浙江省浙南名校联盟2019-2020学年高一上学期期中联考数学数学试题(解析版)
浙江省浙南名校联盟2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题一、单选题 1．已知集合(){},|1A x y y x ==+，集合{}|2,0xB y y x ==≥，则AB =（ ）A ．｛1，2｝B ．｛（1，2）｝C ．（1，2）D ．∅【答案】D 【解析】由集合(){},|1A x y y x ==+知集合A 中的元素为直线1y x =+上的点，集合{}|2,0xB y y x ==≥知集合B 中的元素为2,0xy x =≥的值域，显然集合A 为点构成的集合，集合B 为实数构成的集合，因此A B =∅.故选：D2．已知点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭在幂函数()y f x =的图象上，则()f x 的表达式是（ ） A ．()8x f x =B ．()2f x x =C ．()2f x x -= D ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C【解析】设幂函数为y x α=，把点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式得124α=，解得2α=- 所以幂函数为()2f x x -=.故选：C3．溶液的酸碱度是通过PH 值来刻画的，已知某溶液的PH 值等于lg H +⎡⎤-⎣⎦，其中H +⎡⎤⎣⎦表示该溶液中氢离子的浓度，若某溶液氢离子的浓度为610/mol L -，则该溶液的PH 值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】C【解析】由题意可得：该溶液的PH 为6lg106--=故选：C4．已知()y f x =是R 上的增函数，且它的部分对应值如表所示，则满足()3f x <的x 的取值范围是（ ）A ．()0,2B ．()1,2-C ．(),1-∞-D ．()2,+∞【答案】B 【解析】()3f x <，()33f x ∴-<<又()y f x =是R 上的增函数，根据表格∴12x -<<.故选：B5．设a ＝log 54，b ＝（log 53）2，c ＝log 45，则（ ） A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c【答案】D【解析】∵a ＝log 54＜log 55＝1， b ＝（log 53）2＜（log 55）2＝1， c ＝log 45＞log 44＝1， 所以c 最大单调增，所以又因为所以b<a 所以b<a<c. 故选：D ．6．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x--≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.7．已知()2y f x =-是偶函数，则下列选项正确的是（ ） A ．()()04f f =- B ．()()04f f =C ．()()22f f -=D ．()20f =【答案】A 【解析】函数()2y f x =-是偶函数，∴(2)(2)f x f x -=--，∴()f x 的图像关于2x =-对称，()()04f f ∴=-故选：A8．已知关于x 的不等式()()()13100a x x a +-+>≠的解集是()()1212,x x x x <，则下列结论中错误的是（ ）A ．122x x +=B ．123x x <-C ．214x x ->D ．1213x x -<<<【答案】D【解析】由不等式()()()13100a x x a +-+>≠的解集是()()1212,x x x x <， 则可知0a <，且()()()13100a x x a +-+=≠的两根为1x 、2x ，不妨设()()()()130f x a x x a =+-≠，由函数与方程的关系()()()13100a x x a +-+=≠的两根为1x 、2x 化为()f x 与1y =-的交点的横坐标为1x 、2x ，由图二次函数的对称轴为1x =，又12x x <，所以11x <-，23x >， 因此D 错误. 故选：D9．已知函数()221141f x a x a x x x ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恰有三个不同的零点，则该三个零点之和为（ ） A ．5a B ．5C ．3aD ．3【答案】B 【解析】令1t x x=+，则()f x 有三个零点等价于关于t 的方程2(2)610a t a --+=有两解，且其中一解为2或2-，另一解大于2或小于2-.当0a =不合题意，所以2(2)610a t a --+=得21(2)6t a-=-. 若160a-<，则该方程无解，不合题意.所以12t =-，22t =+，当12t =，此时22t =不符合题意 当12t =-，此时26t =，解得110a =- 由1t x x =+，当11x t x +=，解得11x =-，当21x t x+=整理2610x x -+= 所以236x x +=，所以1235x x x ++=. 故选：B10．已知定义在R 上的函数()f x 满足)f x x =，则下列函数中为增函数的是（ ）A ．21y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．1y f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．121x y f ⎛⎫= ⎪+⎝⎭D ．()lg 1y f x =+【答案】C【解析】利用换元法先求出函数f （x ）的解析式，再求出其单调性，然后利用复合函数“同增异减”一一验证每一个选项即可得出结论． 【详解】解：令t x ＞0，则1x t=，两式相减得：122t x t =-， ∴()122t f t t =-， ∴()112f x x x=-（x ＞0）， 当1x x ≥即0＜x ≤1时，()112f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()21'10f x x =--＜，则f （x ）在（0，1]上单调递减；同理可得f （x ）在[1，+∞）上单调递增； 对于A 选项，令21u x =，其在（0，+∞）上单调递减，所以原函数（0，1]上单调递增；同理可得原函数在[1，+∞）上单调递减；对于B 选项，令1u x x=-，其在（0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，所以原函数在（0，+∞）上单调递减；对于C 选项，令u ＝2x+1＞1且在R 上单调递增，则原函数可化为111122y u u u u ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭在（1，+∞）上单调递增，由复合函数单调性可得原函数单调递增； 对于D 选项，令u ＝lg |x |+1＞0得110x -＜或110x ＞，且其在110⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，上单调递减，在110⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，由复合函数的单调性知原函数不单调． 故选：C ． 二、填空题11．已知集合{}2|20A x x ax =++=，且满足1A ∈，则a =___________，集合A 的子集个数为___________． 【答案】－3 4 【解析】1A ∈，1∴满足方程220x ax ++=，代入可得3a =-，当3a =-时，方程为2320x x -+=，解方程可得11x =，22x = 所以集合{}1,2A =，所以集合A 的子集个数为224=. 故答案为：3- 412．已知35a b c ==，若3c =，则25b =___________，若112a b+=，则c =___________． 【答案】9【解析】若3c =，则53b=，所以5log 3b =，所以()552log 3log 322525539b ====因为35abc ==，所以3log a c =，5log b c =，所以311log a c =，511log b c= 由112a b +=，即35112log log c c +=由换底公式可得log 3log 52c c +=，所以log 152c =即215c =，所以c =.13．函数()f x =___________；值域为___________．【答案】[]1,2 []0,1【解析】函数()f x =则220x x -≥，解得函数的定义域为{}02x x ≤≤， 令2()2u x x x =-，对称轴为1x =，开口向下，所以()u x 在[]0,1上为增函数，在[]1,2为减函数，又y =()f x =[]1,2；由2()2u x x x =-，02x ≤≤，所以2021x x ≤-≤，即0()1u x ≤≤，所以()[]0,1f x =.故答案为：[]1,2 ；[]0,114．已知奇函数()f x 满足()()20f x f x ++=，当()0,1x ∈时，()2f x x =，则32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭___________；当()3,5x ∈时，()f x =___________． 【答案】1 28x -【解析】（1）由()()20f x f x ++=，则(2)()f x f x +=-，∴31()22f f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 又()f x 为奇函数，11()()22f f ∴-=-，又()()0,1,2x f x x ∈=，∴1()12f = ，311()()1222f f f ⎛⎫∴=--== ⎪⎝⎭（2）()()20f x f x ++=，(2)()f x f x ∴+=-，[](2)2(2)()f x f x f x ∴++=-+=，()f x ∴是以4为周期的函数，当()3,5x ∈时，则()41,1x -∈-()f x 为奇函数，由()0,1x ∈，()2f x x =，所以当()1,1x ∈-，则()2f x x =所以()3,5x ∈，()(4)2(4)28f x f x x x =-=-=- 故答案为： 1 ； 28x -15．某班有40名同学报名参加集邮、辩论、摄影课外兴趣小组，要求每位同学至少参加其中一项，已知参加集邮、辩论、摄影兴趣小组的人数分别为25，15，13，同时参加三项的同学有2人，只参加集邮与辩论两项的同学有6人，则只参加摄影这一个兴趣小组的同学人数为___________． 【答案】8【解析】解：由题意作出维恩图如下：则815825213m y n x x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，且m +n +x +y +z +8＝40， ∴7﹣y +17﹣x +x +y +z +8＝40， 解得z ＝8．∴只参加摄影这一个兴趣小组的同学人数为8． 故答案为：8．16．若不等式13x a x x -++≥对任意[]2,2x ∈-都成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】{1a a ≤-或}5a ≥【解析】解：当x ∈[﹣2，0]时，3x ≤0，所以对任意的a ，显然成立，当x ∈[0，2]时，由|x ﹣a |+|x +1|≥3x 可得，|x ﹣a |≥3x ﹣x ﹣1＝2x ﹣1， 当x ∈[0，12]时，显然成立， 当x ∈[12，2]时，2x ﹣1≥0，所以（x ﹣a ）2≥（2x ﹣1）2， 化简得3x 2+x （2a ﹣4）21a +-≤0，在x ∈[12，2]上恒成立，所以2212431042124810a a a a -⎧⨯++-≤⎪⎨⎪+-+-≤⎩， 解得：a ≤﹣1，或a ≥5． 故答案为：{1a a ≤-或}5a ≥. 17．设0a >，函数()()21,02,0x a x f x f x a x -+≤⎧=⎨-->⎩，()y f x =有无数个零点，则实数a 的最大值为___________． 【答案】1【解析】解：因为a ＞0，函数()()21020x a x f x f x a x -+≤⎧=⎨--⎩，，＞，当x ≤0时，图象是射线；当0＜x ≤a 时，﹣a ＜x ﹣a ≤0，f （x ）＝﹣2f （x ﹣a ）的图象是把（﹣a ，0]的图象每个点纵坐标乘以﹣2，再向右平移a 个单位长度；当a ＜x ≤2a 时，f （x ）＝﹣2f （x ﹣a ）的图象是把（0，a ]的图象每个点纵坐标乘以﹣2，再向右平移a 个单位长度；以此类推；若f （x ）有无数个零点，则只要f （x ）在（﹣a ，0]上有零点，即x 12a -=∈（﹣a ，0]， ∴a ∈（13，1]，故a 的最大值为1； 故答案为：1．三、解答题18．已知集合(){}|ln 3A x y x =-，集合{}2|0B x x a =-<． （1）求A R ð； （2）若()A B B =R ð，求实数a 的取值范围．解：（1）由题意得21030x x -≥⎧⎨->⎩ 解得132x ≤<，即132A x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭所以12R A x x ⎧=<⎨⎩ð或}3x ≥，故[)1(,)3,2A =-∞+∞R ð（2）由()A B B =R ð，所以R B A ⊆ð，当B =∅时，20x a -<无解，即0a ≤，当B ≠∅时，20x a -<解得x <<由R B A ⊆ð12<，解得14a <. 综上所述，14a <，即实数a 的取值范围为1(,)4-∞.19．函数()()2log 21xf x =-．（1）解不等式()1f x <；（2）若方程()()4log 4xf x m =-有实数解，求实数m 的取值范围．解：（1）由()1f x <，即2log (21)1x -<，所以0212x <-<，123x <<，解得20log 3x << 所以不等式的解集为{}20log 3x x <<.（2）由()()4log 4xf x m =-实数根，即()()221log 21log 42x x m -=-有实数根，所以21x -=有实根，两边平方整理可得22(2)2210x xm ⋅-⋅+-= 令2x t =，且1t >，由题意知22()210t t m ⋅-⋅+-=有大于1根即可，即22()21t t m ⋅-⋅+=，令 2()2()21g t t t =⋅-⋅+，1t >，故()1g t >故1m >.故实数m 的取值范围1m >.20．如图，已知ABC △，5AB AC ==，8BC =，点P 从B 点沿直线BC 运动到C 点，过P 做BC 的垂线l ，记直线l 左侧部分的多边形为Ω，设B P x =，Ω的面积为()S x ，Ω的周长为()L x ．（1）求()S x 和()L x 的解析式； （2）记()()()S x F x L x =，求()F x 的最大值．解：作ABC △的高AD ，由5AB AC ==，8BC =，所以3AD = ，当04x <≤时，则ABD MBP ∆∆，所以MP BP BMAD BD BA==， 由BP x =，则34x MP =，54xBM =， 所以21133()2248x x S x BP MP x =⋅=⋅⋅=，35()344x x L x BP MP BM x x =++=++= 当48x <≤时，由ADCMPC ∆∆，则MP PC MC ADDCAC==，所以3(8)4x MP -=，5(8)4x MC -=，5204x AM -= 213()2061228ABC MPC S x S S PC MP x x =-=-⋅=-+-3()62xL x BP MP BA AM =+++=+综上所述， 223(04)8()3612(48)8x x S x x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩ ()304()36(48)2x x L x x x ⎧<≤⎪=⎨+<≤⎪⎩（2）由（1）当04x <≤时，()()()110,82S x F x x L x ⎛⎤==∈ ⎥⎝⎦，()F x 的最大值为12当48x <≤时，()()()22361248843462x x x x S x F x L x x x -+--+-===++ 令[]44,12t x =+∈，则4x t =-，所以21(4)4(4)8284()664t t t F t t t--+--==--+≤-当且仅当t =时，即4x =等号成立. 故()F x的最大值为6-又162->. 综上所述：()F x的最大值为6-21．已知函数()()1f x x a x =+-．（1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当[]2,2x ∈-时，不等式2()f x a ≤恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）当3a =时，()()(3)(1)11(3)(1)1x x x f x x a x x x x +⋅-≥⎧=+-=⎨-+⋅-<⎩结合图像可知函数的增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞；函数的减区间为(1,1)-. （2）由于()()()(1)11()(1)1x a x x f x x a x x a x x +⋅-≥⎧=+-=⎨-+⋅-<⎩当1a -≥时，即1a ≤-时，只需2(2)f a ≤，1a ∴≤-或2a ≥，从而得到1a ≤-；当1122a a -<⎧⎪⎨->-⎪⎩时，即15a -<<时，只需221()(2)a f a af a -⎧≤⎪⎨⎪≤⎩， 11312a a a a ⎧≥≤-⎪∴⎨⎪≤-≥⎩或或 从而得到25a ≤< ； 当1122a a -<⎧⎪⎨-≤-⎪⎩时，即5a ≥时，只需22(2)(2)f a f a ⎧-≤⎨≤⎩ 12a Ra a ∈⎧∴⎨≤-≥⎩或 ，从而得到5a ≥综上可得：1a ≤-或2a ≥22．已知定义在R 上的函数()f x 且不恒为零，对,x y ∀满足()()()()()11f x y f x f y f y f x +=-+-，且()f x 在[]0,1上单调递增． （1）求()0f ，()1f 的值，并判断函数()f x 的奇偶性； （2）求1(21)2f x -≥的解集． 解：（1）由对于任意x ，y ∈R 满足()()()()()11f x y f x f y f y f x +=-+-，令0x y ==， 则(0)(0)(1)(0)(1)2(1)(0)f f f f f f f =⋅+⋅=⋅，所以(0)0f =或1(1)2f =； 令1x =，0y =，则(1)(1)(1)(0)(0)f f f f f =⋅+⋅，上一步若1(1)2f =，代入可得1(0)2f =±，令12x y ==，11()22f =±，因为()f x 在[]0,1上单调递增，所以1(0)()(1)2f f f <<所以(0)0f =，(1)1f =. 综上所述：(0)0f =；(1)1f =令y x =-，则[]()()()()()11f x x f x f x f x f x +-=++-- ()* 令1x =，y x =，则(1)(1)(1)()(0)f x f f x f x f +=⋅-+⋅ 因为(0)0f =，(1)1f =，所以(1)(1)f x f x +=- 代入()*式得[](0)0(1)()()f f x f x f x ==+⋅+-， 显然(1)f x +不等于0，所以()()0f x f x +-=， 所以()f x 为奇函数.（2）由（1）可得()(2)(2)(4)(4)f x f x f x f x f x =-=--=--=- 即函数()f x 的最小正周期为4. 令13x y ==，则 2121233333f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11()32f =， 由（1）可得51()32f =，根据函数在[]22-,的图像以及函数的周期性， 观察得 若1(21)2f x -≥，则154214,33k x k k +≤-≤+∈Z 解得2422,33k x k k +≤≤+∈Z故不等式的解集为2422,33xk x k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z。
浙江省浙南名校联盟2020-2021学年高一上学期期中数学试题
2020-2021学年浙南名校联盟高一上期中考数学试题(含答案)一、选择题：每小题4分，共40分1. 设U =R ，{|1}A x x =>，{|0}B x x =>，则()UA B =（ ）A. {|01}x x ≤<B. {|01}x x <≤C. {|0}x x <D. {|1}x x >2. 已知函数1()2f x x =-，则函数(21)f x +定义域为（ ）A. 1|2x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭B. {|2}x x ≠C. {|5}x x ≠D. 1|2x x ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭3. 设,m n R ∈，则“m n >”是“22m n >”的（ ） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若0a b >>，则（ ） A.11a b> B. 33a b <C.11b b a a +<+ D. 1ab a b +>+5. 下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上单调递减的函数是（ ） A. 1y x=B. 2x y -=C. 21y x =-+D. 11y x x =++ 6. 设0.83a =，0.913b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.90.8c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D. c a b <<7. 函数13241x x x y +=+的图象大致为（ ）A. B.的C. D.8. 已知函数()1xf x e =-，()22g x x x =-+，若存在a R ∈，使得()()f a g b =，则实数b 的取值范围是（ ） A. ()0,2B. []0,2C. (1-D. 1⎡⎣9. 设1a b +=，0b >，则2244||ab b a a b++的最小值为（ ）A.14B.34C.54D.7410. 已知函数()||f x x x =，当[,2]x t t ∈+时，恒有不等式(2)4()f x t f x +>成立，则实数t 的取值范围是（ ） A. (2,)+∞B. [2,)+∞C. (,2)-∞D. (,2]-∞二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11. 已知幂函数()122()2n f x n n x-=-在(0,)+∞上为增函数，则n =_________．12. 计算：)14230164(2020)49-⎛⎫--- ⎪⎝⎭=________．13. 函数()2,11,1x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩的值域为________．14. 已知命题p ：0R x ∃∈，使得20010ax ax +-≥．若p ⌝是真命题，则实数a取值范围为________．15. 若a ，b 为实数，且12,12a b ≤≤≤≤，则21a b ab+的最小值是________． 16. 若有限集合{}123,,n A a a a a =，定义集合{}*1,,i j B a a i j n i j N =+≤<≤∈|中的元素个数为集合A 的“容量”，记为()L A ，现已知{}*1A x N x m =∈≤≤|，且()4039L A =，则正整数m 的值是________． 三、解答题：5小题，共74分17. 设集合{|}M x x m =<，集合{}2|2530N x x x =+-<．（1）当0m =时，求,M N M N ⋃⋂；（2）若RM N ⊆，求实数m 的取值范围．18. 已知函数22()4(0)a f x x a x =+>，12,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦． （1）当1a =时，求()f x 最小值；（2）设()f x 的最小值为()g a ，求()g a 的表达式．19. 已知函数(2),()(1),x x a x af x a x x a -≥⎧=⎨-<⎩，其中a 为实数，且0a ≠．（1）当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若方程()0f x =仅有一个实数根，求实数a 的取值范围．20. 已知函数2()21x xaf x a -=⋅+为奇函数，其中a 为实数． （1）求实数a值；（2）若0a >时，不等式()(())20xf f x f t +⋅<在[1,1]x ∈-上恒成立，求实数t 的取值范围．21. 已知函数()(0)2x af x a x a-=>-． （1）当1a =时，求4()f m f m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）当(0,)x ∈+∞时，关于x 的不等式1()1f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围．2020-2021学年浙南名校联盟高一上期中考数学试题(含答案)一、选择题：每小题4分，共40分1. 设U =R ，{|1}A x x =>，{|0}B x x =>，则()UA B =（ ）A. {|01}x x ≤<B. {|01}x x <≤C. {|0}x x <D. {|1}x x >的的【解析】 【分析】 首先求出UA ，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为U =R ，{|1}A x x =>，{|0}B x x =>， 所以{}U|1A x x =≤，所以(){}|01U A B x x =<≤故选：B2. 已知函数1()2f x x =-，则函数(21)f x +的定义域为（ ） A. 1|2x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭B. {|2}x x ≠C. {|5}x x ≠D. 1|2x x ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得2x ≠，所以212x +≠，即可得解 【详解】由函数1()2f x x =-，可得：2x ≠， 所以212x +≠， 解得12x ≠， 故选：A.3. 设,m n R ∈，则“m n >”是“22m n >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 分析】利用充分必要条件的定义分别判断得解.【详解】当m n >时，22m n >不一定成立，如：1,2m n ==-，所以“m n >”是“22m n >”的非充分条件； 当22m n >时，m n >不一定成立，如：3,1m n =-=，所以所以“m n >”是“22m n >”的非必要条件. 综合得“m n >”是“22m n >”的既不充分又不必要条件..4. 