矢量的点积与叉积
向量中的积的符号
向量中的积的符号一、点积点积是向量中最常见的一种积的符号。
它也被称为内积或数量积。
对于给定的两个向量a和b，它们的点积表示为a·b。
点积的运算方式是将两个向量对应位置的元素相乘，并将结果相加。
例如对于两个二维向量a=(a₁,a₂)和b=(b₁,b₂)，它们的点积可以表示为a·b=a₁b₁+a₂b₂。
点积有很多重要的应用，例如计算两个向量的夹角、求解投影问题等。
二、叉积叉积是向量中另一种常见的积的符号。
它也被称为外积或向量积。
对于给定的两个向量a和b，它们的叉积表示为a×b。
叉积的运算方式是将两个向量进行运算，得到一个新的向量。
新的向量的大小和方向都与原始向量有关。
例如对于两个三维向量a=(a₁,a₂,a₃)和b=(b₁,b₂,b₃)，它们的叉积可以表示为a×b=(a₂b₃-a₃b₂,a₃b₁-a₁b₃,a₁b₂-a₂b₁)。
叉积在计算力矩、磁场等问题中有广泛应用。
三、张量积张量积是向量中另一种重要的积的符号。
它也被称为外积或叉积。
对于给定的两个向量a和b，它们的张量积表示为a⊗b。
张量积的运算方式是将两个向量进行运算，得到一个新的矩阵。
新的矩阵的维度和原始向量有关。
例如对于两个二维向量a=(a₁,a₂)和b=(b₁,b₂)，它们的张量积可以表示为：a⊗b=[[a₁b₁,a₁b₂],[a₂b₁,a₂b₂]]张量积在计算矩阵乘法、线性变换等问题中有广泛应用。
四、内积积分内积积分是向量中另一种特殊的积的符号。
它是将一个函数与另一个函数的内积进行积分计算得到的结果。
对于给定的两个函数f(x)和g(x)，它们的内积积分表示为∫f(x)g(x)d x。
内积积分有很多重要的应用，例如在量子力学中表示态矢量的正交性、计算信号的相干性等。
五、外积积分外积积分是向量中另一种重要的积的符号。
它是将一个函数与另一个函数的叉积进行积分计算得到的结果。
对于给定的两个函数f(x,y)和g(x,y)，它们的外积积分表示为∫∫f(x,y)g(x,y)dxdy。
矢量叉积运算法则
矢量叉积运算法则矢量叉积（又称向量叉乘）是矢量运算中常用的一种运算法则，用于描述两个矢量的乘积关系。
在三维空间中，矢量叉积可以表示为：C=A×B其中，A和B是两个矢量，叉积运算的结果为另一个矢量C。
叉积运算的法则主要有以下几个方面：1.叉积的定义叉积运算的定义为：C = A × B = │A││B│sinθ n其中，A和B是两个矢量，│A│和│B│分别为它们的模，θ为A和B之间的夹角，n为一个垂直于A和B所在的平面内的单位矢量。
叉积运算的结果是一个垂直于A和B所在平面的矢量C。
2.叉积的性质矢量叉积具有以下性质：（1）反交换律：A×B=-B×A（2）可分配律：A×(B+C)=A×B+A×C（3）结合律：A×(B×C)=(A·C)B-(A·B)C其中，×表示叉积运算，·表示点积运算。
3.叉积的几何意义矢量叉积具有一定的几何意义，可以帮助我们理解和应用。
叉积的几何意义主要包括：（1）求得平行四边形的面积：若A和B是两个矢量，则它们的叉积C的模等于由A和B所构成的平行四边形的面积。
（2）求得垂直于A和B所在平面的矢量：叉积结果C的方向是垂直于A和B所在平面的，且满足右手定则，即若右手四指指向A，中指指向B，则拇指指向C的方向。
（3）判别两个矢量的相对方向：若A和B的夹角θ小于180°，则A和B的叉积C的方向与此夹角对应的平面内的法线方向一致；若θ大于180°，则C的方向与此法线方向相反。
（4）求得与矢量A和B均垂直的矢量：若A和B均为非零矢量且夹角θ为90°时，叉积C的模为A和B的模乘积，方向则由右手定则给出。
