梁的弯曲(应力、变形)
梁的弯曲应力
校核强度: 截面设计:
max
M max WZ
[ ]
Wz
M max [ ]
确定许用荷载: Mmax Wz [ ]
23
3、梁的切应力强度校核
（1）切应力计算公式
max
F S* Qmax Z max Izb
FQmax— 梁内最大剪力
Sz*— 面积A对中性轴静矩
Iz — 截面惯性矩
6
dθ ρ
1
2
1
2
o1
o2
y
ab
1 dx 2
o'1
z
（中性轴）
a'
dx
o'2 b'
y
1
2
y
（对称轴）
纵向纤a)维线应变变化b)规律:
c)
变形前： ab o1o2 dx
变形后: ab ( y)d o1o2 dx d
ab的伸长量： S ab dx ( y)d d yd
Pa=14.4MPa
B
FQ S zB Izb
(
200103 120000109 2.29107 1012 100103
)
Pa=10.4MPa
21
(3) 求圆形截面最大的切应力
max
4 3
FQ A
(4 3
2001003 ) Pa=19.1MPa
1 π 133.52 106
1
8.4 平面弯曲杆件的应力和变形
8.4.1 基本概念 8.4.2 梁横截面上的正应力公式 8.4.3 梁的切应力 8.4.4 梁的挠度和转角
2
梁的弯曲(应力、变形)
2
回顾与比较
内力
应力
F
A
FAy
编辑ppt
T
IP
M
?
?
FS
3
§9-6 梁的弯曲时的应力及强度计算
一、弯曲正应力 Normal stress in bending beam
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲Pure bending
梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－剪力弯曲Bending by
transverse force
编辑ppt
4
研究对象：等截面直梁 研究方法：实验——观察——假定
编辑ppt5Leabharlann 实验观察——梁表面变形特征
横线仍是直线，但发生 相对转动，仍与纵线正交
纵线弯成曲线，且梁的 下侧伸长，上侧缩短
以上是外部的情况，内部如何？ 想象 —— 梁变形后，其横截面仍为平面，且垂直
x
61.7106Pa61.7MPa
编辑ppt
13
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
M ql /867.5kNm 2
x
2. C 截面最大正应力
120
B
x
180
K
30 C 截面弯矩
z
MC60kN m
FBY
y
C 截面惯性矩
IZ5.83120 5m 4
x 90kN
C max
M C y max IZ
于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度 透明的梁就好了，我们用计算机模拟 透明的梁
编辑ppt
6
编辑ppt
7
总之 ，由外部去 想象内部 —— 得到
梁的弯曲正应力实验报告
梁的弯曲正应力实验报告梁的弯曲正应力实验报告引言：弯曲是一种常见的力学现象，广泛应用于工程和建筑领域。
梁是一种常见的结构，在受到外力作用时会发生弯曲变形。
为了研究梁的弯曲行为，本实验通过对梁进行弯曲试验，测量梁上的正应力分布，以便了解梁的强度和稳定性。
实验目的：1. 通过实验测量梁上的正应力分布，了解梁的弯曲行为；2. 分析梁的弯曲现象对梁的强度和稳定性的影响；3. 探究不同材料和截面形状对梁的弯曲正应力分布的影响。
实验原理：当一根梁受到外力作用时，梁会发生弯曲变形。
在梁的顶部和底部，会出现正应力和负应力。
本实验主要关注梁上的正应力分布。
根据梁的弯曲理论，梁上的正应力与梁的截面形状、材料性质、外力大小和位置等因素有关。
实验装置和步骤：实验装置包括一根长梁、测力计、测量仪器等。
具体步骤如下：1. 将长梁固定在实验台上，确保梁的两端支持牢固；2. 在梁上设置几个不同位置的测力计，用于测量梁上的正应力；3. 施加外力于梁上，使其发生弯曲变形；4. 通过测力计测量梁上各位置的正应力，并记录数据；5. 根据实验数据，绘制梁上的正应力分布曲线。
实验结果与分析：根据实验数据，我们可以得出梁上的正应力分布曲线。
通常情况下，梁上的正应力分布呈现出一定的规律性。
在梁的顶部和底部，正应力较大，逐渐向中间递减，最终趋近于零。
这是因为在梁的顶部和底部，受力较大，产生了较大的正应力；而在梁的中间，受力相对较小，正应力逐渐减小。
实验中还可以观察到不同材料和截面形状对梁的弯曲正应力分布的影响。
例如，对比不同材料的梁，我们可以发现不同材料的梁上的正应力分布曲线有所差异。
这是因为不同材料的梁具有不同的弹性模量和抗弯强度，从而导致不同的正应力分布。
此外，梁的截面形状也对梁的弯曲正应力分布有影响。
