概率统计
概率与统计知识点总结
概率与统计知识点总结一、概率的基本概念概率，简单来说，就是衡量某个事件发生可能性大小的一个数值。
比如抛硬币，正面朝上的概率是 05，意思是在大量重复抛硬币的实验中，正面朝上的次数大约占总次数的一半。
随机事件，就是在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。
比如掷骰子得到的点数就是随机事件。
必然事件，就是在一定条件下必然会发生的事件。
比如太阳从东方升起，这就是必然事件。
不可能事件，就是在一定条件下不可能发生的事件。
比如在地球上，水往高处流就是不可能事件。
概率的取值范围在 0 到 1 之间。
0 表示事件不可能发生，1 表示事件必然发生。
二、古典概型古典概型是一种最简单、最基本的概率模型。
它具有两个特点：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等。
计算古典概型中事件 A 的概率公式为：P(A) ＝ A 包含的基本事件个数／基本事件的总数。
例如，一个袋子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机摸出一个球是红球的概率，基本事件总数是 8（5 个红球＋ 3 个白球），红球的个数是 5，所以摸到红球的概率就是 5/8。
三、几何概型与古典概型不同，几何概型中的基本事件个数是无限的。
比如在一个时间段内等可能地到达某一地点，或者在一个区域内等可能地取点。
几何概型的概率计算公式是：P(A) ＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）／试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）。
举个例子，在区间0, 10中随机取一个数，这个数小于 5 的概率就是 5/10 ＝ 05。
四、条件概率条件概率是在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
记事件 A 在事件 B 发生的条件下发生的概率为 P(A|B)。
计算公式为：P(A|B) ＝ P(AB) ／ P(B) ，其中 P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率。
比如说，已知今天下雨，明天也下雨的概率就是一个条件概率。
统计概率知识点梳理总结
统计概率知识点梳理总结统计概率是统计学中非常重要的一个分支，它研究随机现象的概率规律，为我们处理不确定性的问题提供了一种方法。
在统计概率的学习中，有一些基本概念和方法是必须掌握的。
本文将对统计概率的相关知识进行梳理总结，包括概率基本概念、概率分布、概率密度函数、概率函数、随机变量、概率质量函数、期望、方差等内容。
1.概率基本概念概率是一个介于0-1之间的数，用来度量一个事件发生的可能性。
概率的基本概念包括样本空间、随机事件、事件的概率、事件的互斥和事件的独立性等。
样本空间是指试验中所有可能结果的集合，随机事件是指样本空间中的一个子集，事件的概率是指该事件发生的可能性大小，用P(A)表示。
事件的互斥指两个事件不可能同时发生，事件的独立性指两个事件之间的发生没有关系。
2.概率分布概率分布是描述随机变量所有可能取值及其对应概率的分布情况。
常见的概率分布包括离散型概率分布和连续型概率分布。
离散型概率分布是指随机变量只能取其中的一个值的概率分布，如伯努利分布和泊松分布；连续型概率分布是指随机变量可以取任意实数值的概率分布，如正态分布和指数分布。
3.概率密度函数概率密度函数是描述连续型随机变量的概率分布的函数，用f(x)表示。
概率密度函数具有非负性、非减性和归一性等性质。
通过概率密度函数可以计算随机变量在其中一区间内取值的概率。
4.概率函数概率函数是描述离散型随机变量的概率分布的函数，它给出了随机变量取各个值的概率。
概率函数具有非负性和归一性等性质。
通过概率函数可以计算随机变量取一些特定值的概率。
5.随机变量随机变量是一个实数值函数，它的取值是试验结果的函数。
随机变量可以是离散型的，也可以是连续型的。
离散型随机变量通常用字母大写表示，如X；连续型随机变量通常用字母小写表示，如x。
随机变量可以有多种数学表达方式，如分布函数、概率密度函数和概率函数等。
6.概率质量函数概率质量函数是描述离散型随机变量的概率分布的函数，用p(x)表示。
概率统计公式(大全)
.