4.叉积的计算方法若给定A和B的坐标表示形式，可以通过行列式的计算方法求得矢量叉积。
设A=(A₁,A₂,A₃)，B=(B₁,B₂,B₃)，则矢量C的坐标表示为C=(C₁,C₂,C₃)，其中：C₁=A₂B₃-A₃B₂C₂=A₃B₁-A₁B₃C₃=A₁B₂-A₂B₁叉积运算在物理学、工程学和数学等领域中都有广泛的应用。
矢量点积叉积在C3I系统中的应用
一 审 苴 ． 。］— ———
一
（ ＡＴ＋ ） ｉ Ｈ ｓ ｎ
， １
（ ＡＴ＋ ）ＣＳ ＯＨ
两个矢量 ａ与 ｂ的矢量积仍是一个矢量 ， Ｃ ｘｂ 其模为 记作 ＝ａ ，
×ｂＸ ｉ妒 （ ｌ ｎ 为两矢量夹角） Ｉｓ ， 其方向由 到易 按右手法则决定， 且
ｎ １ ａ ＋ａ） ＝Ｏ ＋ ＝（ ｙ， ｂ ）
”Ｉ Ｐ ｂ Ｉ ｊ￣ Ｉ ’ ： Ｉ ｌｌ ｓ ｉ ｎ
Ｓ ａ ｌｌ ｓ ： ｌ ｂｃ ￣ ＋ｄ ＝（ 一 ） ｏｐ Ｓ Ｈ ＋ ｙ一 ／ ｎ （ ） 。
） ｌ２ （ １ ，
根据公式（和公式（ ， １ ） ２ 可得线段 （ 夹角公式 ： ） 矢量）
∞ ｃｓ ｏ ＝ 此外 ， 得矢量投影公式如下 ： 可
Ｉｌ ｓ ： ｂｃ ｏ ２３ 矢 量 叉 积 ． ２３１定 义 ． ． ， Ⅱ ｃｓ ： Ｉ Ｉｏ￣ ｏ
根据公式（３ ， １） 可确定对抗飞机与地空导弹阵地关系（ 见表 １ ） 。 （） ４ 当为条件 １ 的位置关系时 ， 由于对抗飞机已飞出杀伤区， 因此地空 导 弹阵地将 无法射 击对抗 飞机 。 当为条件 ２的位置关系时 ，地空导弹阵地应该立即开火 ，因此 （） ５ ＡＴ ０预计 杀伤位 置如下 ： ＝，
关键 词 ： 矢量 叉 积 ； 矢量 点积 ； 积 应 用 ； 积 应 用 叉 点
表 １对抗飞机 与地 空导弹位置关 系描述表 在 系统软件开发过程 中 ，往往需要 计算各种 序号 位置芜 几何关 系 ， 利用矢 量算法计算 ， 笔者认 为可大大 降 条件 ｌ ｓ＜ ｎ ＞ Ｒ 己飞出杀往区 低算 法的复杂程度 以及减少运算 时间 。在 Ｃ Ｉ ３ 系 且Ｊ ａ＜ 但仍在杀伤区内 ０ ，Ｔ ６ Ｙ］ 统 中 ，由于角度 定义 与普通 坐标 系存 在差 异 ， ２ Ｓ＜Ｄ Ｒ 因 Ｒ 且 已ｉ 磉 伤区 此 ，有关公式与算 法的表达形式 与普通坐标 系中 ３ Ｓ＞Ｑ尉 ａ ＞ ｆＩ １Ｒ ｏ． ） ａ 表达形式有所不 同。在本文 中， 介绍 了 Ｃ Ｉ ３ 系统中 ４ 但 断辐 伤区 图１ 地空导弹与飞机对抗图例 矢量 的表达式 ， 归纳 了矢量 点积 、 量叉积 的计算 矢 达式数值小于 ０时， 说明点在线段的右侧 ， 当数值大于 ０ ， 时 说明点在线 方法 ， 最后 ， 通过“ 计算地 空导 弹阵地射 击对抗 目标参数” 例子 ， 具体 段 的左侧 。 说 明了矢量点积与叉积在 Ｃ Ｉ ３ 系统 中的应用 。 ３算例 ２矢 量 叉 积 、 积 基础 知识 点 假设某地空导弹阵地 ， 其位置中心为点 ＯＸ ，＠其火力杀伤范围是 （ｏ ， Ｘ ２１ Ｃ Ｉ ． ３ 系统 中矢量表达式 个半径为 Ｒ的圆， 所装备的地空导弹平均飞行速度为 Ｖ 单位 ： ／ 米 在 ＣＩ ３ 系统 中， 一般 可以采用两种方式来表示一个矢量 。当已 相 （ 知 矢 量 长 度 （） ｒ 和角 度 ｆ） ， 量 可 表 示 为 ｒ ； 当 已 知矢 量 ｘ 秒沮 具有尾 追杀伤 能力 ， 应与之 对抗 飞机 的位 置 Ｔ。 飞行航 向为 Ｈ时 矢 Ｘ 而 ｅ （ ， 飞行速度为 Ｖ 单位： ／ ， 米 秒） 其位置关系如图 １ 。 