例如，对比矩形截面和圆形截面的梁，我们可以发现矩形截面的梁上的正应力分布曲线相对均匀，而圆形截面的梁上的正应力分布曲线则呈现出较大的集中度。
梁的弯曲应力
Iz=πD4/64 Iz=π(D4-d4)/64 若设圆环的直径比d/D=α，则相
应的截面抗弯系数为
Wz
=
π D3 32
Wz
=
π D3 32
(1−α 4 )
y 第10章 梁的弯曲应力 C Dz
y
O
z
d D
工程力学
q=60kN/m
A
1m
C
l = 3m
FS 90kN
(+ ) (− )
M ql2 / 8 = 67.5kN⋅ m
T形截面外伸梁尺寸及受载如图，截面对形心轴z的惯性矩
Iz=86.8cm4，yl=3.8cm。求梁横截面上的最大拉应力和最大压应力。
解 1)由静力平衡
2kN
0.8kN
y1 y2 6cm
方程求出梁的支反力
FA=0.6kN，FB=2.2kN A
C
BD
zC
作弯矩图。 得最大正弯矩在截面
1m 1m 1m
FA
FB
=
−
E ρ
I
z
1 ρ
=
Mz EIz
重要公式 σ = − Mz y Iz
工程力学
σ = − My Iz
第10章 梁的弯曲应力
M AZ y
x
y 横截面上正应力分布规律: (1)中性轴是过横截面形心的一条直线。中性轴上，正应力为零。 (2)以中性轴为界，横截面上的一侧受拉，一侧受压。 (3)离中性轴越远，正应力的绝对值越大。在横截面上离中性轴 最远的边或点上有最大的拉应力和最大的压应力。
几何关系 ( 平截面假定 )
正应变与中性层曲率间的关系
物理关系 ( Hooke 定律 )
正应力与中性层曲率间的关系
梁的应力计算公式全部解释
梁的应力计算公式全部解释应力是材料受力时产生的内部力，它是描述材料内部抵抗外部力的能力的物理量。
在工程领域中，计算材料的应力是非常重要的，可以帮助工程师设计和选择合适的材料，以确保结构的安全性和稳定性。
梁的应力计算公式是计算梁在受力时产生的应力的公式，它可以帮助工程师了解梁在不同条件下的应力情况，从而进行合理的设计和分析。
梁的应力计算公式是由弹性力学理论推导而来的，它可以根据梁的几何形状、受力情况和材料性质来计算梁的应力。
在工程实践中，梁的应力计算公式通常包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力三种类型的应力。
下面将分别对这三种类型的应力计算公式进行详细解释。
1. 弯曲应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生弯曲应力。
弯曲应力是由于梁在受力时产生的弯曲变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = M c / I。
其中，σ表示梁的弯曲应力，单位为N/m^2；M表示梁的弯矩，单位为N·m；c表示梁截面内的距离，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4。
弯曲应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的弯曲应力大小，从而进行合理的设计和分析。
在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的弯曲应力计算公式进行计算。
2. 剪切应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生剪切应力。
剪切应力是由于梁在受力时产生的剪切变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：τ = V Q / (I b)。
其中，τ表示梁的剪切应力，单位为N/m^2；V表示梁的剪力，单位为N；Q 表示梁的截面偏心距，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4；b表示梁的截面宽度，单位为m。
剪切应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的剪切应力大小，从而进行合理的设计和分析。
在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的剪切应力计算公式进行计算。
3. 轴向应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生轴向应力。
轴向应力是由于梁在受力时产生的轴向变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = N / A。
怎样推导梁的应力公式、变形公式
05、基本知识 怎样推导梁的应力公式、变形公式（供参考） 同学们学习下面内容后，一定要向老师回信（849896803@ ），说出你对本资料的看法（收获、不懂的地方、资料有错的地方），以便考核你的平时成绩和改进我的工作。