若0a b >>，则（ ） A.11a b> B. 33a b <C.11b b a a +<+ D. 1ab a b +>+【答案】C 【解析】 【分析】A ：运用比较法进行判断即可；B ：运用指数函数的单调性进行判断即可；C ：运用比较法进行判断即可；D ：运用比较法进行判断即可. 【详解】A ：11b a a b ab--=， 因为0a b >>，所以0,0ab b a >-<，因此11110b a a b ab a b--=<⇒<，所以本选项结论不正确； B ：因为指数函数3x y =是实数集上的增函数，因此当0a b >>时，有33a b >成立，所以本选项结论不正确； C ：1(1)(1)1(1)(1)b b b a a b b aa a a a a a ++-+--==+++， 因为0ab >>，所以(1)0,0a a b a +>-<，因此有0(1)b a a a -<+，即11b b a a +<+，所以本选项结论是正确的；D ：1()(1)(1)(1)(1)ab a b a b b b a +-+=---=--，因为0a b >>，判断不出11b a --，的正负性，例如当112a b ==，时， 显然1ab a b +=+，因此本结论不正确， 故选：C【点睛】方法点睛：本题主要考查了比较两个代数式大小问题，属于基础题.比较两个代数式大小的方法有以下几种：1、运用作差（商）比较法；2、运用函数的单调性；3、特例法；4、运用不等式的基本性质.5. 下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上单调递减的函数是（ ） A. 1y x=B. 2x y -=C. 21y x =-+D. 11y x x =++ 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式直接判断各选项中函数的奇偶性及其在区间()0,∞+上的单调性，即可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，函数1y x=为奇函数，且该函数在区间()0,∞+上单调递减； 对于B 选项，函数2xy -=为非奇非偶函数，且该函数在区间()0,∞+上单调递减； 对于C 选项，函数21y x =-+为偶函数，且该函数在区间()0,∞+上单调递减；对于D 选项，函数11y x x =++的定义域为{}1x x ≠-，该函数为非奇非偶函数. 故选：C.6. 设0.83a =，0.913b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.90.8c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A. a b c << B. b a c <<C. b c a <<D. c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】本题首先可将0.913b -⎛⎫= ⎪⎝⎭转化为0.93b =，即可得出b a >，然后根据0.90.81、0.831>即可得出结果.【详解】因为0.90.9313b -⎛⎫= ⎪=⎝⎭，0.83a =，所以b a >， 因为0.900.80.81c，0.80331a =>=，所以b a c >>， 故选：D.7. 函数13241x x x y +=+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】判断函数奇偶性得函数为奇函数，排除C ，再根据特殊值即可得答案．【详解】解：函数()133224122x x xxx x f x +-==++，函数定义域为R ， 由于()()33222222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以函数为奇函数， 故排除C ，由于0x >时，()0f x >，故排除D.再根据A B 、选项，考虑特殊值()534444248488848414141f ⨯⨯+-===-+++，故排除A ， 故选：B【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.8. 已知函数()1xf x e =-，()22g x x x =-+，若存在a R ∈，使得()()f a g b =，则实数b 的取值范围是（ ）A ()0,2B. []0,2C. (1+D. 1⎡+⎣【答案】C 【解析】 【分析】求出函数()f x 的值域，可得出关于实数b 的不等式，由此可解得实数b 的取值范围. 【详解】()11x f x e =->-，所以，()221g b b b =-+>-，整理得2210b b --<，解得11b -<<故选：C.【点睛】解本题的关键在于求得函数()f x 的值域D ，再由()g b D ∈构建不等式求解.9. 设1a b +=，0b >，则2244||ab b a a b++的最小值为（ ）A.14B.34C.54D.74【答案】B 【解析】 【分析】利用1a b +=，0b >，10b a =->，1a ∴>且0a ≠； 对a 进行分类讨论，分为10a >>和0a >，进行讨论，然后，求解即可得到2244||ab b a a b++的最小值【详解】1a b +=，0b >，10b a =->，1a ∴>且0a ≠；当10a >>，22224414||444ab b a ab b a b a a b ab a b ++++==++1544≥+=；当且仅当4b a a b =，又1b a =-，解得1a =-或13a =，又由10a >>，得13a =时，此时，23b =，2244||ab b a a b ++的最小值54； 当0a >，222244134||4444ab b a ab b a b a a b ab a b ++++⎛⎫⎛⎫==-+-+-≥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，当且仅当4b aa b-=-时，解得1a =-或13a =，又由0a >，得1a =-，此时，2b =，2244||ab b a a b ++的最小值34； 综上，2244||ab b a a b ++的最小值34；故选：B【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用1a b +=，0b >，10b a =->，可得1a >且0a ≠，对a 进行分类讨论，难点在于利用基本不等式进行求最值，本题属于中档题10. 已知函数()||f x x x =，当[,2]x t t ∈+时，恒有不等式(2)4()f x t f x +>成立，则实数t 的取值范围是（ ） A. (2,)+∞ B. [2,)+∞ C. (,2)-∞ D. (,2]-∞【答案】A 【解析】 【分析】根据已知函数的解析式易判断出函数的奇偶性及单调性，结合单调性可将不等式(2)4()f x t f x +>可化为22x t x +>，将恒成立问题转化为最值问题后，易得答案．【详解】解：||y x =为偶函数，y x =为奇函数()||f x x x ∴=奇函数当0x 时，2()f x x =为增函数，由奇函数在对称区间上单调性相同可得函数()f x 在R 上增函数又不等式(2)4()f x t f x +>可化为(2)|2|4||2|2|(2)x t x t x x x x f x ++>==故当[,2]x t t ∈+时，不等式(2)4()f x t f x +>恒成立， 即当[,2]x t t ∈+时，不等式22x t x +>恒成立 即2x t <恒成立 即22t t +< 解得2t >故实数t 的取值范围是(2,)+∞ 故选：A【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，恒成立问题，其中分析出函数的单调性并将不等式(2)4()f x t f x +>可化为22x t x +>是解答的关键．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11. 已知幂函数()122()2n f x n n x -=-在(0,)+∞上为增函数，则n =_________．【答案】1 【解析】 【分析】根据幂函数可得：221n n -=，即可得解. 【详解】由题意可得：221n n -=， 解得：1n =或12n =-（舍）， 所以12()f x x =，满足条件， 故答案为：1. 12. 计算：)14230164(2020)49-⎛⎫--- ⎪⎝⎭=________．【答案】6- 【解析】 【分析】根据分数指数幂的运算法则计算可得； 【详解】解：)()41142332203416442020241497⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭142417-⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭724164=-⋅-=-故答案为：6-13. 函数()2,11,1x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩的值域为________．【答案】(],2-∞ 【解析】 【分析】分别求出函数()f x 在区间[)1,+∞和(),1-∞上的值域，取并集可得出函数()f x 的值域. 【详解】当1x <时，()12f x x =+<； 当1≥x 时，()(]20,2f x x=∈. 综上所述，函数()f x 的值域为(],2-∞. 故答案：(],2-∞.【点睛】求分段函数的值域，一般将每支函数在对应区间上的值域求出，再取并集即得结果.14. 已知命题p ：0R x ∃∈，使得20010ax ax +-≥．若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围为________．【答案】(]1,0- 【解析】 【分析】由p 得出p ⌝，然后分0a =和0a ≠讨论即可得结果.【详解】解：由于2000:,210p x R ax ax ∃∈+-≥，则200020:,1p x R ax ax ∀∈+-<⌝， 当0a =时，10-<，显然满足题意；当0a ≠时，2440a a a <⎧⎨∆=+<⎩，解得10a -<<， 综上可知：实数a 的取值范围是(]1,0-. 15. 若a ，b 为实数，且12,12a b ≤≤≤≤，则21a b ab+的最小值是________．【解析】 【分析】利用基本不等式，得到21a b ab +≥=，通过求出min2⎡=⎢⎣，进而求解 【详解】由12,12a b ≤≤≤≤得，21a b ab +≥=，又因为12b ≤≤，所以，当2b =时，min2⎡=⎢⎣，此时21a b ab =成立，可得，2a b =，a =2b =时，满足条件，所以，21a b ab +的最小值是2；故答案为：2【点睛】关键点睛：解题的关键在于基本不等式后得到的min⎡=⎢⎣，进而求解16. 若有限集合{}123,,n A a a a a =，定义集合{}*1,,i j B a a i j n i j N =+≤<≤∈|中的元素个数为集合A 的“容量”，记为()L A ，现已知{}*1A x N x m =∈≤≤|，且()4039L A =，则正整数m 的值是________． 【答案】2021 【解析】 【分析】根据集合的新定义可得321i j a a m ≤+≤-，再由正整数个数即可求解. 【详解】集合A 中的元素有：1,2,3,,1,m m -，12121i j a a m m m +≤+≤+-=-，从3到21m -共有23m -个整数， 即234039m -=，解得2021m =. 故答案为：2021三、解答题：5小题，共74分17. 设集合{|}M x x m =<，集合{}2|2530N x x x =+-<．（1）当0m =时，求,M N M N ⋃⋂； （2）若RM N ⊆，求实数m 的取值范围．【答案】1{|},{|30}2M N x x M N x x ⋃=<⋂=-<<；（2）(,3]-∞-. 【解析】 【分析】（1）当0m =时，得到集合1{|0},|32M x x N x x ⎧⎫=<=-<<⎨⎬⎩⎭，再根据集合的交集和并集的运算，即可求解； （2）由（1）求得{|3RN x x =≤-或1}2x ≥，再根据RM N ⊆，即可求得实数m 的取值范围．【详解】（1）当0m =时，集合{}21{|0},|2530|32M x x N x x x x x ⎧⎫=<=+-<=-<<⎨⎬⎩⎭， 所以1{|},{|30}2M N x x M N x x ⋃=<⋂=-<<. （2）由集合1{|3}2N x x =-<<，可得{|3RN x x =≤-或1}2x ≥， 因为{|}M x x m =<，RM N ⊆，所以3m ≤-，即实数m 的取值范围(,3]-∞-．【点睛】主要考查了集合的交集、并集和补集的运算，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的概念及运算方法，同时补集的运算中，注意端点，防止错解，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 18. 已知函数22()4(0)a f x x a x =+>，12,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦． （1）当1a =时，求()f x 的最小值；（2）设()f x 的最小值为()g a ，求()g a 的表达式．【答案】（1）4； （2）141,41()64416,644a a g a a aa ⎧+<⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩.【解析】 【分析】（1）根据函数的解析式，结合基本不等式，即可求解； （2）设2t x =，得到函数()4a f t t t =+，求得函数()f t 的单调性，分类讨论即可求解函数()f t 在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值，求得()g a 的表达式．【详解】（1）由12,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，则21,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当1a =时，函数221()44f x x x =+≥=， 当且仅当2214x x =时，即2x =-时等号成立， 所以()f x 的最小值为4.（2）设2t x =，可得函数()4,0af t t a t=+>，则当x ∈时，函数()4a f t t t =+单调递减；当)x ∈+∞时，函数()4a f t t t =+单调递增， 因为12,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，可得1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，①当124<时，即14a <，函数()f t 在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以当14t =时，函数的最小值为min 1()()414f x f a ==+；②当1442≤≤时，即1644a ≤≤时，函数()f t在1[,42上递减，在,4]2上递增，所以当2t =时，函数的最小值为min ()(2f x f ==4>时，即64a >时，函数()f t在在1[4上递减， 所以当4t =时，函数的最小值为min ()(4)164af x f ==+， 综上可得，函数()f x的最小值为141,41()64416,644a a g a a aa ⎧+<⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩.【点睛】关键点睛：本题考查了函数求最值，解决本题的关键是设2t x =，得到函数()4af t t t=+，求得函数()f t 的单调性，分类讨论进而求解函数()f t 在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值，即可得()g a 的表达式．19. 已知函数(2),()(1),x x a x af x a x x a -≥⎧=⎨-<⎩，其中a 为实数，且0a ≠．（1）当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若方程()0f x =仅有一个实数根，求实数a 的取值范围．【答案】（1）函数()f x 的单调减区间为(],1-∞-，增区间()1,-+∞；（2）1a ≤且0a ≠． 【解析】 【分析】（1）当1a =-时，(2),1()(1),1x x x f x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩，进而可得函数的单调区间；（2）令()0f x =，分别解出x ，由方程()0f x =仅有一个实数根，列出不等式解出实数a 的取值范围．【详解】（1）当1a =-时，(2),1()(1),1x x x f x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩，则函数()f x 的单调减区间为(],1-∞-，增区间()1,-+∞；（2）令()0f x =，当x a ≥时，解得0x =或2x a =；当x a <时，解得1x =；方程()0f x =仅有一个实数根，则021a a a a ≤⎧⎪<⎨⎪≤⎩或021a a a a >⎧⎪≥⎨⎪≤⎩或021a a a a >⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得1a ≤且0a ≠．【点睛】方法点睛：本题考查分段函数的单调性，考查函数与方程思想，关于分段函数的理解，需要有： 1.分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围，有不同的对应法则的函数； 2.分段函数是一个函数;3.分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集．20. 已知函数2()21x x af x a -=⋅+为奇函数，其中a 为实数．（1）求实数a 的值；（2）若0a >时，不等式()(())20xf f x f t +⋅<在[1,1]x ∈-上恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）±1；（2）1,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）由函数2()21x xa f x a -=⋅+为奇函数，可得()()f x f x -=-，代入整理可得：2222(2)1(2)x a a x -=-，所以21a =，即可得解；（2）若0a >，由（1）知1a =，所以212()12121x x xf x -==-++，根据复合函数单调性所以()f x 为增函数，又因为()f x 为奇函数，由题意可得：()20xf x t +⋅<，构造函数进行分类讨论即可得解.【详解】（1）由函数2()21x xaf x a -=⋅+为奇函数，可得()()f x f x -=-， 代入可得：222121x x x xa aa a ----=⋅+⋅++， 整理可得：2222(2)1(2)x a a x -=-，所以21a =， 解得：1a =±；（2）若0a >，由（1）知1a =，所以212()12121x x xf x -==-++， 由2x 为增函数，21x u =+为增函数且210x u =+>， 又因为2u 为减函数，所以2u-为增函数， 所以()f x 为增函数， 又因为()f x 为奇函数， 由()(())20xf f x f t +⋅<可得：()20x f x t +⋅<，即21+2021x x x t -⋅<+在[1,1]x ∈-上恒成立， 若0t ≥，1x =时不成立，故0t <，令2x s =，则1(,2)2s ∈， 整理可得：2(1)10t s t s ⋅++-<， 令2()(1)1g s t s t s =⋅++-，若1122t t +-≤或122t t +-≥ 需131()0242g t =-<，(2)610g t =+<，可得1156t -≤<-或12t ≤-，若11222t t +<-<，需1()02t g t+-<， 解得1125t -<<-，综上可得：实数t取值范围为1,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了分式函数的奇偶性和单调性，考查了转化思想和分类讨论思想，计算量较大，属于较难题.本题所用方法有：（1）复合函数的同增异减原理的应用；（2）利用单调性解不等式，关键是求出函数单调性，误区为直接代入； （3）构造二次函数求参数范围，主要利用二次函数的性质进行分类讨论. 21. 已知函数()(0)2x af x a x a-=>-． （1）当1a =时，求4()f m f m ⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）当(0,)x ∈+∞时，关于x 的不等式1()1f x f x ⎛⎫+≥⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）32；（2）13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）当1a =时， 1()2x f x x -=-，代入可得414136()()42242m m m f m f m m m m---+=+=---，即可得解； 的（2）由111()122122ax ax a ax x f x f x x a x a ax a x----⎛⎫+=+=+ ⎪---⎝⎭-(0)x >，令1()(0)212x a ax g x x x a ax --=+>--，有3(0)2g =，1(1)112g a =+-，求导可得：22222222222(14)41(2)(12)()(2)(12)(2)(12)(2)(12)a ax x a a a a x a a ax g x x a ax x a ax x a ax ⎡⎤-+-----⎣⎦=+==------'22(12)(12)(1)(1)(2)(12)a a a x x x a ax -+-+=--，分类讨论即可得解.【详解】（1）当1a =时， 1()2x f x x -=-， 414114224363()()42242242422m m m m m m m f m f m m m m m m m------+-+=+=+===------；（2）111()122122ax ax a ax x f x f x x a x a ax a x----⎛⎫+=+=+ ⎪---⎝⎭-(0)x >， 令1()(0)212x a ax g x x x a ax --=+>--，有3(0)2g =，1(1)112g a =+-， 求导可得：22222222222(14)41(2)(12)()(2)(12)(2)(12)(2)(12)a ax x a a a a x a a ax g x x a ax x a ax x a ax ⎡⎤-+-----⎣⎦=+==------'22(12)(12)(1)(1)(2)(12)a a a x x x a ax -+-+=--，当102a <<时，若(0,2)x a ∈，()0g x '<，所以()g x 为减函数， 由3(0)2g =，此时3()(,)2g x ∈-∞，与1()1f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立矛盾； 当12a =时，1133132222()1112x x x g x x x x ---=+==---，即13()2f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，成立； 当12a >时，22(12)(12)(1)(1)()(2)(12)a a a x x g x x a ax -+-+--'==，若1(0,)2x a ∈，()0g x '>，()g x 为增函数，此时3()(,)2g x ∈+∞， 若1(,1)2x a ∈，()0g x '>，()g x 为增函数，此时1()(,1)12g x a∈-∞+-， 若(1,2)x a ∈，()0g x '<，()g x 为减函数，此时1()(1)12g x a ∈-∞+-，， 若(2,)x a ∈+∞，()0g x '<，()g x 为减函数，此时3()(+)2g x ∈∞，， 若要1()1f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，只要11112a +≤--， 解得：1324a <≤， 综上可得：实数a 的取值范围为13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了分式函数求值以及解绝对值不等式，考查了分类讨论思想和较高的计算能力，属于难题.绝对值不等式问题有以下几种方法： （1）分类讨论去绝对值； （2）利用绝对值三角不等式；（3）构造函数，利用导数求单调性求最值.。
2019-2020浙江省浙东北联盟(ZDB)高一上学期期中考试数学试卷及答案
（3）函数 f x 在区间3, 1 上单调递减，
所以
f
x
max
f
3 4 ，
f
x
min
f
1
1 2
.
21、解：（1）因为 a
0
，所以
f
x
log 1
2
3x
1
，定义域为
1 3
,
,
记
t
3x
1 ，在
1 3
,
上单调递增,
f x log1 t 在 0，+ 上单调递减.
2
所以
f
x
log 1
2
3x
f
x1
f
x2
1 2
x12
2 x1 1
1 2
x22
2 x2 1
x1
x2
1 2
x1
x2
x1
2
1 x2
1
，
因为 x1 x2 0 ， x1 x2 4 ， x1 1 x2 1 1 ，
所以
1 2
x1
x2
2
x1 1 x2
1
0 ，所以
f
x1
f
x2 ，
即函数 f x 在区间 1, 上是增函数.
（2）若 C ，求 a 的取值范围．
19．化简或求值：
（Ⅰ）
a3 3 a
1 4 1
a0
；
a2 a 3
（Ⅱ）
2
83
1
64 2
1 2
3
16
3 4
81
；
（Ⅲ）
lg
8
lg125
log0.5
1 4
浙江省浙南名校联盟2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题(PDF可编辑版)
) 时 H (t) 单调递增，
2a
2
a
2a
高一数学学科 参考答案 第 3 页(共 4 页)
H (t) [H (2)， ) ；当t (2a 1 2a
， ) 时 H (t) 单调递增，H (t) (3, 2
) ，所以| H m(tin) |
0，
不等式| H (t) | 1不恒成立．……12 分
（注：学生只要有对函数 H (t) 进行分类讨论求最值的想法即可得该步骤的 2 分）
4．若 a b 0 ，则 ( A. 1 1 ab
B. 必要而不充分条件 )
B.3 a 3b
C.充要条件
C. b b +1 a a +1
5．下列函数既是偶函数，又在(0,+) 上单调递减的函数是(
D.既不充分也不必要条件
D. ab+1 a + b
)
A. y = 1 x
B. y = 2−x
C. y = −x2 +1
的值是__________.
高一数学学科 试题 第 2 页(共 4 页)
三、解答题：本大题共 5 小题，共 56 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本题满分 10 分）设集合 M x x m
2 +5x − 3 0.
= ∣ ，集合 N = x 2x
（1）当 m = 0 时，求 M N ， M N ；
D.(−, 2]
