信号与系统第四章

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信号与系统吴大正第四章傅立叶变换和系统的频域分析

4.2 傅里叶级数
3 .f(t)为奇谐函数—f(t) = –f(t±T/2) 此时其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即 a0=a2=…=b2=b4=…=0
f(t) 0 T/2 T t
4.3 周期信号(Periodic Signal)的频谱
周期信号的频谱周期矩形脉冲的频谱从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω 为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn为实数，也可直接画Fn 。
“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”
——傅里叶的第二个主要论点
4.2 傅里叶级数
周期信号展开的无穷级数成为傅里叶级数，分“三角型傅里叶级数”和“指数型傅里叶级数”，只有当周期信号满足狄里赫利条件时，才能展开成傅里叶级数。狄利赫利条件(Dirichlet condition)

t 0 T
2 T bn 2T f (t )sin(nt ) d t T 2
任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分，由于f(-t) = -fod(t) + fev(t) ，所以 f (t ) f (t ) f (t ) f (t ) f e v (t ) f od (t ) 2 2
4.2 傅里叶级数
三角形式指数形式奇偶函数的傅里叶级数
e jx e jx 由于 cos x 2
A0 f (t ) An cos( n t n ) 2 n 1

(仅供参考)信号与系统第四章习题答案

e −sT
=
−sT
2 − 4e 2
+ 2e −sT
Ts 2
（f） x(t) = sin πt[ε (t)− ε (t − π )]
sin π tε (t ) ↔
π s2 + π 2
L[sin
πtε (t
−π
)]
=
L e jπt
− 2
e− jπt j
ε (t
−π
)
∫ ∫ =
1 2j
∞ π
e
jπt e−st dt
4.3 图 4.2 所示的每一个零极点图，确定满足下述情况的收敛域。
（1） f (t) 的傅里叶变换存在
（2） f (t )e 2t 的傅里叶变换存在
（3） f (t) = 0, t > 0
（4） f (t) = 0, t < 5
【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换的零极点分布特性。【逻辑推理】首先由零极点写出拉普拉斯变换式，再利用反变换求取其原信号，即可求取其收
= cosϕ eω0tj + e−ω0tj − sin ϕ eω0tj − e−ω0tj
2
2j
=
cos 2
ϕ
−
sin 2
ϕ j
e
ω0 t j
+
cosϕ 2
+
sin ϕ 2j
e −ω 0tj
F(s) =
L
cosϕ 2
−
sin ϕ 2j
eω0tj
+
cos 2
ϕ
+
sin ϕ 2j
e
−ω0
t
j
ε
(t
)
∫ ∫ =

