二次型理论发展史简介 - lnszgseducn
二次型的标准化课件
03
标准化后的二次型性质
特征值与特征向量
特征值
标准化后的二次型矩阵的特征值 是唯一的，它们是二次型矩阵的 重要属性，用于描述矩阵对向量 进行变换的效果。
特征向量
特征向量是与特征值对应的向量 ，它描述了矩阵对向量进行变换 的具体方式。
矩阵的相似性
相似矩阵
如果存在一个可逆矩阵P，使得 $P^{-1}AP=B$，则称矩阵A和B是 相似的。相似矩阵具有相同的特征值 和特征向量。
计算标准型矩阵
将特征向量单位化，然后根据特征值和特征向量构造标准型矩阵。标准 型矩阵是经过线性变换后得到的矩阵，其形式简单易于分析。
具体操作方法
手动计算
对于较小的二次型矩阵，可以通过手动 计算的方式进行标准化。具体操作步骤 包括计算行列式、求解特征多项式、求 解特征值和特征向量、单位化特征向量 等。
线性变换的性质
线性变换是连续的
如果一个函数是线性的，那么它在整个定义域上是连续的。
线性变换是可逆的
对于任何非零向量，线性变换都有一个逆变换，可以将其映射回原 向量空间。
线性变换是可结合的
对于任何三个向量和三个线性变换， (T1T2)T3=(T1T3)T2=T1(T2T3)。
线性变换的矩阵表示
1 2 3
02
二次型的标准化
线性变换
线性变换的定义
线性变换是向量空间中的一种映射， 它将一个向量映射到另一个向量，同 时保持向量的加法和标量乘法的性质 。
线性变换的数学表达式
线性变换的性质
线性变换具有一些重要的性质，如线 性变换是连续的、可逆的、可结合的 等。
线性变换可以用矩阵表示，如果一个 矩阵A可以将一个向量集映射到另一 个向量集，则A是一个线性变换。
第五章二次型--精品PPT课件
定义:复数域C上的n元二次齐次函数
f ( x1, x2 , , xn )
n j1
n i 1
aij
xi
x
j
其中 aij a ji ,称为C上n元Hermite型.
注: Hermite型是二次型的推广.
Hermite型矩阵_2
n元Hermite型 f ( x1, x2, , xn ) X ' AX
定理: A=A, B=B∈Cn×n，则A合同于B
r(A) = r(B)
定理: A=A, B=B∈Rn×n ，则A合同于B
A与B有相同的秩与符号差 A与B有相同的正惯性指数和负惯性指数 A与B有相同的正惯性指数和秩 A与B有相同的符号差和秩
注 1 : C上n阶对称阵，按合同关系分类共有n+1类
Hermite型矩阵_4
定理:设A是一个Hermite阵,则必存在一个可 逆阵C∈Cn×n,使 CAC为对角阵且主对角线元 素是实数.
定理:设 f (x1, …, xn) 是Hermite型, 则存在非 退化线性替换X=CY,使
f ( x1, x2 , , xn ) d1 y1 y1 d2 y2 y2 dn yn yn
二次型的标准型
引理:设0≠A’=A∈Kn×n,则必存在可逆阵C, 使C’AC的第(1,1)元素不等于0.
定理:设A’=A∈Kn×n,则存在可逆阵C∈Kn×n, 使C’AC为对角阵.
定理:设 f (x1…xn) 是K上n元二次型, 则存在 非退化线性替换X=CY,使
f ( x1, x2 , , xn ) d1 y12 d2 y22 dn yn2
定理中称r为f (x1…xn)的秩, p为f (x1…xn)的 正惯性指数, q = r－p称为f (x1…xn)的负惯性 指数, s = p－q称为f (x1…xn)的符号差.
第九章 二次型
2．R上的二次型： 实二次型——实数域上的二次型.
（1） 实二次型等价的充要条件（实对称矩阵合同的充要条 件）.为此：
定理3 设是数域F上一个n 阶对称矩阵,则总存在F上一个n阶可逆矩 阵P使证,即A与对角阵合同.
例：将化为对角型（注：此提法不同于ch8对称矩阵正交化为对角 型）. 解：（略）P= . 将Th3应用于二次型得：
定理4 设q(x,x,…x)== xAX是数域F上一个n元二次型,则总可以通过 变量替换=. 把它化为,其中P为可逆矩阵.
的等价标准形的化法.
三 教学过程
1．二次型及表示
（1） 定义 数域F上n个文字x,x,…x的一个二次齐次多项式叫做F上n个文
字的二次型或n元二次型（简称二次型）.一个n 元二次型总可以
写成：
q(x,x,…x)=ax+ax+…+ax
+2axx+…+2axx
9.1 二次型
一 教学思考 1．二次型的理论起源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题,
但其理论在网络问题中、分析、热力学等中有广泛应用.仅从数学内容 上言,其与F上n维向量空间v上所有对称双线性型（对称内积）,F上所有n 阶对称方阵是同一事物的三种表现形式,即存在一一对应.这样不管从理 论上还是从方法上提供了讨论问题的方法.本节重要的是给出二次型的
同.
