高一年级集合的运算1及答案

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完整版)人教版高一数学必修一集合知识点以及习题

完整版)人教版高一数学必修一集合知识点以及习题高一数学必修第一章集合1.集合的概念集合是指一定范围内、确定的、可区别的事物，将其作为一个整体来看待，就叫做集合，简称集。

其中的各事物叫作集合的元素或简称元。

集合的元素具有三个特性：确定性、互异性和无序性。

确定性指元素是明确的，如世界上最高的山。

互异性指元素是不同的，如由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}。

无序性指元素的排列顺序不影响集合的本质，如{a,b,c}和{a,c,b}是同一个集合。

集合可以用大括号{…}表示，如{我校的篮球队员}、{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}。

集合也可以用拉丁字母表示，如A={我校的篮球队员}，B={1,2,3,4,5}。

集合的表示方法有列举法和描述法。

常用的数集及其记法有：非负整数集（即自然数集）记作N，正整数集记作N*或N+，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R。

2.集合间的关系集合间有包含关系和相等关系。

包含关系又称为“子集”，表示一个集合的所有元素都属于另一个集合。

如果集合A的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集，记作A⊆B。

如果A和B是同一集合，则称A是B的子集，记作A⊆B。

反之，如果集合A不包含于集合B，或集合B不包含于集合A，则记作A⊈B或B⊈A。

相等关系表示两个集合的元素完全相同，记作A=B。

真子集是指如果A⊆B，且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作A⊂B（或B⊃A）。

如果XXX且B⊆C，则A⊆C。

如果XXX且B⊆A，则A=B。

空集是不含任何元素的集合，记为Φ。

规定空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

3.集合的运算集合的运算包括交集、并集和补集。

交集是由所有属于A 且属于B的元素所组成的集合，记作A∩B。

并集是由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A∪B。

补集是由S中所有不属于A的元素所组成的集合，记作A的补集。

如果S是一个集合，A是S的一个子集，则A的补集为由S中所有不属于A的元素组成的集合。

高一数学第一章《集合的基本运算--交集与并集》知识点归纳、例题解析及课时作业

3．1交集与并集学习目标 1.理解并集、交集的概念.2.会用符号、V enn图和数轴表示并集、交集.3.会求简单集合的并集和交集．知识点一并集思考某次校运动会上，高一(1)班有10人报名参加田赛，有12人报名参加径赛．已知两项都报的有3人，你能算出高一(1)班参赛人数吗？答案19人．参赛人数包括参加田赛的，也包括参加径赛的，但由于元素互异性的要求，两项都报的不能重复计算，故有10＋12－3＝19人．梳理(1)定义：一般地，由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A 与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)．(2)并集的符号语言表示为A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)图形语言：、，阴影部分为A∪B.(4)性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝A⇔B⊆A，A⊆A∪B.知识点二交集思考一副扑克牌，既是红桃又是A的牌有几张？答案1张．红桃共13张，A共4张，其中两项要求均满足的只有红桃A一张．梳理(1)定义：一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)．(2)交集的符号语言表示为A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(3)图形语言：，阴影部分为A∩B.(4)性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝A⇔A⊆B，A∩B⊆A∪B，A∩B⊆A，A∩B⊆B.类型一求并集命题角度1数集求并集例1(1)已知集合A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则集合A∪B是()A．{1,3,4,5,6} B．{3}C．{3,4,5,6} D．{1,2,3,4,5,6}答案 A解析A∪B是将两集合的所有元素合并到一起构成的集合(相同元素算一个)，因此A∪B ＝{1,3,4,5,6}，故选A.(2)A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，求A∪B.解如图：由图知A∪B＝{x|－1<x<3}．反思与感悟有限集求并集就是把两个集合中的元素合并，重复的保留一个；用不等式表示的，常借助数轴求并集．由于A∪B中的元素至少属于A，B之一，所以从数轴上看，至少被一道横线覆盖的数均属于并集．跟踪训练1(1)A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，求A∪B.解B＝{－1,2}，∴A∪B＝{－2，－1,0,2}．(2)A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x≤1或x>3}，求A∪B.解如图：由图知A∪B＝{x|x<2或x>3}．命题角度2点集求并集例2集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∪B，并说明其几何意义．解A∪B＝{(x，y)|x>0或y>0}．其几何意义为平面直角坐标系内去掉第三象限和x轴、y轴的非正半轴后剩下的区域内所有点．反思与感悟求并集要弄清楚集合中的元素是什么，是点还是数．跟踪训练2A＝{(x，y)|x＝2}，B＝{(x，y)|y＝2}．