福建省闽侯第六中学2019届高三上学期开学考试数学(理)试题 PDF版含答案
福建省闽侯第六中学2019届高三上学期开学考试
数学（理）试题
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．
1．若全集U R =，集合{
}
2
4M x x =>，301x N x x ⎧-⎫
=>⎨⎬+⎩⎭
，则M U ()U M C N =（）
A ．{2}
x x <-B ．{2x x <-或3}
x ≥C ．{3}
x x ≥D ．{23}
x x -≤<2．若复数z 满足(12)5i z +=,i 为虚数单位,则z 的虚部为（）
A.2i
- B.2
- C.2
D.2i
3.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有()
A.140种
B.120种
C.35种
D.34种
4.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a =(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
5．已知曲线f (x)=lnx+a
x 2
在点（1，f （1））处的切线的倾斜角为43π，则a 的值为(
)
A ．1
B ．﹣4
C ．﹣
2
1
D ．﹣1
6．已知偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递增，若f （2）=﹣2，则满足f （x ﹣1）≥﹣2的x 的取值范围是(
)
A ．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
B ．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）
C ．[﹣1，﹣3]
D ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
7．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x +2）=﹣f （x ），若f （﹣1）＞﹣2，f （﹣7）=a
a 231
-+，则实
数a 的取值范围为()
A ．)1,23(--
B ．（﹣2，1）
C ．),2
3(
)1,(+∞⋃-∞D ．)
2
3,1(8．若函数f （x ）=a x ﹣a ﹣x （a ＞0且a ≠1）在R 上为减函数，则函数y=log a （|x |﹣1）的图象可以是(
)
A ．
B ．
C ． D.
9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝(
)
A ．3
B ．4
C ．5
D ．610．由曲线y＝x ，直线y＝x－2及y 轴所围成的图形的面积为(
)
A.103
B．4
C.163
D．6
11．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若，
则|QF |＝(
)A.72
B.52
C ．3
D ．2
12．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为(
)
A ．(2，＋∞)
B ．(－∞，－2)
C ．(1，＋∞)
D ．(－∞，－1)
二、填空题(20分)
13．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方
高），则由此可推得圆周率的取值为___________.
14．若()
223n
x x --的展开式中所有项的系数之和为256，则n =______，含2x 项的系数是______（用数字作答）.
15．若随机变量的分布列如表所示：则
______，
____．
16．在中，内角所对的边分别为
，
若，
的面积为
，
则
_______，_______．
二、解答题：本大题共4小题；共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.在斜三棱柱中，，平面底面，点、D分别是线段、BC的中点．
、
（1）求证：；
（2）求证：AD//平面．
18.在中，角，，所对的边分别为，，，已知
．
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围．
19.在中，内角，，的对边分别为，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，且的面积为，求.
20．已知数列的前项和为，，且满足；．
（1）求数列的通项；
（2）求数列的前项和．
21．对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+（b－1）（a≠0）．
（1）当a=1，b=－2时，求函数f（x）的不动点；
（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
22．已知函数，
(Ⅰ)设函数，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）求证：当时，;
数学（理）答案
1-4.BBDD
5-8.DBCD
9-12.CDCB
13.【答案】314.【答案】4108
15.【答案】
16.【答案】
17【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】
试题分析：
(1)利用题意证得AD⊥平面
，结合线面垂直的定义可得AD⊥CC 1．
(2)利用题意可得EM //AD，结合题意和线面平行的判断法则即可证得结论.试题解析：
证明：（1）∵AB AC，点D 是线段BC 的中点，∴AD⊥BC．
又∵平面底面，AD
平面ABC，平面
底面
，
∴AD⊥平面．
又CC 1
平面
，∴AD⊥CC 1．
（2）连结B 1C 与BC 1交于点E，连结EM，DE．
在斜三棱柱中，四边形BCC 1B 1是平行四边∴点E 为B 1C 的中点．
∵点D 是BC 的中点，∴DE//B 1B，DE
B 1B．……10分
又∵点M 是平行四边形BCC 1B 1边AA 1的中点，
∴AM//B 1B，AM B 1B．∴AM//DE，AM DE．
∴四边形ADEM 是平行四边形．∴EM //AD．又EM
平面MBC 1，AD 平面MBC 1，
∴AD //平面MBC 1．
18.【答案】（1）；（2）
．
【解析】
试题分析：（1）先根据三角形内角关系以及诱导公式化简条件得，即得
，
，（2）根
据余弦定理得
，再根据
化一元函数，最后根据二次函数性质求值域得的取值范围．
试题解析：（Ⅰ）由已知得，
即有
因为，∴．又
，∴
．
又
，∴
，∴
（Ⅱ）由余弦定理，有．
因为，有
又
，于是有
，即有
19、（1）由
，由正弦定理得，即，所以
，∴
.
