第十讲(列方程解复杂的行程问题)
列方程解应用题(行程问题)教案设计
列方程解应用题（行程）【教学目标】1．会解决两个物体运动的简单实际问题。
2．理解行程问题解决的关键，弄清楚物体运动的具体情况，具体问题具体分析。
3．尝试列方程解决较复杂的相遇问题、追及问题和相离问题。
4. 感受数学在现实生活中的应用价值，体会数学学习的乐趣。
【教学重点】理解和掌握行程问题的等量关系；【教学难点】理解和掌握行程问题的等量关系；【教学过程】解答行程问题的关键是要弄清物体运动的具体情况，如运动的方向（相向、同向、背向），出发的地点（两地、同地），出发的时间（同时、先后），运动的路径（封闭、不封闭），运动结果（相遇、相距、交错而过、追及等等）。
1．相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程 ( v1 + v2 ) ×t相遇 = s相遇2. 追及问题：速度差×追及时间=相差路程 ( v1 - v2 ) ×t追及 = s追及看图说图意和等量关系，并列出方程。
？小时相遇100千米/小时80千米/时客车乙轿车？小时追上填空；（1）沪宁高速公路全长约270千米，一辆轿车和一辆吉普车同时从两地出发，相向而行。
轿车平均每小时行115千米，吉普车平均每小时行101千米，几小时后两车在途中相遇？解：设（）。
数量关系式是：（）○（）=（）方程是：（）（2）在公路上，一辆卡车正以35千米/时的速度行驶，在离卡车9千米的地方，一辆轿车正以50千米/时的速度赶上来，轿车几小时后在途中追上卡车？解：设（）。
数量关系式是：（）=（）方程是：（）（3）车间里的几个师傅计划合作一批零件，如果每人做25个，那么比计划少25个，如果每人做30个，那么正好完成计划。
车间里共有几位工人师傅？一共计划做多少个零件？解：设（）。
数量关系式是：（）=（）方程是：（）选择（1）东西两村相距750米，甲乙两人同时分别从东西两村出发向西而行，甲每分行10米，乙每分行75米，几分后甲追上乙？解：设X分钟后甲追上乙。
实际问题与一元一次方程(行程问题)
1. 谈谈你的收获. 2.你还有什么疑惑吗？
相遇问题: 甲路程＋乙路程＝总路程 追及问题: 追者路程＝被追者路程＋相隔距离
<1>学会借助线段图分析等量关 系;
<2>在探索解决实际问题时,应 从多角度思考问题.
放映结束 感谢各位的批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步
一列客车和一列货车同时从两地车 站相对开出,货车每小时行35千米, 客车每小时行45千米,2.5小时相遇, 两车站相距多少千米？
速度、路程、时间之间的关系? 路程＝ 速度×时间 速度＝ 路程÷时间 时间＝ 路程÷速度
导入
想一想回答下面的问题：
1、A、B两车分别从相距S千米的甲、乙两地同时出 发,相向而行,两车会相遇吗？
精讲 例题
分
析
例1、 A、B两车分 别停靠在相距240千米
线段图分析：
的甲、乙两地,甲车每 小时行50千米,乙车每 小时行30千米.
A 50 x
甲
80千米
30 x B
乙
〔2若两车同时相向而 行,请问B车行了多长时 第一种情况： 间后两车相距80千米？ A车路程＋B车路程＋相距80千米=
相距路程
相等关系：总量=各分量之和
3若解两：车设相〔y向小4而8时+行后60,慢两X=车车1先6相2开距出2710小公时里,再,由用题多意少得时：间
4两两车车同〔才时4能同8+相向解60遇 而得y行？：+1〔X6=2快1=.2车57在0 后面,几小时后快车 解可答：以：设追两再解上列用得慢火z：车车小？同时时两相车y向才=1而能行相,遇1.,5由小题时意可得以：相遇
解：设小王追上连队需要x小时，则小王行驶的路程为 14x千米，连队所行路程是 (6 18 6x) 千米 60 等量关系：小王所行路程=连队所行路程
【五年级下册数学】04-列方程解应用题(行程问题)-教师-徐汇
列方程解应用题（行程）【教学目标】1．会解决两个物体运动的简单实际问题。
2．理解行程问题解决的关键，弄清楚物体运动的具体情况，具体问题具体分析。
3．尝试列方程解决较复杂的相遇问题、追及问题和相离问题。
4. 感受数学在现实生活中的应用价值，体会数学学习的乐趣。
