递减区间.22．已知函数()π22sin cos 6f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调增区间. （2）当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域.23．已知函数()2sin cos f x x x x ωωω=的周期为π，其中0>ω；（1）求ω的值，并写出函数()f x 的解析式；（2）设ABC 的三边a ，b ，c 依次成等比数列，角B 的取值范围为集合P ，则当x P ∈时求函数()f x 的值域.24．已知向量1cos 2,cos 22m x x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，311,sin cos 22n x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设函数()f x m n =⋅.（1）求函数()f x 取得最大值时x 取值的集合；（2）设A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角，若3cos 5B =，()14f C =-，求cos A 的值.25．已知m ∈R ，函数2222()1sin cos (2)|sin |33f x x x m x =++-+. （1）若0m =，求()f x 的最大值； （2）若()f x 在02x π≤≤时的最小值为12，求m 的值. 26．已知函数()()1cos sin cos 2f x x x x =+-． （Ⅰ）若0,2πα<<且1sin 3α=.求()f α； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先用诱导公式化为5cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再用二倍角公式计算． 【详解】225521cos 2cos 212sin 1233639a a πππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-+--⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D2．A解析：A 【分析】由题意利用扇形的面积公式可得2122R =，解得R 的值，即可得解扇形的周长的值．【详解】解：设扇形的半径为Rcm ，则弧长l Rcm =， 又因为扇形的面积为22cm ， 所以2122R =，解得2R cm =， 故扇形的周长为6cm ． 故选：A ．3．A解析：A 【分析】先用诱导公式变形，然后再由两角和的正弦公式展开，再由两角差的正弦公式化简后可得． 【详解】∵在ABC 中，已知sin 2sin()cos C B C B =+，∴sin sin()2sin cos C A B A B =+=，∴sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，in 0()s A B -=， 又,(0,)A B π∈，∴0A B -=，A B =，三角形为等腰三角形． 故选：A ．4．C解析：C 【详解】∵tan sin cos A B B <，∴sin sin cos cos A BB A<，若A 是钝角，此不等式显然成立，三角形为钝角三角形，若A 是锐角，则sin sin cos cos A B A B <，cos cos sin sin cos()0A B A B A B -=+>，,A B 是三角形内角，∴02A B π<+<，从而()2C A B ππ=-+>，C 为钝角，三角形仍然为钝角三角形． 故选：C ． 【点睛】易错点睛：本题考查三角形形状的判断．解题过程中，由sin sin cos cos A BB A<常常直接得出sin sin cos cos A B A B <，然后可判断出C 是钝角，三角形是钝角三角形，也选择了正确答案，但解题过程存在不全面．即应该根据A 角是锐角还是钝角分类讨论．实际上就是不等式性质的应用要正确．5．C解析：C 【分析】先计算三角函数值得(1,P ，再根据三角函数的定义sin ,yr rα==可. 【详解】解：由题意得(1,P ，它与原点的距离2r ==，所以sin y r α===. 故选：C.6．A解析：A 【分析】利用余弦函数的对称轴以及整体思想可得：θ的表达式，进而得到θ的最小值． 【详解】由题意函数()cos 3f x x θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于直线2x π=对称，则有 1,32k πθπ⋅+= 解得 θ＝k π6π-，k ∈Z ，所以由此得|θmin 6π=．故选：A ． 【点睛】方法点睛：求正余弦函数的对称轴及对称中心一般利用整体思想求解7．B解析：B【分析】按照三角函数的周期公式求最小正周期即可.【详解】解：函数πsin25y x⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为22Tππ==.故选：B.8．A解析：A【分析】根据函数图象的对称性，可知交点关于对称中心对称，即可求解.【详解】由函数图象的平移可知，函数1()11f xx=+-与函数()2sin1g x xπ=+的图象都关于(1,1)M对称.作出函数的图象如图，由图象可知交点个数一共8个（四组，两两关于点(1,1)对称），所以所有交点的横坐标之和等于428⨯=.故选：A【点睛】关键点点睛：由基本初等函数及图象的平移可知1()11f xx=+-与()2sin1g x xπ=+都是关于(1,1)中心对称，因此图象交点也关于(1,1)对称，每组对称点的横坐标之和为2，由图象可知共8个交点，4组对称点.9．C解析：C【分析】利用两角和的正切公式，特殊角的三角函数值化简已知即可求解．【详解】26tan34tan 26tan34︒︒+︒+︒26tan 34tan(2634)(1tan 26tan 34)=︒︒+︒+︒-︒︒26tan 34tan 26tan 34)=︒︒+-︒︒26tan3426tan34=︒︒︒︒=故选：C ．10．B解析：B 【分析】化简函数cos 2cos 2612y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2cos 22y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即可判断. 【详解】cos 2cos 2612y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2cos 22y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴需将函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位.故选：B.11．C解析：C 【分析】由已知求出点P 的坐标，再利用三角函数的定义求出sin ,cos αα的值，进而可得到sin 2α的值【详解】解：因为函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过(4,3)， 所以点P 的坐标为(4,3) 因为角α的终边经过点P ， 所以34sin ,cos 55αα====， 所以3424sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=， 故选：C12．A解析：A 【分析】根据两角差的正切公式，由题中条件，直接得出结果. 【详解】因为tan 62πα⎛⎫= ⎪⎝⎭-，()tan 3αβ+=-， 则()()()πta tan πtan t n 6an 661tan πtan 6αβααβπβαβαα⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ ⎪⎝+--+⎭-123321==-⨯--.故选：A. 二、填空题13．【分析】本题考查同角三角函数及其关系借助公式求解即可求解时需要判定符号的正负【详解】解：法一：由可得代入解得因为所以所以法二：由且可取终边上的一点坐标为根据三角函数终边定义公式故答案为：【点睛】方法解析：10【分析】本题考查同角三角函数及其关系，借助公式sin tan cos ααα=，22sin +cos =1αα求解即可，求解时需要判定符号的正负. 【详解】解：法一：由sin tan =3cos ααα=可得sin =3cos αα， 代入22sin +cos =1αα解得cos 10α=±， 因为()0,tan 30απα∈=>，，所以0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 10α=. 法二：由()0,απ∈且tan 3α=可取α终边上的一点坐标为(1,3)，根据三角函数终边定义公式cos α===.故答案为：10. 【点睛】方法点睛：同角三角函数基本关系的3个应用技巧：（1）弦切互化利用公式sin tan ()cos 2k απααπα=≠+实现角α的弦切互化； （2）和(差)积转换利用2(sin cos )=1sin 2ααα±±进行变形、转化；（3）巧用“1”的变换22222211sin+cos =cos (tan 1)sin (1)tan αααααα=+=+. 14．等腰三角形【分析】利用公式利用两角和差的正弦公式化简并判断三角形的形状【详解】代入条件可得即即所以三角形是等腰三角形故答案为：等腰三角形解析：等腰三角形 【分析】利用公式()sin sin A B C =+，利用两角和差的正弦公式，化简，并判断三角形的形状. 【详解】180A B C ++=，()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C ∴=+=+，代入条件可得sin cos cos sin 0C B C B -=，即()sin 0C B -=， 即0C B C B -=⇔=， 所以三角形是等腰三角形. 故答案为：等腰三角形15．【分析】由题周期性和偶函数的性质可得【详解】定义在R 上的偶函数的最小正周期为故答案为：【分析】由题周期性和偶函数的性质可得5()()()333f f f πππ=-=. 【详解】定义在R 上的偶函数()f x 的最小正周期为π，55()(2)()()sin 33333f f f f ππππππ∴=-=-===16．【分析】利用三角恒等变换公式得到求出后进而求出cos2即可【详解】由题意可知解得则故答案为 解析：35【分析】利用三角恒等变换公式，得到tan 11tan 41tan 3πθθθ-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，求出tan θ后，进而求出cos2θ即可 【详解】由题意可知，tan 11tan 41tan 3πθθθ-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，解得tan 2θ=，则222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++ 故答案为35. 17．【分析】由题意利用函数的图象变换规律三角函数的图象的对称性求得的值【详解】先将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)可得的图象；再向左平移个单位长度可得函数的图象根据所得函数图象关 解析：56π 【分析】由题意利用函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得ϕ的值. 【详解】先将函数()()()cos 0,y x ϕϕπ=+∈的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，可得1cos 2y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象； 再向左平移3π个单位长度，可得函数1cos 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，根据所得函数图象关于y 轴对称，可得6k πϕπ+=，k Z ∈，因为()0,ϕπ∈，所以1k =，56πϕ=. 故答案为：56π. 【点睛】关键点点睛：熟练掌握函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性是解题关键..18．【分析】根据条件分别求再代入求两角和的正弦【详解】且是第二象限角故答案为：解析：50-【分析】根据条件分别求cos α，sin 2α，cos2α，再代入求两角和的正弦 【详解】3sin 5α=，且α是第二象限角，4cos 5α∴==- 27cos 22cos 125αα∴=-=，3424sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，)sin 2sin 2cos 24πααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.故答案为： 19．3【分析】由平方关系求出用两角和的正弦公式求得再得然后可得【详解】∵∴∴∴故答案为：3【点睛】关键点点睛：本题考查平方关系两角和的正弦公式三角函数求值问题需确定已知角和未知角的关系以确定先用的公式象解析：3 【分析】由平方关系求出cos 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭，用两角和的正弦公式求得sin α，再得cos α，然后可得tan α．【详解】 ∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴,444πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，cos 45πα⎛⎫-==⎪⎝⎭， ∴sin sin sin cos cos sin 444444525220ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴cos α==， sin tan 3cos ααα==． 故答案为：3． 【点睛】 关键点点睛：本题考查平方关系，两角和的正弦公式．三角函数求值问题，需确定已知角和未知角的关系，以确定先用的公式．象本题观察得到44ππαα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，需要用用两角和的正弦（余弦）公式求值，因此先用平方关系求得cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，这就要确定4πα-的范围．以确定余弦值的正负．20．【分析】由图象求得再根据求得从而求得函数解析式再根据由函数图象的对称轴为直线x=t 求解【详解】由图象知：即则由五点法得所以即因为所以所以又因为所以函数图象的对称轴为直线x=t 则所以解得当k=0时t 取解析：12π 【分析】 由图象5556124T ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，求得ω，再根据506f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，求得φ，从而求得函数解析式，再根据()()2f x f t x =-，由函数()f x 图象的对称轴为直线x =t 求解. 【详解】由图象知：5556124T ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即T π=， 则22Tπω==， 由“五点法”得552sin 063f ππφ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()53k k Z πφπ+=∈，即()53k k Z πφπ=-∈， 因为2πφ<， 所以3πφ=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为()()2f x f t x =-，所以函数()f x 图象的对称轴为直线x =t ， 则()2sin 223f t t π⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭， 所以23t π+()2k k Z ππ=+∈，解得()212k t k Z ππ=+∈， 当k =0时，t 取到了最小正值为12π.故答案为：12π. 【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的方法： （1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.三、解答题21．（1）T π=；最大值为1；（2）3[,]()44k k k Z ππππ++∈ 【分析】（1）应用二倍角公式，将函数化为正弦型三角函数，即可求解； （2）根据正弦函数的单调递减区间结合整体代换，即可求出结论. 【详解】（1）()2sin cos sin 2f x x x x ==， 最小正周期为22T ππ==，最大值为1； （2）由3222()22k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 解得3()44k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ()f x ∴单调递减区间是3[,]()44k k k Z ππππ++∈.22．（1）π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（2）11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）由恒等变换得()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，进而根据πππ2π22π232k x k -+≤-≤+解得()f x 的增区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（2）由ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦得5πππ2636x -≤-≤，进而得π11sin 232x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，即()f x 的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【详解】解：（1）()11π2cos 2sin 2sin 2cos 2sin 222223f x x x x x x x ⎫⎛⎫=--=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， ∵πππ2π22π232k x k -+≤-≤+，()k ∈Z ， ∴π5πππ1212k x k -+≤≤+，()k ∈Z ， ∴()f x 的增区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .（2）∵ππ44x -≤≤， ∴5πππ2636x -≤-≤， ∴π11sin 232x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，∴()f x 的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题解题的关键是根据三角恒等变换得()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而根据整体换元的思想求函数的单调区间与值域，考查运算求解能力，是中档题.23．（1）1ω=，()sin 32++2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）⎣⎦. 【分析】（1）先逆用两角差的正弦公式化成正弦型函数的标准形式，然后利用周期公式2T ωπ=求ω的值，进而写出函数()f x 的解析式；（2）利用余弦定理结合基本不等式求出cos B 的范围，再根据B 为三角形的内角求出B 的范围，得出()f x 的定义域，从而求出()f x 的值域. 【详解】解：（1）()2sin cos f x x x x ωωω=)1cos 21sin 2+22x x ωω+=sin 2++32x πω⎛⎫= ⎪⎝⎭由22T ππω==，解得1ω=，所以函数()f x 的解析式为()sin 32++2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2）因为2b ac =,所以222cos 2a c b B ac +-==22121122222a c ac ac ac +-≥-=，当且仅当a c =时取“=”；又B 为三角形内角，所以03B π<≤，即03x π<≤,所以2+33x πππ<≤,所以0sin 2+13x π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以sin 2++2322x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即函数()f x 的值域是,1+22⎣⎦. 【点睛】关键点点睛：运用三角恒等变换将函数化成正弦型函数的标准形式，利用余弦定理和基本不等式将三角形的边的关系转化为角的范围.24．（1）|,12x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭；（2）310【分析】（1）利用三角函数公式和平面向量数量积对函数简化，再根据三角函数的性质求得函数取得最大值时x 取值的集合；（2）根据已知条件求得的B ，C 大小，然后利用()cos cos A B C =-+展开即可求解. 【详解】（1）21()cos 2cos 2f x m n x x x ⎫=⋅=+-⎪⎪⎝⎭2231cos 2sin cos sin cos 442x x x x x =++-31cos 211cos 2cos 224242x x x x -+=+⨯+⨯-311cos 2sin 22442223x x x π⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭， 要使函数()f x 取得最大值，需要满足sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最小值， 所以()2232x k k Z πππ-=-+∈，所以12x k ππ=-()k Z ∈，所以当()f x 取得最大值时x 取值的集合为|,12x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭， （2）因为A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角，3cos 5B =所以4sin 5B ==，由()112234f C C π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，得sin 23C π⎛⎫-=⎪⎝⎭， 因为22333C πππ-<-<所以233C ππ-=，解得3C π=，所以()3143cos cos cos cos sin sin 525210A B C B C B C =-+=-+=-⨯+⨯=所以3cos 10A -=. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟记两角和差的正弦余弦公式，辅助角公式，诱导公式，同角三角函数基本关系，向量的数量积的坐标表示，注意三角形是锐角三角形以确定角的范围.25．（1）2；（2）12±. 【分析】（1）先代入0m =，然后对sin x 正负讨论，化简出函数解析式，然后再求出最大值即可，（2）根据x 的范围即可化简函数解析式，然后再根据x 的范围即可判断函数什么时候取得最小值，进而可以求出m 的值． 【详解】解：（1）0m =，则函数222()1sin cos |sin |33f x x x x =++-，当sin [0x ∈，1]时，2()1cos f x x =+， 当cos 1x =时，max ()2f x =，当sin [1x ∈-，0)时，2244()1sin cos 1sin 1sin 33f x x x x x =++=++-2222(sin )239x =--+，所以当sin 0x =时，max ()2f x =， 综上，函数()f x 的最大值为2； （2）当02xπ时，2222()1sin cos (2)sin 33f x x x m x =++-+222212sin cos sin 2sin 2m x x x m x =-+=--+224(sin )2x m m =-+++，所以当sin 1x =时，2min 1()212f x m =-+=， 所以214m =，即12m =±， 故m 的值为12±． 【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数求最值以及含参数求最小值的问题考查了学生的运算能力，属于基础题．解题关键是对sin x 按正负分类讨论，去掉绝对值符号后利用三角函数性质求最值．26．（Ⅰ）718；（Ⅱ）最小正周期为π．3ππππ88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，.k Z ∈.【分析】 （Ⅰ）根据1sin 3α=以及α的范围，得到cos α，代入到()f α中，得到答案；（Ⅱ）对()f x 进行整理化简，得到()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦型函数的图像和性质，求出其周期和单调减区间. 【详解】（Ⅰ）解：因为π02α<<.且1sin 3α=.所以cos 3α==．故()()1cos sin cos 2f αααα=+-=（Ⅱ）解：因为 ()21sin cos cos 2f x x x x =+-11cos 21sin 2222x x +=+-11πsin 2cos 22224x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. 所以函数()f x 的最小正周期为π．设π24t x =+.由2y t =的单调递增区间是ππ2π 2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，.k Z ∈. 令πππ2π22π242k x k -++≤≤.解得3ππππ88k x k -+≤≤.k Z ∈． 故函数()f x 的单调递增区间为3ππππ88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，.k Z ∈．【点睛】本题考查同角三角函数关系，利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式对三角函数进行化简，求正弦型函数的周期和单调区间，属于基础题.。
高中数学 第五章 三角函数检测试题(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题