（2）由正弦定理，可得，，
所以
.又
，
，∴
，解得
.20．解：（
1）；
当
时，
，当
时，
，
不满足上式，所以数列
是从第二项起的等比数列，其公比为2；
所以.
（2）当
时，
，
当时，
，
，
时也满足，综上
…
21．解：（1）f （x ）=x 2
－x －3，因为x 0为不动点，因此有f （x 0）=x 02
－x 0－3=x 0
所以x 0=－1或x 0=3，所以3和－1为f （x ）的不动点．
（2）因为f （x ）恒有两个不动点，f （x ）=ax 2
+（b +1）x +（b －1）=x ，ax 2
+bx +（b －1）=0（※），由
题设b 2－4a （b －1）＞0恒成立，即对于任意b ∈R，b 2－4ab +4a ＞0恒成立，所以有（4a ）2－4（4a ）＜0 a 2
－a ＜0，所以0＜a ＜1．
22．(Ⅰ)由题得，
①当时，，此时在上单调递减，
②当时，令，得
，令
，得
，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
③当时，令，得
，令
，得
，
∴
在区间
上单调递增，在区间上单调递减，
（Ⅱ）要证，即证，令，
当时，，∴
成立；
当时，，
当时，；当时，，
∴在区间上单调递减，在区间
上单调递增，
∴．∵，∴，
，
∴，即
成立，故原不等式成立．。
福建省闽侯第六中学2019届高三上学期开学考试文科综合试题 PDF版含答案
福建省闽侯第六中学2019届高三上学期开学考试文科综合试题第Ⅰ卷(选择题，140分)本卷共35个小题，每小题4分，共140分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
右图所示全球刚好同属一个日期，曲线ABC上的太阳高度为0°，完成1~3题1．该图的比例尺约为:A．1:111000000B．1:222000000C．1:22000000D．1:110000002．此刻太阳直射点的地理坐标为()A．10°N，0°B．20°N，0°C．20°N，180°D．10°N，180°3．图示季节下列说法正确的是A．日本海东侧积雪厚度为加大B．孟加拉国处于旱季C．哈萨克斯坦大部分气温低于0度D．我国南极中山站处于极夜时期右图为某大陆西岸局部示意图，读图回答4~5题4．关于港口附近的地理现象说法正确的是A．适宜热带水果生长B．此时处于雨季C．河流南岸总体上受侵蚀更严重D．以水稻种植业为主5．图示范围附近最可能流经的洋流是A．加那利寒流B．日本暖流C．秘鲁寒流D．南赤道暖流读我国某局部地区地层剖面图，完成6~7题6．图中①②③④岩层正常情况下由老到新的顺序为A．①②③④B．④③①②C．②①③④D．④③②①7．图中乙山是A．因槽部坚实抗侵蚀而成的向斜山B．因两侧甲丙陷落而相对高出的块状山C．因顶部坚实抗侵蚀而成的块状山D．因岩层挤隆起上升而成的背斜山与子女长期分开居住的老人，被称作“空巢老人”，下图为“四国人口年龄结构示意图”，完成8~9题8．四国中更多出现“空巢老人”现象的是A．甲B．乙C．丙D．丁9．近十几年来我国农村“空巢老人”现象较严重的主要原因是A．家庭原因B．城乡差距C．农村发展D．计划生育在本地不再具有比较优势的产业向外转移称为衰退性产业转移。
下图为广东产业转移示意图。
读图回答10~11题10．下列产业中，最有可能属于珠江三角洲地区衰退性产业的是A．汽车零配件生产B．节能环保业C．服装鞋帽生产D．高端装备制造业11．衰退性产业转移对广东省东西两翼和山区产生的正效应是A．土地利用多样化，耕地面积扩大B．增加就业机会，吸纳农村剩余劳动力C．促进经济发展，提高高新技术产业比重D．有利于保护生态环境，提高空气质量12．2018年1月15日，德国和法国相继宣布将人民币纳入外汇储备，欧元区两大经济体对人民币投下信任票。
福建省闽侯第六中学2019届高三英语上学期开学考试试题(PDF)
福建省闽侯第六中学2019届高三上学期开学考试英语试题（时间：120分钟；满分：150分）第一部分：听力（共两节，满分30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1.What does the man want to do?A.Fly a kite.B.Go to the parkC.Play on the Internet2.What will the girl buy this evening?A.Sunglasses.B.A scarf.C.Gloves.3.What does the man suggest the woman do?A.Take a taxiB.Walk to the hotel.C.Ask some one else for help.4.Who is the woman probably?A.A hotel clerk.B.A police officer.C.The man’s wife.5.What are the speakers mainly talking about?A.A birthday party.B.New Year’s gifts.C.The man’s parents.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选，并标出试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
每段对话或独白读两遍。
听第6段材料，回答第6、7题。
6.How does the man probably feel?A.Excited.B.NervousC.Regretful7.What will the man do next?A.Talk to Samantha.B.Dance with the woman.C.Attend a graduation ceremony.听第7段材料，回答第8、9题。
福建省闽侯第六中学近年届高三生物上学期开学考试试题(扫描(2021年整理)
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福建省闽侯第六中学高三上学期第一次月考数学(文)试题Word版含答案