回信请注明班级和学号的后面三位数。
1 * 问题的提出 ........................................................................................................................... 12 下面就用统一的步骤，研究梁的应力公式和变形公式。
................................................... 23 1.1梁的纯弯曲（纯弯曲：横截面上无剪力的粱段）应力公式推导 ................................. 24 1.2 梁弯曲的变形公式推导（仅研究纯弯曲） ....................................................................5 5 1.3 弯曲应力公式和变形公式的简要推导 ............................................................................6 6 1.4 梁弯曲的正应力强度条件和刚度条件的建立 ................................................................7 7 2.1 梁剪切的应力公式推导 ....................................................................................................8 8 2.2 梁弯曲的剪应力强度条件的建立 ....................................................................................9 93. 轴向拉压、扭转、梁的弯曲剪切，应力公式和变形公式推导汇总表 (9)1* 问题的提出在材料力学里，分析杆件的强度和刚度是十分重要的，它们是材料力学的核心内容。
梁的弯曲正应力实验
梁的弯曲正应力实验梁的弯曲正应力实验概述梁的弯曲正应力实验是一种用于测试材料在受弯曲载荷作用下的变形和应力的实验。
该实验可以帮助工程师和科学家了解材料的性能和特性，以便更好地设计和制造各种产品。
实验原理当一根梁在两端受到垂直于其长度方向的载荷时，它会发生弯曲变形。
这种变形会导致梁内部产生正应力和剪切应力。
在弯曲过程中，梁上表面会发生拉伸，下表面会发生压缩，因此产生的正应力称为弯曲正应力。
根据材料的不同特性和几何形状，弯曲正应力可以通过不同的公式计算得出。
通常使用的公式包括：σ = M*y/I其中σ是弯曲正应力，M是载荷矩，y是距离中心轴线最远点的距离（也称为截面离心距），I是截面惯性矩。
实验装置进行梁的弯曲正应力实验需要使用一些特殊设备。
以下是常见的实验装置：1. 弯曲试验机弯曲试验机是用于施加载荷并记录变形的设备。
它通常由一个移动横梁和两个支架组成。
被测试的梁被放置在支架上，然后通过移动横梁施加载荷。
试验机可以记录载荷和变形数据，并计算出弯曲正应力。
2. 梁样品梁样品是进行实验的材料样本。
它们可以采用不同的几何形状和尺寸，以适应不同类型的实验。
通常使用的梁样品包括简支梁、固定端梁、自由端梁等。
3. 测量仪器测量仪器用于测量载荷和变形数据。
常见的测量仪器包括负荷传感器、位移传感器、应变计等。
实验步骤进行梁的弯曲正应力实验需要按照以下步骤进行：1. 准备工作首先需要准备好所有所需设备和材料，包括弯曲试验机、梁样品、测量仪器等。
2. 安装样品将所选样品安装在支架上，并根据需要调整其位置和方向。
3. 施加载荷使用弯曲试验机施加载荷，直到梁样品发生弯曲变形。
记录载荷和变形数据。
4. 计算弯曲正应力根据所选的公式计算出弯曲正应力。
将载荷和变形数据输入计算器或电脑程序中，即可得到结果。
5. 分析数据对实验结果进行分析，了解材料的性能和特性。
如果需要，可以进行多次实验以获取更准确的数据。
应用领域梁的弯曲正应力实验广泛应用于各个领域，如材料科学、土木工程、机械工程、航空航天等。
建筑力学第7章梁的弯曲应力和变形
10 mm 5mm 2
该平面图形对z1轴和y1轴的静矩分别为
S z1 Ai yCi A1 yC1 A2 yC 2 1200 60 700 5mm3 7.55104 mm3
i 1 n
S y1 Ai zCi A1 zC1 A2 zC 2 1200 5 700 45mm3 3.75104 mm3
xC
yC
S z A yC S y A zC
注意： 当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为
零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通