第五章检测试题时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题每小题5分，共60分 1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋σ＝－35，且σ是第四象限角，则cos(－3π＋σ)的值为( B )A.45 B ．－45C ．±45D.35解析：∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋σ＝sin σ＝－35，且σ是第四象限角，∴cos σ＝45.∴cos(－3π＋σ)＝－cos σ＝－45.2．计算sin135°cos15°－cos45°sin(－15°)的值为( D ) A.12B.33 C.22D.32解析：原式＝cos45°cos15°＋si n45°sin15°＝cos(45°－15°)＝cos30°＝32.故选D.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈[0，π])为增函数的区间是( C )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 解析：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，原函数的单调递增区间就是y ＝2sin2x －π6的单调递减区间，即2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，对比各选项，令k ＝0，得选项C 正确．4．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，若其图象向右平移π3个单位后关于y 轴对称，则( B )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝4，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π6解析：T ＝2πω＝π，所以ω＝2.函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位得函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－2π3的图象关于y 轴对称，所以φ－2π3＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝76π＋k π，k ∈Z .因为|φ|<π2，所以φ＝π6，故选B.5．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象如图，则S ＝f (0)＋f (1)＋…＋f (2 016)等于( C )A ．0B ．503C ．2 017D ．2 012解析：由题意知，函数f (x )＝12sin π2x ＋1，周期T ＝4.S ＝f (0)＋f (1)＋…＋f (2 016)＝504[f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)]＋1＝504×4＋1＝2017.选C.6．已知sin2π＋θtan π＋θtan 3π－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θtan －π－θ＝1，则3sin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ的值是( A ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．6解析：∵sin2π＋θtan π＋θtan 3π－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θtan －π－θ＝sin θtan θtan －θ－sin θtan π＋θ＝－sin θtan θtan θ－sin θtan θ＝tan θ＝1， ∴3sin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ ＝3sin 2θ＋3cos 2θsin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ＝3tan 2θ＋3tan 2θ＋3tan θ＋2＝3＋31＋3＋2＝1，故选A. 7．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( C ) A.33 B ．－33 C.539D ．－69解析：根据条件可得α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，34π，π4－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539.8．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( C )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z 解析：f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)，由已知得周期T ＝π.∴ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋π6)．由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．9．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，3π2X 围内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象的交点的个数为( C )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：在同一坐标系中，首先作出y ＝sin x 与y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2内的图象，需明确x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，有sin x <x <tan x (利用单位圆中的正弦线、正切线结合面积大小的比较就可证明)，然后作出x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，3π2的两函数的图象，如图所示，由图象可知它们有3个交点．10．若ω>0，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx的图象重合，则ω的最小值为( B )A.112B.52C.12D.32解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3向右平移π3个单位长度可得y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－ωπ3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－ωπ3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋56π－ωπ3. 因为函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 图象重合，所以ωx ＋5π6－ωπ3＝ωx ＋2k π(k ∈Z )．又ω>0，所以当k ＝0时，ω取最小值为52，故选B.11．将函数f (x )＝12sin2x sin π3＋cos 2x cos π3－12sin(π2＋π3)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值分别为( C )A.12，－12B.14，－14C.12，－14D.14，－12解析：f (x )＝12×32sin2x ＋12cos 2x －12sin 5π6＝34sin2x ＋12cos 2x －14 ＝34sin2x ＋12×1＋cos2x 2－14＝12sin(2x ＋π6)， 所以g (x )＝12sin(4x ＋π6)．因为x ∈[0，π4]，所以4x ＋π6∈[π6，7π6]，所以当4x ＋π6＝π2时，g (x )取得最大值12；当4x ＋π6＝7π6时，g (x )取得最小值－14.12．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，则2x 1＋3x 2＋x 3的值为( D )A ．π B.3π4C.3π2 D.7π4解析：由题意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，则2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π2，画出函数的大致图象，如图所示．由图可得，当22≤a <1时，方程f (x )＝a 恰有三个根． 由2x ＋π4＝π2得x ＝π8；由2x ＋π4＝3π2得x ＝5π8.由图可知，点(x 1，a )与点(x 2，a )关于直线x ＝π8对称；点(x 2，a )和点(x 3，a )关于x ＝5π8对称，所以x 1＋x 2＝π4，x 2＋x 3＝5π4，所以2x 1＋3x 2＋x 3＝2(x 1＋x 2)＋(x 2＋x 3)＝7π4，故选D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题每小题5分，共20分13．已知一扇形的半径为2，面积为4，则此扇形圆心角的绝对值为2弧度． 解析：设扇形圆心角的绝对值为α弧度，则4＝12α·22，所以α＝2.14．已知cos(α－π6)＋sin α＝435，则sin(α＋7π6)的值为－45.解析：由已知得32cos α＋32sin α＝435， 所以12cos α＋32sin α＝45，即sin(α＋π6)＝45，因此，sin(α＋7π6)＝－sin(α＋π6)＝－45.15．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内有最小值，无最大值，则ω＝143.解析：由题意知x ＝π6＋π32＝π4为函数的一条对称轴，且ω·π4＋π3＝2k π－π2(k ∈Z )，得ω＝8k －103(k ∈Z )．①又π3－π6≤2πω(ω>0)，∴0<ω≤12.② 由①②得k ＝1，ω＝143.16．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列命题： ①y ＝f (x )的最大值为2； ②y ＝f (x )的最小正周期是π；③y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数；④将函数y ＝2cos2x 的图象向右平移π24个单位后，与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是①②③④. 解析：f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π4 ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12， ∴y ＝f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①②正确．又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数，故③正确．由④得y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π24 ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12，故④正确． 三、解答题写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分17．(10分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象过点(0,1)，如图所示．(1)求函数f 1(x )的表达式；(2)将函数y ＝f 1(x )的图象向右平移π4个单位，得函数y ＝f 2(x )的图象，求y ＝f 2(x )的最大值，并求出此时自变量x 的取值集合．解：(1)由题图知，T ＝π，于是ω＝2πT＝2.将y ＝A sin2x 的图象向左平移π12，得y ＝A sin(2x ＋φ)的图象，于是φ＝2×π12＝π6.将(0,1)代入y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，得A ＝2. 故f 1(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)依题意，f 2(x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.当2x ＋π6＝2k π＋π(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，y max ＝2.x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋5π12，k ∈Z. 18．(12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时的x 的值．解：(1)∵f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，∴函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )．故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )． (2)∵f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡－π8，⎦⎥⎤π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.19．(12分)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x .(1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝－14，且C 为锐角，求sin A .解：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x＝cos2x ·cos π3－sin2x ·sin π3＋1－cos2x2＝12cos2x －32sin2x －12cos2x ＋12＝12－32sin2x ， ∴当2x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－π4(k ∈Z )时，f (x )max ＝1＋32.T ＝2π2＝π. 故f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝－14，即12－32sin C ＝－14， 解得sin C ＝32. 又C 为锐角，∴C ＝π3.由cos B ＝13，得sin B ＝223.∴sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36.20．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一系列对应值如下表：(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k >0)的周期为2π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，某某数m 的取值X 围．解：(1)设f (x )的最小正周期为T ， 得T ＝11π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1.令ω·5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， 又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋1.(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3＋1的周期为2π3，又k >0，∴k ＝3， 令t ＝3x －π3，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.如图，sin t ＝s 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上有两个不同的解，则s ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1.∴方程f (kx )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时恰好有两个不同的解，则m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值X 围是[3＋1,3)．21．(12分)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x .(1)若f (x )＝0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π，求x 的值；(2)将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g (x )的图象，若y ＝h (x )与y ＝g (x )的图象关于直线x ＝π4对称，求函数h (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－π6，2π3上的值域．解：f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x＝3sin2x ＋1－cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1.(1)由f (x )＝0，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12，∴2x －π6＝－π6＋2k π或2x －π6＝－5π6＋2k π，k ∈Z .又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π，∴x ＝－π3或0或2π3.(2)将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，可得函数图象的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π6＋1＝2sin2x ＋π2＋1＝2cos2x ＋1，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g (x )＝2cos x ＋1.又y ＝h (x )与y ＝g (x )的图象关于直线x ＝π4对称，∴h (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝2sin x ＋1. ∵x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π6，2π3，∴sin x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1.故函数h (x )的值域为(0,3]．22．(12分)已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋b ＋1.(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，且ω∈[0,3]，求函数f (x )的单调递增区间；(2)在(1)的条件下，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，函数f (x )有且只有一个零点，某某数b 的取值X 围．解：(1)函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋b ＋1＝32sin2ωx ＋1＋cos2ωx2＋b ＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32＋b .∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2ω·π6＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，且ω∈[0,3]，∴ω＝1.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b .∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，4π3.当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，函数f (x )单调递增；当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，4π3，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π12时，函数f (x )单调递减．又f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， ∴当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>0≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0时，函数f (x )有且只有一个零点， 即sin 4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0，∴b ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52 .。
青岛第三十九中学必修第一册第五单元《三角函数》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．若将函数1()sin 223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的每一个点都向左平移3π个单位长度，得到()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间为（ ）A ．3,()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．,()44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦D ．5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦2．已知5π2sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．19-C D ．193．已知函数()sin()(0)f x x ωω=>在区间,123ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，在区间5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，则ω=（ ） A ．362k -，k ∈N B ．362k +，k ∈N C ．32D ．34．已知函数()22sin cos cos f x x x x x =+-，x ∈R ，则（ ） A ．()f x 的最大值为1 B ．()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．()f x 的最小正周期为2π D ．()f x 在区间()0,π上只有1个零点5．如果角α的终边过点2sin 30,2cos3()0P -，则sin α的值等于（ ）A ．12B ．12-C ．D ．6．已知函数()22sin cos f x x x x ωωω=-，且()f x 图象的相邻对称轴之间的距离为4π，则当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为（ ）A ．1-B ．C ．D ．-7．设129sin 292a =-，b =22tan161tan 16c =+，则有（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>8．若4cos5θ=-，θ是第三象限的角，则1tan21tan2θθ-=+（）A．12B．12-C．35D．-29．已知函数()()()sin0,0f x A x=+>-π<<ωϕωϕ的部分图象如图所示.则()f x的解析式为（）．A．()2sin12f x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭B．()2sin23f x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭C．()2sin26f x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭D．()32sin34f x xπ=-⎛⎫⎪⎝⎭10．函数()()cosf x A xωϕ=+(其中0A>，0>ω，2πϕ<)的图象如图所示.为了得到()cosg x A xω=-的图象，只需把()y f x=的图象上所有的点（）A．向右平移12π个单位长度B．向右平移512π个单位长度C．向左平移12π个单位长度D．向左平移512π个单位长度11．已知函数()()()cos>0,0<<f x xωθωθπ=+的最小正周期为π，且()()0f x f x-+=，若tan2α=，则()fα等于（）A．45-B．45C．35D．3512．若4 cos,5αα=-是第三象限角，则sinα等于（）A．35B．35C．34D．34-二、填空题13．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为60°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走200米到B，在B处测得山顶P的仰角为75°，则山高h=______米.14．方程cos306xπ⎛⎫+=⎪⎝⎭在[]0,π上的解的个数为______.15．化简cos()sin()2sin()cos()πααπααπ+-=--___________.16．角θ的终边经过点(1,3)P-，则sin6πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭____________.17．已知2sin cos0αα-=，则2sin2sin cosααα-=___________.18．已知()tan3πα+=，则2tan2sinαα-的值为_______.19．已知7sin cos17αα+=，()0,απ∈，则tanα= ________.20．若6xπ=是函数()3sin2cos2f x x a x=+的一条对称轴，则函数()f x的最大值是___________.三、解答题21．某高档小区有一个池塘，其形状为直角ABC，90C∠=︒，2AB=百米，1BC=百米，现准备养一批观赏鱼供小区居民观赏．