福建省闽侯县第六中学2018届高三上学期第一次月考数学（理）测试试题一、选填题：本大题共16小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 A=|x|x2-3x > 0|, B = {x|x<1}，则 A ∩ B =( )A. (-∞，0] U [3,+∞)B. (-∞，1] U [3,+∞)C. (-∞，1)D. (-∞，0)数为（ )3. 设曲线)1ax=xy在点（0，0)处的切线方程-ln(+为y=2x，则a=（ )A.0B.1C.2D.34.已知函数的图像是下列四个图像之一，且其导函数)('x fy=的图像，则该函数的图像是（）的面积是+ AB=1, BC=，则AC=( ） D. 10的实根个数是（）A.3B.2C.lD.0 7.已知函数5)3(42)(2+-+=a ax x f 在区间(-∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是（）A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛43,0 B. ]43,0( C. )43,0[ D. ]43,0[8. 已知函数||)(a x x f +=在(-∞，-1)上是单调函数，则a 的取值范围是（） A. (-∞，1] B. (-∞，1] C. (-1，+∞) D. (1，+∞) 9.函数xxe y =的最小值是（） A.-1 B.-e C. e1-D.不存在 10.已知函数)(ln )(ax x x x f -=有两个极值点，则实数a 的取值范围是（）A. (-∞，0]B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 C. (0，1) D. (0，+∞)11.若⎰+=12)(2)(dx x f x x f ，则⎰1)(dx x f =（）A .-1B .31-C .31D .1 12.若定义在R 上的函数办)满足)(')(x f x f +>1，)0(f =4，则不等式)(x f >1_3+xe (e 为自然对数的底数)的解集为（） A.(0，+∞] B.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 C.(-∞，0] U [0,+∞) D. (3，+∞)13.已知函数_y=x 3—3x+c 的图像与轴恰有两个公共点，则c= . 14.已知函数x x fx f s i n c o s )(4+=⎪⎭⎫⎝⎛π,则⎪⎭⎫⎝⎛4πf的值为 .15.已知函数13)(3+-=x ax x f 对x ∈(0，1]总有0)(≥x f 成立，则实数a 的取值范围是.16.设θ为第二象限角，若214ta n =⎪⎭⎫⎝⎛+πθ，则 θθcos sin += . 二、解答题17.△ABC 的内角A ,B , C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 a=bcosC+csinB . (1)求B ；(2)若b=2，求△ABC 面积的最大值. 18.已知函数R x x x x x f ∈+-⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=,43c o s 33s i n c o s )(2π (1)求)(x f 的最小正周期； (2)求)(x f 在闭区间]4,4[ππ-上的最大值和最小值.19.(本小题满分12分）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：该公司从注册的会员中，随机抽取了 100位进行统计，得到统计数据如下:假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题： (1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；(3)以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为2元，求2的分布列和数学期望E (X).20.(1)讨论函数xe x x xf 22)(=-=的单调性，并证明当x>0时，2)2(++-x e x x >0; (2)已知函数bxx x a x f ++=1ln )(,曲线)(x f y =在点（1，)1(f )处的切线方程为032=-+y x .求a ，b 的值； 21.已知函数x x b ax e x f x4)()(2--+=,曲线)(x f y =在点（1，)0(f )处的切线方程为44+=x y .(1)求a ，b 的值； (2)讨论)(x f 的单调性，并求)(x f 的极大值.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号。
福建省闽侯第六中学2018届高三上学期第一次月考数学(理)试题 PDF版含答案
已知函数 f x x m x 1 ,其中 m 0 .
m
（1）当 m 1时, 解不等式 f x 4 ；
（2）若 a R
,且 a
0 ,证明:
f
a
f
1 a
4
福建省闽侯县第六中学 2018 届高三上学期第一次月考数学（理）
测试试题答案
客，按 200
元/次收费, 并注册成为会员, 对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：
消费次第 第1次
第2次 第3次 第4次
5次
收费比例
1
0.95
0.90
0.85
0.80
该公司从注册的会员中, 随机抽取了100 位进行统计, 得到统计数据如下:
消费次第 第1次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次
＝4x＋4.
(1)求 a，b 的值；
(2)讨论 f(x)的单调性，并求 f(x)的极大值.
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答 时请写清题号.
22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲
如图, 在 ABC 中, BAC 90 , 以 AB 为直径的 O 交 BC 于点 D, E 是边 AC 上一点, BE
f(x)＞e3x＋1(e 为自然对数的底数)的解集为(
)
A.(0，＋∞)
B.(－∞，0)∪(3，＋∞)
C.(－∞，0)∪(0，x3－3x＋c 的图像与 x 轴恰有两个公共点，则 c＝________.