11．已知幂函数 f x
2n2
n1
n x 2 在 (0,+) 上为增函数，则 n
__________.
12．计算：
4
1
2 2 3 4 16 2
49
浙江省浙南名校联盟2019-2020学年高一第一学期期中联考试题 数学【解析版】
浙江省浙南名校联盟2019-2020学年高一第一学期期中联考试题数学一、选择题：每小题4分，共40分 1.已知集合(){},|1A x y y x ==+，集合{}|2,0xB y y x ==≥，则AB =（ ）A. ｛1，2｝B. ｛（1，2）｝C. （1，2）D. ∅【答案】D 【解析】 【分析】根据集合中的元素以及集合交集概念求A B 即可.【详解】由集合(){},|1A x y y x ==+知集合A 中的元素为直线1y x =+上的点，集合{}|2,0xB y y x ==≥知集合B 中的元素为2,0xy x =≥的值域，显然集合A 为点构成的集合，集合B 为实数构成的集合，因此AB =∅.故选：D【点睛】本题考查了对集合概念以及集合的交集概念的理解，属于基础题. 2.已知点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭在幂函数()y f x =的图象上，则()f x 的表达式是（ ） A. ()8x f x =B. ()2f x x =C. ()2f x x -= D. ()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】 设幂函数y x α=，把点12,4⎛⎫⎪⎝⎭代入幂函数求出α即可.【详解】设幂函数为y x α=，把点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式得124α=，解得2α=- 所以幂函数为()2f x x -=.故选：C【点睛】本题主要考查幂函数的定义，用待定系数法求函数的解析式，属于基础题.3.溶液的酸碱度是通过PH 值来刻画的，已知某溶液的PH 值等于lg H +⎡⎤-⎣⎦，其中H +⎡⎤⎣⎦表示该溶液中氢离子的浓度，若某溶液氢离子的浓度为610/mol L -，则该溶液的PH 值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】C 【解析】 【分析】把溶液氢离子的浓度610/mol L -代入lg H +⎡⎤-⎣⎦即可求解.【详解】由题意可得：该溶液的PH 为6lg106--=故选：C【点睛】本题考查了对数的运算性质，属于基础题.4.已知()y f x =是R 上的增函数，且它的部分对应值如表所示，则满足()3f x <的x 的取值范围是（ ）A. ()0,2B. ()1,2-C. (),1-∞-D. ()2,+∞【答案】B 【解析】 【分析】首先根据()3f x <求出()33f x -<<，然后根据函数在R 上为增函数对照表格即可求解. 【详解】()3f x <，()33f x ∴-<<又()y f x =是R 上的增函数，根据表格∴12x -<<.故选：B【点睛】本题考查了由函数的单调性解不等式，属于基础题. 5.设a ＝log 54，b ＝（log 53）2，c ＝log 45，则（ ） A. a ＜c ＜b B. b ＜c ＜aC. a ＜b ＜cD. b ＜a ＜c【答案】D 【解析】【详解】∵a ＝log 54＜log 55＝1，b ＝（log 53）2＜（log 55）2＝1，c ＝log 45＞log 44＝1，所以c 最大单调增，所以又因为所以b<a 所以b<a<c. 故选：D ．6.函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A. B.C. D.【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 7.已知()2y f x =-是偶函数，则下列选项正确的是（ ） A. ()()04f f =- B. ()()04f f =C. ()()22f f -=D. ()20f =【答案】A 【解析】 【分析】由函数()2y f x =-是偶函数可得(2)(2)f x f x -=--，从而有()f x 的图像关于2x =-对称求解. 【详解】函数()2y f x =-是偶函数，∴(2)(2)f x f x -=--， ∴()f x 的图像关于2x =-对称，()()04f f ∴=-故选：A【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，属于基础题.8.已知关于x 的不等式()()()13100a x x a +-+>≠的解集是()()1212,x x x x <，则下列结论中错误的是（ ） A. 122x x += B. 123x x <-C. 214x x ->D. 1213x x -<<<【答案】D 【解析】 【分析】首先由不等式的解集可得()()()13100a x x a +-+=≠的两根为1x 、2x ，化为()f x 与1y =-的交点的横坐标为1x 、2x ，由数形结合可得11x <-，23x >，从而得出选项.【详解】由不等式()()()13100a x x a +-+>≠的解集是()()1212,x x x x <， 则可知0a <，且()()()13100a x x a +-+=≠的两根为1x 、2x ，不妨设()()()()130f x a x x a =+-≠，由函数与方程的关系()()()13100a x x a +-+=≠的两根为1x 、2x 化为()f x 与1y =-的交点的横坐标为1x 、2x ，由图二次函数的对称轴为1x =，又12x x <，所以11x <-，23x >， 因此D 错误. 故选：D【点睛】本题考查了函数与方程的关系以及函数的零点，解决此题可借助于数形结合，属于中档题.9.已知函数()221141f x a x a x x x ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恰有三个不同的零点，则该三个零点之和为（ ）A. 5aB. 5C. 3aD. 3【答案】B 【解析】 【分析】令1t x x=+，则()f x 有三个零点等价于关于t 的方程2(2)610a t a --+=有两解，且其中一解为2或2-，另一解大于2或小于2-，当0a =、160a-<，不合题意；当12t =，此时22t =不符合题意，当12t =-，此时26t =，解1t x x =+即可.【详解】令1t x x=+，则()f x 有三个零点等价于关于t 方程2(2)610a t a --+=有两解，且其中一解为2或2-，另一解大于2或小于2-.当0a =不合题意，所以2(2)610a t a --+=得21(2)6t a-=-. 若160a-<，则该方程无解，不合题意. 所以1126t a =-，2126t a=+- 当12t =，此时22t =不符合题意 当12t =-，此时26t =，解得110a =- 由1t x x =+，当11x t x +=，解得11x =-，当21x t x+=整理2610x x -+= 所以236x x +=，所以1235x x x ++=. 故选：B【点睛】本题考查函数的零点，利用函数的零点为方程的根求解方程的根进行运算，属于中档题. 10.已知定义在R 上的函数()f x 满足)21fx x x +=，则下列函数中为增函数的是（ ）A. 21y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B. 1y f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. 121x y f ⎛⎫= ⎪+⎝⎭D. ()lg 1y f x =+【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法先求出函数f （x ）的解析式，再求出其单调性，然后利用复合函数“同增异减”一一验证每一个选项即可得出结论． 【详解】解：令t 21x x =+＞0，则211x x t=+，两式相减得：122t x t =-， ∴()122t f t t =-， ∴()112f x x x=-（x ＞0），当1x x≥即0＜x ≤1时，()112f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()21'10f x x =--＜，则f （x ）在（0，1]上单调递减；同理可得f （x ）在[1，+∞）上单调递增； 对于A 选项，令21u x =，其在（0，+∞）上单调递减，所以原函数（0，1]上单调递增；同理可得原函数在[1，+∞）上单调递减； 对于B 选项，令1u x x=-，其在（0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，所以原函数在（0，+∞）上单调递减；对于C 选项，令u ＝2x +1＞1且在R 上单调递增，则原函数可化为111122y u u u u ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭在（1，+∞）上单调递增，由复合函数单调性可得原函数单调递增； 对于D 选项，令u ＝lg |x |+1＞0得110x -＜或110x ＞，且其在110⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，上单调递减，在110⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，由复合函数的单调性知原函数不单调． 故选：C ．【点睛】本题考查换元法求解析式以及复合函数的单调性，属于中档题. 二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11.已知集合{}2|20A x x ax =++=，且满足1A ∈，则a =___________，集合A 的子集个数为___________．【答案】 (1). －3 (2). 4 【解析】 【分析】根据1A ∈可知1是方程220x ax ++=的根，代入即可求a ；由a 代入解方程，求出集合A 中的元素即可求出集合A 的子集个数. 【详解】1A ∈，1∴满足方程220x ax ++=，代入可得3a =-，当3a =-时，方程为2320x x -+=，解方程可得11x =，22x = 所以集合{}1,2A =，所以集合A 的子集个数为224=. 故答案为：3- 4【点睛】本题考查元素与集合的关系，根据元素与集合的关系求参数，求集合的子集个数，当集合中的元素为n 可利用公式2n 求解.12.已知35a b c ==，若3c =，则25b =___________，若112a b+=，则c =___________． 【答案】15【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化以及换底公式即可求解.【详解】若3c =，则53b =，所以5log 3b =，所以()552log 3log 322525539b ====因为35a b c ==，所以3log a c =，5log b c =，所以311log a c =，511log b c= 由112a b+=，即35112log log c c += 由换底公式可得log 3log 52c c +=，所以log 152c = 即215c =，所以15c =【点睛】本题考查指数式与对数式的互化、换底公式，属于基础题. 13.函数()22f x x x =-___________；值域为___________．【答案】 (1). []1,2 (2). []0,1 【解析】 【分析】首先求出定义域{}02x x ≤≤，由复合函数的单调性求法即可求出函数的单调区间；由定义域和函数的单调性可求值域. 【详解】函数()22f x x x =-220x x -≥，解得函数的定义域为{}02x x ≤≤，令2()2u x x x =-，对称轴为1x =，开口向下，所以()u x 在[]0,1上为增函数，在[]1,2为减函数，又y u=在定义域内为增函数，所以()22f x x x =-[]1,2；由2()2u x x x =-，02x ≤≤，所以2021x x ≤-≤，即0()1u x ≤≤， 所以()[]220,1f x x x =-.故答案为：[]1,2 ；[]0,1【点睛】本题考查复合函数的单调区间与值域，复合函数的单调性“同增异减”，注意在求单调区间时先求定义域.14.已知奇函数()f x 满足()()20f x f x ++=，当()0,1x ∈时，()2f x x =，则32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭___________；当()3,5x ∈时，()f x =___________． 【答案】 (1). 1 (2). 28x - 【解析】 【分析】（1）由()()20f x f x ++=得31()22f f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，再根据函数为奇函数11()()22f f -=-，代入解析式即可求解；（2）由()()20f x f x ++=可得()f x 是以4为周期的函数，，当()3,5x ∈时，()41,1x -∈-，利用()1,1x ∈-时，()2f x x =，可求得答案.【详解】（1）由()()20f x f x ++=，则(2)()f x f x +=-，∴31()22f f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 又()f x 为奇函数，11()()22f f ∴-=-，又()()0,1,2x f x x ∈=，∴1()12f = ，311()()1222f f f ⎛⎫∴=--== ⎪⎝⎭（2）()()20f x f x ++=，(2)()f x f x ∴+=-，[](2)2(2)()f x f x f x ∴++=-+=，()f x ∴是以4为周期的函数，当()3,5x ∈时，则()41,1x -∈-()f x 奇函数，由()0,1x ∈，()2f x x =，所以当()1,1x ∈-，则()2f x x =所以()3,5x ∈，()(4)2(4)28f x f x x x =-=-=- 故答案为： 1 ； 28x -【点睛】本题考查函数的奇偶性和周期性以及函数解析式的求解，求函数解析式时求出()f x 是以4为周期的函数是关键，属于基础题.15.某班有40名同学报名参加集邮、辩论、摄影课外兴趣小组，要求每位同学至少参加其中一项，已知参加集邮、辩论、摄影兴趣小组的人数分别为25，15，13，同时参加三项的同学有2人，只参加集邮与辩论两项的同学有6人，则只参加摄影这一个兴趣小组的同学人数为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】作出维恩图，结合维恩图列出方程组，能求出只参加摄影这一个兴趣小组的同学人数． 【详解】解：由题意作出维恩图如下：则815825213m y n x x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，且m +n +x +y +z +8＝40， ∴7﹣y +17﹣x +x +y +z +8＝40， 解得z ＝8．∴只参加摄影这一个兴趣小组的同学人数为8． 故答案为：8．【点睛】本题考查只参加摄影这一个兴趣小组的同学人数的求法，考查维恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.若不等式13x a x x -++≥对任意[]2,2x ∈-都成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】{1a a ≤-或}5a ≥ 【解析】 【分析】对x ∈[﹣2，2]，进行分类讨论，当x ∈[12，2]时，两边平方，利用恒成立问题，求出a 的范围． 【详解】解：当x ∈[﹣2，0]时，3x ≤0，所以对任意的a ，显然成立， 当x ∈[0，2]时，由|x ﹣a |+|x +1|≥3x 可得，|x ﹣a |≥3x ﹣x ﹣1＝2x ﹣1， 当x ∈[0，12]时，显然成立， 当x ∈[12，2]时，2x ﹣1≥0，所以（x ﹣a ）2≥（2x ﹣1）2， 化简得3x 2+x （2a ﹣4）21a +-≤0，在x ∈[12，2]上恒成立，所以2212431042124810a a a a -⎧⨯++-≤⎪⎨⎪+-+-≤⎩， 解得：a ≤﹣1，或a ≥5． 故答案为：{1a a ≤-或}5a ≥.【点睛】考查了绝对值不等式的解法，分类讨论法，恒成立问题的解法，中档题．17.设0a >，函数()()21,02,0x a x f x f x a x -+≤⎧=⎨-->⎩，()y f x =有无数个零点，则实数a 的最大值为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，当x ≤0时，图象是射线；当0＜x ≤a 时，﹣a ＜x ﹣a ≤0，f （x ）＝﹣2f （x ﹣a ）的图象是把（﹣a ，0]的图象每个点纵坐标乘以﹣2，再向右平移a 个单位长度；当a ＜x ≤2a 时，f （x ）＝﹣2f （x ﹣a ）的图象是把（0，a ]的图象每个点纵坐标乘以﹣2，再向右平移a 个单位长度；以此类推，因此如果f （x ）有无数个零点，则只要f （x ）在（﹣a ，0]上有零点即可．【详解】解：因为a ＞0，函数()()21020x a x f x f x a x -+≤⎧=⎨--⎩，，＞，当x ≤0时，图象是射线；当0＜x ≤a 时，﹣a ＜x ﹣a ≤0，f （x ）＝﹣2f （x ﹣a ）的图象是把（﹣a ，0]的图象每个点纵坐标乘以﹣2，再向右平移a 个单位长度；当a ＜x ≤2a 时，f （x ）＝﹣2f （x ﹣a ）的图象是把（0，a ]的图象每个点纵坐标乘以﹣2，再向右平移a 个单位长度；以此类推；若f （x ）有无数个零点，则只要f （x ）在（﹣a ，0]上有零点，即x 12a -=∈（﹣a ，0]， ∴a ∈（13，1]，故a 的最大值为1； 故答案为：1．【点睛】本题考查了函数的图象变换，函数零点定义，数形结合的思想方法，转化思想， 三、解答题：5小题，共74分18.已知集合(){}|21ln 3A x y x x =--，集合{}2|0B x x a =-<．（1）求A R；（2）若()A B B =R ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[)1(,)3,2-∞⋃+∞ （2）1(,)4-∞ 【解析】 【分析】（1） 使()21ln 3y x x =--有意义得21030x x -≥⎧⎨->⎩，解方程组求出132A x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，再由集合的补集运算即可求解. （2）由()A B B =R 得RB A ⊆，讨论集合B =∅或B ≠∅即可求解.【详解】（1）由题意得21030x x -≥⎧⎨->⎩ 解得132x ≤<，即132A x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭所以12RA x x ⎧=<⎨⎩或}3x ≥，故[)1(,)3,2A =-∞⋃+∞R（2）由()A B B =R ，所以RB A ⊆，当B =∅时，20x a -<无解，即0a ≤， 当B ≠∅时，20x a -<解得a x a <由RB A ⊆12a <，解得14a <. 综上所述，14a <，即实数a 的取值范围为1(,)4-∞.【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及根据集合的包含关系求参数的取值范围，在求参数范围时注意空集这类情况，此题属于易错题. 19.函数()()2log 21xf x =-．（1）解不等式()1f x <；（2）若方程()()4log 4xf x m =-有实数解，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}20log 3x x << （2）1m 【解析】 【分析】 （1）由()1f x <，根据对数的单调性可得212x -<，然后解指数不等式即可.（2）由()()4log 4x f x m =-实数根，化为214x x m -=-有实根，令2x t =，22()210t t m ⋅-⋅+-=有正根即可，对称轴12t =，开口向上，只需0∆≥即可求解. 【详解】（1）由()1f x <，即2log (21)1x -<，所以0212x <-<，123x <<，解得20log 3x << 所以不等式的解集为{}20log 3x x <<.（2）由()()4log 4xf x m =-实数根，即()()221log 21log 42x x m -=-有实数根， 所以214x x m -=-有实根，两边平方整理可得22(2)2210x xm ⋅-⋅+-=令2x t =，且1t >，由题意知22()210t t m ⋅-⋅+-=有大于1根即可，即22()21t t m ⋅-⋅+=，令2()2()21g t t t =⋅-⋅+，1t >，故()1g t >故1m .故实数m 的取值范围1m .【点睛】本题考查了利用对数的单调性解不等式、根据对数型方程的根求参数的取值范围，属于中档题. 20.如图，已知ABC △，5AB AC ==，8BC =，点P 从B 点沿直线BC 运动到C 点，过P 做BC 的垂线l ，记直线l 左侧部分的多边形为Ω，设BP x =，Ω的面积为()S x ，Ω的周长为()L x ．（1）求()S x 和()L x 的解析式； （2）记()()()S x F x L x =，求()F x 的最大值．【答案】（1）223(04)8()3612(48)8x x S x x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩()304()36(48)2x x L x x x ⎧<≤⎪=⎨+<≤⎪⎩（2）627-【解析】 【分析】（1）作ABC △的高AD ，当04x <≤时，则ABD MBP ∆∆，所以MP BP BMAD BD BA==， 求得34x MP =，54xBM =；当48x <≤时，由ADC MPC ∆∆，则MP PC MC AD DC AC ==，求得3(8)4x MP -=，5(8)4x MC -= ，5204x AM -=，即可求面积以及周长. （2）由（1）当04x <≤时，()F x 的最大值为12当48x <≤时，()()()24844x x S x F x L x x -+-==+，令4t x =+，21(4)4(4)8284()64t t t F t t t--+--==--+，利用基本不等式即可求最大值.【详解】作ABC △的高AD ，由5AB AC ==，8BC =，所以3AD = ，当04x <≤时，则ABD MBP ∆∆，所以MP BP BMAD BD BA==， 由BP x =，则34x MP =，54xBM =， 所以21133()2248x x S x BP MP x =⋅=⋅⋅=， 35()344x xL x BP MP BM x x =++=++= 当48x <≤时，由ADC MPC ∆∆，则MP PC MC ADDCAC==，所以3(8)4x MP -=，5(8)4x MC -= ，5204x AM -= 213()2061228ABC MPC S x S S PC MP x x =-=-⋅=-+- 3()62xL x BP MP BA AM =+++=+综上所述， 223(04)8()3612(48)8x x S x x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩()304()36(48)2x x L x x x ⎧<≤⎪=⎨+<≤⎪⎩（2）由（1）当04x <≤时，()()()110,82S x F x x L x ⎛⎤==∈ ⎥⎝⎦，()F x 的最大值为12当48x <≤时，()()()22361248843462x x x x S x F x L x x x -+--+-===++令[]44,12t x =+∈，则4x t =-，所以21(4)4(4)8284()66274t t t F t t t--+--==--+≤- 当且仅当27t =274x =-等号成立. 故()F x 的最大值为627-又16272->. 综上所述：()F x 的最大值为627-【点睛】本题主要考查了分段函数以及分段函数的最值，属于中档题. 21.已知函数()()1f x x a x =+-．（1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当[]2,2x ∈-时，不等式2()f x a ≤恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）函数的增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞；函数的减区间为(1,1)-. （2）1a ≤-或2a ≥ 【解析】 【分析】（1）零点分段化简()f x ，3a =时代入，结合二次函数的性质可得函数()f x 的单调区间. （2）对a 进行分段讨论求解()f x 的最大值小于等于2a 恒成立可求实数a 的取值范围.【详解】（1）当3a =时，()()(3)(1)11(3)(1)1x x x f x x a x x x x +⋅-≥⎧=+-=⎨-+⋅-<⎩结合图像可知函数的增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞；函数的减区间为(1,1)-. （2）由于()()()(1)11()(1)1x a x x f x x a x x a x x +⋅-≥⎧=+-=⎨-+⋅-<⎩当1a -≥时，即1a ≤-时，只需2(2)f a ≤，1a ∴≤-或2a ≥，从而得到1a ≤-；当1122a a -<⎧⎪⎨->-⎪⎩时，即15a -<<时，只需221()(2)a f a af a-⎧≤⎪⎨⎪≤⎩，11312a a a a ⎧≥≤-⎪∴⎨⎪≤-≥⎩或或 从而得到25a ≤< ； 当1122a a -<⎧⎪⎨-≤-⎪⎩时，即5a ≥时，只需22(2)(2)f a f a ⎧-≤⎨≤⎩ 12a Ra a ∈⎧∴⎨≤-≥⎩或 ，从而得到5a ≥综上可得：1a ≤-或2a ≥【点睛】本题考查分段函数的单调区间、绝对值不等式恒成立问题，综合性比较强.22.已知定义在R 上的函数()f x 且不恒为零，对,x y ∀满足()()()()()11f x y f x f y f y f x +=-+-，且()f x 在[]0,1上单调递增．（1）求()0f ，()1f 的值，并判断函数()f x 的奇偶性； （2）求1(21)2f x -≥的解集．【答案】（1）(0)0f =；(1)1f =；奇函数（2）2422,33xk x k k z ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】（1）令0x y ==，求得(0)0f =或1(1)2f =；令1x =，0y =，又求得1(0)2f =（舍去），可求得(0)0f =，(1)1f =；令1x =，y x =，得(1)(1)f x f x +=-，再令y x =-，得[](0)0(1)()()f f x f x f x ==+⋅+-即可证得()f x 为奇函数.（2）首先令13x y ==，求得11()32f =，再有（1）可得()f x 的周期为4且51()32f =，结合函数在[]22-,的图像得154214,33k x k k z +≤-≤+∈ 即可求解.【详解】（1）由对于任意x ，y R ∈满足()()()()()11f x y f x f y f y f x +=-+-，令0x y ==， 则(0)(0)(1)(0)(1)2(1)(0)f f f f f f f =⋅+⋅=⋅，所以(0)0f =或1(1)2f =；令1x =，0y =，则(1)(1)(1)(0)(0)f f f f f =⋅+⋅，上一步若1(1)2f =，代入可得1(0)2f =±， 令12x y ==，11()22f =±，因为()f x 在[]0,1上单调递增，所以1(0)()(1)2f f f <<所以(0)0f =，(1)1f =. 综上所述：(0)0f =；(1)1f =令y x =-，则[]()()()()()11f x x f x f x f x f x +-=++-- ()* 令1x =，y x =，则(1)(1)(1)()(0)f x f f x f x f +=⋅-+⋅ 因为(0)0f =，(1)1f =，所以(1)(1)f x f x +=- 代入()*式得[](0)0(1)()()f f x f x f x ==+⋅+-， 显然(1)f x +不等于0，所以()()0f x f x +-=， 所以()f x 为奇函数.（2）由（1）可得()(2)(2)(4)(4)f x f x f x f x f x =-=--=--=- 即函数()f x 的最小正周期为4. 令13x y ==，则 2121233333f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11()32f =， 由（1）可得51()32f =，根据函数在[]22-,的图像以及函数的周期性， 观察得 若1(21)2f x -≥，则154214,33k x k k z +≤-≤+∈ 解得2422,33k x k k z +≤≤+∈故不等式的解集为2422,33xk x k k z ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查抽象函数求值、抽象函数的奇偶性以及解抽象函数不等式，解题的关键对x 、y 赋值，此题综合性比较强.。