【教学重点】理解和掌握行程问题的等量关系；【教学难点】理解和掌握行程问题的等量关系；【教学过程】解答行程问题的关键是要弄清物体运动的具体情况，如运动的方向（相向、同向、背向），出发的地点（两地、同地），出发的时间（同时、先后），运动的路径（封闭、不封闭），运动结果（相遇、相距、交错而过、追及等等）。
1．相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程( v1 + v2 ) ×t相遇= s相遇2. 追及问题：速度差×追及时间=相差路程( v1 - v2 ) ×t追及= s追及【例题精讲】【例1】甲、乙两站的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶72千米；一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米．（1）两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？（2）快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少小时两车相遇？（3）若两车同时开出，同向而行，快车在慢车的后面，几小时后快车追上慢车？（4）若两车同时开出，同向而行，慢车在快车的后面，几小时后快车与慢车相距720千米？解：（1）360÷（72+48）=3小时（2）（360-72×6025）÷（72+48）=2.75小时 （3）360÷（72-48）=15小时（4）（720-360）÷（72-48）=15小时【例2】 甲、乙骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时相遇．甲比乙每小时多骑2.5千米，求甲、乙的时速各是多少？解：设乙每小时速度为x 千米/时652)5.2(=⨯++x x解得：15=x【例3】 一架飞机在两城之间飞行，风速为20千米/小时 ，顺风飞行需2小时30分，逆风飞行需要3小时。
七年级数学培优竞赛讲座第10讲--列方程解应用题——有趣的行程问题
第十讲 列方程解应用题——有趣的行程问题数学是一门具有广泛应用性的科学，我国著名数学家华罗庚先生曾说过：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁，无处不用数学”．数学应用题的类型很多，比较简单的是方程应用题，又以一元一次方程应用题最为基础，方程应用题种类繁多，以行程问题最为有趣而又多变．行程问题的三要素是：距离(s)、速度(v)、时间(t)，行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题；按运动路线可分为直线形问题、环形问题等．熟悉相遇问题、追及问题等基本类型的等量关系是解行程问题的基础；而恰当设元、恰当借助直线图辅助分析是解行程问题的技巧．例题【例1】 某人乘船由A 地顺流而下到B 地，然后又逆流而上到C 地，共乘船4小时，已知船在静水中的速度为每小时7.5千米，水流速度为每小时2.5千米，若A 、C 两地的距离为10千米，则A 、B 两地的距离为 千米． (重庆市竞赛题)思路点拨 等量关系明显，关键是考虑C 地所处的位置．注： 列方程的方法为解应用题提供—般的解题步骤和规范的计算方法，使问题“化难为易”，充分显示了字母代数的优越性，它是算术方法解应用题在字母代数础上的发展．【例2】 如图，某人沿着边长为90米的正方形，按A →B →C →D →A …方向，甲从A 以65米／分的速度，乙从B 以72米／分的速度行走，当乙第一次迫上甲时在正方形的( )．A ．AB 边上 B ．DA 边上C ．BC 边上D ．CD 边上 (安徽省竞赛题)思路点拨:本例是一个特殊的环形的追及问题，注意甲实际在乙的前面3×90=270(米)处．【例3】 父亲和儿子在100米的跑道上进行赛跑，已知儿子跑5步的时间父亲能跑6步，儿子跑?步的距离与父亲跑4步的距离相等．现在儿子站在100米的中点处，父亲站在100米跑道的起点处同时开始跑．问父亲能否在100米的终点处超过儿子?并说明理由．(重庆市竞赛题)思路点拨 把问题转化为追及问题，即比较父亲追上儿子时，儿子跑的路程与50的大小，为了理顺步长、路程的关系，需增设未知数，这是解题的关键．