第七章直线和圆的方程 (2)
高二数学上 第七章 直线和圆的方程： 7.2直线的方程(一)教案
7.2 直线的方程一、教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内，直线上一点和直线的斜率或直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；(二)能力训练点通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．(三)学科渗透点通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．二、教材分析1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程．三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合．四、教学过程问题1：直线L过点(1,2) ,斜率为3，那么直线L上任一点满足什么条件？你能得出直线L的方程吗？问题2：假设直线L经过点P1(x1, y1), 且斜率为k，那么L的方程是什么？(一)点斜式直线l的斜率是k，并且经过点P1 (x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程．重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程．这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1．当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．练习1：课本第39~40页1，2(二)斜截式直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：y-b=k(x-0)也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．当k ≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k 和b 的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y 轴上的截距．练习2：课本第40页 3例1、 求过点(2, -1)且倾斜角为直线x-3y+4=0 的倾斜角的2倍的直线方程。
直线与圆的方程
第七章直线和圆的方程●知识梳理1.直线方程的五种形式2.直线的倾斜角、斜率及直线的方向向量及位置关系:（1）直线的倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.直线和x 轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°,直线倾斜角取值范围0°≤α＜180°. （2）直线的斜率倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，即k =tan α（α≠90°）.倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是（－∞，+∞）.（4）求直线斜率的方法①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k =tan α.②公式法：已知直线过两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），且x 1≠x 2，则斜率k =1212x x y y --.平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率. 对于直线上任意两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），当x 1=x 2时，直线斜率k 不存在，倾斜角α=90°；当x 1≠x 2时，直线斜率存在，是一实数，并且k ≥0时，α=arctan k ，k ＜0时，α=π+arctan k .（5）到角与夹角：若直线l 1, l 2的斜率分别为k 1, k 2，将l 1绕它们的交点逆时针旋转到与l 2重合所转过的最小正角叫l 1到l 2的角；l 1与l 2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。
若记到角为θ，夹角为α，则tan θ=21121k k k k +-,tan α=21121k k k k +-.（6）平行与垂直：若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1, k 2。
且两者不重合，则l 1//l 2的充要条件是k 1=k 2；l 1⊥l 2的充要条件是k 1k 2=-1。
直线方程和圆的方程概念及知识点拓展(高中数学)
直线与圆的概念公式及拓展一．直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角α的范围[)π，0。
当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0。
注意几种角的范围：异面直线所成的角⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0π； 直线和平面所成角⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，； 二面角[]π，0； 两向量的夹角[]π，0；2.斜率定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率k ， 即k=tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率。
直线方程：Ax+By+C=0的斜率BAk -=。
方向向量：若()n m a ,=为直线的方向向量，则直线的斜率mn k =。
已知直线上两点：过两点()),(,,2211y x y x 的直线的斜率1212x x y y k --=。
二．直线方程的五种形式：1.点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，斜率为k ，则直线方程)(00x x k y y -=-，它不包括垂直于x 轴的直线。
2.斜截式：已知直线斜率为k ，在y 轴上的截距b ，则直线方程为y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线。
3.两点式：已知直线过了P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2，y 1≠y 2)两点，则直线方程为121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于x 轴的直线。
4.截距式：已知直线在x ，y 轴上的截距分别为a ，b ( a ≠0，b ≠0)则直线方程为1=+bya x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。
5.直线的一般式方程：任何直线都可以写成Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)的形式。
拓展：1.直线在坐标轴上的截距可正，可负，也可为0。
直线的斜率为1或直线过原点，则直线两截距互为相反数； 直线的斜率为-1或直线过原点，则直线两截距相等。
2.设直线方程的一些常用技巧：（1）已知直线y 轴截距b ，常设其方程为y ＝kx ＋b 。
第七章 第5节 圆的切线、切点弦结论-解析版
第5节 圆的切线、切点弦结论知识与方法1求过圆()()222:C x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的圆C 的切线的步骤如下： （1）先验证经过点P 且垂直于x 轴的直线是否和圆C 相切，若是，如图1所示，所求切线为0x x =，问题求解完毕；若否，则进行下一步；（2）设切线斜率为k ，如图2所示，由PC ⊥切线，求出k ，用点斜式写出切线的方程，问题求解完毕.上述问题的结论：圆C 上点P 处的切线的方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=.2求过圆()()222:C x a y b r -+-=外一点()00,P x y 的圆C 的切线的步骤如下： （1）先验证过点P 且垂直于x 轴的直线是否和圆相切，若是，如图3所示，其中一条切线为0x x =（2）设切线的斜率为k ，用点斜式写出切线的方程，由圆心到切线的距离d r =，解出k ，求得切线方程.3.过圆()()222:C x a y b r -+-=外一点()00,P x y 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，如图4所示，则切点弦AB 所在直线的方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=典型例题【例l 】圆()22:14C x y -+=在点(3P 处的切线方程为______.【解析】显然点P 在圆C 上，故所求切线的方程为()()01134x --+=，化简得：330x -+=.【答案】330x -+=变式1 圆22:230C x y x +--=在点()2,3P -处的切线方程为______. 