资料
设随机变量 X 的值只落在[a，b]内，其密度函数 f (x) 在[a，b] 上为常数 1 ，即
ba
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a≤x≤b 其他，
均匀分布
则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。
分布函数为
x
F (x) f (x)dx
。
（2） 连续型随 机变量的 分布密度
设 F(x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f (x) ，对任意实数 x ，有
x
F (x) f (x)dx
，
则称 X 为连续型随机变量。 f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概
率密度。 密度函数具有下面 4 个性质：
1° f (x) 0 ,
的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为 0,1,2,, n 。
（5） 八大分布
二项分布 即 B(n,p)
P( X
k)
Pn(k )
C
k n
p k q nk
，
q 1 p,0 p 1, k 0,1,2,, n ，
其中
则称随机变量 X 服从参数为 n ， p 的二项分布。记为
X ~ B(n, p) 。
n 种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。
（3） 重复排列和非重复排列（有序）
一 些 常 见 对立事件（至少有一个）
排列
顺序问题
（4） 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，
随 机 试 验 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试
概率统计公式大全
2Fx,y分别对x和y是非减的,即
当x2>x1时,有Fx2,y≥Fx1,y;当y2>y1时,有Fx,y2≥Fx,y1;
3Fx,y分别对x和y是右连续的,即
4
5对于
.
4
离散型与连续型的关系
5
边缘分布密度
离散型
X的边缘分布为
；
Y的边缘分布为
;
连续型
X的边缘分布密度为
Y的边缘分布密度为
6
条件分布
离散型
在已知X=xi的条件下,Y取值的条件分布为
均匀分布
设随机变量 的值只落在a,b内,其密度函数 在a,b上为常数 ,即
a≤x≤b
其他,
则称随机变量 在a,b上服从均匀分布,记为X~Ua,b;
分布函数为
a≤x≤b
0,x<a,
1,x>b;
当a≤x1<x2≤b时,X落在区间 内的概率为
;
指数分布
,
0, ,
其中 ,则称随机变量X服从参数为 的指数分布;
我们称随机变量F服从第一个自由度为n1,第二个自由度为n2的F分布,记为F～fn1, n2.
第四章 随机变量的数字特征
1
一维随机变量的数字特征
离散型
连续型
期望
期望就是平均值
设X是离散型随机变量,其分布律为P ＝pk,k=1,2,…,n,
要求绝对收敛
设X是连续型随机变量,其概率密度为fx,
要求绝对收敛
对于连续型随机变量, ;
5
八大分布
0-1分布
即B1,p
PX=1=p, PX=0=q
二项分布
即Bn,p
在 重贝努里试验中,设事件 发生的概率为 ;事件 发生的次数是随机变量,设为 ,则 可能取值为 ;
统计概率知识点归纳总结大全
统计概率知识点归纳总结大全统计概率是数学中的一个重要分支，它是一门研究数据收集、分析、解释和预测的学科。
在我们的日常生活中，统计概率也是不可避免的。
在我们购买彩票、浏览社交媒体的统计数据、选举、医学实验中的分析等方面，统计学都在起着重要的作用。
下面我们就来对统计概率的知识点进行归纳总结。
一、基本概念1. 概率是指某一事件发生的可能性大小，通常表示为P。
2. 样本空间是指所有可能的结果构成的集合，一般用S表示。
3. 事件是指样本空间S的子集，即可能发生的结果的集合。
4. 随机变量是指样本空间S中的元素与实数集之间的一个函数。
5. 概率分布是指随机变量每个可能取值的概率。
二、概率公式1. 概率加法规则：P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A且B)，其中A 且B是指A和B同时发生的概率。
2. 概率乘法规则：P(A且B) = P(A) × P(B|A)，其中P(B|A)是指在A发生的前提下，B发生的概率。
3. 贝叶斯公式：P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)，其中P(A|B)是指在B发生的前提下，A发生的概率。
4. 全概率公式：P(A) = ∑ P(A|B_k) × P(B_k)，其中B_k是划分样本空间的一组事件。
三、概率分布1. 离散型随机变量的概率分布：P(X=x_i) = p_i，其中X为随机变量，x_i为可能取值，p_i为取值为x_i的概率。
2. 离散型随机变量的期望：E(X) = ∑ x_i × p_i，其中x_i为可能取值，p_i为取值为x_i的概率。
3. 连续型随机变量的概率密度函数：f(x)，其中f(x)为概率密度函数的值，表示X落在一个x到(x+dx)的范围内的概率为f(x) × dx。
4. 连续型随机变量的期望：E(X) = ∫ x × f(x)dx。
5. 方差： Var(X) = E(X²) - [E(X)]²。
概率与统计的基本概念和性质
概率与统计的基本概念和性质概率与统计是数学中重要的分支，它们研究了数据分析、预测和随机现象的原理和方法。