求A∪B，并说明其几何意义．解A∪B＝{(x，y)|x＝2或y＝2}，其几何意义是直线x＝2和直线y＝2上所有的点组成的集合．类型二求交集例3(1)若集合A＝{x|－5<x<2}，B＝{x|－3<x<3}，则A∩B等于()A．{x|－3<x<2} B．{x|－5<x<2}C．{x|－3<x<3} D．{x|－5<x<3}答案 A解析在数轴上将集合A，B表示出来，如图所示，由交集的定义可得A∩B为图中阴影部分，即A∩B＝{x|－3<x<2}，故选A.(2)若集合M＝{x|－2≤x＜2}，N＝{0,1,2}，则M∩N等于()A．{0} B．{1}C．{0,1,2} D．{0,1}答案 D解析M＝{x|－2≤x＜2}，N＝{0,1,2}，则M∩N＝{0,1}，故选D.(3)集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∩B并说明其几何意义．解A∩B＝{(x，y)|x>0且y>0}，其几何意义为第一象限所有点的集合．反思与感悟两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合，当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．数轴是集合运算的好帮手，但要画得规范．跟踪训练3(1)集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x≤1或x>3}，求A∩B；(2)集合A＝{x|2k<x<2k＋1，k∈Z}，B＝{x|1<x<6}，求A∩B；(3)集合A＝{(x，y)|y＝x＋2}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，求A∩B.解 (1)A ∩B ＝{x |－1<x ≤1}． (2)A ∩B ＝{x |2<x <3或4<x <5}． (3)A ∩B ＝∅.类型三并集、交集性质的应用例4 已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}，若A ∪B ＝B ，求a 的取值范围．解 A ∪B ＝B ⇔A ⊆B .当2a >a ＋3，即a >3时，A ＝∅，满足A ⊆B . 当2a ＝a ＋3，即a ＝3时，A ＝{6}，满足A ⊆B . 当2a <a ＋3，即a <3时，要使A ⊆B ，需⎩⎪⎨⎪⎧ a <3，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a <3，2a >5，解得a <－4，或52<a <3.综上，a 的取值范围是{a |a >3}∪{a |a ＝3}∪{a |a <－4或52<a <3}＝{a |a <－4，或a >52}．反思与感悟解此类题，首先要准确翻译，诸如“A ∪B ＝B ”之类的条件．在翻译成子集关系后，不要忘了空集是任何集合的子集．跟踪训练4 设集合A ＝{x |2x 2＋3px ＋2＝0}，B ＝{x |2x 2＋x ＋q ＝0}，其中p 、q 为常数，x ∈R ，当A ∩B ＝{12}时，求p 、q 的值和A ∪B .解 ∵A ∩B ＝{12}，∴12∈A ，∴2×(12)2＋3p ×12＋2＝0，∴p ＝－53，∴A ＝{12，2}．又∵A ∩B ＝{12}，∴12∈B ，∴2×(12)2＋12＋q ＝0，∴q ＝－1.∴B ＝{12，－1}．∴A ∪B ＝{－1，12，2}．1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N等于()A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2} D．{0,1}答案 B2．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B等于()A．{0} B．{0,1}C．{0,2} D．{0,1,2}答案 C3．已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|0<x<2}，则A∪B等于()A．{x|x>0} B．{x|x>1}C．{x|1<x<2} D．{x|0<x<2}答案 A4．已知A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合A∩B等于()A．∅B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}答案 A5．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于()A．0或 3 B．0或3C．1或 3 D．1或3答案 B1．对并集、交集概念的理解(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B 但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合．(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.2．集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．课时作业一、选择题1．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是()A．N⊆M B．M∪N＝MC．M∩N＝N D．M∩N＝{2}答案 D解析∵－2∈N，但－2∉M，∴A，B，C三个选项均不对．2．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C等于()A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}答案 D解析A∩B＝{1,2}，(A∩B)∪C＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}．3．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}和集合B＝{y|y＝x2}，则A∩B等于()A．{y|0<y<1}B．{y|0≤y≤1}C．{y|y>0}D．{(0,1)，(1,0)}答案 B解析∵B＝{y|y＝x2}，∴B＝{y|y≥0}，A∩B＝{y|0≤y≤1}．4．