(总结一)poj简单动态规划

例1：求一维数组中连续数之和的最大值。

代码：#include<iostream>using namespace std;int a[100];//记录一维数组int res[100];//res[i]表示以第i个数为末尾的连续数之和的最大值int main(){int i,n,max;while(1){cin>>n;if(!n) break;memset(res,0,sizeof(a)),max=-1270000;for(i=0;i<n;i++){cin>>a[i];res[i]=a[i];if(i>0 && res[i-1]>0) res[i]+=res[i-1];//动态规划法if(res[i]>max) max=res[i];//打擂法}cout<<max<<endl;}return 0;}例2（poj1050）：求二维数组中子矩阵之和的最大值。

（例1的拓展）代码：#include<iostream>using namespace std;int a[101][101];//记录二维数组int sum[101][101];//sum[i][j]表示第j列前i行的数之和int res[101][101][101];//res[i1][i2][j]表示从第i1行到第i2行，以第j个数为末尾的连续数之和的最大值int main(){int i,i1,i2,j,n,temp,max;while(1){cin>>n;if(!n) break;memset(sum,0,sizeof(sum)),memset(res,0,sizeof(res));for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++){cin>>a[i][j];//输入二维数组sum[i][j]=sum[i-1][j]+a[i][j];//求第j列前i行之和}max=-1270000;for(i1=1;i1<=n;i1++)//类似一维数组求最大和的方法，将一重循环改为三重循环for(i2=i1;i2<=n;i2++)for(j=1;j<=n;j++){res[i1][i2][j]=sum[i2][j]-sum[i1-1][j];//相当于一维数组中的第j 个数if(res[i1][i2][j-1]>0) res[i1][i2][j]+=res[i1][i2][j-1];if(res[i1][i2][j]>max) max=res[i1][i2][j];}cout<<max<<endl;}return 0;}例3（poj1458）：求最长公共子序列的长度。

代码：#include<iostream>#include<string>using namespace std;int res[500][500];//res[i][j]表示s1中第i个字符、s2中第j个字符之前的最长公共子序列长度int max(int a,int b){return a>b?a:b;}int main(){int i,j,n1,n2;string s1,s2;while(1){cin>>s1>>s2;memset(res,0,sizeof(res)),n1=s1.length(),n2=s2.length();for(i=0;i<n1;i++)for(j=0;j<n2;j++){if(s1[i]==s2[j]) res[i+1][j+1]=res[i][j]+1;//动态规划法else res[i+1][j+1]=max(res[i][j+1],res[i+1][j]);}cout<<res[n1][n2]<<endl;}return 0;}例4（poj1163）：求三角形内可取得的最大和。

#include<iostream>using namespace std;int a[101][101];int res[101][101];//res[i][j]表示从顶端到达位置(i,j)所取得的最大值int Max(int a,int b){return a>b?a:b;}int main(){int i,j,n,max;cin>>n;while(n){for(i=0;i<n;i++)//输入数据for(j=0;j<=i;j++)cin>>a[i][j];res[0][0]=a[0][0];for(i=1;i<n;i++) res[i][0]=res[i-1][0]+a[i][0];//求解边界情况for(i=1;i<n;i++) res[i][i]=res[i-1][i-1]+a[i][i];for(i=2;i<n;i++)//求解一般情况for(j=1;j<i;j++)res[i][j]=Max(res[i-1][j],res[i-1][j-1])+a[i][j];//动态规划max=res[n-1][0];for(j=1;j<n;j++)if(res[n-1][j]>max) max=res[n-1][j];cout<<max<<endl;cin>>n;}return 0;}例5（poj1157）：固定标号顺序的插花问题。

代码：#include<iostream>using namespace std;int a[101][101];int res[101][101];//res[i][j]表示前i朵花放在前j个花瓶中所产生的最大价值int max(int a,int b){return a>b?a:b;}int main(){int i,j,f,v;cin>>f>>v;for(i=1;i<=f;i++)for(j=1;j<=v;j++)cin>>a[i][j];res[1][1]=a[1][1];//求解边界情况for(j=2;j<=v;j++){res[1][j]=res[1][j-1];if(a[1][j]>res[1][j]) res[1][j]=a[1][j];//求解一朵花的情况res[j][j]=res[j-1][j-1]+a[j][j];//求解j个花瓶j朵花的情况}for(i=2;i<=f;i++)//求解其他情况f or(j=i+1;j<=v;j++)res[i][j]=max(res[i][j-1],res[i-1][j-1]+a[i][j]);//动态规划cout<<res[f][v]<<endl;return 0;}例6（poj1125）：实际上就是利用Floyd算法求任意顶点对之间的最短路径，只不过要做一下变形而已。