在现代科学和决策制定中，概率与统计都发挥着重要的作用。
本文将介绍概率与统计的基本概念和性质。
一、概率的基本概念和性质概率是随机事件发生的可能性的度量。
在概率论中，我们利用数值来表示概率，通常用[0,1]内的实数表示，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
概率的基本性质包括以下几个方面：1.1 加法法则加法法则指的是两个事件的概率之和等于这两个事件的并事件发生的概率。
设A和B是两个事件，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B 发生的概率，那么事件A或事件B发生的概率为P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
1.2 乘法法则乘法法则表明两个事件相互独立时，它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。
设A和B是两个相互独立的事件，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率，那么事件A和事件B同时发生的概率为P(A∩B) = P(A) × P(B)。
1.3 条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
设A和B是两个事件，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，那么条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
1.4 互斥事件互斥事件指的是两个事件不可能同时发生的情况。
设A和B是两个互斥事件，则它们的交集为空集，即P(A∩B) = 0。
在互斥事件的情况下，加法法则可以简化为P(A∪B) = P(A) + P(B)。
二、统计的基本概念和性质统计是指通过对数据进行搜集、整理、分析和解释，研究现象规律和作出推断的科学方法。
统计的基本概念和性质包括以下几个方面：2.1 总体与样本在统计中，总体是指我们要研究的所有个体或事物的集合，而样本是从总体中抽取出来的部分个体。
通过对样本的统计分析来推断总体的性质和规律。
2.2 参数与统计量在统计分析中，参数是总体的特征量，通常用来描述总体的某种特性，如总体的均值和标准差。
概率统计知识点
一.随机事件和概率1、概率的定义和性质（1）概率的公理化定义设Ω为样本空间，A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =13° 对于两两互不相容的事件1A ，2A ，…有∑∞=∞==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)(i i i i A P A P Υ常称为可列（完全）可加性。
则称P(A)为事件A 的概率。
（2）古典概型（等可能概型）1° {}n ωωωΛ21,=Ω，2° nP P P n 1)()()(21===ωωωΛ。
设任一事件A ，它是由m ωωωΛ21,组成的，则有P(A)={})()()(21m ωωωΥΛΥΥ=)()()(21m P P P ωωω+++Λn m =基本事件总数所包含的基本事件数A =2、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）(1)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)(2)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当B ⊂ A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时，P(B )=1- P(B)（3）条件概率和乘法公式定义 设A、B 是两个事件，且P(A)>0，则称)()(A P AB P 为事件A 发生条件下，事件B 发生的条件概率，记为=)/(A B P )()(A P AB P 。
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
（4）全概公式设事件B 1, B 2,Λ , B n 满足1°B 1, B 2,Λ , B n两两互不相容，P (B i ) > 0(i = 1,2,Λ , n ) ，2°Υni iB A 1=⊂，则有)|()()|()()|()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++=Λ。
高中数学概率与统计知识点
高中数学概率与统计知识点1、概率的定义随机事件A的概率是频率的稳定值；频率是概率的近似值。
2、等可能事件的概率如果一次试验中可能出现的结果有n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是1/n，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P(A)=m/n。
3、互斥事件不可能同时发生的两个事件叫互斥事件。
如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生（A、B中有一个发生）的概率，等于事件A、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)。
4、对立事件对立事件是指两个事件必有一个发生的互斥事件。