信号与系统第四章习题参考答案13

《信号与系统》第四章习题参考答案4-1 解（1）111()ataL es s a s s a -⎡⎤-=-=⎣⎦++ （2）[]2221221sin 2cos 111s s L t t s s s ++=+++++ （3）()2212tL te s -⎡⎤=⎣⎦+（4）[]21sin(2)4L t s =+，由S 域平移性质，得 ()21s i n (2)14tL e t s -⎡⎤=⎣⎦++ （5）因为1!nn n L t s +⎡⎤=⎣⎦，所以 []2211212s L t s s s++=+= 由S 域平移性质，得 ()()23121ts L t e s -+⎡⎤+=⎣⎦+（6）()2211cos sL at s s a -=-⎡⎤⎣⎦+，由S 域平移性质，得 (){}()2211cos ts L at e s s aβββ-⎡⎤-=-⎣⎦+++ （7）232222L t t s s ⎡⎤+=+⎣⎦ （8）732()327tL t es δ-⎡⎤-=-⎣⎦+ （9）[]22sinh()L t s βββ=-，由S 域平移性质，得()22sinh()atL e t s a βββ-⎡⎤=⎣⎦+-（10）由于()211cos ()cos 222t t Ω=+Ω 所以 222221111c o s ()22424ss L t s s s s ⎛⎫⎡⎤Ω=+∙=+ ⎪⎣⎦+Ω+Ω⎝⎭（11）()()()11111at t L e e a a s a s s a s βββββ--⎡⎤⎛⎫-=-= ⎪⎢⎥--++++⎣⎦⎝⎭ （12）由于()221cos()1ts L e t s ωω-+⎡⎤=⎣⎦++所以 ()()()221cos()1a t a s e L et s ωω--++⎡⎤=⎣⎦++（13）因为(2)(1)(1)(1)(1)(1)t t t te u t e t e e u t ------⎡⎤-=-+-⎣⎦且()(1)(1)2(1)(1)(1)11sst t e e L t eu t L eu t s s ------⎡⎤⎡⎤--=-=⎣⎦⎣⎦++所以 ()(1)(2)2211(2)(1)(1)11s t s s e L teu t e e s s s -----⎡⎤+⎡⎤-=+=⎢⎥⎣⎦+++⎣⎦（14）()(1)tL e f t F s -⎡⎤=+⎣⎦，由尺度变换性质，得(1)ta t L e f aF as a -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦（15）()t L f aF as a ⎡⎤⎛⎫=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再由s 域平移性质，得 []2()()at t L e f aF a s a aF as a a -⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（16）31cos(6)cos (3)cos(3)2t t t -=∙13cos(9)cos(3)44t t =+32213cos (3)48149s s L t s s ⎡⎤=+⎣⎦++由s 域微分性质，得()()22322222213181327cos (3)481494819d s s s s L t t ds s s s s ⎡⎤--⎛⎫⎢⎥⎡⎤=-+=+ ⎪⎣⎦⎢⎥++⎝⎭++⎣⎦（17）[]2cos(2)4sL t s =+，连续两次应用s 域微分性质，有 []()2224cos(2)4s L t t s-=+，()3232224cos(2)4s sL t t s-⎡⎤=⎣⎦+（18）111atL es s a -⎡⎤-=-⎣⎦+，由s 域积分性质，得111111(1)at sL e ds t s s a ∞-⎛⎫⎡⎤-=- ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭⎰ln()ln ln s s a s s a ⎛⎫=+-=- ⎪+⎝⎭ （19）351135tt L ee s s --⎡⎤-=-⎣⎦++，由s 域积分性质，得 33111115ln 353t t s e e s L ds t s s s --∞⎛⎫⎡⎤-+⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎰（20）()22sin aL at s a =⎡⎤⎣⎦+，由s 域积分性质，得()1122211sin 1arctan 21s s at s a s L ds d t s a a a s a π∞∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫===-⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎣⎦+ ⎪⎝⎭⎰⎰ 4-2 解（1）因为()()sin ()2T f t t u t u t ω⎡⎤⎛⎫=--⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()sin ()sin 22T T t u t t u t ωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以可借助延时定理，得()()sin ()sin 22T T L f t L t u t L t u t ωω⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎡⎤⎡⎤⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭222222221sT T s ee S S S ωωωωωω--⎛⎫=+=+ ⎪+++⎝⎭（2）因为()()()sin sin cos cos sin t t t ωϕωϕωϕ+=+ 所以()222222cos sin cos sin sin s s L t s s s ωϕϕωϕϕωϕωωω++=+=⎡⎤⎣⎦+++ 4-3 解此题可巧妙运用延时性质。

《信号与系统》第四章

图两个矢量正交
矢量的分解
c2V2
V
V2
2
o
1
V1
c1V1
图平面矢量的分解
c3V3
V3
V
o V1
V2
c2V2
c1V1
V c1V1 c2V2 c3V3
图三维空间矢量的分解
推广到n维空间
1 正交函数的定义
在区间 (t1,t内2 )，函数集 {0 (t),1(t中),的,各N个(t)函} 数间，若满足下列正交条件：
➢在波形任一周期内，其第二个半波波形与第一个半波波形相同；
x(t) x(t T0 / 2)
➢这时x(t)是一个周期减半为
的周期非正弦波，其基波频率
为
，即其只含有偶次谐T0波2；
20
4.4波形对称性与傅里叶系数
4 奇半波对称
➢在波形任一周期内，其第二个半周波形恰为第一个半周波形的
负值； x(t) x(t T0 / 2)
交函数集 {0 (t),1(t), ,N (t)} 是完备的,即再也找不到一个函数 (t)
能满足
t2
(t)
* m
(t
)dt
0
t1
m 0,1, , N
则在区间 (t1,t2 ) 内，任意函数x(t)可以精确地用N+1个正交函数地加权和
表示：
N
x(t) c00 (t) c11(t) cN N (t) cnn (t)
T0
3 傅里叶级数系数的确定
➢正弦—余弦形式傅里叶级数的系数
2Bk
2 T0
x(t) cos k0tdt
T0
2Dk
2 T0
x(t) sin k0tdt