（1）若在ABC 内部取一点P ，建造APC 连廊供居民观赏，如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=，求连廊AP PC +的长； （2）若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，建造DEF 连廊供居民观赏，如图②，使得DEF 为正三角形，求DEF 连廊长的最小值．22．已知函数()22sin cos 2sin 1f x x x x =-+.（1）求4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小正周期；（3）求()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.23．已知函数31()2cos 24f x x x =+ （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. 24．已知函数()(cos sin )cos f x x x x =+⋅． （1）求函数()f x 的最小正周期T ； （2）当,44x ππ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，求函数()f x 的值域． 25．已知2sin ()cos(2)tan()()sin()tan(3)f παπαπααπααπ-⋅-⋅-+=-+⋅-+.（1）化简()fα；（2）若()18f α=，且42ππα<<，求cos sin αα-的值26．已知函数2()2sin 23)sin ()2f x x x x x ππ⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭R . （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递减区间；（3）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】 求出()1sin 22g x x =-，令()322222k x k k Z +≤≤+∈ππππ即可解出增区间. 【详解】 由题可知()()111sin 2sin 2sin 223322g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令()322222k x k k Z +≤≤+∈ππππ，解得()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ∴()g x 的单调递增区间为3,()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 故选：A.2．D解析：D 【分析】先用诱导公式化为5cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再用二倍角公式计算． 【详解】225521cos 2cos 212sin 1233639a a πππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-+--⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D 3．C解析：C 【分析】 由题意知，当3x π=时，函数()f x 取得最大值，可求得362k ω=+，k ∈N .再由函数的单调区间得出不等式组，解之可得选项. 【详解】由题意知，当3x π=时，函数()f x 取得最大值，所以232k ππωπ⋅=+，k Z ∈.得362k ω=+，k ∈N .因为()f x 在区间,123ππ⎛⎤-⎥⎝⎦上递增，在5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，所以312πππω≥+且5123πππω≥-， 解得1205ω<≤.因此32ω=.故选：C.4．B解析：B 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，再利用三角函数的性质求解即可. 【详解】()22sin cos cos f x x x x x =+-2cos 2x x =-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭故最大值为2，A 错22sin 2sin 23362f ππππ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故关于3x π=对称，B 对最小正周期为22ππ=，C 错 ()26x k k Z ππ-=∈解得()122k x k Z ππ=+∈，12x π=和712x π=都是零点，故D 错.故选：B 【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin (ωx ＋φ)或y ＝Acos (ω x ＋φ)的形式，则最小正周期为2T πω=，最大值为A ，最小值为A -；奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝Asin ωx 或y ＝Acos ωx 的形式．5．C解析：C 【分析】先计算三角函数值得(1,P ，再根据三角函数的定义sin ,yr rα==可. 【详解】解：由题意得(1,P ，它与原点的距离2r ==，所以sin 22y r α===-. 故选：C.6．D解析：D 【分析】先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定2ω=，再根据正弦函数的性质，结合给定区间，即可求出最值. 【详解】因为()21cos 22sin cos sin 22xf x x x x x ωωωωω+=-=- πsin 222sin 23x x x ωωω⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭由题意知()f x 的最小正周期为ππ242⨯=，所以2ππ22ω=，即2ω=，所以()π2sin 43f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π4,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2sin 423x ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，因此()π2sin 423f x x ⎛⎫⎡=-- ⎪⎣⎝⎭，所以函数()f x 的最小值为-． 故选：D.7．B解析：B 【分析】由两角差的正弦公式，余弦和正正弦的二倍角公式化简,,a b c ，然后由正弦函数的单调性得出结论． 【详解】129si sin(6029)si 3n 2912n a =︒-︒=︒=-，b =sin 33==︒，2222sin162tan16cos162sin16sin 161tan 161c cos16sin 32os 16c ===︒︒︒︒=︒︒︒++， 显然sin31sin32sin33︒<︒<︒，所以a c b <<． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数值的比较大小，解题方法是首先化简各函数，应用三角函数恒等变换公式化简函数，注意转化为同一个三角函数，并且把角转化到三角函数的同一单调区间上，然后由三角函数的单调性得大小关系．8．D解析：D 【分析】根据4cos 5θ=-，θ是第三象限的角，先利用半角公式求得tan 2θ，然后代入1tan21tan2θθ-+求解. 【详解】因为θ为第三象限角， 所以2θ可能为二､四象限角， 所以tan 32θ===-， 所以1tan1322131tan2θθ-+==--+. 故选：D.9．B解析：B 【分析】根据函数图象得到3532,41234T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭ ，进而求得2,2T Tππω===，然后由函数图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭求解. 【详解】由函数图象知：3532,41234T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭， 所以2,2T Tππω===， 又函数图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以 522,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得 2,3k k Z πϕπ=-∈，又因为 0πϕ-<<，所以3πϕ=-，所以()f x 的解析式为：()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.10．B解析：B 【分析】先根据图象求出,,A ωϕ的值即可得()f x 和()g x 的解析式，再利用函数图象的平移变换即可得正确选项. 【详解】 由图知：1A =，74123T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以22T πω==，()()cos 2f x x φ=+，当712x π=时，()()cos 2f x x φ=+有最小值，所以()72212k k Z πϕππ⨯+=+∈， 所以()26k k Z πϕπ=-+∈，又因为2πϕ<，所以0,6k πϕ==-，所以()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()cos2cos 2g x x x π=-=-，所以只需要把()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点向右平移512π个单位长度得()()5cos 2cos 2cos 2126x x x g x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由函数的部分图象求出,,A ωϕ的值，进而求出()f x 和()g x 的解析式，()()cos2cos 2g x x x π=-=-，由平移变换的规律求解，注意左右平移指一个x 变化多少，此点容易出错，属于中档题.11．A解析：A 【分析】利用三角函数的周期性和奇偶性得到()cos 2sin 22f x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，进而求出()f α【详解】 由2ππω=，得2ω=，又()()0f x f x -+=，()()()cos cos 2f x x x ωθθ=+=+为奇函数，()2k k Z πθπ∴=+∈，，又0θπ<<，得2πθ=，()cos 2sin 22f x x x π⎛⎫∴=+=- ⎪⎝⎭，又由tan 2α=，可得()2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15f αααααααα-=-==-=-++故选：A 【点睛】关键点睛：解题关键在于通过三角函数性质得到()cos 2sin 22f x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，难度属于基础题12．B解析：B 【分析】运用同角的三角函数关系式直接求解即可. 【详解】4cos ,5a a =-是第三象限角，3sin 5a ∴==-，故选：B 二、填空题13．【分析】求出在两个直角三角形中表示出再在直角梯形中建立等量关系解得【详解】首先山高为长度根据图可得∴解得故答案为：解析：150【分析】PQ h =，求出CQ ，在两个直角三角形中表示出,BC AQ ，再在直角梯形AQCB 中建立等量关系，解得h ． 【详解】首先sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin30︒=︒-︒=︒︒-︒︒23216222224-=⨯-⨯=， cos15cos(4530)cos 45cos30sin 45sin30︒=︒-︒=︒︒+︒︒ 232162222+=⨯+⨯=， 31tan 45tan 303tan 75tan(4530)231tan 45tan 3031+︒+︒︒=︒+︒===+-︒︒-， 山高h 为PQ 长度，根据图可得，()200sin155062CQ =︒=-，3tan 603h AQ h ==︒，tan 75PCBC =︒()506223h --=+()()23503652h =---， ∴()()()323503652200cos155062h h --+-=︒=+，解得()15062h =+.故答案为：()15062+.14．3【分析】先求出解的一般形式再根据范围可求解的个数【详解】因为故故令故故答案为：3解析：3 【分析】先求出解的一般形式，再根据范围可求解的个数.【详解】 因为cos 306x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3,62x k k Z πππ+=+∈， 故,39k x k Z ππ=+∈，令039k πππ≤+≤，故0,1,2k =， 故答案为：3.15．【分析】利用诱导公式直接化简即可【详解】故答案为： 解析：tan α-【分析】利用诱导公式直接化简即可. 【详解】cos()sin()(sin )(sin )2tan sin()cos()sin (cos )παααααπααπαα+--⋅-==----，故答案为：tan α-.16．【分析】利用正弦函数定义求得再由正弦函数两角和的公式计算【详解】由题意所以故答案为：解析：12-【分析】利用正弦函数定义求得sin θ，再由正弦函数两角和的公式计算 【详解】由题意sin 2θ=，1cos 2θ=，所以，1sin cos 62πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭311442=-+=-， 故答案为：12-17．【分析】根据可得的值而再将分子分母同除以化成关于的分式即可解【详解】由得则有；故答案为：【点睛】方法点睛：考查同角三角函数的基本关系式： 解析：35【分析】根据2sin cos 0αα-=，可得tan α的值，而2222sin 2sin cos sin 2sin cos 1sin cos αααααααα--=+，再将222sin 2sin cos sin cos ααααα-+分子分母同除以2cos α化成关于tan α的分式即可解. 【详解】由2sin cos 0αα-=， 得1tan 2α=， 则有222222sin 2sin cos sin 2sin cos tan 2tan 1sin cos tan 1ααααααααααα---==++ 221123225112⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭==-⎛⎫+ ⎪⎝⎭；故答案为：35. 【点睛】方法点睛：考查同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1θθ+=，sin tan cos θθθ=，tan cot 1θθ⋅=. 18．【分析】利用诱导公式求出再利用二倍角公式求出以及同角三角函数的基本关系求出即可得解；【详解】解：由题意所以所以所以故答案为： 解析：3320-【分析】利用诱导公式求出tan α，再利用二倍角公式求出tan2α，以及同角三角函数的基本关系求出2sin α，即可得解； 【详解】解：由题意()tan 3πα+=，所以tan 3α=，所以22tan 3tan 21tan 4ααα==--，222222sin tan 9sin sin cos tan 110αααααα===++，所以23933tan 2sin 41020αα-=--=-. 故答案为：3320-19．【分析】根据已知条件求得的值由此求得的值【详解】依题意两边平方得而所以所以由解得所以故答案为：【点睛】知道其中一个可通过同角三角函数的基本关系式求得另外两个在求解过程中要注意角的范围 解析：158-【分析】根据已知条件求得sin ,cos αα的值，由此求得tan α的值. 【详解】依题意7sin cos 17αα+=，两边平方得 4924012sin cos ,2sin cos 0289289αααα+==-<， 而()0,απ∈，所以sin 0,cos 0αα><， 所以23sin cos 17αα-====. 由7sin cos 1723sin cos 17αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得158sin ,cos 1717αα==-， 所以sin 15tan cos 8ααα==-. 故答案为：158-【点睛】sin cos ,sin cos αααα±知道其中一个，可通过同角三角函数的基本关系式求得另外两个，在求解过程中要注意角的范围.20．【分析】利用对称关系得代入即可求解值再结合辅助角公式化简可求最值【详解】由对称轴关系得令得求得从而当时取到最大值故答案为： 解析：【分析】利用对称关系，得()03f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，代入即可求解a 值，再结合辅助角公式化简可求()f x 最值【详解】 由对称轴关系得66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令6x π=得()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，求得a =从而()3sin 2226f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当22,62x k k Z πππ+=+∈时，()f x取到最大值故答案为：三、解答题21．（12）7百米． 【分析】（1）先在三角形PBC 中利用已知条件求出PC 的长度，再在三角形PAC 中利用余弦定理求出PA 的长度，即可求解；（2）设出等腰三角形的边长以及角CEF ，则可求出CF 的长度，进而可得AF 的长度，再利用角的关系求出角ADF 的大小，然后在三角形ADF 中利用正弦定理化简出a 的表达式，再利用三角函数的最值即可求出a 的最小值，进而可以求解． 【详解】解：（1）因为P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=， 又1BC =，所以π6PCB ∠=，3PC =，又因为π2ACB ∠=，所以π3ACP ∠=， 则在三角形PAC 中，由余弦定理可得：222π72cos33AP AC PC AC PC =+-⋅=，解得AP =，所以连廊AP PC +=（2）设正三角形DEF 的边长为a ，()0πCEF αα∠=<<， 则sin CF a α=，sin AF a α=，且EDB α∠=，所以2π3ADF α∠=-， 在三角形ADF 中，由正弦定理可得：sin sin DF AF A ADF=∠∠，即sin π2πsin sin 63a a αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，即sin 12πsin 23a a αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简可得2π2sin sin 3a αα⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以7a ===≥（其中θ为锐角，且tan 2θ=），即边长的最小值为7百米， 所以三角形DEF连廊长的最小值为7百米． 【点评】方法点睛：在求三角形边长以及最值的问题时，常常设出角度，将长度表示成角度的三角函数，利用三角函数的值域求最值.22．（1）1；（2）π；（3）. 【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，从而求得4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值 （2）由（1）得，利用正弦函数的周期性，得出结论； （3）由（1）得，利用正弦函数的单调性，得出结论； 【详解】（1）()22sin cos 2sin 1sin 2cos2f x x x x x x =-+=+π24x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴πππ1424f ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或直接求2ππππ2sin cos 2sin 114444f ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭. （2）由（1）得，所以()f x 的最小正周期为2π2ππ2T ω=== （3）由（1）得，∵π02x -≤≤，∴3πππ2444x -≤+≤，∴πsin 21,42x ⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦当ππ242x +=-，即3π8x =-时，()f x 取得最小值为. 【点睛】关键点睛：解题的关键在于，利用三角恒等变换化简函数的解析式得到()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而利用正弦函数的性质求解，属于中档题23．（1）π；（2）10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）利用辅助角公式化简1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用周期公式即可求解； （2）由50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出26x π+的范围，再利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为1111()2cos 22cos 2sin 242226f x x x x x x π⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以()f x 的最小正周期为22T ππ==， （2）因为5012x π≤≤， 所以5026x π≤≤，所以266x πππ≤+≤所以0sin 216x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以110sin 2262x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以()f x 在区间50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.24．（1）π；（2）⎡⎢⎣⎦. 【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简()f x ，再根据最小正周期的计算公式求解出T ；（2）采用整体替换的方法，先确定出24x π⎛⎫+⎪⎝⎭的取值范围，然后根据正弦函数的单调性确定出()()max min ,f x f x ，由此求解出()f x 在,44ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上的值域. 【详解】（1）因为21cos 211()cos sin cos sin 2222242x f x x x x x x π+⎛⎫=+=+=++ ⎪⎝⎭， 所以22T ππ==； （2）因为,44x ππ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，所以32,444x πππ⎛⎫⎡⎫+∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭， 又因为sin y x =在,42ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且3sin 0sin 44ππ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，所以()max11sin 2222f x π=+=，此时8x π=，()min 10242f x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，此时4πx =-，所以()f x 的值域为⎡⎢⎣⎦. 【点睛】思路点睛：求解形如()sin y A ωx φ=+的函数在指定区间上的值域或最值的一般步骤如下：（1）先确定t x ωϕ=+这个整体的范围； （2）分析sin y A t =在（1）中范围下的取值情况；（3）根据取值情况确定出值域或最值，并分析对应的x 的取值.25．（1）sin cos αα⋅；（2）. 【分析】（1）由诱导公式运算即可得解； （2）由平方关系可得()23cos sin 4αα-=，再由cos sin αα<即可得解. 【详解】（1）由诱导公式()2sin cos tan ()sin cos sin tan f αααααααα⋅⋅==⋅-⋅-； （2）由()1sin cos 8f ααα==可知 ()222cos sin cos 2sin cos sin αααααα-=-+1312sin cos 1284αα=-=-⨯=，又∵42ππα<<，∴cos sin αα<，即cos sin 0αα-<，∴cos sin 2αα-=-. 26．（1）最小正周期为π；（2）单调递减区间为5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（3）[0,3].【分析】（1）逆用二倍角公式化简整理可得()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用2T ωπ=即可求得()f x 的最小正周期；（2）令26z x π=-，利用函数2sin 1y z =+的图像与性质，列出不等式，即可求得()f x 的单调递减区间；（3）由20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得72,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数的图像与性质，即可求得()f x 的取值范围.【详解】 （1）由已知可得()1cos 2cos f x x x x =-+2cos 21x x =-+2sin 216x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为22T ππ==. （2）令26z x π=-，函数2sin 1y z =+的单调递减区间是32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .所以3222262k x k πππππ+≤-≤+，k ∈Z 得536k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z . 所以()f x 的单调递减区间为5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（3）因为20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()[0,3]f x ∈， 即()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围是[0,3]. 【点睛】本题考查二倍角公式的逆用，辅助角公式的应用，正弦型函数的单调区间、周期和值域问题，综合性较强，考查计算化简，数形结合的能力，考查整体性的思想，属基础题.。