例如:从1~52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件。
而抽到“红色牌”与抽到“黑色牌”互为对立事件，因为其中一个必发生。
对立事件的性质:1)对立事件的概率和等于1:P(A)+P(Ä)=P(A+A)=1。
2)互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件。
5、相互独立事件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B)。
相互独立事件的性质:1)如果事件A与B相互独立，那么A与B,A与B，A与B也都相互独立。
2)必然事件与任何事件都是相互独立的。
3)独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件。
6、独立重复试验若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的。
如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率:P…(k)=CP*(1-P)"-*7、两个事件之间的关系对任何两个事件都有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)。
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十一、概率与统计考试要求：1、了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。
2、了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能事件的概率。
3、了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。
4、会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率。
5、了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列。
6、了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据散型随机变量的分布列求出期望值、方差。
7、会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本。
8、会用样本频率分布去估计总体分布。
1、一个骰子连续掷两次，以先后得到的点数m ，n 为点P (m ，n )，那么点P 在圆1722=+y x 外部的概率为： A. 31 B. 32 C. 1811 D. 1813 2、用1、2、3、4这四个数字组成比2000大，且无重复数学的四位数的概率是: A ．41 B ．21 C ．43 D ．31 3、甲乙两个围棋队各5名队员按事先排好的顺序进行擂台赛，双方1号队员先赛，负者被淘汰，然后负方的2号队员再与对方的获胜队员再赛，负者又被淘汰，一直这样进行下去，直到有一方队员全被淘汰时，另一方获胜. 假设每个队员的实力相当，则甲方有4名队员被淘汰且最后战胜乙方的概率是 .4、设}6,5,4,3,2,1{=A , }9,7,5,3,1{=A , 集合C 是从A ⋃B 中任取2个元素组成的集合,则 ≠⊂C B A 的概率是____________5、一名同学投篮的命中率为32，他连续投篮3次，其中恰有2次命中的概率为： A ．32 B ．274 C ．92 D ．94 6、在6个电子产品中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完后不放回，直到两个次品都找到为止，那么经过四次测试恰好将两个次品全部找出来的概率是 A. 154 B. 51 C. 52 D. 274 7、两名战士在一次射击比赛中，甲得1分，2分，3分的概率分别是，，，乙得1分，2分，3分的概率分别是，，，那么两名战士哪一位得胜的希望较大8、某校有教职工200人，男学生1000人，女学生1200人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从教职工中抽取的人数为10，则n =9、一个容量为20的样本,数据的分组及各组频数如下：;4],40,30(;3],30,20(;2],20,10( ;2],70,60(;4],60,50(;5],50,40(则样本在区间]50,10(上的频率为:A ．B ．0.7C ．D ．10、在某路段检测点，对200辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为如右频率分布直方图，则车速不小于90km /h 的汽车约有 辆。
A. 60 B. 70 C. 80 D. 90 11、由于电脑故障，使得随机变量ξ的分布列中部分数据丢失（以□代替，其表如下：ξ1 2 3 4 5 6 P 0.□5 □请你先丢失的数据补齐，再求随机变量ξ的数学望，其期望值为 .12、一射手对靶射击，直到第一次命中（或子弹打完）为止，每次射击命中的概率为，现在有4发子弹，则所用子弹数ξ的数学期望为：A ．B ．0.624C ．D ．13、一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m + k 的个位数字相同，若m = 6，则在第7组中抽取的号码是 .14、设随机变量),21,5(~B ξ则P （ξ=2）等于:A ．165B ．163C ．85D ．83 15、 若3,6),,(~==ξξξD E p n B ，则)1(=ξP 的值为：A 、1023-⨯B 、42-C 、223-⨯D 、82-16、已知随机变量ξ的分布列如右表:设12+=ξη，则η的期望值 Eη= 。