过平面图形的形心。 如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形 的形心轴，故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。
例7.1
矩形截面尺寸如图7-2所示。试求该矩形对z1轴的静
和y轴的惯性矩
取平行于z轴的微面积dA， dA
到z轴的距离为y，则 dA=bdy 截面对z轴的惯性矩为 截面对y轴的惯性矩为
b
h 2 h 2
I z y 2 dA
A
bh3 y bdy 12
2
2
I y z 2 dA
A
b 2 b 2
hb3 z hdz 12
4
形心主惯性轴
形心主惯性
对平面图形而言，对通过O点的任意两根正交坐标轴z、
y的惯性积Iyz，如Iyz＝0，则这对坐标轴称为通过O点的主
惯性轴，简称主轴。截面对主惯性轴的惯性矩称为主惯性 矩，简称主惯矩。 如果O点在截面形心，如同样满足上述条件，这时通过
形心的主惯性轴称为形心主惯性轴，简称形心主轴；图形
对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心主惯矩 。
对于具有对称轴的平面图形，其形心主轴的位置可按 如下方法确定： 1）如果图形有一根对称轴，则该轴必是形心主轴， 而另一根形心主轴通过图形的形心且与该轴垂直。 2）如果图形有两根对称轴，则该两轴就是形心主轴 。 3）如果图形具有两个以上的对称轴，则任一根对称 y 轴都是形心主轴，且对任一形心主轴的惯性矩都相等。 y z z
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* z
翼板
t
H
h
b
z
y
腹板
A*
H h h 1 H h B B( ) ( ) y 2 2 2 2 2 2 2 h 1 h b h B 2 2 b( y ) y ( y ) ( H h ) ( y 2 ) 2 2 2 2 4 8
y
目录
24
（3）作弯矩图
（4）B截面校核
2 .5kN.m
4kN.m
4 103 52103 t ,max 7.64106 27.2 106 Pa 27.2MPa t
4 103 88103 c,max 7.64106 46 .1106 Pa 46 .1MPa c
研究对象：等截面直梁
研究方法：实验——观察——假定
5
实验观察——梁表面变形特征
横线仍是直线，但发生 相对转动，仍与纵线正交 纵线弯成曲线，且梁的 下侧伸长，上侧缩短
以上是外部的情况，内部如何？ 想象 —— 梁变形后，其横截面仍为平面，且垂直 于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度 透明的梁就好了，我们用计算机模拟 透明的梁
2
5.梁的许可载荷为 F Fi min3.75kN 10kN 3.825kNmin 3.75kN
28
提高梁强度的主要措施
max
M max [ ] WZ
合理安排支座 合理布置载荷
1. 降低 Mmax
29
F
合理布置支座
F
F
30
合理布置载荷
F
31
max
M max [ ] WZ
2. 增大 WZ
合理设计截面 合理放置截面
32
合理设计截面
33
合理放置截面
WZ 左
bh 2 6 hb 2 6
WZ 右
34
3、等强度梁
h x
b
35
36
§9-7 梁的变形 Beam deformation 一.基本概念 挠曲线方程：
转角
挠度
挠曲线
y
y y( x )
挠度y：截面形心 在y方向的位移
4.已知E=200GPa， C 截面的曲率半径ρ
x
M
ql 2 / 8 67.5kN m
bh3 0.12 0.183 IZ 5.832 105 m 4 12 12 90kN 180 60 103 ( 30) 10 3 M y 2 K C K IZ 5.832 10 5
20
三、梁的强度条件 1、弯曲正应力强度条件
σmax
M
max
y max
Iz
σ
1.弯矩最大的截面上 2.离中性轴最远处 3.变截面梁要综合考虑 M 与 I z 4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑
t ,max t
c,max c
目录
21
2、弯曲剪应力强度条件
目录
23
52
z1 z
解：（1）求截面形心
yc 80 20 10 120 20 80 52 mm 80 20 120 20
（2）求截面对中性轴z的惯性矩
80 203 Iz 80 20 422 12 201203 20120 282 12 7.64106 m 4
2
3
讨 论
1、沿高度方向抛物线分布 2、y=0时，切应力值最大 3、梁上下表面处切应力为零
V h 2 ( y) ( y ) 2I Z 4 2 3V 4y (1 2 ) 2bh h
18
工字形梁腹板上的切应力分布
S ( y) V I zb
腹板为矩形截面时
* * S* A y z c