信号与系统(第四版)第四章课后答案

第5-10页
■
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信号与系统电子教案
4.1 拉普拉斯变换
四、常见函数的单边拉普拉斯变换
1. (t ) 1, 2.( t) 或1 3. ( t ) s, 4. 指数信号e
1
s
, 0

1 s s0
s0t
(t 2)
f1(t) 1 0 1 f2(t) 1 t
例1：e (t 2) e
-t
2
e
(t 2)
e
2

1 s 1
e
2s
-1 0
第5-17页
■
1
t
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信号与系统电子教案
4.2 拉普拉斯变换性质
1 1e sT
例2：单边冲激 T(t ) 1 e sT e s 2T 例3：单边周期信号 fT(t ) (t ) f1(t ) f1(t T ) f1(t 2T ) F1(s )(1 e sT e s 2T )
8 e 2 s
s
f(t ) 1 0 1 y(t ) 2 4 t
二、尺度变换
2s
2
(1 e 2 s 2s e 2 s )
2 e 2 s 2 (1 e 2 s 2s e 2 s ) s
第5-16页
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0
2
4
t
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信号与系统电子教案
拉氏逆变换的物理意义
f (t )
2 j 1

j
j
F (s)est ds

信号与系统(第四章)-离散傅里叶变换与快速傅里叶变换

解：变量n用k替代
反转，并取主值区间序列
周期延拓
反转后
向右平移1位向右平移3位
向右平移2位
于是，由
y
(n)
3
x(k
)h((n
k
))
4
G4
(n)
，得
k 0
y(0) 1114 13 02 8
y(1) 1 2 1114 03 7
y(2) 1312 11 04 6
y(3) 14 1312 01 9
➢ 线卷积与圆周卷积
• 线卷积的移位是平移，圆周卷积的移位是周期位移。
• 线卷积不要求两序列长度一致。若 x(n)与h(n)的长度分别为M和N，则 y(n)=x(n)*h(n)的长度为M+N-1。圆周卷积要求两序列长度一致，否则短序列须补零，使两序列等长后，才可进行圆周卷积。
DFT ax1(n) bx2(n) aDFT x1(n) bDFT x2(n)
（4.9）
当序列x1(n)和x2(n)长度不一致时，则可通过将较短序列补零，使两序列长度一致，此时，式(4.9)成立。
2、圆周位移特性圆周时移：圆周时移指长度为N的序列x(n)，以N 为周期做周期延拓生成xp(n)，位移m位后，得序列xp(n-m)，在此基础上取其主值区间上序列。
于是
x(n)
x(t)
t nTs
k
X e jk1nTs k
X e X e
j
2 T1
knTs
k
j 2 nk N
k
（4.3）
k
k
式（4.3）两边同乘
e
j 2 N
nm
，再取合式
N 1
，得
n0

信号系统第四章总结

第四章:傅立叶变换和系统的频域一、信号分解为正交函数（一）、完备正交函数 1正交函数：实正交函数：设φ1(t) φ2(t)是定义在（t 1,t 2）内的两个实函数，若∫φ1(t ),t 2t 1φ2(t)dt =0，则称是函数的正交条件。

若∫φ1(t),t 2t 1φ2*dt =∫φ1*(t),t 2t 1φ2dt =0满足实函数的正交条件，则称φ1(t) φ2(t)在（t1,t 2）内正交。

复函数正交：：设φ1(t) φ2(t)是定义在（t 1,t 2）内的两个复函数，若，则称是复函数的共轭条件。

则称φ1(t) φ2(t)在（t 1,t 2）内正交。

2、正交函数集若n 个实函数{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）在区间（t 1,t 2）内满足实函数正交条件∫φi (t ),t 2t 1φj(t)dt ={0,i ≠jK i ,i =j，则{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）在（t 1,t 2）内是正交实函数。

≈复正交函数集：若n 个复函数{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）在区间（t 1,t 2）内满足复函数正交条件∫φi (t ),t 2t 1φj*(t)dt ={0,i ≠jK i ,i =j，则{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）在（t 1,t 2）内是复正交函数集。

3、完备正交函数集：若正交函数集{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）之外不存在g t （t ）与φi (t )正交，则{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）是完备正交函数集。