【解析】易验证点P 在圆C 上，故所求切线的方程为2232302xx +-⋅-=，化简得：350x --=【反思】过圆C 上的点()00,P x y 作圆C 的切线，则切线的方程可以在圆C 的一般式方程中将2x 换成0x x ，将2y 换成0y y ，将x 换成02x x +，将y 换成02y y+得到. 【答案】350x --=变式2 已知圆()22:14C x y -+=，则：（1）圆C 的过点()2,0P -的切线方程为_______；（2）圆C 的过点()3,1Q 的切线方程为_______ 【解析】（1）显然过点P 且斜率不存在的直线2x =-与圆C 不相切， 故可设切线的方程为()2y k x =+， 即20kx y k -+=2221k k k +=+，解得：25k =，故圆C 的过点P 的切线方程为)252y x =+； （2）易得过点Q 且斜率不存在的直线3x =与圆C 相切，设另一条切线的方程为()13y m x -=-，即130mx y m -+-=21321m m m +-=+，解得：34m =-，所以该切线的方程为()3134y x -=--，化简得：34130x y +-=，综上所述，圆C 的过点Q 的切线方程为3x =或34130x y +-=. 【答案】（1）)252y x =+；（2）3x =或34130x y +-= 【例2】已知圆22:4O x y +=外一点()2,3P ，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为_______【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为234x y +=，即2340x y +-= 【答案】2340x y +-=变式1 已知圆22:2410C x y x y +--+=外一点()2,1P -，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______.【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为212241022x yx y -++-+-⋅-⋅+= 化简得：310x y +-=【反思】过圆C 外的点()00,P x y 作圆C 的两条切线，则切点弦所在直线的方程，可在圆C 的一般式方程中将2x 换成0x x ，将2y 换成0y y ，将x 换成02x x +，将y 换成02y y +得到.【答案】310x y +-=变式2 已知圆22:4Q x y +=，P 为直线:4l y x =+上一点，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A 和B ，若四边形PAOB 的面积为12，则直线AB 的方程为______. 【解析】如图，2224AP PO AO PO =-=-所以四边形PAOB 的面积212242S AP AO PO =⨯⋅=- 由题意，22412PO -=，解得:210PO =由题意，点P 在直线:4l y x =+上，故可设(),4P m m +， 则()224PO m m =++()224210m m ++，解得：6m =-或2，当6m =-时，()6,2P --，此时直线AB 的方程为624x y --=，化简得：320x y ++= 当2m =时，()2,6P ，此时直线AB 的方程为264x y +=，化简得：320x y +-=， 所以直线AB 的方程为320x y ++=或320x y +-=【答案】320x y ++=或320x y +-=变式3 已知圆22:4O x y +=，P 为直线:260l x y ++=上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，当四边形PACB 的面积最小时，则直线AB 的方程为______. 【解析】如图，2224AP PO AO PO =-=-所以四边形PACB 的面积212242S AP AO PO =⨯⋅=-PO 最小时，S 也最小，此时PO l ⊥，易求得PO 的方程为20x y -=， 联立20260x y x y -=⎧⎨++=⎩解得：65x =-，125y =-，所以612,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故直线AB 的方程为612455x y --=，化简得：36100x y ++=.【答案】36100x y ++=变式4 已知直线:4l y x =+与x 轴交于点T ，过直线l 上的动点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，设AB 中点为M ，则TM 的最小值为（ ）A.22B.3217 D.3【解析】如图，因为点P 在直线:4l y x =+上，所以可设(),4P m m +，则切点弦AB 所在直线的方程为()44mx m y ++=即()440m x y y ++-=，所以直线AB 过定点()1,1Q -，又M 为AB 中点，所以OM AB ⊥，故点M 在以OQ 为直径的圆上，从而点M 的轨迹是以11,22G ⎛⎫- ⎪⎝⎭2为半径的圆，显然点()4,0T -在该圆外，所以min222TMTG ==.【反思】当动点P 在与圆C 相离的某一定直线上运动时，过点P 作圆C 的两条切线，则切点弦所在的直线是过定点的直线，熟悉这一模型，本题的求解就不困难了. 【答案】A强化训练1.（★★）圆22:40C x y x +-=在点(3P 处的切线方程为（ ） A.320x y +-=B.340x y -=C.340x +=D.320x -+=【解析】显然点P 在圆C 上，故所求切线的方程为113402xx y +⋅-⋅=，化简得：320x -+=.【答案】D2.（★★）已知圆()22:11C x y +-=，则： （1）圆C 的过点()0,2P -的切线方程为______； （2）圆C 的过点()1,1Q -的切线方程为______.【解析】（1）显然过点P 且斜率不存在的直线0x =与圆C 不相切，故可设切线的方程为()()20y k x --=-，即20kx y --=21211k --=+，解得：22k =±C 的过点P的切线方程为22y x =±-；（2）易得过点Q 且斜率不存在的直线1x =与圆C 相切，设另一条切线的方程为()()11y m x --=-，即10mx y m ---=21111m m ---=+，解得：34m =-，所以该切线的方程为()()3114y x --=--，化简得：3410x y ++=，综上所述，圆C 的过点Q 的切线方程为1x =或3410x y ++= 【答案】（1）22y x =±-；（2）1x =或3410x y ++=3.（★★）已知圆()22:12C x y -+=外一点()2,2P ，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______. 【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为()()21122x y --+=，化简得：230x y +-=. 【答案】230x y +-=4.（★★）已知圆()()22:129C x y -+-=外一点()4,2P -，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______.【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为()()()()4112229x y ---+--=，化简得：45x =-.【答案】45x =-5.（★★）已知圆22:2440C x y x y +---=外一点()4,1P --，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______.【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为414244022x y x y -----⋅-⋅-=，化简得：5320x y +-=.【答案】5320x y +-=6.（★★★）已知圆22:2440C x y x y +---=，P 为直线:20l x y ++=上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，若四边形PACB 的面积为12，则直线AB 的方程为______.【解析】如图，2229AP PC AC PC =--所以四边形PACB 的面积212392S AP AC PC =⨯⋅=- 由题意，23912PC -，解得：5PC =，由题意，点P 在直线20x y ++=上，故可设(),2P m m --，则()()22122PC m m -+---()()221225m m -+---，解得：4m =-或1，当4m =-时4,2P -，此时直线AB 的方程为4242244022x yx y -++-+-⋅-⋅-=， 化简得：45x =-，当1m =时，()1,3P -， 此时直线AB 的方程为133244022x yx y +-+--⋅-⋅-=， 化简得：15y =， 所以直线AB 的方程为45x =-或15y =.【答案】45x =-或15y =7.（★★★）已知圆22:2440C x y x y +---=，P 为直线:20l x y ++=上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，当四边形PACB 的面积最小时，则直线AB 的方程为______.【解析】()()222224429x y x y y +---⇒+-=⇒圆心()1,2C ，半径3r =. 