代码：#include<iostream>using namespace std;const int INFINITY=1000000;int a[101][101];//Floyd算法均用邻接矩阵表示图int main(){int i,j,k,n,m,imin,min,max[101];cin>>n;while(n){for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)if(i==j) a[i][j]=0;else a[i][j]=INFINITY;//初始化for(i=1;i<=n;i++){cin>>m;for(j=1;j<=m;j++)cin>>k,cin>>a[i][k];//输入数据}for(k=1;k<=n;k++)//Floyd算法动态规划for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)if(a[i][k]+a[k][j]<a[i][j]) a[i][j]=a[i][k]+a[k][j];for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)if(a[i][j]>max[i])max[i]=a[i][j];//求从i出发到其他顶点的最短距离的最大值min=INFINITY;for(i=1;i<=n;i++)if(max[i]<min) imin=i,min=max[i];//在各顶点中求最小值if(min>=INFINITY) cout<<"disjoint"<<endl;else cout<<imin<<' '<<min<<endl;cin>>n;}return 0;}例7（poj1178）：在国王与骑士汇合的所有路径中，求最短路径的长度。

（先将数组降维预处理，再用Floyd动态规划法求解）#include<iostream>#include<string>using namespace std;const int INFINITY=10000;int a[8][2]={{-1,-1},{-1,0},{-1,1},{0,-1},{0,1},{1,-1},{1,0},{1,1}};//王的8种走法int b[8][2]={{-2,-1},{-2,1},{-1,-2},{-1,2},{1,-2},{1,2},{2,-1},{2,1}};//马的8种走法int king[64][64];//king[i][j]表示王从位置i到j的最少步数int knight[64][64];//knight[i][j]表示马从位置i到j的最少步数int min(int a,int b){return a<b?a:b;}void init(){int i,j,k;for(i=0;i<64;i++){//初始化for(j=0;j<64;j++)if(i==j) king[i][j]=knight[i][j]=0;else king[i][j]=knight[i][j]=INFINITY;}for(i=0;i<8;i++)//降维的预处理for(j=0;j<8;j++)for(k=0;k<8;k++){if(i+a[k][0]>=0&&i+a[k][0]<=7&&j+a[k][1]>=0&&j+a[k][1]<=7)king[i*8+j][(i+a[k][0])*8+(j+a[k][1])]=1;if(i+b[k][0]>=0&&i+b[k][0]<=7&&j+b[k][1]>=0&&j+b[k][1]<=7)knight[i*8+j][(i+b[k][0])*8+(j+b[k][1])]=1;}}void dp(){int i,j,v;for(v=0;v<64;v++)for(i=0;i<64;i++)for(j=0;j<64;j++){if(king[i][v]+king[v][j]<king[i][j]) king[i][j]=king[i][v]+king[v][j];if(knight[i][v]+knight[v][j]<knight[i][j])knight[i][j]=knight[i][v]+knight[v][j];}}int main(){int i,j,k,sum,res=INFINITY,temp1,temp2;int knight_num,king_pos,knight_pos[63];string str;cin>>str;init();//预处理dp();//Floyd动态规划法knight_num=str.length()/2-1;//马的数量if(knight_num==0) cout<<'0'<<endl,exit(1);king_pos=(str[0]-'A')*8+(str[1]-'1');//王的位置for(i=0;i<knight_num;i++) knight_pos[i]=(str[2*i+2]-'A')*8+(str[2*i+3]-'1');//马的位置for(i=0;i<64;i++){//最终汇合到位置isum=0;for(j=0;j<knight_num;j++) sum+=knight[knight_pos[j]][i];//马走的总步数for(j=0;j<64;j++){//王走到位置j与马汇合temp1=king[king_pos][j];//加上王走的步数temp2=INFINITY;for(k=0;k<knight_num;k++)temp2=min(temp2,knight[knight_pos[k]][j]+knight[j][i]-knight[knight_pos[k]][i]);//特殊处理运载王的马res=min(res,sum+temp1+temp2);}}cout<<res<<endl;return 0;}【小结】关于动态规划的问题，分为两大类：（1）最优子结构——递推求解：分析问题，将其分解为若干个子问题，确定子问题的状态及其状态转移方程，利用子问题的解求原问题的解；（2）重叠子问题——递归求解（记忆化搜索）：避免重复求解子问题的一种优化方法。