4、完备正交函数集举例：ａ、三角函数集 b 、复指数函数集 c 、沃尔什函数（二）信号正交分解f (t )≈C 1φ1（t ）+ C 2φ2（t ）+……..+ C n φn （t ）=∑C j n j=1φj (t),求系数C j 1、求误差的均方值最小：2ε= Cj1t 1−t 2∫f (t )−∑C j n j=1φj (t)t 2t 1二、三角傅里叶级数（周期信号在一个周期内展开）1、满足狄利克雷条件f(t)=a02+∑(a n cos nΩt+b n sin nΩt)∞n=1a0 2=1T∫f(t)dt=f(t)π2−π2（f(t)在一个周期内方均值；直流分量）a n=2T∫f(t)cos nΩt dt,n=0,1,2,…T2−T2b n=2T∫f(t)sin nΩt dt,n=0,1,2,…T2−T22、三角傅里叶级数第二种表示方法：3、f(t)=A02+∑(A n cos(nΩt+φn)∞n=1A n=√a n2+b n2（A0=a）φn=tan−1b na nA02直流分量；(A n cos(nΩt+φn)n次谐波分量三角傅里叶级数的特点：A n和a n是nΩ的偶函数；b n和φn是nΩ的奇函数。

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(s )2 02 s
(s )2 02
整个 s 平面
0
0
0
0
L[ (t)] (t)estdt 1,u(t) 1
0
s
eatu(t) F (s) eatestdt e(sa)tdt
0
0
s
1 a
e ( sa )t
|0
s
1 a
tu(t) 1 , t 2u(t) 2
（2）对幅度既不增长也不衰减而等于稳定值的信号
0 0 ，收敛域为 s 右半平面
（3）随时间 t 成正比增长或随 t n成正比增长的信号
0 0 ，收敛域为 s 右半平面
limtet 0, limtnet 0, 必须有 0
t
t
（4）按指数阶规律 et 增长的信号
0 ，收敛域为
lim etet lim e( )t 0
一、m n
（1）所有极点均为一阶实极点
F (s) K1 K2 Ki
s p1 s p2
s pi
f (t) K1e p1t K2e p2t Kie pit 系数
Ki (s pi )F (s) s pi
Kn s pn
n
i1
ki s pi
Kne pnt ,t 0
则 f (at) 1 F( s ) (a 0) aa
例：已知 L[ f (t)] F(s), 若a 0,b 0,求L[ f (at b)u(at b)]
方法一：
由延时性质得：L[ f (t b)u(t b)] F (s)esb
再由尺度性质得：L[
f
(at
b)u(at
b)]
1
s2
s3
sin tu(t)
1 (e jt j2
e jt )u(t)
1 j2
s
1
j
s
1
j
s2 2
costu(t)
1 2
(e
jt
e
jt
)u(t)
1 2
s
1
j
s
1
j
s2
s
2
§7.3 拉氏变换的基本性质
（一）线性
若 f1(t) F1(s), f2 (t) F2(s)
则 K1 f1(t) K2 f2 (t) K1F1(s) K2F2 (s)
部分分式法的实质是利用拉氏变换的线性特性，先将F(s)分解为若干简单函数之和，再分别对这些简单象函数求原函数。
p1, p2, …, pn既可以是各不相同的单极点，也可能出现有相同的极点即有重极点；分母多项式的阶次一般高于分子多项式(m<n)，但也有可能m≥n。下面分几种具体情况讨论F(s)分解的不同形式。
F (s) f (t)estdt 0
FB (s)
f (t)estdt
单边拉氏变换双边拉氏变换
2. 拉氏逆变换
f1(t)
f
(t )e t
1
2
F1
(
)e
jt
d
f (t) 1
2
F1
()e(
j
)t
d
1
2 j
j j
F1
(
)e(
j
)t
d
(
j)
1 j F (s)est ds
例：cos tu (t )
1 2
(e
jt
e
jt
)u(t)
1 2
( s
1
j
s
1)
j
s2
s
+ 2
（二）时域微分特性
若 f (t) F(s)
则
d dt
f
(t) sF(s)
f
(0 )
IL(s) sL
LiL (0 )
-+
+
VL(s)
_
d2 dt 2
f (t) s2F (s) sf (0 )
f (0 )
第七章
拉普拉斯变换连续时间系统的 s 域分析
§7.1 引言拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具，优点如下：
（1）求解步骤得到简化,可以把初始条件包含到变换式里，直接求得全响应
（2）拉氏变换分别将时域的“微分”与“积分”运算转换s 为域的