上海北海中学必修第一册第五单元《三角函数》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．下列函数中既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ） A ．()sin f x x = B ．lg y x = C ．()f x x =-D ．()cos f x x =2．已知曲线C 1：y ＝2sin x ，C 2：2sin(2)3y x π=+，则错误的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动6π个单位长度，得到曲线C 2 B ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动56π个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1向左平行移动3π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 D ．把C 1向左平行移动6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 23．已知()tan f x x =，x ∈Z ，则下列说法中正确的是（ ） A ．函数()f x 不为奇函数 B ．函数()f x 存在反函数 C ．函数()f x 具有周期性D ．函数()f x 的值域为R4．在ABC 中，已知sin 2sin()cos C B C B =+，那么ABC 一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．形状无法确定5．在ABC 中，tan sin cos A B B <，则ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定6．如果函数()cos 3f x x θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于直线2x π=对称，那么θ的最小值为（ ）A ．6πB ．4πC ．3π D ．2π7．函数()(1)cos f x x x =的最小正周期为（ ） A ．πB ．32π C ．2πD ．2π8．函数πsin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ） A ．2π B ．πC ．2πD ．4π9．已知函数()22sin cos f x x x x ωωω=-，且()f x 图象的相邻对称轴之间的距离为4π，则当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为（ ）A ．1-B ．C ．D ．-10．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若2sin 3α=，则()cos αβ-=（ ）A ．19B C ．19-D ． 11．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+=（ ）A ．13-B ．13C ．3-D ．312．已知函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则sin 2α的值等于（ ）A ．2425-B ．35C ．2425D ．35二、填空题13．已知22034sin παα=<<，，则sin cos αα-=_____________________. 14．方程2sin 2cos 20x x ++=的解集为________.15．已知函数()22sin cos f x x x x ωωω=-，且()f x 图象的相邻对称轴之间的距离为π4，则当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为______． 16．设函数()cos 2sin f x x x =+，下述四个结论正确结论的编号是__________. ①()f x 是偶函数； ②()f x 的最小正周期为π； ③()f x 的最小值为0； ④()f x 在[]0,2π上有3个零点. 17．已知tan 3α=，则2sin 21sin cos 2ααα-=+_________． 18．已知1tan()3πα+=-，则sin 2cos 5cos sin αααα+=-______．19．若3sin 5αα=，是第二象限角，则sin 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．20．已知：3sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且α为第四象限角，则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________． 三、解答题21．已知函数()2sin cos 3cosf x x x x ωωω=+的周期为π，其中0>ω；（1）求ω的值，并写出函数()f x 的解析式；（2）设ABC 的三边a ，b ，c 依次成等比数列，角B 的取值范围为集合P ，则当x P ∈时求函数()f x 的值域.22．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）写出函数()f x 的最小正周期T 及ω、ϕ的值； （2）求函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间.23．已知m =(b sin x ，a cos x )，n =(cos x ，﹣cos x )，()f x m n a =⋅+，其中a ，b ，x ∈R .且满足()26f π=，(0)3f '=.（1）求a 和b 的值；（2）若关于x 的方程3()log 0f x k +=在区间[0，23π]上总有实数解，求实数k 的取值范围.24．已知()()cos 0f x x ωω=>（1）若f (x )的周期是π，求ω，并求此时()12f x =的解集； （2）若()()()21,32g x fx x f x πω⎛⎫==+-+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()g x 的值域.25．如图，扇形ABC 是一块半径为2千米，圆心角为60的风景区，P 点在弧BC 上，现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ 与AB 垂直，街道PR 与AC 垂直，线段RQ 表示第三条街道．（1）如果P 位于弧BC 的中点，求三条街道的总长度；（2）由于环境的原因，三条街道PQ 、PR 、RQ 每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？ 26．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边在直线430x y -=上.（1）求sin()απ+的值；（2）求2sin cos sin cos 1tan ααααα+--值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据基本初等函数的性质，以及函数奇偶性的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A 中，函数()sin f x x =，根据正弦函数的性质，可得函数()sin f x x =在[]1,1-上单调递增，不符合题意；对于B 中，函数lg y x =，满足()()lg lg f x x x f x -=-==，所以函数lg y x =为偶函数，不符合题意；对于C 中，函数()f x x =-，根据一次函数的性质，可得函数()f x x =-为奇函数，且在[]1,1-上单调递减函数，符合题意；对于D 中，函数()cos f x x =，满足()()cos()cos f x x x f x -=-==，所以函数()cos f x x =为偶函数，不符合题意.故选：C.2．D解析：D 【分析】利用函数()sin +y A x ωϕ=的图象变换规律对各个选项进行检验即可. 【详解】A. 1C 上各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2y x =，再向左平移6π个单位长度，得到2sin 2+=2sin 2+63y x x ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确； B. 1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2y x =，再向右平移56π个单位长度，得到5552sin 2=2sin 2=2sin 222sin 26333y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，正确； C. 1C 向左平移3π个单位长度，得到2sin +3y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2+3y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，正确； D. 1C 向左平移6π个单位长度，得到2sin +6y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2+6y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，错误.故选：D3．B解析：B 【分析】根据()tan f x x =，x ∈Z 图象与性质，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A ：()f x 的定义域关于原点对称，且()tan()tan ()f x x x f x -=-=-=-，x ∈Z ，故()f x 为奇函数，故A 错误；对于B ：()tan y f x x ==，x ∈Z 在定义域内一一对应，所以arctan =x y ，即()f x 的反函数为arctan y x =，故B 正确；对于C ：因为()tan f x x =，x ∈Z ，故()f x 图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以()f x 不具有周期性，故C 错误；对于D ：因为()tan f x x =，x ∈Z ，所以()f x 图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以()f x 的值域为一些点构成的集合，不是R ，故D 错误.故选：B4．A解析：A 【分析】先用诱导公式变形，然后再由两角和的正弦公式展开，再由两角差的正弦公式化简后可得． 【详解】∵在ABC 中，已知sin 2sin()cos C B C B =+，∴sin sin()2sin cos C A B A B =+=，∴sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，in 0()s A B -=， 又,(0,)A B π∈，∴0A B -=，A B =，三角形为等腰三角形． 故选：A ．5．C解析：C 【详解】∵tan sin cos A B B <，∴sin sin cos cos A BB A<，若A 是钝角，此不等式显然成立，三角形为钝角三角形，若A 是锐角，则sin sin cos cos A B A B <，cos cos sin sin cos()0A B A B A B -=+>，,A B 是三角形内角，∴02A B π<+<，从而()2C A B ππ=-+>，C 为钝角，三角形仍然为钝角三角形． 故选：C ． 【点睛】易错点睛：本题考查三角形形状的判断．解题过程中，由sin sin cos cos A BB A<常常直接得出sin sin cos cos A B A B <，然后可判断出C 是钝角，三角形是钝角三角形，也选择了正确答案，但解题过程存在不全面．即应该根据A 角是锐角还是钝角分类讨论．实际上就是不等式性质的应用要正确．6．A解析：A 【分析】利用余弦函数的对称轴以及整体思想可得：θ的表达式，进而得到θ的最小值． 【详解】由题意函数()cos 3f x x θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于直线2x π=对称，则有 1,32k πθπ⋅+= 解得 θ＝k π6π-，k ∈Z ，所以由此得|θmin6π=．故选：A ． 【点睛】方法点睛：求正余弦函数的对称轴及对称中心一般利用整体思想求解7．C解析：C 【分析】由切化弦，及两角和的正弦公式化简函数，然后由正弦函数的周期性得结论． 【详解】 由已知，()(1)cos f x x x =+cos x x =+12cos 2x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴最小正周期为221T ππ==， 故选：C ．8．B解析：B 【分析】按照三角函数的周期公式求最小正周期即可. 【详解】解：函数πsin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ==. 故选：B.9．D解析：D 【分析】先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定2ω=，再根据正弦函数的性质，结合给定区间，即可求出最值. 【详解】因为()21cos 22sin cos sin 22xf x x x x x ωωωωω+=-=- πsin 222sin 23x x x ωωω⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭由题意知()f x 的最小正周期为ππ242⨯=，所以2ππ22ω=，即2ω=，所以()π2sin 43f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π4,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2sin 423x ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，因此()π2sin 423f x x ⎛⎫⎡=-- ⎪⎣⎝⎭，所以函数()f x 的最小值为-． 故选：D.10．C解析：C 【分析】由对称写出两角的关系，然后利用诱导公式和二倍角公式计算． 【详解】由题意2,k k Z αβππ+=+∈，即2k βππα=+-，2221cos()cos(22)cos(2)cos 22sin 12139k αβαπππααα⎛⎫-=--=-=-=-=⨯-=-⎪⎝⎭．故选：C ．11．A解析：A 【分析】 运用α-、2πα-的诱导公式，计算即可得到.【详解】 解：1sin()43πα-=，即为1sin()43πα-=-， 即有1sin[()]243ππα-+=-， 即1cos()43πα+=-. 故选：A.12．C解析：C 【分析】由已知求出点P 的坐标，再利用三角函数的定义求出sin ,cos αα的值，进而可得到sin 2α的值【详解】解：因为函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过(4,3)， 所以点P 的坐标为(4,3) 因为角α的终边经过点P ， 所以34sin ,cos 55αα====， 所以3424sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=， 故选：C二、填空题13．【分析】结合二倍角的正弦公式和同角三角函数的基本关系由即可求出正确答案【详解】解：因为所以所以故答案为:解析：【分析】结合二倍角的正弦公式和同角三角函数的基本关系，由sin cos αα-=即可求出正确答案. 【详解】 解：因为04πα<<，所以0sin cos αα-<，所以3sin cos αα-====-，故答案为: 3-. 14．【分析】原方程化为关于的一元二次方程求得即可求解【详解】由得即解得或（舍去）所以故答案为： 解析：{}2,x x k k Z ππ=+∈【分析】原方程化为关于cos x 的一元二次方程，求得cos 1x =-，即可求解. 【详解】由2sin 2cos 20x x ++= 得21cos 2cos 20x x -++=， 即2cos 2cos 30x x --=，解得cos 1x =-或cos 3x =（舍去）， 所以2,x k k Z ππ=+∈故答案为：{}2,x x k k Z ππ=+∈15．【分析】先将函数化简整理根据相邻对称轴之间距离求出周期确定再根据正弦函数的性质结合给定区间即可求出最值【详解】因为由题意知的最小正周期为所以即所以当时所以因此所以函数的最小值为故答案为：解析：-【分析】先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定2ω=，再根据正弦函数的性质，结合给定区间，即可求出最值. 【详解】因为()21cos 22sin cos sin 22xf x x x x x ωωωωω+=-=- πsin 222sin 23x x x ωωω⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭由题意知()f x 的最小正周期为ππ242⨯=，所以2ππ22ω=，即2ω=，所以()π2sin 43f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π4,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2sin 423x ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，因此()π2sin 423f x x ⎛⎫⎡=-- ⎪⎣⎝⎭，所以函数()f x 的最小值为-．故答案为：-16．①②③【分析】对①根据即可判断①正确对②根据函数和的最小正周期即可判断②正确对③首先得到再利用二次函数的性质即可判断③正确对④令解方程即可判断④错误【详解】对①因为函数的定义域为所以是偶函数故①正确解析：①②③ 【分析】对①，根据()()f x f x -=即可判断①正确，对②，根据函数cos 2y x =和sin y x=的最小正周期即可判断②正确，对③，首先得到()2192sin 48f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，再利用二次函数的性质即可判断③正确，对④，令()cos 2sin 0f x x x =+=，解方程即可判断④错误. 【详解】对①，因为函数()f x 的定义域为R ，()()()cos 2sin =cos 2sin f x x x x x f x -=-+-+=，所以()f x 是偶函数，故①正确；对②，因为cos 2cos2y x x ==，最小正周期为π，sin y x =的最小正周期为π，所以函数()cos 2sin f x x x =+的最小正周期为π，故②正确； 对③，()2cos 2sin cos2sin 12sin sin f x x x x x x x =+=+=-+2192sin 48x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.因为0sin 1x ≤≤，当sin 1x =时，()f x 取得最小值为0，故③正确. 对④，令()cos 2sin 0f x x x =+=，即212sin sin 0x x -+=，解得sin 1x =或1sin 2x =-（舍去）. 当[]0,2x π∈时，sin 1x =，解得2x π=或32x π=， 所以()f x 在[]0,2π上有2个零点.故④错误. 故选：①②③17．【分析】可将式子化简为即可求解【详解】故答案为： 解析：4-【分析】可将式子化简为22tan tan 1αα--，即可求解. 【详解】tan 3α=,()22222sin cos sin cos sin 21sin cos 2cos αααααααα-+-∴=+ 222tan tan 123314αα=--=⨯--=-. 故答案为：4-.18．【分析】由已知条件求出再根据同角公式弦化切可解得结果【详解】故答案为：【点睛】关键点点睛：弦化切求解是解题关键 解析：516【分析】由已知条件求出1tan 3α=-，再根据同角公式弦化切可解得结果. 【详解】1tan()3πα+=-，1tan 3α∴=-，sin 2cos tan 25cos sin 5tan αααααα++∴=--123153-+=⎛⎫-- ⎪⎝⎭516=． 故答案为：516【点睛】关键点点睛：弦化切求解是解题关键.19．【分析】根据条件分别求再代入求两角和的正弦【详解】且是第二象限角故答案为：解析：【分析】根据条件分别求cos α，sin 2α，cos2α，再代入求两角和的正弦 【详解】3sin 5α=，且α是第二象限角，4cos 5α∴==- 27cos 22cos 125αα∴=-=，3424sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，)sin 2sin 2cos 24250πααα⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭.故答案为：50-20．【分析】由诱导公式求得然后由平方关系求得再由两角和的余弦公式可得结论【详解】由已知又为第四象限角∴∴故答案为：【分析】由诱导公式求得cos α，然后由平方关系求得sin α，再由两角和的余弦公式可得结论． 【详解】 由已知3sin cos 25παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，又α为第四象限角，∴4sin 5α=-，∴34cos cos cos sin sin ()444525210πππααα⎛⎫+=-=⨯--⨯= ⎪⎝⎭． 三、解答题21．（1）1ω=，()sin 32+f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭2）22⎣⎦. 【分析】（1）先逆用两角差的正弦公式化成正弦型函数的标准形式，然后利用周期公式2T ωπ=求ω的值，进而写出函数()f x 的解析式；（2）利用余弦定理结合基本不等式求出cos B 的范围，再根据B 为三角形的内角求出B 的范围，得出()f x 的定义域，从而求出()f x 的值域. 【详解】解：（1）()2sin cos f x x x x ωωω=)1cos 21sin 2+22x x ωω+=sin 2++32x πω⎛⎫= ⎪⎝⎭由22T ππω==，解得1ω=，所以函数()f x 的解析式为()sin 32+f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2）因为2b ac =,所以222cos 2a c b B ac +-==22121122222a c ac ac ac +-≥-=，当且仅当a c =时取“=”；又B 为三角形内角，所以03B π<≤，即03x π<≤,所以2+33x πππ<≤,所以0sin 2+13x π⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin 2++2322x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即函数()f x 的值域是,1+22⎣⎦. 【点睛】关键点点睛：运用三角恒等变换将函数化成正弦型函数的标准形式，利用余弦定理和基本不等式将三角形的边的关系转化为角的范围. 22．（1）T π=，2ω=，3πϕ=；（2）,412ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 【分析】（1）由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式．（2）由以上可得，()sin(2)3f x x π=+，再利用正弦函数的性质，求出函数在区间上的单调性． 【详解】解：（1）根据函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的部分图象，可得32134123πππω=-，解得2ω=，∴最小正周期22T ππ==．所以()sin(2)f x x ϕ=+ 因为函数过13,112π⎛⎫⎪⎝⎭，所以13sin 2112πϕ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，所以()13262k k Z ππϕπ+=+∈，解得()523k k Z πϕπ=-+∈ 因为2πϕ<，所以3πϕ=．所以()sin(2)3f x x π=+（2）由以上可得，()sin(2)3f x x π=+，在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，所以2[36x ππ+∈-，5]6π，令2632x πππ-≤+≤，解得412x ππ-≤≤ 即函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为,412ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】求三角函数的解析式时，由2Tπω=即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.23．（1）2a =，b =2）1[,1]27. 【分析】（1）化简函数()sin 2cos 2222b a a f x x x =-+，由()26f π=，解得8a =，再由(0)f '=，进而求得,a b 的值；（2）由（1）化简得()2sin(2)16f x x π=-+，根据2[0,]3x π∈，得到0()3f x ≤≤，结合方程3()log 0f x k +=在区间2[0,]3π上总有实数解，转化为3()log f x k =-在区间2[0,]3π上成立，列出不等式，即可求解. 【详解】 （1）由题意，函数2()sin cos cos f x m n a b x x a x a =⋅+=-+1cos 2sin 222b x x a a +=-+sin 2cos 2222b a a x x =-+，由()26f π=得，8a =，因为()cos 2sin 2f x b x a x '=+，又(0)f '=，所以b =2a =.（2）由（1）得()2cos 212sin(2)16f x x x x π=-+=-+，因为2[0,]3x π∈，所以72[,]666x πππ-∈-， 所以1sin(2)126x π-≤-≤，所以02sin(2)136x π≤-+≤，即0()3f x ≤≤，又因为方程3()log 0f x k +=在区间2[0,]3π上总有实数解， 所以3()log f x k =-在区间2[0,]3π上成立， 所以30log 3k ≤-≤，33log 0k -≤≤，3333log 3log log 1k -≤≤所以1127k ≤≤，所以实数k 的取值范围为1[,1]27. 