【例4】 钟表在12点钟时三针重合，经过多少分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分? (湖北省数学竞赛选拔赛试题)思路点拨 先画钟表示意图，运用秒针分别与时针、分针所成的角相等建立等量关系，关键是要熟悉与钟表相关的知识．注： 明确要求将数学开放性问题作为考试的试题，是近一二年的事情，开放题是相对于常规的封闭题而言，封闭题往往条件充分，结论确定，而开放题常常是条件不充分或结论不确定，思维多向．解钟表上的行程问题，常用到以下知识：(1)钟表上，相邻两个数字之间有5个小格，每个小格表示1分钟，如与角度联系起来，每一小格对应6°；(2)分针走一周，时针走121周，即分针的速度是时针速度的12倍．【例5】 七年级93个同学在4位老师的带领下准备到离学校32千米处的某地进行社会调查，可是只有一辆能坐25人的汽车．为了让大家尽快地到达目的地，决定采用步行与乘车相结合的办法。
五年级奥数学第10讲行程问题
相遇次数： 1， 2， 3， 4 两人所走走程和;S， 3S， 5S， 7S 则甲乙两地相距：1.4*3-0.6=3.6千米（？） 第4次相遇时，2人共走了7S，那么小赵的路程是 1.4*7=9.8 9.8/3.6=2……2.6（即9.8除以3.6等于2，余数是2.6， 即，小赵从甲地走到乙地，又回到甲地，又走了2.6千 米），也就是距离甲地2.6千米。
4．行程问题的电梯问题
电梯问题核心公式: 异向：电梯级数=（人速-电梯速）*时间， 同向：电梯级数=（人速+电梯速）*时间
• 例1 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个 孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男 孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯 级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。 则当该扶梯静止时，可看到的扶梯级有： A.80级 B.100级 C.120级 D.140级 • 解析:若设电梯匀速时的速度为X，可列方程： (X+2)×40=(X+3/2)×50 解得 X=0.5 也即扶梯静止时可看到的扶梯级数= （2+0.5）1千米又逆流航行4
千米，第二天在同一河道中顺流航行12千米， 逆流航行7千米，结果两次所用的时间相等，假 设船本身速度及水流速度保持不变，则顺水船 速与逆水船速之比是： A.2.5：1 B.3：1 C.3.5：1 D.4：1
解析：典型流水问题。如果设逆水速度为 V，设
2011湖南选调：
• 电梯速：(2*50-16/6*30)/(50-30)=1 • 电梯级数=（2-1）*50=（X-1)*20
5.环形运动问题：
例1 甲、乙、丙三人沿着400米环形跑道进行
800米跑比赛，当甲跑1圈时，乙比甲多跑1/7圈。 丙比甲少跑1/7圈。若他们各自跑步的速度始终 不变，则当乙到达终点时，甲在丙前面：
行程问题
教研组长（签字） 课后反思
校长（签字）
本次课后作业 学生对本次课评价： +（105）:老师备课特别充分，讲课特别生动，上课特别有效。 A（99） ：老师备课很充分，讲课很生动，上课很有效。 B（80） ：老师备课比较充分，讲课比较生动，上课比较有效。 C（50） ：老师备课一般，讲课一般，上课一般。 D（0） ：老师备课混乱，讲课水平低，上课没有效。 学生签字： 教师评定： 1. 学生上次作业评价评价： 2. 学生本次上课情况评价： 教师签字：
到队伍前面送信，送到后立即返回队尾，共用 13.2 分钟。则队伍的长度是多少千 米？
7. 倩倩与欣欣家相距 1.8 千米，有一天，倩倩与欣欣同时从各自家里出发，向对 方家走去，倩倩家的狗和倩倩一起出发，小狗先跑去和欣欣相遇，又立刻回头跑 向倩倩，又立刻跑向欣欣„一直在倩倩与欣欣之间跑动。已知倩倩 50 米/分，欣 欣 40 米/分， 倩倩家的狗 150 米/分， 求倩倩与欣欣相遇时， 小狗一共跑了多少米？
6.一架飞机飞行在两个城市之间，风速为 24 千米/时. 顺风飞行需要 2 小时 50 分，逆风飞行需要 3 小时. 求飞机在无风时的速度及两城之间的飞行路程.