“乘法”和“除法”运算，也即把微积分方程转化为代数方程（； 3）将指数函数、超越函数等复杂函数转化为简单的初等函数；
例2：F (s)
5s s2
1 s
2
5s 1 (s 1)(s 2)
2 3 s 1 s 2
f (t) 2et 3e2t ,t 0
（2）包含一阶共轭极点
F（s） A( s )
A( s )
B( s ) [( s )2 2 ] D( s )
k1 k2 kn2 kn-1 kn
t
t
（5）对于一些比指数函数增长更快的函数，如 et2 ，不能进
行拉氏变换。
（四）常用函数的拉氏变换
(t)
u(t) etu(t)
1
1
s
1
s
tu(t)
sin(0t)u(t) cos(0t)u(t) et sin(0t)u(t) et cos(0t)u(t)
1
s2
0 s2 02
s
s2 02 0
（九）卷积定理
若 f1(t) F1(s), f2 (t) F2(s) 则 f1(t)u(t) f2 (t)u(t) F1(s) F2(s) 时域卷积定理
f1 (t )
f2 (t)
1
2
j
[ F1 ( s)
F2 (s)]
s 域卷积定理
（十）s 域微分与积分
若 f (t) F(s)
则 tf (t) d F(s) ds
F(
s
s b
)e a
aa
方法二：
由尺度性质得：L[ f (at)u(at)] 1 F ( s ) aa
由延时性质得：L[ f (at b)u(at b)]
L
f
[a(t
b a
)]u[a(t
b a
)]
1
F(
s
s b
)e a
aa
（七）初值定理
lim
t 0
f (t)
f
(0
)
lim
s
sF
(s)
应用条件：F(s)为真分式即:不含冲激函数
F() f (t)e jtdt
（1）系统求解中的激励 e(t) 、响应r(t)的非零取值往往是从 t 0时刻开始的。
dt dt
0
下限取 0 是为了把 (t)、 (t) 等也包含到积分区间中。
（2）由于绝对可积条件限制了某些增长信号傅里叶变换的存在。
考虑在 f (t)上乘以收敛因子et 。
F
(s)
1 cos(0 s2 12
)
s sin(0 ) s2 12
0 1t0
例2：求
e
t
u(t
2)，e
（t-2）
u(t
2)，e
（t-2）
u(t
)
（五）s 域平移
若 f (t) F(s)
则 f (t)et F(s )
例：
tu(t)
1 s2tetu(t) (s )2
若 f (t) F(s)
s
s
例：
vC
(t)
1 C
t
iC ( )d
VC
(s)
1 sC
IC
(s)
1 sC
0
iC
(
)d
VC
(s)
1 sC
IC
(s)
1 s
vC
(0 )
11 Ic(s) sC s vC (0 )
+-
+
Vc(s)
-
（四）延时特性（时域平移）
若 f (t)u(t) F(s)
则 f (t t0 )u(t t0 ) est0 F(s)
（4）将时域中的卷积运算转化为 s 域中的乘法运算，由此建立起系统函数 H(s) 的概念；
（5）利用系统函数零、极点分布可以简明、直观地表达系统性能的许多规律。
§7.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
（一）从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1. 拉氏变换是傅里叶变换的推广
当 f (t)满足绝对可积条件时，存在傅里叶变换
d f (t) pf (t) dt
t f ( )d 1 f (t)
p
f (t) F(s)
d f (t) dt
sF(s) f (0 )
t f ( )d 1 F(s) 1 0 f ( )d
s
s
在算子符号法中，由于未能表示出初始条件的作用，只好在运算过程中作出一些规定，限制某些因子相消。而拉氏变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析过程中的一些禁忌，便于把微积分方程转化为代数方程，使求解过程简化。
（三）单边拉氏变换的收敛域
j
要使 f (t)的拉氏变换存在，必须有
lim f (t)et 0
t
收
0 0
敛域
若存在 0 ，使得
0
时，lim t
f (t)et
0 成立。
则 s平面上 0的区域称为 F(s)的收敛域。
（1）对仅在有限时间范围内取非零值的能量有限信号
0 ，收敛域为整个 s平面
( s2 2s 5 )( s 2 )
解： F( s )
s2 3
( s 1 2 j )( s 1 2 j )( s 2 )
K1 K2 K3 s 2 s 12 j s 1 2 j

信号与系统第四章

信号与系统 吴大正 第四章 傅立叶变换和系统的频域分析