浙江省“浙南名校联盟”2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题含解析
2024-2025学年浙江省“浙南名校联盟”高一上期中联考数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.（答案在最后）1.已知集合{|31}A x x =-<<，2{|4}B x x =<，则A B = （）A.{}1,0- B.{}2,1,0,1--C.{|21}x x -<< D.{|32}x x -<<【答案】D 【解析】【分析】先化简集合B ，再求出两集合的并集即可．【详解】由2{|4}{|22}B x x x x =<=-<<，{|31}A x x =-<<，得{|32}A B x x =-<< .故选：D.2.要建造一个容积为31200m ，深为6m 的长方形无盖蓄水池，池壁的造价为95元2/m ，池底的造价为135元2/m ，问水池总造价最低时，水池的长a 与宽b 分别为（）A.a =，b = B.10a =，20b =C.20a =，10b = D.15a =，15b =【答案】A 【解析】【分析】设水池的长为a m ，宽为b m ，总造价为z 元；从而可得12002006ab ==，()95226135z a b ab =+⨯+⨯，结合基本不等式求最值即得.【详解】设水池的长为a m ，宽为b m ；总造价为z 元；则12002006ab ==，故200b a=；95(22)61351140()27000z a b ab a b =+⨯+⨯=++11402700027000≥⨯=+当且仅当a =b =.故选：A.3.若2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1323c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（）A.a b c >>B.b c a >>C.c b a >>D.c a b>>【答案】C 【解析】【分析】利用指数函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性可得出a 、b 的大小关系，利用幂函数13y x =在 欧 ∞上的单调性可得出b 、c 的大小关系，由此可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】因为13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在 上为减函数，故21331133⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a b <，又13y x =在 欧 ∞上为增函数，故11332133⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即c b >，故c b a >>.故选：C.4.已知函数()2f x 的定义域为[]0,4，则()31xf -的定义域为（）A.[]0,8 B.[]0,2C.[]0,80 D.80,31⎡⎤-⎣⎦【答案】B 【解析】【详解】先由题意求出()f x 的定义域，进而可求()31xf -的定义域.【解答】因为函数()2f x 的定义域为[]0,4，由[]0,4x ∈，可得[]20,8x ∈，即()f x 的定义域为[]0,8，对于函数()31xf -，需使0318x ≤-≤，解得[]0,2x ∈，故()31xf -的定义域为[]0,2.故选：B.5.“2R,10x ax ax ∃∈-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围为（）A.()0,4 B.[)0,4 C.[]0,4 D.(]0,4【答案】B 【解析】【分析】利用特称命题及其否定形式的真假结合二次不等式恒成立问题计算即可.【详解】由特称命题的否定形式及真假可知：“2R,10x ax ax ∃∈-+≤”为假则其否定形式“2R,10x ax ax ∀∈-+>”为真命题，显然当0a =时符合题意，当0a ≠时，由一元二次不等式的恒成立问题得2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解之得()0,4a ∈，综上可得[)0,4a ∈.故选：B6.“幂函数()()211m f x m m x-=--在()0,∞+单调递减”是“1m =-”的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据幂函数的定义求出m 的值，再根据充分必要条件的定义判断即可．【详解】若()f x 为幂函数，则211m m --=，解得1m =-或2m =，因当1m =-时，()2f x x -=在()0,∞+上单调递减，符合题意；当2m =时，()f x x =在()0,∞+上单调递增，不合题意.故由“幂函数()()211m f x m m x-=--在()0,∞+单调递减”当且仅当“1m =-”成立，即“幂函数()()211m f x m m x-=--在()0,∞+单调递减”是“1m =-”的充要条件．故选：B .7.已知()34122x xf x x m -=+-⋅，123f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则13f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.2-B.4- C.6- D.4【答案】C 【解析】【分析】由已知求得13313121432mm ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⋅，代入计算，即可得13f ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】由题意，得13313114122332f m -⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅，则113333113314112143322m m m -⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅⋅，注意到11113333331133114122213322，m m m m m ----⎛⎫⎛⎫-=-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅⋅则113333113311411212242633322f mm m ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=--+-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⋅⋅.故选：C8.()2269,01,1(),1,2x x x x m x f x x -+⎧-+≤≤⎪=⎨>⎪⎩若()f x 的最大值为()3f ，则m 的取值范围为（）A.3,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.53,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】先求出()()max 31f x f ==，得当01x ≤≤时，21x x m -+≤恒成立，分离参数，利用二次函数的性质即可求解.【详解】当1x >时，()()2236911()22x xx f x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，()23y x =-在()1,3递减，在()3,+∞递增，则当1x >时，()f x 在()1,3递增，在()3,+∞递减，故当1x >时，()()max 31f x f ==，则当01x ≤≤时，21x x m -+≤恒成立，则当01x ≤≤时，2211x x m x x -+-≤≤-++恒成立，又当01x ≤≤时，2213124x x x ⎛⎫-+-=--- ⎪⎝⎭，则当12x =时，()2max314x x -+-=-；当01x ≤≤时，2215124x x x ⎛⎫-++=--+ ⎪⎝⎭，且当0x =时，211x x -++=；当1x =时，211x x -++=则当0x =时，()2min11x x -++=，故m 的取值范围为3,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：A二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论错误的是（）A.若()()12f f <，则()f x 在[]1,2上单调递增B.()223f x x x =+-在[)0,+∞上单调递增C.()1f x x=在定义域内单调递减D.若()224,1,3,1x ax x f x a x x ⎧---≤⎪=⎨+->⎪⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围为(]3,1--【答案】ACD 【解析】【分析】由单调性的定义可得A 错误；由二次函数的性质可得B 正确；由单调函数的规定可得C 错误；由分段函数的单调性结合二次函数和分式型函数的性质可得D 错误；【详解】对于A 、不符合任意性，故A 错误；对于B 、()()222314f x x x x =+-=+-，在()1,-∞递增，故B 正确；对于C 、()1f x x=在(),0-∞和()0,∞+递减，不能说在定义域内单调递减，故C 错误；对于D 、由题意，得2130312141a a a a ⎧⎪-≥⎪+>⎨⎪+⎪--⨯-≤-⎩，解得21a -≤≤-，故D 错误；故选：ACD.10.已知,0a b >，22a b ab ++=，则下列结论正确的是（）A.ab的最大值为6- B.2a b +的最大值为4-C.1112+++a b 的最小值为1 D.411a b++的最小值为4【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，B ，直接利用基本不等式即可求解；对于C ，由题设等式可得22ba b-=+，代入消元后根据对勾函数的性质可判断；对于D ，代入消元后根据基本不等式即可判断.【详解】对于A，由22a b ab ab =++≥，可得20ab +-≤，即得220-++≤，因,0a b >，解得02≤，故6ab ≤-2b a =时等号成立，由222a b a b ab =⎧⎨++=⎩，可得12a b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，故当且仅当1a =-，2b =时，ab取得最大值为6-，故A 正确；对于B ，因122222a b ab a b +=-=-⋅⋅2122()22a b +≥-⋅，当且仅当2b a =时等号成立，令20t a b =+>，代入上式，可得21224t t ≥-⋅，即28160t t +-≥，解得4t ≥-，故当且仅当1a =-，2b =时，2a b +取得最小值为4-，故B 错误；对于C ，由22a b ab ++=，可得22ba b-=+，由0a >，可得02<<b ，故11112121224212b b a b b b b++=+=+-++++++.令()22,4m b =+∈，则得11114()1244m m a b m m+=+=+++，函数在()2,4上单调递增，故112111242a b +>+=++，即C 错误；对于D ，4141122112b b a b b b b+=+=++-+++24≥+=，当且仅当1b =，13a =时等号成立，故411a b++的最小值为4，故D 正确.故选：AD .11.存在函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有（）A.()2222f x x x x -=+ B.()2212f x x x +=+-C.()2e e2x xf xx--=- D.()e23xxf =+【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，令0x =与2x =即可判断；对于B ，配方、换元即可判断；对于C ，换元，根据函数的单调性及函数的定义即可判断；对于D ，换元即可判断.【详解】对于A ，令0x =，可得()00f =；令2x =，可得()08f =，矛盾，故A 错误；对于B ，()22221111x x x x +=+-=+-，所以()21112fx x +-=+-.令211t x =+-，则)11x t +=≥-，所以()()21f t t =≥-，所以()()21f x x =≥-，故B 正确；对于C ，设e e x x t -=-，e =x m ，则1=-t m m，e x m = 是增函数，x 与m 一一对应，又1(0)t m m m=->也是增函数，m 与t 也是一一对应，x ∴与t 为一一对应，同时22y x x =-符合函数定义，故C 正确；对于D ，令()e 0xt t =>，则ln x t =，所以()()ln 230t f t t =+>，所以()()ln 230x f x x =+>，故D 正确；故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.log 2lg 2lg2lg5lg52++⋅++的值为__________.【答案】3【解析】【分析】利用对数、指数运算性质即可求解.【详解】原式()2lg2lg2lg5lg5=+⋅++2lg 2lg5213=++=+=故答案为：313.()122f x x x =-+-，则不等式()32f x ≤的解集为__________.【答案】313,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】分类讨论去绝对值，求解即可.【详解】当1x <时，()()12253f x x x x =-+-=-，由()32f x ≤，可得3532x -≤，解得76x ≥，故x 不存在；当12x ≤≤时，()()1223f x x x x =-+-=-，由()32f x ≤，可得332x -≤，解得32x ≥，故322x ≤≤；当2x >时，()()12235f x x x x =-+-=-，由()32f x ≤，可得3352x -≤，解得136≤x ，故1326x <≤，综上，31326x ≤≤，故答案为：313,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦.14.已知a ，b ，0c >，1b c +=，则4b ca abc bc+++的最小值为__________.【答案】5【解析】【分析】由基本不等式得41b c a abc bc ++≥-+，再结合已知利用基本不等式求出4b c bc +的最小值可得解.【详解】()()4411111b c b ca a abc bc bc a +++=++-≥=++①，当且仅当24(1)b ca bc++=时取等号，()441414559b c b c b c bc c b c b c b +⎛⎫=+=++=++≥= ⎪⎝⎭，即49b c bc +≥②，当且仅当4b cc b=时，即13b =，23c =时取等号，将②式代入①式得412315b c a abc bc ++≥-=⨯-=+，当且仅当2a =，13b =，23c =时取等号.故答案为：5.四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知(]71,21,{|1}5A a aB x x =+-=≤--.（1）若3a =，{|25}U x x =-<≤，求()U A B ⋂ð；（2）设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若命题q 是命题p 的必要不充分条件，求a 的取值范围.【答案】（1）(){|245}U A B x x x ⋂=-<≤=或ð（2）()2,3【解析】【分析】（1）根据不等式求出集合B ，然后依据集合的运算求出结果即可；（2）根据已知命题q 是命题p 的必要不充分条件可得集合关系，进而求出结果【小问1详解】2{|0}{|25}5x B x x x x +=≤=-≤<-；当3a =时，(]4,5{|45}A A B x x =∴=<< (){|245}U A B x x x ∴=-<≤= 或ð.【小问2详解】由题意得AB ,则121,215,12a a a a +<-⎧⎪-<⎨⎪+≥-⎩即233a a a >⎧⎪<⎨⎪≥-⎩,得23a <<.故a 的取值范围是()2,3.16.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()32xf x x =+.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求不等式()3f x >的解集；（3）R a ∈，解关于x 的不等式()()2220f ax ax f x +++>.【答案】（1）332,0()0,0,2,0x x x x f x x x x -⎧+>⎪==⎨⎪-<⎩（2）()1,+∞（3）答案见解析【解析】【分析】（1）利用定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，()32xf x x =+，可求0x <时的解析式；（2）结合函数单调性进行求解即可；（3）()()2220f ax ax f x +++>等价于()()222.f ax ax f x +>--又()f x 在R 上单调递增，所以222ax ax x +>--，即()2220ax a x +++>，然后解不等式即可.【小问1详解】当0x =时，()0f x =.当0x <时，0x ->，()33()22xx f x x x ---=-+=-+，所以()32x f x x -=-.332,0()0,0,2,0x x x x f x x x x -⎧+>⎪∴==⎨⎪-<⎩【小问2详解】由题意得当0x >时，()f x 单调递增且()1f x >，()00f =，在[)0,∞+上单调递增，又()f x 为奇函数， 在R 上单调递增，()()31f x f >= .1x ∴>即()3f x >的解集为 欧 ∞.【小问3详解】()()2220f ax ax f x +++>等价于()()222f ax ax f x +>--.又()f x 在R 上单调递增，222ax ax x ∴+>--，即()2220ax a x +++>.①当0a =时，220x +>，解得1x >-，∴原不等式解集为()1,∞-+；②当0a <时，原不等式可化为()210x x a ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，解得21x a-<<-，∴原不等式解集为21,a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.③当0a >时，原不等式可化为()210x x a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，()2i 1a-=-时，即2a =时，原不等式解集为()(),11,∞∞--⋃-+；()2ii 1a ->-时，即2a >时，原不等式解集为()2,1,a ∞∞⎛⎫--⋃-+ ⎪⎝⎭；()2iii 1a -<-时，即2a <时，原不等式解集为()2,1,a ∞∞⎛⎫--⋃-+ ⎪⎝⎭；17.温州市初中毕业生体育学业测试项目中，耐力类（男生1000米/女生800米）为必考项目.现一体重为50kg 的小明准备做四分钟的跑步训练，其分为两个阶段，第一阶段为前一分钟的稳定阶段，第二阶段为后三分钟的疲劳阶段.假设小明稳定阶段做速度为16m /v s =的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力111160Q t v =⨯△（1t 表示该阶段所用时间），疲劳阶段变为22630t v =-的减速运动（2t 表示该阶段所用时间），由于速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力222260t v Q t ⨯=+△.假定小明可用于跑步消耗的初始体力为0700kJ Q =，不考虑其他因素，所用时间为t （单位s ），请回答下列问题：（1）写出小明剩余体力Q 关于时间t 的函数()Q t ；（2）小明在四分钟内何时体力达到最低，最低值是多少；（3）小明在三分整时，恰好跑完840米，若此时他准备做匀速冲刺阶段，此阶段每千克体重消耗体力33333)11(400200Q v v t =+）△（（3t 表示该阶段所用时间），问在保证体力未消耗完的前提下，小明能否在3分40前跑完一千米？【答案】（1）()7005,060,48050100,6024030t t Q t t t t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫⋅+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）第120秒时，体力为最小值300kJ（3）不能【解析】【分析】（1）分类讨论当060t ≤≤时，当60240t <≤时，得到解析式；（2）当060t ≤≤时，()Q t 为一次函数且单调递减，当60240t <≤时，结合基本不等式求解；（3）当180t =时，此时()10003Q t =要使在三分四十前到达，需要34v ≥，求解即可.【小问1详解】当060t ≤≤时，()670050700560Q t t t =-⋅⋅=-.当60240t <≤时，()()60606480304005050100606030t t t Q t t t-⎛⎫-⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⋅=⋅- ⎪-+⎝⎭.综上()7005,060,48050100,6024030t t Q t t t t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫⋅+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】当060t ≤≤时，()Q t 为一次函数且单调递减，∴此过程()min ()60400Q t Q ==，当60240t <≤时，()480501005010030030t Q t t ⎛⎫=⋅+-≥⋅=⎪⎝⎭，当且仅当48030t t =，即120t =时取“=”.由于300400<，第120秒时，体力最小值为300kJ【小问3详解】当180t =时，此时()480180100050100180303Q t ⎛⎫=⋅+-=⎪⎝⎭.冲刺时，体力消耗量为33331150(()4002)00v v t ⋅+32333311160(()20()4084)v v v v =+⋅=+，要使在三分四十前到达，需要34v ≥，23100020()403603v ∴+≥>，所以小明不能在3分40前跑完一千米.18.已知()122x x a f x b++=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若()f x 的定义域为R ，判断()f x 的单调性并证明；（3）在第二问的条件下，()22g x x mx =-，对任意的1R x ∈，存在[]20,4x ∈，使得()()12f x g x =，求m 的取值范围.【答案】（1）2a =-，1b =或2a =，1b =-（2）()f x 在R 上单调递增，证明见解析（3）74⎤⎥⎦【解析】【分析】（1）直接根据奇函数的定义求解即可；（2）利用作差法来证明函数的单调性；（3）先记1R x ∈时，()1f x 的值域为A ，[]20,4x ∈时，()2g x 的值域为B ，然后得出A B ⊆，再求出()2,2A =-，得到max ()2g x ≥，min ()2g x ≤-，对m 进行分类讨论即可求出m 的取值范围.【小问1详解】由题意得()00f =或()0f 不存在，①当()00f =时，()2001a f b +==+，2a =-，()1222x x f x b+-=+，又()()11f f =--，即4212122b b --=-++，1b ∴=，经检验()12221x x f x +-=+为奇函数，2a ∴=-，1b =满足条件；②当()0f 不存在时，1b =-，()1221x x f x a ++-=，又()()11f f =--，即1412211a a ++=---，2a ∴=，经检验()12221x x f x ++=-为奇函数，2a ∴=，1b =-满足条件；【小问2详解】()f x 定义域为R ，()12221x x f x +-∴=+，任取1x ，2R x ∈，12x x <，()()1212121112222222212121212121x x x x x x f x f x ++--⎛⎫⎛⎫-=-=⋅--- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭()()122112112244021212121x x x x x x -⎛⎫=-=⋅< ⎪++++⎝⎭，()()()12,f x f x f x ∴<∴在R 上单调递增；【小问3详解】记1R x ∈时，()1f x 的值域为A ，[]20,4x ∈时，()2g x 的值域为B ，由题意得A B ⊆，令21(1)xt t =+>，则()()()121222422,221x x t f x t t +---===-∈-+，()2,2A ∴=-，又A B ⊆，max ()2g x ∴≥，min () 2.g x ≤-①当2m ≥时，()()max 00g x g ==不符合题意，②当02m ≤<，()max ()41682g x g m ==-≥，()2min ()2g x g m m ==-≤-，即21682202m m m -≥⎧⎪-≤-⎨⎪≤<⎩，74m ≤≤，③当0m <时，()min ()002g x g ==≤-不成立，综上所述：m的取值范围为74⎤⎥⎦.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是由集合间的包含关系对m 进行分类讨论.19.设k 是正整数，A 是*N 的非空子集（至少有两个元素），如果对于A 中的任意两个元素x ，y ，都有x y k -≠，则称A 具有性质()P k .（1）试判断集合{}1,2,4,5B =，{}1,5,6C =是否具有性质()2P ？并说明理由；（2）若集合{}{}1211,,,1,2,,20A a a a =⊆ ，证明A 不可能具有性质()5P ；（3）若集合{}1,2,,1000A ⊆ 且具有性质()4P 和()7P ，求A 中元素个数的最大值.【答案】（1）{}1,2,4,5B =不具有性质()2P ，{}1,5,6C =具有性质()2P ，理由见解析（2）证明见解析（3）455个.【解析】【分析】（1）根据定义判断,B C 是否具有性质()2P 即可；（2）将集合{}1,2,,20 中的元素分为10个集合，进行求解即可；（3）先说明连续11项中集合A 中最多选取5项，然后求出集合A 中共有455个元素，即可.【小问1详解】422-= ，B ∴不具有性质()2P .512-≠ ，612-≠，652-≠，C ∴具有性质()2P ；【小问2详解】将集合{}1,2,,20 中的元素分为如下10个集合，{}1,6，{}2,7，{}3,8，{}4,9，{}5,10，{}11,16，{}12,17，{}13,18，{}14,19，{}15,20.所以从集合{}1,2,,20 中取11个元素，那么这10个集合至少有一个集合要选2个数，存在两个元素其差为5，A ∴不可能具有性质()5P ；【小问3详解】先说明连续11项中集合A 中最多选取5项，以1，2，3…，11为例.将这11个数分为{}1,8，{}2,9，{}3,10，{}4,11，{}5，{}6，{}77个集合，①5，6，7同时选，因为具有性质()4P 和()7P ，所以选5则不选1，9；选6则不选2，10；选7则不选3，11；则只剩4，8.故1，2，3…，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.②5，6，7选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又{}4,11只能选一个元素，3，8可以选，故1，2，3…，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，故1，2，3…，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又{}1,8只能选一个元素，4，9可以选，故1，2，3…11中属于集合A 的元素个数不超过5个.③5，6，7中只选1个，又四个集合{}1,8，{}2,9，{}3,10，{}4,11每个集合至多选1个元素，故1，2，3…，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A 的元素至多只有5个，如取1，4，6，7，9.因为1000901110=⨯+，则把每11个连续自然数分组，前90组每组至多选取5项；从991开始，最后10个数至多选取5项，故集合A 的元素最多有915455⨯=个.给出如下选取方法：从1，2，3…，11中选取1，4，6，7，9；然后在这5个数的基础上每次累加11，构造90次.此时集合A 的元素为：1，4，6，7，9；12，15，17，18，20；23，26，28，29，31； ；2014，2017，2019，2020，2022，991，994，996，997，999共455个元素.经检验可得该集合符合要求，故集合A 的元素最多有455个.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键点在于根据集合新定义对集合A的中元素进行分类，可先取其中连续11项进行讨论较为简单.。