如图，2229AP PC AC PC =--所以四边形PACB 的面积212392S AP AC PC =⨯⋅=- 所以当PC 最小时，S 也最小，此时，PC l ⊥， 故PC 的方程为21y x -=-，即10x y -+=，联立1020x y x y -+=⎧⎨++=⎩解得：32x =-，12y =-，即31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以直线AB 的方程为()()311122922x y ⎛⎫⎛⎫---+---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：5530x y ++=.【答案】5530x y ++=8.（★★★★）已知P 为抛物线2:4C y x =上的动点，过P 作圆()22:44M x y -+=的两条切线，切点分别为A 和B ，则当四边形PAMB 的面积最小时，直线AB 的方程为______. 【解析】如图，2224AP PM AMPM =-=-所以四边形PAMB 的面积212242S AP AM PM =⨯⋅=- 所以当PM 最小时，S 也最小，由题意，()4,0M ， 可设()2,2P t t ，则()()2222242244416212PM t t t t t =-+=-+=-+，故当2t =±PM 取得最小值，此时(2,22P ±，所以直线AB 的方程为()()244224x --±=， 化简得：220x ±-=.【答案】220x +-=或220x =-=9.（★★★★）已知圆22:2440C x y x y +---=，P 为直线:20l x y ++=上的动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，AB 的中点为Q ，若点T 的坐标为111,1010⎛⎫⎪⎝⎭，则TQ 的最小值为______.【解析】()()22222440129x y x y x y +---=⇒-+-=⇒圆心()1,2C ，半径3r =， 设(),2P m m --，则切点弦AB 所在直线的方程为()()()()112229m x m y --+----=， 化简得：()140m x y x y -+--=，所以直线AB 过定点41,55K ⎛⎫- ⎪⎝⎭，如图，显然CQ KQ ⊥，所以点Q 的轨迹是以CK 为直径的圆，其圆心为111,1010G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2241921255CK ⎛⎫⎛⎫=--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为22111111*********GT ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭min 122TQ GT GK =-=.2。
解析几何-直线与圆的方程(二)
高二数学授课教案学生姓名授课教师班主任上课时间9 月 23 日时—时科目数学课题第1课时平面解析几何——直线与圆的方程学习目标1．回顾、加强空间坐标系、直线与圆的方程基础知识．2．巩固直线、圆的方程的主要求解方法．(重点)3．能够解决综合性解析几何问题．(难点)教学过程教学设计一、主干知识梳理1．直线方程的五种形式(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．(3)两点式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．(4)截距式：xa＋yb＝1(a、b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．设直线方程的一些常用技巧：1．知直线纵截距b，常设其方程为y kx b=+；2．知直线横截距x，常设其方程为x my x=+(它不适用于斜率为0的直线)；3．知直线过点00(,)x y，当斜率k存在时，常设其方程为00()y k x x y=-+，当斜率k不存在时，则其方程为x x=；4．与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=； 5．与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。
2．直线的两种位置关系当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时： (1)两直线平行l1∥l2⇔k1＝k2. (2)两直线垂直l1⊥l2⇔k1•k2＝－1.提醒:当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略．3．三种距离公式(1)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离：|AB |＝ x 2－x 1 2＋ y 2－y 1 2. (2)点到直线的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2(其中点P (x 0，y 0)，直线方程：Ax ＋By ＋C ＝0)．(3)两平行线间的距离：d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0)．提醒:应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x ，y 的系数应对应相等．4．圆的方程的三种形式(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．(3)圆的参数方程：{cos sin x a r y b r θθ=+=+（θ为参数），其中圆心为(,)a b ，半径为r 。
直线方程
城东蜊市阳光实验学校第七章直线和圆的方程知识构造网络直线方程一、明确复习目的1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，2.掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，掌握由一点和斜率导出直线方程的方法；3.能根据条件纯熟地求出直线方程. 二．建构知识网络1.直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，假设把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角当直线和x 轴平行或者者重合时，我们规定直线的倾斜角为0° 可见，直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°2.直线的斜率：倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，即k=tanα〔α≠90°〕倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，斜率的取值范围是〔－∞，+∞〕 3.直线的方向向量：设F1〔x1，y1〕、F2〔x2，y2〕是直线上不同的两点，那么向量21F F =〔x2－x1，y2－y1〕称为直线的方向向量向量121x x -21F F =〔1，1212x x y y --〕=〔1，k 〕也是该直线的方向向量，k 是直线的斜率.特别地，垂直于x 轴的直线的一个方向向量为a ＝(0,1)4.直线的倾斜角、斜率、方向向量都是刻划、描绘直线的倾斜成度的。
每一条直线都有倾斜角和方向向量，但不是每一条直线都有斜率，要注意三者之间的内在联络。
5.直线方程的五种形式 点斜式：)(00x x k y y -=-，(斜率存在)斜截式：b kx y +=(斜率存在) 两点式：121121x x x x y y y y --=--，(不垂直坐标轴)截距式：1=+bya x (不垂直坐标轴,不过原点) 一般式：0=++C By Ax6．过直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为： A1x+B1y+C1+λ〔A2x+B2y+C2〕=0〔λ∈R〕(除l2外)。
直线与圆、圆与圆的位置关系教案(绝对经典)
第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系【最新考纲】 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.【高考会这样考】 1.考查直线与圆的相交、相切问题，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；2.计算弦长、面积，考查与圆有关的最值；根据条件求圆的方程．要 点 梳 理1.直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎨⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.2.圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R ，r ，R ＞r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系可用下表来表示：[友情提示]1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y ＝r2.2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解.基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.