【点睛】利用函数的图象求解方程的根的个数或研究不等式问题的策略：利用函数的图象研究方程的根的个数：当方程与基本性质有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程()0f x =的根就是函数()f x 与x 轴的交点的横坐标，方程()()f x g x =的根据就是函数()f x 和()g x 图象的交点的横坐标；利用函数研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 24．（1）2ω=；{|,}6ππ=±∈x x k k Z ；（2）1[-,1]2. 【分析】（1）由条件求出2ω=，然后可得答案；（2）将()g x 化为()1cos(2)32g x x π=++，然后可算出其值域.【详解】 （1）由2T ππω==得2ω=；此时令1()cos22f x x ==得223x k ππ=±,6x k k Z ππ∴=±∈ 所求方程的解集为{|,}.6x x k k Z ππ=±∈（2）()2cos )cos()2g x x x x π=-+2cos sin x x x =1cos212cos(2)232x x x π+==++ 4022333x x ππππ≤≤∴≤+≤11cos(2)32x π∴-≤+≤ 11cos(2)1232x π∴-≤++≤即()g x 的值域为1[-,1]225．（1）2+（千米）；（2）. 【分析】（1）根据P 位于弧BC 的中点，则P 位于BAC ∠的角平分线上，然后分别在,,Rt APQ Rt APR 正AQR 中求解.（2）设PAB θ∠=，060θ<<︒，然后分别在,Rt APQ Rt APR 表示 PQ ，PR ，在AQR 中由余弦定理表RQ ，再由300200400W PQ PR RQ =⨯+⨯+⨯求解.【详解】（1）由P 位于弧BC 的中点，在P 位于BAC ∠的角平分线上， 则1||||||sin 2sin30212PQ PR PA PAB ==∠=⨯︒=⨯=，||cos 2AQ PA PAB =∠== 由60BAC ∠=︒，且AQ AR =，∴QAR 为等边三角形，则||RQ AQ ==三条街道的总长||||||112l PQ PR RQ =++=++ ； （2）设PAB θ∠=，060θ︒<<︒， 则sin 2sin PQ AP θθ==，PR AP =()()sin 602sin 603cos sin θθθθ-=-=-， cos 2cos AQ AP θθ==，||||cos(60)2cos(60)cos AR AP θθθθ=-=-=+，由余弦定理可知：2222cos60RQ AQ AR AQ AR =+-，22(2cos )(cos )22cos (cos )cos 603θθθθθθ=+-⨯+=，则|RQ =设三条街道每年能产生的经济总效益W ，300200400W PQ PR RQ =⨯+⨯+⨯，3002sin sin )200θθθ=⨯+-⨯+，400sin θθ=++200(2sin )θθ=++)θϕ=++tan ϕ=，当()sin 1θϕ+=时，W 取最大值，最大值为 【点睛】方法点睛：解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 26．（1）45-或45；（2）75-或75； 【分析】（1）在直线430x y -=上任取一点4(,)3P m m (0)m ≠，由已知角α的终边过点4(,)3P m m ，利用诱导公式与三角函数定义即可求解，要注意分类讨论m 的正负.（2）先利用商的关系化简原式为sin cos αα+，结合第一问利用三角函数定义分别求得cos α与sin α，要注意分类讨论m 的正负.【详解】（1）在直线430x y -=上任取一点4(,)3P m m (0)m ≠，由已知角α的终边过点4(,)3P m m ，x m ∴=，43y m =，53r OP m ==利用诱导公式与三角函数定义可得：sin()sin 443553mm m m απα=-=-+=-，当0m >时，4in()5s απ-+=；当0m <时，4sin()5απ+=（2）原式22222sin cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos 1cos αααααααααααααααα-=+=+=-----()()sin cos sin cos sin cos sin cos αααααααα+-==+-同理（1）利用三角函数定义可得：3553cos m mm m α==， 当0m >时，4sin 5α，3cos 5α=，此时原式75=；当0m <时，4sin 5α=-，3cos 5α=-，此时原式75=-；【点睛】易错点睛：本题考查三角函数化简求值，解本题时要注意的事项：角α的终边在直线430x y -=上，但未确定在象限，要分类讨论，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题.。
人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》测试题(含答案解析)
一、选择题1．将函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移π6个单位，则所得图像对应的解析式为（ ） A ．sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．sin 212x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ 2．已知5π2sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．5-B ．19-C ．5 D ．193．如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C ，测得塔顶的仰角为θ，由C 向塔前进30米后到点D ，测得塔顶的仰角为2θ，再由D 向塔前进103米后到点E ，测得塔顶的仰角为4θ，则塔高为（ ）米．A ．10B ．2C ．15D ．1524．已知α为第二象限角，且π3cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ）． A ．34-B ．43- C ．53- D ．45-5．若角α的终边过点(3,4)P -，则cos2=α（ ） A ．2425- B ．725 C ．2425D ．725-6．计算cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒的结果是（ ）.A ．3B ．12-C ．32D ．127．2cos 232cos()4θθθ=-，则sin 2θ=（ ）A ．13B ．23C ．23-D ．13-8．设31cos 29sin 2922a =-，1cos662b -=、22tan161tan 16c =+，则有（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>9．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若2sin 3α=，则()cos αβ-=（ ） A ．19B ．459C ．19-D ．459-10．已知()1sin 2=-f x x x ，则()f x 的图象是（ ）． A ． B ．C ．D ．11．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到g()sin 34x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π2个单位长度 D ．向左平移π2个单位长度 12．已知tan 2α=，则sin sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．310-B ．310 C ．35D ．35二、填空题13．在半径为2米的圆形弯道中，56π角所对应的弯道为_________． 14．已知()3sin 23cos sin 1f x x x x =-⋅+，若()32f a =，则()f a -=______.15．角θ的终边经过点(1,P ，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________. 16．已知函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点；②()f x 在(0,2)π上有且仅有2个极小值点：③()f x 在(0,2)π上单调递增；④ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭．其中结论正确的是______．（填写所有正确结论的序号）．17．已知1tan 43πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2θ的值为_______．18．将函数()cos 2f x x =图象上的所有的点向左平移4π个单位长度后，得到函数g (x )的图象，如果g (x )在区间[0]a ，上单调递减，那么实数a 的最大值为_________. 19．已知tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin sin 2αα+=______. 20．对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值，若有且仅有一个正数a 使得[][]0,,2a a a M kM =成立，则实数k 的取值范围是_________.三、解答题21．已知函数)(cos cos 2f x x x x =+.（1）求)(f x 的最小正周期和值域.（2）求)(f x 的单调区间.22．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，且满足63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移06πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x 、2x 有12min7x x π-=，求ϕ的值.23．若函数223sin cos 2cos y x x x =+. （1）求这个函数的单调递增区间.（2）求这个函数的最值及取得最值时的x 集合. 24．已知()()3sin f x x a ωϕ=++0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象过点,12a π⎛⎫⎪⎝⎭，且图象的相邻两条对称轴的距离为2π. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值之和为3，求实数a 的值. 25．已知函数()sin (sin 3cos )1f x x x x =+-. （1）若(0,)2πα∈，且1sin 2α=，求()f α的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.26．如图，扇形ABC 是一块半径为2千米，圆心角为60的风景区，P 点在弧BC 上，现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ 与AB 垂直，街道PR 与AC 垂直，线段RQ 表示第三条街道．（1）如果P 位于弧BC 的中点，求三条街道的总长度；（2）由于环境的原因，三条街道PQ 、PR 、RQ 每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据正弦型函数的图像的变换规律进行求解即可. 【详解】 将函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得到的函数的解析式为：sin 24x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将sin 24x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移π6个单位，得到的函数的解析式为：1sin[]264y x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，化简得：sin 26x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：C2．D解析：D 【分析】先用诱导公式化为5cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再用二倍角公式计算．【详解】225521cos 2cos 212sin 1233639a a πππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-+--⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D 3．C解析：C 【分析】由,2,4PCA PDA PEA θθθ∠=∠=∠=，得PDE △是等腰三角形，且可求得230θ=︒，在直角PEA 中易得塔高PA ． 【详解】由题知,2CPD PCD DPE PDE θθ∠=∠=∠=∠=∴30PE DE PD CD ==== ∴等腰EPD △的230θ︒=，∴460θ︒= ∴Rt PAE 中，AE =15PA =．故选：C ．4．A解析：A 【分析】 由已知求出3sin 5α=，即可得cos α，进而求出所求. 【详解】 ∵π3cos 25α⎛⎫-=⎪⎝⎭，∴3sin 5α=，∵α为第二象限角，∴4cos 5α==-， ∴sin 3tan cos 4ααα==-． 故选：A ．5．D解析：D 【分析】先利用任意角三角函数的定义求sin α和cos α，再利用二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】由角α的终边过点(3,4)P -知，4sin 5α，3cos 5α=-，故229167cos 2cos sin 252525ααα=-=-=-. 故选：D.6．C解析：C 【分析】 直接化简求值即可. 【详解】解： cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒()cos 219=︒+︒cos30=︒2=. 故选：C.7．B解析：B 【分析】由二倍角公式和差的余弦公式化简得出()2cos sin 2θθθ-=，再平方即可求出. 【详解】)22cos sin2cos()cos cos sin sin444θθθπππθθθ-=-+()cos sin cos sin2cos sinθθθθθθ+-==-，()2cos sin2θθθ∴-=，两边平方得()241sin23sin2θθ-=，解得sin22θ=-（舍去）或2sin23θ=.故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查三角恒等变换的化简问题，解题的关键是能正确利用二倍角公式和差的余弦公式将已知等式化简为()2cos sin2θθθ-=，再平方求解.8．B解析：B【分析】由两角差的正弦公式，余弦和正正弦的二倍角公式化简,,ab c，然后由正弦函数的单调性得出结论．【详解】129si sin(6029)si3n29122na =︒-︒=︒=-，b=sin33==︒，2222sin162tan16cos162sin16sin161tan161ccos16sin32os16c===︒︒︒︒=︒︒︒++，显然sin31sin32sin33︒<︒<︒，所以a c b<<．故选：B．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数值的比较大小，解题方法是首先化简各函数，应用三角函数恒等变换公式化简函数，注意转化为同一个三角函数，并且把角转化到三角函数的同一单调区间上，然后由三角函数的单调性得大小关系．9．C解析：C【分析】由对称写出两角的关系，然后利用诱导公式和二倍角公式计算． 【详解】由题意2,k k Z αβππ+=+∈，即2k βππα=+-，2221cos()cos(22)cos(2)cos 22sin 12139k αβαπππααα⎛⎫-=--=-=-=-=⨯-=-⎪⎝⎭．故选：C ．10．B解析：B 【分析】先判断函数的奇偶性，然后计算特殊点的函数值确定选项. 【详解】()()1sin 2f x x x f x -=-+=-，()f x ∴为奇函数，∴图象关于原点对称，故排除A ，D ；当π2x =时，ππ1024f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故排除C ． 故选：B. 【点睛】根据函数解析式选择函数图象问题的一般可从以下几点入手： （1）判断函数的定义域；（2）判断原函数的奇偶性，根据图象的对称性排除某些选项； （3）代入特殊点求函数值，排除某些选项.11．A解析：A 【分析】首先根据函数()f x 的图象得到()sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数的平移变换即可得到答案. 【详解】 由题知：541246T πππ=-=，所以223T ππω==，解得3ω=. 3sin 044f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以324k πϕππ+=+，k Z ∈，解得24k ϕπ=+π，k Z ∈. 又因为2πϕ<，所以4πϕ=，()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.因为4436πππ--=-，所以只需将()f x 的图象向右平移π6个单位长度.故选：A 12．B解析：B 【分析】利用两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系式化简所求表达式，由此求得所求表达式的值. 【详解】sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 444444ππππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22222211sin cos sin cos 22sin cos αααααα-=-=⨯+ 221tan 114132tan 124110αα--=⨯=⨯=++. 故选：B二、填空题13．【分析】根据扇形的弧长公式即可求解【详解】由题意根据扇形的弧长公式可得所对应的弯道为故答案为： 解析：53π 【分析】根据扇形的弧长公式，即可求解. 【详解】由题意，根据扇形的弧长公式，可得所对应的弯道为55263ππ⨯=. 故答案为：53π. 14．【分析】令求出再由奇函数的性质求解【详解】令易证为奇函数所以所以故答案为： 解析：12【分析】令()3sin 23cos sin g x x x x =-⋅，求出()12g a =，再由奇函数的性质求解()f a -. 【详解】令()3sin 23cos sin g x x x x =-⋅，易证()g x 为奇函数.()()312f a g a =+=，所以()12g a =，所以()()()1112f ag a g a -=-+=-+=.故答案为：1215．【分析】利用正弦函数定义求得再由正弦函数两角和的公式计算【详解】由题意所以故答案为：解析：12-【分析】利用正弦函数定义求得sin θ，再由正弦函数两角和的公式计算 【详解】 由题意3sin 2θ=-，1cos 2θ=，所以，31sin sin cos 62πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭311442=-+=-， 故答案为：12-16．①④【分析】作出函数的图象根据在有且仅有5个零点再逐项判断【详解】如图所示：由图象可知在上有且仅有3个极大值点故①正确;在上可能有3个极小值点故②错误；因为函数在有且仅有5个零点所以解得故④正确；因解析：①④ 【分析】作出函数的图象，根据()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，再逐项判断. 【详解】 如图所示：由图象可知()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点，故①正确; ()f x 在(0,2)π上可能有3个极小值点，故②错误；因为函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,2]π有且仅有5个零点，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，故④正确；因为()0,2x π∈，所以,2555x πππωπω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，若()f x 在(0,2)π上单调递增，则252πππω+<，解得320ω<，不符合1229510ω≤<，故③错误；故答案为：①④ 【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出函数的图象，根据零点的个数确定ω的范围.17．【分析】利用三角恒等变换公式得到求出后进而求出cos2即可【详解】由题意可知解得则故答案为 解析：35【分析】利用三角恒等变换公式，得到tan 11tan 41tan 3πθθθ-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，求出tan θ后，进而求出cos2θ即可 【详解】由题意可知，tan 11tan 41tan 3πθθθ-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，解得tan 2θ=，则222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++ 故答案为35. 18．【分析】求出的平移后的解析式再利用函数在区间上是单调递减函数从而得到的最大值【详解】由题意将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象因为函数在区间上是单调递减所以解得所以实数的最大值为故答案为：解析：4π【分析】求出()y g x =的平移后的解析式，再利用函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数，从而得到a 的最大值.【详解】由题意，将函数()cos 2f x x =的图象向左平移4x个单位长度，得到函数()cos 2+n 4si 2g x x x π⎡⎤⎛⎫==- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，因为函数()g x 在区间[0]a ，上是单调递减，所以022a π<≤，解得04a π<≤，所以实数a 的最大值为4π. 故答案为：4π. 19．1【分析】首先根据已知条件求得再结合齐次方程求得【详解】由已知得解得所以故答案为：1解析：1 【分析】首先根据已知条件求得tan α，再结合齐次方程求得2sin sin 2αα+. 【详解】 由已知得1tan 31tan αα+=-，解得1tan 2α=.所以22222211sin 2sin cos tan 2tan 4sin sin 211sin cos tan 114αααααααααα++++====+++. 故答案为：120．【分析】讨论的范围得出的表达式求出的值域即可【详解】①当时由得所以此时即则即；②当时由得此时即；③当时由得所以此时则即；④当时则由得不成立此时不存在；⑤当时由得所以此时则即；⑥当时由得综上实数的取值解析：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】讨论a 的范围得出k 的表达式，求出()k f a =的值域即可. 【详解】①当0,4πa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]20,,sin ,sin 22a a a πa M a M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[][]0,,2a a a M kM =，得sin sin 2a k a =，所以12cos k a=，此时cos 12a ≤≤2cos 2a ≤≤，则1122cos a ≤≤12k ⎡∈⎢⎣⎦；②当,42ππa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]2,,sin ,12a a a πa πM a M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[][]0,,2a a a M kM =，得sin k a =，此时sin 12a ≤≤，即2k ⎤∈⎥⎣⎦； ③当,2a ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()[0,][,2]2,2,1,sin a a a a M M a ππ∈==， 由[][]0,,2a a a M kM =，得1sin k a =，所以1sin k a=， 此时0sin 1a <<，则11sin a>，即()1,k ∈+∞； ④当a π=时，22a π=，则[0,][,2]1,0a a a M M ==， 由[][]0,,2a a a M kM =，得10=不成立，此时k 不存在； ⑤当5,4πa π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，[0,][,2]522,,1,sin 22a a a a ππM M a ⎛⎫∈== ⎪⎝⎭， 由[][]0,,2a a a M kM =，得1sin 2k a =，所以1sin 2k a=， 此时0sin 21a <<，则11sin 2a>，即()1,k ∈+∞； ⑥当5,+4a π⎡⎫∈∞⎪⎢⎣⎭时，[0,][,2]52,,1,12a a a a πM M ⎡⎫∈+∞==⎪⎢⎣⎭， 由[][]0,,2a a a M kM =，得1k =， 综上，实数k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查三角函数最值的求解，解题的关键是分段讨论a 的范围，根据a 的不同取值范围得出k 的表达式，再利用三角函数的性质求解.三、解答题21．（1）周期为π，值域为]2,2⎡-⎣；（2）单调递增区间为)(,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎦⎣，单调递减区间为)(2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎦⎣.【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简可得)(2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪ ⎭⎝，则可求出周期和值域；（2）解不等式)(222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈可得单调递增区间，解不等式)(3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈可得单调递减区间. 