分量 、 Ｙ分量 时 Ｙ ， ）矢量 也可表示 为 ｉ ＋Ｙ， 该表 达式与平 面坐 Ｈ 单位弧度） 计算对抗飞机距离地空导弹的航路捷径 Ｐ 计算预计开火时间Ａ ， Ｔ， 标系 中矢量表达式存在 一定的差异 ， 主要是 因为在 Ｃ Ｉ ３ 系统 中的是 预 计杀伤 位置 （ ， ） ｘ 。 以正北方 向为 ０度 ， 而在平 面坐标 系中是 以 ｘ轴 方向为 ０度 。 解： 如图， 假设 而 矢量为 其起 为 （ ， ， ｘ ， 其终点为 （ ｃ其表 ） ｘ ） ， ２２ 矢 量 点 积 与 应 用 ．
矢量的叉积和点积计算
⽮量的叉积和点积计算标量（Scalar，标量是只有模没有⽅向的量，即距离）。
⽮量（Vector，也称为向量，⽮量是有模和⽅向但没有位置的量，即⽅向加速度）。
点（点是没有⼤⼩之分的位置）。
1.标量k和⽮量v的乘除： 相乘：kv=(k*vx, k*vy, k*vz); 相除：v/k=(vx/k, vy/k, vz/k);只有⽮量可以被标量除，标量不能被⽮量除，那样是没有意义的。
2.⽮量a和标量b的加减： 相加：a+b=(ax+bx, ay+by, az+bz); 相减：a-b=(ax-bx, ay-by, az-bz);3.⽮量的模： ⽮量的模是⼀个标量，可以理解为⽮量在空间内的长度。
公式：|v|=√(vx²+vy²+vz²);4.单位⽮量（⽮量归⼀化） 单位⽮量（即模为1的⽮量），任何给定的⾮零⽮量转换为单位⽮量的过程被称为归⼀化。
在⽮量的头上加⼀个 ^ 表⽰单位⽮量。
公式：^v = v/|v|,v是任意⾮零⽮量。
5.⽮量的点积 dot(a,b) 点积的名称来源于其符号：a·b。
点积的计算结果是⼀个模。
点积的计算⽅式有两种： 公式⼀：a·b = ax*bx + ay*by + az*bz; 公式⼆：a·b = |a|*|b|*cosΘ; (可推出^a·^b = cosΘ). 点积有很多重要的性质： 性质⼀：点积可结合标量相乘。
如：设k为标量，k(a·b）= a·(kb) = (ka).b; 性质⼆：点积可以结合⽮量的加减法。
如：a·(b+c) = a·b + a·c; a·(b-c) = a·b + a·-c; 性质三：⽮量⾃⼰和⾃⼰的点积等于该⽮量的模的平⽅。
如：v·v = vxvx + vyvy + vzvz = |v|²； 性质四：两个单位⽮量的点积等于他们夹⾓的余弦值。
C8_2点积叉积
c (a b ) (b c )a (a c )b
内容小结
设 a (a x , a y , a z ) , b (bx , by , bz ) , c (c x , c y , c z ) 1. 矢量运算 加减: 数乘: 点积: 叉积:
a b c c Pr jc a b c Pr jc a Pr jc b
c Pr jc a c Pr jc b a c b c
例1. 证明三角形余弦定理
c a b 2ab cos
2 2 2
证: 如图 . 设
c x
cy
ax a y bx b y
cz
cx
cy
cz
3. 性质
(1) 三个非零矢量 a , b , c 共面的充要条件是
a
b c 0
(2) 轮换对称性 :
[ a b c ] [ b c a ] [ c a b]
(可用三阶行列式推出)
b
a
c
例6. 已知一四面体的顶点
4 ) , 求该四面体体积 .
向径 它与 的夹角为 , 则
a
r sin
其
方向与旋转方向符合右手法则 , 在 l 上任取一点 O, 作
a
点 M离开转轴的距离
M
l
且
v r
符合右手法则
三、矢量的混合积
1. 定义 已知三矢量 a , b , c , 称数量