已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么M∩N为()A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1)C．{3，－1} D．{(3，－1)}答案 D解析由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.∴M ∩N ＝{(3，－1)}．5．设A ，B 是非空集合，定义A *B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{y |y ≥1}，则A *B 等于( ) A ．{x |1≤x <3} B ．{x |1≤x ≤3} C ．{x |0≤x <1或x >3} D ．{x |0≤x ≤1或x ≥3} 答案 C解析由题意知，A ∪B ＝{x |x ≥0}， A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}，则A *B ＝{x |0≤x <1或x >3}．6．若集合A ＝{x |x ≥0}，且A ∩B ＝B ，则集合B 可能是( ) A ．{1,2} B ．{x |x ≤1} C ．{－1,0,1} D ．R答案 A解析 ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，四个选项中，符合B ⊆A 的只有选项A.二、填空题7．若集合A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝A ，则满足条件的实数x 有________个．答案 2解析 ∵A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝A ， ∴B ⊆A ，∴x 2＝0或x 2＝2或x 2＝x ，解得x ＝0或2或－2或1.经检验当x ＝2或－2时满足题意．8．已知集合P ＝{x ||x |>x }，Q ＝{x |y ＝1－x }，则P ∩Q ＝________. 答案 {x |x <0} 解析 |x |>x ⇒x <0，∴P ＝{x |x <0},1－x ≥0⇒x ≤1， ∴Q ＝{x |x ≤1}，故P ∩Q ＝{x |x <0}．9．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．答案 {a |a ≤1}解析 A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，要使A ∪B ＝R ，只需a ≤1.如图．10．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝________. 答案 {(0,1)，(－1,2)}解析 A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．三、解答题11．已知集合A ＝{x |⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3x ＋6>0，}，集合B ＝{m |3>2m －1}，求A ∩B ，A ∪B .解解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3x ＋6>0，得－2<x <3，则A ＝{x |－2<x <3}，解不等式3>2m －1得m <2，则B ＝{m |m <2}．用数轴表示集合A 和B ，如图所示，则A ∩B ＝{x |－2<x <2}，A ∪B ＝{x |x <3}．12．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)若A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}，求实数m 的值； (2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解 A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝1，m ＋2≥3，解得m ＝3.(2)A ∩B ＝∅，A ⊆{x |x <m －2或x ＞m ＋2}． ∴m －2＞3或m ＋2<－1.∴实数m 的取值范围是{m |m ＞5或m <－3}．13．已知集合A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |x 2－ax －b ＝0}． (1)若A ∪B ＝{2,3,5}，A ∩B ＝{3}，求a ，b 的值； (2)若∅B A ，求实数a ，b 的值．解 (1)因为A ＝{3,5}，A ∪B ＝{2,3,5}，A ∩B ＝{3}，所以3∈B,2∈B ，故2,3是一元二次方程x 2－ax －b ＝0的两个实数根，所以a ＝2＋3＝5，－b ＝2×3＝6，b ＝－6.(2)由∅B A ，且A ＝{3,5}，得B ＝{3}或B ＝{5}．当B ＝{3}时，解得a ＝6，b ＝－9；当B ＝{5}时，解得a ＝10，b ＝－25.综上，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝－9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝－25.四、探究与拓展14．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝x ，x ∈R }，则A ∩B 中的元素个数为________．答案 2解析由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.15．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？解设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A 、B 、C ，同时参加数学和化学小组的有x 人，由题意可得如图所示的Venn 图．由全班共36名同学参加课外探究小组可得(26－6－x )＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x )＋x ＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．。