【详解】（1）∵)(cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫==+⎪ ⎭⎝， 所以，函数)(y f x =的周期为22T ππ==，值域为]2,2⎡-⎣. （2）解不等式)(222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得)(36k k k Z ππππ-≤+∈， 所以，函数)(y f x =的单调递增区间为)(,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎦⎣，解不等式)(3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得)(263k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 因比，函数)(y f x =的单调递减区间为)(2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎦⎣. 22．（1）37π；（2）14π. 【分析】（1）题意说明周期6T π≥，4x π=是最小值点，由最小值点得ω表达式，由6T π≥得ω的范围，从而得ω的值；（2）()()122f x g x -=∣∣说明()()12,f x g x 中一个对应最大值，一个对应最小值.对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314π，由此可得． 【详解】（1）由()sin ,(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值， 可知：236T πππω-≤=，故有012ω<≤.又6x π=与3x π=在一个周期内，且63f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；4x π∴=时，函数取到最小值.2,()432k k Z πππωπ∴+=-+∈ 故有1083k ω=-+， 又因为012ω<≤，所以143ω=. 所以函数()f x 的最小正周期为37π. （2）由()()122f x g x -=∣∣可知的()()12,f x g x 中一个对应最大值，一个对应最小值. 对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314π. ∴有12min314x x πϕ-+=. 即314714πππϕ=-=.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的周期，解题关键是由足()()122f x g x -=得出12,x x 是函数的最值点，一个是最大值点，一个是最小值点，由此分析其其差的最小值与周期结合可得结论． 23．（1）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）函数的最大值为max 3y =，取得最大值时的x 集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；函数的最小值为min 1y =-，取得最小值时的x 集合为,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简得2sin 216y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据整体代换法求函数的单调递增区间即可；（2）根据三角函数的性质求解即可. 【详解】解：（1）2cos 2cos 2cos 212sin 216y x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭， 因为函数sin y x =在区间2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数2cos 2cos y x x x =+的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）得2sin 216y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 所以函数的最大值为max 3y =，当且仅当22,62x k k Z πππ+=+∈，即：,6x k k Z ππ=+∈时取得；函数的最小值为min 1y =-，当且仅当22,62x k k Z πππ+=-+∈，即：,3x k k Z ππ=-+∈时取得；所以函数的最大值为max 3y =，取得最大值时的x 集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；函数的最小值为min 1y =-，取得最小值时的x 集合为,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据题意，结合二倍角公式和辅助角公式将已知三角函数表达式化简整理得2sin 216y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，考查运算求解能力，是中档题. 24．（1）单调递增区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）34. 【分析】（1）根据图象上相邻两条对称轴的距离为2π可知周期为π，可确定2ω=，然后将点,12a π⎛⎫⎪⎝⎭代入求解出ϕ的值，利用整体法求解原函数的单调区间即可. （2）由（1）中的结果可知()f x 在,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性，确定出()f x 在,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，得到关于a 的方程求解即可. 【详解】（1）由函数()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为2π， 得函数()f x 的最小正周期T π=， ∴22πωπ==.又函数()f x 的图象过点,12a π⎛⎫⎪⎝⎭，∴21212f a a ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴sin 2012πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，6k πϕπ+=.∵||2ϕπ<，∴6πϕ=-，则()26f x x a π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.令222262k x k πππππ-≤-≤+，解得63x k πππ-≤≤+，()k ∈Z ，3222262k x k πππππ+≤-≤+， 解得536k x k ππππ+≤≤+，()k ∈Z ∴函数()f x 的单调递增区间为,()63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，单调递减区间为5,(k )36k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . （2）由（1）知，函数()f x 在,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,32ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，又3122f a π⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，3f a π⎛⎫= ⎪⎝⎭，22f a π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值之和为32a a -++=∴34a =. 【点睛】本题考查三角函数图象性质的综合应用，解答时只要方法如下：（1）求解三角函数单调区间时一般采用整体代换法，将自变量部分的代数式当做一个整体，利用正弦函数、余弦函数的单调性列出不等式求解即可；（2）求解三角函数在某固定区间上的最值或值域时，关键是分析清楚原函数在所给区间上的单调性，利用单调性确定取得最大值或最小值的点，确定最值；也可以采用换元法，将函数()sin y A ωx φ=+的最值转化为求sin y A t =的最值问题，只需根据格据正弦函数的图像性质确定即可. 25．（1）12；（2）T π=；调递增区间为[,]63k k ππππ-+，k Z ∈. 【分析】先把函数()f x 化简，（1）根据条件即可求出角α的大小，代入解析式即可求解.（2）根据周期定义即可求出周期，再利用整体代换思想代入正弦函数的递增区间求出x 的范围即可求解. 【详解】21()sin (sin )1sin cos 1sin(2)62f x x x x x x x x π=-=-=--，（1）由(0,)2πα∈，1sin 2α=，可得6πα=，所以1()sin(2)sin 66662f ππππ=⨯-==，（2）函数周期为22T ππ==， 令2[2,2]622x k k πππππ-∈-+，k Z ∈， 解得[,]63x k k ππππ∈-+，k Z ∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为[,]63k k ππππ-+，k Z ∈.26．（1）2+（千米）；（2）. 【分析】（1）根据P 位于弧BC 的中点，则P 位于BAC ∠的角平分线上，然后分别在,,Rt APQ Rt APR 正AQR 中求解.（2）设PAB θ∠=，060θ<<︒，然后分别在,Rt APQ Rt APR 表示 PQ ，PR ，在AQR 中由余弦定理表RQ ，再由300200400W PQ PR RQ =⨯+⨯+⨯求解.【详解】（1）由P 位于弧BC 的中点，在P 位于BAC ∠的角平分线上， 则1||||||sin 2sin30212PQ PR PA PAB ==∠=⨯︒=⨯=，||cos 2AQ PA PAB =∠== 由60BAC ∠=︒，且AQ AR =，∴QAR 为等边三角形，则||RQ AQ ==三条街道的总长||||||112l PQ PR RQ =++=++ ； （2）设PAB θ∠=，060θ︒<<︒， 则sin 2sin PQ AP θθ==，PR AP =()()sin 602sin 603cos sin θθθθ-=-=-， cos 2cos AQ AP θθ==，||||cos(60)2cos(60)cos AR AP θθθθ=-=-=+，由余弦定理可知：2222cos60RQ AQ AR AQ AR =+-，22(2cos )(cos )22cos (cos )cos 603θθθθθθ=+-⨯+=，则|RQ =设三条街道每年能产生的经济总效益W ，300200400W PQ PR RQ =⨯+⨯+⨯，3002sin sin )200θθθ=⨯+-⨯+，400sin θθ=++200(2sin )θθ=++)θϕ=++tan ϕ=，当()sin 1θϕ+=时，W 取最大值，最大值为 【点睛】方法点睛：解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．。
珠海市九中必修第一册第五单元《三角函数》测试题(含答案解析)
一、选择题1．将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移12π个单位得到函数()g x 的图像，在()g x 的图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（ ） A ．24x π=-B ．4πx =-C ．524x π=-D ．12x π=2．下列三个关于函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的命题：①只需将函数()2g x x =的图象向右平移6π个单位即可得到()f x 的图象；②函数()f x 的图象关于5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③函数()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增． 其中，真命题的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．03．已知α为第二象限角，且π3cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ）． A ．34-B ．43-C ．53-D ．45-4．将函数()22sin cos f x x x x =+的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的一个对称中心是（ ）A ．π,03⎛⎫⎪⎝⎭B ．(πC ．π,06⎛⎫-⎪⎝⎭D ．π6⎛-⎝5．已知函数()1cos 2f x x x ωω=-（0>ω）的图象与直线1y =的相邻两个交点距离等于π，则()f x 的图象的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=6．已知()tan f x x =，x ∈Z ，则下列说法中正确的是（ ） A ．函数()f x 不为奇函数B ．函数()f x 存在反函数C ．函数()f x 具有周期性D ．函数()f x 的值域为R7．已知函数()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的单调递增区间为(),26212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称 8．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为（ ） A ．80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．函数1()11f x x=+-的图象与函数()2sin 1(24)g x x x π=+-的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．210．已知函数()cos 2cos sin(2)sin f x x x ϕπϕ=⋅-+⋅在3x π=处取得最小值，则函数()f x 的一个单调递减区间为（ ）A ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭11．sin 20cos10cos160sin10-=（ ）A ．B ．12C ．12-D 12．若1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）.A ．79-B ．13-C ．13D ．79二、填空题13．已知角θ和角ϕ的始边均与x 轴正半轴重合，终边互相垂直，若角θ的终边与单位圆交于点01,3P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos ϕ=__________________． 14．在半径为2米的圆形弯道中，56π角所对应的弯道为_________．15．已知()tan 3πα+=，则2tan 2sin αα-的值为_______. 16．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x =______.17．已知一扇形的圆心角为3π，弧长是cm π，则扇形的面积是__________2cm ． 18．函数f （x ）=sin 2x +sin x cos x +1的最大值是________.19．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象关于原点对称，且在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则ω的取值范围为______. 20．已知α，β，且()()1tan 1tan 2αβ-+=，则αβ-=______．三、解答题21．如图，在ABC 中，CD AB ⊥于D ，且3BD AD =.（1）若2BCD ACD ∠=∠，求角A 的大小； （2）若1cos 3A =，求tan C 的值. 22．已知函数()()sin f x A x =+ωϕπ0,0,02A ωϕ⎛⎫>><< ⎪⎝⎭的部分图象如下图所示，最高点的坐标为()1,1．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将()f x 的图象向左平移4个单位长度，横坐标扩大为原来的π2倍，得到()g x 的图象，求函数()g x 在[]π,2π-上的单调递增区间；（3）若存在5,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，对任意[]1,1a ∈-，不等式()27202f x m am -++≤恒成立，求m 的取值范围．23．设函数21()sin cos 2f x x x x ωωω=+-的图象关于直线x π=对称，其中ω为常数，且1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图象向右平移10π个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的56倍，得到函数()y g x =的图象，若关于x 的方程()0g x k +=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，求实数k 的取值范围. 24．已知函数212()2cos sin 1f x x x ωω=+-． （Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）从①11ω=，21ω=； ②11ω=，22ω=这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数()f x 在[,]26ππ-上的最小值，并求函数()f x 的最小正周期．25．设函数2()cos sin 3f x x x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期； （2）当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最值.26．已知函数())2cos cos 1f x xx x =-+（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间. （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【分析】利用三角函数的伸缩变换和平移变换，得到()22sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，然后令24,32x k k Z πππ+=+∈求解. 【详解】 将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，2sin 43y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 再将所得图像向左平移12π个单位得到函数()22sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 令24,32x k k Z πππ+=+∈， 解得,424k x k Z ππ=-∈， 所以在()g x 的图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为24x π=-，故选：A2．C解析：C 【分析】先对函数()f x 进行化简，得到()26f x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对于①运用三角函数图像平移进行判断；对于②计算出函数()f x 的对称中心进行判断；对于③计算出函数()f x 的单调增区间进行判断. 【详解】因为1()sin 2sin 2sin 22sin 232f x x x x x x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭3sin 2222x x =-26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于①，将函数()2g x x =的图像向右平移6π个单位可得函数23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，得不到()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故①错误； 对于②，令()26x k k Z ππ-=∈，解得()122k x k Z ππ=+∈，故无论k 取何整数，函数()f x 的图像不会关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故②错误； 对于③，当()222262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，即()63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈时函数()f x 递增，当0k =时，()f x 的一个递增区间为,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故③正确.只有1个命题正确. 故选：C 【点睛】思路点睛：解答此类题目需要熟练掌握正弦型函数的单调性、对称性，以及三角函数的图像平移，在计算单调区间和对称中心时要能够通过整体代入计算求出结果，如()222262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈等.3．A解析：A 【分析】 由已知求出3sin 5α=，即可得cos α，进而求出所求. 【详解】∵π3cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴3sin 5α=，∵α为第二象限角，∴4cos 5α==-， ∴sin 3tan cos 4ααα==-． 故选：A ．4．B解析：B 【分析】首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数()f x 化简 ，再根据三角函数的变换规则求出()g x 的解析式，最后根据正弦函数的性质求出函数的对称中心；【详解】解：()22sin cos f x x x x =+())sin 2cos21f x x x ∴=+ ()sin 2f x x x ∴=()π2sin 23f x x ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭将()f x 向右平移π6个单位长度得到()g x ， ()ππ2sin 263g x x ⎡⎤⎛⎫∴=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()2sin 2g x x ∴=∴()g x 的对称中心为()π2k k ⎛∈ ⎝Z ，当2k =时为(π. 故选：B.5．D解析：D 【分析】首先化简函数，根据条件确定函数的周期，求ω，再求函数的对称轴. 【详解】()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，max 1y =，由题意可知T π=，22ππωω∴=⇒=，()sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，令2,62x k k Z πππ-=+∈，解得：32k x ππ=+，k Z ∈ 当0k =时，3x π=.故选：D6．B解析：B 【分析】根据()tan f x x =，x ∈Z 图象与性质，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A ：()f x 的定义域关于原点对称，且()tan()tan ()f x x x f x -=-=-=-，x ∈Z ，故()f x 为奇函数，故A 错误；对于B ：()tan y f x x ==，x ∈Z 在定义域内一一对应，所以arctan =x y ，即()f x 的反函数为arctan y x =，故B 正确；对于C ：因为()tan f x x =，x ∈Z ，故()f x 图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以()f x 不具有周期性，故C 错误；对于D ：因为()tan f x x =，x ∈Z ，所以()f x 图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以()f x 的值域为一些点构成的集合，不是R ，故D 错误.故选：B7．B解析：B 【分析】对A ，根据解析式可直接求出最小正周期；对B ，令242,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈可求出单调递增区间；对C ，计算6f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断； 对D ，计算24f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断.【详解】 对于A ，()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期为242T ππ==，故A 错误；对于B ，令242,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,26212k k x k Z ππππ-≤≤+∈，∴()f x 的单调递增区间为(),26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故B 正确；对于C ，2sin 412666f πππ⎛⎫⨯+=≠± ⎪⎝=⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象不关于直线6x π=对称，故C 错误；对于D ，2sin 4026244f πππ⎛⎫⨯⎛⎫= +=≠ ⎪⎭⎭⎪⎝⎝，∴()f x 的图象不关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选B. 【点睛】方法点睛：判断正弦型函数()()=sin f x A x ωϕ+对称轴或对称中心的方法： （1）利用正弦函数的性质求出对称轴或对称中心，令()2x k k Z πωϕπ+=+∈可求得对称轴，令()x k k Z ωϕπ+=∈可求得对称中心；（2）代入求值判断，若()()00=sin f x A x A ωϕ+=±，则0x x =是对称轴；若()()00=sin 0f x A x ωϕ+=，则()0,0x 是对称中心. 8．B解析：B 【分析】由正弦函数的性质可得121(2)(2),33k x k k Z ππππωω-≤≤+∈，结合已知单调区间列不等式组求ω解集即可. 