π
π
14.已知函数 f(x)＝f′ 4 cos x＋sin x，则 f 4 的值为________.
2019届福建省高三上学期期中理科数学试卷【含答案及解析】(3)
2019届福建省高三上学期期中理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设全集，则（）A 、 _________B 、 ________C 、 ________D 、2. 在复平面内，复数，则其共轭复数对应的点位于（）A、第一象限_________B、第二象限_________ C 、第三象限________ D、第四象限3. 下列说法错误的是（）A、命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B、是的充分不必要条件C、若p且q为假命题，则p、q均为假命题D、命题p：“ ，使得” ，则均有4. 已知数列为等比数列，且，则的值为（）A 、B 、 _________ C、 ________ D 、5. 如果在地平面同一直线上，，从两地测得点的仰角分别为和，则点离地面的高等于（）A、 ___________ B 、 _________ C 、 ________ D 、6. 已知函数，且，则（）A 、 _________B 、 _________C 、 _________D 、7. 函数的部分图像如图所示，若，则等于（）A 、 ________B 、 ________C 、 ________D 、8. 变量满足约束条件，若的最大值为2 ，则实数等于（）A 、—2______________B 、—1___________C 、 1______________D 、 29. 已知记，则的大小关系是（）A 、 ________B 、 ________C 、 ________ D、10. 函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于（）A、3______________________________ B 、 6______________ C 、 4______________ D 、 211. 设函数在R上存在导数，有，在上，若，则实数的取值范围为（）A 、 ___________B 、 ________C 、D 、12. 若数列满足：存在正整数T，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为T ．已知数列满足，则下列结论错误的是（）A、若，则可以取3个不同的数；B、若，则数列是周期为3的数列；C、存在，且，数列是周期数列；D、对任意且，存在，使得是周期为的数列．二、填空题13. 已知，且，则________________________ ．14. 曲线与直线所围成的封闭图形的面积为．15. 平面上四点满足，则面积的最大值为．16. 已知曲线在点处的切线的斜率为，直线交轴、轴分别于点，且，给出以下结论：① ；② 当时，的最小值为；③当时，；④当时，记数列的前项和为，则．其中正确的结论有（写出所有正确结论的序号）．三、解答题17. 设函数（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若的解集为，求证：18. 已知向量，函数，且当时，的最小值为2（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求方程在区间上所有根之和．19. 在如图所示的几何体中，△ABC为正三角形， AE和CD都垂直于平面ABC ，且AE=AB=2 ， CD=1 ， F为BE的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE⊥平面ABE;（Ⅱ）求直线BD和平面ACDE所成角的余弦值．20. 已知各项不为零的数列的前项和为，且满足，数列满足，数列的前项和（Ⅰ）求（Ⅱ）若，不等式恒成立，求使关于的不等式有解的充要条件．21. 如图，已知椭圆的中心在原点，其一个焦点与抛物线的焦点相同，又椭圆上有一点，直线平行于且与椭圆交于两点，连（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当与轴所构成的三角形是以轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线在轴上截距的取值范围．22. 已知函数，其中为自然对数的底数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，若函数存在两个相距大于2的极值点，求实数的取值范围；（Ⅲ）若函数与函数的图象关于轴对称，且函数在单调递减，在单调递增，试证明：．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
2019-2020年高三上学期开学考试数学(理)试题 含答案
秘密★启用前2019-2020年高三上学期开学考试数学（理）试题 含答案一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集，集合，，则=（）A ．B ．C ．D ．2．命题“，则或”的逆否命题为（）A ．若，则且B ．若，则且C ．若且，则D ．若或，则3．“”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数的零点在区间上，则的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知，为方程的解，则的值为（）A ．B ．5C ．﹣5D ．﹣16．已知存在实数，使得关于的不等式有解，则的最大值为（）A ．2B ．C ．4D ．87．已知，，则sin cos )4ααπα-的值为（ ）A ．B ．C ．D ．8．（原创）已知关于的方程有两个不同实数解，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．9．下列命题中：①若，则幂函数在上单调递增；②函数与函数的图象关于直线对称；③若函数的图象关于对称，则为偶函数；④若是定义域为R 的奇函数，对于任意的都有，则函数的图象关于直线对称，其中正确的命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．（原创）已知点P 为曲线上一点，曲线C 在点P 处的切线交曲线C 于点Q （异于点P ），若直线的斜率为，曲线C 在点Q 处的切线的斜率为，则的值为（ ）A ．﹣5B ．﹣4C ．﹣3D ．211．（原创）已知是定义在R 上且以4为周期的奇函数，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为（）A ．16B ．32C ．48D ．5212．（原创）已知函数32()2log )21x f x x =-++，，，，则（） A ． B ． C ． D ．