2020-2021北京第十三中初三数学上期中一模试题及答案
2020-2021学年北京十三中九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年北京十三中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.抛物线y=(x−2)2+3的顶点坐标是()A. (−2,3)B. (2,3)C. (2,−3)D. (−3,2)2.如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，且DE//BC，如果AD：AB=2：3，那么DE：BC等于()A. 3：2B. 2：5C. 2：3D. 3：53.如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD=2，A′D′=3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为()A. 4：9B. 9：4C. 2：3D. 3：24.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则tan∠CAB的值为()A. 1B. 13C. 12D. √555.已知点A(1,a)与点B(3,b)都在反比例函数y=−12x的图象上，则a与b之间的关系是()A. a>bB. a<bC. a≥bD. a=b6.如图所示，△ABC中∠BAC=80°，AB=4，AC=6.甲、乙、丙、丁四名同学分别在△ABC内画出一个阴影三角形与△ABC相似，其中画的错误的是()A. B.C. D.7.已知函数y=−x2+bx+c，其中b>0，c<0，此函数的图象可以是()A. B.C. D.8.如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x=1，如果关于x的方程ax2+bx−8=0(a≠0)的一个根为4，那么该方程的另一个根为()A. −4B. −2C. 1D. 3二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.将抛物线y=2x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式为______．10.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，则CD的长为______．(x<11.如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为函数y=4x0)图象上任意一点，过点P作PA⊥x轴于点A，则△PAO的面积是______．12.已知抛物线y=x2−2x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围是______．13.已知在△ABC中，∠C=90°，cosA=1，AB=6，那么AC=______．314.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，已知图象经过点(1,0)，且对称轴为直线x=−1，则一元二次方程ax2+bx+c=0的根是______．15.为了测量校园内水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底(B)10米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A再用皮尺量得DE=2.0米，观察者目高CD=1.6米，则树(AB)的高度约为______米．16.在平面直角坐标系中，A(3,−3)，B(1,0)，C(3,0)，点P在y轴的正半轴上运动，若以点O、B、P为顶点的三角形与三角形ABC相似，则点P的坐标为______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.计算：2cos30°−2sin45°+3tan60°+|1−√2|.18.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC=∠B.点E在AD边上，CD=CE．(1)求证：△ABD∽△CAE；(2)若AB=6，AC=9，BD=2，求AE的长．219.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−2x−3与双曲线y=k交于M(a,2)，N(1,b)两点．x(1)求k，a，b的值；(2)若P是y轴上一点，且△MPN的面积是7，直接写出点P的坐标______．20.已知：如图，在△ABC中，∠A=105°，∠B=30°，AC=2.求BC的长．21.一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…−5−4−3−2−1012…y…−72524924m0…(1)求这个二次函数的表达式；(2)m的值是______．22.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，CD=8，BE=2.求⊙O的半径．23.如图，用一段长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD，墙长28m.设AB长为x m，矩形的面积为ym2．(1)写出y与x的函数关系式；(2)当AB长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？24.已知二次函数y=x2−4x+3．(1)用配方法将y=x²−4x+3化成y=a(x−ℎ)2+k的形式；(2)求抛物线与x轴交点坐标；(3)在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；(4)结合图象直接写出y>0时，自变量x的取值范围是______；(5)当0<x<3时，y的取值范围是______．25.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是BC边的中点，CD=2，tanB=3．4(1)求AD和AB的长；(2)求sin∠BAD的值．26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2−4mx+4m+3的顶点为A．(1)求点A的坐标；(2)将线段OA沿x轴向右平移2个单位长度得到线段O′A′．①直接写出点O′和A′的坐标；②若抛物线y=mx2−4mx+4m+3与四边形AOO′A′有且只有两个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．27.已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．(1)如图1，点D是BC边上一点(不与点B，C重合)，连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE．①若∠BAD=α，求∠DBE的大小(用含α的式子表示)；②用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明．(2)如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足E在线段AD上，连接CE．①依题意补全图2；②直接写出线段EA，EB和EC之间的数量关系．28.对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零．例如，下图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q等于1．(1)分别判断函数y=x−1，y=1，y=x2有没有不变值？如果有，直接写出其不x变长度；(2)函数y=2x2−bx．①若其不变长度为零，求b的值；②若1≤b≤3，求其不变长度q的取值范围；(3)记函数y=x2−2x(x≥m)的图象为G1，将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2.函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤3，则m的取值范围为．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵抛物线y=(x−2)2+3，∴顶点坐标为：(2,3)．故选：B．由于抛物线y=a(x−ℎ)2+k的顶点坐标为(ℎ,k)，由此即可求解．此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标公式即可解决问题．2.【答案】C【解析】解：∵DE//BC，∴DE：BC=AD：AB=2：3；故选：C．由平行线分线段成比例定理即可得出结果．本题考查了平行线分线段成比例定理；由平行线分线段成比例定理得出比例式是解决问题的关键．3.【答案】A【解析】【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论．本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形(多边形)的高的比等于相似比是解答此题的关键．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，AD=2，A′D′=3，∴其相似比为2：3，∴△ABC与△A′B′C′的面积的比为4：9；故选：A．4.【答案】C【解析】解：如图，tan∠CAB=CDAD =12，故选：C．根据正切是对边比邻边，可得答案．本题考查了锐角三角函数的定义，利用正切函数等于对边比邻边是解题关键．5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积等于比例系数，把所给点的横纵坐标代入反比例函数的解析式，求出a与b的值，比较大小即可．【解答】解：点A(1,a)在反比例函数y=−12x的图象上，a=−12，点(3,b)在反比例函数y=−12x的图象上，b=−4，∴a<b．故选：B．6.【答案】D【解析】解A.满足两组角分别相等，则阴影三角形与△ABC相似；B.满足两组角分别相等，则阴影三角形与△ABC相似；C.满足两组边成比例且夹角相等，则阴影三角形与△ABC相似；D.不满足相似三角形的判定方法．故选：D．通过相似三角形的判定方法对A，B，C，D进行判断．本题考查了相似三角形的判定方法，关键是灵活运用这些判定解决问题．7.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件“a<0、b>0、c<0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象．本题考查了二次函数图象与系数的关系．解题的关键是根据二次函数y=ax2+bx+c 系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与坐标轴的交点．【解答】解：∵a=−1<0，b>0，c<0，>0，与y轴的交点在y轴的负半轴上．∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线x=−b2a故选D．8.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键数熟练掌握二次函数的对称性．根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点可得答案．【解答】解∵关于x的方程ax2+bx−8=0，有一个根为4，∴抛物线y=ax2+bx−8与x轴的一个交点为(4,0)，∵抛物线y=ax2+bx−8的对称轴与y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴相同，为x=1，∴抛物线y=ax2+bx−8与x轴的另一个交点为(−2,0)，∴方程ax2+bx−8=0的另一个根为x=−2．故选B．9.【答案】y=2(x−3)2+2【解析】解：将抛物线y=2x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y=2(x−3)2+2，故答案为：y=2(x−3)2+2．根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．10.【答案】4√2【解析】解：∵AB⊥CD，∴CE=DE，∠OEC=90°，∵∠BOC=2∠A=2×22.5°=45°，∴△OCE为等腰直角三角形，∴CE=OE=√22OC=2√2，∴CD=2CE=4√2．故答案为：4√2．由垂径定理得到CE=DE，再由圆周角定理得∠BOC=45°，得△OCE为等腰直角三角形，然后由等腰直角三角形的性质求出CE的长，从而得到CD的长．本题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理，证明△OCE为等腰直角三角形是解题的关键．11.【答案】2【解析】解：∵点P为函数y=4x图象上任意一点，∴可设P(a,4a)，∴AP=−4a，OA=−a，∴△PAO的面积为：12AP⋅OA=12×(−4a)×(−a)=2，故答案为：2．利用反比例函数解析式设出P点坐标，分别用参数表示出线段AP和OA的长度，直接利用面积公式进行计算即可．本题考查了反比例函数系数k的几何意义，用参数正确表示出P点坐标，进而表示出AP和OA的长度，是解决本题的关键．12.【答案】m<1【解析】【分析】抛物线与x轴有两个交点，则△=b2−4ac>0，从而求出m的取值范围．本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：①抛物线与x轴有两个交点，则△>0；②抛物线与x轴无交点，则△<0；③抛物线与x轴有一个交点，则△=0．【解答】解：∵抛物线y=x2−2x+m与x轴有两个交点，∴△=b2−4ac>0，即4−4m>0，解得m<1，故答案为m<1．13.【答案】2【解析】解：在△ABC中，∠C=90°，∵cosA=AC，AB∵cosA=1，AB=6，3AB=2，∴AC=13故答案为2．，即可求得AC的长．根据三角函数的定义，在直角三角形ABC中，cosA=ACAB本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．14.【答案】−3和1【解析】解：如图，二次函数y =ax 2+bx +c 图象经过点(1,0)，且对称轴为直线x =−1，则抛物线与x 轴的另一个交点是(−3,0)．所以一元二次方程ax 2+bx +c =0的根是−3和1．故答案是：−3和1．一元二次方程ax 2+bx +c =0的根即为抛物线与x 轴交点的横坐标，根据抛物线的对称性质求得抛物线与x 轴的另一个交点．本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质等，求二次函数y =ax 2+bx +c(a,b ，c 是常数，a ≠0)与x 轴的交点坐标，令y =0，即ax 2+bx +c =0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．15.【答案】8【解析】解：根据题意，易得∠CDE =∠ABE =90°，∠CED =∠AEB ，则△ABE∽△CDE ， 则BE DE =AB CD ，即102=AB 1.6，解得：AB =8米．故答案为：8．根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE ，再根据其相似比解答．本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．16.【答案】(0,23)或(0,32)【解析】解：∵B(1,0)、A(3,−3)、C(3,0)，∴∠ACB =90°，CB =2，CA =3，设P 点坐标为(0,t)，∵∠POB =∠ACB =90°，∴当OP BC =OB CA 时，△OPB∽△CBA ，即|t|2=13，解得t =±23，此时P 点坐标为(0,23)， 当OP CA =OB CB时，△OPB∽△CAB ，即|t|3=12，，解得t =±32，此时P 点坐标为(0,32)， 综上所述，若以O 、B 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似，则点P 的坐标为(0,23)或(0,32).故答案为(0,23)或(0,32).利用点A 、B 、C 的坐标特征得到∠ACB =90°，CB =2，CA =3，设P 点坐标为(0,t)，由于∠POB =∠ACB ，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当OP BC =OB CA 时，△OPB∽△CBA ，即|t|2=13；当OP CA =OB CB 时，△OPB∽△CAB ，即|t|3=12，然后分别求出t 的值，从而得到P 点坐标．本题考查了相似三角形的判定，根据比例线段列出方程是解题的关键．17.【答案】解：原式=2×√32−2×√22+3√3+√2−1， =√3−√2+3√3+√2−1，=4√3−1．【解析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算即可．此题主要考查了实数运算，关键是掌握特殊角的三角函数值．18.【答案】(1)证明：∵CD =CE ，∴∠CDE =∠CED ．∵∠AEC +∠CED =180°=∠BDA +∠CDE ，∴∠AEC =∠BDA ．又∵∠DAC =∠B ，∴△ABD∽△CAE．(2)解∵△ABD∽△CAE，∴AEBD =ACBA，∴AE=ACBA ⋅BD=926×2=32．【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定定理证出△ABD∽△CAE是解题的关键．(1)根据等腰三角形的性质可得出∠CDE=∠CED，由等角的补角相等可得出∠AEC=∠BDA，结合∠DAC=∠B，即可证出△ABD∽△CAE；(2)根据相似三角形的性质可得出AEBD =ACBA，代入AB、AC、BD的值即可求出AE的长．19.【答案】解：(1)∵直线y=−2x−3过点M(a,2)，N(1,b)，∴−2a−3=2，b=−2−3，∴a=−2.5，b=−5．∵双曲线y=kx过点N(1,−5)，∴k=−5；(2)(0,1)或(0,−7)．【解析】【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．(1)分别将M(a,2)，N(1,b)代入直线方程和反比例方程中，计算可得；(2)设直线y=−2x−3与y轴交于点C，把x=0代入y=−2x−3求出y的值，确定出C点坐标，根据S△MPN=S△MPC+S△CPN，由已知的面积求出PC的长，进而求出点P的坐标．【解答】解：(1)见答案；(2)如图，设直线y=−2x−3与y轴交于点C，∵y=−2x−3，∴x=0时，y=−3，即C(0,−3)，OC=3，根据题意得：S△MPN=S△MPC+S△CPN=12PC×2.5+12PC×1=7，解得：PC=4，∵C(0,−3)，∴P(0,−3+4)或(0,−3−4)，即P(0,1)或(0,−7)．故答案为(0,1)或(0,−7)．20.【答案】解：∵∠A=105°，∠B=30°．∴∠C=45°．过点A作AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°在Rt△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AC=2．∴∠DAC═∠C=45°．∵sinC=ADAC，∴AD=√2．∴AD=CD=√2．在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠B=30°．∵AD=√2，∴AB=2√2．∴由勾股定理得：BD=√AB2−AD2=√6．∴BC=BD+CD=√6+√2．【解析】首先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再过点A作AD⊥BC于点D，根据锐角三角函数的定义求出AD的长，再根据勾股定理求出BD的长，进而可得出结论．本题主要考查的是解直角三角形、勾股定理和锐角三角函数的定义知识，根据题意作出辅助线并构造出直角三角形是解答此题的关键．21.【答案】52【解析】解：(1)设这个二次函数的表达式为y=a(x−ℎ)2+k．依题意可知，顶点(−1,92)，∴y=a(x+1)2+92．∵(0,4)，∴4=a(x+1)2+92．∴a=−12．∴这个二次函数的表达式为y=−12(x+1)2+92．(2)当x=1时，y=−12×4+92=52，即m=52．(1)待定系数法求解可得；(2)将x=1代入解析式求得y的值，即可得答案．本题主要考查待定系数法求函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．22.【答案】解：连接OC，设⊙O的半径为x．∵直径AB⊥弦CD，CD=4，∴CE=12在Rt△OEC中，由勾股定理可得x2=(x−2)2+42，解得x=5，∴⊙O的半径为5．【解析】本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出CE是解此题的关键．连接OC，根据垂径定理求出CE，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．23.【答案】解：(1)根据题意得，y=x(40−2x)=−2x2+40x，即y与x的函数关系式是y=−2x2+40x；(2)∵y=−2x2+40x=−2(x−10)2+200，∴当x=10时，y有最大值，y的最大值为200，即当AB长为10m时，花圃面积最大，最大面积为200m2．【解析】(1)根据题意可以得到y与x的函数关系式；(2)根据(1)中的函数关系式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论．本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．24.【答案】1<x<3−1<y<3【解析】解：(1)y=x2−4x+3=(x−2)2−1；(2)由二次函数y=x2−4x+3=(x−1)(x−3)知，该图象与x轴的交点为(1,0)或(3,0)；(3)当x=0时，y=3；当x=1时，y=0；当x=−2时，y=−1；当x=3时，y=0；当x=4时，y=3，用上述五点描点连线得到函数图象如下：(4)观察函数图象知，当自变量x的取值范围满足1<x<3时，y<0．故答案是：1<x<3；(5)观察函数图象知，当0<x<3时，y的取值范围是：−1<y<3．故答案是：−1<y<3．(1)利用配方法化简即可；(2)将已知二次函数解析式转化为两点式，可以直接得到答案；(3)用“五点法”取值描点连线即可求解；(4)、(5)观察函数图象即可求解．本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．25.【答案】解：(1)∵D是BC的中点，CD=2，∴BD=DC=2，BC=4，∵在Rt△ACB中，tanB=ACCB =34，∴AC4=34，∴AC=3，由勾股定理得：AD=√AC2+CD2=√32+22=√13，AB=√AC2+BC2=√32+42=5；(2)过点D作DE⊥AB于E，∴∠DEB=∠C=90°，又∠B=∠B，∴△DEB∽△ACB，∴DEAC =DBAB，∴DE3=25，∴DE=65，∴sin∠BAD=DEAD =65√13=6√1365．【解析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．(1)由中点定义求得BC=4，根据tanB=34得AC=3，由勾股定理计算即可；(2)作DE⊥AB于E，证明△DEB∽△ACB，求DE的长，再利用三角函数的定义求结果．26.【答案】解：(1)∵y=mx2−4mx+4m+3=m(x2−4x+4)+3=m(x−2)2+3，∴∴抛物线的顶点A的坐标为(2,3)．(2)由(1)知，A(2,3)，∵线段OA沿x轴向右平移2个单位长度得到线段O′A′．