【详解】由函数解析式知：()f x 在()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴121(2)(2),33k x k k Z ππππωω-≤≤+∈，()f x 单调递增， 又∵()f x 在区间2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∴12(2)3412(2)33k k πππωπππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得8831320k k k Z ωωω⎧≤-⎪⎪⎪≤+⎨⎪>⎪⎪∈⎩，所以当0k =时，有102ω<≤，故选：B 【点睛】关键点点睛：利用整体代入法得到121(2)(2),33k x k k Z ππππωω-≤≤+∈，结合已知单调区间与所得区间的关系求参数范围.9．A解析：A 【分析】根据函数图象的对称性，可知交点关于对称中心对称，即可求解. 【详解】由函数图象的平移可知，函数1()11f x x=+-与函数()2sin 1g x x π=+的图象都关于(1,1)M 对称. 作出函数的图象如图，由图象可知交点个数一共8个（四组，两两关于点(1,1)对称）， 所以所有交点的横坐标之和等于428⨯=. 故选：A 【点睛】关键点点睛：由基本初等函数及图象的平移可知1()11f x x=+-与()2sin 1g x x π=+都是关于(1,1)中心对称，因此图象交点也关于(1,1)对称，每组对称点的横坐标之和为2，由图象可知共8个交点，4组对称点.10．D解析：D 【分析】先化简()f x 并根据已知条件确定出ϕ的一个可取值，然后根据余弦函数的单调递减区间求解出()f x 的一个单调递减区间. 【详解】 因为()()()cos2cos sin 2sin cos2cos sin 2sin cos 2f x x x x x x ϕπϕϕϕϕ=⋅-+⋅=⋅+⋅=-，且()f x 在3x π=处有最小值，所以2cos 133f ππϕ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22,3k k Z πϕππ-=+∈， 所以2,3k k Z πϕπ=--∈，取ϕ的一个值为3π-， 所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，所以,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =，所以此时单调递减区间为,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 故选：D. 【点睛】思路点睛：求解形如()()cos f x A x ωϕ=+的函数的单调递减区间的步骤如下： （1）先令[]2,2+,k k k x Z ωϕπππ+∈∈；（2）解上述不等式求解出x 的取值范围即为()f x 的单调递减区间.11．B解析：B 【分析】利用诱导公式cos160cos 20=-，再利用两角和的正弦公式即可求解. 【详解】sin 20cos10cos160sin10-()sin 20cos10cos 18020sin10=-- sin 20cos10cos 20sin10=+()sin 2010=+sin30=12=故选：B12．A解析：A 【分析】 根据1sin 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，利用诱导公式得到cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由2cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用二倍角公式求解. 【详解】 因为1sin sin 6233πππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1cos 33πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， 所以227cos 2cos 22cos 13339πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A二、填空题13．【分析】由题意可得：利用已知条件可以求出利用即可求解【详解】因为角和角的始边均与轴正半轴重合终边互相垂直所以若角的终边与单位圆交于点所以则故答案为：解析：13±【分析】由题意可得：,2k k Z πϕθπ=++∈，利用已知条件可以求出1sin 3θ=，利用 cos sin ϕθ=±即可求解.【详解】因为角θ和角ϕ的始边均与x 轴正半轴重合，终边互相垂直， 所以,2k k Z πϕθπ=++∈，若角θ的终边与单位圆交于点01,3P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1sin 3θ=，则1cos sin 3ϕθ=±=±， 故答案为：13±14．【分析】根据扇形的弧长公式即可求解【详解】由题意根据扇形的弧长公式可得所对应的弯道为故答案为： 解析：53π 【分析】根据扇形的弧长公式，即可求解. 【详解】由题意，根据扇形的弧长公式，可得所对应的弯道为55263ππ⨯=. 故答案为：53π. 15．【分析】利用诱导公式求出再利用二倍角公式求出以及同角三角函数的基本关系求出即可得解；【详解】解：由题意所以所以所以故答案为： 解析：3320-【分析】利用诱导公式求出tan α，再利用二倍角公式求出tan2α，以及同角三角函数的基本关系求出2sin α，即可得解； 【详解】解：由题意()tan 3πα+=，所以tan 3α=，所以22tan 3tan 21tan 4ααα==--，222222sin tan 9sin sin cos tan 110αααααα===++，所以23933tan 2sin 41020αα-=--=-. 故答案为：3320-16．【分析】由图可得利用周期求出又函数过点解得进而得出函数的解析式【详解】由图可得：解得又函数过点则解得故答案为：解析：sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 【分析】由图可得A ，利用周期求出ω，又函数过点7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，解得3πϕ=，进而得出函数的解析式． 【详解】由图可得：1A =，37341264T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得,2T πω==，()()sin 2f x x ϕ=+ 又函数过点7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，则732122ππϕ⨯+=，解得3πϕ=，()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故答案为：sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 17．【分析】先由弧长公式求出扇形所在圆的半径再根据扇形面积公式即可得出结果【详解】因为一扇形的圆心角为弧长是所以其所在圆的半径为因此该扇形的面积是故答案为：解析：32π【分析】先由弧长公式求出扇形所在圆的半径，再根据扇形面积公式，即可得出结果. 【详解】因为一扇形的圆心角为3π，弧长是cm π， 所以其所在圆的半径为33r ππ==，因此该扇形的面积是1133222S lr ππ==⨯⨯=. 故答案为：32π. 18．【分析】先根据二倍角公式辅助角公式将函数化为基本三角函数再根据三角函数有界性求最值【详解】因为函数f （x ）=sin2x+sinxcosx+1所以因为所以即函数的最大值为故答案为：【分析】先根据二倍角公式、辅助角公式将函数化为基本三角函数，再根据三角函数有界性求最值. 【详解】因为函数f （x ）=sin 2x +sin x cos x +1，所以113()(1cos 2)sin 21)22242f x x x x π=-++=-+， 因为sin(2)14x π-≤，所以()f x ≤，，故答案为：32+ 19．【分析】由函数图象关于原点对称可得再由在区间上是增函数可得解不等式即可【详解】由函数的图象关于原点对称得即因为在区间上是减函数所以在区间上是增函数又是函数的单调递增区间所以又解得故答案为：解析：30,4⎛⎤⎥⎝⎦【分析】由函数图象关于原点对称可得2ϕπ=，再由2sin y x ω=在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，可得22232ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解不等式即可.【详解】由函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象关于原点对称，得2ϕπ=， 即()2cos 2sin 2f x x x πωω⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数， 所以2sin y x ω=在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，又,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数2sin y x ω=的单调递增区间， 所以22232ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，又0>ω，解得304ω<≤.故答案为：30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦20．【分析】将原式打开变形然后根据正切的差角公式求解【详解】即即即故答案为：【点睛】本题考查正切的和差角公式的运用常见的变形形式有：（1）；（2） 解析：()+4k k Z ππ-∈【分析】将原式打开变形，然后根据正切的差角公式求解. 【详解】()()1tan 1tan 1tan tan tan tan 2αβαβαβ-+=-+-=，即tan tan 1tan tan βααβ-=+，tan tan 11tan tan βααβ-∴=+，即()tan 1βα-=，()π4k k Z βαπ∴-=+∈，即()+4k k Z παβπ-=-∈. 故答案为： ()+4k k Z ππ-∈.【点睛】本题考查正切的和差角公式的运用，常见的变形形式有： （1）()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+=+++⋅⋅； （2）()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ-=---⋅⋅.三、解答题21．（1）π3A =；（2【分析】（1）设ACD θ∠=，则2BCD θ∠=，从而可得tan 23tan θθ=，利用二倍角公式正切公式即可求解.（2）根据题意可得tan 3tan A B =，由同角三角函数的基本关系可得tan A =，即tan B ()tan tan C A B =-+，利用两角和的正切公式即可求解.【详解】（1）设ACD θ∠=，则π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2BCD θ∠=， 因为tan AD CD θ=，tan 2BDCDθ=， 又因为3BD AD =，所以tan 23tan θθ=，即22tan 3tan 1tan θθθ=-，所以tan 3θ=， 因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π6θ=，所以π3A =. （2）因为tan CD A AD=，tan CD B BD =，3BD AD =，所以tan 3tan A B =，又因为1cos 3A =，π(0,)2A ∈，所以sin =A ，所以tan A =，tan B ，又因为()tan tan C A B =-+，所以tan tan tan 1tan tan A B C A B +=-=-⋅． 22．（1）()ππsin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）π2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；（3）(][),33,-∞-+∞【分析】（1）根据图像可得1A =，8T =，进而求出ω，再将()1,1代入，即可求出()f x 的解析式；（2）先根据题意得到()g x 的图像，再利用换元法即可求得()g x 在[]π,2π-上的单调递增区间；（3）不等式()27202f x m am -++≤恒成立等价于()2min 722f x m am ≤--，求出()f x 的最小值代入得到2230ma m -+≤，把它看成以a 为自变量的不等式()0M a ≤，解不等式即可. 【详解】解：（1）由题图可知：1A =，()4318T =⨯-=，2π8ω∴=， 即π4ω=， 将()1,1代入()πsin 4f x x ϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 即πsin 14ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， π2π,4k k Z ϕ∴=+∈， 又π02ϕ<<， π4ϕ∴=， ()ππsin 44f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭；（2）根据题意可得：()1πsin 24g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 令1π24t x =+， 则π5π,44t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 令π5π24t ≤≤， 即π1π5π2244x ≤+≤， 解得：π2π2x ≤≤， ∴()g x 在[]π,2π-上的单调递增区间为π2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，； （3）()27202f x m am -++≤， ()2722f x m am ∴≤--，5,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ,446x ππππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，()1,12f x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦，由题意可知：217222m am -≤--， 即2230ma m -+≤，即以a 为自变量的不等式()0M a ≤，()()1010M M ⎧≤⎪∴⎨-≤⎪⎩， 解得：3m ≥或3m ≤-，m ∴的取值范围为(][),33,-∞-+∞．【点睛】方法点睛：已知()(0)()0f x Asin x A ωϕω=+>>，的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和ϕ，常用如下两种方法： (1)由2Tπω=即可求出ω；确定ϕ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标0x ，则令00x ωϕ+= (或0x ωϕπ+=)，即可求出ϕ；(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和ϕ，若对,A ω的符号或对ϕ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.23．（1）5()sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）⎡-⎢⎣⎦. 【分析】（1）由二倍角分式和两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数的周期求得ω解析式；（2）由图形变换得()g x 的解析式，求出()g x 在[0,]2π上的值域后可得k 的范围．【详解】（1）21()sincos 2f x x x x ωωω=+-2cos2sin 2226x x x ωωπω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ∵图象关于直线x π=对称，∴2,62k k Z πππωπ-=+∈∴123k ω=+，又1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令1k =时，56ω=符合要求，∴函数5()sin 36f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.（2）将函数()f x 的图象向右平移10π个单位长度后，得到函数5sin 33y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的56倍（纵坐标不变），得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，所以()sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当5012x π≤≤，即2332x πππ-≤-≤时，()g x 递增，(),12g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，当5122x ππ<≤，即22233x πππ<-≤时，()g x 递减，()2g x ⎫∈⎪⎣⎭，所以0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 因为()0g x k +=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上实数解，所以实数k 的取值范围是⎡-⎢⎣⎦. 【点睛】方法点睛：本题考查二倍角公式，两角差的正弦公式，三角函数的图象变换，正弦函数的性质，此类问题的解题方法是：利用二倍角公式，诱导公式，两角和与差的正弦人（或余弦）公式化函数为一个角的一个三角函数形式，即()sin()f x A x m ωϕ+++形式，然后利用正弦函数性质求解．24．（Ⅰ）1；（Ⅱ）选择条件①，最小正周期为2π，在[,]26ππ-取得最小值2-；选择条件②，最小正周期为π，在[,]26ππ-取得最小值． 【分析】(I)将0x =代入求值即可；(II)①121,1ωω==，()222cos sin 2sin sin 2f x x x x x =+=-++利用抛物线知识求解②用二倍角和辅助角公式化简可得()+)+14f x x π=，再由[,]26x ππ∈-可得372[,]4412x πππ+∈-，结合正弦函数图象求解最值； 【详解】解：（Ⅰ）2(0)2cos 0sin 011f =+-=．（Ⅱ）选择条件①．()f x 的一个周期为2π．2()2cos sin 1f x x x =+-22(1sin )sin 1x x =-+-2192(sin )48x =--+．因为[,]26x ππ∈-，所以1sin [1,]2x ∈-．所以 当sin =1x -时，即π=2x -时，()f x 在[,]26ππ-取得最小值2-． 选择条件②．()f x 的一个周期为π．2()2cos sin 21f x x x =+-sin2+cos2x x =22)x x =+2)4x π=+（． 因为[,]26x ππ∈-，所以372+[,]4412x πππ∈-．当2=42x ππ+-时，即3π=8x -时，()f x 在[,]26ππ-取得最小值． 【点睛】本题考查三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用.（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成sin()A xk 或cos()A xk 的形式；（2）根据自变量的范围确定x ωϕ+的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值.（3）换元转化为二次函数研究最值.25．（1）π；（2）最小值为4-. 【分析】（1）利用二倍角公式、两角和与差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质求解． （2）求出23x π-的取值范围，然后由正弦函数性质得最值．【详解】 （1）2211()cos (sin )sin cos cos 224224f x x x x x x x x =++=-+11sin 2cos 2sin(2)4423x x x π=-=-， ∴()f x 的最小正周期是22T ππ==（2）0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，此时()44f x ⎡∈-⎢⎣⎦.()f x 233x ππ-=，3x π=，()f x 最小值为4-，此时233x ππ-=-，0x =.综上，()f x 的最小值为4- 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用二倍角公式、两角和与差的正弦公式化简为标准的形态，然后利用正弦函数的性质求解，难度属于中档题26．（1）T π=，,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）()()max min 2,1f x f x ==-. 【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，然后根据周期计算公式求解出T ，再采用整体替换法求解出单调递增区间；（2）采用整体替换的方法先分析出26x π-的取值范围，然后再结合正弦函数的单调性，求解出()f x 的最值.【详解】（1）因为())22cos cos 1212cos 2cos 2f x x x x x x x x =-+=+-=-，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以最小正周期22T ππ==， 令222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，所以,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以单调递增区间为：,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； （2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 又因为sin y x =在,62ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在5,26ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()max 2sin 22f x π==，此时3x π=，又()min 2sin 16f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，此时0x =， 综上可知：()()max min 2,1f x f x ==-.【点睛】思路点睛：求解形如()sin y A ωx φ=+在指定区间上的值域或最值的一般步骤如下： （1）先确定t x ωϕ=+这个整体的范围；（2）分析sin y A t =在（1）中范围下的取值情况；（3）根据取值情况确定出值域或最值，并分析对应的x 的取值.。
人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》测试(含答案解析)