【人教A版高一数学试题】必修一1.1.3《集合的基本运算》及答案解析

集合的基本运算1.设集合A ＝{x|2≤x ＜4}，B ＝{x|3x －7≥8－2x}，则A ∪B 等于( )A ．{x|x ≥3}B ．{x|x ≥2}C ．{x|2≤x ＜3}D ．{x|x ≥4}2．已知集合A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{0,3,6,9,12}，则A ∩B ＝( )A ．{3,5}B ．{3,6}C ．{3,7}D ．{3,9}3．50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为________．4．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，若A ∩B ＝{9}，求a 的值．一、选择题(每小题5分，共20分)1．集合A ＝{0,2，a}，B ＝{1，a 2}．若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 2．设S ＝{x|2x ＋1>0}，T ＝{x|3x －5<0}，则S ∩T ＝( ) A ．Ø B ．{x|x<－12} C ．{x|x>53} D ．{x|－12<x<53}3．已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝()A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2}C．{x|0<x≤2} D．{x|－1≤x≤2}4．满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．6．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是________．三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，x2－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x及A∩B.8．已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B＝Ø，求a 的取值范围．9．(10分)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？集合的基本运算（答案解析）1．设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B等于() A．{x|x≥3}B．{x|x≥2}C．{x|2≤x＜3} D．{x|x≥4}【解析】B＝{x|x≥3}．画数轴(如下图所示)可知选B.【答案】 B2．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B＝()A．{3,5} B．{3,6}C．{3,7} D．{3,9}【解析】A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，A和B中有相同的元素3,9，∴A∩B＝{3,9}．故选D.【答案】 D3．50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为________．【解析】设两项都参加的有x人，则只参加甲项的有(30-x)人，只参加乙项的有(25-x)人．(30-x)+x+(25-x)=50，∴x=5.∴只参加甲项的有25人，只参加乙项的有20人，∴仅参加一项的有45人．【答案】454．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，若A ∩B ＝{9}，求a 的值．【解析】 ∵A ∩B ＝{9}，∴9∈A ，∴2a －1＝9或a 2＝9，∴a ＝5或a ＝±3. 当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}．此时A ∩B ＝{－4,9}≠{9}．故a ＝5舍去．当a ＝3时，B ＝{－2，－2,9}，不符合要求，舍去．经检验可知a ＝－3符合题意．一、选择题(每小题5分，共20分)1．集合A ＝{0,2，a}，B ＝{1，a 2}．若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4【解析】 ∵A ∪B ＝{0,1,2，a ，a 2}，又A ∪B ＝{0,1,2,4,16}， ∴{a ，a 2}＝{4,16}，∴a ＝4，故选D. 【答案】 D2．设S ＝{x|2x ＋1>0}，T ＝{x|3x －5<0}，则S ∩T ＝( ) A ．Ø B ．{x|x<－12} C ．{x|x>53} D ．{x|－12<x<53}【解析】 S ＝{x|2x ＋1>0}＝{x|x>－12}，T ＝{x|3x －5<0}＝{x|x<53}，则S ∩T ＝{x|－12<x<53}．故选D.【答案】 D3．已知集合A ＝{x|x>0}，B ＝{x|－1≤x ≤2}，则A ∪B ＝( ) A ．{x|x ≥－1} B ．{x|x ≤2}C．{x|0<x≤2} D．{x|－1≤x≤2}【解析】集合A、B用数轴表示如图，A∪B＝{x|x≥－1}．故选A.【答案】 A4．满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4【解析】集合M必须含有元素a1，a2，并且不能含有元素a3，故M＝{a1，a2}或M＝{a1，a2，a4}．故选B.【答案】 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．【解析】A＝(－∞，1]，B＝[a，＋∞)，要使A∪B＝R，只需a≤1.【答案】a≤16．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是________．【解析】由于{1,3}∪A＝{1,3,5}，则A⊆{1,3,5}，且A中至少有一个元素为5，从而A中其余元素可以是集合{1,3}的子集的元素，而{1,3}有4个子集，因此满足条件的A的个数是4.它们分别是{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．【答案】 4三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，x2－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x及A∩B.【解析】由A∪B＝{1,2,3,5}，B＝{1,2，x2－1}得x2－1＝3或x2－1＝5.若x2－1＝3则x＝±2；若x2－1＝5，则x＝±6；综上，x＝±2或±6.当x＝±2时，B＝{1,2,3}，此时A∩B＝{1,3}；当x＝±6时，B＝{1,2,5}，此时A∩B＝{1,5}．8．已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B＝Ø，求a 的取值范围．【解析】由A∩B＝Ø，(1)若A＝Ø，有2a>a＋3，∴a>3.(2)若A≠Ø，如图：∴，解得-≤a≤2.综上所述，a的取值范围是{a|-≤a≤2或a>3}．9．(10分)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？【解析】设单独参加数学的同学为x人，参加数学化学的为y人，单独参加化学的为z人．依题意⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋6＝26，y ＋4＋z ＝13，x ＋y ＋z ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝8，z ＝1.∴同时参加数学化学的同学有8人，答：同时参加数学和化学小组的有8人．。