∴A′(4,3)，O′(2,0)；(3)如图，∵抛物线y=mx2−4mx+4m+3与四边形AOO′A′有且只有两个公共点，∴m<0．由图象可知，抛物线是始终和四边形AOO′A′的边O′A′相交，∴抛物线已经和四边形AOO′A′有两个公共点，∴将(0,0)代入y=mx2−4mx+4m+3中，得m=−34．∴−34<m<0．【解析】(1)将抛物线解析式配成顶点式，即可得出顶点坐标；(2)根据平移的性质即可得出结论；(3)结合图象，判断出抛物线和四边形AOO′A′只有两个公共点的分界点即可得出；此题是二次函数综合题，主要考查了配方法，平移的性质，抛物线的性质，解本题的关键是借助图象找出只有两个公共点的分界点，是一道比较简单的题目，画出图象是解本题的难点，用数形结合的方法，有助于学生理解和找到分界点．27.【答案】解：(1)①如图1中，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=45°，∵∠BAD=α，∴∠CAD=45°−α．∵∠ACB=90°，BE⊥AD，∠ADC=∠BDE，∴∠DBE=∠CAD=45°−α；②结论：AE−BE=√2EC．理由：如图1中，过点C作CR⊥CE交AE于R．∴∠ACB=∠RCE=90°，∴∠ACR=∠BCE，∵∠CAR+∠ADC=90°，∠CBE+∠BDE=90°，∠ADC=∠BDE，∴∠CAR=∠CBE，在△ACR和△BCE中，{∠ACR=∠BCE CA=CB∠CAR=∠CBE，∴△ACR≌△BCE(ASA)，∴△CER是等腰直角三角形，∴ER=√2CE，∴AE−BE=AE−AR=ER=√2EC．(2)①补全图形，如图2所示：②猜想：当D在BC边的延长线上时，EB−EA=√2EC；理由如下：过点C作CF⊥CE，交AD的延长线于点F，如图3所示：则∠ECF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°，∴∠ECF+∠ACE=∠ACB+∠ACE，即∠ACF=∠BCE，∵∠CAF+∠ADB=90°，∠CBE+∠ADB=90°，∴∠CAF=∠CBE，在△ACF和△BCE中，{∠ACF=∠BCE AC=BC∠CAF=∠CBE，∴AF=BE，CF=CE．∵∠ECF=90°，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EF=√2EC，即AF−EA=√2EC．∴EB−EA=√2EC．【解析】(1)①由等腰直角三角形的性质得出∠CAB=45°，求出∠CAD=45°−α.再根据三角形内角和定理得出∠DBE=∠CAD=45°−α即可；②结论：AE−BE=√2EC.如图1中，过点C作CR⊥CE交AE于R.证明△ACR≌△BCE(ASA)，推出AR=BE，CR=CE，△CER是等腰直角三角形，即可解决问题．(2)①依题意补全图形即可；②猜想：当D在BC边的延长线上时，EB−EA=√2EC；过点C作CF⊥CE，交AD 的延长线于点F，证出∠ACF=∠BCE，∠CAF=∠CBE，由ASA证明△ACF≌△BCE，得出AF=BE，CF=CE.得出△CEF是等腰直角三角形，由勾股定理得出EF=√2EC，即可得出结论．本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，通过作辅助线证明三角形全等是解题关键．28.【答案】解：(1)∵函数y=x−1，令y=x，则x−1=x，无解；∴函数y=x−1没有不变值；∵函数y=1x ，令y=x，则x=1x，解得：x=±1，∴函数y=1x的不变值为±1，q=1−(−1)=2，∵函数y=x2，令y=x，则x=x2，解得：x1=0，x2=1，∴函数y=x2的不变值为：0或1，q=1−0=1；(2)①函数y=2x2−bx，令y=x，则x=2x2−bx，整理得：x(2x−b−1)=0，∵q=0，∴x =0且2x −b −1=0，解得：b =−1；②由①知：x(2x −b −1)=0，∴x =0或2x −b −1=0，解得：x 1=0，x 2=b+12， ∵1≤b ≤3，∴1≤x 2≤2，∴1−0≤q ≤2−0，∴1≤q ≤2；(3)∵记函数y =x 2−2x(x ≥m)的图象为G 1，将G 1沿x =m 翻折后得到的函数图象记为G 2．∴函数G 的图象关于x =m 对称，∴G ：y ={x 2−2x(x ≥m)(2m −x)2−2(2m −x)(x <m)， ∵当x 2−2x =x 时，x 3=0，x 4=3；当(2m −x)2−2(2m −x)=x 时，△=1+8m ，当△<0，即m <−18时，q =x 4−x 3=3；当△≥0，即m ≥−18时，x 5=4m−1+√1+8m 2，x 6=4m−1−√1+8m 2， ①当−18≤m ≤0时，x 3=0，x 4=3，∴x 6<0，∴x 4−x 6>3(不符合题意，舍去)；②∵当x 5=x 4时，m =1，当x 6=x 3时，m =3；当0<m <1时，x 3=0(舍去)，x 4=3，此时0<x 5<x 4，x 6<0，q =x 4−x 6>3(舍去)；当1≤m ≤3时，x 3=0(舍去)，x 4=3，此时0<x 5<x 4，x 6>0，q =x 4−x 6<3；当m >3时，x 3=0(舍去)，x 4=3(舍去)，此时x 5>3，x 6<0，q =x 5−x 6>3(舍去)；综上所述：m 的取值范围为1≤m ≤3或m <−18．【解析】(1)根据定义分别求解即可求得答案；(2)①首先由函数y=2x2−bx=x，求得x(2x−b−1)=0，然后由其不变长度为零，求得答案；②由①，利用1≤b≤3，可求得其不变长度q的取值范围；(3)由记函数y=x2−2x(x≥m)的图象为G1，将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2，可得函数G的图象关于x=m对称，然后根据定义分别求得函数的不变值，再分类讨论即可求得答案．此题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．。
2020-2021北京市初三数学上期中试题(附答案)
2020-2021北京市初三数学上期中试题(附答案)一、选择题1．在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2+2x ﹣3的图象如图所示，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x 1＜x 2≤0，则下列结论正确的是（ ）A ．y 1＜y 2B ．y 1＞y 2C ．y 的最小值是﹣3D ．y 的最小值是﹣42．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－1，0)，对称轴为直线l.则下列结论：①abc ＞0；②a －b ＋c ＝0；③2a ＋c ＜0；④a ＋b ＜0.其中所有正确的结论是( )A ．①③B ．②③C ．②④D ．②③④3．用配方法解方程2680x x --=时，配方结果正确的是（ ）A ．2(3)17x -=B ．2(3)14-=xC ．2(6)44x -=D ．2(3)1x -=4．若点()1,5P m -与点()3,2Q n -关于原点成中心对称，则m n +的值是（ ） A ．1B ．3C ．5D ．75．已知()222226x y y x +-=+，则22xy +的值是（ ）A ．－2B ．3C ．－2或3D ．－2且3 6．已知实数x 满足（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0，那么x 2﹣2x +1的值为（ ） A ．﹣1或3B ．﹣3或1C ．3D ．17．如图，Rt AOB V 中，AB OB ⊥，且AB OB 3==，设直线x t =截此三角形所得阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系的图象为下列选项中的( )A ．B ．C ．D ．8．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．9．山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列四幅剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，其对称轴为直线1x =-，与x轴的交点为()1,0x 、()2,0x ，其中101x <<，有下列结论：①0abc >；②232x -<<-；③421a b c -+<-；④()21a b am bm m ->+≠-；⑤13a >；其中，正确的结论有（ ）A ．5B ．4C ．3D ．211．函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0． 其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．412．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( ) A ．()249x +=-B ．()247x +=-C ．()2425x +=D ．()247x +=二、填空题13．某市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，则这两年平均绿地面积的增长率为______.14．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图11所示，且P ＝|2a ＋b|＋|3b －2c|，Q ＝|2a －b|－|3b ＋2c|，则P ，Q 的大小关系是______．15．如图，五边形ABCD 内接于⊙O ，若AC=AD ，∠B+∠E=230°，则∠ACD 的度数是__________．16．如图，直线l 经过⊙O 的圆心O ，与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，∠AOC =30°，点P 是直线l 上的一个动点（与圆心O 不重合），直线CP 与⊙O 相交于点Q ，且PQ =OQ ，则满足条件的∠OCP 的大小为_______．17．有4根细木棒，长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm ，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________． 18．关于x 的方程的260xx m -+=有两个相等的实数根，则m 的值为________．19．如图，把正方形铁片OABC 置于平面直角坐标系中，顶点A 的坐标为（3，0），点P （1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P 的坐标为____________________．20．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠C ＝45°，AB ＝4，则⊙O 的半径为_____．三、解答题21．因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次．在磁器口老街，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．(1)求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；(2)为了更好地维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？22．“a 2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x 2+4x +5＝x 2+4x +4+1＝（x +2）2+1，∵（x +2）2≥0，∴（x +2）2+1≥1，∴x 2+4x +5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x 2﹣4x +5＝（x ）2+ ； （2）已知x 2﹣4x +y 2+2y +5＝0，求x +y 的值； （3）比较代数式：x 2﹣1与2x ﹣3的大小．23．已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ． （I ）如图①，若BC 是⊙O 的直径，BC ＝4，求BD 的长； （Ⅱ）如图②，若∠ABC 的平分线交AD 于点E ，求证：DE ＝DB ．24．如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，以AC 为直径作O e 交BC 于点D ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E .（1）求证：DE 是O e 的切线. （2）若3DE =30C ∠=︒，求»AD 的长.25．列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个，已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】试题分析：抛物线y=x 2+2x ﹣3与x 轴的两交点横坐标分别是﹣3、1；抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴为x=﹣1．选项A ，无法确定点A 、B 离对称轴x=﹣1的远近，无法判断y 1与y 2的大小，该选项错误；选项B ，无法确定点A 、B 离对称轴x=﹣1的远近，无法判断y 1与y 2的大小，该选项错误；选项C ，y 的最小值是﹣4，该选项错误；选项D ，y 的最小值是﹣4，该选项正确．故答案选D.考点：二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．2．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：①∵二次函数图象的开口向下， ∴a ＜0，∵二次函数图象的对称轴在y 轴右侧，∴﹣2ba ＞0， ∴b ＞0，∵二次函数的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上， ∴c ＞0，∴abc ＜0，故①错误；②∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（﹣1，0）， ∴a ﹣b+c=0，故②正确； ③∵a ﹣b+c=0，∴b=a+c ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0， ∴4a+2（a+c ）+c ＜0，∴6a+3c ＜0，∴2a+c ＜0，故③正确； ④∵a ﹣b+c=0，∴c=b ﹣a ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0， ∴4a+2b+b ﹣a ＜0，∴3a+3b ＜0，∴a+b ＜0，故④正确． 故选D ．考点：二次函数图象与系数的关系．3．A解析：A 【解析】 【分析】利用配方法把方程2680x x --=变形即可. 【详解】用配方法解方程x 2﹣6x ﹣8＝0时，配方结果为（x ﹣3）2＝17， 故选A ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键．4．C解析：C 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案. 【详解】解：∵点()1,5P m -与点()3,2Q n -关于原点对称，∴13m -=-，25n -=-， 解得：2m =-，7n =， 则275m n +=-+= 故选C . 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.5．B解析：B 【解析】试题分析：根据题意，先移项得()2222260x y y x +---=，即()2222260xyx y （）+-+-=，然后根据“十字相乘法”可得2222(2)(3)0x y x y +++-= ，由此解得22x y +=-2（舍去）或223x y +=.故选B.点睛：此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一个整体，构造出简单的一元二次方程求解即可.6．D解析：D 【解析】 【分析】设x 2﹣2x +1＝a ，则（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0化为a 2+2a ﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可． 【详解】解：设x 2﹣2x +1＝a ，∵（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0， ∴a 2+2a ﹣3＝0， 解得：a ＝﹣3或1，当a ＝﹣3时，x 2﹣2x +1＝﹣3， 即（x ﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解； 当a ＝1时，x 2﹣2x +1＝1，此时方程有解， 故选：D ． 【点睛】此题考查换元法解一元二次方程，借助另外设未知数的方法解一元二次方程使理解更容易，计算更简单.7．D解析：D 【解析】【分析】Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A，即∠AOD=∠OCD=45°，进而证明OD=CD=t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．【详解】解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，∴∠AOB=∠A=45°，∵CD⊥OB，∴CD∥AB，∴∠OCD=∠A，∴∠AOD=∠OCD=45°，∴OD=CD=t，∴S△OCD=12×OD×CD=12t2（0≤t≤3），即S=12t2（0≤t≤3）．故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]，开口向上的二次函数图象；故选D．【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征，解答本题的关键是根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．8．C解析：C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．9．B解析：B【解析】【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B 、是中心对称图形，故本选项符合题意； C 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选B ． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．10．C解析：C 【解析】 【分析】由抛物线开口方向得a ＞0，由抛物线的对称轴为直线12bx a=-=-得2b a =＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得c ＜0，则abc ＜0；由于抛物线与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性得到抛物线与x 轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜2x ＜-2；抛物线的对称轴为直线1x =-，且c ＜-1，2x =-时，421a b c -+<-；抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，当1x =-时，y a b c =-+最小值，当x m =得：2y am bm c =++，且1m ≠-，∴y a b c =-+<最小值，即a b -<2am bm +；对称轴为直线12bx a =-=-得2b a =,由于1x =时，0y >，则a b c ++>0,所以2a a c ++>0,解得13a c >-,然后利用1c <-得到13a >-. 【详解】∵抛物线开口向上，∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线12bx a=-=-，∴b=2a＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c＜0，∴abc＜0， 所以①错误；∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，而对称轴为1x =-，由于抛物线与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性，∴抛物线与x 轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜2x ＜-2，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线1x =-，且c ＜-1，∴当2x =-时，421a b c -+<-, 所以③正确；∵抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，∴当1x =-时，y a b c =-+最小值，当x m =代入2y ax bx c =++得：2y am bm c =++，∵1m ≠-，∴y a b c =-+<最小值，即a b -<2am bm +,所以④错误； ∵对称轴为直线12bx a=-=-，∴2b a =, ∵由于1x =时，0y >，∴a b c ++>0,所以2a a c ++>0,解得13a c >-,根据图象得1c <-，∴13a >-，所以⑤正确. 所以②③⑤正确, 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，以及抛物线与x 轴、y 轴的交点，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），a 决定抛物线开口方向；c 的符号由抛物线与y 轴的交点的位置确定；b 的符号由a 及对称轴的位置确定；当x ＝1时，y ＝a b c ++；当1x =-时，y a b c =-+.11．B解析：B 【解析】分析：∵函数y=x 2+bx+c 与x 轴无交点，∴b 2﹣4c ＜0；故①错误。
2020-2021北京市初三数学上期中第一次模拟试卷附答案
考点：二次函数图象与系数的关系．
3．D
解析：D
【解析】试题分析：原抛物线的顶点坐标为(-2,-3)，向右平移三个单位后顶点纵坐标不变，横坐标加3，所以平移后抛物线的顶点坐标是（1，-3）。故选D
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的定义即可解答．
【详解】
解：A、属于轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意；
11．如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上，则∠C的度数是（）
A．30ºB．35ºC．25ºD．60º
12．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10， ，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE＝60°；②∠CED＝ ∠DOB；③DM⊥CE；④CM＋DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是()
∴c＞0，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
【详解】
解：当 时， ，此时 ，有实数根；
当 时，∵方程 有实数根，∴△ ，解得： ，此时 且 ；
综上， ．故选B.