( a b )c
为 a , b , c 的混合积
i j k
a ax i a y j az k b bx i b y j bz k
向量的点乘和叉乘
向量的点乘和叉乘【点乘】在数学中，数量积（dot product; scalar product，也称为点积）是接受在实数R上的两个向量并返回⼀个实数值标量的⼆元运算。
它是的标准。
代数定义设⼆维空间内有两个向量和定义它们的数量积（⼜叫内积、点积）为以下实数：更⼀般地，n维向量的内积定义如下:⼏何定义设⼆维空间内有两个向量和，它们的夹⾓为，则内积定义为以下实数：该定义只对⼆维和三维空间有效。
点积的值u的⼤⼩、v的⼤⼩、u,v夹⾓的余弦。
在u,v⾮零的前提下，点积如果为负，则u,v形成的⾓⼤于90度；如果为零，那么u,v垂直；如果为正，那么u,v形成的⾓为锐⾓。
两个单位向量的点积得到两个向量的夹⾓的cos值，通过它可以知道两个向量的相似性，利⽤点积可判断⼀个多边形是否⾯向摄像机还是背向摄像机。
向量的点积与它们夹⾓的余弦成正⽐，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越⼤，说明夹⾓越⼩，则物理离光照的轴线越近，光照越强。
运算律交换律：分配律：结合律：，其中m是实数。
【叉乘】向量积，数学中⼜称外积、叉积，物理中称⽮积、叉乘，是⼀种在向量空间中向量的⼆元运算。
与点积不同，它的运算结果是⼀个向量⽽不是⼀个标量。
并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。
表⽰⽅法两个向量a和b的叉积写作a×b（有时也被写成a∧b，避免和字母x混淆）。
定义设a=(X1,Y1,Z1),b=(X2,Y2,Z2),a×b=（Y1Z2-Y2Z1,Z1X2-Z2X1,X1Y2-X2Y1）向量积可以被定义为：模长：（在这⾥θ表⽰两向量之间的夹⾓(共起点的前提下)（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个⽮量所定义的平⾯上。
）⽅向：a向量与b向量的向量积的⽅向与这两个向量所在平⾯垂直，且遵守右⼿定则。
（⼀个简单的确定满⾜“右⼿定则”的结果向量的⽅向的⽅法是这样的：若坐标系是满⾜右⼿定则的，当右⼿的四指从a以不超过180度的转⾓转向b时，竖起的⼤拇指指向是c的⽅向。
光电子技术基础矢量恒等式
光电子技术基础矢量恒等式
光电子技术基础矢量恒等式是指在光电子技术中经常用到的一些重要的矢量恒等式。
常用的光电子技术基础矢量恒等式如下：相位恒等式：e^(jθ) = cos(θ) + j*sin(θ)，其中，e表示自然对数的底。
欧拉恒等式：e^(jπ) + 1 = 0，其中，e表示自然对数的底。
波动光的速度：光速c = λ*f，其中，c表示光速，λ表示光波长，f表示光频率。
光的强度与振幅的关系：I ∝|A|^2，其中，I表示光的强度，A表示光的振幅，|A|表示振幅的模或大小。
矢量叉积恒等式：A×(B×C) = (A·C)B - (A·B)C，其中，×表示矢量的叉积，·表示矢量的点积。
矢量叉积与点积的关系：A×(B×C) = B(A·C) - C(A·B)，其中，×表示矢量的叉积，·表示矢量的点积。
平面波的叠加：E total = E1 + E2 + E3 + ...，其中，E total表示总的电场强度，E1、E2、E3等表示各个平面波的电场强度。
矢量的运算法则
z
v Az
v A
根据矢量加法运算：
vv v v A Ax Ay Az
vo
Ax
x
其中：
v
v
v
