2018年江苏省高考数学试卷

2018年江苏省高考数学试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1. 已知集合A={0，1，2，8}，B={?1，1，6，8}，那么A∩B=________．

2. 若复数z满足i?z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．

3. 已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．

4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为________．

5. 函数f(x)=√log2x?1的定义域为________．

6. 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．

7. 已知函数________＝sin(2________+φ)(?π

2φπ

2

)的图象关于直线________．

8. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2

a2?y2

b2

=1(a>0,?b>0)的右焦点F(c,?0)到一

条渐近线的距离为√3

2

c，则其离心率的值为________．

9. 函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R)，且在区间(?2,?2]上，f(x)=

{

cos

πx 2

，0

|x +1

2

|，?2

则f(f(15))的值为________．

10. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．

11. 若函数f(x)=2x 3?ax 2+1(a ∈R )在(0,+∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[?1,1]上的最大值与最小值的和为________．

12. 在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l:y ＝2x 上在第一象限内的点，B(5,?0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若AB →

?CD →

=0，则点A 的横坐标为________．

13. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC =120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =1，则4a +c 的最小值为________．

14. 已知集合A ={x|x =2n ?1,?n ∈N ?}，B ={x|x =2n ,?n ∈N ?}．将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则使得S n >12a n+1成立的n 的最小值为________．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 在平行六面体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB ，AB 1⊥B 1C 1． 求证：

AB?//?平面A 1B 1C ；

平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．

16. 已知α，β为锐角，tan α=4

3，cos (α+β)=?√5

5

． (1)求cos 2α的值；

(2)求tan (α?β)的值．

17. 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN

?（P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I 内的地块形状为矩形ABCD ，大棚II 内的地块形状为△CDP ，要求A ，B 均在线段MN 上，C ，D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为

θ．

（1）用θ分别表示矩形ABCD 和△CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；

（2）若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚II 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面

积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点(√3,1

2)，焦点F 1(?√3,?0)，F 2(√3,?0)，

圆O 的直径为F 1F 2．

(1)求椭圆C 及圆O 的方程.

(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．

①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为2√6

7

，求直线l 的方程．

19. 记f′(x)，g′(x)分别为函数f(x)，g(x)的导函数．若存在x 0∈R ，满足f(x 0)=g(x 0)且f′(x 0)=g′(x 0)，则称x 0为函数f(x)与g(x)的一个“S 点”． (1)证明：函数f(x)=x 与g(x)=x 2+2x ?2不存在“S 点”；

(2)若函数f(x)=ax 2?1与g(x)=ln x 存在“S 点”，求实数a 的值；

(3)已知函数f(x)=?x 2+a ，g(x)=

be x x

．对任意a >0，判断是否存在b >0，使函数

f(x)与g(x)在区间(0,?+∞)内存在“S 点”，并说明理由．

20. 设{a n }是首项为a 1，公差为d 的等差数列，{b n }是首项为b 1，公比为q 的等比数列． （1）设a 1=0，b 1=1，q =2，若|a n ?b n |≤b 1对n =1，2，3，4均成立，求d 的取值范围；

（2）若a 1=b 1>0，m ∈N ?，q ∈(1,?√2m

]，证明：存在d ∈R ，使得|a n ?b n |≤b 1对n =2，3，…，m +1均成立，并求d 的取值范围（用b 1，m ，q 表示）． 数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

21. 如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线，

切点为C ．若PC =2√3，求BC 的长．

B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

22. 已知矩阵A =[23

12]．

（1）求A 的逆矩阵A ?1；

（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点P′(3,?1)，求点P 的坐标． C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）

23. 在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin (π

6?θ)=2，曲线C 的方程为ρ=4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．

D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）

24. 若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值．

【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

25. 如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．

(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；

(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．

26. 设n∈N?，对1，2，……，n的一个排列i1i2……i n，如果当si t，则称

(i s,?i t)是排列i1i2……i n的一个逆序，排列i1i2……i n的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2,?1)，(3,?1)，则排列231的逆序数为2．记f n(k)为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．

(1)求f3(2)，f4(2)的值.