第II 卷本卷包括必考题和选考题，第12题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：共4小题，每小题5分13．=_________14．设函数，则不等式的解集为_________15．化简：=_________16．（原创）若函数与函数的图象有且仅有一个交点，则实常数的值为_________三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）已知函数（1）已知，且，，求的值；（2）求函数的最大值18．（本小题满分12分）设命题P：函数的定义域为R；命题q：函数在区间上有唯一零点，（1）若p为真命题，求实数的取值范围；（2）如果命题“”为真命题，命题“”为假命题，求实数的取值范围19．（本小题满分12分）现今中国社会人口老龄化日趋严重，机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”（1）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（2）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．20．（原创）（本小题12分）已知函数（为常数）（1）若函数在内单调递增，求实数的取值范围；（2）若存在（其中为自然对数的底），使得成立，求实数的取值范围21．（本小题满分12分）已知为常数，函数，（1）当=0时，求函数的最小值；（2）若有两个极值点①求实数的取值范围；②（原创）求证：且（其中为自然对数的底）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分。
2018-2019学年福建省厦门六中高三(上)开学数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年福建省厦门六中高三（上）开学数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若全集U＝R，集合A＝{x|1＜2x＜4}，B＝{x|x﹣1≥0}，则A∩∁U B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|0＜x≤1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|1≤x＜2} 2．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2＝（）A．3+4i B．5+4i C．3﹣4i D．5﹣4i3．（5分）下列说法正确的是（）A．“f（0）＝0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若α＝，则sinα＝”的否命题是“若α≠，则sinα≠”4．（5分）已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）＝f（x），当x∈（0，2）时，f（x）＝2x2，则f（7）＝（）A．2B．﹣2C．﹣98D．985．（5分）执行如图所示的程序框图输出的结果为（）A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8）6．（5分）各项均为正数的等差数列{a n}中，a4a9＝36，则前12项和S12的最小值为（）A．78B．48C．60D．727．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的圆周和两条半径，则这个几何体的体积为（）A．πB．πC．πD．π8．（5分）已知sinφ＝，且φ∈（，π），函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f（）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．9．（5分）若实数x、y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[，2]B．[，]C．[，2]D．[1，2]10．（5分）过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若＝2，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．11．（5分）将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（）A．150种B．180种C．240种D．540种12．（5分）已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为（0，1），（，0），（0，﹣2），O为坐标原点，动点P满足||＝1，则|++|的最小值是（）A．﹣1B．﹣1C．+1D．+1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2019届高三数学上学期入学考试试题理(含解析)
2019届高三数学上学期入学考试试题理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数为纯虚数（其中是虚数单位），则实数的值为（）A. B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】化简复数为,然后由复数的实部等于零且虚部不等于零,求出实数即可.【详解】为纯虚数，，即．故选:D【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的基本概念;属于基础题.2.设集合A=，，则的真子集个数为（）A. 1B. 3C. 5D. 7【答案】B【解析】【分析】利用分式不等式的解法求出集合,由集合的交运算求出，再由真子集的定义求出集合的真子集即可.【详解】由得，，，或,所以集合，又因为A=,所以，即的真子集为,所以的真子集个数为.故选:B【点睛】本题考查集合的交运算和集合真子集个数的求解;属于基础题、常考题型.3.若平面向量满足，则下列各式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量垂直，推出，解得，配凑，即可求解.【详解】∵，∴，即，∴，即.故选：C.【点睛】本题考查向量垂直关系转化成数量积，运用配凑法构造模长关系，属于基础题.4.已知m，n是两条不同直线，是一个平面，，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据线面平行的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若由线面平行的定义知成立，即充分性成立，若，则m与n可能平行可能异面直线，故必要性不成立，即“”是“”的充分不必要条件，故选A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面平行的性质定理是解决本题的关键．