南京大学2019年高数B(A)卷试题含答案
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南京工业大学浦江学院 高等数学B 试题(A )卷(闭)
2012―2013学年第一学期 使用班级 浦江学院12级 班级 学号 姓名
一、填空(每小题3分,共15分)
1、函数y =
的定义域是
2、函数sin ,0()1,0
x
x f x x x ⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩的连续区间为
3、函数1
y x x
=+(0x ≠)的单调减递减区间为 4、若0()f x '存在,则000()()
lim h f x mh f
x h
→+-=
5、设常数,0>k 函数k e
x
x x f +-=ln )(在()+∞,0内零点个数为______________
二、单项选择题(每小题3分,共15分)
1、下列各对函数中,为相同函数的一对是 ( ) (A )()()f x g x ==
(B )(),()arcsin(sin )f x x g x x == ;
(C )2
()ln ,()2ln f x x g x x == ; (D )2
()1cos 2,()2sin f x x g x x =-= 2、当0x x →时,(),()x x αβ均为无穷小量,下列变量中,当0x x →时,可能不是无穷小量的是 ( ) (A )()()x x αβ+; (B )()()x x αβ-; (C )()()x x αβ⋅; (D )
()
(()0)()
x x x αββ≠. 3、函数y =x 2+12x +1在定义域内( )
(A )单调增加 (B )单调减少 (C )图形上凹 (D )图形上凸
4、对于两个不同的正数x ,y ,当n >1时,( )式成立.
(A ) 22n n n x y x y ++⎛⎫> ⎪⎝⎭ (B ) 22n
n n x y x y ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
(C ) 22n n n x y x y ++⎛⎫< ⎪⎝⎭ (D ) 22n
n n x y x y ++⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
5、反常积分
2d ln x
x x +∞
⎰是( )
(A ) 0; (B ) 1-; (C ) 1; (D ) 发散的
三、计算(每小题7分,共49分)
1、2
21sin(1)lim 2x x x x →-+- 2、0
0ln(1sin )d lim 1cos x
x t t x
→+-⎰
3、已知2,0
(),0
⎧>=⎨≤⎩x e x f x x x ,求()f x '.
4、设函数()y y x =由方程2
ln 2+=y x y 确定,求 0d |d x y
x
= .
5
、设由
ln
arctan
x
y t
⎧⎪=
⎨
=
⎪⎩
确定了函数()
y f x
=,求
d
d
y
x
。
6、计算
2
π
12
π
11
sin d x
x x
⎰7、2(31)ln d
x x x x
++
⎰
四、解答题(本题8分)求曲线3
y x,x =2, y =0所围成的图形,绕x轴旋转所得旋转体的体积。
五、解答题(本题8分)求y =sin x -x 在[-π,π]上的最大值与最小值。
六、证明题:(本题5分)设0≤x 1 32 212132 sin sin sin sin x x x x x x x x -->--. 答案 一、填空题(每小题3分,满分15分) 1、(4,2) (2,)--+∞ 2、(,)-∞+∞ 3、()()1,00,1-⋃ 4、 0m ()f x ' 5、2 二、选择题(每小题3分,满分15分) 1、D 2、D 3、C 4、A 5、D 三、计算(每题7分,共49分) 1、221sin(1)lim 2x x x x →-+-=2211lim 2 x x x x →-+- =2 311(1)(1)1lim lim (1)(2)2 x x x x x x x x →→-++==-++ 7分 2、0 ln(1sin )d lim 1cos x x t t x →+-⎰=0ln(1sin ) lim sin x x x →+= 3分 0sin lim x x x →==1 7分 3、当0x <时()2f x x '=; 当0x >时()x f x e '=; 4分 ()f x 在0x =处不连续,故()f x 在点0x =不可导; 于是,2,0 (),0 x x x f x e x <⎧'=⎨ >⎩,在0x =处,()f x 的导数不存在. 7分 4、2 ln 2y y y x y '=- +. 3分 0d |d x y x = = 7分 5、22 d 1 d 1d 1d d d 1y y t t x t x t t t +===+ 7分 6、 222 π ππ1112ππ π11111sin d sin d()[cos ]1x x x x x x =-==⎰ ⎰ 7分 7、23213 (31)ln d ln d()32x x x x x x x x ++=++⎰⎰ 3232323213131()ln ()d 32321313 ()ln 3294 x x x x x x x x x x x x x x x x C =++-++⋅=++---+⎰ 7分 四、解答题 1、(本题8分)2 2 260 128d d 7 π π π=== ⎰ ⎰x V y x x x 8分 2、(本题8分)解:cos 1,00y x y x ''=-=⇒=. 4分 (),(0)0,()y y y ππππ-===- ∴在],[ππ-上, ππππ-===-=)(,)(min max y y y y 8分 五、证明题(本题5分) 证明:设()sin ,0f x x x π=≤≤,则()[0,],()(0,)f x C f x D ππ∈∈. 由Lagrange 中值定理,112223(,),(,),.:x x x x s t ξξ∃∈∈ '21 1121sin sin ()cos x x f x x ξξ-==-,'322232 sin sin ()cos x x f x x ξξ-==-, 由于0≤x 1<ξ1