(2)求f n(2)(n≥5)的表达式（用n表示）．

参考答案与试题解析

2018年江苏省高考数学试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1.

【答案】

{1，8}

2.

【答案】

2

3.

【答案】

90

4.

【答案】

8

5.

【答案】

[2,?+∞)

6.

【答案】

0.3

7.

【答案】

y,x,x=π

3对称，则φ的值为?π

6

8.

【答案】2

9.

【答案】√2

2

10.

【答案】4

3

11.

【答案】?3

12.

【答案】

3

13.

【答案】

9

14.

【答案】

27

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.

【答案】

证明：平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，

AB?//?A1B1，

因为AB?平面A1B1C，A1B1??//?平A1B1C，

所以AB//平面A1B1C；

在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，

四边形ABB1A1为平行四边形．

又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，

因此AB1⊥A1B，

又因为AB1⊥B1C1,BC//B1C1，

所以AB1⊥BC．

又因为A1B∩BC=B,A1B?平面A1BC，BC?平面A1BC，

所以AB1⊥平面A1BC．

因为AB1?平面ABB1A1，

所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．

16.

【答案】

解：(1)由{sinα

cosα

=4

3

，

sin2α+cos2α=1，

且α为锐角，

解得{sinα=4

5

，

cosα=3

5

，

∴cos2α=cos2α?sin2α=?7

25

.

(2)由(1)得，sin2α=2sinαcosα=24

25，则tan2α=sin2α

cos2α

=?24

7

．

∵ α，β∈(0,?π

2)，∴ α+β∈(0,?π)， ∴ sin (α+β)=√1?cos 2(α+β)=2√5

5

． 则tan (α+β)=

sin (α+β)cos (α+β)

=?2．

∴ tan (α?β)=tan [2α?(α+β)]=tan 2α?tan (α+β)

1+tan 2αtan (α+β)=?2

11． 17. 【答案】

（1）S 矩形ABCD =800(4sin θcos θ+cos θ)， S △CDP =1600(cos θ?cos θsin θ)， sin θ∈[1

4,?1)；

θ=π

6

时总产值y 最大．

18. 【答案】

解：(1)由题意可设椭圆方程为

x 2a

+

y 2b =1，(a >b >0)，

∵ 焦点F 1(?√3,?0)，F 2(√3,?0)， ∴ c =√3．

∵ 3

a 2+1

4b 2=1，a 2?b 2=c 2=3， 解得a =2，b =1． ∴ 椭圆C 的方程为：

x 24

+y 2=1，圆O 的方程为：x 2+y 2=3．

(2)①可知直线l 与圆O 相切，也与椭圆C ，且切点在第一象限， ∴ 可设直线l 的方程为y =kx +m ，(k <0,?m >0)．

由圆心(0,?0)到直线l 的距离等于圆半径√3，可得m 2

1+k 2=3，即m 2=3+3k 2． 由{y =kx +m,x 2+4y 2

=4,可得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2?4=0， △=(8km)2?4(4k 2+1)(4m 2?4)=0， 可得m 2=4k 2+1，

∴ 3k 2+3=4k 2+1，结合k <0，m >0，解得k =?√2，m =3． 将k =?√2，m =3代入{x 2+y 2=3,

y =kx +m,可得x 2?2√2x +2=0，

解得x =√2，y =1，故点P 的坐标为(√2，1)． ②设A(x 1,?y 1)，B(x 2,?y 2)， 由{k <0,m >0,

m 2=3+3k 2△>0.

?k

联立直线与椭圆方程得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2?4=0， |x 2?x 1|=√(x 1+x 2)2?4x 1x 2=

4√4k 2+1?m 2

4k 2+1

，

O 到直线l 的距离d =

√1+k 2

，

|AB|=√1+k 2|x 2?x 1|=4√4k 2+1?m 2

4k 2+1

?√1+k 2， △OAB 的面积为S =1

2×

4√4k 2+1?m 2

4k 2+1

?√1+

k 2

×

√1+k

2

=12×4√k 2?24k 2+1

×√1+k 2×√3=

2√6

7

， 解得k =?√5（正值舍去），m =3√2.