一、选择题1．函数()2sin(2)33f x x π=-+的最小正周期为（ ）A ．2π B ．πC ．2πD ．4π2．函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象如图所示，则ω=（ ）A ．14B ．2π C ．4π D ．123．在ABC 中，tan sin cos A B B <，则ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定4．将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移12π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．12x π=C ．3x π=D ．24x π=5．已知函数()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的单调递增区间为(),26212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称 6．把函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数解析式是（ ）A ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭7．sin15cos15+=（ ） A ．12B ．22C ．3 D ．6 8．已知函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=>⎪⎝⎭+在它的一个最小正周期内的图像上，最高点与最低点的距离是5，则A 等于（ ）． A ．1B ．2C ．2.5D ．49．已知sin()cos(2)()cos()tan x x f x x xπππ--=--，则313f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．12B ．13 C ．12-D ．13-10．已知某扇形的弧长为32π，圆心角为2π，则该扇形的面积为（ ） A ．4π B ．6π C ．2π D ．94π 11．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到g()sin 34x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π2个单位长度 D ．向左平移π2个单位长度 12．已知2cos 432θπ⎛⎫=⎪⎝⎭-，则sin θ=（ ）A ．79B ．19C ．－19D ．－79二、填空题13．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为60°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走200米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为75°，则山高h =______米.14．已知3sin 2cos()sin 2παπαα⎛⎫++-=⎪⎝⎭，则2sin sin cos ααα+=__________. 15．已知角θ和角ϕ的始边均与x 轴正半轴重合，终边互相垂直，若角θ的终边与单位圆交于点01,3P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos ϕ=__________________． 16．方程2sin 2cos 20x x ++=的解集为________.17．已知tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________. 18．将函数sin(2)y x ϕ=+的图像向左平移12π个单位后所得函数图像关于原点中心对称，则sin 2ϕ=_________． 19．已知50sin 24ππαα⎛⎫⎛⎫∈-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，tan α=__________. 20．若πcos cos 24αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=________. 三、解答题21．已知函数()sin 31f x x x =++. （Ⅰ）设[0,2π]α∈，且()1f α=，求α的值； （Ⅱ）将函数(2)y f x =的图像向左平移π6个单位长度，得到函数()y g x =的图像. 当ππ[,]22x ∈-时，求满足()2g x ≤的实数x 的集合.22．函数[)()()sin()0,0,0,2f x A x A ωϕωϕπ=+>>∈的图象如图所示：（1）求()f x 的解析式； （2）若[]0,x π∈且6()2f x ≥，求x 的取值范围. 23．已知()()sin23cos2f x x x x R =∈（1）求56f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）若0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的取值范围． 24．已知函数2()sin(2)2cos 1(0)6f x x x πωωω=-+->的最小正周期为π，（1）求ω的值 （2）求()f x 在区间70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.25．已知()cos2cos 23f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的单调递增区间； （2）若323f α⎛⎫=⎪⎝⎭，求12f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 26．已知π0π2αβ<<<<，且5sin()13αβ+=，1tan 22α=. （1）求cos α的值； （2）求sin β.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用函数()sin y A ωx φ=+的周期公式2T ωπ=即可求解.【详解】22T ππ==， 故函数()2sin(2)33f x x π=-+的最小正周期为π，故选：B2．B解析：B 【分析】根据函数的图象，求得函数的最小正周期，结合三角函数周期的公式，即可求解. 【详解】由题意，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象， 可得2114T=-=，所以4T =，又由24w π=，解得2w π=. 故选：B.3．C解析：C 【详解】∵tan sin cos A B B <，∴sin sin cos cos A BB A<，若A 是钝角，此不等式显然成立，三角形为钝角三角形，若A 是锐角，则sin sin cos cos A B A B <，cos cos sin sin cos()0A B A B A B -=+>，,A B 是三角形内角，∴02A B π<+<，从而()2C A B ππ=-+>，C 为钝角，三角形仍然为钝角三角形． 故选：C ． 【点睛】易错点睛：本题考查三角形形状的判断．解题过程中，由sin sin cos cos A BB A<常常直接得出sin sin cos cos A B A B <，然后可判断出C 是钝角，三角形是钝角三角形，也选择了正确答案，但解题过程存在不全面．即应该根据A 角是锐角还是钝角分类讨论．实际上就是不等式性质的应用要正确．4．D解析：D 【分析】由()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移12π个单位长度得到()5212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再令52122x k πππ+=+求解. 【详解】因为函数()sin 2cos 224f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由题意得()5212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以52122x k πππ+=+， 解得1,224x k k Z ππ=+∈， 故选：D5．B解析：B 【分析】对A ，根据解析式可直接求出最小正周期；对B ，令242,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈可求出单调递增区间；对C ，计算6f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断； 对D ，计算24f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断.【详解】 对于A ，()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期为242T ππ==，故A 错误；对于B ，令242,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,26212k k x k Z ππππ-≤≤+∈，∴()f x 的单调递增区间为(),26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故B 正确；对于C ，2sin 412666f πππ⎛⎫⨯+=≠± ⎪⎝=⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象不关于直线6x π=对称，故C 错误；对于D ，2sin 4026244f πππ⎛⎫⨯⎛⎫= +=≠ ⎪⎭⎭⎪⎝⎝，∴()f x 的图象不关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选B. 【点睛】方法点睛：判断正弦型函数()()=sin f x A x ωϕ+对称轴或对称中心的方法： （1）利用正弦函数的性质求出对称轴或对称中心，令()2x k k Z πωϕπ+=+∈可求得对称轴，令()x k k Z ωϕπ+=∈可求得对称中心；（2）代入求值判断，若()()00=sin f x A x A ωϕ+=±，则0x x =是对称轴；若()()00=sin 0f x A x ωϕ+=，则()0,0x 是对称中心. 6．D解析：D 【分析】根据三角函数的图象变换规律可得解析式． 【详解】函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，得sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可得sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：D ．7．D解析：D 【分析】由辅助角公式可直接计算得到结果. 【详解】()6sin15cos152sin 15452sin 60+=+==. 故选：D.8．B解析：B 【分析】根据正弦型函数图象性质确定函数()f x 的最小正周期T ，再根据最高点与最低点的距离是55=，从而解得A 的值. 【详解】解：函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=> ⎪⎝⎭+的最小正周期2263T πππω=== 函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=> ⎪⎝⎭+在它的一个最小正周期内的图像上，最高点与最低点的距离是5，5=，解得2A =.故选：B. 【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2T ωπ=，最大值为A ，最小值为A -；奇偶性的判断关键是解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x ω=的形式．9．C解析：C 【分析】利用诱导公式先化简整理函数()f x ，再利用诱导公式求值即可. 【详解】 由sin()cos(2)()cos()tan x x f x x xπππ--=--，利用诱导公式得：sin cos ()cos cos tan x xf x x x x==--，所以31311cos cos 103332f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 故选：C.10．D解析：D 【分析】由弧长公式求出3r =，再由扇形的面积公式求出答案. 【详解】扇形的圆心角322l r r ππθ===，所以3r =，则扇形的面积113932224S lr ππ==⨯⨯=. 故选：D. 11．A解析：A 【分析】首先根据函数()f x 的图象得到()sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数的平移变换即可得到答案. 【详解】 由题知：541246T πππ=-=，所以223T ππω==，解得3ω=. 3sin 044f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以324k πϕππ+=+，k Z ∈，解得24k ϕπ=+π，k Z ∈. 又因为2πϕ<，所以4πϕ=，()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 因为4436πππ--=-，所以只需将()f x 的图象向右平移π6个单位长度.故选：A 12．C解析：C 【分析】根据题中条件，由诱导公式，以及二倍角公式，即可求出结果. 【详解】 因为2cos 432θπ⎛⎫=⎪⎝⎭-， 所以241sin cos 2cos 12124299ππθθθ⎛⎫⎛⎫=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C二、填空题13．【分析】求出在两个直角三角形中表示出再在直角梯形中建立等量关系解得【详解】首先山高为长度根据图可得∴解得故答案为：解析：150【分析】PQ h =，求出CQ ，在两个直角三角形中表示出,BC AQ ，再在直角梯形AQCB 中建立等量关系，解得h ． 【详解】首先sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin30︒=︒-︒=︒︒-︒︒2321622-=⨯-⨯=， cos15cos(4530)cos 45cos30sin 45sin30︒=︒-︒=︒︒+︒︒2321622+=⨯+⨯=， 31tan 45tan 303tan 75tan(4530)231tan 45tan 3031+︒+︒︒=︒+︒===+-︒︒-， 山高h 为PQ 长度，根据图可得，()200sin155062CQ =︒=-，3tan 603h AQ h ==︒，tan 75PCBC =︒()506223h --=+()()23503652h =---， ∴()()()323503652200cos1550623h h --+-=︒=+，解得()15062h =+.故答案为：()15062+.14．【分析】利用诱导公式化简得出根据的代换结合齐次式化简计算得出函数值【详解】由已知得：则故答案为：解析：35【分析】利用诱导公式化简得出tan 3α=-，根据”1”的代换结合齐次式化简计算得出函数值． 【详解】由已知得：cos 2cos 3cos sin αααα--=-=，则tan 3α=-222222sin sin cos tan tan 933sin sin cos sin cos tan 1915ααααααααααα++-+====+++故答案为：3515．【分析】由题意可得：利用已知条件可以求出利用即可求解【详解】因为角和角的始边均与轴正半轴重合终边互相垂直所以若角的终边与单位圆交于点所以则故答案为：解析：13±【分析】由题意可得：,2k k Z πϕθπ=++∈，利用已知条件可以求出1sin 3θ=，利用 cos sin ϕθ=±即可求解.【详解】因为角θ和角ϕ的始边均与x 轴正半轴重合，终边互相垂直， 所以,2k k Z πϕθπ=++∈，若角θ的终边与单位圆交于点01,3P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1sin 3θ=， 则1cos sin 3ϕθ=±=±， 故答案为：13±16．【分析】原方程化为关于的一元二次方程求得即可求解【详解】由得即解得或（舍去）所以故答案为： 解析：{}2,x x k k Z ππ=+∈【分析】原方程化为关于cos x 的一元二次方程，求得cos 1x =-，即可求解. 【详解】由2sin 2cos 20x x ++= 得21cos 2cos 20x x -++=， 即2cos 2cos 30x x --=，解得cos 1x =-或cos 3x =（舍去）， 所以2,x k k Z ππ=+∈故答案为：{}2,x x k k Z ππ=+∈17．【分析】由结合利用两角和的正切公式求解【详解】故答案为：解析：13-【分析】 由tan tan 3124πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，利用两角和的正切公式求解. 【详解】tan tan1124tan tan 312431tan tan 124ππαπππααππα⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=++==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+ ⎪⎝⎭，故答案为：13-18．【分析】先根据函数平移变换得平移后的解析式为再根据其图象关于原点中心对称得进而计算得【详解】解：根据题意得函数的图像向左平移个单位后得到的函数解析式为：由函数图象关于原点中心对称故即所以故答案为：【解析： 【分析】先根据函数平移变换得平移后的解析式为sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据其图象关于原点中心对称得,6k k Z πϕπ=-+∈，进而计算得sin 2ϕ=. 【详解】解：根据题意得函数sin(2)y x ϕ=+的图像向左平移12π个单位后得到的函数解析式为：sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由函数sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象关于原点中心对称， 故,6k k Z πϕπ+=∈，即,6k k Z πϕπ=-+∈所以sin 2sin 2sin 332k ππϕπ⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为： 【点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数()sin ,y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()k k Z ϕπ⇔=∈ ； 函数()sin ,y A x x R ωϕ=+∈是偶函数2()k k Z πϕπ⇔=+∈；函数()cos ,y A x x R ωϕ=+∈是奇函数2()k k Z πϕπ⇔=+∈；函数()cos ,y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()k k Z ϕπ⇔=∈.19．3【分析】由平方关系求出用两角和的正弦公式求得再得然后可得【详解】∵∴∴∴故答案为：3【点睛】关键点点睛：本题考查平方关系两角和的正弦公式三角函数求值问题需确定已知角和未知角的关系以确定先用的公式象解析：3 【分析】由平方关系求出cos 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭，用两角和的正弦公式求得sin α，再得cos α，然后可得tan α．【详解】 ∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴,444πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，cos 4πα⎛⎫-==⎪⎝⎭， ∴sin sin sin cos cos sin 44444422ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-==⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴cos 10α==， sin tan 3cos ααα==． 故答案为：3． 【点睛】 关键点点睛：本题考查平方关系，两角和的正弦公式．三角函数求值问题，需确定已知角和未知角的关系，以确定先用的公式．象本题观察得到44ππαα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，需要用用两角和的正弦（余弦）公式求值，因此先用平方关系求得cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，这就要确定4πα-的范围．以确定余弦值的正负．20．或【分析】根据两角差的余弦公式和余弦的二倍角展开再进行平方再根据正弦的二倍角公式可答案得【详解】由得即所以或当时两边同时平方得所以解得；当时所以所以所以故答案为：或解析：1-或12【分析】根据两角差的余弦公式和余弦的二倍角展开，再进行平方，再根据正弦的二倍角公式可答案得． 【详解】由πcos cos 24αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得)22cos +sin cos sin 2αααα=-，即)()()cos +sin cos sin cos +sin 2αααααα=-，所以cos sin =αα-或cos +sin 0αα=，当cos sin αα-时，两边同时平方得112sin cos =2αα-，所以11sin2=2α-.解得sin 2α=12； 当cos +sin 0αα=时，tan 1α=-，所以()+,4k k Z παπ=-∈所以()2+2,2k k Z παπ=-∈所以sin 21α=-，故答案为：1-或12. 三、解答题21．（Ⅰ）2=3απ或53π；（Ⅱ）{|24x x ππ-≤≤-或}122x ππ≤≤.【分析】（Ⅰ）化简得()2sin()13f x x π=++，则可得sin(+)03πα=，即可求出；（Ⅱ）由题可得2()2sin 2+13g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，不等式化为21sin(2)32x π+≤，利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】解：（Ⅰ）由()sin 2sin()131f x x x x π=++=++，由()=2sin()113f παα++=，得sin(+)03πα=，又[0,2]απ∈， 得2=3απ或53π； （Ⅱ）由题知，2sin(23(2)1)x f x π+=+2()2sin 2++12sin 2+1633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由()2g x ≤，得21sin(2)32x π+≤， ∴72+22+2,636k x k k Z πππππ-≤+≤∈， 22x ππ-≤≤，252333x πππ-≤+≤， ∴22336x πππ-≤+≤，或5252633x πππ≤+≤， ∴24x ππ-≤≤-，或122x ππ≤≤， 即所求x 的集合为{|24x x ππ-≤≤-或}122x ππ≤≤. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的性质，解题的关键是根据图象变换得出2()2sin 2+13g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将不等式化为21sin(2)32x π+≤，即可根据正弦函数的性质求解.22．（1）()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）{}0,6ππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）由图可得：A =724123T πππω=-=可求ω的值，再令2(21)3k πϕπ⨯+=+()k Z ∈结合[)0,2ϕπ∈可求ϕ的值，进而可求()f x 的解析式；（2232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，可得sin 232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以结合正弦函数的图象和[]0,x π∈即可求解.【详解】（1）由题意知：A =741234T πππ=-=， 所以2T ππω==即=2ω，所以2(21)3k πϕπ⨯+=+，02ϕπ≤<，所以=3πϕ，所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，（2232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即sin 23x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭ 所以()2222333k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 令0k =可得22333x πππ≤+≤，解得06x π≤≤，令1k =可得2222333x πππππ+≤+≤+，解得：76x ππ≤≤， 因为[]0,x π∈，所以06x π≤≤或x π=，即{}0,6x ππ⎡⎤∈⋃⎢⎥⎣⎦ 【点睛】关键点点睛：利用五点法求函数解析式，关键是3x π=是下降零点，所以2(21)3k πϕπ⨯+=+，结合[)0,2ϕπ∈即可求ϕ232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭可得()2222333k x k k Z πππππ+≤+≤+∈对k 取值，再与[]0,x π∈求交集即可. 23．（1）0；（2）[]1,2. 【分析】（1）本题可直接将56x π=代入函数()f x 中，通过计算即可得出结果； （2）本题首先可根据两角和的正弦公式将函数()f x 转化为()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后根据0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，最后根据正弦函数的性质即可得出结果. 【详解】（1）555sin 063322f πππ⎛⎫==-+=⎪⎝⎭，（2）()sin 222sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 则1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的取值范围为[]1,2.24．（1）1ω=；（2）最大值为1；最小值为. 【分析】（1）根据三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简即可． （2）求出角的取值范围，结合三角函数的最值性质进行判断求解即可． 【详解】解：（1）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2cos cos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+12cos22x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ω==，0>ω， 解得1ω=.（2）由（1）得π()sin(2)6f x x =+. 因为7π12x ≤≤0，所以ππ4π2663x +≤≤. 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1；当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为.25．（1）5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）. 【分析】（1）利用三角恒等变换化简()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再整体代入求单调递增区间；（2）由已知得233f απα⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求出sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用倍角公式求12f πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值；【详解】（1）1()cos2cos 2cos2cos22322f x x x x x x π⎛⎫=+-=++ ⎪⎝⎭3cos22223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 当22,2,322x k k k Z πππππ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 单调递增， 所以()f x 的单调递增区间5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． （2）由已知得23f απα⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而2221263f πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭212sin 3πα⎤⎛⎫=-+= ⎪⎥⎝⎭⎦．【点睛】求正弦型三角函数的单调区间，常用整体代入法，但要注意保证x 的系数为正，才比较不容易出错；求三角函数值时，要注意整体观察角. 26．（1）3cos 5α=；（2）6365. 【分析】（1）根据二倍角的正切公式以及同角三角函数的关系，可求得结果； （2）由3cos 5α=求出4sin 5α，由5sin()13αβ+=求出12cos()13αβ+=-，再根据[]sin sin ()βαβα=+-以及两角差的正弦公式可得结果.【详解】（1）因为1tan22α=，所以22tan42tan 31tan 2ααα==-， 所以22sin 4cos 3sin cos 1αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得3cos 5α=.（2）由已知得322ππαβ<+<，又5sin()13αβ+=，所以12cos()13αβ+==-，又24sin 1cos 5αα， sin sin[()]βαβα=+-sin()cos cos()sin αβααβα=+-+531246313515565⎛⎫=⨯--⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了同角三角函数间的关系，二倍角的公式，两角差的正弦公式，关键在于观察，用已知角表示待求的角，属于中档题.。