人教版新课标高一数学必修一第一章集合与函数的概念 1..1 集合集合的运算教案及课后习题

微课程2：集合的运算子集真子集定义对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集若集合A⊆B，但存在元素x ∈B，且x∉A，称集合A是集合B的真子集符号语言若任意x∈A，有x∈B，则A⊆B。

若集合A⊆B，但存在元素x ∈B ，且x∉A，则A B表示方法A为集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A。

A不是B的子集时，记作A B或B A。

若集合A是集合B的真子集，记作A B或B A。

性质①A⊆A ②∅⊆A③A⊆B，B⊆C⇒A⊆CA B，且B C⇒A C子集个数含n个元素的集合A的子集个数为n2含n个元素的集合A的真子集个数为n2－1空集不含任何元素的集合，记为∅。

空集是任何集合的子集，用符号语言表示为∅⊆A；若A非空（即A≠∅），则有∅A。

集合的运算：1. 并集的概念（1）自然语言表示：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。

（2）符号语言表示：A∪B={x|x∈A，或x∈B}。

（3）图形语言（Venn图）表示：。

2. 交集的概念（1）自然语言表示：由属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合，称为集合A与B的交集。

（2）符号语言表示：A∩B={x|x∈A，且x∈B}。

（3）图形语言表示（Venn图）：。

3. 补集的概念（1）自然语言表示：对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素所组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集。

（2）符号语言表示：A={x|x∈U，且x∉A}。

（3）图形语言表示（Venn图）：，阴影部分表示A。

【典例精析】例题1 判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正。

（1）{∅}表示空集；（2）空集是任何集合的真子集；（3）{1，2，3}不是{3，2，1}；（4）{0，1}的所有子集是{0}，{1}，{0，1}；（5）如果A ⊇B 且A≠B ，那么B 必是A 的真子集；（6）A ⊇B 与B ⊆A 不能同时成立。

高一数学集合试题答案及解析

高一数学集合试题答案及解析1.集合S＝{x|x≤10，且x∈N*}，A S，B S，且A∩B＝{4,5}，(B)∩A＝{1,2,3}，(A)∩(B)＝{6,7,8}，求集合A和B.【答案】A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,9,10}.【解析】如下图所示.因为A∩B＝{4,5}，所以将4,5写在A∩B中.因为(B)∩A＝{1,2,3}，所以将1,2,3写在A中.因为(B)∩(A)＝{6,7,8}，所以将6,7,8写在S中A，B外.因为(B)∩A与(B)∩(A)中均无9,10，所以9,10在B中.故A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,9,10}.【考点】本题主要考查集合的交集，集合的补集。

点评：涉及实数构成集合问题，常常借助于韦恩图。

2.已知集合A＝{ |－≤x≤}，则必有 ()A．－1∈A B．0∈A C．∈A D．1∈A【答案】D【解析】∵，－≤x≤，∴x＝1,2，即A＝{1,2}，∴1∈A.故选D.【考点】元素与集合的关系点评：本题先根据x是正整数和－≤x≤确定集合A，再判断各元素是否属于集合。

3.已知函数f(x)的定义域是(0，1)，那么f(2x)的定义域是（）A．(0，1)B．(，1)C．(－∞，0)D．(0，＋∞)【答案】C【解析】因为函数f(x)的定义域是(0，1)，所以，即，，故选C。

【考点】本题主要考查函数的概念，指数函数的图象和性质。

点评：简单题，解答指数不等式，通常要化为同底数指数，利用指数函数的单调性，转化为代数不等式。

4.已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝ ()A．{x|x≥－1}B．{x|x≤2}C．{x|0<x≤2}D．{x|－1≤x≤2}【答案】A【解析】集合A、B用数轴表示如图，A∪B＝{x|x≥－1}.故选A.【考点】本题主要考查集合的并集。

点评：简单题，借助于数轴求集合的并集。

5.满足{0}∪B＝{0,2}的集合B的个数是 ()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】依题意知，B中至少含有元素2，故B可能为{2}，{0,2}，共两个.【考点】本题主要考查集合的子集，集合的并集。