合同关系的性质：
1 自反性： A∈M(F),A与A合同.(∵A=).
2 对称性：若A与B合同,则B与A亦合同.事实上:
线性代数5.5二次型
n
定理 5.10 任给二次型 f ai j xi x j (aij a ji ), i, j1
总有正交变换 x = Py，使 f 化为标准形
f 1y12 2 y22 L n yn2, 其中1,2, L ,n 是 f 的矩阵 A (aij ) 的特征值.
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定义 5.9 含有n 个变量 x1 , x2 ,… , xn 的二次齐次 函数
f (x1, x2 ,L , xn ) = a11x12 a22 x22 L ann xn2 （5-7）
2a12 x1x2 2a13 x1x3 L 2an1,n xn1xn 称为二次型.
x xcos ysin，
y
xsin +ycos，
把方程化为标准形
mx2 ny2 1
（5-6）式的左边是一个二次齐次多项式， 从代数
学的观点看，化标准形的过程就是通过变量的线性变
换化简一个二次齐次多项式，使它只含有平方项. 把
这类问题一般化，讨论n元二次齐次多项式化简问题.
k1 y12 k2 y22 L kn yn2 yT Λ y，
也就是要使C TAC 为对角阵. 因此，我们的主要问题 就是：对于对称阵A，寻求可逆矩阵C，使 C TAC 为 对角阵. 这个问题称为把对称阵A合同对角化.
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由上节定理5.9知，任给对称阵A，总有正交阵 P，使
这种只含平方项的二次型， 称为二次型的标准形，
它的矩阵形式为
对角阵
f
k
1
y , y ,L 12
浅谈数论中二元二次型理论的起源与早期发展演化
浅谈数论中二元二次型理论的起源与早期发展演化现代数学发展至今，已经经历了数以千年的发展历史，这其中蕴含了无数数学贤者的智慧结晶与心血。
其中，数论当中有一个非常重要的分支理论，叫做二元二次型理论，它与初级数论当中所涉及的许多基础性定理都是息息相关的。
本文，通过数篇原始级别文献资料，全面化的分析了关于数论中二元二次型理论的起源与早期发展的一系列演化过程。
随着时间不断的推移，笔者相信通过探究数论中二元二次型的演化历史，将会对未来其余的数学有关学科带来十分积极的影响，从而推动整个中國乃至于全世界的数学文明进程。
标签：数论;二元二次型理论;起源;早期发展演化从理论意义上来看，关于数论的概述，事实上即是指有关数字的所有规律性变化，尤其是整数性的规律。
因为整数是最能贴近生活，也是最为浅显易懂的数字化对象。
据悉，早在古希腊时期人们就已经把整数寓意为完美的和谐范本，而且把它当做是宇宙万物的基本守恒原则。
古希腊智者通过数论，构建了人们常谈论到的“万物皆数”的哲思理念世界。
可以毫不夸张的说，关于数论当中整数性质的研究已然成为了所欲偶数学名家智力考据、宇宙探索的基础性目标。
一、关于二元二次型理论的萌芽状态从一般情况来看，运用乘法以及加法是正整数最为基础性的两种运算方式，它可以将一个正整数拆分成多个正整数相乘、相加得出的“积”与“和”来解决数学问题。
用乘法来解决问题相对比较容易，因为算数的基础定理可以从理论上进行合理的阐述，而运用加法来表示问题则相对比较复杂。
因此缘故，社会大众在探索每一个具体数字的时候都是用较为特殊的一些数字进行相加来表示需要的数论，例如立方数、平方数以及图形数等等。
而关于二元二次型理论的萌芽，最早应该从古希腊数学家毕达哥拉斯身上，他是最早研究关于勾股数的数学家之一，不过这种类型的数论实际上到了古希腊数学的晚期方得以系统化成型，才能真正的用来解决对应的数学问题。
对此，将从如下几个方面来具体阐述关于二元二次理论的起源于早期发展状态。
高等代数讲义ppt第五章二次型
二次型
§4 正定二次型
例题 1、 判别二次型
f (x1, x2 , x3 ) 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
是否正定。
2、 当 t 取什么值时，二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 5x32 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
z12 z22 zr2
而且这个规范型是唯一的。
二次型
推论：任意一个复对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：
1
1
0
0
其中对角线上 1 的个数 r 等于矩阵 A 的秩。
§3 唯一性
推论：两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ次型
§3 唯一性
实数域上的二次型
定理：任意一个秩为 r 的实系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性
行列式
§1 n阶行列式的定义
例题 1、 化下列二次型为标准型
（1） f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x22 8x2 x3 5x32 （2） f (x1, x2 , x3 ) 2x1x2 6x2 x3 2x1x3
2、 化二次型
n
f (x1, x2 ,, xn ) xi2 xi x j
1
1
1
1
0
0
其中对角线上 1 和 -1 的个数都是唯一确定的，且其和 r 等于矩阵 A 的秩。
问题：试给出两个实对称矩阵合同的充要条件。
二次型
§4 正定二次型
§4 正定二次型
正定二次型的定义和判定
定义：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) 是正定的，如果对任意一组不全为零的 的实数 c1, c2 ,, cn 都有 f (c1, c2 ,, cn ) 0 。 定理：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) d1x12 d2 x22 dn xn2 是正定二次型 的充要条件是 di 0, i 1, 2,, n 。
第六章_二次型简介
2 2 17 2 A E 2 14 4 18 9 2 4 14
23
从而得特征值 2．求特征向量
1 9, 2 3 18.
