线性代数习题[第三章]-矩阵的初等变换与线性方程组
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习题3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵
1.用初等行变换化矩阵
1021
2031
3043
A
-
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
为行最简形.
2.用初等变换求方阵
321
315
323
A
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
的逆矩阵.
3.设
412
221
311
A
-
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
-
⎣⎦
,
3
22
31
-
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
-
⎣⎦
1
B=,求X使AX B
=.
4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B.
(1) 证明B可逆 (2)求1
AB-.
习题 3-2 矩阵的秩
1.求矩阵的秩:
(1)310211211344A ⎡⎤
⎢⎥=--⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
(2)111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
L L L L L L L 01,2,,i i a b i n ≠⎡
⎤
⎢⎥=⎣⎦
L
2.设12312323k A k k -⎡⎤
⎢⎥=--⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
问k 为何值,可使
(1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)
()3R A =.
3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 .
.()()a R A R B = .()()b R A R B <；
.()()1c R B R A >-； .()()() 1.d R A R B R A ≥≥-
4. 矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4.
5. 设n (n ≥3)阶方阵⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111ΛΛΛΛΛΛΛΛa a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 1
1-n .
6.设A 为n 阶方阵,且2A A =,试证:
()()R A R A E n +-=
习题 3-3线性方程组的解
1. 选择题
(1)设A 是m n ⨯矩阵,0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( ).
A. 若0Ax =仅有零解,则Ax b =有唯一解
B. 若0Ax =有非零解,则Ax b =有无穷多个解
C. 若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =仅有零解
D. 若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =有非零解,
(2)对非齐次线性方程组m n A x b ⨯=,设()R A r =,则( ).
A.r m =时,方程组Ax b =有解
B.r n =时,方程组Ax b =有唯一解
C.m n =时,方程组Ax b =有唯一解
D.r n <时,方程组Ax b =有无穷多解
（3）设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321
3213221x x x x x x x x x λλλλ
的系数矩阵为A ,且存在三阶方阵B ≠0,使AB =0,则 .
2.-=λa 且0=B ; 2.-=λb 且0≠B ;
C. 1=λ且0=B ; d . 1=λ且0≠B .
（4）设非齐次线性方程组AX=b 的两个互异的解是21,X X ，则 是该方程组的解. 121212121.;.;.
();..22
X X a X X b X X c X X d -+-+
2.解下列方程组: (1)123412341
23420363051050x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩
(2)
21 4222
21
x y z w
x y z w
x y z w
+-+=⎧
⎪
+-+=⎨
⎪+--=⎩
3.设
123
123
123
(2)221
2(5)42 24(5)1
x x x
x x x
x x x
λ
λ
λλ
-+-=
⎧
⎪
+--=
⎨
⎪--+-=--⎩
问λ为何值时,此方程组有唯一解,无解或有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.
4. 设线性方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧=++=++=++000222z c y b x a cz by ax z y x
(1) a,b,c 满足何种关系时,方程组仅有零解?
(2) a,b,c 满足何种关系时,方程组有无穷多解?求出其解.
5.设,,,,,515454343232121a x x a x x a x x a x x a x x =-=-=-=-=-证明这个方程组有解的充分必要条件为051=∑=j j a
,且在有解的情形,求出它的一般解.