高一数学第一章《集合的基本运算--全集与补集》知识点归纳、例题解析及课时作业

3．2全集与补集学习目标 1.理解全集、补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn图.3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题．知识点一全集思考老和尚问小和尚：“如果你前进是死，后退是亡，那你怎么办？”小和尚说：“我从旁边绕过去．”在这一故事中，老和尚设定的运动方向共有哪些？小和尚设定的运动方向共有哪些？答案老和尚设定的运动方向只有2个：前进，后退．小和尚偷换了前提：运动方向可以是四面八方任意方向．梳理(1)定义：在研究某些集合时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素．(2)记法：全集通常记作U.知识点二补集思考实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数？答案剩下不大于1的数，用集合表示为{x∈R|x≤1}．梳理类型一求补集例1(1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则∁U A等于()A．{x|0<x<2} B．{x|0≤x<2}C．{x|0<x≤2} D．{x|0≤x≤2}答案 C解析∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，∴∁U A＝{x|0<x≤2}，故选C.(2)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3，4,5,6}，求∁U A，∁U B.解根据题意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁U A＝{4,5,6,7,8}，∁U B＝{1,2,7,8}．(3)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B，∁U(A∪B)．解根据三角形的分类可知A∩B＝∅，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，∁U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}．反思与感悟求集合的补集，需关注两处：一是认准全集的范围；二是利用数形结合求其补集，常借助Venn图、数轴、坐标系来求解．跟踪训练1(1)设集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A＝________.答案{3,4,5}(2)已知集合U＝R，A＝{x|x2－x－2≥0}，则∁U A＝________.答案{x|－1<x<2}(3)已知全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|xy>0}，则∁U A＝________.答案{(x，y)|xy≤0}类型二补集性质的应用命题角度1补集性质在集合运算中的应用例2已知A＝{0,2,4,6}，∁U A＝{－1，－3,1,3}，∁U B＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B.解∵A＝{0,2,4,6}，∁U A＝{－1，－3,1,3}，∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}．而∁U B＝{－1,0,2}，∴B＝∁U(∁U B)＝{－3,1,3,4,6}．反思与感悟从Venn图的角度讲，A与∁U A就是圈内和圈外的问题，由于(∁U A)∩A＝v，(∁A)∪A＝U，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推．U跟踪训练2如图所示的V enn图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，则A*B＝________________.答案 {x |0≤x ≤1或x ＞2}解析 A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，A ∪B ＝{x |x ≥0}，由图可得A *B ＝∁(A ∪B )(A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x ＞2}．命题角度2 补集性质在解题中的应用例3 关于x 的方程：x 2＋ax ＋1＝0，① x 2＋2x －a ＝0，② x 2＋2ax ＋2＝0，③若三个方程至少有一个有解，求实数a 的取值范围．解假设三个方程均无实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＝a 2－4<0，Δ2＝4＋4a <0，Δ3＝4a 2－8<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a <－1，－2<a < 2.解得－2<a <－1，∴当a ≤－2或a ≥－1时，三个方程至少有一个方程有实根，即a 的取值范围为{a |a ≤－2或a ≥－1}．反思与感悟运用补集思想求参数取值范围的步骤：(1)把已知的条件否定，考虑反面问题；(2)求解反面问题对应的参数的取值范围；(3)求反面问题对应的参数的取值集合的补集．跟踪训练3 若集合A ＝{x |ax 2＋3x ＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．解假设集合A 中含有2个元素，即ax 2＋3x ＋2＝0有两个不相等的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝9－8a >0，解得a <98且a ≠0，则集合A 中含有2个元素时，实数a 的取值范围是{a |a <98且a ≠0}．在全集U ＝R 中，集合{a |a <98且a ≠0}的补集是{a |a ≥98或a ＝0}，所以满足题意的实数a 的取值范围是{a |a ≥98或a ＝0}．类型三集合的综合运算例4 (1)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩(∁U B )等于()A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．∅ 答案 A解析 ∵∁U (A ∪B )＝{4}， ∴A ∪B ＝{1,2,3}，又∵B ＝{1,2}，∴∁U B ＝{3,4}， A 中必有3，可以有1,2，一定没有4. ∴A ∩(∁U B )＝{3}．(2)已知集合A ＝{x |x ≤a }，B ＝{x |1≤x ≤2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是________．答案 {a |a ≥2}解析 ∵∁R B ＝{x |x <1或x >2}且A ∪(∁R B )＝R ， ∴{x |1≤x ≤2}⊆A ，∴a ≥2.反思与感悟解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分．有限集混合运算可借助Venn 图，与不等式有关的可借助数轴．跟踪训练4 (1)已知集合U ＝{x ∈N |1≤x ≤9}，A ∩B ＝{2,6}，(∁U A )∩(∁U B )＝{1,3,7}， A ∩(∁U B )＝{4,9}，则B 等于( ) A ．{1,2,3,6,7} B ．{2,5,6,8} C ．{2,4,6,9} D ．{2,4,5,6,8,9}答案 B解析根据题意可以求得U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，画出Venn 图(如图所示)，可得B ＝{2,5,6,8}，故选B.(2)已知集合U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，A∩(∁U B)．解如图所示．∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，∴∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，∁U B＝{x|x<－3或2<x≤4}．