∴ y =?√5x +3√2为所求直线l 的方程． 19.

【答案】

解：(1)证明：f′(x)=1，g′(x)=2x +2， 则由定义得{x =x 2+2x ?2,

1=2x +2,得方程无解，

则f(x)=x 与g(x)=x 2+2x ?2不存在“S 点”. (2)f′(x)=2ax ，g′(x)=1

x ，x >0， 由f′(x)=g′(x)得1

x =2ax ，得x =√1

2a ， f(√1

2a

)=?1

2

=g(√1

2a

)=?1

2

ln 2a ，得a =e

2

.

(3)f′(x)=?2x ，g′(x)=

be x (x?1)

x 2

，(x ≠0)，

由f′(x 0)=g′(x 0)，得be x 0=?2x 03x 0?1

>0，得0

g(x 0)，得?x 02

+a =

be x 0x 0

=?2x 02x

0?1

，得a =

x 0

2

?2x 0

2x

0?1

，

令?(x)=x 2

?2x 2

x?1?a =

?x 3+3x 2+ax?a

1?x

，(a >0,?0

设m(x)=?x 3+3x 2+ax ?a ，(a >0,?0

则m(0)=?a <0，m(1)=2>0，得m(0)m(1)<0， 又m(x)的图象在(0,?1)上连续不断， 则m(x)在(0,?1)上有零点， 则?(x)在(0,?1)上有零点，

则f(x)与g(x)在区间(0,?+∞)内存在“S ”点． 20.

【答案】 解：（1）由题意可知|a n ?b n |≤1对任意n =1，2，3，4均成立， ∵ a 1=0，q =2，

∴ {|0?1|≤1|d ?2|≤1|2d ?4|≤1|3d ?8|≤1，解得{1≤d ≤3

32≤d ≤527

3

≤d ≤3．即73≤d ≤52． 证明：

（2）∵ a n =a 1+(n ?1)d ，b n =b 1?q n?1，

若存在d ∈R ，使得|a n ?b n |≤b 1对n =2，3，…，m +1均成立，

则|b1+(n?1)d?b1?q n?1|≤b1，(n=2,?3,…,m+1)，

即q n?1?2

n?1

b1≤d≤b1q n?1

n?1

，(n=2,?3,…,m+1)，

∵q∈(1,?√2

m]，∴则1

∴q n?1?2

n?1b1≤0，b1q n?1

n?1

>0，

因此取d=0时，|a n?b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，

下面讨论数列{q n?1?2

n?1

}的最大值和数列{q n?1

n?1

}的最小值，

①当2≤n≤m时，q n?2

n ?q n?1?2

n?1

=nq n?q n?nq n?1+2

n(n?1)

=n(q n?q n?1)?q n+2

n(n?1)

，

当1

m时，有q n≤q m≤2，

从而n(q n?q n?1)?q n+2>0，

因此当2≤n≤m+1时，数列{q n?1?2

n?1

}单调递增，

故数列{q n?1?2

n?1

}的最大值为q m?2

m

．

②设f(x)=2x(1?x)，当x>0时，f′(x)=(ln2?1?x ln2)2x<0，∴f(x)单调递减，从而f(x)

当2≤n≤m时，

q n

n

q n?1

n?1

=q(n?1)

n

≤21m(1?1

n

)=f(1

n

)<1，

因此当2≤n≤m+1时，数列{q n?1

n?1

}单调递递减，

故数列{q n?1

n?1}的最小值为q m

n

，b1(q

m?2)

m

∴d的取值范围是d∈[b1(q m?2)

m ,?b1q m

m

]．

数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

21.

【答案】

解：连接OC，

因为PC为切线且切点为C，

所以OC⊥CP．

因为圆O的半径为2，PC=2√3，

所以BO=OC=2，PO=√OC2+CP2=4，

所以cos∠COP=1

2

，

所以∠COP=60°，

所以△COB为等边三角形，

所以BC=BO=2．

B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

22.

