向量的点积叉积与混合积
解析几何中的向量积与混合积
解析几何中的向量积与混合积向量积和混合积是解析几何中非常重要的概念。
向量积用于计算两个向量之间的垂直于这两个向量构成的平面的向量，而混合积则用于计算三个向量所构成的平行六面体的有向体积。
这两个概念虽然看似简单，但是在很多实际应用中都有广泛的应用，特别是在物理学和工程学领域。
向量积（叉积）向量积也被称为叉积，是两个向量所构成的平面上的向量，它的方向垂直于这两个向量所构成的平面，且符合右手定则。
向量积的大小等于这两个向量所构成的平行四边形的面积。
假设有两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，它们的向量积可以表示为：$$\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin{\theta}\vec{n}$$其中，$|\vec{a}|$ 和 $|\vec{b}|$ 分别是 $\vec{a}$ 和$\vec{b}$ 的模长，$\theta$ 是$\vec{a}$ 和$\vec{b}$ 之间的夹角，$\vec{n}$ 是单位法向量，表示向量积的方向。
对于向量积的计算，我们可以使用行列式方法：$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$其中，$a_1, a_2, a_3$ 和 $b_1, b_2, b_3$ 分别是向量$\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的三个分量，$\vec{i}$，$\vec{j}$ 和$\vec{k}$ 是单位向量。
我们可以通过展开这个行列式来计算向量积。
混合积混合积是三个向量所构成的平行六面体的有向体积。
假设有三个向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 和 $\vec{c}$，它们所构成的混合积可以表示为：$$[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times\vec{c})$$其中，$\vec{b} \times \vec{c}$ 表示向量积，它指向与向量$\vec{b}$ 和 $\vec{c}$ 所构成的平面垂直的方向；$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ 表示向量 $\vec{a}$ 在向量积 $\vec{b}\times \vec{c}$ 方向上的投影，它可以通过计算向量积的大小乘以$\vec{a}$ 在 $\vec{b} \times \vec{c}$ 方向上的投影得到。
空间向量的计算公式总结
空间向量的计算公式总结空间向量是空间中的一类几何对象，具有大小和方向。
计算空间向量通常需要使用一些公式和性质。
下面是：1. 向量的模长计算：对于空间中的向量 \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) ，其模长计算公式为：|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}2. 向量之间的加法和减法：设 \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) ， \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) 为两个空间向量，则它们的加法和减法公式为：\vec{a} + \vec{b} = (a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3)\vec{a} - \vec{b} = (a_1-b_1, a_2-b_2, a_3-b_3)3. 向量的数量积（点积）：向量 \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) 和 \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) 的数量积（点积）定义为： \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_34. 向量的向量积（叉积）：向量 \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) 和 \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) 的向量积（叉积）定义为： \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)5. 向量的混合积：三个向量 \vec{a} 、 \vec{b} 和 \vec{c} 的混合积定义为：\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})6. 向量的投影：向量 \vec{a} 在向量 \vec{b} 上的投影长度为：|\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a}| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}7. 向量的夹角公式：两个向量 \vec{a} 和 \vec{b} 的夹角 \theta 的余弦值为：\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}8. 两条直线的平行判定：设 \vec{m} 和 \vec{n} 分别为两条直线的方向向量，则若 \vec{m} 与 \vec{n} 共线，则两条直线平行。
《内积外积混合积》课件