()解析(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A.内切B.相交C.外切D.相离解析两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42＋12＝17.∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交.答案 B3.已知直线y＝mx与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，则m值为()A.±3B.±33 C.±32 D.±1解析将y＝mx代入x2＋y2－4x＋2＝0，得(1＋m2)x2－4x＋2＝0，因为直线与圆相切，所以Δ＝(－4)2－4(1＋m2)×2＝8(1－m2)＝0，解得m＝±1.答案 D4.已知圆的方程为x2＋y2＝1，则在y轴上截距为2的切线方程为________.解析在y轴上截距为2且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y＝kx＋2，则|2|k 2＋1＝1，所以k ＝±1，故所求切线方程为y ＝x ＋2或y ＝－x ＋ 2. 答案 x －y ＋2＝0或x ＋y －2＝05.圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________.解析 由⎩⎨⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以，所求弦长为2 2. 答案 22题型分类 深度解析考点一 直线与圆的位置关系考点一 直线与圆的位置关系【例1】 (1)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A.相切B.相交C.相离D.不确定(2)(一题多解)圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点的充要条件是________. 解析 (1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2＜1，故直线与圆O 相交.(2)法一 将直线方程代入圆方程，得(k 2＋1)x 2＋4kx ＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k 2－12(k 2＋1)＜0，解得－3＜k ＜ 3. 法二 圆心(0，0)到直线y ＝kx ＋2的距离d ＝2k 2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d ＞1， 即2k 2＋1＞1，解得－3＜k ＜ 3. 答案 (1)B (2)－3＜k ＜ 3规律方法 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.【变式练习1】 (1)圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( )A.相切B.相交但直线不过圆心C.相交过圆心D.相离(2)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)，设条件p ：0<r <3，条件q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B .必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 (1)由题意知 圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2×1－2－5|22＋12＝5<6且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心.(2)由题意知，圆心C (1，0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1＋3|2＝2，至多有2点到直线的距离为1时，0<r <3；反之也成立，故选C. 答案 (1)B (2)C考点二 圆的切线、弦长问题【例2】 (1)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________.(2)过点P (2，4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为________.解析 (1)圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0,即C :x 2＋(y －a )2＝a 2＋2,圆心为C (0，a )，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π.(2)当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d ＝|k －1＋4－2k |k 2＋（－1）2＝|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0，即4x －3y ＋4＝0. 综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0. 答案 (1)4π (2)x ＝2或4x －3y ＋4＝0 规律方法 1.弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长. (2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2. 2.圆的切线方程的两种求法(1)代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k .(2)几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k .【变式练习2】 (1)过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________. (2)过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为________.解析 (1)设P (3，1)，圆心C (2，2)，则|PC |＝2，半径r ＝2，由题意知最短的弦过P (3，1)且与PC 垂直，所以最短弦长为222－（2）2＝2 2.(2)将圆的方程化为标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝5，则圆心为(3，4)，半径长为 5. 由题意可设切线的方程为y ＝kx ，则圆心(3，4)到直线y ＝kx 的距离等于半径长5，即|3k －4|k 2＋1＝5，解得k ＝12或k ＝112，则切线的方程为y ＝12x 或y ＝112x .联立切线方程与圆的方程，解得两切点坐标分别为(4，2)，⎝⎛⎭⎫45，225，此即为P ，Q 的坐标，由两点间的距离公式得|PQ |＝4. 答案 (1)22 (2)4 考点三 圆与圆的位置关系【例3】 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)当m ＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解 因为两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为11，61－m ，(1)当两圆外切时，由（5－1）2＋（6－3）2＝11＋61－m ，得m ＝25＋1011. (2)当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5， 所以61－m －11＝5，解得m ＝25－1011.(3)由(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0. 故两圆的公共弦的长为2（11）2－⎝⎛⎭⎪⎫|4＋3×3－23|42＋322＝27.规律方法 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到. 【变式练习3】 (1)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A.内切B.相交C.外切D.相离(2)已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1 相外切，则ab 的最大值为( ) A.62B.32C.94D.2 3解析 (1)∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1为a ，圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2.∴M (0，2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标N (1，1)，半径r 2＝1，∴|MN |＝（1－0）2＋（1－2）2＝2，r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1. ∴r 1－r 2＜|MN |＜r 1＋r 2，∴两圆相交，故选B.(2)由圆C 1与圆C 2相外切，可得（a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9，根据基本不等式可知ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立. 