【点睛】
2021年北京市第十三中学分校九年级上学期期中数学试题(含答案)(2021word版)
精品“正版”资料系列，由本公司独创。
旨在将“人教版”、”苏教版“、”北师 大版“、”华师大版“等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和 检测题分享给需要的朋友。
本资源创作于2020年8月，是当前最新版本的教材资源。
包含本课对应 内容，是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最佳选择。
考 生 须 知1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共 2 页，第Ⅱ卷共 6 页。
2.本试卷满分120分，考试时间120 分钟。
3.在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号。
4.考试结束，将试卷、机读卡及答题纸一并交回监考老师。
第Ⅰ卷一、选择题（每小题3分，共30分．下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．）1. 抛物线()212y x =-+的对称轴为（ ）．A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =D ．直线2x =- 2．若将抛物线y=22x 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到一个新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是（ ）． A ．(2,1)-B ．(2,1)--C ．(2,1)D ． (2,1)-3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ∶AB =1∶3，若△ADE 的面积等于4，则△ABC 的面积等于（ ）．A ．12B ．16C ．24D ．36 4. 如图，在4×4的正方形网格中，tan α 的值等于( ) ． A ．21313 B ．31313 C ．32 D ．235．如图，在平面直角坐标系中，以P (4，6)为位似中心，把△ABC 缩2019---2020学年度北京市第十三中学分校 第一学期期中 九年级 数 学 试 卷α小得到△DEF，若变换后，点A、B的对应点分别为点D、E，则点C的对应点F的坐标应为（）．A. (4，2)B. (4，4)C. (4，5)D. (5，4)6．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据,根据所测数据不能．．求出A，B间距离的是（）．A．BC，∠ACB；B．DE，DC，BC；C．EF，DE，BD；D．CD，∠ACB，∠ADB．7．将抛物线221y x=+绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（）．A．22y x=-B．221y x=-+C．221y x=-D．221y x=--8．如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥．当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）．A．212y x=- B．22y x= C．22y x=- D．212y x=9．二次函数2y ax bx c=++的部分对应值如下表：当函数值0y<时，x的取值范围是（）．A．20x-<< B．10x-<< C．1 3x-<< D．02x<< x…－2 －1 0 1 2 3 …y… 5 0 －3 －4 －3 0 …图（1）图（2）10．如图，正△ABC 的边长为3cm ，动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度，沿A →B →C 的方向运动，到达点C 时停止，设运动时间为x （秒），y =PC 2，则y 关于x 的函数的图象大致为（ ）．第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共18分）11．已知111ABC A B C △∽△，11:2:3AB A B =，则ABC C △：111A B C C △= ． 12.已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，34tan =B ，则cos A = ． 13. 点A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）在二次函数241y x x =--的图象上，若当112,x <<234x <<时，则1y 与2y 的大小关系是1y 2y ．（用“＞”、“＜”、“=”填空）14．二次函数22(21)1y m x m x =+++ 的图像与x 轴有两个交点，则m 取值范围是 . 15．在研究了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题：“四边形ABCD 中，AD ∥BC ，请添加一个条件，使得四边形ABCD 是平行四边形”． 经过思考：小明说“添加AD =BC ”；小红说“添加AB =DC ”．你同意的观点是： ，理由是： ．..B16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =－x 2－2x 图象位于x 轴上方的部分记作F 1 ，与x 轴交于点P 1 和O ；F 2与F 1关于点O 对称，与x 轴另一个交点为P 2；F 3与F 2关于点P 2对称，与x 轴另一个交点为P 3；…．这样依次得到F 1，F 2，F 3，…，F n ，则其中F 1的顶点坐标为 ， F 8的顶点坐标为 ，F n 的顶点坐标为 （n 为正整数，用含n 的代数式表示）．Ox…y P 1P 2P 3P 4F 1F 2F 3F 4P 5F 5三、解答题（本题共72分，第17—21题，每小题6分，第22—25题，每小题5分，第26题7分，第27题7分，第28题8分） 17．计算：00003tan302cos45sin602sin30+--．18．已知:二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过 （－3，0）、（1，0）、（0，－3）三点， (1)求：二次函数的表达式； (2)求：二次函数的对称轴、顶点坐标，并画出此二次函数的图像.19．已知：如图，□ABCD 中，点E 在BA 的延长线上，连接CE ，与AD 相交于点F . （1）求证：△EBC ∽△CDF ；（2）若BC ＝8，CD ＝3，AE ＝1，求AF 的长．20. 已知：如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，sin A =54，AB =13，CD =12， 求:AD 的长和tan B 的值.21．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD 的宽是10米．（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？22．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A 处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处.（1）B 处距离灯塔P 有多远？（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB 的延长线上，距离灯塔P200海里的O 处.已知圆形暗礁区域的半径为50海里， 进入圆形暗礁区域就有触礁的危险.请判断若海轮到达B 处是否有触礁的危险，请写出你的解答思路．23．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠C ＝60º，∠B ＝∠D ＝90º，DCBA第21题图ACBAD ＝2AB ，CD ＝3.求： BC 的长.24．在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P x y 经过变换τ得到点(,)P x y '''，该变换记作),(),(y x y x ''=τ，其中⎩⎨⎧-='+='by ax y by ax x ,(,a b 为常数)．例如，当1a =，且1b =时，)5,1()3,2(-=-τ．(1) 当1a =，且2b =-时，(0,1)τ= ；(2) 若(1,2)(0,2)τ=-，则a = ，b = ；(3) 设点(,)P x y 是直线2y x =上的任意一点，点P 经过变换τ得到点(,)P x y '''．若点P 与点'P 重合，求a 和b 的值．25．动手操作：小明利用等距平行线解决了二等分线段的问题.作法：（1）在e 上任取一点C ，以点C 为圆心，AB 长为半径画弧交c 于点D ，交d 于点E ； （2）以点A 为圆心，CE 长为半径画弧交AB 于点M ； ∴点M 为线段AB 的二等分点.图1解决下列问题：（尺规作图，保留作图痕迹）（1）仿照小明的作法，在图2中作出线段AB 的三等分点；图2（2）点P 是∠AOB 内部一点，过点P 作PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ，请找出一个满足下列条件的点P . （可以利用图1中的等距平行线）①在图3中作出点P ，使得PM PN =； ②在图4中作出点P ，使得2PM PN =.图3 图426．小东同学在学习了二次函数图像以后，自己提出了这样一个问题： 探究：函数211(1)21y x x =-+-的图象与性质。
京教版九年级第一学期期中考试数学试题(含答案)
2020-2021学年第一学期期中考试试题一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1．抛物线213y x 的顶点坐标为（ ）A ．（1,3）B ．（-1,3）C ．（-1,-3）D ．（3,1）2．若32a b =(0ab ≠），则下列比例式中正确的是（ ） A ．32a b = B ．23b a = C ．23a b = D ．32a b = 3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交AB 、AC 于点D 、E ， 若AD :DB =1:2，则△ADE 与△ABC 的面积之比是（ ） A ．1:3 B ．1:4 C ．1:9D ．1:164．若将抛物线y = －x 2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．二次函数22y x x =-，若点A 1(1,)y -，B 2(2,)y 是它图象上的两点，则1y 与2y 的大小关系是（ ） A ．12y y <B ．12y y =C ．12y y >D ．不能确定6．若二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则下列四个选项正确的是（ ） A ．0>b ，0<c ，0>∆ B ．0<b ，0<c ，0>∆ C ．0>b ，0>c ，0>∆ D ．0<b ，0>c ，0<∆7．如图,点A ，B ，C ，D 的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1）.若以C ，D ，E （E 在格点上）122)3(212-+-=x y 2)3(212---=x y 2)3(2-+=x y 2)3(212++-=x y为顶点的三角形与△ABC 相似，则满足条件的点E 的坐标共有（ ） A ．6个 B ．5个C ．4个D ．3个8．已知抛物线()20y ax bx c a =++≠ 与x 轴交于点A （－1,0），对称轴为直线x =1，与y 轴的交点B 在（0,2）和（0,3）之间（包含这两个点）运动,有如下四个结论： ①抛物线与x 轴的另一个交点是（3,0）；②点()11,C x y ，()22,D x y 在抛物线上，且满足121x x <<，则12y y >； ③常数项c 的取值范围是23c ≤≤； ④系数a 的取值范围是213a -≤≤-． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①②③B ．②③④C ．①③D ．①③④二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．若反比例函数ky x=的图象经过（-1，2），则的值为 . 10．请你写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的二次函数的解析式 .11．如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，若在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为 米.12．如图，若点D 为ABC △的AB 边上一点，2=AD ，3=DB .若ACD B ∠=∠，则AC = .第11题 第12题 13．二次函数242y x x =--的最小值为 .14．若二次函数y =kx 2﹣4x +1的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是 .k15．将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF .已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则BF 的长度是 ．第15题 第16题16．如图是二次函数x x y 42+-=的图象，若关于x 的一元二次方程042=-+-t x x （t 为实数）在1<x<5的范围内有解，则t 的取值范围是 .三、解答题（本题共68分，第17~22题，每题5分，第23~26题，每题6分，第27~28题，每题7分） 17．已知二次函数822--=x x y .(1) 将822--=x x y 用配方法．．．．化成k h x a y +-=2)(的形式，并写出顶点坐标； (2) 求此函数图象与x 轴、y 轴的交点坐标.yx–1–2–3–4–5–612345–1–2123456O18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，DE⊥AB于点E，DE=2，BC=3，AC=6，求AE的长．19．码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为v（单位：吨/天），卸货天数为t．(1) 直接写出v关于t的函数表达式：v= ；（不需写自变量的取值范围）(2) 若船上的货物5天卸载完毕，则平均每天要卸载多少吨？20．如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE=∠ACB．(1) 求证：△ABE∽△ACB；B A(2) 若AB=6，AE=4，求AC，CD的长．ED21．一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：(2) 在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；(3) 当-2<x<3时，求y的取值范围．22．已知二次函数321-+=bx x y 的图象与直线12+=x y 交于点A （-1,0）、点C （4，m ）. (1) 求1y 的表达式和m 的值；(2) 当21y y >时，求自变量x 的取值范围；(3) 将直线AC 沿y 轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后的直线表达式.23．某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y （个）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣2x+80（20≤x≤40）．设这种健身球每天的销售利润为w元．(1) 求w与x之间的函数关系式；(2) 该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3) 如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于28元，该商店销售这种健身球每天要获得150元的销售利润，销售单价应定为多少元？24．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EO⊥BD，交BA延长线于点E，交AD于点F，若EF=OF，∠CBD=30°，BD=．求AF的长．B25．如图，在△ABC 中，90ABC ∠=︒，40C ∠=°，点D 是线段BC 上的动点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转50°至AD '，连接BD '．已知AB =2 cm ，设BD 为x cm ，B D '为y cm ．小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）(1) 通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：m 的值约为；(2) 建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．(3) 结合画出的函数图象，解决问题：①线段BD '的长度的最小值约为__________cm ；②若BD '≥BD ，则BD 的长度x 的取值范围是_____________．D'B D CA26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的表达式为222422y x mx m m =-+-+，线段AB 的两个端点分别为A （1，2），B （3，2）.(1) 若抛物线经过原点，求出m 的值；(2) 求抛物线顶点C 的坐标（用含有m 的代数式表示）；(3) 若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象，求出m 的取值范围.27．如图，∠BAD=90°，AB=AD ，CB=CD ，一个以点C 为顶点的45°角绕点C 旋转，角的两边与BA ，DA 交于点M ，N ，与BA ，DA 的延长线交于点E ，F ，连接AC .(1) 在∠FCE 旋转的过程中，当∠FCA =∠ECA 时，如图1，求证：AE =AF ；(2) 在∠FCE 旋转的过程中，当∠FCA ≠∠ECA 时，如图2，如果∠B=30°，CB=2，用等式表示线段AE ，AF 之间的数量关系，并证明.EMNFA CEMN F AC备用图28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），如果点Q （x ，'y ）的纵坐标满足()()⎩⎨⎧<-≥-=时当时当y x x y y x yx y '，那么称点Q 为点P 的“关联点”.(1) 请直接写出点（3，5）的“关联点”的坐标 ；(2) 若点P 在函数2-=x y 的图象上，其“关联点”Q 与点P 重合，求点P 的坐标；(3) 若点M （m ，n ）的“关联点”N 在函数y=2x 2的图象上，当0 ≤m ≤2 时，求线段MN 的最大值.参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）1． A 2． C 3． C 4. A 5．C 6. B 7． A 8． D 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．-2 10.)0(32<+-=a x y 即可，答案不唯一 11. 6.4 12. 1013. -6 14.0,4≠<k k 15.2或71216. -5<t ≤4 三、解答题（本题共68分，第17~22题，每题5分，第23~26题，每题6分，第27~28题，每题7分） 17．解：（1）y =(x －1)2－9．∴该二次函数图象的顶点坐标是（1，－9）． （2）（4，0）（-2，0），（0,-8） 18.解：∵︒=∠90C ，AB DE ⊥，∴︒=∠=∠90C AED ． …………………………………………………………………………1分 又∵A A ∠=∠，∴AED ∆∽ACB ∆． ……………………………………………………………………………2分 ∴CBEDCA EA =． ……………………………………………………………………………………3分 又∵2=DE ，3=BC ，6=AC ， ∴326=EA ． ………………………………………………………………………………………4分 ∴4=AE ． ………………………………………………………………………………………5分 19．（1）tv 240=（2）48 20． （1）略 （2）AC=9，CD=215 21.解：(1) (2). 如图 (3) -6<y ≤2 …………………………5分25-=m22.