内积具有交换律、分配律和结合 律等基本性质。
内积的性质
内积的结果是一个标量，其值在 -1到1之间，表示两向量的相似
程度。
当两向量垂直时，内积为0；当 两向量平行或同向时，内积为正 ；当两向量反向时，内积为负。
内积可以用于计算向量的投影、 角度、距离等几何量。
内积的应用
01
在线性代数中，内积用 于定义向量空间和矩阵 运算。
应用举例
通过具体的应用举例，演示内 积、外积和混合积在解决实际
问题中的应用。
02 内积（点积）
内积的定义
内积是指两个向量的点乘，其结 果是一个标量，表示两个向量的
相似程度。
内积的定义公式为：a·b = |a||b|cosθ，其中a和b是两个向 量，|a|和|b|分别是它们的模，θ
是两向量之间的夹角。
不同点
内积和外积的结果分别是标量和向量 ，而混合积的结果是标量；内积和外 积分别用于计算长度和方向，而混合 积用于计算平行和垂直关系。
课程中的难点和重点
难点
理解内积、外积和混合积的概念 和应用，掌握它们的计算方法和 技巧。
重点
掌握内积、外积和混合积的基本 性质和几何意义，理解它们在解 决实际问题中的应用。
外积与内积的关系
外积与内积之间存在一定的关系 ，即两向量的内积等于它们所构 成的平行四边形的面积在它们所
构成的平面上的投影。
外积的应用
物理应用
01
外积在物理中有广泛的应用，如描述旋转物体的角速度和线速
度之间的关系，以及磁场中电流产生的力矩等。
计算机图形学应用
02
在计算机图形学中，外积常用于计算旋转和缩放矩阵，以及实
混合积
混合积是三个向量的运算，表示一 个向量在另外两个向量构成的平面 上的投影长度。
向量坐标运算公式总结
向量坐标运算公式总结向量是代表大小和方向的物理量，通常用箭头表示。
在数学和物理中，我们经常需要进行向量的坐标运算，来求解各种问题。
1.向量的加减法：向量加法的定义：设A和B是两个向量，其坐标分别为A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，则A+B=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)。
向量减法的定义：设A和B是两个向量，其坐标分别为A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，则A-B=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)。
2.标量与向量的乘法：标量与向量的乘法的定义：设A是一个向量，k是一个实数，其坐标为A(x, y, z)，则kA = (kx, ky, kz)。
特别地，当k=0时，kA=(0,0,0)，即零向量。
3.向量的数量积：向量的数量积也称为点积，表示两个向量间的夹角余弦值乘以两个向量的模的乘积。
设A和B是两个向量，其坐标分别为A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，则A·B=x1x2+y1y2+z1z2根据数量积的定义，我们可以利用数量积来计算向量之间的夹角：cosθ = A·B / (，A，× ，B，)其中，θ表示夹角，A，表示向量A的模。
4.向量的向量积：向量的向量积也称为叉积，表示两个向量所在平面的法向量。
设A和B是两个向量，其坐标分别为A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，则A×B=(y1z2-z1y2,z1x2-x1z2,x1y2-y1x2)。
向量积的模等于两个向量构成的平行四边形的面积，即，A × B，= ，A，× ，B，× sinθ，其中θ表示A和B之间的夹角。
特别地，当A与B共线时，向量积等于零向量。
5.混合积：混合积是三个向量的数量积，表示三个向量所构成的平行六面体的有向体积。
设A、B和C是三个向量，其坐标分别为A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)和C(x3,y3,z3)，则[ABC]=A·(B×C)=x1(y2z3-z2y3)+y1(z2x3-x2z3)+z1(x2y3-y2x3)。
线性代数：3内积、外积、混和积
例： 若 ， ， 证明： 与 共线.
证明：
所以，
16
外积的坐标表示 由定义直接可以得到: ii j j kk 0 i j k , jk i , ki j
设 ( x1 , y1 , z1 ), ( x2 , y2 , z2 )
18
( x1 , y1 , z1 ), ( x2 , y2 , z2 )
6
例： 证明：直径所对应的圆周角为直角.
C
证明：
A O
B
因此
所以
7
例： 证明：
8
内积的坐标表示
i 2 i 2 1, j2 j 2 1, k 2 k 2 1,
i j jk ki 0
对任意向量 x1, y1, z1， x2 , y2 , z2
(1) x1 x2 y1 y2 z1z2
14
例: 已知α，β不共线，当k取何值时，向量kα+9β 与4α+kβ共线。
解： 据题设 （kα+9β）×（4α+kβ）＝０ 即 kα×4α＋kα×kβ＋9β×4α+9β×kβ＝０
又 α×α＝β×β＝０，α×β＝－β×α
因而 (k 2 36) 0
因为α，β不平行， 所以 α×β≠０
故有 k 2 36 0 ， 即 k=±6．
002
20 10 12
i
j
k
02 02 00
4i 2 j
20
例: 求以 A(1, 2, 3) ， B(2, 0, 5) ， C (3, 0, 1) 为顶点的Байду номын сангаас 角形ABC的面积.
解： 构造向量 AB (1,2,2), AC (2,2,4) ，
ijk
韦达定理7个公式
韦达定理7个公式韦达定理是高等数学中的重要概念之一，是描述多个向量之间关系的一种方法。
在三维空间中，韦达定理可以表示为：若三个向量a,b,c满足a·b×c=0，则这三个向量共面。