5.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（）（参考数据：）A. 48B. 36C. 24D. 12【答案】C【解析】【分析】由开始，按照框图，依次求出s，进行判断．【详解】，故选C.【点睛】框图问题，依据框图结构，依次准确求出数值，进行判断，是解题关键．6.若，则的最小值是（）A. 1B.C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】由,可得,利用对任意恒成立即可求解.【详解】，，因为对任意恒成立,所以，当且仅当时取等号，此时有最小值为4，故选:D【点睛】本题考查利用基本不等式求最值;属于中档题.7.设的内角，，的对边分别为，，，且，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理把边化成角,再由和两角和的正弦公式进行展开化简,求出即可.【详解】根据题意,由正弦定理可得：，即，因为,，，，，解得，，.故选：C【点睛】本题考查利用正弦定理边化角和两角和的正弦公式求三角形内角;属于中档题、常考题型.8.若函数的图象关于原点对称，则实数等于（）A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】由题意知，函数为奇函数,利用,化简整理即可求出实数.【详解】因为函数的图象关于原点对称，所以函数为奇函数，则有，即，化简可得，，解可得.故选:A【点睛】本题考查奇函数的定义和性质;根据题意,挖掘题中隐含的条件:函数为奇函数是求解本题的关键;属于中档题.9.在的展开式中，已知各项系数之和为64，则的系数是（）A. 10B. 20C. 30D. 40【答案】B【解析】【分析】令,可得展开式各项系数和为,据此求出,对于利用二项式定理展开即可求解.【详解】在的展开式中，令，则展开式各项系数之和为，，则，则的系数是，故选：B【点睛】本题考查利用二项式定理求展开式中某项的系数; 令,求出各项系数和是求解本题关键;属于基础题、常考题型. 10.如图是函数（其中，的部分图象，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合正弦函数的图象知,,据此求出,再根据五点法作图可得,求出即可求解.【详解】由题意知,，因为，所以，再根据五点法作图可得，因为，，函数，则，故选：B【点睛】本题考查结合正弦函数的图象与性质求的解析式;考查数形结合的思想和等价转化的思想;属于中档题、常考题型.11.若双曲线上存在点与右焦点关于其渐近线对称，则该双曲线的离心率（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】根据题意知,过右焦点且垂直渐近线的直线方程为：，联立渐近线方程与，求出对称中心的点坐标,再利用中点坐标公式求出点的坐标,把点代入双曲线的方程即可求解.【详解】根据题意知,过右焦点且垂直渐近线的直线方程为：，联立渐近线方程与，解之可得，，故对称中心的点坐标为，，设点，由中点坐标公式可得,解得,所以对称点的坐标为，，将点代入双曲线的方程可得，结合，化简可得，故可得．故选:D【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质,两直线的位置关系,意在考查学生对数学知识的熟练掌握程度和综合运用能力、运算能力;属于中档题.12.在体育选修课排球模块基本功发球测试中，计分规则如下满分为10分：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加分，以此类推，，连续七次发球成功加3分假设某同学每次发球成功的概率为，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】明确恰好得5分所有情况：发球四次得分，有两个连续得分和发球四次得分，有三个连续得分，分别求解可得.【详解】该同学在测试中恰好得5分有两种情况：四次发球成功，有两个连续得分，此时概率；四次发球成功，有三个连续得分，分连续得分在首尾和不在首尾两类，此时概率，所求概率；故选B.【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率，题目稍有难度，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上13.如图，是圆的内接正方形，将一颗豆子随机扔到圆内，记事件：“豆子落在正方形内”，事件：“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则条件概率__．【答案】【解析】【分析】利用与面积有关的几何概型公式求出,然后代入条件概率公式即可求解.【详解】如图,设正方形边长为，由几何概型的概率公式可得,（A），，由条件概率公式可得,．故答案为：【点睛】本题考查与面积有关的几何概型和条件概率的求解;熟练掌握概率公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__【答案】【解析】【分析】通过分析三视图,得出该几何体是圆柱，挖去一部分，然后结合图中数据,代入圆柱的体积公式求解即可.【详解】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱，挖去一部分，如图:结合图中数据知,该几何体的体积.故答案为：【点睛】本题考查三视图还原几何体及求几何体的体积;根据三视图正确还原几何体是求解本题的关键;重点考查学生的空间想象能力属于中档题、常考题型.15.化简________.【答案】8【解析】【分析】由二倍角公式得出，再将分子分母同乘以结合商数关系化简得出，逆用两角差的正弦公式，二倍角的正弦公式求解即可.【详解】原式.故答案为：8【点睛】本题主要考查了利用两角差的正弦公式，商数关系以及二倍角公式化简求值，属于中档题.16.有如下结论：若无穷等比数列的公比满足，则它的各项和．已知函数，则的图象与轴围成的所有图形的面积之和为__．【答案】4【解析】【分析】由已知可得,函数与轴围成的所有图形的面积构成一个首项为，公比为的无穷等比数列,代入公式求解即可.【详解】当时，，与轴围成的封闭图形面积为：；当时，，故当时，函数图象与轴围成的封闭图形长扩大2倍，高缩小到,故面积为：；同理，当时，函数图象与轴围成的封闭图形面积为：；依次类推可得,函数的图象与轴围成的所有图形的面积构成一个首项为，公比为的无穷等比数列，根据题中的公式得,函数的图象与轴围成的所有图形的面积之和.