A∩B＝{x|－2<x≤2}，∴(∁U A)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}．1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁U M等于()A．U B．{1,3,5}C．{3,5,6} D．{2,4,6}答案 C2．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于()A．{1,3,4} B．{3,4}C．{3} D．{4}答案 D3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁R S)∪T等于()A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}答案 C4．设全集U＝R，则下列集合运算结果为R的是()A．Z∪∁U N B．N∩∁U NC．∁U(∁U∅) D．∁U Q答案 A5．设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩(∁U N)＝{2,4}，则N等于()A．{1,2,3} B．{1,3,5}C．{1,4,5} D．{2,3,4}答案 B1．全集与补集的互相依存关系(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R 就是全集．因此，全集因研究问题而异．(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．(3)∁U A的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系．2．补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A求A.课时作业一、选择题1．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为()A．{1,2,4} B．{2,3,4}C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}答案 C解析∁U A＝{0,4}，所以(∁U A)∪B＝{0,2,4}，选C.2．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A等于() A．{1,3} B．{3,7,9} C．{3,5,9} D．{3,9}答案 D解析如图，阴影部分为(∁U B)∩A，∴A＝{3,9}．3．已知全集U ＝{1,2，a 2－2a ＋3}，A ＝{1，a }，∁U A ＝{3}，则实数a 等于( ) A ．0或2 B ．0 C ．1或2 D ．2答案 D解析由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，a 2－2a ＋3＝3，则a ＝2.4．图中的阴影部分表示的集合是( )A ．A ∩(∁UB ) B ．B ∩(∁U A )C ．∁U (A ∩B )D ．∁U (A ∪B )答案 B解析阴影部分表示集合B 与集合A 的补集的交集．因此阴影部分所表示的集合为B ∩(∁U A )．5．已知U 为全集，集合M ，N ⊆U ，若M ∩N ＝N ，则( ) A ．∁U N ⊆∁U M B ．M ⊆∁U N C ．∁U M ⊆∁U N D ．∁U N ⊆M 答案 C解析由M ∩N ＝N 知N ⊆M .∴∁U M ⊆∁U N .6．设全集U ＝{x ∈N |x ≥2}，集合A ＝{x ∈N |x 2≥5}，则∁U A 等于( ) A ．∅ B ．{2} C ．{5} D ．{2,5} 答案 B解析因为A ＝{x ∈N |x ≤－5或x ≥5}，所以∁U A ＝{x ∈N |2≤x <5}，故∁U A ＝{2}．二、填空题7．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝______，(∁U A )∩(∁U B )＝________.答案 {x |0<x <1} {x |0<x <1}解析A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．∁U A＝{x|x>0}，∁U B＝{x|x<1}，∴(∁A)∩(∁U B)＝{x|0<x<1}．U8．若全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x>0，y>0}，则点(－1,1)________∁U A.(填“∈”或“∉”)答案∈解析显然(－1,1)∈U，且(－1,1)∉A，∴(－1,1)∈∁U A.9．设U＝R，已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，且(∁U A)∪B＝R，则实数a的取值范围是________．答案{a|a≤1}解析∁U A＝{x|x≤1}，∵(∁U A)∪B＝R，∴B⊇{x|x>1}，∴a≤1.10．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x<0或x>1}，则图中阴影部分所表示的集合为________．答案{x|x≤1或x>2}解析如图，设U＝A∪B＝R，A∩B＝{x|1<x≤2}，∴阴影部分为∁U(A∩B)＝{x|x≤1或x>2}．三、解答题11．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪(∁U A)＝R，B∩(∁U A)＝{x|0<x<1或2<x<3}，求集合B.解∵A＝{x|1≤x≤2}，∴∁U A＝{x|x<1或x>2}．又B∪(∁U A)＝R，A∪(∁U A)＝R，可得A⊆B.而B∩(∁U A)＝{x|0<x<1或2<x<3}，∴{x |0<x <1或2<x <3}⊆B . 借助于数轴可得B ＝A ∪{x |0<x <1或2<x <3}＝{x |0<x <3}．12．已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，求实数m 的值．解 A ＝{－1,2}，B ∩(∁U A )＝∅等价于B ⊆A . 当m ＝0时，B ＝∅⊆A ；当m ≠0时，B ＝{－1m}．∴－1m ＝－1或－1m ＝2，即m ＝1或m ＝－12.综上，m 的值为0,1，－12.13．设全集为R ，A ＝{x |3<x <7}，B ＝{x |4<x <10}． (1)求∁R (A ∪B )及(∁R A )∩B ；(2)若C ＝{x |a －4≤x ≤a ＋4}，且A ∩C ＝A ，求a 的取值范围．解 (1)∵A ∪B ＝{x |3<x <10}， ∴∁R (A ∪B )＝{x |x ≤3或x ≥10}．又∵∁R A ＝{x |x ≤3或x ≥7}， ∴(∁R A )∩B ＝{x |7≤x <10}． (2)∵A ∩C ＝A ，∴A ⊆C .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋4≥7，a －4≤3⇒⎩⎨⎧a ≥3，a ≤7⇒3≤a ≤7.∴a 的取值范围为{a |3≤a ≤7}．四、探究与拓展14.如图，已知I 是全集，A ，B ，C 是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A ．(∁I A ∩B )∩C B ．(∁I B ∪A )∩C C ．(A ∩B )∩(∁I C )D ．(A ∩∁I B )∩C 答案 D解析由题图可知阴影部分中的元素属于A ，不属于B ，属于C ，则阴影部分表示的集合是(A ∩∁I B )∩C .15．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝{(x ，y )|y －3x －2＝1}，P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，求∁U (M ∪P )．解集合M 表示的是直线y ＝x ＋1上除去点(2,3)的所有点，集合P 表示的是不在直线y ＝x ＋1上的所有点，显然M ∪P 表示的是平面内除去点(2,3)的所有点，故∁U (M ∪P )＝{(2,3)}．。