Ax Axaˆx , Ay Ayaˆy , Az Azaˆz
v Ay
y
v 所以： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
矢量运算法则
v
矢量： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
两矢量的叉积又可表示为：
v v aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
矢量运算法则
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
v vv (A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
vvv A (B C)
标量，标量三重积。
v vv A (B C)
矢量，矢量三重积。
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。
•在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即 aˆx aˆy 0, aˆx aˆz 0, aˆy aˆz 0 aˆx aˆx 1, aˆy aˆy 1, aˆz aˆz 1
有两矢量点积：
vv A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
矢量运算法则
在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下： z
vv A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
o y
x
(AyBz AzBy )aˆx (AzBx AxBz )aˆy (AxBy AyBx )aˆz
Ax Bx Ay By Az Bz •结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
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标量： 只有大小和正负，没有方向。
如：时间，质量，功，能量，温度等
矢量： 有大小又有方向。
如：位移，速度，加速度，力，动量，冲量等 表示方法：带箭头的字母或黑体字母
矢量的模和单位矢量
矢量的模： 即矢量的大小
矢量A的模表示为： r A 或A
单位矢量： 如果矢量eA的模等于1，且方
向与矢量A相同，则eA称为矢量A方向上的单位
rr rr r rr r r j i k, k j i, i k j
矢量
rr A＝ A
r eA
矢量的加法和减法
矢量加减运算遵从平行四边形（或 三角形）法则
加法
减法
矢量的点积(又称标积)
AB C
C A B cosθ
例如：力F（矢量）与位移S （矢量）的点积得 到功A （标量）
在直角坐标系中
rr rr r r i gi jgj k gk 1
r r r r rr i j jk k i 0
在直角坐标系中
F Fxi Fy j Fzk
dr
dxi
dyj
dzk
F dr Fxdx Fydy Fzdz
矢量的矢积（又称叉积）
AB C
C
B
பைடு நூலகம் C A B sin θ
方向：按右手定则判断
例如：力作用点的位置矢量r （矢量）与力 A
F注（意矢量：）的是失积A得与到力B矩M之（间失量）
小于1800的夹角
在直角坐标系中
i i j j k k 0 r r rr r r r r r i j k, j k i, k i j