（1）322--=x x y ，m=5； ………………2分 （2）x>4或x<-1 ………………4分（3）421-=b 421-=x y………………6分 23.解：（1）w =（x ﹣20）∙y=（x ﹣20）（﹣2x +80） =﹣2x 2+120x ﹣1600，w 与x 的函数关系式为：w =﹣2x 2+120x ﹣1600；………………………………1分 （2）w =﹣2x 2+120x ﹣1600=﹣2（x ﹣30）2+200，∵﹣2＜0， ∴当x =30时，w 有最大值．w 最大值为200．…………………………………3分 答：销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元． （3）当w =150时，可得方程﹣2（x ﹣30）2+200=150．解得 x 1=25，x 2=35．∵35＞28， ∴x 2=35不符合题意，应舍去． ………5分 24．解：方法一：∵□ABCD ，∴AD ∥BC ，OD =12BD= ················ 1 ∵∠CBD =30°，∴∠ADB =30°．∵EO ⊥BD 于O ，∴∠DOF =90°．在Rt △ODF中，tan30°=3OF OD =， ∴OF=3．————————2∴FD =6．过O 作OG ∥AB ，交AD 于点G ． ∴△AEF ∽△GOF ． ∴AF EFGF OF=．∵EF=OF ，∴AF=GF ．∵O 是BD 中点，B∴G 是AD 中点． ·························· 4 设AF=GF=x ，则AD =6+x ． ∴AG =62xx x ++=． ························ 5 解得x =2．∴AF =2． (6)方法二：延长EF 交BC 于H ．由△ODF ≌△OHB 可知，OH =OF ． (3)∵AD ∥BC ， ∴△EAF ∽△EBH ．∴EF AFEH BH=． ∵ EF=OF ， ∴13AF BH =． ···························4 由方法一的方法，可求BH =6． ∴ AF =2．25．（1）0.9. ………………2分 （2）图略. ………………3分 （3）0.7， ………………4分 00.9x ≤≤. ………………6分26 . 解：（1）∵抛物线经过原点,1,021==m m ………1分 （2）222(2)2y x mx m m =--++22()2x m m =--+所以，顶点C 的坐标为(,2)m m ……………………3分（3）由顶点C 的坐标可知，抛物线的顶点C 在直线y=2x 上移动．HFEOA BCD当抛物线过点A 时，m=2或1； 当抛物线过点B 时，m=2或5．所以m=2时，抛物线与线段AB 有两个公共点，不符合题意． 所以1≤m ≤5且m ≠2. ……………………6分27.解：（1）证明：∵AB=AD ，BC=CD ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC . …1分∴∠BAC =∠DAC =45°，可证∠FAC =∠EAC =135°. 又∵∠FCA =∠ECA ，∴△ACF ≌△ACE . ∴AE =AF . ……3分 其他方法相应给分.（2）过点C 作CG ⊥AB 于点G ，求得AC =2.……4分∵∠FAC =∠EAC =135°，∴∠ACF +∠F =45°. 又∵∠ACF +∠ACE =45°，∴∠F =∠ACE .∴△ACF ∽△AEC. ……5分 ∴ACAF AE AC =，即AF AE AC ⋅=2. ……6分 ∴2=⋅AF AE . ……7分28.（1）（3，2） ……1分 （2）∵点P 在函数y =x -2的图象上， ∴点P 的坐标为（x ，x -2），∵ x ＞x -2，根据关联点的定义，点Q 的坐标为（x ，2）又∵点P 和点Q 重合 ∴x -2=2 解得 x =4∴点P 的坐标是（4，2） ……3分 (3)点M (m ,n )的关联点是点N ，由关联点定义可知第一种情况：当m ≥n 时，点N 的坐标为（m ，m -n ） ∵点N 在函数y =2x 2的图象上， ∴m -n =2m 2，n =-2m 2 + m即m m y M +-=22，22m y N =∴mm y y MN N M +-=-=24……4分①当0≤m ≤41时，m m +-24＞0161814422+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=m m m MN∴当81=m 时，线段MN 的最大值是161……5分 ②当41＜m ≤2时，m m +-24＜0161814422-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=m m m MN∴当m =2时，线段MN 的最大值是14； ……6分 综合 ①与②，当m ≥n 时线段MN 的最大值是14 第二种情况：当m ＜n 时，点N 的坐标为（m ，n -m ） ∵点N 在函数y =2x 2的图象上， ∴n -m =2m 2即n =2m 2 +m ∴m m y M +=22，22m y N = ∴m y y MN N M =-=∵0 ≤m ≤2 ∴m MN =∴当m＜n时，线段MN的最大值是2；……7分综上所述，当m≥n时，线段MN的最大值是14；当m＜n时，线段MN的最大值是2.。
2020-2021学年北京十三中分校九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年北京十三中分校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列图形是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.用配方法解方程x2−6x−4=0时，原方程应变形为()A. (x−3)2=13B. (x−3)2=5C. (x−6)2=13D. (x−62)2=53.抛物线y=−3x2−4的开口方向和顶点坐标分别是()A. 向上，(0,4)B. 向上，(0,−4)C. 向下，(0,−4)D. 向下，(0,4)4.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是()A. ①B. ②C. ③D. 均不可能5.如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a>0，b<0，c<0，那么这个二次函数的图象可能是()A. B.C. D.6.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长为1，将△ABC绕旋转中心旋转90°后得到△A′B′C′，其中点A，B，C的对应点分别是点A′，B′、C′，那么旋转中心是()A. 点QB. 点PC. 点ND. 点M7.如表是二次函数y=ax2+bx+c的几组对应值：x 6.17 6.18 6.19 6.20 y=ax2+bx+c−0.03−0.010.020.04根据表中数据判断，方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是()A. 6<x<6.17B. 6.17<x<6.18C. 6.18<x<6.19D. 6.19<x<6.208.如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC⏜=CB⏜.若∠C=110°，则∠ABC的度数等于()A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.二次函数y=(a−1)x2−x+a2−1的图象经过原点，则a的值为．10.如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部面积是______．11.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD是斜边AB上的高线，以点C为圆心，2.5为半径作圆，则点D在圆____(填“外”，“内”，“上”)．12.某呼吸机制造商2020年一月份生产呼吸机1000台，2020年三月份生产呼吸机4000台，设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意，可列方程为______．13.若二次函数y=x2−4x+c的图象经过A(−2,y1)，B(4,y2)，则y1______y2(填“>”，“<”或“=”)．14.如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，若AB=5，AC=4，则BD的长为______．15.某城市规划修建一座观光人行桥，此工程由桥梁工程与桥上拱形工程组成，桥上拱形工程包含三组完全相同的拱形，观光人行桥的正视图如图所示，已知桥面上三组(x−k)2+t的一部分，拱高(抛物线最高点到桥面AB的距拱桥都为抛物线y=−116离)都为16米，三条抛物线依次与桥面AB相交于点A，C，D，B.则桥长AB=______米．16.如图，舞台地面上有一段以点O为圆心的AB⏜，某同学要站在AB⏜的中点C的位置上．于是他想：只要从点O出发，沿着与弦AB垂直的方向走到AB⏜上，就能找到AB⏜的中点C.老师肯定了他的想法．(1)请按照这位同学的想法，在图中画出点C；(2)这位同学确定点C所用方法的依据是______．三、解答题（本大题共12小题，共96.0分）17.解方程：(1)x2+4x+1=0；(2)y2+3y=10．18.如图，点O、B坐标分别为(0,0)、(3,0)，将△OAB绕O点按逆时针方向旋转90°到△OA′B′．(1)画出平面直角坐标系和△OA′B′；(2)直接写出点A′的坐标；(3)求旋转过程中点B走过的路径长．19.如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．(1)求证：△AEB≌△ADC；(2)连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．20.已知关于x的方程x2−4x+3−a=0有两个不相等的实数根．(1)求a的取值范围；(2)当a取满足条件的最小整数值时，求方程的解．21.已知二次函数y=2x2−4x−6．(1)将y=2x2−4x−6化成y=a(x−ℎ)2+k的形式；(2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；(3)当−1≤x≤2时，结合图象直接写出函数y的取值范围；(4)若直线y=k与抛物线没有交点，直接写出k的取值范围．22.已知，如图，在△ABC中，∠C=90°，D为BC边中点．(1)尺规作图：以AC为直径作⊙O，交AB于点E(保留作图痕迹，不需写作法)；(2)连结DE，求证：DE为⊙O的切线；(3)若AC=10，AE=8，求DE的长．23.如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球移动的水平距离为9米时，球达到最大高度12米．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30o，O、A两点相距8√3米．(1)求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；(2)判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点，并说明理由．24.探究函数y=|x2−2x|的图象与性质．x…−3−2−10123…y…1583010m…(1)下表是y与x的几组对应值．其中m的值为______；(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并已画出了函数图象的一部分，请你画出该图象的另一部分；(3)结合函数的图象，写出该函数的一条性质：______；(4)若关于x的方程|x2−2x|−t=0有2个实数根，则t的取值范围是______．25.如图，AB是⊙O的直径，点D在射线BA上，DC与⊙O相切于点C，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E，连接BC、OC．(1)求证：BC是∠ABE的平分线；(2)若DC=8，DA=4，求AB的长．26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2ax−3a(a≠0)．(1)求抛物线的对称轴及它与x轴两交点的坐标；(2)已知点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(3,4)，若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围；(3)若满足不等式ax2+2ax−3a≤5的x的最大值为2，直接写出实数a的取值范围．27.在正方形ABCD中，M是BC边上一点，且点M不与B、C重合，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．(1)如图1，当点P在线段AM上时，依题意补全图1；(2)在图1的条件下，延长BP，QD交于点H，求证：∠H=90°．(3)在图2中，当点P在线段AM的延长线上时，连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线时，猜想DP，DQ，AB之间的数量关系，并证明．28.如图1，平面中的线段AB和直线AB外一点P，如果对于P，A，B三点确定的圆，∠APB所对的弧为优弧，那么称点P为线段AB的“优相关点”(1)如图2，已知点O(0,0)，B(2,0)．①在点P1(1,1)，P2(2,1)，P3(12,−12)中，为线段OB的“优相关点”的是______．②若直线y=x+b上存在线段OB的“优相关点”，求实数b的取值范围．(2)如图3，点E(−2,√3)，F(1,0)，点G(0,−√3)，已知点C(a,0)，D(a+1,0)，如果△EFG的边上存在线段CD的“优相关点”，请直接写出a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．此题主要考查了中心对称图形，关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】A【解析】解：用配方法解方程x2−6x−4=0时，原方程应变形为：(x−3)2=13，故选：A．根据配方法可以解答此题．本题考查解一元二次方程−配方法，解题的关键是明确配方法解方程的方法．3.【答案】C【解析】解：∵抛物线y=−3x2−4中，a=−3<0，∴该抛物线开口向下，顶点坐标为(0,−4)，故选：C．根据题目中的函数解析式，可以得到抛物线的开口方向和顶点坐标，本题得以解决．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4.【答案】A【解析】【试题解析】【分析】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选A．5.【答案】C【解析】解：∵a>0，b<0，c<0，>0，∴−b2a∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，故选：C．>0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的由a>0，b<0，c<0，推出−b2a右边，交y轴于负半轴，由此即可判断．本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6.【答案】C【解析】解：如图，N点为旋转中心．故选：C．作AA′、CC′的垂直平分线，它们的交点为N点，从而得到正确选项．本题考查了旋转的性质：对应点连线的中垂线必经过旋转中心，．7.【答案】C【解析】解：由表可以看出，当x取6.18与6.19之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+ bx+c=0的一个根．ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为6.18<x<6.19．故选：C．利用二次函数和一元二次方程的性质进行解答即可．本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，掌握用表格的方式求函数的值的范围是本题的关键．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆心角、弧、弦的关系求出∠CAB，根据圆周角定理求出∠ACB，计算即可．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB=180°−∠DCB=70°，∵DC⏜=CB⏜，∴∠CAB=1∠DAB=35°，2∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°−∠CAB=55°，故选：A．9.【答案】−1【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的特征，图象过原点，可得出x=0，y=0．将(0,0)代入y=(a−1)x2−x+a2−1即可得出a的值．【解答】解：∵二次函数y=(a−1)x2−x+a2−1的图象经过原点，∴a2−1=0，∴a=±1，∵a−1≠0，∴a≠1，∴a的值为−1．故答案为−1．10.【答案】3π−9√34【解析】解：作OD⊥AB于D，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠AOB=2∠ACB=120°，∵OA=OB，OD⊥AB，∴∠AOD=12∠AOB=60°，BD=AD，则OD=OA×cos∠AOD=3×12=32，AD=OA×sin∠AOD3√32，∴AB=2AD=3√3，∴图中阴影部面积=120π×32360−12×3√3×32=3π−9√34，故答案为：3π−9√34．作OD⊥AB于D，根据等边三角形的性质得到∠ACB=60°，根据圆周角定理求出∠AOB，解直角三角形求出OD、AD，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．本题考查的是扇形面积计算、圆周角定理、等边三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．11.【答案】内【解析】解：直角△ABC中，AB2=AC2+BC2，AC=4，BC=3，∴AB=√AC2+BC2=5，△ABC的面积S=12⋅AC⋅BC=12⋅AB⋅CDCD=AC⋅BCAB =125．∵125<2.5，∴点D在⊙C内，故答案为：内．直角三角形中根据勾股定理可以计算AB的长度，CD为AB边上的高，根据面积法AC×BC=AB×DC可以求得CD的长，与半径比较后即可得到点D与圆的位置关系．本题考查了直角三角形中勾股定理的运用及点与圆的位置关系，根据勾股定理计算斜边长是解题的关键．12.【答案】1000(1+x)2=4000【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由该呼吸机制造商2020年一月份及三月份生产呼吸机的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意，得：1000(1+x)2=4000．故答案为：1000(1+x)2=4000．13.【答案】>【解析】解：∵y=x2−4x+c，=2，∴图象的开口向上，对称轴是直线x=−−42×1∴A(−2,y1)关于直线x=2的对称点是(6,y1)，∵2<4<6，∴y1>y2，故答案为>．根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x=2，根据x>2时，y随x的增大而增大，即可得出答案．本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．14.【答案】1【解析】解：∵AC，AP为⊙O的切线，∴AC=AP=4，∵BP，BD为⊙O的切线，∴BP=BD，∴BD=BP=AB−AP=5−4=1．故答案为：1．根据切线长定理即可求出BD的长．本题考查了切线的性质、切线长定理，解决本题的关键是掌握切线长定理．15.【答案】96【解析】解：如图，以线段AC的中垂线为y轴，AB为x轴，建立平面直角坐标系，则抛物线AC的顶点坐标为(0,16)，x2+16，所以抛物线解析式为y=−116当y=0时，x1=16，x2=−16，∴点A的坐标为(−16,0)，点C的坐标为(16,0)，∴AC=16−(−16)=16+16=32，∴AB=3AC=96，即桥长AB为96米；故答案为：96．根据题意建立合适的平面直角坐标系，然后即可得到抛物线AC的顶点坐标，再令y=0，即可得到AC的长，从而可以求得AB的长．本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．16.【答案】解：(1)如图所示，点C即为所求．(2)这位同学确定点C所用方法的依据是：垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧．【解析】本题主要考查作图−应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握垂径定理及线段中垂线的尺规作图．(1)连接AB，作弦AB的垂直平分线即可得；(2)根据垂径定理可得．17.【答案】解：(1)∵x2+4x=−1，∴x2+4x+4=−1+4，即(x+2)2=3，则x+2=±√3，∴x1=−2+√3，x2=−2−√3；(2)∵y2+3y−10=0，∴(y+5)(y−2)=0，则y+5=0或y−2=0，解得y1=−5，y2=2．【解析】(1)利用配方法求解即可；(2)利用因式分解法求解即可．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18.【答案】解：(1)如图，△OA′B′即为所求．(2)A′(−2,4)．(3)旋转过程中点B走过的路径长=90⋅π⋅3180=3π2．【解析】(1)分别作出A，B，的对应点A′，B′即可．(2)根据点A′的位置写出坐标即可．(3)利用弧长公式计算即可．本题考查作图−旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．19.【答案】解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，∴∠DAE=60°，AE=AD．∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC．∴∠EAB=∠DAC．在△EAB和△DAC中，∵{AB=AC∠EAB=∠DAC AE=AD，∴△EAB≌△DAC(SAS)．(2)如图，∵∠DAE=60°，AE=AD，∴△EAD为等边三角形．∴∠AED=60°，∵△EAB≌△DAC∴∠AEB=∠ADC=105°．∴∠BED=45°．【解析】(1)由等边三角形的性质知∠BAC=60°，AB=AC，由旋转的性质知∠DAE=60°，AE=AD，从而得∠EAB=∠DAC，再证△EAB≌△DAC可得答案；(2)由∠DAE=60°，AE=AD知△EAD为等边三角形，即∠AED=60°，继而由∠AEB=∠ADC=105°可得．本题主要考查等边三角形的性质和旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质证得三角形的全等是解题的关键．20.【答案】解：(1)根据题意得△=(−4)2−4(3−a)>0，解得a>−1；(2)a的最小整数值为0，此时方程变形为x2−4x+3=0，(x−1)(x−3)=0，x−1=0或x−3=0，所以x1=1，x2=3．【解析】(1)根据判别式的意义得到△=(−4)2−4(3−a)>0，然后解不等式即可；(2)确定a的最小整数值为0，此时方程变形为x2−4x+3=0，然后利用因式分解法解方程．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．21.【答案】解：(1)y=2x2−4x−6=2(x−1)2−8；(2)列表：x…−10123…y…0−6−8−60…描点，画出函数y=2x2−4x−6的图象如图：(3)观察图象知：当x=−1时，y=0，顶点坐标为(1,−8)即函数的最小值为−8，所以当−1≤x≤2时，函数y的取值范围−8≤y≤0．(4)2x2−4x−6=k，整理得：2x2−4x−6−k=0，∵△=16+8(6+k)=64+8k．即64+8k<0，即k<−8．∴直线y=k与抛物线没有交点时，k<−8．【解析】(1)根据配方法把二次函数配方即可；(2)根据二次函数的顶点坐标、与x轴的交点坐标、与y轴的交点坐标即可画出图象；(3)根据x的取值范围和二次函数的最低点即可求解；(4)根据二次函数与直线没有交点，可知判别式小于0即可求解．本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数上点的坐标特征，解决本题的关键是观察函数图象解决问题．22.【答案】(1)解：⊙O如图所示．(2)证明：连结OE，CE，∵AC为直径，∴∠AEC=90°，∵D为BC边中点，∴DE为Rt△BDC斜边BC上的中线，∴DE=DC=BD，∴∠ECD=∠CED，∵OC=OD，∴∠OCE=∠OEC，∴∠OED=∠OEC+∠CED=∠OCE+∠ECD=∠ACB=90°，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线．(3)解：在Rt△ACE中，EC=√AC2−AE2=√102−82=6，∵∠AEC=∠CEB=90°，∠ACE+∠ECB=90°，∠B+∠ECB=90°，∴∠ACE=∠B，∴△ACE∽△CBE，∴ACBC =AEEC，∴10BC =86，∴BC=152，∴DE=12BC=154．【解析】(1)作线段AC的垂直平分线，垂足为O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可．(2)欲证明DE是切线，只要证明OE⊥OD即可．(3)证明△ACE∽△CBE，推出ACBC =AEEC可得结论．本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．23.【答案】解：(1)∵顶点B的坐标是(9,12)，∴设抛物线的解析式为y=a(x−9)2+12，∵点O的坐标是(0,0)∴把点O的坐标代入得：0=a(0−9)2+12，解得a=−427，∴抛物线的解析式为y=−427(x−9)2+12即y=−427x2+83x；(2)在Rt△AOC中，∵∠AOC=30°，OA=8√3，∴AC=OA⋅sin30°=8√3×12=4√3，OC=OA⋅cos30°=8√3×√32=12．∴点A的坐标为(12,4√3)，∵当x=12时，y=323≠4√3，∴小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．【解析】(1)分析题意可知，抛物线的顶点坐标为(9,12)，经过原点(0,0)，设顶点式可求抛物线的解析式；(2)OA与水平方向OC的夹角为30°，OA=8√3米，解直角三角形可求点A的坐标，把点A的横坐标x=12代入抛物线解析式，看函数值与点A的纵坐标是否相符．本题考查了二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是根据点的坐标利用待定系数法求出抛物线关系式是关键．24.【答案】3 函数的最小值为0 t>1或t=0【解析】解：(1)由表中数据得到函数图象与x轴的交点坐标为(0,0)、(2,0)，图象的对称轴为直线x=1，所以x=−1和x=3时的函数值相等，即m=3；(2)如图，(3)该函数的性质有：函数的最小值为0等等；(4)当t>1或t=0时，关于x的方程|x2−2x|−t=0有2个实数根．故答案为3；函数的最小值为0；t>1或t=0．(1)利用所给对应值的特点可判断图象的对称轴为直线x=1，然后利用x=−1和x=3时的函数值相等得到m的值；(2)利用对称轴和描点法画函数图象；(3)利用图象可写出此函数的最值、增减性等性质；(4)结合图象，利用函数y=|x2−2x|与直线y=1有三个交点，从而可判断函数y=|x2−2x|与直线y=t有2个交点的t的范围．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．25.【答案】(1)证明：∵DC是⊙O的切线，∴OC⊥DC，∵BE⊥DC，∴OC//BE，∴∠OCB=∠CBE，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OBC=∠CBE，即BC是∠ABE的平分线；(2)解：设⊙O的半径为r，则OD=r+4，在Rt△OCD中，OD2=OC2+CD2，即(r+4)2=r2+82，解得，r=6，则AB=2r=12．【解析】(1)根据切线的性质得到OC⊥DC，得到OC//BE，根据平行线的性质得到∠OCB=∠CBE，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可；(2)设⊙O的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．本题考查的是切线的性质定理、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．26.【答案】解：(1)∵y=ax2+2ax−3a=a(x+1)2−4a，∴抛物线的对称轴为直线x=−1，顶点坐标为(−1,−4a)，令y=0，得到ax2+2ax−3a=0，解得x=−3或1，∴抛物线与x轴交于(−3,0)和(1,0)．(2)如图1中，当a<0时，抛物线经过点A(0,4)时，a=−4，3时，抛物线与线段AB恰有一个公共点．观察图象可知当a≤−43如图2中，当a >0时，抛物线经过B(3,4)时，a =13，观察图象可知，a ≥13时，抛物线与线段AB 恰有一个公共点．综上所述，满足条件的a 的值为a ≤−43或a ≥13．(3)当a >0时，当x =2时，y =5，即4a +4a −3a =5，∴a =1，观察图象可知a ≥1时，满足条件．当a <0时，不存在符合题意的a 的值．综上所述，a ≥1．【解析】(1)把解析式化成顶点式，即可求得结果；(2)分两种情形：如图1中，当a<0时，抛物线经过点A(0,4)时，a=−4，如图2中，3，观察图象，利用图象法即可解决问题．当a>0时，抛物线经过B(3,4)时，a=13(3)分a>0，a<0两种情形分别求解即可．本题考查了二次函数与不等式的关系，二次函数的性质，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．27.【答案】解：(1)补全图形如图1：(2)如图1，延长BP，QD交于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°，∵将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，∴AQ=AP，∠QAP=∠DAB=90°，∴∠QAD=∠BAP，∴△AQD≌△APB(SAS)，∴PB=QD，∠AQD=∠APB，∵∠APB+∠APH=180°，∴∠AQD+∠APH=180°，∵∠QAP+∠APH+∠AQD+∠H=360°，∴∠H=90°；(3)DP2+DQ2=2AB2．证明：连接BD，如图2，∵线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，∴AQ=AP，∠QAP=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°，∴∠1=∠2．∴△ADQ≌△ABP(SAS)，∴DQ=BP，∠Q=∠3，∵在Rt△QAP中，∠Q+∠QPA=90°，∴∠BPD=∠3+∠QPA=90°，在Rt△BPD中，DP2+BP2=BD2，又∵DQ=BP，BD2=2AB2，∴DP2+DQ2=2AB2．【解析】(1)根据要求画出图形，即可得出结论；(2)由旋转的性质可得AQ=AP，∠QAP=∠DAB=90°，由“SAS”可证△AQD≌△APB，可得PB=QD，∠AQD=∠APB，由平角的性质和四边形内角和定理可得∠QHP=90°，即可得出结论；(3)连接BD，如图2，只要证明△ADQ≌△ABP，∠DPB=90°，即可解决问题．此题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．28.【答案】P3【解析】解：(1)①∵是优相关点即对应的弧为优弧，∴∠OPB>90°，如图1，∵P1(1,1)，∴△P1OB为等腰直角三角形，所以∠OP1B所对的弧为半圆，不符合题意；∵∠P2BO=90°，∴∠OP2B<90°，∴∠OP2B所对的弧为劣弧，不符合题意；∵P3(12,12 )，∴∠OP3B为钝角，∴其所对的弧为优弧；∴P3符合题意．②如图2，过点(1,0)作半径为1的圆，可知圆上的点P x 构成的角∠OP x B =90°，其为所对的弧都是半圆，当点P x 在圆内部时，在其所在圆中所对的弧为优弧，满足此条件的点为OB 的优相关点， 当y =x +b 与圆相切于点M ，N 时，为临界点，过点M 作MH ⊥x 轴，∵sin∠MTH =MH MT =√22，MT =1， ∴MH =√22，HT =√22 ∴M(1−√22,√22)， ∵点M 在一次函数y =x +b 上，∴√22=1−√22+b ，b =−1+√2，同理可得当直线与圆T 相切于点N 时，b 的值最小，此时b =−1−√2，因此，当−1−√2<b <−1+√2时符合题意；(2)如图3，当圆分别与EG左切，右切，与EF左切，过点F时，为四个临界状态，因此可得，−2<a<−1或0<a<1．(1)首先根据题意得出相关角度，即可判断优相关点；(2)经过分析可以知道，当点P在以OB为直径的圆内部时，P为OB的优相关点，找到直线y=x+b与圆的相切的情况作为临界状态即可求得b的范围；(3)利用第二问的结论，我们找到CD所在圆与三角形的四个临界位置，然后即可求得a 的范围．本题综合考查了圆的相关知识，相切的性质，圆周角，三角函数，一次函数的性质．而后两问又可以浓缩成线的运动和圆的运动，因此找到临界状态是本题的关键．。
北京第十三中九年级上册期中试卷检测题
北京第十三中九年级上册期中试卷检测题一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8AD cm =，点P 从点A 出发沿AD 向点D 匀速运动，速度是1/cm s ，过点P 作PE AC ∥交DC 于点E ，同时，点Q 从点C 出发沿CB 方向，在射线CB 上匀速运动，速度是2/cm s ，连接PQ 、QE ，PQ 与AC 交与点F ，设运动时间为()(08)<<t s t ．（1）当t 为何值时，四边形PFCE 是平行四边形； （2）设PQE 的面积为2()s cm ，求s 与t 的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使得PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932； （4）是否存在某一时刻t ，使得点E 在线段PQ 的垂直平分线上．【答案】（1）83t =；（2）S =299(08)8t t t -+<<；（3）当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932；（4）当573256=t 时，点E 在线段PQ 的垂直平分线上【解析】【分析】（1）由四边形PFCE 是平行四边形，可得,PF CE ∥由PD QC 得四边形CDPQ 为平行四边形，即PD CQ =，列式82t t -=，计算可解.（2）由PE AC ∥，得=DP DE DA DC ，代入时间t ，得886-=t DE 解得364=-DE t ，34CE t = 再通过S S =梯形CDPQ PDE CEQ S S --△△构建联系，可列函数式299(08)8S t t t =-+<<. （3）由PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932得299986832S t t =-+=⨯⨯，可解当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932． （4）当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时，=EQ PE ，得22=EQ PE ，由Rt CEQ 与△Rt PDE 可得，222+=CE CQ EQ ，222PD DE PE +=，即2222+=+CE CQ PD DE ，代入364=-DE t ，34CE t =，2CQ t =，8PD t =- 可得222233(2)(8)644⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t t t t ，计算验证可解. 【详解】（1）当四边形PFCE 是平行四边形时，∥PF CE ，又∵PD QC ，∴四边形CDPQ 为平行四边形，∴PD CQ =，即82t t -=， ∴83t = （2）∵PE AC ∥， ∴=DP DE DA DC， 即886-=t DE ， ∴364=-DE t ， ∴336644=-+=CE t t ， ∴21133(8)66242248⎛⎫=⋅=--=-+ ⎪⎝⎭△PDE S PD DE t t t t ， 2113322244=⋅=⨯⨯=△CEQ S CE CQ t t t ， S 梯形11()(28)632422=+⋅=+-⋅=+CDPQ QC PD CD t t t ， ∴S S =梯形299(08)8--=-+<<△△CDPQ PDE CEQ S S t t t （3）由题意，299986832-+=⨯⨯t t 解得12t =，26t =所以当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932．（4）当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时，=EQ PE ，∴22=EQ PE ，在Rt CEQ 中，222+=CE CQ EQ ，在△Rt PDE 中，222PD DE PE +=，∴2222+=+CE CQ PD DE ， 即222233(2)(8)644⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t t t t解得1256-=t ，2256+=-t （舍）所以当=t 时，点E 在线段PQ 的垂直平分线上． 【点睛】本题考查的是一次函数与几何图形的实际应用，勾股定理，平行线的性质，解一元二次方程，需要注意的是在解一元二次方程的实际应用中经常会涉及到解的验证，不可忽略.2．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答： （1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售．【解析】【分析】（1）设每千克茶叶应降价x 元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．【详解】（1）设每千克茶叶应降价x 元．根据题意，得：（400﹣x ﹣240）（200+10x ×40）=41600． 化简，得：x 2﹣10x +240=0．解得：x 1=30，x 2=80．答：每千克茶叶应降价30元或80元．（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．此时，售价为：400﹣80=320（元），320100%80%400⨯=． 答：该店应按原售价的8折出售．【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．3．已知关于x 的一元二次方程()221210m x m x +-+=有两个不相等的实数根． （1）求实数m 的取值范围；（2）若原方程的两个实数根分别为1x ，2x ，且满足1212215x x x x +=-，求m 的值．【答案】（1）14m <且0m ≠；（2）15m =- 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到：()22140m m ∴∆=-->且20m ≠，然后求出两个不等式解集的公共部分即可.（2）利用根与系数的关系得到12221m x x m -+=， 1221x x m=，加上14m <且0m ≠，则可判断10x <，20x <，所以1212215x x x x --=-，2221215m m m--=-，然后解方程求出m 即可得到满足条件的m 的值.【详解】（1）因为方程()221210m x m x +-+=有两个不相等的实数根， ()221240m m ∴∆=-->，解得14m <； 又因为是一元二次方程，所以20m ≠，0m ∴≠．m ∴的取值范围是14m <且0m ≠． （2）1x ，2x 为原方程的两个实数根，12221m x x m -∴+=，1221x x m = 14m <且0m ≠，122210m x x m -∴+=<，12210x x m=>，10x ∴<，20x <． 1212215x x x x +=-，1212215x x x x --=-，2221215m m m -∴-=-，215210m m ∴--=，解得113m =，215m =-， 14m <且0m ≠，113m ∴=不合题意，舍去，15m ∴=-． 【点睛】此题主要考查一元一次方程的定义和判别式的意义，正确理解概念和熟练运用根的判别式是解题的关键.4．已知x 1、x 2是关于x 的﹣元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若（x 1+1）（x 2+1）是负整数，求实数a 的整数值．【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a 的值为7、8、9或12．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2=﹣2-6a a ，x 1x 2=-6a a ，由（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣66a - 是是负整数，即可得66a -是正整数．