【答案】

解：（1）矩阵A =[23

12]，det(A)=2×2?1×3=1≠0，所以A 可逆，

从而：A 的逆矩阵A ?1=[2?3

?12

]．

（2）设P(x,?y)，则[2312]?[x y ]=[31]，所以[x y ]=A ?1[31]=[3

?1]，

因此点P 的坐标为(3,??1)．

C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）

23.

【答案】

解：∵ 曲线C 的方程为ρ=4cos θ，∴ ρ2=4ρcos θ，?x 2+y 2=4x ， ∴ 曲线C 是圆心为C(2,?0)，半径为r =2得圆． ∵ 直线l 的方程为ρsin (π

6

?θ)=2，∴ 1

2

ρcos θ?

√3

2

ρsin θ=2，

∴ 直线l 的普通方程为：x ?√3y =4． 圆心C 到直线l 的距离为d =

1+3

=1，

∴ 直线l 被曲线C 截得的弦长为2√r 2?d 2=2√4?1=2√3． D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）

24.

【答案】

解：由柯西不等式得(x 2+y 2+z 2)(12+22+22)≥(x +2y +2z)2， ∵ x +2y +2z =6，∴ x 2+y 2+z 2≥4

是当且仅当x

1=y

2=z

2时，不等式取等号，此时x =2

3，y =4

3，z =4

3，

∴ x 2+y 2+z 2的最小值为4

【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 25.

【答案】

解：(1)如图，在正三棱柱ABC ?A 1B 1C 1中，

设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1， 则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，

故以{OB →

，OC →

，OO 1→

}为基底，建立空间直角坐标系O ?xyz ，

∵ AB =AA 1=2，

∴ A(0,??1,?0)，B(√3,?0,?0)，C(0,?1,?0)， A 1(0,??1,?2)，B 1(√3,?0,?2)，C 1(0,?1,?2)． ∵ 点P 为A 1B 1的中点． ∴ P(

√32

，?1

2

，2)，

∴ BP →=(?

√3

2,?12

,2)，AC 1→=(0,2,2)．

|cos

,AC 1→

>|=

|BP →

?AC 1→

|

|BP →

|?|AC 1→

|

=

5×22

=

3√10

20

． ∴ 异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为3√10

20

. (2)∵ Q 为BC 的中点． ∴ Q(

√32,1

2

,0) ∴ AQ →

=

(√32,3

2,0)，AC 1

→

=(0,2,2)，CC 1→

=(0,0,2)，

设平面AQC 1的一个法向量为n →

=(x,?y,?z)，

则{AQ →

?n →

=0,

AC 1→?n →=0,

即{√32

x +3

2y =0,2y +2z =0.

不妨取n →

=(√3,??1,?1)，

设直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为θ， sin θ=|cos

,n →

>|=

|CC 1→

?n →

|

|CC 1→

|?|n →

|

=

√5×2

=

√55

， ∴ 直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为√5

5． 26.

【答案】

解：(1)f 3(2)即1,2,3的所有排列中逆序数为2的全部排列的个数，

根据题意，1，2，3的全部排列中满足要求的仅序列231与序列312，共两个，即f 3(2)=2；

同理，1，2，3，4的全部排列中满足要求的仅序列1342，1423，2143，2314，3124，

共五个，即f4(2)=5.

(2)不妨记f n(2)=a n，考虑a n与a n?1的关系，相当于把n插入1，2，3，?，n?1中，显然n只能排在末尾的三个位置，

①n排在最后时，有a n?1个排列符合；

②n排在倒数第二个位置时，最后一位排n?1或n?2，有n?2个排列符合；

③n排在倒数第三个位置时，只有1种符合；

则有a n=a n?1+n?1?

a n=(n+2)(n?3)

2

+2

=n2?n?2

2

.

因此，f n(2)=n2?n?2

2

(n≥5).