2019-2020学年浙江省浙东北联盟(ZDB)高一(上)期中数学试卷
2019-2020学年浙江省浙东北联盟（ZDB ）高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分）1. 设集合M ＝{0, 3}，N ＝{1, 2, 3}，则M ∩N ＝（ ） A.{3} B.{0, 1, 2} C.{1, 2, 3} D.{0, 1, 2}【答案】 A【考点】 交集及其运算 【解析】进行交集的运算即可． 【解答】∵ M ＝{0, 3}，N ＝{1, 2, 3}， ∴ M ∩N ＝{3}．2. 函数f(x)＝ln(2x −1)的定义域为（ ）A.(−∞, 0)B.(−∞, 12)C.(0, +∞)D.(12, +∞)【答案】 D【考点】函数的定义域及其求法 【解析】根据对数函数的真数大于0，列不等式求出解集即可． 【解答】函数f(x)＝ln(2x −1)中， 令2x −1>0，解得x >12； 所以函数f(x)的定义域为(12, +∞)．3. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A.y ＝x −1与y =√(x −1)2 B.y =√x −1与y =x−1C.y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2 D.y ＝lg x −2与y ＝lg x 100【答案】 D【考点】判断两个函数是否为同一函数 【解析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可． 【解答】A．函数y=√(x−1)2=|x−1|，两个函数的对应法则不相同．B．函数y=√x−1的定义域为{x|x≥1}，y=√x−1的定义域为{x|x>1}，两个函数的定义域不相同．C．函数y＝4lg x的定义域为{x|x>0}，y＝2lg x2的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同．D．函数y＝lg x−2的定义域为{x|x>0}，y＝lg x100的定义域为{x|x>0}，y＝lg x100=lgx−lg100＝lgx−2，两个函数的定义域和对应法则相同．4. 已知a＝log20.8，b＝log3π，c＝2−2，则（）A.c>b>aB.b>c>aC.b>a>cD.c>a>b 【答案】B【考点】对数值大小的比较【解析】利用指数函数与对数函数的单调性分别与0，1比较即可得出．【解答】a＝log20.8<0，b＝log3π>1，c＝2−2∈(0, 1)．∴b>c>a．5. 函数f(x)＝log2(1−x)的图象为（）A.B.C.D.【答案】A【考点】对数函数的图象与性质 【解析】由题中函数知，当x ＝0时，y ＝0，图象过原点，又依据对数函数的性质知，此函数是减函数，根据此两点可得答案． 【解答】观察四个图的不同发现，A 、C 图中的图象过原点， 而当x ＝0时，y ＝0，故排除B 、D ；剩下A 和C ． 又由函数的单调性知，原函数是减函数，排除C ．6. 若函数y ＝f(3x +1)的定义域为[−2, 4]，则y ＝f(x)的定义域是（ ） A.[−1, 1] B.[−5, 13] C.[−5, 1] D.[−1, 13] 【答案】 B【考点】函数的定义域及其求法 【解析】根据函数y ＝f(3x +1)的定义域得出x 的取值范围，再求出3x +1的取值范围即得y ＝f(x)的定义域． 【解答】函数y ＝f(3x +1)的定义域为[−2, 4]， 令−2≤x ≤4，则−6≤3x ≤12， 所以−5≤3x +1≤13，所以函数y ＝f(x)的定义域是[−5, 13]．7. 函数y =5x+1x的值域为（ ）A.(0, 5)B.(0, +∞)C.(0, 5)∪(5, +∞)D.(5, +∞)【答案】 C【考点】函数的值域及其求法 【解析】 容易得出x+1x≠1，从而得出y ≠5，并且y >0，这样即可得出原函数的值域．【解答】 ∵x+1x=1+1x ≠1， ∴ 5x+1x≠5，且5x+1x>0，∴ 函数y =5x+1x的值域为(0, 5)∪(5, +∞)．8. 设函数y =f(x)=2−22x +1，若f(x 0)=13，则f(−x 0)＝（ ） A.−13B.23C.53D.83C【考点】 求函数的值 函数的求值 【解析】推导出f(x 0)＝2−22x 0+1=13，解得2−x 0=5，由此能求出f(−x 0)的值． 【解答】∵ 函数y =f(x)=2−22x +1，f(x 0)=13，∴ f(x 0)＝2−22x 0+1=13，解得2x 0=15，∴ 2−x 0=5， ∴ f(−x 0)＝2−22−x 0+1=2−25+1=53．9. 已知a ，b ，c ∈R ，函数f(x)＝ax 2+bx +c ，若f(x)＝f(4−x)，则下列不等式不可能成立的是（ ）A.f(2)<f(2−a)<f(2−3a)B.f(2)<f(2−a)<f(2+3a)C.f(2−a)<f(2−2a)<f(2)D.f(2+2a)<f(2−a)<f(2) 【答案】 C【考点】二次函数的性质 二次函数的图象 【解析】根据f(x)＝f(4−x)即可得出f(x)的对称轴为x ＝2，从而可讨论a >0和a <0，根据f(x)的单调性即可判断每个选项的不等式是否可能成立，从而找出正确选项． 【解答】根据f(x)＝f(4−x)得，f(x)的对称轴为x ＝2，①a >0时，f(x)在(−∞, 2]单调递减，在[2, +∞)上单调递增，且2>2−a >2−3a ，2<2+a <2+3a ，2>2−a >2−2a ，∴ f(2)<f(2−a)<f(2−3a)，f(2)<f(2+a)<f(2+3a)，f(2)<f(2−a)<f(2−2a)，且f(2−a)＝f(2+a)， ∴ f(2)<f(2−a)<f(2+3a)；②a <0时，f(x)在[2, +∞)上单调递减，且2−2a >2−a >2， ∴ f(2−2a)<f(2−a)<f(2)，且f(2+2a)＝f(2−2a)， ∴ f(2+2a)<f(2−a)<f(2)， ∴ 不可能成立的不等式是C ．10. 已知函数f(x)＝|log 2x|，g(x)={0,0<x ≤1|x −2|−1x ,x >1 ，则方程|f(x)−g(x)|＝1的实根个数为（ ） A.2个 B.3个C.4个D.5个【答案】 C函数的零点与方程根的关系【解析】首先去绝对值，得方程|f(x)−g(x)|＝1⇔f(x)＝g(x)±1，问题转化为研究函数y＝f(x)与函数y＝g(x)±1的图象交点个数问题．其次，分别在同一坐标系中画出函数y＝f(x)，y＝g(x)+1的图象及y＝f(x)，y＝g(x)−1的图象，观察分析交点个数即可．【解答】1<x≤2时，两图象有一个交点；x>2时，两图象有一个交点．分别画出y＝f(x)，y＝g(x)−1的图象．由图象（2）可知：x>7时，两图象有一个交点．2综上可知：方程|f(x)−g(x)|＝1实数根的个数为4．故选：C．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分用符号“∈“或“⊆“填空：若A＝{2, 4, 6}，则4∈A，{2, 6}⊆A．【答案】∈，⊆【考点】集合的包含关系判断及应用元素与集合关系的判断【解析】由元素与集合的关系，子集的定义即可解得．【解答】因为集合A中有4这个元素，所以4∈A，因为2∈A，6∈A，所以{2, 6}⊆A．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(3, √3)，则这个函数的解析式为________，若f(a)＝2，则a 的值为________． 【答案】 y =√x ,4 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】用待定系数法求出幂函数的解析式，然后解方程f(a)＝2，求出a 的值． 【解答】设幂函数y ＝f(x)＝x α，∵ 幂函数y ＝f(x)的图象过点(3, √3)， ∴ f(3)＝3α=√3， ∴ α=12，∴ f(x)=x 12=√x ，(x ≥0)，由f(a)＝2，知√a =2 ∴ a ＝4，已知全集U ＝A ∪B ＝{1, 2, 3, 4}，A ＝{1, 2, 4}，A ∩B ＝{1}，则集合∁U B 为________，集合B 共有________个子集． 【答案】 {2, 4},4 【考点】 子集与真子集 补集及其运算 【解析】先由条件求出集合B ，由补集的概念求出集合∁U B ，再由集合子集的定义求出集合B 的所有子集，数出个数即可． 【解答】由全集U ＝A ∪B ＝{1, 2, 3, 4}，A ＝{1, 2, 4}，A ∩B ＝{1}， 得B ＝{1, 3}， ∴ ∁U B ＝{2, 4}，集合B ＝{1, 3}的子集有：⌀，{1}，{3}，{1, 3}，共4个．设函数f(x)={log 3x,x ∈(0,+∞)x 2+2,x ∈(−∞,0] ，则f （f(−1)）＝________，不等式f(x)≤3的解集是________． 【答案】 1,[−1, 27] 【考点】 求函数的值 函数的求值 【解析】推导出f(−1)＝(−1)2+2＝3，从而f （f(−1)）＝f(3)，由此能求出结果；当x ∈(−∞, 0]时，f(x)＝x 2+2≤3，当x ∈(0, +∞)时，f(x)＝log 3x ≤3，由此能求出不等式f(x)≤3的解集． 【解答】∵ 函数f(x)={log 3x,x ∈(0,+∞)x 2+2,x ∈(−∞,0]，∴ f(−1)＝(−1)2+2＝3， f （f(−1)）＝f(3)＝log 33＝1，当x ∈(−∞, 0]时，f(x)＝x 2+2≤3，解得−1≤x ≤0； 当x ∈(0, +∞)时，f(x)＝log 3x ≤3，解得0<x ≤27， 综上不等式f(x)≤3的解集是[−1, 27]．已知f(x)={(3−a)x −a,x <1a x −a,x ≥1 是定义在R 上的增函数，那么a 的取值范围是________． 【答案】[32, 3) 【考点】函数单调性的性质与判断 【解析】由一次函数、指数函数，及分段函数的单调性即可得到{3−a >0a >1(3−a)×1−a ≤a 1−a ，解该不等式组即可得出a 的取值范围． 【解答】根据已知条件得：{3−a >0a >1(3−a)×1−a ≤a 1−a ， 解得32≤a <3，∴ a 的取值范围是[32, 3)，函数y ＝2|x−1|在区间(k −1, k +1)内不单调，则k 的取值范围是________． 【答案】 (0, 2) 【考点】函数单调性的性质与判断 【解析】去绝对值号得出y =2|x−1|={2x−1x ≥121−x x <1，从而可判断该函数的单调性及单调区间，从而可得出{k −1<1k +1>1 ，解出k 的范围即可． 【解答】 y =2|x−1|={2x−1x ≥121−x x <1， ∴ y ＝2|x−1|在(−∞, 1)单调递减，在[1, +∞)上单调递增，且该函数在(k −1, k +1)内不单调，∴ {k −1<1k +1>1，解得0<k <2，∴k的取值范围是(0, 2)．若已知函数f(x)＝x2+ax+1，g(x)＝−lnx，用min{m, n}，表示m，n中的最小值，4设函数ℎ(x)＝min{f(x), g(x)}(x>0)，若ℎ(x)＝0有两个不同实根，则实数a的值为________−5或-1．4【答案】−5或−14【考点】函数的最值及其几何意义函数的零点与方程根的关系【解析】由于g(x)＝−lnx在(1, +∞)上恒小于0，所以ℎ(x)在(1, +∞)无解，数形结合可知，x＝0是ℎ(x)＝0的解，所以f(x)在(0, 1)上有一个解，分析可知，有两种情形，情形一，抛物线f(x)与x轴相切于(0, 1)中，情形二，f(x)有一个解x＝1，在(0, 1)内有一个解．【解答】情形二：△＝a2−1＝0时，a＝1时，f(x)有一个负的零点，不合题意，a＝−1时，f(x)有一个零点x=1，符合题意，2或−1．故答案为：−54三、解答题：5小题，共74分设集合A＝{x|4≤x<8}，B＝{x|2<x<10}，C＝{x|x<a}．（1）求A∪B，(∁R A)∩B；（2）若A∩C≠⌀，求a的取值范围．【答案】∵集合A＝{x|4≤x<8}，B＝{x|2<x<10}，∴A∪B＝{x|2<x<10}，∵∁R A＝{x|x<4或x≥8}∴(∁R A)∩B＝{x|8≤x<10或2<x<4}∵若A∩C≠⌀，A＝{x|4≤x<8}，C＝{x|x<a}．∴a的取值范围是a>4∴a∈(4, +∞)【考点】交、并、补集的混合运算交集及其运算【解析】本题考查集合的交、并、补运算，对于（1）求出A的补集是关键，对于（2）利用A∩C≠⌀确定参数a的取值范围【解答】∵集合A＝{x|4≤x<8}，B＝{x|2<x<10}，∴A∪B＝{x|2<x<10}，∵∁R A＝{x|x<4或x≥8}∴ (∁R A)∩B ＝{x|8≤x <10或2<x <4}∵ 若A ∩C ≠⌀，A ＝{x|4≤x <8}，C ＝{x|x <a}． ∴ a 的取值范围是a >4 ∴ a ∈(4, +∞)化简或求值：(Ⅰ)√a 3⋅√a3(a 12)4a −13(a >0)；(Ⅱ)823+64−12+(12)−3+(1681)−34；(Ⅲ)lg8+lg125−log 0.514+log 23⋅log 32． 【答案】 （1）√a 3⋅√a3(a 12)4a −13=√a 3+13a 2⋅a −13=a 53a 53=1；（2）823+64−12+(12)−3+(1681)−34=(23)23+(82)−12+23+[(23)4]−34=22+8−1+8+(32)3＝4+18+8+278=312；(Ⅲ)lg8+lg125−log 0.514+log 23⋅log 32 =31g2+31g5−log 12(12)2+lg3lg2⋅lg2lg3 ＝3lg10−2+1＝2． 【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】(Ⅰ)化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质求解； (Ⅱ)直接利用有理指数幂的运算性质化简求值；(Ⅲ)利用对数的运算性质及对数的换底公式化简求值． 【解答】 （1）√a 3⋅√a3(a 12)4a −13=√a 3+13a 2⋅a −13=a 53a 53=1；（2）823+64−12+(12)−3+(1681)−34=(23)23+(82)−12+23+[(23)4]−34=22+8−1+8+(32)3＝4+18+8+278=312；(Ⅲ)lg8+lg125−log 0.514+log 23⋅log 32 =31g2+31g5−log 12(12)2+lg3lg2⋅lg2lg3 ＝3lg10−2+1＝2．已知函数f(x)=12x 2+2x−1．（1）判断函数f(x)的奇偶性；（2）试判断f(x)在区间(2, +∞)上的单调性，并用单调性定义证明；（3）求函数f(x)在区间[−3, −1]上的最值． 【答案】根据题意，f(x)=12x 2+2x−1，有x −1≠0，解可得x ≠1， 即函数的定义域为{x|x ≠1}，不关于原点对称， 是非奇非偶函数； f(x)=12x 2+2x−1在区间(2, +∞)上是增函数；证明：设x 1>x 2>2，则f(x 1)−f(x 2)＝(12x 12+2x1−1)−(12x 22+2x 2−1)＝(x 1−x 2)[12(x 1+x 2)−2(x1−1)(x 2−1)]，又由x 1>x 2>2，则x 1−x 2>0，x 1+x 2>4，(x 1−1)(x 2−1)>1，则有12(x 1+x 2)−2(x 1−1)(x 2−1)>0，则有f(x 1)−f(x 2)>0，故函数f(x)在区间(2, +∞)上是增函数； 根据题意，设−3≤x 1<x 2≤−1，f(x 1)−f(x 2)＝(12x 12+2x1−1)−(12x 22+2x 2−1)＝(x 1−x 2)[12(x 1+x 2)−2(x1−1)(x 2−1)]，又由−3≤x 1<x 2≤−1，则x 1−x 2<0，−6≤x 1+x 2≤−2，4≤(x 1−1)(x 2−1)≤16，则有12(x 1+x 2)−2(x 1−1)(x 2−1)<0，则有f(x 1)−f(x 2)>0，故函数f(x)在区间[−3, −1]上是减函数； 故f(x)max ＝f(−3)＝4，f(x)min ＝f(−1)=−12． 【考点】函数的最值及其几何意义【解析】（1）根据题意，求出函数的定义域为{x|x ≠1}，由函数奇偶性的定义分析可得结论； （2）根据题意，设x 1>x 2>2，由作差法分析可得结论；（3）根据题意，设−3≤x 1<x 2≤−1，由作差法分析可得f(x)在区间[−3, −1]上是减函数，据此分析可得答案． 【解答】根据题意，f(x)=12x 2+2x−1，有x −1≠0，解可得x ≠1， 即函数的定义域为{x|x ≠1}，不关于原点对称， 是非奇非偶函数； f(x)=12x 2+2x−1在区间(2, +∞)上是增函数；证明：设x 1>x 2>2，则f(x 1)−f(x 2)＝(12x 12+2x 1−1)−(12x 22+2x 2−1)＝(x 1−x 2)[12(x 1+x 2)−2(x 1−1)(x 2−1)]，又由x 1>x 2>2，则x 1−x 2>0，x 1+x 2>4，(x 1−1)(x 2−1)>1，则有12(x 1+x 2)−2(x 1−1)(x 2−1)>0，则有f(x 1)−f(x 2)>0，故函数f(x)在区间(2, +∞)上是增函数； 根据题意，设−3≤x 1<x 2≤−1，f(x 1)−f(x 2)＝(12x 12+2x1−1)−(12x 22+2x 2−1)＝(x 1−x 2)[12(x 1+x 2)−2(x1−1)(x 2−1)]，又由−3≤x 1<x 2≤−1，则x 1−x 2<0，−6≤x 1+x 2≤−2，4≤(x 1−1)(x 2−1)≤16，则有12(x 1+x 2)−2(x 1−1)(x 2−1)<0，则有f(x 1)−f(x 2)>0，故函数f(x)在区间[−3, −1]上是减函数； 故f(x)max ＝f(−3)＝4，f(x)min ＝f(−1)=−12．已知函数f(x)=log 12(ax 2+3x +a +1)．（1）当a ＝0，求函数f(x)的单调区间；（2）对于x ∈[1, 2]，不等式(12)f(x)−3x ≤0恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】当a ＝0时，由函数f(x)=log 12(3x +1)， 可得3x +1>0，故函数的定义域为(−13, +∞)．∵ 对于x ∈[1, 2]，不等式(12)f(x)−3x ≤0恒成立，即 ax 2+3x +a +1−3x ≤0⇔ax 2+a +1≤0， 即a ≤−1x 2+1，而(−1x 2+1)min =−12， 故a ≤−12，∵ a ≤−12<0，ax 2+3x +a +1>0⇔{a +3+a +1>04a +6+a +1>0，⇒a >−75⇒−75<a ≤−12． 【考点】函数恒成立问题 复合函数的单调性 【解析】（1）当a ＝0时，由函数f(x)=log 12(3x +1)，可得3x +1>0，由此求得函数的定义域．（2）由题意可得a ≤−1x 2+1，求出a ≤−12<0，ax 2+3x +a +1>0，得到关于a 的不等式，解出即可． 【解答】当a ＝0时，由函数f(x)=log 12(3x +1)， 可得3x +1>0，故函数的定义域为(−13, +∞)．∵ 对于x ∈[1, 2]，不等式(12)f(x)−3x ≤0恒成立， 即 ax 2+3x +a +1−3x ≤0⇔ax 2+a +1≤0， 即a ≤−1x 2+1，而(−1x 2+1)min =−12， 故a ≤−12，∵ a ≤−12<0，ax 2+3x +a +1>0⇔{a +3+a +1>04a +6+a +1>0，⇒a >−75⇒−75<a ≤−12．已知函数f(x)＝x 2+2mx −6在区间[−1, 2]上是单调函数． （1）求实数m 的所有取值组成的集合A ；（2）试写出f(x)在区间[−1, 2]上的最大值g(m)；（3）设ℎ(x)=−12x 2+12x +2，令F(m)={g(m),m ∈Aℎ(m),m ∈∁R A，若对任意m 1，m 2∈[−72, a]，总有|F(m 1)−F(m 2)|≤a +3，求a 的取值范围． 【答案】∵ f(x)＝x 2+2mx −6在区间[−1, 2]上的两个端点处取得最大值和最小值， ∴ 函数在区间[−1, 2]上是单调函数，又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x ＝−m ， 必有−m ≥2，或−m ≤−1，解得m ≥1或 m ≤−2，∴ 实数m 的所有取值组成的集合A ＝{m|m ≥1或 m ≤−2}； 当m ≥1时，−m ≤−1，函数f(x)在区间[−1, 2]上单调递增， ∴ 函数f(x)的最大值g(m)＝f(2)＝4m −2；当m ≤−2 时，−m ≥2，函数f(x)在区间[−1, 2]上单调递减， ∴ 函数f(x)的最大值g(m)＝f(−1)＝−5−2m ， 即有g(m)={4m −2,m ≥1−5−2m,m ≤−2；由题意得F(m)={4m −2,m ≥1−12m 2+12m +2,−2<m <1−2m −5,m ≤−2 ，对任意m 1，m 2∈[−72, a]，总有|F(m 1)−F(m 2)|≤a +3， 可得a ≥−3，F(m)max −F(m)min ≤a +3，(∗)， 作出函数F(m)的图象，①当−72<a ≤−2时，F(m)在[−72, a]递减，可得F(m)max ＝F(−72)＝2，F(m)min ＝F(a)＝−2a −5，代入(∗)解得a ≤−4，不成立，舍去；②当−2<a ≤0时，F(m)在[−72, −2]递减，[−2, a]递增，可得F(m)max ＝F(−72)＝2，F(m)min ＝F(−2)＝−1，代入(∗)解得a ≥0，即有a ＝0；③当0<a ≤12时，F(m)在[−72, −2]递减，[−2, a]递增，可得F(m)max ＝F(a)=−12a 2+12a +2，F(m)min ＝F(−2)＝−1， 代入(∗)解得a ≥0或a ≤−1，可得0<a ≤12；④当12<a ≤3332时，F(m)在[−72, −2]递减，[−2, 12]递增，[12, 1]递减，[1, a]递增， 可得F(m)max ＝F(12)=178，F(m)min ＝F(−2)＝−1，代入(∗)解得a ≥18，可得12<a ≤3332；⑤当a >3332时，F(m)在[−72, −2]递减，[−2, 12]递增，[12, 1]递减，[1, a]递增， 可得F(m)max ＝F(a)＝4a −2，F(m)min ＝F(−2)＝−1， 代入(∗)可得3332<a ≤43；综上可得0≤a ≤43，即a 的范围是[0, 43]．【考点】二次函数的性质 函数恒成立问题 二次函数的图象 【解析】（1）考虑对称轴，由二次函数的单调性可得m 的不等式，解不等式即可； （2）分类讨论结合单调性可得最大值g(m)；（3）由题意求得F(m)的解析式，由题意可得a ≥−3，F(m)max −F(m)min ≤a +3，(∗)，作出函数F(m)的图象，对a 讨论，结合图象，可得单调性，求得最值，解不等式，可得所求范围． 【解答】∵ f(x)＝x 2+2mx −6在区间[−1, 2]上的两个端点处取得最大值和最小值， ∴ 函数在区间[−1, 2]上是单调函数，又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x ＝−m ， 必有−m ≥2，或−m ≤−1，解得m ≥1或 m ≤−2，∴ 实数m 的所有取值组成的集合A ＝{m|m ≥1或 m ≤−2}； 当m ≥1时，−m ≤−1，函数f(x)在区间[−1, 2]上单调递增， ∴ 函数f(x)的最大值g(m)＝f(2)＝4m −2；当m ≤−2 时，−m ≥2，函数f(x)在区间[−1, 2]上单调递减， ∴ 函数f(x)的最大值g(m)＝f(−1)＝−5−2m ， 即有g(m)={4m −2,m ≥1−5−2m,m ≤−2；由题意得F(m)={4m −2,m ≥1−12m 2+12m +2,−2<m <1−2m −5,m ≤−2 ，对任意m 1，m 2∈[−72, a]，总有|F(m 1)−F(m 2)|≤a +3， 可得a ≥−3，F(m)max −F(m)min ≤a +3，(∗)， 作出函数F(m)的图象，①当−72<a ≤−2时，F(m)在[−72, a]递减，可得F(m)max ＝F(−72)＝2，F(m)min ＝F(a)＝−2a −5，代入(∗)解得a ≤−4，不成立，舍去；②当−2<a ≤0时，F(m)在[−72, −2]递减，[−2, a]递增，可得F(m)max ＝F(−72)＝2，F(m)min ＝F(−2)＝−1，代入(∗)解得a ≥0，即有a ＝0；③当0<a ≤12时，F(m)在[−72, −2]递减，[−2, a]递增，可得F(m)max ＝F(a)=−12a 2+12a +2，F(m)min ＝F(−2)＝−1，代入(∗)解得a ≥0或a ≤−1，可得0<a ≤12；④当12<a ≤3332时，F(m)在[−72, −2]递减，[−2, 12]递增，[12, 1]递减，[1, a]递增， 可得F(m)max ＝F(12)=178，F(m)min ＝F(−2)＝−1，代入(∗)解得a ≥18，可得12<a ≤3332；⑤当a >3332时，F(m)在[−72, −2]递减，[−2, 12]递增，[12, 1]递减，[1, a]递增， 可得F(m)max ＝F(a)＝4a −2，F(m)min ＝F(−2)＝−1， 代入(∗)可得3332<a ≤43；综上可得0≤a ≤43，即a 的范围是[0, 43]．。
2023学年第一学期浙南名校联盟期中联考-数学答案(高一)
2023学年第一学期浙南名校联盟期中联考高一数学学科 参考答案与解析一、选择题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.A2.C3.B4.C5.D6.D7.B8.A6.【解析】因为0a >，0b >，且131a b +=，所以1393(3)()336262312b a b a b a b a b a b a +=++=++++⋅+⨯=，当且仅当3b a =，即2a =，6b =时取等号，此时3a b +的最小值为12，故选：D ．7.【解析】因为函数2()()g x f x x =+为奇函数，所以有(2)(2)g g −=−，又(4)()g x g x −=，所以(2)(2)g g −=，得(2)(2)0g g −==，则(6)(2)0g g −=−=．即2(6)(6)(6)0g f −=−+−=，所以(6)36f −=−．故选：B ．8.【解析】 构造函数121()21xx f x ++=+，则111111(21)1222()21221x x x f x +++++==+++， 因为函数12x y +=在R 上为单调递增函数，则11221x y +=+在R 上为单调递减函数，所以()f x 在R 上为单调递减函数，所以(2022)(2023)0f f >>，即a b >，11a b<， 故选项A 正确，选项B 错误；因为20222023210121a +<=<+，20232024210121b +<=<+，所以222a b +<，故选项C 错误； 因为22b a b a a b a b +⋅=，当且仅当a b =时取等号，由题意可知a b ≠，故2b aa b +≠， 故选项D 错误．故选：A ．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9. A D 10. BD 11.BCD 12. ACD9.【解析】对于A ,，，因为与定义域，解析式一致，故A正确；对于B , 分母不能为0，所以，又012x ≤+≤，得11x −≤≤，所以的定义域为[)-1,1故B 不正确；对于C ，2a =Q ”是“(1)(2)0a a −−=”的充分不必要条件，C ∴错误；对于D ，Q “函数2y ax bx c =++的图象过点(1,0)−”是“0a b c −+=”的充要条件，D ∴正确．故选：A ,D ．,0(),0x x f x x x ⎧=⎨−<⎩,0()||(),0t t g t t g t t t ⎧===⎨−<⎩()f x ()g t ()g x 1x ≠()g x10.【解析】因为222()2x f x x −=+，定义域为x R ∈，2222()22()()(2)2x x f x f x x x +−−−−===−+，所以()f x 为偶函数，所以()f x 的图象关于y 轴对称，故A 错误，B 正确；令22(2)t x t =+，当(0,)x ∈+∞时，22t x =+单调递增，当(,0)x ∈−∞时，22t x =+单调递减，而441t y t t−==−，在(2,)+∞单调递增，所以由复合函数单调性可知()f x 在(0,)+∞单调递增，又()f x 为偶函数，所以()f x 在(,0)−∞单调递减，故C 错误；因为441t y t t−==−，由2t ，有402t <，所以420t −−<，故2111t −−<，即[1y ∈−，1)，故D 正确，故选：B ,D ．11.【解析】由题意可知，函数过点(1,1)和点(3,4)，代入函数关系式：(t y ka k R =∈，且0k ≠；0a >，且1)a ≠，得314ka ka =⎧⎨=⎩，解得122k a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴函数关系式为11222t t y −=⨯=．由11222t t t −−−=不是常数，可知浮萍每个月的面积不等, 故A 错误;当6x =时，5232y ==，浮萍的面积超过了230m ，故B 正确；令2y =时，111222t t −=⇒=，令64y =时，2126427t t −=⇒=得：215t t −=；所以C 正确，令4y =得：13t =；令6y =得：22log 12t =；令9y =得：32log 18t =，1322223log 18log 1442log 122t t t ∴+=+===，故D 正确．故选：BCD ．12.【解析】 对于A: 若()y f x =是偶函数，则()()f x f x −=，若1212|()()||()()|f x f x g x g x −−对任意1x 、2x R ∈恒成立，令1x x =，2x x =−，则|()()||()()|f x f x g x g x −−−−，因为()()f x f x −=，所以|()()|0g x g x −−，所以()()g x g x =−，所以函数()y g x =也是偶函数，故A 正确。
浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题含解析
2023学年第一学期浙南名校联盟期中联考高一数学学科试题（答案在最后）考生须知：1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合1|22A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}2|1B x x =>，则()R A B ⋂=ð（）A.1{|1}2x x -<≤ B.{|12}x x -≤<C.1{|1}2x x -<< D.{|12}x x ≤<【答案】A 【解析】【分析】先求出{|1B x x =<-或}1x >，再由集合的交、并、补进行运算即可.【详解】由题可知{|1B x x =<-或}1x >，所以{}R |11x B x =-≤≤ð，因为1|22A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，所以()R 1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭ð.故选：A2.下列四个结论，其中正确的是（）A.2log 84=B.33log 5log 42+=C.()lg lg100=D.2log 943=【答案】C 【解析】【分析】根据对数的运算法则和运算性质，逐项计算，即可求解.【详解】对于A 中，由322log 8log 234==≠，所以A 不正确；对于B 中，由333log 5log 4log 202+=≠，所以B 错误；对于C 中，由()lg lg10lg10==，所以C 正确；对于D 中，由222log 92log 9log 81422813===≠，所以D 不正确.故选：C.3.已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[]2,1-，则下列函数的值域也为[]2,1-的是（）A.()25y f x =+B.()25y f x =+C.()y f x =-D.()y f x =【答案】B 【解析】【分析】结合题意逐个选项验证可得答案.【详解】对于A ，由()[]2,1f x ∈-可得，()[]251,7f x +∈，故A 错误；对于B ，()52522y f x f x ⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()25y f x =+的图象可看作由()f x 的图象经过平移和横向伸缩变换得到，故值域不变，故B 正确；对于C ，()[]1,2y f x =-∈-，故C 错误；对于D ，()[]0,2y f x =∈，故D 错误.故选：B.4.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，则下列结论一定成立的是（）A.x ∀∈R ，()()f x f x >-B.0x ∃∈R ，()()00f x f x >-C.x ∀∈R ，()()0f x f x -≥D.0x ∃∈R ，()()000f x f x -<【答案】C 【解析】【分析】由偶函数的性质()()f x f x -=即可对A ，B ，C ，D 四个选项逐一判断，即可得到答案．【详解】 函数()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，()()f x f x ∴-=，对于A ，x ∀∈R ，都使()()=f x f x -，故A 错误；对于B ，若()0f x =，则不存在0x ∈R ，()()00f x f x >-，故B 错误；对于C ，x ∀∈R ，()()0f x f x -≥，正确；对于D ，若()0f x =，则不存在0x ∈R ，()()000f x f x -<，故D 错误；故选：C ．5.下列函数中，满足“()()()f x f y f x y =+”的单调递增函数是（）A.()3f x x = B.()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C.()23f x x= D.()exf x =【答案】D 【解析】【分析】根据题意结合指数幂运算以及指数函数、幂函数单调性逐项分析判断【详解】对于选项A ：因为()3f x x =，()3f y y =，()3()f x y x y +=+，不满足()()()f x y f x f y +=，故A 错误；对于选项B ：因为()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上是单调递减函数，不合题意，故B 错误；对于选项C ：因为()23f x x =，()23f y y =，()23()f x y x y +=+，不满足()()()f x y f x f y +=，故C 错误；对于选项D ：因为()e x f x =，()e y f y =，()ex yf x y ++=，满足()()()f x y f x f y +=，且()f x 在R 上是单调递增函数，故D 正确．故选：D.6.已知0a >，0b >，且132a a b++=，则3a b +的最小值为（）A.4B.6C.9D.12【答案】D 【解析】【分析】根据基本不等式求得正确答案.【详解】因为0a >，0b >，且131a b+=，所以()1393333662312b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥++⨯=⎪⎝⎭，当且仅当3b a =，即2a =，6b =时取等号，此时3a b +的最小值为12.故选：D7.已知函数()f x 的定义域为R ，函数()()2g x f x x =+为奇函数，且()()4g x g x -=，则()6f -的值为（）A.4- B.36- C.0D.36【答案】B 【解析】【分析】由条件求得()()()2260g g g -==-=，从而求得()6f -的值.【详解】因为函数()()2g x f x x =+为奇函数，所以有()()22g g -=-，又()()4g x g x -=，所以()()22g g -=，得()()220g g -==，则()()620.g g -=-=即()()266(6)0g f -=-+-=，所以()636.f -=-故选：B8.设202220232121a +=+，202320242121b +=+，则下列说法中正确的是（）A.a b >B.22a b <C.222a b +≥D.2b aa b+=【答案】A 【解析】【分析】构造函数()12121x x f x ++=+，分离常数法判断函数单调性，根据单调性即可判断选项A 、B ；由20222023210121+<<+，20232024210121+<<+，即可判断选项C ；结合基本不等式即可判断选项D.【详解】构造函数()12121x x f x ++=+，则()()11111121122221221x x x f x +++++==+++，因为函数12x y +=在R 上为单调递增函数，所以()f x 在R 上为单调递减函数，所以()()202220230f f >>，所以a b >，22a b >，故选项A 正确，选项B 错误；因为20222023210121+<<+，20232024210121+<<+，所以222a b +<，故选项C 错误；因为2b a a b +≥=，当且仅当a b =时取等号，由题意可知a b ¹，故2b a a b +≠，故选项D 错误.故选：A二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列各结论中正确的是（）A.(),0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩与()g t t =表示同一函数B.函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()11f xg x x +=-的定义域为(]1,1-C.设R a ∈，则“2a =”是“()()120a a --=”的必要不充分条件D.“函数2y ax bx c =++的图象过点()1,0-”是“0a b c -+=”的充要条件【答案】AD 【解析】【分析】选项A ，根据函数的定义域和解析式相同可判断；选项B ，由抽象函数的定义域可得；选项C ：由()()120a a --=得1a =或2a =，进而可判断；选项D ：分别从充分性和必要性两方面判断即可.【详解】选项A ：(),0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，(),0,0t t g t t t t ≥⎧==⎨-<⎩，因为()f x 与()g t 定义域，解析式一致，故A 正确；选项B ：()g x 分母不能为0，所以1x ≠，又012x ≤+≤，得11x -≤≤，所以()g x 的定义域为[)1,1-，故B 不正确；选项C ：若()()120a a --=，则1a =或2a =，所以“2a =”是“()()120a a --=”的充分不必要条件，故C 错误；选项D ：若函数2y ax bx c =++的图象过点()1,0-，则0a b c -+=，若0a b c -+=，则当1x =-时，0y a b c =-+=，即函数2y ax bx c =++的图象过点()1,0-，“函数2y ax bx c =++的图象过点()1,0-”是“0a b c -+=”的充要条件，故D 正确.故选：AD10.已知函数()2222x f x x -=+，则以下结论正确的是（）A.()f x 的图象关于原点对称B.()f x 的图象关于y 轴对称C.()f x 在R 上单调递增D.()f x 的值域为[)1,1-【答案】BD 【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，然后判断函数的单调性并求得值域.【详解】因为()2222x f x x -=+，定义域为x ∈R ，()()2222()22()22x x f x f x x x ----===-++，所以()f x 为偶函数，所以()f x 的图象关于y 轴对称，故A 错误，B 正确；令()222t x t =+≥，当()0,x ∈+∞时，22t x =+单调递增，当(),0x ∈-∞时，22t x =+单调递减，而441t y t t-==-，在()2,+∞单调递增，所以由复合函数单调性可知()f x 在()0,∞+单调递增，又()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0∞-单调递减，故C 错误；因为441t y t t -==-，由2t ≥，有402t <≤，所以420t -≤-<，故2111t-≤-<，即[)1,1y ∈-，故D 正确.故选：BD11.如图，某池塘里的浮萍面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系式为(t y ka k R =∈且0k ≠，1)a ≠．则下列说法正确的是（）A.浮萍每月增加的面积都相等B.第6个月时，浮萍的面积会超过230m C.浮萍面积从22m 蔓延到264m 只需经过5个月D.若浮萍面积蔓延到24m ，26m ，29m 所经过的时间分别为1t ，2t ，3t ，则1322t t t +=【答案】BCD 【解析】【分析】由题意结合函数图象可得314ka ka =⎧⎨=⎩，进而可得12t y -=；由函数图象的类型可判断A ；代入6x =可判断B ；代入2y =、64y =可判断C ；代入4y =、6y =、9y =，结合对数的运算法则即可得判断D ；即可得解.【详解】由题意可知，函数过点(1,1)和点(3,4)，则314ka ka =⎧⎨=⎩，解得122k a ⎧=⎪⎨⎪=⎩（负值舍去），∴函数关系式为11222tt y -=⨯=，对于A ，由函数是曲线型函数，所以浮萍每月增加的面积不相等，故选项A 错误；对于B ，当6x =时，523230y ==>，故选项B 正确；对于C ，令2y =得2t =；令64y =得7t =，所以浮萍面积从22m 增加到264m 需要5个月，故选项C 正确；对于D ，令4y =得13t =；令6y =得22log 12t =；令9y =得32log 18t =；所以1222323log 12log 144log 1222t t t =+===+，故选项D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了函数解析式的确定及函数模型的应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题关键，属于基础题.12.已知函数()y f x =与()y g x =满足：对任意12,R x x ∈，都有()()()()1212.f x f x g x g x -≥-则下列命题正确的是（）A.若()y f x =是偶函数，则函数()y g x =也是偶函数B.若()y f x =有最大值和最小值，则()y g x =也有最大值和最小值C.若()y f x =是增函数，则()()y f x g x =-不是减函数D.若()y f x =是减函数，则()()y f x g x =+不是增函数【答案】ACD 【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A ，举反例排除B ，利用函数单调性的定义可判断CD ，从而得解.【详解】对于A ，若()y f x =是偶函数，则()()f x f x -=，若()()()()1212f x f x g x g x -≥-对任意12,R x x ∈恒成立，令1x x =，2x x =-，则()()()()f x f x g x g x --≥--，因为()()f x f x -=，所以()()0g x g x --≤，所以()()g x g x =-，所以函数()y g x =也是偶函数，故A 正确；对于B ，若()y f x =有最大值和最小值，不妨令()arctan ,110,110,1x x f x x x ≠±⎧⎪==⎨⎪-=-⎩，()1arctan 2g x x =，则函数()f x 的最大值为10，最小值为10-，()1ππarctan ,244g x x ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，对任意的1x 、2x ∈R ，()()()()1212f x f x g x g x -≥-恒成立，但函数()g x 既无最大值，也无最小值，故B 错误；对于C ，设12x x <，因为()y f x =是R 上的增函数，所以()()12f x f x <，所以()()()()1221f x f x f x f x -=-，因为()()()()1212f x f x g x g x -≥-，所以()()()()()()211221f x f x g x g x f x f x -+≤-≤-，所以()()()()1122f x g x f x g x -≤-，故函数()()y f x g x =-不是减函数，故C 正确；对于D ，设12x x <，因为()y f x =是R 上的减函数，所以()()21f x f x <，所以()()()()1212f x f x f x f x -=-，因为()()()()1212f x f x g x g x -≥-，所以()()()()()()121212f x f x g x g x f x f x -+≤-≤-，所以()()()()2211f x g x f x g x +≤+，故函数()()y f x g x =+不是增函数，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是如何去绝对值，一种是利用0x ≤得0x =，一种是利用单调性去绝对值.非选择题部分三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知3log 2a =，则99a a -+的值为__________.【答案】174##4.25【解析】【分析】根据对数运算求得正确答案.【详解】3log 2a =，33331log log 2log 2log 44117999933444aa--∴+=+=+=+=.故答案为：17414.已知幂函数()af x kx =的图象过点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则14f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据幂函数的定义及函数所过的点求出函数解析式，即可得解.【详解】由幂函数的定义得1k =，再将点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入得2122a⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而12a =，则幂函数()12f x x =，12111442f ⎛⎫⎛⎫∴==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：12.15.设函数()29,8(3),ax x af x x x a -<⎧=⎨--≥⎩，存在最大值，则a 的取值范围是__________.【答案】[]0,4【解析】【分析】对a 进行分类讨论，根据函数的单调性以及最大值求得a 的取值范围.【详解】①当a<0时，函数()f x 在(),a -∞上单调递减，因此()f x 不存在最大值；②当0a =时，()29,08(3),0x f x x x -<⎧=⎨--≥⎩，当0x ≥时，()max ()389f x f ==>-，故函数()f x 存在最大值；③当03a <≤时，故函数()f x 在(),3a 上单调递增，在()3,+∞上单调递减，故x a ≥时，()28(3)8f x x =--≤，当x a <时，函数()f x 在()a -∞，上单调递增，此时()()29f x f a a <=-，于是298a -≤时函数存在最大值.又03a <≤，解得03a <≤；④当3a >时，函数在(),a +∞上单调递减，()()28(3)f x f a a ≤=--，在(),a -∞上单调递增，此时()()29.f x f a a <=-故当228(3)9a a --≥-，解得14a -≤≤，又3a >，故34a <≤；综上，a 的取值范围是04a ≤≤时函数()f x 存在最大值.故答案为：[]0,4【点睛】含参数的函数的最值问题，往往需要结合函数的单调性以及对参数进行分类讨论来进行求解，分类标准的制定，可以根据函数解析式的结构来进行制定，分类标准要做到不重不漏.16.设函数()42f x x a a x=--+，若关于x 的方程()2f x =有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的值为__________.【答案】4或1+1-【解析】【分析】由()2f x =，得到2122a a x x -+=+，令()22a a h x x =-+，()21g x x=+，根据y x =与()g x 的交点坐标为()()22,1,1--，，联立方程组，根据Δ0=，求得1a =±，作出函数的图象，结合图象，即可求解.【详解】由方程()2f x =，可得422x a a x--+=，即2122a a x x -+=+，令()22a a h x x =-+，()21g x x=+，可得()h x 的顶点为(,)22a a在y x =上，又由y x =与()21g x x=+的交点坐标为()22，，()1,1--，联立方程组21y x a y x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩，整理得2(1)20x a x +-+=，由2(1)80a ∆=--=，解得1a =±.作出函数的图象，如图所示，要使得21x a a x-+=+有两个不同的解，则函数()h x 过()22，时，显然符合，此时4a =，由此实数a 的取值范围是4a =或1+1-.故答案为：4或1+或1-.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知集合3{|0}1x A x x -=≤-，{|21}B x m x m =<<-.（1）当1m =-时，求A B ⋃；（2）若A B B = ，求实数m 的取值集合.【答案】（1）(]2,3-（2）13m m ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）根据分式不等式，解得集合A 的元素，根据题意，明确集合B 的元素，结合并集运算，可得答案；（2）利用分类讨论思想，结合题意，分情况建立不等式组，可得答案.【小问1详解】根据题意，集合(]301,31x A xx ⎧⎫-=≤=⎨⎬-⎩⎭.当1m =-时，(){|21}2,2B x m x m =<<-=-，则(]2,3A B =- ；【小问2详解】A B B = ，则B A ⊆，若B =∅，则21m m ³-，此时13m ≥；若B ≠∅，则有132121m m m m-≤⎧⎪≥⎨⎪<-⎩，此时m 无解.综合知实数m 的取值集合为13m m ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.18.函数()f x 为定义在R 上的奇函数，已知当0x ≥时，()1=+xf x x .（1）当0x <时，求()f x 的解析式；（2）判断()f x 在[)0,∞+上的单调性，并利用单调性的定义证明；（3）若()()22120f a f a ++->，求a 的取值范围.【答案】（1）()1xf x x =--（2）单调递增，证明见解析（3）()1,3-【解析】【分析】（1）当0x <时，0x ->，代入函数解析式根据奇函数性质得到答案.（2）确定()f x 在[)0,∞+上的单调递增，任取1x ，[)20,x ∞∈+，且12x x <，计算()()12f x f x <得到证明.（3）确定()f x 为R 上的增函数，变换得到()()2212f a f a +>-，根据函数的单调性解不等式得到答案.【小问1详解】当0x <时，0x ->，则()11x xf x x x --==--，因为函数为奇函数，所以()()1xf x f x x =--=--，即0x <时，()f x 的解析式为()1xf x x =--；【小问2详解】()f x 在[)0,∞+上的单调递增，证明如下：任取1x ，[)20,x ∞∈+，且12x x <，则()()()()12121212121111x x x x f x f x x x x x --=-=++++，因为1x ，[)20,x ∞∈+，且12x x <，所以120x x -<，110x +>，210x +>，则()()()()121212011x x f x f x x x --=<++，即()()12f x f x <，所以()f x 在[)0,∞+上的单调递增；【小问3详解】()f x 在[)0,∞+上的单调递增，且函数()f x 为R 上的奇函数，故()f x 为R 上的增函数.由()()22120f a f a++->，()()()222122f a f a f a+>--=-，于是2212a a +>-，所以()()223310a a a a --=-+<，解得13a -<<，即()1,3a ∈-.19.某厂家在“双11”中拟举办促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂家的年产量）x 万件与年促销费用m 万元(0)m ≥满足关系式31x km =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件．已知生产该产品的固定年投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的售价定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本只包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）求k 的值，并将该产品的年利润y （万元）表示为年促销费用m （万元）的函数；（2）该厂家年利润的最大值为多少万元？为此需要投入多少万元的年促销费用？【答案】（1）2；()()1612901y m m m ⎡⎤=-+++≥⎢⎥+⎣⎦；（2）厂家的年利润最大值为21万元，为此需要投入3万元的促销费用.【解析】【分析】（1）由0m =时，1x =，可求得k 的值，得到231x m =-+，而每件产品的销售价格为8161.5xx+⨯，代入利润y 关于x 的函数中，化简可得结果；（2）利用基本不等式可求得()16181m m ++≥+，当且仅当1611m m =++，即3m =时取等号，从而可求出年利润y 的最大值.【小问1详解】解：由题意可知：当0m =时，1x =（万件），13k ∴=-，解得：2k =，231x m ∴=-+，又每件产品的销售价格为8161.5x x+⨯，∴年利润()8161.5816x y x x m x +⎛⎫=⨯-++ ⎪⎝⎭2484831x m mm ⎛⎫=+-=+-- ⎪+⎝⎭()()1612901m m m ⎡⎤=-+++≥⎢⎥+⎣⎦，即()()1612901y m m m ⎡⎤=-+++≥⎢⎥+⎣⎦.【小问2详解】解：()()1612901y m m m ⎡⎤=-+++≥⎢⎥+⎣⎦，0m ≥ ，则()16181m m ++≥+，（当且仅当1611m m =++，即3m =时取等号），此时年利润max 82921y =-+=（万元），∴该厂家的年促销费用投入3万元时，厂家的年利润最大，最大为21万元.20.设函数()221(xxf x a a -=+⋅-为实数).（1）当0a =时，求方程()12f x =的根；（2）当2a =时，设函数()2g x x b =-+，若对任意的1[1,1]x ∈-，总存在着2[1,1]x ∈-，使得()()12f x g x ≥成立，求实数b 的取值范围.【答案】（1）23log 2x =或=1x -（2）(1]-∞+【解析】【分析】（1）当0a =时，()21x f x =-，根据题意得到1212x -=，即可求解；（2）当2a =时，可得()2212xx f x =+-，利用换元法求得()71,]2f x ∈-，再由一次函数的性质，求得()[2,2]g x b b ∈-+，结合题意，得到()()min min f x g x ≥，列出不等式，即可求解.【小问1详解】解：当0a =时，()21x f x =-，由()12f x =，可得1212x -=，所以1212x-=或1212x -=-，解得23log 2x =或=1x -.【小问2详解】解：当2a =时，可得()2212xx f x =+-，设2x t =，11x -≤≤，所以122t ≤≤，则()21h t t t=+-，当1[2t ∈时，()h t 单调递减；当t ∈时，()h t 单调递增，所以()min 1h t h ==，又由17(,(2)222h h ==，所以()71,]2h t ∈-，即()71,]2f x ∈-又由[1,1]x ∈-，可得()2[2,2]g x x b b b =-+∈-+，因为对于任意1[1,1]x ∈-，总存在2[1,1]x ∈-，使得()()12f x g x ≥成立，可得()()min min f x g x ≥，即12b -≥-，解得1b ≤+，所以实数b 的取值范围为(1]-∞+21.