答案 (1)B (2)C课后练习A 组(时间：40分钟)一、选择题1.圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A.－43B.－34C. 3D.2解析 由圆的方程x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0得圆心坐标为(1，4)，由点到直线的距离公式得d ＝|1×a ＋4－1|1＋a 2＝1，解之得a ＝－43. 答案 A2.过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A.2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y －7＝0 C.x －2y －5＝0D.x －2y －7＝0解析 ∵过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条， ∴点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上， ∵圆心与切点连线的斜率k ＝1－03－1＝12，∴切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0. 答案 B3.(2018·洛阳一模)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( )A.充分不必要条件 B .必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 依题意，因|AB |＝2，则圆心O 到直线l 的距离等于12－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22，即有1k 2＋1＝22，k ＝±1.因此，“k ＝1”是“|AB |＝2”的充分不必要条件，选A. 答案 A4.圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个解析 圆的方程化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点. 答案 C5.过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A.y ＝－34 B.y ＝－12 C.y ＝－32D.y ＝－14解析 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1，0)，半径为1，以|PC |＝（1－1）2＋（－2－0）2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12. 答案 B 二、填空题6.已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.解析 由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0，0)，半径r ＝23， ∴圆心(0，0)到直线x －3y ＋6＝0的距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3. ∵直线l 的方程为x －3y ＋6＝0，∴直线l 的倾斜角∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°， 因此|CD |＝|CE |sin 60°＝23sin 60°＝4. 答案 47.已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴.过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝________.解析 由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴， 则圆心C (2，1)满足直线方程x ＋ay －1＝0， 所以2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以A 点坐标为(－4，－1). 从而|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，所以|AB |2＝40－4＝36.即|AB |＝6. 答案 68.点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是________.解析 把圆C 1、圆C 2的方程都化成标准形式，得 (x －4)2＋(y －2)2＝9，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4.圆C 1的圆心坐标是(4，2)，半径长是3；圆C 2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.圆心距d ＝（4＋2）2＋（2＋1）2＝35>5.故圆C 1与圆C 2相离，所以，|PQ |的最小值是35－5.答案 35－5 三、解答题9.已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上. (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程. 解 (1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )， 则（a －2）2＋（－2a ＋1）2＝|a －2a －1|2.化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1. 所以C 点坐标为(1，－2)，半径r ＝|AC |＝（1－2）2＋（－2＋1）2＝ 2. 故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ， 由题意得|k ＋2|1＋k2＝1，解得k ＝－34，则直线l 的方程为y ＝－34x .综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.10.已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点. (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r ＝1， 由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k <4＋73. 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8.由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.B 组(时间：20分钟)11.已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，则过点P (2，－1)的圆C 的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( ) A.1031B.921C.1023D.911解析 易知P 在圆C 内部，最长弦为圆的直径10， 又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC |＝2， ∴最短弦的长为2r 2－|PC |2＝225－2＝223， 故所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023.答案 C12.过点A (1，2)的直线l 将圆C ：(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________.解析 易知点A (1，2)在圆(x －2)2＋y 2＝4的内部，圆心C 的坐标为(2，0)，当直线l 被圆截得的弦的弦心距最长时，劣弧所对的圆心角最小，此时l ⊥CA ，如图所示，所以k ＝－1k CA ＝－1－2＝22. 答案 2213在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1).当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.(1)解 不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足方程x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12， 所以不能出现AC ⊥BC 的情况.(2)证明 BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m 2.联立⎩⎨⎧x ＝－m 2，①y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22，② 又x 22＋mx 2－2＝0，③由①②③解得x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92. 故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝⎛⎭⎫m22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.。
直线和圆的参数方程(直线参数方程)
因为点M在椭圆内, 这个方程必有两个实根, 所以
4cos 2sin
t1 t2 3sin 2 1 .