根据a 是整数，即可求得a 的值2．【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴260(2)4(6)*0a a a a -≠⎧⎨∆=-->⎩， ∴a≥0且a≠6．（2）∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根，∴x 1+x 2=﹣26a a -，x 1x 2=6a a -， ∴（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=-6a a ﹣26a a -+1=﹣66a -． ∵（x 1+1）（x 2+1）是负整数，∴﹣66a -是负整数，即66a -是正整数． ∵a 是整数，∴a ﹣6的值为1、2、3或6，∴a 的值为7、8、9或12．【点睛】 本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a 的不等式是解此题的关键．5．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P2﹣1，2）；②P（﹣32，154）【解析】试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x=-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；②ΔOBCΔAPDABCP C=PDOS S S S++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c=++与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为1x=-，∴{312a b ccba++==-=-，解得：1{23abc=-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x=--+=2(1)4x-++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x=--+=，解得3x=-或1x=，∴点A（﹣3，0），B（1，0），作PD⊥x轴于点D，∵点P在223y x x=--+上，∴设点P（x，223x x--+），①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即2232y x x=--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P（21-，2）；②设P(x，y)，则223y x x=--+，∵ΔOBCΔAPDABCP C=PDOS S S S++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x⨯⨯⨯+++-=333222x y-+=2333(23)222x x x-+--+=239622x x--+=23375()228x-++，∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P （32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）6．如图，抛物线y =ax 2+bx +2经过点A(−1，0)，B(4，0)，交y 轴于点C ；（1）求抛物线的解析式(用一般式表示)；（2）点D 为y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点D 使S △ABC =23S △ABD ?若存在，请求出点D 坐标；若不存在，请说明理由；（3）将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E ，求BE 的长.【答案】（1）213222y x x =-++（2）存在，D （1，3）或（2，3）或（5，3-）（3）10【解析】【分析】 （1）由A 、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由条件可求得点D 到x 轴的距离，即可求得D 点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D 点坐标；（3）由条件可证得BC ⊥AC ，设直线AC 和BE 交于点F ，过F 作FM ⊥x 轴于点M ，则可得BF=BC ，利用平行线分线段成比例可求得F 点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE 解析式，联立直线BE 和抛物线解析式可求得E 点坐标，则可求得BE 的长．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+2经过点A （-1，0），B （4，0），∴2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线解析式为：213222y x x =-++； （2）由题意可知C （0，2），A （-1，0），B （4，0），∴AB=5，OC=2，∴S △ABC =12AB•OC=12×5×2=5， ∵S △ABC =23S △ABD ， ∴S △ABD =315522⨯=， 设D （x ，y ）， ∴11155222AB y y •=⨯•=， 解得：3y =；当3y =时，2132322y x x =-++=， 解得：1x =或2x =，∴点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）；当3y =-时，2132322y x x =-++=-， 解得：5x =或2x =-（舍去），∴点D 的坐标为：（5，-3）；综合上述，点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）或（5，-3）；（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，∴AC ==BC ==∴222AC BC AB +=，∴△ABC 为直角三角形，即BC ⊥AC ，如图，设直线AC 与直线BE 交于点F ，过F 作FM ⊥x 轴于点M ，由题意可知∠FBC=45°，∴∠CFB=45°， ∴25CF BC == ∴AO AC OM CF =，即1525OM = 解得：2OM =， ∴OC AC FM AF =，即2535FM = 解得：6FM =，∴点F 为（2，6），且B 为（4，0），设直线BE 解析式为y=kx+m ，则2640k m k m +=⎧⎨+=⎩，解得312k m =-⎧⎨=⎩， ∴直线BE 解析式为：312y x =-+；联立直线BE 和抛物线解析式可得：231213222y x y x x =-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩， 解得：40x y =⎧⎨=⎩或53x y =⎧⎨=-⎩， ∴点E 坐标为：(5,3)-， ∴22(54)(3)10BE =-+-=【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D 点的纵坐标是解题的关键，在（3）中由条件求得直线BE 的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度．7．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2，-1)，且与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合)，过点P作PD∥y轴，交AC于点D．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在题(2)的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) y=x2﹣4x+3；(2) P1（1，0），P2（2，﹣1）；(3) F1（22，1），F2（22，1）．【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的C点坐标代入上式中，即可求出抛物线的解析式；（2）由于PD∥y轴，所以∠ADP≠90°，若△ADP是直角三角形，可考虑两种情况：①以点P为直角顶点，此时AP⊥DP，此时P点位于x轴上（即与B点重合），由此可求出P点的坐标；②以点A为直角顶点，易知OA=OC，则∠OAC=45°，所以OA平分∠CAP，那么此时D、P关于x轴对称，可求出直线AC的解析式，然后设D、P的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式表示出D、P的纵坐标，由于两点关于x轴对称，则纵坐标互为相反数，可据此求出P 点的坐标；（3）很显然当P、B重合时，不能构成以A、P、E、F为顶点的四边形，因为点P、F都在抛物线上，且点P为抛物线的顶点，所以PF与x轴不平行，所以只有（2）②的一种情况符合题意，由②知此时P、Q重合；假设存在符合条件的平行四边形，那么根据平行四边形的性质知：P、F的纵坐标互为相反数，可据此求出F点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出F点的坐标．【详解】（1）∵抛物线的顶点为Q（2，﹣1），∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，将C（0，3）代入上式，得：3=a （0﹣2）2﹣1，a=1；∴y=（x ﹣2）2﹣1，即y=x 2﹣4x+3； （2）分两种情况：①当点P 1为直角顶点时，点P 1与点B 重合； 令y=0，得x 2﹣4x+3=0，解得x 1=1，x 2=3； ∵点A 在点B 的右边， ∴B （1，0），A （3，0）； ∴P 1（1，0）；②当点A 为△AP 2D 2的直角顶点时； ∵OA=OC ，∠AOC=90°， ∴∠OAD 2=45°；当∠D 2AP 2=90°时，∠OAP 2=45°， ∴AO 平分∠D 2AP 2； 又∵P 2D 2∥y 轴， ∴P 2D 2⊥AO ，∴P 2、D 2关于x 轴对称；设直线AC 的函数关系式为y=kx+b （k≠0）． 将A （3，0），C （0，3）代入上式得：303k b b +=⎧⎨=⎩， 解得13k b =-⎧⎨=⎩；∴y=﹣x+3；设D 2（x ，﹣x+3），P 2（x ，x 2﹣4x+3）， 则有：（﹣x+3）+（x 2﹣4x+3）=0， 即x 2﹣5x+6=0；解得x 1=2，x 2=3（舍去）；∴当x=2时，y=x 2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1； ∴P 2的坐标为P 2（2，﹣1）（即为抛物线顶点）． ∴P 点坐标为P 1（1，0），P 2（2，﹣1）；（3）由（2）知，当P 点的坐标为P 1（1，0）时，不能构成平行四边形；当点P的坐标为P2（2，﹣1）（即顶点Q）时，平移直线AP交x轴于点E，交抛物线于F；∵P（2，﹣1），∴可设F（x，1）；∴x2﹣4x+3=1，解得x1=2﹣2，x2=2+2；∴符合条件的F点有两个，即F1（2﹣2，1），F2（2+2，1）．【点睛】此题主要考查了二次函数的解析式的确定、直角三角形的判定、平行四边形的判定与性质等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求较高，难度较大.8．如图，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝x﹣3经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M，连接PC．①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①有，94；②存在，(2，﹣3)或(32，2﹣2)【解析】【分析】（1）由直线表达式求出点B 、C 的坐标，将点B 、C 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）①根据PM ＝（x ﹣3）﹣（x 2﹣2x ﹣3）＝﹣（x ﹣32）2+94即可求解； ②分PM ＝PC 、PM ＝MC 两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）对于y ＝x ﹣3，令x ＝0，y ＝﹣3，y ＝0，x ＝3， 故点B 、C 的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3）， 将点B 、C 的坐标代入抛物线表达式得：9303b c c ++=⎧⎨=-⎩，解得：32c b =-⎧⎨=-⎩，故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）设：点M （x ，x ﹣3），则点P （x ，x 2﹣2x ﹣3）， ①有，理由：PM ＝（x ﹣3）﹣（x 2﹣2x ﹣3）＝﹣（x ﹣32）2+94， ∵﹣1＜0，故PM 有最大值，当x ＝32时，PM 最大值为：94； ②存在，理由：PM 2＝（x ﹣3﹣x 2+2x+3）2＝（﹣x 2+3x ）2； PC 2＝x 2+（x 2﹣2x ﹣3+3）2； MC 2＝（x ﹣3+3）2+x 2；（Ⅰ）当PM ＝PC 时，则（﹣x 2+3x ）2＝x 2+（x 2﹣2x ﹣3+3）2， 解得：x ＝0或2（舍去0）， 故x ＝2，故点P （2，﹣3）；（Ⅱ）当PM ＝MC 时，则（﹣x 2+3x ）2＝（x ﹣3+3）2+x 2，解得：x ＝0或（舍去0和），故x ＝3，则x 2﹣2x ﹣3＝2﹣，故点P （3，2﹣）．综上，点P 的坐标为：(2，﹣3)或(3，2﹣)． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．9．如图，已知二次函数1L ：()22311y mx mx m m =+-+≥和二次函数2L ：()2341y m x m =--+-()1m ≥图象的顶点分别为M 、N ，与x 轴分别相交于A 、B两点（点A 在点B 的左边）和C 、D 两点（点C 在点D 的左边），（1）函数()22311y mx mx m m =+-+≥的顶点坐标为______；当二次函数1L ，2L 的y值同时随着x 的增大而增大时，则x 的取值范围是_______； （2）判断四边形AMDN 的形状（直接写出，不必证明）； （3）抛物线1L ，2L 均会分别经过某些定点； ①求所有定点的坐标；②若抛物线1L 位置固定不变，通过平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是多少？ 【答案】（1）()1,41m --+，13x；（2）四边形AMDN 是矩形；（3）①所有定点的坐标，1L 经过定点()3,1-或()1,1，2L 经过定点()5,1-或()1,1-；②抛物线2L 应平移的距离是423+423-． 【解析】 【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M 的坐标；结合函数图象填空； （2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A 、D 、M 、N 的横坐标，可得AD 的中点为（1，0），MN 的中点为（1，0），则AD 与MN 互相平分，可证四边形AMDN 是矩形；（3）①分别将二次函数的表达式变形为1:(3)(1)1L y m x x =+-+和2:(1)(5)1L y m x x =----，通过表达式即可得出所过定点；②根据菱形的性质可得EH 1=EF=4即可，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解． 【详解】解：（1）12bx a=-=-，顶点坐标M 为(1,41)m --+， 由图象得：当13x 时，二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大．故答案为：(1,41)m --+；13x；（2）结论：四边形AMDN 是矩形．由二次函数21:231(1)L y mx mx m m =+-+和二次函数22:(3)41(1)L y m x m m =--+-解析式可得：A 点坐标为41(1m m --0)，D 点坐标为41(3m m-+，0)，顶点M 坐标为(1,41)m --+，顶点N 坐标为(3,41)m -，AD ∴的中点为(1,0)，MN 的中点为(1,0)，AD ∴与MN 互相平分，∴四边形AMDN 是平行四边形，又AD MN =，∴□AMDN 是矩形；（3）①二次函数21:231(3)(1)1L y mx mx m m x x =+-+=+-+，故当3x =-或1x =时1y =，即二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41(1)(5)1L y m x m m x x =--+-=----，故当1x =或5x =时1y =-，即二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点， ②二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，如图：四个定点分别为(3,1)E -、(1,1)F ，(1,1)H -、(5,1)G -，则组成四边形EFGH 为平行四边形，∴FH ⊥HG ，FH=2，HM=4-x ，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形， 则EH 1=EF=H 1M=4，由勾股定理可得：FH 2+HM 2=FM 2， 即22242(4)x =+-， 解得：43x =±抛物线1L 位置固定不变，通过左右平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是423+423-．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．10．在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的图像经过点A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0），联结AB 、AC ． （1）求这个二次函数的解析式；（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果:3:2ABD BCD S S ∆∆=，求tan ∠DBC 的值； （3）如果点E 在该二次函数图像的对称轴上，当AC 平分∠BAE 时，求点E 的坐标．【答案】（1）243y x x =-+-；（2）32；（3）E （2，73-） 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法，把A 、B 、C 三点代入解析式，即可得到答案； （2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为h ，利用面积的比得到32AD DC =，然后求出DH 和BH ，即可得到答案； （3）延长AE 至x 轴，与x 轴交于点F ，先证明△OAB ∽△OFA ，求出点F 的坐标，然后求出直线AF的方程，即可求出点E的坐标.【详解】解：（1）将A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0）代入20y ax bx c a=++≠（）得，03,0934,300a ba bc=+-⎧⎪=+-⎨⎪-=++⎩解得143abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴此抛物线的表达式是：243y x x=-+-．（2）过点D作DH⊥BC于H，在△ABC中，设AC边上的高为h，则11:():():3:222ABD BCDS S AD h DC h AD DC∆∆=⋅⋅==，又∵DH//y轴，∴25CH DC DHOC AC OA===．∵OA=OC=3，则∠ACO=45°，∴△CDH为等腰直角三角形，∴26355CH DH==⨯=．∴64255BH BC CH=-=-=．∴tan∠DBC=32DHBH=.（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F，∵OA=OC=3，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵∠OAB=∠OAC-∠BAC=45°-∠BAC，∠OFA=∠OCA-∠FAC=45°-∠FAC，∵∠BAC=∠FAC，∴∠OAB=∠OFA．∴△OAB∽△OFA，∴13 OB OAOA OF==．∴OF=9，即F（9，0）；设直线AF的解析式为y=kx+b（k≠0），可得093k bb=+⎧⎨-=⎩，解得133kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AF的解析式为：133y x=-，将x=2代入直线AF的解析式得：73y=-，∴E（2，73 -）.