故答案为：4【点睛】本题考查利用定积分求函数与轴围成的封闭图形的面积和无穷等比数列的求和公式;通过计算,得出函数的图象与轴围成的所有图形的面积构成一个首项为，公比为的无穷等比数列是求解本题的关键;属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知数列满足，且，其中．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求证：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见详解.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意,,利用累加法求出数列的通项公式即可;（Ⅱ）由（Ⅰ）知,，利用放缩法知，,再由裂项相消法求和即可证明.【详解】（Ⅰ）因为数列满足，且，即，由累加法得，，即，故数列的通项公式为.（Ⅱ）证明：因为，所以，因为，即.【点睛】本题主要考查累加法求通项公式、裂项相消法求和和利用放缩法证明不等式;考查推理论证能力、运算求解能力；累加法和放缩法的应用是求解本题的关键;属于中档题.18.如图，在三棱柱中，，，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若平面平面，且直线与平面所成角为，求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）取中点，连结，,则,由线面垂直的判定定理可得,平面,由线面垂直的性质即可得证;（Ⅱ）由平面平面及可得,，从而,设,则,易证两两互相垂直,建立空间直角坐标系如图,利用法向量求出二面角的余弦值即可.【详解】（Ⅰ）证明:如图:取中点，连结，，，，，，为正三角形，，，由线面垂直的判定定理知,平面，又平面，．（Ⅱ）因为，所以为等边三角形,所以，因为平面平面,由面面垂直的性质知,平面,所以即为直线与平面所成角,即，即，设，则，，由平面知,两两互相垂直，建立空间直角坐标系如图所示:则，0，，，，0，，所以，，，，0，，设平面的一个法向量为，则，令,则,所以平面的一个法向量为，因为平面的法向量为，0，，所以，二面角的平面角为钝角，二面角的余弦值为．【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、面面垂直的性质以及利用空间向量求二面角;考查学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；属于中档题、常考题型.19.大型中华传统文化电视节目《中国诗词大会》以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨，深受广大观众喜爱，各基层单位也通过各种形式积极组织、选拔和推荐参赛选手．某单位制定规则如下：（1）凡报名参赛的诗词爱好者必须先后通过笔试和面试，方可获得入围正赛的推荐资格；（2）笔试成绩不低于85分的选手进入面试，面试成绩最高的3人获得推荐资格．在该单位最近组织的一次选拔活动中，随机抽取了一个笔试成绩的样本，据此绘制成频率分布直方图（如图．同时，也绘制了所有面试成绩的茎叶图（如图2，单位：分）．（Ⅰ）估计该单位本次报名参赛的诗词爱好者的总人数；（Ⅱ）若从面试成绩高于（不含）中位数的选手中随机选取3人，设其中获得推荐资格的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．【答案】（Ⅰ）60人；（Ⅱ）分布列见解析，【解析】【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图求出对应的频率,利用茎叶图估计所求的总人数即可;（Ⅱ）根据题意知,可能的取值为,计算对应概率,列出分布列,代入数学期望公式求解即可.【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图知，笔试成绩不低于85分的频率为，由茎叶图知，参加面试的人数为15人，所以估计该单位本次报名参赛的诗词爱好者的总人数为（人；（Ⅱ）面试成绩高于（不含）中位数的选手有7人，其中获得推荐资格的有3人，所以从7人中随机选取3人，获得推荐资格的人数，1，2，3，计算,,,,所以随机变量的分布列为：所以数学期望为．【点睛】本题考查频率分布直方图和茎叶图的应用及利用排列组合、二项式定理求随机变量的分布列、数学期望;考查学生的运算能力;属于中档题、常考题型.20.设动圆经过点，且与圆为圆心）相内切．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；（Ⅱ）设经过的直线与轨迹交于、两点，且满足的点也在轨迹上，求四边形的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）因为圆的圆心，半径为，由圆与圆相内切，利用椭圆的定义可知,动圆圆心的轨迹是以，为焦点且长轴长为的椭圆即可求解；（Ⅱ）设直线的方程为，一定存在），代入，并整理得，利用韦达定理、向量的坐标运算,结合已知条件即可求解.【详解】（Ⅰ）由已知可得,圆的圆心，半径为，由圆与圆相内切，得，由椭圆定义可知，动圆圆心的轨迹是以，为焦点且长轴长为的椭圆，其方程为．（Ⅱ）设直线的方程为，一定存在），代入，并整理得，所以判别式△恒成立，设，，，，由韦达定理可得,,,设，,则由，得，即，即，又点在轨迹上，故，即，解得，（舍负），因为,所以四边形为平行四边形,所以平行四边形的面积为,即,因为，所以四边形的面积为．【点睛】本题考查椭圆的定义及其几何性质、直线与椭圆的位置关系；重点考查学生的运算求解能力；方程思想和韦达定理的应用与向量的坐标运算相结合是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.21.已知函数，其中为常数，为自然对数的底数．（Ⅰ）若在区间，上的最小值为1，求的值；（Ⅱ）若“，使”为假命题，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）求得函数导数,利用导数判断函数的单调性,求函数的极值即最值,由题意知, 函数的最小值只能在或处取得,分别解方程求解即可.（Ⅱ）若“，使”为假命题，等价于，为真命题,即，恒成立,通过分离参数法和构造函数法,令,结合导数判断函数的单调性,由零点存在性定理求出函数的最小值,进而求出实数的取值范围即可.【详解】（Ⅰ）由题意知,函数的导数为，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时有极大值即最大值，即有的最小值只能在或处取得．若（1）,解得,此时与函数最小值为1相矛盾，故不符合题意；若（e），解得，此时符合题意；综上可知；（Ⅱ）若“，使”为假命题，即，为真命题，等价于，可得恒成立,化简可得，恒成立，令,则，令，则在上单调递增，因为,，由零点存在性定理知,函数在，存在唯一零点，即有，则，两边同时取以为底的对数可得，，所以当时，，即，单调递减，当时，，即，单调递增，所以当时,函数有极小值即最小值,，所以实数的取值范围为．