因为点M为线段AB的中点,所以 t1
t2 2
0, 即
cos 2sin 0,于是直线l的斜率为
1
k tan 2 .
因此, 直线l的方程是y
因此方程③ 有两个根,设这两 个根分别为t1,t2, 容易得到
程ax2 bx c 0
的两个根为x1 , x2 ,
则x1
x2
c a
.
| PA | | PB || t1 | | t2 || t1t2 |
b2 x02 a2 y02 a2b2
b2 cos2 a2 sin 2
7 15 t
25 4
7 ,
M• 450 P x
O
图2 15
由计算器计算可得,t的范围约为2.0 t 8.6.
所以,大约2h后该城市开始受到台风侵袭. 思考 在例3中,海滨城市O受台风侵袭大概持续多
长时间?如果台风侵袭的半径也发生变化(比如:当
前半径为250km,并以10km/ h的速度不断增大),那
于A, B两点.如果点M恰好为线段AB的中点,求直
线l的方程.
解 设过点M 2,1的直线的参数方程为
x 2 t cos, y 1 t sin .
t为参数
代入椭圆方程,整理得
3sin 2 1 t2 4cos 2sin t 8 0.
由t的几何意义知| MA || t1 |,| MB || t2 | .
2 2 t,
y 2
2 2 t.
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直线的方程〖考纲要求〗理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一个点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程。
〖双基回顾〗1、直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按__________________________________________________________,那么角就叫做直线的倾斜角。
规定：当直线和x 轴平行或重合时其倾斜角为：_ __，所以直线的倾斜角的取值范围是：_______________.2、直线的斜率是指：_____________________________________________.3、经过两面点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)的直线的斜率公式为：k =_______________. 4〖课前训练〗1、直线9x －4y =36的纵截距为………………………………………………………………………（ ） (A )9 (B )－9 (C ) －4 (D ) 94-2）3、直线经过点P （－2，－1）并且在两坐标轴上的截距和为0，则此直线方程为 .4、两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，在方向向量为=(1,k )的直线上且AB =t ，则|y 1－y 2|=________（用t ,k 表示）.〖典型例题〗1、若2π-<α<0，则直线y =xcot α的倾斜角是……………………………………………………（ ） （A ）α （B ）απ-2 （C ）2πα- （D ）απ+2、下列四个命题中真命题是…………………………………………………………………………（ ）(A )经过点P (x o ,y o )的直线都可以用方程y －y o =k (x －x o )表示.(B )经过任意两不同点P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)=(x －x 1)(y 2－y 1)表示. (C )不经过原点的直线都可以用方程1=+bya x 表示. (D )经过定点A (0,b )的直线都可以用方程y =kx +b 表示.5、求将直线x －y 3+=2绕点()3,2逆时针旋转12π后所得直线方程.6、求过点P (0,1)的直线，使它夹在两已知直线l 1：2x ＋y －8=0和l 2：x －3y ＋10=0间的线段被点P 平分。
7、过点P (2,1)作直线l 分别交x 、y 轴正半轴于A ，B 两点. (1)当ΔAOB 面积最小时，求直线l 的方程; (2)当|P A |·|PB |取最小值时，求直线l 的方程.〖课堂练习〗1（95年）如图，直线的斜率分别为k 1、、k 2、、k 3，则…………………（ ） （A ）k 1<k 2<k 3 （B ）k 3<k 1<k 2（C ）k 3<k 2< k 1 （D ）k 1< k 3< k 22（93年）直线ax ＋by =ab (a <0,b <0 )的倾斜角是………………………（ ） （A ）)arctan(a b - （B ）)arctan(ba-（C ）π－)arctan(a b （D ）)arctan(ba -π3（93年文）若直线ax ＋by ＋c =0在第一、二、三象限，则…………………………………………（ ）。
（A ）ab >0,bc >0 （B ）ab >0,bc <0 （C ）ab <0,bc >0 （D ）ab <0,bc <04（2000年上海春季）若直线的倾斜角为)21arctan(-+π且过点(1,0)，则直线的方程为_____________. *5、已知直线l 过点P (－1,2)，且与以A (－2,－3),B (3,0)为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率的值范围是：___________________________.2〖能力测试〗 姓名 得分 . 