如果函数()y f x =的定义域为R ，且存在实常数a ，使得对定义域内的任意x ，都有()()f x a f x +=-恒成立，那么称此函数具有“()P a 性质”.（1）已知()y f x =具有“()0P 性质”，且当0x ≤时，()2()f x x m =+，求()y f x =在[]0,1的最大值；（2）已知定义在R 上的函数()y h x =具有“性质()2P ”，当1x ≥时，() 4.h x x =-若()()20h x t h x t -⋅+=有8个不同的实数解，求实数t 的取值范围.【答案】（1）2(1)m -（2）94,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据题意，明确函数的奇偶性，结合其性质，可得答案；（2）根据题意，写出函数的解析式，画出函数图象，利用二次函数的性质，可得答案.【小问1详解】()y f x = 具有“()0P 性质”，()()f x f x ∴=-对x ∈R 恒成立，()f x \是偶函数，∴当[]0,1x ∈时，()22()()f x x m x m =-+=-，∴当12m ≤时，()2max ()1(1)f x f m ==-；当12m >时，()2max ()0f x f m ==；【小问2详解】函数()y h x =具有“性质()2P ”，则()()2h x h x +=-，当1x ≥时，()4h x x =-，所以当1x <时，()()22h x h x x =-+=+，于是()4121x x h x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，，，如下图所示：若()()20hx t h x t -⋅+=有8个不同的实数解，令()n h x =，则20n tn t -+=有两个不等的实数根1n ，2n ，且103n <<，203n <<，所以22Δ400330032t t t t t t ⎧=->⎪>⎪⎪⎨-+>⎪⎪<<⎪⎩，所以94.2t <<所以t 的取值范围为94,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.22.已知定义在R 上的函数()()22,R f x x x a b a b =-+∈.（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）设[]1,4a ∈-，若对任意[]02x ∈，，()0f x ≤恒成立，求2a b -的最小值.【答案】（1）()f x 在()1∞-，上单调递增，在()12，上单调递减，在()2+∞，上单调递增（2）18-【解析】【分析】（1）当1a =时，将()2222,222,2x x b x f x x x b x ⎧-+≥=⎨-++<⎩，根据二次函数的性质可得单调区间；（2）根据[]1,4a ∈-结合()f x 的对称轴对a 进行分类讨论，根据对任意[]02x ∈，，()0f x ≤恒成立，得到a 与b 的关系式，进而可得2a b -的最小值.【小问1详解】当1a =时，()2222,22222,2x x b x f x x x b x x b x ⎧-+≥=-+=⎨-++<⎩，所以()f x 在()1∞-，上单调递增，在()12，上单调递减，在()2+∞，上单调递增.【小问2详解】因为()22f x x x a b =-+,[]02x ∈，，[]13a ∈-，，①当10a -≤≤时，()()22222f x x x a b x ax b =-+=-+，对称轴0x a =≤，所以()f x 在[]02，上单调递增，故()()max 24420f x f a b ==-+≤，得22b a ≤-，所以2222a b a a -≥-+，又因10a -≤≤，故当0a =时，222a a -+取得最小值2，故当0a =，2b =-时，2a b -的最小值为2；②当01a <<时，()2222,022222,22x ax b x af x x x a b x ax b a x ⎧-++≤≤=-+=⎨-+<≤⎩对称轴都是x a =，所以()f x 在()0a ，上单调递增，在(),2a a 上单调递减，在()2,2a 上单调递增，则()()()()()()()max22,2442,02,22,21f f a f a b a f x f a f a f a b a ⎧⎧<-+<≤⎪⎪==⎨⎨≥⎪+≤<⎪⎩⎩；（i）当02a <≤-时，22b a ≤-，则()()222222113118a b a a a -≥-+=-+≥-+=-当2a =，6b =时，2a b -的最小值为18-；（ii）当21a -≤<时，220a b +≤，得22a b ≤-，则()2223231822a ab --≥≥=-；③当14a ≤≤时，()222f x x ax b =-++，对称轴[]14x a =∈，，（i ）当12a ≤<时，()f x 在()0a ，上单调递增，在(),2a 上单调递减，()()2max20f x f a a b ==+≤，得22a b ≤-，则223322a ab -≥≥；（ii ）当24a ≤≤时，()f x 在[]02，上单调递增，()()max 24420f x f a b ==-++≤，得22b a ≤-，则22226a b a a -≥-+≥，综合①②③当2a =-，6b =时，2a b -的最小值为18-.【点睛】关键点睛：本题关键时对a 进行合适分类，通过[]1,4a ∈-，[]02x ∈，，即对称轴x a =，将a 分为10a -≤≤，01a <<，14a ≤≤三大类，再结合()0f x ≤恒成立，得到a 不同。
浙江省浙南名校联盟2019-2020学年高一上学期期中联考数学数学试题(解析版)
浙江省浙南名校联盟2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题一、单选题 1．已知集合(){},|1A x y y x ==+，集合{}|2,0xB y y x ==≥，则AB =（ ）A ．｛1，2｝B ．｛（1，2）｝C ．（1，2）D ．∅【答案】D 【解析】由集合(){},|1A x y y x ==+知集合A 中的元素为直线1y x =+上的点，集合{}|2,0xB y y x ==≥知集合B 中的元素为2,0xy x =≥的值域，显然集合A 为点构成的集合，集合B 为实数构成的集合，因此A B =∅.故选：D2．已知点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭在幂函数()y f x =的图象上，则()f x 的表达式是（ ） A ．()8x f x =B ．()2f x x =C ．()2f x x -= D ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C【解析】设幂函数为y x α=，把点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式得124α=，解得2α=- 所以幂函数为()2f x x -=.故选：C3．溶液的酸碱度是通过PH 值来刻画的，已知某溶液的PH 值等于lg H +⎡⎤-⎣⎦，其中H +⎡⎤⎣⎦表示该溶液中氢离子的浓度，若某溶液氢离子的浓度为610/mol L -，则该溶液的PH 值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】C【解析】由题意可得：该溶液的PH 为6lg106--=故选：C4．已知()y f x =是R 上的增函数，且它的部分对应值如表所示，则满足()3f x <的x 的取值范围是（ ）A ．()0,2B ．()1,2-C ．(),1-∞-D ．()2,+∞【答案】B 【解析】()3f x <，()33f x ∴-<<又()y f x =是R 上的增函数，根据表格∴12x -<<.故选：B5．设a ＝log 54，b ＝（log 53）2，c ＝log 45，则（ ） A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c【答案】D【解析】∵a ＝log 54＜log 55＝1， b ＝（log 53）2＜（log 55）2＝1， c ＝log 45＞log 44＝1， 所以c 最大单调增，所以又因为所以b<a 所以b<a<c. 故选：D ．6．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x--≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.7．已知()2y f x =-是偶函数，则下列选项正确的是（ ） A ．()()04f f =- B ．()()04f f =C ．()()22f f -=D ．()20f =【答案】A 【解析】函数()2y f x =-是偶函数，∴(2)(2)f x f x -=--，∴()f x 的图像关于2x =-对称，()()04f f ∴=-故选：A8．已知关于x 的不等式()()()13100a x x a +-+>≠的解集是()()1212,x x x x <，则下列结论中错误的是（ ）A ．122x x +=B ．123x x <-C ．214x x ->D ．1213x x -<<<【答案】D【解析】由不等式()()()13100a x x a +-+>≠的解集是()()1212,x x x x <， 则可知0a <，且()()()13100a x x a +-+=≠的两根为1x 、2x ，不妨设()()()()130f x a x x a =+-≠，由函数与方程的关系()()()13100a x x a +-+=≠的两根为1x 、2x 化为()f x 与1y =-的交点的横坐标为1x 、2x ，由图二次函数的对称轴为1x =，又12x x <，所以11x <-，23x >， 因此D 错误. 故选：D9．已知函数()221141f x a x a x x x ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恰有三个不同的零点，则该三个零点之和为（ ） A ．5a B ．5C ．3aD ．3【答案】B 【解析】令1t x x=+，则()f x 有三个零点等价于关于t 的方程2(2)610a t a --+=有两解，且其中一解为2或2-，另一解大于2或小于2-.当0a =不合题意，所以2(2)610a t a --+=得21(2)6t a-=-. 若160a-<，则该方程无解，不合题意.所以12t =-，22t =+，当12t =，此时22t =不符合题意 当12t =-，此时26t =，解得110a =- 由1t x x =+，当11x t x +=，解得11x =-，当21x t x+=整理2610x x -+= 所以236x x +=，所以1235x x x ++=. 故选：B10．已知定义在R 上的函数()f x 满足)f x x =，则下列函数中为增函数的是（ ）A ．21y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．1y f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．121x y f ⎛⎫= ⎪+⎝⎭D ．()lg 1y f x =+【答案】C【解析】利用换元法先求出函数f （x ）的解析式，再求出其单调性，然后利用复合函数“同增异减”一一验证每一个选项即可得出结论． 【详解】解：令t x ＞0，则1x t=，两式相减得：122t x t =-， ∴()122t f t t =-， ∴()112f x x x=-（x ＞0）， 当1x x ≥即0＜x ≤1时，()112f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()21'10f x x =--＜，则f （x ）在（0，1]上单调递减；同理可得f （x ）在[1，+∞）上单调递增； 对于A 选项，令21u x =，其在（0，+∞）上单调递减，所以原函数（0，1]上单调递增；同理可得原函数在[1，+∞）上单调递减；对于B 选项，令1u x x=-，其在（0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，所以原函数在（0，+∞）上单调递减；对于C 选项，令u ＝2x+1＞1且在R 上单调递增，则原函数可化为111122y u u u u ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭在（1，+∞）上单调递增，由复合函数单调性可得原函数单调递增； 对于D 选项，令u ＝lg |x |+1＞0得110x -＜或110x ＞，且其在110⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，上单调递减，在110⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，由复合函数的单调性知原函数不单调． 故选：C ． 二、填空题11．已知集合{}2|20A x x ax =++=，且满足1A ∈，则a =___________，集合A 的子集个数为___________． 【答案】－3 4 【解析】1A ∈，1∴满足方程220x ax ++=，代入可得3a =-，当3a =-时，方程为2320x x -+=，解方程可得11x =，22x = 所以集合{}1,2A =，所以集合A 的子集个数为224=. 故答案为：3- 412．已知35a b c ==，若3c =，则25b =___________，若112a b+=，则c =___________． 【答案】9【解析】若3c =，则53b=，所以5log 3b =，所以()552log 3log 322525539b ====因为35abc ==，所以3log a c =，5log b c =，所以311log a c =，511log b c= 由112a b +=，即35112log log c c +=由换底公式可得log 3log 52c c +=，所以log 152c =即215c =，所以c =.13．函数()f x =___________；值域为___________．【答案】[]1,2 []0,1【解析】函数()f x =则220x x -≥，解得函数的定义域为{}02x x ≤≤， 令2()2u x x x =-，对称轴为1x =，开口向下，所以()u x 在[]0,1上为增函数，在[]1,2为减函数，又y =()f x =[]1,2；由2()2u x x x =-，02x ≤≤，所以2021x x ≤-≤，即0()1u x ≤≤，所以()[]0,1f x =.故答案为：[]1,2 ；[]0,114．已知奇函数()f x 满足()()20f x f x ++=，当()0,1x ∈时，()2f x x =，则32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭___________；当()3,5x ∈时，()f x =___________． 【答案】1 28x -【解析】（1）由()()20f x f x ++=，则(2)()f x f x +=-，∴31()22f f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 又()f x 为奇函数，11()()22f f ∴-=-，又()()0,1,2x f x x ∈=，∴1()12f = ，311()()1222f f f ⎛⎫∴=--== ⎪⎝⎭（2）()()20f x f x ++=，(2)()f x f x ∴+=-，[](2)2(2)()f x f x f x ∴++=-+=，()f x ∴是以4为周期的函数，当()3,5x ∈时，则()41,1x -∈-()f x 为奇函数，由()0,1x ∈，()2f x x =，所以当()1,1x ∈-，则()2f x x =所以()3,5x ∈，()(4)2(4)28f x f x x x =-=-=- 故答案为： 1 ； 28x -15．某班有40名同学报名参加集邮、辩论、摄影课外兴趣小组，要求每位同学至少参加其中一项，已知参加集邮、辩论、摄影兴趣小组的人数分别为25，15，13，同时参加三项的同学有2人，只参加集邮与辩论两项的同学有6人，则只参加摄影这一个兴趣小组的同学人数为___________． 【答案】8【解析】解：由题意作出维恩图如下：则815825213m y n x x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，且m +n +x +y +z +8＝40， ∴7﹣y +17﹣x +x +y +z +8＝40， 解得z ＝8．∴只参加摄影这一个兴趣小组的同学人数为8． 故答案为：8．16．若不等式13x a x x -++≥对任意[]2,2x ∈-都成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】{1a a ≤-或}5a ≥【解析】解：当x ∈[﹣2，0]时，3x ≤0，所以对任意的a ，显然成立，当x ∈[0，2]时，由|x ﹣a |+|x +1|≥3x 可得，|x ﹣a |≥3x ﹣x ﹣1＝2x ﹣1， 当x ∈[0，12]时，显然成立， 当x ∈[12，2]时，2x ﹣1≥0，所以（x ﹣a ）2≥（2x ﹣1）2， 化简得3x 2+x （2a ﹣4）21a +-≤0，在x ∈[12，2]上恒成立，所以2212431042124810a a a a -⎧⨯++-≤⎪⎨⎪+-+-≤⎩， 解得：a ≤﹣1，或a ≥5． 故答案为：{1a a ≤-或}5a ≥. 17．设0a >，函数()()21,02,0x a x f x f x a x -+≤⎧=⎨-->⎩，()y f x =有无数个零点，则实数a 的最大值为___________． 【答案】1【解析】解：因为a ＞0，函数()()21020x a x f x f x a x -+≤⎧=⎨--⎩，，＞，当x ≤0时，图象是射线；当0＜x ≤a 时，﹣a ＜x ﹣a ≤0，f （x ）＝﹣2f （x ﹣a ）的图象是把（﹣a ，0]的图象每个点纵坐标乘以﹣2，再向右平移a 个单位长度；当a ＜x ≤2a 时，f （x ）＝﹣2f （x ﹣a ）的图象是把（0，a ]的图象每个点纵坐标乘以﹣2，再向右平移a 个单位长度；以此类推；若f （x ）有无数个零点，则只要f （x ）在（﹣a ，0]上有零点，即x 12a -=∈（﹣a ，0]， ∴a ∈（13，1]，故a 的最大值为1； 故答案为：1．三、解答题18．已知集合(){}|ln 3A x y x =-，集合{}2|0B x x a =-<． （1）求A R ð； （2）若()A B B =R ð，求实数a 的取值范围．解：（1）由题意得21030x x -≥⎧⎨->⎩ 解得132x ≤<，即132A x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭所以12R A x x ⎧=<⎨⎩ð或}3x ≥，故[)1(,)3,2A =-∞+∞R ð（2）由()A B B =R ð，所以R B A ⊆ð，当B =∅时，20x a -<无解，即0a ≤，当B ≠∅时，20x a -<解得x <<由R B A ⊆ð12<，解得14a <. 综上所述，14a <，即实数a 的取值范围为1(,)4-∞.19．函数()()2log 21xf x =-．（1）解不等式()1f x <；（2）若方程()()4log 4xf x m =-有实数解，求实数m 的取值范围．解：（1）由()1f x <，即2log (21)1x -<，所以0212x <-<，123x <<，解得20log 3x << 所以不等式的解集为{}20log 3x x <<.（2）由()()4log 4xf x m =-实数根，即()()221log 21log 42x x m -=-有实数根，所以21x -=有实根，两边平方整理可得22(2)2210x xm ⋅-⋅+-= 令2x t =，且1t >，由题意知22()210t t m ⋅-⋅+-=有大于1根即可，即22()21t t m ⋅-⋅+=，令 2()2()21g t t t =⋅-⋅+，1t >，故()1g t >故1m >.故实数m 的取值范围1m >.20．如图，已知ABC △，5AB AC ==，8BC =，点P 从B 点沿直线BC 运动到C 点，过P 做BC 的垂线l ，记直线l 左侧部分的多边形为Ω，设B P x =，Ω的面积为()S x ，Ω的周长为()L x ．（1）求()S x 和()L x 的解析式； （2）记()()()S x F x L x =，求()F x 的最大值．解：作ABC △的高AD ，由5AB AC ==，8BC =，所以3AD = ，当04x <≤时，则ABD MBP ∆∆，所以MP BP BMAD BD BA==， 由BP x =，则34x MP =，54xBM =， 所以21133()2248x x S x BP MP x =⋅=⋅⋅=，35()344x x L x BP MP BM x x =++=++= 当48x <≤时，由ADCMPC ∆∆，则MP PC MC ADDCAC==，所以3(8)4x MP -=，5(8)4x MC -=，5204x AM -= 213()2061228ABC MPC S x S S PC MP x x =-=-⋅=-+-3()62xL x BP MP BA AM =+++=+综上所述， 223(04)8()3612(48)8x x S x x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩ ()304()36(48)2x x L x x x ⎧<≤⎪=⎨+<≤⎪⎩（2）由（1）当04x <≤时，()()()110,82S x F x x L x ⎛⎤==∈ ⎥⎝⎦，()F x 的最大值为12当48x <≤时，()()()22361248843462x x x x S x F x L x x x -+--+-===++ 令[]44,12t x =+∈，则4x t =-，所以21(4)4(4)8284()664t t t F t t t--+--==--+≤-当且仅当t =时，即4x =等号成立. 故()F x的最大值为6-又162->. 综上所述：()F x的最大值为6-21．已知函数()()1f x x a x =+-．（1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当[]2,2x ∈-时，不等式2()f x a ≤恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）当3a =时，()()(3)(1)11(3)(1)1x x x f x x a x x x x +⋅-≥⎧=+-=⎨-+⋅-<⎩结合图像可知函数的增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞；函数的减区间为(1,1)-. （2）由于()()()(1)11()(1)1x a x x f x x a x x a x x +⋅-≥⎧=+-=⎨-+⋅-<⎩当1a -≥时，即1a ≤-时，只需2(2)f a ≤，1a ∴≤-或2a ≥，从而得到1a ≤-；当1122a a -<⎧⎪⎨->-⎪⎩时，即15a -<<时，只需221()(2)a f a af a -⎧≤⎪⎨⎪≤⎩， 11312a a a a ⎧≥≤-⎪∴⎨⎪≤-≥⎩或或 从而得到25a ≤< ； 当1122a a -<⎧⎪⎨-≤-⎪⎩时，即5a ≥时，只需22(2)(2)f a f a ⎧-≤⎨≤⎩ 12a Ra a ∈⎧∴⎨≤-≥⎩或 ，从而得到5a ≥综上可得：1a ≤-或2a ≥22．已知定义在R 上的函数()f x 且不恒为零，对,x y ∀满足()()()()()11f x y f x f y f y f x +=-+-，且()f x 在[]0,1上单调递增． （1）求()0f ，()1f 的值，并判断函数()f x 的奇偶性； （2）求1(21)2f x -≥的解集． 解：（1）由对于任意x ，y ∈R 满足()()()()()11f x y f x f y f y f x +=-+-，令0x y ==， 则(0)(0)(1)(0)(1)2(1)(0)f f f f f f f =⋅+⋅=⋅，所以(0)0f =或1(1)2f =； 令1x =，0y =，则(1)(1)(1)(0)(0)f f f f f =⋅+⋅，上一步若1(1)2f =，代入可得1(0)2f =±，令12x y ==，11()22f =±，因为()f x 在[]0,1上单调递增，所以1(0)()(1)2f f f <<所以(0)0f =，(1)1f =. 综上所述：(0)0f =；(1)1f =令y x =-，则[]()()()()()11f x x f x f x f x f x +-=++-- ()* 令1x =，y x =，则(1)(1)(1)()(0)f x f f x f x f +=⋅-+⋅ 因为(0)0f =，(1)1f =，所以(1)(1)f x f x +=- 代入()*式得[](0)0(1)()()f f x f x f x ==+⋅+-， 显然(1)f x +不等于0，所以()()0f x f x +-=， 所以()f x 为奇函数.（2）由（1）可得()(2)(2)(4)(4)f x f x f x f x f x =-=--=--=- 即函数()f x 的最小正周期为4. 令13x y ==，则 2121233333f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11()32f =， 由（1）可得51()32f =，根据函数在[]22-,的图像以及函数的周期性， 观察得 若1(21)2f x -≥，则154214,33k x k k +≤-≤+∈Z 解得2422,33k x k k +≤≤+∈Z故不等式的解集为2422,33xk x k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z。