【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性,求函数的极值、最值;通过构造函数,判断函数的单调性、求最值，解决恒成立问题是求解本题的关键;重点考查学生的运算求解能力、转化与化归能力;属于综合型强、难度大型试题.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数，且，在以为极点、轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系取相同的单位长度）中，曲线的极坐标方程为，设直线经过定点，且与曲线交于、两点．（Ⅰ）求点的直角坐标及曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）求证：不论为何值时，为定值．【答案】（Ⅰ）直角坐标为，；（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意,令直线的参数方程中即可求出点的直角坐标，整理化简曲线的极坐标方程,结合,即可得到曲线的直角坐标方程;（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数的几何意义,利用韦达定理即可证明为定值.【详解】（Ⅰ）因为直线的参数方程为（其中为参数，且，所以当时，得点，即点的直角坐标为；又曲线的极坐标方程为，，，，，即曲线的直角坐标方程为；（Ⅱ）证明：将直线的参数方程代入，整理得，其中，所以判别式△，由韦达定理可得,，，由参数方程中参数的几何意义可得,，即不论为何值时，都为定值1．【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化及参数方程中参数的几何意义;利用参数方程中参数的几何意义是证明为定值的关键;属于中档题、常考题型.23.已知不等式的解集为．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设为中的最大元素，正数，满足，求的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用分段讨论法,分，,三种情况分别去绝对值解不等式,然后再取并集即可;（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，先平方,利用均值不等式求出的最大值,然后再开方即可。
福建省闽侯第六中学2019届高三数学上学期开学考试试题文(PDF)
福建省闽侯第六中学2019届高三上学期开学考试数学（文）试题第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{|14}A x x =<<，2{|230}B x x x =--≤，则A U B=（）A ．（﹣1，3）B ．（1，3]C ．[3，4）D ．[﹣1，4]2．若复数(32)z i i =⋅-（i 是虚数单位），则z 的虚部为()A ．-3i B ．3C ．3i D ．-33．已知菱形ABCD 的对角线AC 长为1，则=（）A ．21B ．1C ．2D ．44．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（）A ．32B ．52C ．53D ．1095．已知直线)13-=x y 交抛物线x y 42=于B A ,两点（点A 在x 轴上方），点F 为抛物线的焦点，那么BFAF =（）A ．5B ．4C ．3D ．26．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．16243π+B ．16163π+C ．1683π+D ．883π+7．在等差数列{n a }中，满足：,105531=++a a a ,99642=++a a a n S 表示前n 项和，则使n S 达到最大值的n 是（）A ．21B ．20C ．19D ．188．函数sin ln x y x=的图像大致为（）9．如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A ．1000N P =B ．10004N P =C ．1000M P =D ．10004MP =10．已知函数f (x )(x ∈R)满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2-2x -3|与y =f (x )图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则1=m i i x =∑（）A ．0B ．m C ．2mD ．4m 11．若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≥-+00202y y kx y x 且x y z -=的最小值为4-，则k 的值为（）A ．﹣21B ．21C ．﹣2D ．212．已知B A ,是椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左，右顶点，点P 是椭圆上异于B A ,的动点，记直线BP AP ,的斜率分别为21,k k ，当212121ln ln k k k k -+取得最小值时，椭圆的离心率为（）A ．21B ．12-C ．22D ．23第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知向量()()2,4,3,4a b =-=--，则向量a 与b 夹角的余弦值为_________．14.已知函数()()322,f x x ax bx a a b R =+++∈且函数()f x 在1x =处有极值10，则实数b 的值为_______.15.已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若csinA ＝－acosC ，则3sinA －cos________.16.设函数()f x 是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为()'f x ，且有()()'22f x xf x x +>，则不等式()()()220142014420x f x f ++-->的解集为________.三、解答题（本题共7道小题,共70分）17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，已知24sin 4sin sin 22A B A B -+=+（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）已知4b =，ABC ∆的面积为6，求边长c 的值.18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积．19.（本小题满分12分）。