h 1 h S A y ( y )b y ( y ) 2 2 2 2 b h Sz*为面积A*对 ( y2 ) 2 4 中性轴的静矩
V
A*
最大剪应力
max
Fsmax S Z ,max IZb
V
3F V S 2 A
17
bh Iz 12
第九章
梁的弯曲
1
第九章 梁的弯曲
§9-1、平面弯曲
§9-2、梁的弯曲内力---剪力和弯矩
§9-3、用内力方程法绘制剪力图和弯矩图 §9-4、用微分关系法绘制剪力图和弯矩图 §9-5、用叠加法画弯矩图
§9-6、梁弯曲时的应力和强度计算
§9-7、梁的变形
§9-8、梁的应力状态
2
回顾与比较 内力 应力
a2 (3P4qa) 12 EI
+
A q B
5qa Pa fC 24 EI 6 EI
4
3
三、刚度条件
y max [ y ],
M max 67.5kN m
截面惯性矩
I z 5.832 105 m 4
FBY
FS 90kN
max
x 90kN
M max ymax IZ 67.5 103 180 10 3 2 5.832 10 5
2
x
M ql / 8 67.5kN m
得到变形
Pa PA 4 EI
q B
2
Pa f PC 6 EI
3
+
A
qa qA 3EI
3
5qL f qC 24 EI
4B
Pa PA 4 EI
qa 3 qA 3EI
2
Pa 3 f PC 6 EI
5qL4 f qC 24 EI
=
P
A
B
叠加
A PA qA
F A
T IP
M FS
FAy
? ?
3
§9-6 梁的弯曲时的应力及强度计算
一、弯曲正应力 Normal stress in bending beam
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲Pure bending 梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－剪力弯曲Bending by transverse force 4
x
61.7 106 Pa 61.7MPa
13
q=60kN/m
180
120
2. C 截面最大正应力
30
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
x
K
C 截面弯矩
M C 60kN m
z y
FBY
C 截面惯性矩
FS 90kN
I Z 5.832 105 m4
x 90kN
Cmax
6
7
总之 ，由外部去 想象内部 —— 得到
梁弯曲假设：
横截面保持为平面 —— 变形后，仍为平面，且垂直 于变形后梁的轴线，只是绕 梁上某一轴转过一个角度 纵向各水平面间无挤压 —— 均为单向拉、压状态
8
弯曲中
梁的中性层neutral surface —— 既不伸长又不缩短的纵面
截面的中性轴neutral axis —— 中性层与横截面的交线
104.17 106 Pa 104.17 MPa
15
q=60kN/m x
180
120
4. C 截面曲率半径ρ
30
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
K
z y
C 截面弯矩
M C 60kN m
FBY
C 截面惯性矩
FS 90kN
M
x 90kN
I Z 5.832 105 m4 1 M EI
19
2 V B b h 2 2 2 ( y) ( H h ) ( y ) I zb 8 2 4
讨
论
B
1、沿腹板高度方向抛物线分布
2、y=0时，切应力值最大
h H
3、腹板上下边处切应力最小
max
V BH 2 h2 V B 2 2 ( B b ) H h min I zb 8 8 I zb 8
目录
26
例题9－2
F
l
悬臂梁由三块木板粘接 50 而成。跨度为1m。胶合面 z50 的许可切应力为0.34MPa， 50 木材的〔σ〕= 10 MPa， 100 [τ]=1MPa，求许可载荷。
V
Fl
F
解： 1.画梁的剪力图和弯矩图 2.按正应力强度条件计算许可载荷 M max 6F1l max 2
M ymax t max 11 Iz
正应力计算公式适用范围
M y Iz
剪力弯曲时，截面上有切应力，平面假设不严格成立但当梁跨度
l 与高度 h 之比大于5（即为细长梁）时，弹性力学指出：上述公式 近似成立 截面惯性积 Iyz = 0 推导时用到郑玄-胡克定律，但可用于已屈服的梁截面
27
F
l
100 50 z50 50
4.按胶合面强度条件 计算许可载荷
V Fl
M
h F b 3 * F 4 F3 VS Z 3 g g 3 IZb 3bh bh b 12 3bh g 3 100 150 10 6 0.34 106 F3 4 4 3825N 3.825kN
ql 2 / 8 67.5kN m
EI Z 200 109 5.832 10 5 C MC 60 103 194.4m