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，以及正确作出辅助线构造相似三角形.三、初三数学旋转易错题压轴题（难）11．直线m∥n，点A、B分别在直线m，n上（点A在点B的右侧），点P在直线m上，AP＝13AB，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，连接AC交直线n于点E，连接PC，且ABE为等边三角形．（1）如图①，当点P在A的右侧时，请直接写出∠ABP与∠EBC的数量关系是，AP与EC的数量关系是．（2）如图②，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图②，当点P在A的左侧时，若△PBC的面积为93，求线段AC的长．67【答案】（1）∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，见解析；（3【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；（3）过点C作CD⊥m于D，根据旋转的性质得到△PBC是等边三角形，求得PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，得到AC＝2t，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠AEB＝60°，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）∵△ABE是等边三角形，∴∠ABE＝60°，AB＝BE，∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴∠CBP＝60°，BC＝BP，∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，即∠ABP＝∠EBC，∴△ABP≌△EBC（SAS），∴AP＝EC；故答案为：∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，理由如下，∵△ABE是等边三角形，∴∠ABE＝60°，AB＝BE，∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴∠CBP＝60°，BC＝BP，∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，即∠ABP＝∠EBC，∴△ABP≌△EBC（SAS），∴AP＝EC；（3）过点C作CD⊥m于D，∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴△PBC是等边三角形，∴34PC293∴PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，∴AC＝2t，∵m∥n，∴∠CAD＝∠AEB＝60°，∴AD＝12AC＝t，CD33，∵PD2+CD2＝PC2，∴（2t）2+3t2＝9，∴t 37（负值舍去），∴AC＝2t 67．【点睛】本题主要考查等边三角形的判定及性质、旋转的性质应用、三角形全等的判定及性质、勾股定理等相关知识点，解题关键在于找到图形变化过程中存在的联系，类比推理即可得解．12．已知抛物线y=ax2+bx-3a-5经过点A(2，5)（1）求出a和b之间的数量关系．（2）已知抛物线的顶点为D点，直线AD与y轴交于(0，-7)①求出此时抛物线的解析式；②点B为y轴上任意一点且在直线y=5和直线y=-13之间，连接BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BC，连接AB、AC，将AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BH．截取BC的中点F 和DH 的中点G ．当点D 、点H 、点C 三点共线时，分别求出点F 和点G 的坐标．【答案】（1）a+2b=10；（2）①y= 2x 2+4x-11，②G 1，)，F 1(-8，33-4+)，G 2(8，，F 2(218，-4) 【解析】【分析】（1）把点A 坐标代入抛物线y=ax 2+bx-3a-5即可得到a 和b 之间的数量关系；（2）①求出直线AD 的解析式，与抛物线y=ax 2+bx-3a-5联立方程组，根据直线与抛物线有两个交点，结合韦达定理求出a ，b ，即可求出解析式；②作AI ⊥y 轴于点I ，HJ ⊥y 轴于点J.设B （0，t ），根据旋转性质表示粗H 、D 、C 坐标，应含t 式子表示直线AD 的解析式，根据D 、H 、C 三点共线，把点C 坐标代入求出1t =，2t =，分两类讨论，分别求出G 、F 坐标。
2020-2021九年级数学上期中一模试卷附答案
2020-2021九年级数学上期中一模试卷附答案一、选择题1．下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．随时打开电视机，正在播新闻B ．优秀射击运动员射击一次，命中靶心C ．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现4点朝上D ．长度分别是3cm ，5cm ，6cm 的三根木条首尾相接，组成一个三角形2．如图，已知⊙O 的半径为5，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，AB=8，则tan ∠CBD 的值等于（ ）A ．43B ．45C ．35D ．343．二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）A ．a ＞0，b ＞0，c ＞0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＜0，c ＞04．已知抛物线y=x 2-2mx-4（m ＞0）的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M 的坐标为（ ）A ．（1，-5）B ．（3，-13）C ．（2，-8）D ．（4，-20）5．若点()1,5P m -与点()3,2Q n -关于原点成中心对称，则m n +的值是（ ） A ．1B ．3C ．5D ．7 6．若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（ ） A ．5x >B ．5x <-C ．3x ≥-D ．3x ≤- 7．已知实数x 满足（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0，那么x 2﹣2x +1的值为（ ）A ．﹣1或3B ．﹣3或1C ．3D ．1 8．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（ ）A ．49B ．13C ．29D ．199．如图，已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），对称轴为直线x=1，与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x ＞3时，y ＜0；②3a+b ＜0； ③213a -≤≤-； ④248ac b a ->；其中正确的结论是（ ）A ．①③④B ．①②③C ．①②④D ．①②③④ 10．100个大小相同的球，用1至100编号，任意摸出一个球，则摸出的编号是质数的概率是 （ ）A ．120B ．19100C ．14D ．以上都不对11．如图，圆锥的底面半径r 为6cm ，高h 为8cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．30πcm 2B ．48πcm 2C ．60πcm 2D ．80πcm 2 12．四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）A ．AB=CDB ．AB=BC C ．AC ⊥BD D ．AC=BD 二、填空题13．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米.14．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．若12 11+x x＝﹣1，则k的值为_____．15．圆锥的底面半径为14cm，母线长为21cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为_____度．16．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值为______．17．若关于 x 的一元二次方程2x2-x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为__________．18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为¼BB'，则图中阴影部分的面积为_____．19．用半径为12cm，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为_______cm．20．已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥的侧面积为_____ cm²（结果保留π）．三、解答题21．某商场经销一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题．（1）当销售单价定为每千克55元，计算月销售量和月销售利润；（2）商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝mx2+2mx+m﹣1（m≠0）与y轴交于点C，抛物线G的顶点为D，直线：y＝mx+m﹣1（m≠0）．（1）当m＝1时，画出直线和抛物线G，并直接写出直线被抛物线G截得的线段长．（2）随着m取值的变化，判断点C，D是否都在直线上并说明理由．（3）若直线被抛物线G截得的线段长不小于2，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．23．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.（1）分别写出图中点A和点C的坐标；（2）画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C′；（3）求点A旋转到点A′所经过的路线长（结果保留π）.24．某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣2x+80（20≤x≤40），设这种健身球每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于28元，该商店销售这种健身球每天要获得150元的销售利润，销售单价应定为多少元？25．鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】分析：根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．详解：A．是随机事件，故A不符合题意；B．是随机事件，故B不符合题意；C．是随机事件，故C不符合题意；D．是必然事件，故D符合题意．故选D．点睛：本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．2．D解析：D【解析】过B作⊙O的直径BM，连接AM，则有：∠MAB=∠CDB=90°，∠M=∠C，∴∠MBA=∠CBD，过O作OE⊥AB于E，Rt△OEB中，BE=12AB=4，OB=5，由勾股定理，得：OE=3，∴tan∠MBA=OEBE=34，因此tan∠CBD=tan∠MBA=34，故选D．3．B解析：B【解析】【分析】利用抛物线开口方向确定a 的符号，利用对称轴方程可确定b 的符号，利用抛物线与y 轴的交点位置可确定c 的符号．【详解】∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧，∴x ＝﹣2b a＞0， ∴b ＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△＝b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝b 2﹣4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．4．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：22224=()4y x mx x m m =-----，∴点M （m ，﹣m 2﹣4），∴点M′（﹣m ，m 2+4），∴m 2+2m 2﹣4=m 2+4．解得m=±2．∵m ＞0，∴m=2，∴M （2，﹣8）． 故选C ．【点睛】本题考查二次函数的性质． 5．C解析：C【解析】【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案.【详解】解：∵点()1,5P m -与点()3,2Q n -关于原点对称，∴13m -=-，25n -=-，解得：2m =-，7n =，则275m n +=-+=故选C .【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.6．D解析：D【解析】【分析】由﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3可得：x ≤﹣3．【详解】∵x =﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3≤﹣3，∴不论a 取何值，x ≤﹣3．故选D ．【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练运用配方法解答本题的关键．7．D解析：D【解析】【分析】设x 2﹣2x +1＝a ，则（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0化为a 2+2a ﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可．【详解】解：设x 2﹣2x +1＝a ，∵（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0，∴a 2+2a ﹣3＝0，解得：a ＝﹣3或1，当a ＝﹣3时，x 2﹣2x +1＝﹣3，即（x ﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解；当a ＝1时，x 2﹣2x +1＝1，此时方程有解，故选：D ．【点睛】此题考查换元法解一元二次方程，借助另外设未知数的方法解一元二次方程使理解更容易，计算更简单.8．A解析：A【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．【详解】画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果， ∴两次都摸到黄球的概率为49， 故选A ．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验． 9．B解析：B【解析】【分析】①由抛物线的对称性可求得抛物线与x 轴令一个交点的坐标为（3，0），当x ＞3时，y ＜0，故①正确；②抛物线开口向下，故a ＜0，∵12b x a=-=，∴2a+b=0．∴3a+b=0+a=a ＜0，故②正确；③设抛物线的解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），则223y ax ax a =--，令x=0得：y=﹣3a ．∵抛物线与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴233a ≤-≤．解得：213a -≤≤-，故③正确； ④．∵抛物线y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴2≤c≤3，由248acb a ->得：248ac a b ->，∵a ＜0，∴224b c a -<，∴c ﹣2＜0，∴c ＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误． 【详解】解:①由抛物线的对称性可求得抛物线与x 轴令一个交点的坐标为（3，0），当x ＞3时，y ＜0，故①正确；②抛物线开口向下，故a ＜0， ∵12b x a=-=， ∴2a+b=0． ∴3a+b=0+a=a ＜0，故②正确；③设抛物线的解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），则223y ax ax a =--，令x=0得：y=﹣3a ．∵抛物线与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴233a ≤-≤． 解得：213a -≤≤-， 故③正确；④．∵抛物线y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴2≤c≤3，由248ac b a ->得：248ac a b ->，∵a ＜0， ∴224b c a-<， ∴c ﹣2＜0，∴c ＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误．故选B ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系,结合图像,数形结合的思想的运用是本题的解题关键.．10．C解析：C【解析】解答：在1到100这100个数中，是质数的是：2，3 ，5，7，11，13，17，19，23，29，31 ，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，共25个，所以摸出的编号是质数的概率是2511004=， 故选C ． 点睛: 本题关键是清楚1到100这一范围内有几个质数，特别注意的是1既不是质数，又不是合数.11．C解析：C【解析】【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．【详解】∵h＝8，r＝6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l10，圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝12×2×6π×10＝60π，所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选：C．【点睛】本题主要考查圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．12．D解析：D【解析】【分析】四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．【详解】添加AC=BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选D．【点睛】考查了矩形的判定，关键是掌握矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．二、填空题13．5【解析】【分析】根据题意运用待定系数法建立适当的函数解析式代入求值即可解答【详解】以左边树与地面交点为原点地面水平线为x轴左边树为y 轴建立平面直角坐标系由题意可得A(025)B(225)C(051解析：5【解析】【分析】根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答．【详解】以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x 轴，左边树为y 轴建立平面直角坐标系，由题意可得A (0,2.5),B (2,2.5),C (0.5,1)设函数解析式为y =ax 2+bx +c把A. B. C 三点分别代入得出c =2.5同时可得4a +2b +c =2.5，0.25a +0.5b +c =1解得a =2，b =−4，c =2.5.∴y =2x 2−4x +2.5=2(x −1)2+0.5.∵2>0∴当x =1时,y min =0.5米.14．【解析】【分析】利用根与系数的关系结合＝﹣1可得出关于k 的方程解之可得出k 的值由方程的系数结合根的判别式△＞0可得出关于k 的不等式解之即可得出k 的取值范围进而可确定k 的值此题得解【详解】∵关于x 的一解析：【解析】【分析】 利用根与系数的关系结合1211+x x ＝﹣1可得出关于k 的方程，解之可得出k 的值，由方程的系数结合根的判别式△＞0可得出关于k 的不等式，解之即可得出k 的取值范围，进而可确定k 的值，此题得解．