7. 一支部队排成 1.2 千米队行军， 在队尾的张明要与在最前面的营长联系，他用 6 分钟时间追上了营长。为了回到队尾，在追上营长的地方等待了 18 分钟。如果 他从最前头跑步回到队尾，那么用多少时间？
5. 高石荷同学在十一假期去青年公园玩， 在溪流边的 A 码头租了一艘小艇逆流 而上，划行速度约 4 千米/时，到 B 地后沿原路返回，速度增加了 50%，回到 A 码头比去时少花了 20 分钟。求 A、B 两地之间的路程。
6. 某队伍以 7 千米每小时的速度前进，在队尾的通讯员以每时 11 千米的速度赶
小学五年级下册数学思维训练(奥数) 《列方程解应用题(行程问题)》(含答案)
列方程解应用题（行程问题）专题解析相遇是行程问题的基本类型，在相遇问题中可以这样求全程：速度×时间=路程。
今天，我们学习此类问题。
例1 AB两地相距352千米.甲乙两辆汽车从A、B两地相对开出.甲车每小时行36千米,乙车每小时行44千米.乙车因有事,在甲车开出32千米后才出发,再出多少小时两车相遇?分析解答：要想求出两车的相遇时间，必须找到速度和、时间和总路程的数量关系式。
速度和×时间+甲先行的路程=总路程，其中甲车的速度，乙车的速度，甲先行的路和总路程已知，所以只要设时间为X小时，就可以列出方程。
解：设X小时两车相遇。
(36+44)×x+32=35280x+32=35280x=320x=4答：4小时后两车相遇。
随堂练习：甲乙两地相距300千米，客车从甲地开往乙地，每小时行40千米。
1小时后，货车从乙地开往甲地，每小时行60千米。
货车出发几小时后与客车相遇？例2 甲乙两人从A、B两地相向而行，甲乙两人从AB两地同时出发相向而行，甲每分钟行52米，乙每分钟行48米，两人走了10分钟后交叉而过，且相距64米，甲从A地到B地需多少分钟？分析解答：这道题目要求甲从A地到B地需要的时间，就发必须知道A、B两地相距的路程和甲的速度，现在甲的速度已知，所以这道题目的键就在于通过列方程求出A、B两地的相距的路程。
解：设A、B两会相距x米(52+48)×10-x=641000-x=64x=936936÷52=18(分)答：甲从A地到B地需18分钟。
随堂练习从A地到B地，水路比公路近40千米。
上午8时，一艘轮船从A地驶向B地，3小时后一辆汽车从A地到B地，它们同时到达B 地，轮船的速度是每小时24千米，汽车的速度是每小时40千米，求A地到B地水路、公路是多少千米？例3 小明和小童分别从一座桥的两端同时相向出发，往返于两端之间小明每分钟走60米，小童每分钟走75米，经过6分钟两人第二次相遇，这座桥长多少米？分析解答：第一次相遇就是行了一个全程，第二次相遇就是行了三个全程。
小学数学高年级思维训练行程问题十个专题突破含详解
小学数学高年级思维训练：行程问题（一）相遇问题相遇问题主要研究两个物体在运动中速度、时间和路程之间的数量关系。
基本数量关系：速度和×时间 = 相遇路程相遇路程÷速度和 = 时间相遇路程÷时间 = 速度和时间相同，速度之比 = 路程之比速度相同，时间之比 = 路程之比路程相同，时间之比 = 速度的反比审题时要注意关键信息，是否同时出发，运动方向是同向、相向、相背还是往返，相遇还是相距，相遇次数（本专题相遇次数均为1次），单位是否需要换算。
解题方法包括图示法、公式法、比例法、方程法。
两个物体同时出发，相遇所用的时间是相同的。
运动过程可分为相遇前、相遇时、相遇后。
解题思路一般是分析已知条件中的数量关系，寻找等量关系，稍复杂的试题可画出线段图辅助分析。
甲、乙两人分别从相距260千米的A、B两地同时沿笔直的公路乘车相向而行，各自前往B 地、A地。
甲每小时行32千米，乙每小时行48千米。
甲、乙各有一个对讲机，当他们之间的距离小于20千米时，两人可用对讲机联络。
问：（1）两人出发后多久可以开始用对讲机联络？（2）他们用对讲机联络后，经过多长时间相遇？（3）他们可用对讲机联络多长时间？【答案】（1）3小时（2）0.25小时（3）0.5小时【解析】【分析】（1）因为当他们之间的距离小于20千米时，两人可用对讲机联络。
所以他们两人出发后开始用对讲机联络时所走的时间等于总路程减去20千米的差除以两人速度和。
（2）相遇的时间等于相距的路程除以两人速度和。
（3）用对讲机联络时间包括相遇前20千米和相遇后20千米所用的时间和。
【详解】（1）（260－20）÷（32＋48）＝240÷80＝3（小时）答：两人出发后3小时可以开始用对讲机联络。
（2）20÷（32＋48）＝20÷80＝0.25（小时）答：他们用对讲机联络后，经过0.25小时相遇。
（3）（20＋20）÷（32＋48）＝40÷80＝0.5（小时）答：他们可用对讲机联络时间是0.5小时。