1、过点(4,0)和点(0,3)的直线的倾斜为………………………………………………………………（ ） (A )43arctan (B ))43arctan(- (C )43arctan -π (D ))43arctan(--π 2、如果AC <0且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C =0不通过的象限是…………………………………（ ） (A )第一象限 (B )第二象限 (C )第三象限 (D )第四象限 3、直线2x －3y ＋6=0绕着它与y 轴的交点逆时针旋转45°的角，则此时在x 轴上的截距是……（ ）(A )－54 (B ) －56 (C )45 (D )－45 4、),2(ππ∈θ，则直线xcos θ+ys i n θ+1=0的倾斜角为…………………………………………（ ）(A )θ－2π (B )θ (C ) θ＋2π(D ) π－θ5、过点（－2，1）在两条坐标轴上的截距绝对值相等的直线条数有……………………………（ ）(A )1 (B )2 (C )3 (D )46、直线xcos θ＋y ＋m =0的倾斜角范围是…………………………………………………………（ ）(A )),0[π (B )]43,2()2,4[ππππ (C ) ]43,4[ππ (D )),43[]4,0[πππ7、经过点P （0，－1）并且倾斜角的正弦值为53的直线方程为 .9、⑴直线L 过点P （2，－3）并且倾斜角比直线y =2x 的倾斜角大45º，求直线L 的方程.⑵直线L 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1并且经过点（6，－2），求此直线方程.两条直线的位置关系（1）〖考纲要求〗掌握两条直线平行与垂直的条件，能够根据方程判定两条直线的位置关系，会求两条相交直线的夹角和交点，掌握点到直线的距离公式.〖基本理论〗1、两条直线：l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0的位置关系：⑴相交⇔ ⑵平行⇔ ⑶重合⇔2、点P （x 0，y 0）到直线Ax +By +C =0的距离为d =2200||BA C By Ax +++3、两条平行直线：Ax +By +C 1=0，Ax +By +C 2=0的距离为d =4、直线l 1到l 2的角： ⑴定义：⑵求法：12121k k k k tg +-=α5、直线l 1到l 2的夹角： 〖知识点训练〗 1、过点A （－2，1）与x 轴垂直的直线方程是………………………………………………………（ ）(A )x =－2 (B )y =1 (C )x =1 (D )y =－2 2、点（4，a ）到直线4x －3y =1的距离不大于3，则实数a 的取值范围是………………………（ ）(A )[2，12] (B )[1，12] (C )[0，10] (D )[－1，9] 3、直线x ＋y ＋4=0和直线5x －2y =0相交成的锐角的正切为……………………………………（ ）(A )34 (B )37 (C )43 (D )734、两条直线3x ＋2y ＋m =0与(m 2＋1)x －3y ＋2－3m =0 的位置关系是…………………………（ ） (A )平行 (B )重合 (C )相交 (D )不能确定 〖典型例题〗1、直线l 1：x ＋my ＋6=0与l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m =0，则当m 为何值时： ⑴它们相交；⑵它们平行；⑶它们垂直；⑷夹角为4π2、直线l 1、l 2的斜率是方程6x 2＋x －1=0的根，求这两条直线的夹角.3、等腰三角形底边的方程为x ＋y －1＝0,一腰的方程为x －2y －2＝0,点(－2,0)在另一腰上，求此腰的方程.4、如果三条直线l 1：4x ＋y －4=0、l 2：mx ＋y =0、l 3：2x －3my －4=0不能围成三角形，求实数m 的值.〖课堂练习〗1、已知直线方程：1l ：2x －4y ＋7=0；2l ：x －ay ＋5=0。
且1l ∥2l ，则a = 。
2、已知直线1l ：2x －4y ＋7=0，则过点A （3，7）且与直线1l 平行的直线的方程是 。
3、已知直线1l ：2x －4y ＋7=0，则过点A （3，7）且与直线1l 垂直的直线的方程是 。
4、如果直线ax ＋2y ＋1=0与直线x ＋y －2=0垂直，那么a =……………………………………（ ） (A )1 (B ) －31 (C )32(D )－2 5、点（0，5）到直线y =2x 的距离是………………………………………………………………（ ） (A )25 (B )5 (C )23(D )256、两直线2x －y ＋k = 0 与4x －2y ＋1 = 0的位置关系为…………………………………………（ ）(A )平行 (B )垂直 (C )相交但不垂直 (D )平行或重合 8、已知直线2x ＋y －2 =0和mx －y ＋1 = 0的夹角为450，则m 的值为 .〖能力测试〗 姓名 得分 1、如果直线mx ＋y －n =0与x ＋my －1=0平行，则有………………………………………………（ ） (A )m =1 (B )m =±1(C )m =1且n ≠－1 (D )m =－1且n ≠1或者m =1且n ≠－12、一直线l 绕其上一点P 逆时针旋转15º后得到直线3x －y －3=0，再逆时针旋转75º后得到直线x ＋y －1=0，则l 的方程为………………………………………………………………………（ ） (A )x －y －1=0 (B ) x ＋y －1=0 (C )3x ＋y －3=0 (D ) 3x －y ＋3=0*3、l 1：y =mx ，l 2：y =nx ，设l 1的倾斜角是l 2倾斜角的2倍，l 1的斜率是l 2斜率的4倍，并且l 1不平 行于x 轴，那么mn =………………………………………………………………………………（ ） (A )22(B )2 (C )－3 (D ) 1 4、)23,(ππ∈α，则两直线0cos 1sin 0cos 1=+α++α=+α-+n y x m y x 与的关系是（ ） (A )平行 (B )垂直 (C )平行或者垂直 (D )相交但是不一定垂直 5、直线l 1：2x －3y ＋1=0与l 2：x －3=0的夹角（区别于到角）是……………………………………（ ） (A )2π－a r c tan 23 (B )a r c tan 32 (C )2π－a r c tan 32 (D )2π＋ a r c tan 326、如果直线ax ＋2y ＋1=0、x ＋y －2=0以及x 、y 轴围成的四边形有外接圆，那么a =……………（ ） (A )1 (B )－31 (C )32- (D )－2 7、a =0是直线x ＋2ay －1=0与(3a －1)x －ay －1=0平行的…………………………………………（ ）(A )充分不必要条件 (B ) 必要不充分条件 (C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件 9、如果直线ax ＋4y －2=0与直线2x －5y ＋C =0垂直相交于点A （1，m ），求a 、m 、C 之值.两条直线的位置关系（2）〖考纲要求〗掌握两条直线平行与垂直的条件，能够根据方程判定两条直线的位置关系，会求两条相交直线的夹角和交点，掌握点到直线的距离公式，掌握对称问题的基本处理方法.〖教学目的〗运用两条直线位置关系理论解决实际问题 〖课前练习〗 1、以A （1，3）、B （－5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是…………………………………（ ） (A )3x －y ＋8=0 (B )3x ＋y ＋4=0 (C )2x －y －6=0 (D )2x ＋y ＋2=0 2、直线l 1经过P （－2，－2），l 2经过点Q （1，3），现l 1与l 2分别绕P 、Q 旋转但是保持l 1∥l 2，则l 1与l 2的距离d ∈ . 3、如果直线y =ax ＋2与直线y =3x －b 关于直线y =x 对称，则有…………………………………（ ） (A )a =31，b =6 (B ) a =31，b =－6 (C )a =3，b =－2 (D )a =3，b =6 〖典型例题〗1、求证：直线(m ＋2)x －(1＋m )y －(6＋4m )=0与点P （4，－1）的距离不等于3.2、求与直线3x ＋4y －8=0、6x ＋8y ＋11=0距离相等的直线方程.3、△ABC 中，A （3，－1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为：6x ＋10y －59=0，∠B 的平分线方程B T 为：x －4y ＋10=0，求直线BC 的方程.4、一条直线l 被l 1：2x ＋y －6=0与l 2：4x ＋2y －5=0所截得的线段长为27，求此直线l 的方程.5、⑴已知A (2，0)，B (－2，－2)，在直线L ：x ＋y －3 = 0上求一点P 使|P A | + |PB | 最小.⑵直线l ：y =2x ＋3，A （3，4），B （11，0），在l 上找一点P ，使P 到A 、B 距离之差最大.〖课堂训练〗 1、点（3，1）关于直线y +x －1=0的对称点坐标为………………………………………………（ ）(A )（1，3） (B )（－1，－3） (C )（0，－2） (D )（－2，0） 2、三角形ABC 中，A （3，－1），∠B 、∠C 的平分线方程分别为x =0与y =x ，那么直线BC 方程为…………………………………………………………………………………………………（ ）(A )y =2x ＋5 (B )y =2x ＋3 (C )y =3x ＋5 (D )252+-=x y 3、一条光线自点A （－4，2）射入，遇到x 轴被反射后遇到y 轴又被反射，这时的光线经过点B （－1，3），求两个反射点间的光线长度及两次反射光线方程.〖能力测试〗姓名得分.1、光线从点P（2，3）射到直线y=－x－1上，反射后经过Q（1，1），则反射光线方程为…（）(A)x－y＋1=0 (B)4x－5y＋31=0 (C)4x－5y＋16=0 (D)4x－5y＋1=02、点A（1，3），B（5，－2），点P在x轴上使|AP|－|BP|最大，则P的坐标为………………（）(A)(4,0) (B)(13,0) (C)(5,0) (D)(1,0)4、直线l：y=3x－4关于点P（2，－1）对称的直线方程为…………………………………………（）(A)y=3x－7 (B)y=3x－10 (C)y=3x－18 (D)y=3x＋45、点A(－6,0)、B(0,8),点P在直线AB上，AP∶AB=3∶5，求点P到直线15x＋20y－16=0的距离.6、三角形ABC的顶点A（2，－4），∠B、∠C的平分线方程分别为：x＋y－2=0、x－3y－6=0，求此三角形另外两个顶点B、C的坐标.7、知三角形ABC的一条内角平分线CD的方程为2x＋y－1 = 0，两个顶点A(1，2)，B(－1，－1)，求第三个顶点C的坐标.（简单的）线性规划〖考纲要求〗使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可得域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.〖双基回顾〗1、如图所示，不等式组5003x y x y x -+≥⎧⎪+>⎨⎪<⎩表示的平面区域是…………………………………………（ ）2、不等式3|2|<++m y x 表示的平面区域包含点)0,0(和点),1,1(-则m 的取值范围是……（ ） （A ）32<<-m （B ）60<<m （C ）63<<-m （D ）30<<m 〖典型例题〗1、Z ＝0.9x +y ，式中变量x ,y 满足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+40602843y x y x 求Z 的最小值。