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k +3）x +k 2＝0的两根为x 1，x 2，∴x 1+x 2＝﹣（2k +3），x 1x 2＝k 2， ∴1211+x x ＝1212x x x x +＝﹣223k k +＝﹣1， 解得：k 1＝﹣1，k 2＝3．∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k +3）x +k 2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（2k +3）2﹣4k 2＞0，解得：k ＞﹣34， ∴k 1＝﹣1舍去．∴k =3.故答案为：3．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练运用根与系数的关系及根的判别式是解决问题的关键.15．240【解析】【分析】根据弧长=圆锥底面周长=28πcm圆心角=弧长180母线长π计算【详解】解：由题意知：弧长＝圆锥底面周长＝2×14π＝28πcm扇形的圆心角＝弧长×180÷母线长÷π＝28π×解析：240【解析】【分析】根据弧长=圆锥底面周长=28πcm，圆心角=弧长⨯180÷母线长÷π计算.【详解】解：由题意知：弧长＝圆锥底面周长＝2×14π＝28πcm，扇形的圆心角＝弧长×180÷母线长÷π＝28π×180÷21π＝240°．故答案为：240．【点睛】此题主要考查弧长=圆锥底面周长及弧长与圆心角的关系，熟练掌握公式及关系是解题关键．16．-1【解析】【分析】根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根可知△=0求出m的取值即可【详解】解：由已知得△=0即4+4m=0解得m=-1故答案为-1【点睛】本题考查的是根的判别解析：-1【解析】【分析】根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根可知△=0，求出m的取值即可．【详解】解：由已知得△=0，即4+4m=0，解得m=-1．故答案为-1.【点睛】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．17．【解析】【分析】根据关于x的一元二次方程2x2-x+m=0有两个相等的实数根结合根的判别式公式得到关于m的一元一次方程解之即可【详解】根据题意得：△=1-4×2m=0整理得：1-8m=0解得：m=故解析：1 8【解析】【分析】根据“关于x的一元二次方程2x2-x+m=0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于m的一元一次方程，解之即可．【详解】根据题意得：△=1-4×2m=0，整理得：1-8m=0，解得：m=18，故答案为：18．【点睛】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．18．【解析】分析：连接DBDB′先利用勾股定理求出DB′=A′B′=再根据S阴=S扇形BDB′-S△DBC-S△DB′C计算即可详解：△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△AB′C此时点A′在斜边解析：3 2π【解析】分析：连接DB、DB′，先利用勾股定理求出DB′=2212=5+，A′B′=2222=22+，再根据S阴=S扇形BDB′-S△DBC-S△DB′C，计算即可．详解：△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，此时点A′在斜边AB上，CA′⊥AB，连接DB、DB′，则2212=5+，2222=22+∴S阴=905253 1222222=36042（）ππ⨯-⨯÷-÷-.故答案为53 42π-．点睛：本题考查旋转变换、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．【解析】【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长然后根据圆的周长公式即可求解【详解】解：圆锥的底面周长是：=6π设圆锥底面圆的半径是r则2πr=6π则r=3故解析：【解析】【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解．【详解】解：圆锥的底面周长是：9012180π⨯=6π，设圆锥底面圆的半径是r，则2πr=6π，则r=3．故答案为：3．【点睛】本题考查圆锥的计算．20．15π【解析】【分析】【详解】解：由图可知圆锥的高是4cm母线长5cm 根据勾股定理得圆锥的底面半径为3cm所以圆锥的侧面积=π×3×5=15πcm²故答案为：15π【点睛】本题考查圆锥的计算解析：15π．【解析】【分析】【详解】解：由图可知，圆锥的高是4cm，母线长5cm，根据勾股定理得圆锥的底面半径为3cm，所以圆锥的侧面积=π×3×5=15πcm²．故答案为：15π．【点睛】本题考查圆锥的计算．三、解答题21．（1）月销售量450千克，月利润6750元；（2）销售单价应定为80元/千克【解析】【分析】（1）销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．那么涨价5元，月销售量就减少50千克．根据月销售利润＝每件利润×数量，即可求解；（2）等量关系为：销售利润＝每件利润×数量，设单价应定为x元，根据这个等量关系列出方程，解方程即可．【详解】（1）月销售量为：500﹣5×10＝450（千克），月利润为：（55﹣40）×450＝6750（元）．（2）设单价应定为x元，得：（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000，解得：x1＝60，x2＝80．当x＝60时，月销售成本为16000元，不合题意舍去．∴x＝80．答：销售单价应定为80元/千克．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．22．（1）见解析；（2）无论m取何值，点C，D都在直线上，见解析；（3）m的取值范围是m≤﹣3或m≥3．【解析】【分析】（1）当m＝1时，抛物线G的函数表达式为y＝x2+2x，直线的函数表达式为y＝x，求出直线被抛物线G截得的线段，再画出两个函数的图象即可；（2）先求出C、D两点的坐标，再代入直线的解析式进行检验即可；（3）先联立直线与抛物线的解析式，求出它们的交点坐标，再根据这两个交点之间的距离不小于2列出不等式，求解即可．【详解】（1）当m=1时，抛物线G的函数表达式为y=x2+2x，直线的函数表达式为y=x，直线被抛物线G截得的线段长为2，画出的两个函数的图象如图所示：（2）无论m取何值，点C，D都在直线上．理由如下：∵抛物线G：y=mx2+2mx+m-1（m≠0）与y轴交于点C，∴点C的坐标为C（0，m-1），∵y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1，∴抛物线G的顶点D的坐标为（-1，-1），对于直线：y=mx+m-1（m≠0），当x=0时，y=m-1，当x=-1时，y=m×（-1）+m-1=-1，∴无论m取何值，点C，D都在直线上；（3）解方程组2211y mx mx m y mx m ⎧++-⎨+-⎩＝＝， 得01x y m ⎧⎨-⎩＝＝ ，或11x y -⎧⎨-⎩＝＝， ∴直线与抛物线G 的交点为（0，m-1），（-1，-1）．∵直线被抛物线G 截得的线段长不小于2， ∴22()(0111)m ++-+≥2，∴1+m 2≥4，m 2≥3，∴m≤-3或m≥3，∴m 的取值范围是m≤-3或m≥3．【点睛】此题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于掌握两函数交点坐标的求法，函数的图象．23．（1）()04A ，、()31C ，（2）见解析（3）322【解析】 试题分析：（1）根据点的平面直角坐标系中点的位置写出点的坐标；（2）根据旋转图形的性质画出旋转后的图形；（3）点A 所经过的路程是以点C 为圆心，AC 长为半径的扇形的弧长．试题解析：（1）A （0,4）C （3,1）（2）如图所示：（3）根据勾股定理可得：2，则903232180n r l ππ⨯===． 考点：图形的旋转、扇形的弧长计算公式．24．（1）w 与x 的函数关系式为w=-2x 2+120x-1600.（2）销售单价定为30元时,每天销售利润最大,最大销售利润200元.（3）该商店销售这种健身球每天想要获得150元的销售利润,销售单价定为25元.【解析】试题分析：（1）用每件的利润()20x -乘以销售量即可得到每天的销售利润，即()()()2020280w x y x x =-=--+，然后化为一般式即可；（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式()2230200y x =--+，然后根据二次函数的最值问题求解；（3）求函数值为150所对应的自变量的值，即解方程()2230200150x --+=，然后利用销售价不高于每件28元确定x 的值．试题解析：（1）根据题意可得：()20w x y =-⋅, ()()20280x x =--+,221201600x x =-+-，w 与x 之间的函数关系为：221201600w x x =-+-；（2）根据题意可得：()2221201600230200w x x x =-+-=--+，∵20-<，∴当30x =时，w 有最大值，w 最大值为200.答：销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.（3）当150w =时，可得方程()2230200150x --+=.解得1225,35x x ==，∵3528>，∴235x =不符合题意，应舍去.答：该商店销售这种健身球每天想要获得150元的销售利润，销售单价定为25元. 25．（1）y=－2x+200（30≤x≤60）（2）w=－2（x －65）2 +2000）;（3）当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元【解析】【分析】（1）设出一次函数解析式，把相应数值代入即可．（2）根据利润计算公式列式即可；（3）进行配方求值即可．【详解】（1）设y=kx+b ，根据题意得806010050k b k b =+⎧⎨=+⎩解得：k 2b 200=-⎧⎨=⎩ ∴y=－2x+200（30≤x≤60）（2）W=（x －30）（－2x+200）－450=－2x 2+260x －6450=－2（x －65）2 +2000）（3）W =－2（x －65）2 +2000∵30≤x≤60∴x=60时,w 有最大值为1950元∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元考点：二次函数的应用．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C．∠ACB 是旋转角 D．∠CAE 是旋转角
9．如图，已知二次函数 y ax2 bx c （ a 0 ）的图象与 x 轴交于点 A（﹣1，0），对
称轴为直线 x=1，与 y 轴的交点 B 在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结
论：
①当 x＞3 时，y＜0；
②3a+b＜0；
③ 1 a 2 ； 3
2020-2021 北京第十三中初三数学上期中一模试题及答案
一、选择题
1．若 x1 是方程 ax2+2x+c＝0(a≠0)的一个根，设 M＝(ax1+1)2，N＝2﹣ac，则 M 与 N 的大
小关系为( )
A．M＞N
B．M＝N
C．M＜N
D．不能确定
2．如图，已知⊙O 的半径为 5，锐角△ABC 内接于⊙O，BD⊥AC 于点 D，AB=8，则
20．已知圆锥的母线长为 5cm，高为 4cm，则该圆锥的侧面积为_____ cm²（结果保留 π）．
三、解答题
21．某校为组织代表队参加市“拜炎帝、诵经典”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整 理，分成 5 个小组（x 表示成绩，单位：分），A 组：75≤x＜80；B 组：80≤x＜85；C 组： 85≤x＜90；D 组：90≤x＜95；E 组：95≤x＜100．并绘制出如图两幅不完整的统计图．
因此 tan∠CBD=tan∠MBA= 3 ， 4
故选 D．
3．C
解析：C 【解析】 解：画树状图如下：
一共有 6 种情况，“一红一黄”的情况有 2 种，
∴P（一红一黄）= 2 = 1 ．故选 C． 63
4．B
解析：B 【解析】 试题分析：（1）当点 P 沿 O→C 运动时， 当点 P 在点 O 的位置时，y=90°， 当点 P 在点 C 的位置时， ∵OA=OC， ∴y=45°， ∴y 由 90°逐渐减小到 45°； （2）当点 P 沿 C→D 运动时， 根据圆周角定理，可得 y≡90°÷2=45°； （3）当点 P 沿 D→O 运动时， 当点 P 在点 D 的位置时，y=45°， 当点 P 在点 0 的位置时，y=90°， ∴y 由 45°逐渐增加到 90°． 故选 B． 考点：动点问题的函数图象．
13．某药品原价是 100 元，经连续两次降价后，价格变为 64 元，如果每次降价的百分率 是一样的，那么每次降价的百分率是 ； 14．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田 积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，只知道它的长与宽共 60 步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多 ______步． 15．母线长为 2cm，底面圆的半径为 1cm 的圆锥的侧面积为__________ cm²． 16．若关于 x 的一元二次方程 x2+2x﹣m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为______． 17．小蕾有某文学名著上、中、下各 1 册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰 好为“上册、中册、下册”的概率是____________． 18．已知关于 x 的二次函数 y=ax2+(a2-1)x-a 的图象与 轴的一个交点的坐标为(m，0)，若 2<m<3，则 a 的取值范围是_________． 19．如图，AB 是⊙O 的直径，BD，CD 分别是过⊙O 上点 B，C 的切线，且∠BDC＝110°．连 接 AC，则∠A 的度数是_____°．
22．解方程： x2 2x 2 0 .
23．某商场销售某种型号防护面罩，进货价为 40 元/个．经市场销售发现：售价为 50 元/个 时，每周可以售出 100 个，若每涨价 1 元，就会少售出 5 个．供货厂家规定市场售价不得 低于 50 元/个，且商场每周销售数量不得少于 80 个． （1）确定商场每周销售这种型号防护面罩所得的利润 w（元）与售价 x（元/个）之间的函 数关系式． （2）当售价 x（元/个）定为多少时，商场每周销售这种防护面罩所得的利润 w（元）最 大？最大利润是多少？ 24．一个不透明的布袋里装有 16 个只有颜色不同的球,其中红球有 x 个,白球有 2x 个,其他 均为黄球,现甲从布袋中随机摸出一个球,若是红球则甲同学获胜,甲同学把摸出的球放回并 搅匀,由乙同学随机摸出一个球,若为黄球,则乙同学获胜. (1)当 x=3 时,谁获胜的可能性大? (2)当 x 为何值时,游戏对双方是公平的? 25．某中学对本校初 2018 届 500 名学生中中考参加体育加试测试情况进行调查，根据男生 1000 米及女生 800 米测试成绩整理，绘制成不完整的统计图，(图①，图②)，根据统计图 提供的信息，回答问题：
故选 B. 点睛：此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一个整体，构 造出简单的一元二次方程求解即可.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】 根据旋转的性质和图形的特点解答． 【详解】 ∵图案绕点 O 旋转 120°后可以和自身重合，∠AOB 为 120°
∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的 1 ， 3
tan∠CBD 的值等于（ ）
A． 4 3
B． 4 5
C． 3 5
D． 3 4
3．布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二
个球，这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是（ ）
A． 1 6
B． 2 9
C． 1 3
D． 2 3
4．如图，AD、BC 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点 P 从点 O 出发，沿 O→C→D→O 的
3a．∵抛物线与 y 轴的交点 B 在（0，2）和（0，3）之间，∴ 2 3a 3 ．解得：
1 a 2 ，故③正确； 3
④．∵抛物线 y 轴的交点 B 在（0，2）和（0，3）之间，∴2≤c≤3，由 4ac b2 8a 得： 4ac 8a b2 ，∵a＜0，∴ c 2 b2 ，∴c﹣2＜0，∴c＜2，与 2≤c≤3 矛盾，故④错误．
9．B
解析：B 【解析】 【分析】 ①由抛物线的对称性可求得抛物线与 x 轴令一个交点的坐标为（3，0），当 x＞3 时，y＜ 0，故①正确；
②抛物线开口向下，故 a＜0，∵ x b 1，∴2a+b=0．∴3a+b=0+a=a＜0，故②正 2a
确；
③设抛物线的解析式为 y=a（x+1）（x﹣3），则 y ax2 2ax 3a ，令 x=0 得：y=﹣
总面积为 12 平方厘米，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为（）平方厘米．
A．2
B．4
C．6
D．8
7．如图，直线 y=kx+c 与抛物线 y=ax2+bx+c 的图象都经过 y 轴上的 D 点，抛物线与 x 轴交
于 A、B 两点，其对称 轴为直线 x=1，且 OA=OD．直线 y=kx+c 与 x 轴交于点 C（点 C 在点 B
的右侧）．则下列命题中正确命题的是（ ） ①abc＞0； ②3a+b＞0； ③﹣1＜k＜0； ④4a+2b+c＜0； ⑤a+b＜k．
A．①②③
B．②③⑤
C．②④⑤
D．②③④⑤
8．如图，△ABC 绕点 A 旋转一定角度后得到△ADE，若 BC=4，AC=3，则下列说法正确的是
（）
A．DE=【解析】
试题分析：根据题意，先移项得 x2 y2 2 y2 x2 6 0 ，即
x2 y2 2 （x2 y2） 6 0 ，然后根据“十字相乘法”可得
(x2 y2 2)(x2 y2 3) 0 ，由此解得 x2 y2 =-2（舍去）或 x2 y2 3 .
∵直线 y=kx+c 经过一、二、四象限， ∴k＜0． ∵OA=OD， ∴点 A 的坐标为（c，0）． 直线 y=kx+c 当 x=c 时，y＞0， ∴kc+c＞0 可得 k＞-1． ∴③-1＜k＜0 正确； ∵直线 y=kx+c 与抛物线 y=ax2+bx+c 的图象有两个交点， ∴ax2+bx+c=kx+c，
(1)该校毕业生中男生有_______人；扇形统计图中 a ______；
(2)扇形统计图中，成绩为 10 分的所在扇形的圆心角是多少度？并补全条形统计图； (3)若 500 名学生中随机抽取一名学生，这名学生该项成绩在 8 分及 8 分以下的概率是多
少？
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
式为（ ）
A． y x2
B． y (12 x)2 C． y x(12 x) D． y 2(12 x)
12．用配方法解方程 x2 8x 9 0 ，变形后的结果正确的是( )
A． x 42 9 B． x 42 7 C． x 42 25 D． x 42 7
二、填空题
∵图形的面积是 12cm2， ∴图中阴影部分的面积之和为 4cm2； 故答案为 B． 【点睛】 本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．
7．B
解析：B 【解析】 试题解析：∵抛物线开口向上， ∴a＞0． ∵抛物线对称轴是 x=1， ∴b＜0 且 b=-2a． ∵抛物线与 y 轴交于正半轴， ∴c＞0． ∴①abc＞0 错误； ∵b=-2a， ∴3a+b=3a-2a=a＞0， ∴②3a+b＞0 正确； ∵b=-2a， ∴4a+2b+c=4a-4a+c=c＞0， ∴④4a+2b+c＜0 错误；
2．D
解析：D 【解析】 过 B 作⊙O 的直径 BM，连接 AM， 则有：∠MAB=∠CDB=90°，∠M=∠C， ∴∠MBA=∠CBD， 过 O 作 OE⊥AB 于 E，
Rt△OEB 中，BE= 1 AB=4，OB=5， 2
由勾股定理，得：OE=3，