2023-2024学年浙江省浙南名校联盟高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省浙南名校联盟高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．设集合A ={x|−12＜x ＜2}，B ＝{x |x 2＞1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．{x|−12＜x ≤1} B ．{x |﹣1≤x ＜2} C ．{x|−12＜x ＜1}D ．{x |1≤x ＜2}2．下列四个结论，其中正确的是（ ） A ．log 28＝4 B ．log 35+log 34＝2 C ．lg （lg 10）＝0D ．4log 29=33．已知函数y ＝f （x ）的定义域是R ，值域为[﹣2，1]，则下列函数的值域也为[﹣2，1]的是（ ） A ．y ＝2f （x ）+5B ．y ＝f （2x +5）C ．y ＝﹣f （x ）D ．y ＝|f （x ）|4．已知函数f （x ）是定义在实数集R 上的偶函数，则下列结论一定成立的是（ ） A ．∀x ∈R ，f （x ）＞f （﹣x ） B ．∃x 0∈R ，f （x 0）＞f （﹣x 0）C ．∀x ∈R ，f （x ）f （﹣x ）≥0D ．∃x 0∈R ，f （x 0）f （﹣x 0）＜05．下列函数中，满足“f （x ）f （y ）＝f （x +y ）”的单调递增函数是（ ） A ．f （x ）＝x 3 B ．f(x)=(23)x C ．f(x)=x 23D ．f （x ）＝e x6．已知a ＞0，b ＞0，且a+1a+3b=2，则3a +b 的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．9D ．127．已知函数f （x ）的定义域为R ，函数g （x ）＝f （x ）+x 2为奇函数，且g （x ﹣4）＝g （x ），则f （﹣6）的值为（ ） A ．﹣4B ．﹣36C ．0D ．368．设a =22022+122023+1，b =22023+122024+1，则下列说法中正确的是（ ）A ．a ＞bB ．2a ＜2bC ．a 2+b 2≥2D ．b a+a b=2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列各结论中正确的是（ ） A ．f(x)={x ，x ≥0−x ，x ＜0与g （t ）＝|t |表示同一函数B ．函数y ＝f （x ）的定义域是[0，2]，则函数g(x)=f(x+1)x−1的定义域为（﹣1，1]C ．设a ∈R ，则“a ＝2”是“（a ﹣1）（a ﹣2）＝0”的必要不充分条件D ．“函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点（﹣1，0）”是“a ﹣b +c ＝0”的充要条件10．已知函数f(x)=x 2−2x 2+2，则以下结论正确的是（ ）A ．f （x ）的图象关于原点对称B ．f （x ）的图象关于y 轴对称C ．f （x ）在R 上单调递增D ．f （x ）的值域为[﹣1，1）11．如图，某池塘里的浮萍面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）的关系式为y ＝ka t （k ∈R ，且k ≠0；a ＞0，且a ≠1）．则下列说法正确的是（ ）A ．浮萍每月增加的面积都相等B ．第6个月时，浮萍的面积会超过30m 2C ．浮萍面积从2m 2蔓延到64m 2只需经过5个月D ．若浮萍面积蔓延到4m 2，6m 2，9m 2所经过的时间分别为t 1，t 2，t 3，则t 1+t 3＝2t 212．已知函数y ＝f （x ）与y ＝g （x ）满足：对任意x 1，x 2∈R ，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≥|g （x 1）﹣g （x 2）|．则下列命题正确的是（ ）A ．若y ＝f （x ）是偶函数，则函数y ＝g （x ）也是偶函数B ．若y ＝f （x ）有最大值和最小值，则y ＝g （x ）也有最大值和最小值C ．若y ＝f （x ）是增函数，则y ＝f （x ）﹣g （x ）不是减函数D ．若y ＝f （x ）是减函数，则y ＝f （x ）+g （x ）不是增函数 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知log 32＝a ，则9a +9﹣a的值为 ．14．已知幂函数y ＝f （x ）的图象经过点（12，√22），则f （14）＝ ． 15．设函数f(x)={ax −9，x ＜a 8−(x −3)2，x ≥a，存在最大值，则a 的取值范围是 ．16．设函数f(x)=|2x −a|−4x +a ，若关于x 的方程f （x ）＝2有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的值为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知集合A={x|x−3x−1≤0}，B＝{x|2m＜x＜1﹣m}．（1）当m＝﹣1时，求A∪B；（2）若A∩B＝B，求实数m的取值集合．18．（12分）函数f（x）为定义在R上的奇函数，已知当x≥0时，f(x)=xx+1．（1）当x＜0时，求f（x）的解析式；（2）判断f（x）在[0，+∞）上的单调性，并利用单调性的定义证明；（3）若f（2a+1）+f（2﹣a2）＞0，求a的取值范围．19．（12分）某厂家在“双11”中拟举办促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂家的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足关系式x＝3−km+1（k为常数），如果不搞促销活动；则该产品的年销售量是1万件．已知生产该产品的固定年投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的售价定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本只包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）求k的值，并将该产品的年利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；（2）该厂家年利润的最大值为多少万元？为此需要投入多少万元的年促销费用？20．（12分）设函数f（x）＝2x+a•2﹣x﹣1（a为实数）．（1）当a＝0时，求方程|f(x)|=12的根；（2）当a＝2时，设函数g（x）＝﹣2x+b，若对任意的x1∈[﹣1，1]，总存在着x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．21．（12分）如果函数y＝f（x）的定义域为R，且存在实常数a，使得对定义域内的任意x，都有f（x+a）＝f（﹣x）恒成立，那么称此函数具有“P（a）性质”．（1）已知y＝f（x）具有“P（0）性质”，且当x≤0时，f（x）＝（x+m）2，求y＝f（x）在[0，1]的最大值；（2）已知定义在R上的函数y＝h（x）具有“性质P（2）”，当x≥1时，h（x）＝|x﹣4|．若h2（x）﹣t•h（x）+t＝0有8个不同的实数解，求实数t的取值范围．22．（12分）已知定义在R上的函数f（x）＝x|x﹣2a|+2b（a，b∈R）．（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；（2）设a∈[﹣1，4]，若对任意x∈[0，2]，f（x）≤0恒成立，求a2﹣b的最小值．2023-2024学年浙江省浙南名校联盟高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．设集合A={x|−12＜x＜2}，B＝{x|x2＞1}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|−12＜x≤1}B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|−12＜x＜1}D．{x|1≤x＜2}解：由题可知B＝{x|x＜﹣1或x＞1}，所以∁R B＝{x|﹣1≤x≤1}，因为A={x|−12＜x＜2}，所以A∩(∁R B)={x|−12＜x≤1}．故选：A．2．下列四个结论，其中正确的是（）A．log28＝4B．log35+log34＝2C．lg（lg10）＝0D．4log29=3解：对于A中，由log28=log223=3≠4，所以A不正确；对于B中，由log35+log34＝log320≠2，所以B错误；对于C中，由lg（lg10）＝lg1＝0，所以C正确；对于D中，由4log29=22log29=2log281=81≠3，所以D不正确．故选：C．3．已知函数y＝f（x）的定义域是R，值域为[﹣2，1]，则下列函数的值域也为[﹣2，1]的是（）A．y＝2f（x）+5B．y＝f（2x+5）C．y＝﹣f（x）D．y＝|f（x）|解：对于A，由f（x）∈[﹣2，1]可得，2f（x）+5∈[1，7]，故A错误；对于B，y=f(2x+5)=f(2(x+52))，y＝f（2x+5）的图象可看作由f（x）的图象经过平移和横向伸缩变换得到，故值域不变，故B正确；对于C，y＝﹣f（x）∈[﹣1，2]，故C错误；对于D，y＝|f（x）|∈[0，2]，故D错误．故选：B．4．已知函数f（x）是定义在实数集R上的偶函数，则下列结论一定成立的是（）A．∀x∈R，f（x）＞f（﹣x）B．∃x0∈R，f（x0）＞f（﹣x0）C．∀x∈R，f（x）f（﹣x）≥0D．∃x0∈R，f（x0）f（﹣x0）＜0解：∵函数f（x）是定义在实数集R上的偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），故∀x ∈R ，f （x ）＞f （﹣x ）错误，即A 错误；对于B ，若f （x ）＝0，则不存在x 0∈R ，f （x 0）＞f （﹣x 0），故B 错误； 对于C ，∀x ∈R ，f （x ）f （﹣x ）≥0，正确；对于D ，若f （x ）＝0，则不存在x 0∈R ，f （x 0）f （﹣x 0）＜0，故D 错误； 故选：C ．5．下列函数中，满足“f （x ）f （y ）＝f （x +y ）”的单调递增函数是（ ） A ．f （x ）＝x 3 B ．f(x)=(23)x C ．f(x)=x 23D ．f （x ）＝e x解：对于选项A ：因为f （x ）＝x 3，f （y ）＝y 3，f （x +y ）＝（x +y ）3， 不满足f （x +y ）＝f （x ）f （y ），故A 错误；对于选项B ：因为f(x)=(23)x 在R 上是单调递减函数，不合题意，故B 错误； 对于选项C ：因为f(x)=x 23，f(y)=y 23，f(x +y)=(x +y)23， 不满足f （x +y ）＝f （x ）f （y ），故C 错误；对于选项D ：因为f （x ）＝e x ，f （y ）＝e y ，f （x +y ）＝e x +y ，满足f （x +y ）＝f （x ）f （y ），且f （x ）在R 上是单调递增函数，故D 正确． 故选：D ．6．已知a ＞0，b ＞0，且a+1a+3b=2，则3a +b 的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．9D ．12解：因为a ＞0，b ＞0，且1a+3b =1，所以3a +b =(3a +b)(1a+3b)=3+3+b a+9a b ≥6+2√b a ⋅9a b=6+2×3=12， 当且仅当b ＝3a ，即a ＝2，b ＝6时取等号， 此时3a +b 的最小值为12． 故选：D ．7．已知函数f （x ）的定义域为R ，函数g （x ）＝f （x ）+x 2为奇函数，且g （x ﹣4）＝g （x ），则f （﹣6）的值为（ ） A ．﹣4B ．﹣36C ．0D ．36解：因为函数g （x ）＝f （x ）+x 2为奇函数，所以有g （﹣2）＝﹣g （2），又g （x ﹣4）＝g （x ），所以g （﹣2）＝g （2），得g （﹣2）＝g （2）＝0，则g （﹣6）＝g （﹣2）＝0． 即g （﹣6）＝f （﹣6）+（﹣6）2＝0，所以f （﹣6）＝﹣36． 故选：B ．8．设a =22022+122023+1，b =22023+122024+1，则下列说法中正确的是（ ）A ．a ＞bB ．2a ＜2bC ．a 2+b 2≥2D ．b a+a b=2解：构造函数f(x)=2x +12x+1+1，则f(x)=12(2x+1+1)+122x+1+1=12+122x+1+1， 因为函数y ＝2x +1在R 上为单调递增函数，所以f （x ）在R 上为单调递减函数， 所以f （2022）＞f （2023）＞0，所以a ＞b ，2a ＞2b ，故选项A 正确，选项B 错误；因为0＜22022+122023+1＜1，0＜22023+122024+1＜1，所以a 2+b 2＜2，故选项C 错误；因为b a+a b≥2√b a ⋅a b=2，当且仅当a ＝b 时取等号，由题意可知a ≠b ，故b a+a b≠2，故选项D 错误． 故选：A ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列各结论中正确的是（ ） A ．f(x)={x ，x ≥0−x ，x ＜0与g （t ）＝|t |表示同一函数B ．函数y ＝f （x ）的定义域是[0，2]，则函数g(x)=f(x+1)x−1的定义域为（﹣1，1]C ．设a ∈R ，则“a ＝2”是“（a ﹣1）（a ﹣2）＝0”的必要不充分条件D ．“函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点（﹣1，0）”是“a ﹣b +c ＝0”的充要条件 解：选项A ：f(x)={x ，x ≥0−x ，x ＜0，g(t)=|t|={t ，t ≥0−t ，t ＜0，因为f （x ）与g （t ）定义域，解析式一致，故A 正确；选项B ：g （x ）分母不能为0，所以x ≠1，又0≤x +1≤2，得﹣1≤x ≤1， 所以g （x ）的定义域为[﹣1，1），故B 不正确； 选项C ：若（a ﹣1）（a ﹣2）＝0，则a ＝1或a ＝2，所以“a ＝2”是“（a ﹣1）（a ﹣2）＝0”的充分不必要条件，故C 错误； 选项D ：若函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点（﹣1，0），则a ﹣b +c ＝0，若a ﹣b +c ＝0，则当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＝0，即函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点（﹣1，0）， “函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点（﹣1，0）”是“a ﹣b +c ＝0”的充要条件，故D 正确． 故选：AD ．10．已知函数f(x)=x 2−2x 2+2，则以下结论正确的是（ ）A ．f （x ）的图象关于原点对称B ．f （x ）的图象关于y 轴对称C ．f （x ）在R 上单调递增D ．f （x ）的值域为[﹣1，1）解：根据题意，因为f(x)=x 2−2x 2+2，定义域为x ∈R ， 有f(−x)=(−x)2−2(−x)2+2=x 2−2x 2+2=f(x)， 所以f （x ）为偶函数，其图象关于y 轴对称，故A 错误，B 正确； 令t ＝x 2+2（t ≥2），当x ∈（0，+∞）时，t ＝x 2+2单调递增，当x ∈（﹣∞，0）时，t ＝x 2+2单调递减，而y =t−4t =1−4t ，在（2，+∞）单调递增， 所以由复合函数单调性可知f （x ）在（0，+∞）单调递增，又f （x ）为偶函数， 所以f （x ）在（﹣∞，0）单调递减，故C 错误；因为y =t−4t =1−4t ，由t ≥2，有0＜4t ≤2，所以−2≤−4t ＜0，故−1≤1−2t ＜1， 即y ∈[﹣1，1），故D 正确． 故选：BD ．11．如图，某池塘里的浮萍面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）的关系式为y ＝ka t （k ∈R ，且k ≠0；a ＞0，且a ≠1）．则下列说法正确的是（ ）A ．浮萍每月增加的面积都相等B ．第6个月时，浮萍的面积会超过30m 2C ．浮萍面积从2m 2蔓延到64m 2只需经过5个月D ．若浮萍面积蔓延到4m 2，6m 2，9m 2所经过的时间分别为t 1，t 2，t 3，则t 1+t 3＝2t 2解：由题意可知，函数过点（1，1）和点（3，4），代入函数关系式：y ＝ka t （k ∈R ，且k ≠0；a ＞0，且a ≠1），得：{ka =1ka 3=4，解得：{k =12a =2，∴函数关系式：y =12×2t ＝2t ﹣1，∵函数是曲线型函数，所以浮萍每月增加的面积不相等，故选项A 错误， 当x ＝6时，y ＝25＝32，浮萍的面积超过了30m 2，故选项B 正确，令y ＝2得：t ＝2；令y ＝64得：t ＝7，所以浮萍面积从2m 2增加到64m 2需要5个月，故选项C 正确， 令y ＝4得：t 1＝3；令y ＝6得：t 2＝log 212；令y ＝9得：t 3＝log 218，∴t 1+t 3＝3+log 218＝log 2144＝2log 212＝2t 2，故选项D 正确， 故选：BCD ．12．已知函数y ＝f （x ）与y ＝g （x ）满足：对任意x 1，x 2∈R ，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≥|g （x 1）﹣g （x 2）|．则下列命题正确的是（ ）A ．若y ＝f （x ）是偶函数，则函数y ＝g （x ）也是偶函数B ．若y ＝f （x ）有最大值和最小值，则y ＝g （x ）也有最大值和最小值C ．若y ＝f （x ）是增函数，则y ＝f （x ）﹣g （x ）不是减函数D ．若y ＝f （x ）是减函数，则y ＝f （x ）+g （x ）不是增函数 解：对于A ，若y ＝f （x ）是偶函数，则f （﹣x ）＝f （x ）， 若|f （x 1）﹣f （x 2）|≥|g （x 1）﹣g （x 2）|对任意x 1，x 2∈R 恒成立， 令x 1＝x ，x 2＝﹣x ，则|f （x ）﹣f （﹣x ）|≥|g （x ）﹣g （﹣x ）|， 因为f （﹣x ）＝f （x ），所以|g （x ）﹣g （﹣x ）|≤0，所以g （x ）＝g （﹣x ），所以函数y ＝g （x ）也是偶函数，故A 正确； 对于B ，若y ＝f （x ）有最大值和最小值，不妨令f(x)={arctanx ，x ≠±110，x =1−10，x =−1，g(x)=12arctanx ，则函数f （x ）的最大值为10，最小值为﹣10，g(x)=12arctanx ∈(−π4，π4)， 对任意的x 1、x 2∈R ，|f （x 1）﹣f （x 2）|≥|g （x 1）﹣g （x 2）|恒成立， 但函数g （x ）既无最大值，也无最小值，故B 错误；对于C ，设x 1＜x 2，因为y ＝f （x ）是R 上的增函数，所以f （x 1）＜f （x 2）， 所以|f （x 1）﹣f （x 2）|＝f （x 2）﹣f （x 1），因为|f （x 1）﹣f （x 2）|≥|g （x 1）﹣g （x 2）|，所以﹣f （x 2）+f （x 1）≤g （x 1）﹣g （x 2）≤f （x 2）﹣f （x 1），所以f （x 1）﹣g （x 1）≤f （x 2）﹣g （x 2），故函数y ＝f （x ）﹣g （x ）不是减函数，故C 正确； 对于D ，设x 1＜x 2，因为y ＝f （x ）是R 上的减函数，所以f （x 2）＜f （x 1）， 所以|f （x 1）﹣f （x 2）|＝f （x 1）﹣f （x 2）， 因为|f （x 1）﹣f （x 2）|≥|g （x 1）﹣g （x 2）|，所以﹣f （x 1）+f （x 2）≤g （x 1）﹣g （x 2）≤f （x 1）﹣f （x 2），所以f （x 2）+g （x 2）≤f （x 1）+g （x 1），故函数y ＝f （x ）+g （x ）不是增函数，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知log 32＝a ，则9a +9﹣a的值为174．解：log 32＝a ，∴9a +9−a =9log 32+9−log 32=3log 34+3log 314=4+14=174． 故答案为：174．14．已知幂函数y ＝f （x ）的图象经过点（12，√22），则f （14）＝ 12 ． 解：∵幂函数y ＝f （x ）＝x a的图象经过点（12，√22），∴(12)a =√22，解得a =12，∴y =√x ， ∴f （14）=12，故答案为：12．15．设函数f(x)={ax −9，x ＜a 8−(x −3)2，x ≥a，存在最大值，则a 的取值范围是 [0，4] ．解：①当a ＜0时，函数f （x ）在（﹣∞，a ）上单调递减，因此f （x ）不存在最大值； ②当a ＝0时，f(x)={−9，x ＜08−(x −3)2，x ≥0，当x ≥0时，f （x ）max ＝f （3）＝8＞﹣9，故函数f （x ）存在最大值；③当0＜a ≤3时，故函数f （x ）在（a ，3）上单调递增，在（3，+∞）上单调递减， 故x ≥a 时，f （x ）＝8﹣（x ﹣3）2≤8，当x ＜a 时，函数f （x ）在（﹣∞，a ）上单调递增，此时f （x ）＜f （a ）＝a 2﹣9，于是a 2﹣9≤8时函数存在最大值．又0＜a ≤3，解得0＜a ≤3；④当a ＞3时，函数在（a ，+∞）上单调递减，f （x ）≤f （a ）＝8﹣（a ﹣3）2， 在（﹣∞，a ）上单调递增，此时f （x ）＜f （a ）＝a 2﹣9， 故当8﹣（a ﹣3）2≥a 2﹣9，解得﹣1≤a ≤4， 又a ＞3，故3＜a ≤4；综上，a 的取值范围是{a |0≤a ≤4}． 故答案为：[0，4]．16．设函数f(x)=|2x −a|−4x+a ，若关于x 的方程f （x ）＝2有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的值为 4或1+2√2或1−2√2 ． 解：由方程f （x ）＝2，得|x −a 2|+a 2=2x+1有两个不同的解， 令ℎ(x)=|x −a 2|+a 2，g(x)=2x +1，则h （x ）的顶点(a 2，a2)在y ＝x 上， 而y ＝x 与g(x)=2x+1的交点坐标为（2，2），（﹣1，﹣1）． 联立{y =−x +a y =2x+1得x 2+（1﹣a ）x +2＝0，由Δ＝（1﹣a ）2﹣8＝0， 解得a =1±2√2． 作出图象，要使得|x −a|+a =2x+1有两个不同的解， 则函数h （x ）过（2，2）时，显然符合，此时a ＝4． 由此实数a 的值：4或1+2√2或1−2√2． 故答案为：4或1+2√2或1−2√2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知集合A ={x|x−3x−1≤0}，B ＝{x |2m ＜x ＜1﹣m }． （1）当m ＝﹣1时，求A ∪B ；（2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值集合．解：（1）根据题意，集合A ={x|x−3x−1≤0}=(1，3]． 当m ＝﹣1时，B ＝{x |2m ＜x ＜1﹣m }＝（﹣2，2），则A ∪B ＝（﹣2，3]；（2）A ∩B ＝B ，则B ⊆A ，若B ＝∅，则2m ≥1﹣m ，此时m ≥13；若B ≠∅，则有{1−m ≤32m ≥12m ＜1−m，此时m 无解．综合知实数m 的取值集合为{m|m ≥13}．18．（12分）函数f （x ）为定义在R 上的奇函数，已知当x ≥0时，f(x)=x x+1．（1）当x ＜0时，求f （x ）的解析式；（2）判断f （x ）在[0，+∞）上的单调性，并利用单调性的定义证明；（3）若f （2a +1）+f （2﹣a 2）＞0，求a 的取值范围．解：（1）当x ＜0时，﹣x ＞0，则f(−x)=−x 1−x =x x−1， 因为函数为奇函数，所以f(x)=−f(−x)=−x x−1，即x ＜0时，f （x ）的解析式为f(x)=−x x−1； （2）f （x ）在[0，+∞）上的单调递增，证明如下：任取x 1，x 2∈[0，+∞），且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=x 1x 1+1−x 2x 2+1=x 1−x2(x 1+1)(x 2+1)， 因为x 1，x 2∈[0，+∞），且x 1＜x 2，所以x 1﹣x 2＜0，x 1+1＞0，x 2+1＞0，则f(x 1)−f(x 2)=x 1−x2(x 1+1)(x 2+1)＜0， 即f （x 1）＜f （x 2），所以f （x ）在[0，+∞）上的单调递增；（3）f （x ）在[0，+∞）上的单调递增，且函数f （x ）为R 上的奇函数，故f （x ）为R 上的增函数．由f（2a+1）+f（2﹣a2）＞0，可得f（2a+1）＞﹣f（2﹣a2）＝f（a2﹣2），于是2a+1＞a2﹣2，所以a2﹣2a﹣3＝（a﹣3）（a+1）＜0，解得﹣1＜a＜3，即a的取值范围为（﹣1，3）．19．（12分）某厂家在“双11”中拟举办促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂家的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足关系式x＝3−km+1（k为常数），如果不搞促销活动；则该产品的年销售量是1万件．已知生产该产品的固定年投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的售价定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本只包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）求k的值，并将该产品的年利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；（2）该厂家年利润的最大值为多少万元？为此需要投入多少万元的年促销费用？解：（1）由题意可知，当m＝0时，x＝1，则1＝3﹣k，解得k＝2，所以x＝3−2m+1，因为每件产品的销售价格为1.5×8+16xx元，∴利润函数y＝x[1.5×8+16xx]﹣（8+16x+m）＝4+8x﹣m＝4+8（3−2m+1）﹣m＝﹣[16m+1+（m+1）]+29（m≥0）．（2）因为利润函数y＝﹣[16m+1+（m+1）]+29（m≥0），所以，当m≥0时，16m+1+（m+1）≥2√16=8，∴y≤﹣8+29＝21，当且仅当16m+1=m+1，即m＝3（万元）时，y max＝21（万元）．所以，该厂家促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．20．（12分）设函数f（x）＝2x+a•2﹣x﹣1（a为实数）．（1）当a＝0时，求方程|f(x)|=12的根；（2）当a＝2时，设函数g（x）＝﹣2x+b，若对任意的x1∈[﹣1，1]，总存在着x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．解：（1）当a＝0时，f（x）＝2x﹣1，由|f(x)|=12，可得|2x−1|=12，所以2x−1=12或2x−1=−12，解得x=log232或x＝﹣1．（2）当a＝2时，可得f(x)=2x+22x−1，设t＝2x，﹣1≤x≤1，所以12≤t≤2，则ℎ(t)=t+2t−1，当t∈[12，√2]时，h（t）单调递减；当t∈(√2，2]时，h（t）单调递增，所以ℎ(t)min=ℎ(√2)=2√2−1，又由ℎ(12)=72，ℎ(2)=2，所以ℎ(t)∈[2√2−1，72]，即f(x)∈[2√2−1，72]．又由x∈[﹣1，1]，可得g（x）＝﹣2x+b∈[b﹣2，b+2]，因为对于任意x1∈[﹣1，1]，总存在x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）≥g（x2）成立，可得f（x）min≥g（x）min，即2√2−1≥b−2，解得b≤2√2+1，所以实数b的取值范围为(−∞，2√2+1]．21．（12分）如果函数y＝f（x）的定义域为R，且存在实常数a，使得对定义域内的任意x，都有f（x+a）＝f（﹣x）恒成立，那么称此函数具有“P（a）性质”．（1）已知y＝f（x）具有“P（0）性质”，且当x≤0时，f（x）＝（x+m）2，求y＝f（x）在[0，1]的最大值；（2）已知定义在R上的函数y＝h（x）具有“性质P（2）”，当x≥1时，h（x）＝|x﹣4|．若h2（x）﹣t•h（x）+t＝0有8个不同的实数解，求实数t的取值范围．解：（1）∵y＝f（x）具有“P（0）性质”，∴f（x）＝f（﹣x）对x∈R恒成立，∴f（x）是偶函数，∴当x∈[0，1]时，f（x）＝（﹣x+m）2＝（x﹣m）2，∴当m≤12时，f(x)max=f(1)=(1−m)2；当m＞12时，f(x)max=f(0)=m2；（2）函数y＝h（x）具有“性质P（2）”，则h（x+2）＝h（﹣x），当x≥1时，h（x）＝|x﹣4|，所以当x＜1时，h（x）＝h（﹣x+2）＝|x+2|，于是ℎ(x)={|x−4|，x≥1|x+2|，x＜1，如下图所示：若h 2（x ）﹣t ⋅h （x ）+t ＝0有8个不同的实数解，令n ＝h （x ），则n 2﹣tn +t ＝0有两个不等的实数根n 1，n 2，且0＜n 1＜3，0＜n 2＜3，所以{ Δ=t 2−4t ＞0t ＞032−3t +t ＞00＜t 2＜3，所以4＜t ＜92． 所以t 的取值范围为(4，92)．22．（12分）已知定义在R 上的函数f （x ）＝x |x ﹣2a |+2b （a ，b ∈R ）．（1）当a ＝1时，求f （x ）的单调区间；（2）设a ∈[﹣1，4]，若对任意x ∈[0，2]，f （x ）≤0恒成立，求a 2﹣b 的最小值．解：（1）当a ＝1时，f(x)=x|x −2|+2b ={x 2−2x +2b ，x ≥2−x 2+2x +2b ，x ＜2， 所以f （x ）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．（2）因为f （x ）＝x |x ﹣2a |+2b ，x ∈[0，2]，a ∈[﹣1，3]，①当﹣1≤a ≤0时，f （x ）＝x （x ﹣2a ）+2b ＝x 2﹣2ax +2b ，对称轴x ＝a ≤0，所以f （x ）在[0，2]上单调递增，故f （x ）max ＝f （2）＝4﹣4a +2b ≤0，得b ≤2a ﹣2，所以a 2﹣b ≥a 2﹣2a +2，又因﹣1≤a ≤0，故当a ＝0时，a 2﹣2a +2取得最小值2，故当a ＝0，b ＝﹣2时，a 2﹣b 的最小值为2；②当0＜a ＜1时，f(x)=x|x −2a|+2b ={−x 2+2ax +2b ，0≤x ≤2ax 2−2ax +2b ，2a ＜x ≤2，对称轴都是x ＝a ， 所以f （x ）在（0，a ）上单调递增，在（a ，2a ）上单调递减，在（2a ，2）上单调递增， 则f(x)max ={f(2)，f(a)＜f(2)f(a)，f(a)≥f(2)={4−4a +2b ，0＜a ≤2√2−2a 2+2b ，2√2−2≤a ＜1； （i ）当0＜a ≤2√2−2时，b ≤2a ﹣2，则a 2−b ≥a 2−2a +2=(a −1)2+1≥(2√2−3)2+1=18−12√2，当a =2√2−2，b =4√2−6时，a 2﹣b 的最小值为18−12√2；（ii ）当2√2−2≤a ＜1时，a 2+2b ≤0，得b ≤−a 22， 则a 2−b ≥3a 22≥3(2√2−2)22=18−12√2；③当1≤a≤4时，f（x）＝﹣x2+2ax+2b，对称轴x＝a∈[1，4]，（i）当1≤a＜2时，f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，2）上单调递减，f(x)max=f(a)=a2+2b≤0，得b≤−a22，则a2−b≥3a22≥32；（ii）当2≤a≤4时，f（x）在[0，2]上单调递增，f（x）max＝f（2）＝﹣4+4a+2b≤0，得b≤2a﹣2，则a2﹣b≥a2﹣2a+2≥6，综合①②③，当a=2√2−2，b=4√2−6时，a2﹣b的最小值为18−12√2．。