其中，a·b表示向量a与向量b的点积，a×b表示向量a与向量b 的叉积。
在韦达定理的基础上，可以推导出一系列与向量相关的公式。
以下是七个基于韦达定理的公式。
公式一：点积的分布律若a,b,c为任意三个向量，则(a+b)·c=a·c+b·c证明：(a+b)·c=(a+b)·c=a·c+b·c公式二：叉积的分布律若a,b,c为任意三个向量，则a×(b+c)=a×b+a×c证明：左边等于(a×(b+c))=a·(b+c)×(b+c)=(a·b+a·c)×(b+c)=a·b×b+a·b×c+a ·c×b+a·c×c=a×b+a×c公式三：叉积的差的负若a,b为任意两个向量，则a×(b-c)=a×b-a×c证明：左边等于(a×(b-c))=a·(b-c)×(b-c)=(a·b-a·c)×(b-c)=(a·b-a·c)×b+(a·b-a·c)×c=a×b-a×c公式四：叉积的反交换若a,b为任意两个向量，则a×b=-b×a证明：a×b=a·b×b=-b·a×b=-b×a公式五：叉积与点积的混合积若a,b,c为任意三个向量，则a×(b×c)=(a·c)b-(a·b)c证明：右边等于(a·c)b-(a·b)c=(a·b)c-(a·c)b+a·b×c=(a·c-b·c)a+a·b×c=a×(b×c)公式六：叉积与向量长度的关系若a, b为任意两个向量，则，a×b， = ，a，b，sinθ其中，θ为a、b之间的夹角。
向量混合积的运算法则
向量混合积的运算法则向量混合积是向量运算中的一种重要形式，它在物理学、工程学和数学等领域中有着广泛的应用。
在本文中，我们将介绍向量混合积的定义、性质和运算法则，以及它在实际问题中的应用。
首先，让我们来了解一下向量混合积的定义。
给定三个向量a、b和c，它们的混合积定义为：a·(b×c)。
其中，×表示向量的叉乘运算，·表示向量的点乘运算。
混合积的结果是一个标量，它表示了三个向量所张成的平行六面体的有向体积。
这个定义可能有些抽象，但通过一些具体的例子，我们可以更好地理解向量混合积的含义。
假设我们有三个向量a = (1, 2, 3)、b = (4, 5, 6)和c = (7, 8, 9)，它们的混合积可以通过以下公式计算得出：a·(b×c) = a·(b × c) = a·(49-58, 57-49, 48-57) = (1, 2, 3)·(-3, 6, -3) = 0。
这个结果告诉我们，向量a、b和c所张成的平行六面体的有向体积为0，这意味着这三个向量共面。
这也是向量混合积的一个重要性质，如果三个向量的混合积为0，则它们共面。
接下来，让我们来讨论一下向量混合积的运算法则。
根据混合积的定义，我们可以得出以下几条运算法则：1. 混合积的交换律，a·(b×c) = b·(c×a) = c·(a×b)。
2. 混合积的分配律，a·(b×c) = b·(c×a) = c·(a×b) = (a×b)·c = (b×c)·a = (c×a)·b。
3. 混合积的关系，a·(b×c) = -b·(a×c) = c·(a×b) = -c·(b×a)。
空间向量的数量积
空间向量的数量积
空间向量的数量积或乘积是将两个空间向量进行乘法运算后得到的结果。
它由三个分
量组成：法矢量、转角及大小。
矢量乘积可以分为三种：点积，叉积和混合积（向量三元积）。
点积是将两个空间向量做内积运算后得到的结果，也称之为内积。
在数学上，点积是
向量的叉乘的一个特殊形式。
它的表达式为：a•b=|a||b|cosθ，其中θ为向量a、b之
间的夹角，|a|和|b|分别为两个向量的模，若α也表示为空间向量，则用符号a⃗•α⃗
表示点积，此时可以将θ理解为α⃗与a⃗之间的夹角，结果可以以实数表示。
点积的
计算结果可以表示为内积，也可以表示为外积或叉积。
叉积是由两个不平行的空间向量构成的直角三角形，它的两边分别平行于向量a和b，而它的外边则与a、b之间的夹角等于90度。
它的表达式为：a x b＝|a||b|sinθ，这里
的θ表示的是向量a与b之间的夹角。
叉积的计算结果为模长，它表示了两个空间向量
的向量数量积。
如果两个空间向量的方向相同，则叉积的结果为0。
混合积，又称为向量三元积，是将三个空间向量做乘法运算后得到的结果。
它的表达
式为：a x b x c＝|a||b||c|sinαsinβsinγ，其中α、β、γ分别表示三个向量之间
的夹角。
向量三元积的结果表示三个空间向量的叉乘结果，可以表示为实数或向量。
这种
计算结果的绝对值可以用作体积的表示，在三维空间中，三个向量的叉乘结果绝对值等于
向量组成的四面体的表面积乘以其中较长的边长。
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向量之间的位置关系
面积与体积的计算
=？
=？
常力做功
力作用在杠杆上的力矩
向量的数量积向量的向量积
向量的混合积
定义1
是 数量积
数量积点积内积
记作
定理1 ，
数量积
θ
A
O
向量，的夹角θ也记作
θ
柯
西
-
施
瓦
茨
不
等
式
的夹角为，正交垂直
(4)
例1
【例1解】即向量与
例2
例3 【例3解】
向量的投影
向量在上的投影
向量在上的投影
为非零向量, 则有 =
向量的投影
【例4解】
例4 的流体流过一个面积为与
233112
123
233112
123
=++
i j k
i j k
a a a a a a
a a a
b b b b b b
b b
b
定义2 向量积叉积外积
例5
与、分别垂直;
例5
、与服从右手法则;
与、分别垂直;
、与服从右手法则;
与、分别垂直;
，其中为与的夹角.
为
、与服从右手法则;
与、分别垂直;
，其中为与的夹角.
//
例6
【例6解】
例6
【例6解】
定义3
为 混合积
几何意义
记作
]
]|
混合积的坐标表示
(
x y z
x y z
x y z
a a a
b b b
c c c
性质
向量 共面的
例7 证明四点
【例7解】
三向量 。