17、甲、乙两支足球队90分钟踢成平局，加时赛30分钟后仍成平局．现决定每队各派5名队员，每人射一个点球来决定胜负．设甲、乙两队每个队员的点球命中率均为．（1）若不考虑乙队，求甲队仅有3名队员点球命中，且其中恰有两名队员连续命中的概率；（2）求甲、乙两队各射完5个点球后，再次出现平局的概率．18、设离散型随机变量ξ所有可能值为1，2，3，4，且()P k ak ξ==（k =1，2，3，4）。
（1）求常数a 的值；（2）求随机变量ξ的分布列；（3）求()P 24≤<ξ。
ξ 1 2 3p 12 16 b19、有一个4×5×6的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成120个1×1 ×1的小正方体, 从这些小正方体中随机地任取1个.(I) 设小正方体涂上颜色的面数为ξ, 求ξ的分布列和数学期望.(II) 如每次从中任取一个小正方体, 确定涂色的面数后, 再放回, 连续抽取6次,设恰好取到两面涂有颜色的小正方体次数为η. 求η的数学期望.20、袋子内装有大小相同的15个小球，其中有n 个红球，5个黄球，其余为白球．（1）从中任意摸出2个小球，求得到2个球都是黄球的概率；（2）如果从中任意摸出2个小球，得到都是红球或黄球的概率为16105，求红球的个数。
21、某次有奖竞猜活动中，主持人准备了A 、B 两个相互独立的问题， 并且宣布：观众答对问题A 可获奖金a 元，答对问题B 可获奖金2a 元；先答哪个题由观众自由选择；只有第1个问题答对，才能再答第2个问题，否则中止答题。
若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A 、B 的概率分别为21、31。
你觉得应先回答哪个问题才能使你获得奖金的期望较大说明理由。
22、为了测试甲、乙两名射击运动员的射击水平，让他们各向目标靶射出10次，其中甲击中目标7次，乙击中目标6次，若再让甲、乙两人各自向目标靶射击3次，求：（1）甲运动员恰好击中目标2次的概率是多少（2）两名运动员都恰好击中目标2次的概率是多少（结果保留两个有效数字）.23、如图，用D C B A ,,,表示四类不同的元件连接成系统M 。
当元件B A ,至少有一个正常工作且元件D C ,至少有一个正常工作时，系统M 正常工作。
已知元件D C B A ,,,正常工作的概率依次为，，，，求元件连接成的系统M 正常工作的概率)(M P .十一、概率与统计参考答案1、D ；2、C ；3、25635；4、283；5、D ；6、B ；7、甲；8、120；9、B ；10、A ；11、；12、C ；13、63；14、A ；15、A ；16、314 17．解：（1）甲队3名队员射中，并恰有两名队员连续射中的情形有23A 种．其概率为163)5.01()5.0(A 23231=-⋅=P ． （2）若再次出现平局，有如下几种可能情况：0∶0或1∶1或2∶2或…或5∶5共6种可能． 其概率为 +-⨯⨯+-⨯⨯=24115250052])5.01(5.0C [])5.01(5.0C [P5555.0C [⨯+25663])5.01(20=-⨯ 18. 解：（1）由随机变量的分布列的性质得：()()()()P P P P ξξξξ=+=+=+==12341所以a a a a +++=2341，因此a =110（2）由（1）知：()P ξ==1110，()()1033,511022=====ξξP P ()P ξ===441025 故ξ的分布列为：（3）()()()P P P 24235102≤<==+==+=ξξξ 19、解: (1)分布列E ξ=0×5+1×30+2×10+3×15=30(2)易知η～B(6, 103), ∴ E η=6×103= 20、解：（1）从15个小球中摸出2个小球都是黄球的概率为212215251==C C P （2）设有n 个红球，由题意知225221516105n C C P C +== 得 26n C = 由(1)62n n -=解得4n =或3n =-（舍），故有4个红球. 21、解：设甲先答A 、B 所获奖金分别为ηξ、元，则有.613121)3(,31)311(21)(,21211)0(=⋅===-===-==a P a P P ξξξ .612131)3(,61)211(31)2(,32311)0(=⋅===-===-==a P a P P ηηη 65613612320;6561331210a a a E a a a E =⋅+⋅+⋅==⋅+⋅+⋅=∴ηξ由于两种答序获奖金的期望相等，故先答哪个都一样。
22．解：依题意，知甲运动员向目标靶射击1次，击中目标的概率为7.0107=； 乙运动员向目标靶射击1次，击中目标的概率为.6.0106= （1）甲运动员向目标靶射击3次，恰好击中目标2次的概率是.44.0)7.01(7.01223=-⨯⨯C（2）甲、乙两运动员各自向目标靶射击3次，恰好都击中目标2次的概率是.19.0])6.01(6.0[])7.01(7.0[12231223=-⋅⋅⋅-⋅⋅C C23解：由A ，B 构成系统F ，由C ，D 构成系统G ，那么系统F 正常工作的概率)](1[)(B A P F P ⋅-=，系统G 正常工作的概率为)](1[)(D C P G P ⋅-=，由已知，得752.0)()()(=⋅=G P F P M P ，故系统M 正常工作的概率为.。