高一数学集合的运算试题答案及解析

高一数学集合的运算试题答案及解析1.设全集，集合,则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，，所以.故选D.【考点】集合的简单运算.2.已知集合，，则（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以；又因为，所以.【考点】集合的运算.3.已知全集U=R，A={x|﹣3＜x≤6，}，B={x|x2﹣5x﹣6＜0，}．求：（1）A∪B；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】解题思路：由题意，先解出一元二次不等式，化简集合B，再求出集合B的补集，再由交、并的运算法则解出即可.规律总结：在处理集合间的运算问题时，往往先化简集合，再结合数轴求集合间的交、并、补集. 试题解析：（1），则；（2），则 .【考点】交、并、补集的运算.4.已知集合，，且，则实数的值是．【答案】.【解析】∵，，∴.【考点】集合间的关系.5.已知集合，则满足A∩B=B的集合B可以是( )A．{0，}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|0＜x＜}D．{x|x＞0}【答案】C【解析】利用复合函数的值域知识可得A={y|0<y},因为A∩B=B，所以B A，所以答案是C.【考点】(1)复合函数；（2）集合的运算.6.已知全集，设集合，集合，若，求实数a的取值范围.【答案】.【解析】先解方程，的x=a,-4将a,与-4比较进行讨论，再利用得进行求解.试题解析：因为，又因为2分当时满足，此时 4分当时若，则 6分当时，满足，此时 8分综合以上得：实数的取值范围,所以 10分.【考点】1.一元二次不等式的解法；2.集合的运算.7.已知全集则（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】找出全集U中不属于A的元素，确定出A的补集，找出既属于A补集又属于B的元素，即可确定出所求的集合,∵全集U={1，2，3，4}，A={1，2}，∴∁UA={3，4}，又B={2，3}，则（∁UA）∪B={2，3，4},故选C.【考点】交、并、补集的混合运算．8.以知集合，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，即，，，【考点】指数不等式的运算和集合的运算9.集合，，则．【答案】【解析】根据，集合A与集合B中的公共元素为4,7，所以【考点】集合的运算10.已知集合，，则=A．B．C．D．【答案】A【解析】,,，故选：A.【考点】集合的运算11.已知，集合，.（Ⅰ）若，求,；（Ⅱ）若，求的范围.【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）将代入得到集合，然后计算并集和交集；（Ⅱ）结合数轴由,集合B的左端点大于等于1，右端点小于等于4，于是，特别注意端点值是否可以取等号。