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精典专题：列方程解复杂的行程问题
（第十讲）
一、导入
开心一笑
二、专题要点
很多稍复杂的应用题，运用算术方法解答有一定困难，列方程解答就比较容易。
列方程解答行程问题的优点是可以使未知道的数直接参加运算，列方程时能充分利用我们熟悉的数量关系。
因此，对于一些较复杂的行程问题，我们可以用题中已知的条件和所设的未知数，根据自己最熟悉的等量关系列出方程，方便解题。
三、典型例题及变式练习
【例1】一辆汽车从甲地开往乙地，平均每小时行
20千米。
到乙地后又以每小时
30千米的速度返回甲地，
往返一次共用
7.5小时。
求甲、乙两地间的路程。
变式练习1、一架飞机所带的燃料最多可用
9小时，飞机去时顺风，每小时可飞1500千米；返回时逆风，
每小时可飞1200千米。
这架飞机最多飞多少千米就要往回飞？
：
玛丽太太因闯红灯上法庭。
法官盯着她看，问：玛丽太太？是的。
你以前在西区小学当老师？是的，你怎么知道？法官笑了，我曾是你的学生。
玛丽太太也笑了，轻松起来。
法官接着说，我等这一天等了20多年，现在罚你抄一千遍
“我闯红灯错了，以后再也不犯了。
”
Let
me try ！
【例2】一个通讯员骑自行车需要在规定的时间内把信件送到某地，如果他每小时走15千米可早到0.4小时，如果他每小时走12千米就要迟到0.25小时，他去某地的路程有多远？
变式练习2、小李由乡里到县里办事，每小时行4千米，到预定到达的时间里，离县城还有 1.5千米。
如果小李每小时走 5.5千米，到预定到达的时间时，又会多走 4.5千米。
乡里距县城多少千米？
【例3】东、西两地相距5400米，甲、乙二人从东地、丙从西地同时出发，相向而行。
甲每分钟行55米，乙每分钟行60米，丙每分钟行70米。
多少分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点处？
“海中绿洲”打
一城市
变式练习3、A、B、C三地在一条直线上，如图所示：
A、B两地相距2千米，甲、乙两人分别从A、B两地同时向C地行走，甲每分钟走35米，乙每分钟走
45米。
经过几分钟B地在甲、乙两人之间的中点处？
【例4】快、慢两车同时从A地到B地，快车每小时行54千米，慢车每小时行48千米。
途中快车因故停
留3小时，结果两车同时到达B地。
求A、B两地间的距离。
变式练习4、甲每分钟行120米，乙每分钟行80米。
二人同时从A地出发去B地，当乙到达B地时，甲已在B地停留了2分钟。
A地到B地的路程是多少米？
【例5】一位同学在360米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑
4米。
求他后一半路程用了多少时间？
变式练习5、小华在240米长的跑道上跑了一个来回，已知他前一半时间每秒跑6米，后一半时间每秒跑4米。
求他返回时用了多少秒。
家庭作业
1、汽车从甲地开往乙地送货。
去时每小时行30千米，返回时每小时行40千米，往返一次共用8小时45分。
求甲、乙两地间的路程。
2、小王骑摩托车从B地到A地去开会。
如果每小时行50千米，就要迟到0.2小时，如果每小时行
60千米，就会早到1小时，求A、B两地的距离。
3、老师今年32岁，学生今年8岁。
再过几年老师的年龄是学生的3倍？
4、甲、乙二人同时从学校骑车出发去江边，甲每小时行15千米，乙每小时行20千米。
途中乙因修车停留了24分钟，结果二人同时到达江边。
从学校到江边有多少千米？
5、小明在420米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑8米，后一半时间每秒跑6米。
求他后一半路程用了多少时间？
课堂过手练习
姓名：成绩：
1、师徒二人加工一批零件。
师傅每小时加工35个，徒弟每小时加工28个。
师傅先加工了这批零件
的一半后，剩下的由徒弟去加工。
二人共用18小时完成了加工任务。
这批零件共有多少个？
2、玲玲从家到县城上学，她以每分钟50米的速度走了2分钟后，发现按这个速度走下去要迟到8分钟，于是她加快了速度，每分钟多走10米，结果到学校时，离上课还有5分钟。
玲玲家到学校的路程
是多少米？
3、东、西两镇相距60千米。
甲骑车行完全程要4小时，乙骑车行完全程要5小时。
现在两人同时从东镇到西镇去，经过多少小时后，乙剩下的路程是甲剩下路程的4倍？
4、兄弟二人同时从家往学校走，哥哥每分钟走90米，弟弟每分钟走70米。
出发1分钟后，哥哥发现少带铅笔盒，就原路返回，取后立即出发，结果与弟弟同时到达学校。
他们家离学校有多远？
5、甲、乙两地相距205千米，小王开汽车从甲地出发，计划5小时到达乙地。
他前一半时间每小时
行36千米，为了按时到达乙地，后一半时间必须每小时行多少千米？。