1 (1 2,1,1)T . 将2 3 18代入 A E x 0, 得基础解系 T T 2 ( 2,1,0) , 3 ( 2,0,1) .
a11 a 21 ( x1 , x2 , , xn ) a n1 a12 a1n x1 x a22 a2 n 2 an 2 ann xn
7
a11 a 令 A 21 a n1
11
－2 A 例2：求对称矩阵 A 所对应的二次型。 3 1 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 解：
1 3 2 1 0 0 －1
2 x x x 2 3 x1 x2 x1 x3
2 1 2 2 2 3
例3：已知二次型 f 的秩为2，求参数c。
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
x1 x2 X xn
则 f X T AX
二次型的矩阵表示
其中 A 为对称矩阵。
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 3 x3 2 4 x1 x2 x2 x3 例如：二次型
1 -2 ( x1 , x2 , x3 ) -2 0 1 0 2 0 x1 1 x2 2 x3 -3 8
在二次型的矩阵表示中， 任给一个二次型，就唯一确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称矩阵，也可唯一确定一个二次型． 这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方
第八章二次型二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题, 这一理论在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用.本章主要介绍二次型的基本概念，讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题§ 8.1二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类，以平面二次曲线为例，一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出:2 2ax + bxy + cy + dx + ey + f =0 (1.1 )要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做：首先将坐标轴旋转一个角度以消去xy项，再作坐标的平移以消去一次项.这里的关键是消去xy项，通常的坐标变换公式为卩=x&s日-y'sin 日[y =x sin 日+y'cosT (1.2 )从线性空间与线性变换的角度看,(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关键是给出一个线性变换，使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分类时出现，类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到.为了讨论问题的方便，只考虑二次齐次多项式.定义8.1.1设f是数域P上的n元二次齐次多项式：f(0X2, MX n)=印必2中23,2玄2 +|||+2a1n X1X n乜22%22+2a23X2X3 +川+ 2a2n X2X n + ili+a nJ,n4X24 +2a n_i,n X n4X n +a nn X n2(1.3 )称为数域P上的n元二次型，简称二次型.如果数域P为实数域R，则称f为实二次型；如果数域P为复数域C，则称f为复二次型；如果二次型中只含有平方项，即f(X1,X2,川,X n) =d1X12+d2X22+IH 中d n X n2称为标准形式的二次型，简称为标准形.说明：在这个定义中，非平方项系数用2a j主要是为了以后矩阵表示的方便例8.1.2下列多项式都是二次型f (x,y) =x2+3xy + 3y2f (x,y,z) =2x2+2xy -3xz+ y2+4yz-73z2下列多项式都不是二次型f (x,y) =x2+3xy + 3y2-2x+1f (x,y,z) =2x3 +2xy-4yz-3z2-1定义8.1.3设X1,X2,ilLX n；y1, y2,il(,y n是两组文字，系数在数域P中的一组关系式N =5% +G2y2 +H(+G nyn 1X2 =01% +C22y2 中C2nynF川I川(1.4)Xn 7% +Cn2y2 +|1(+ %%称为由X1,X2,川，X n到y1, 72^1, y n的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式C j HO,那么线性替换(1.4)就称为非退化的.在研究二次型时，矩阵是一个有力工具，因此我们先把二次型用矩阵来表示令a ij -a ji,则有2a j X i X j =a ij xx j +a ji X j X i,于是(1.3)式可以改写为f (X1,X2」i),X n) =a11xj +22X1X2+111+ amX j X n+ 821X2X1 +a22X22州丨+ a2n X2X n +IH+ a n1X n X1 +a n2X n X2 +山+3朋；=旨(站必估2%2十山中a1n X n)+ X2(a21X, +822X2+山+a2n X n)+0)中XnEX, +a n2X2+|||+a nn X n)01X 1 +a 12X 2 +川 +a 1n X n 'a21x 1+a 22x2 **'a 2n x n0n1X ,+a n2X2+M丿例 8.1.4 二次型 f (X, y,z) =2x 2+2xy -3xz + y 2+4yz-J 3z 2的矩阵形式为2 13 )-2f(x,y,z) =(x, y, z) 1 1 2y--2< 2 2-疤说明：任给一个二次型就唯一地确定一个对称矩阵 .反之，任给一个对称矩阵可唯一地确定一个二次型.因此，二次型与对称矩阵之间有着一一对应的关系.把对称矩阵 A 称为二次型例8.1.5给定对称矩阵则其对应的二次型为：2 2 2 2f (x 1, x 2, x 3, x 4^ X , +4X 1X 2 -2x 1x^6x 1x^ +2X 2 +6X 2X ^2X 2X ^ 3X ^ 4X 4/ a11a12 III a1n"X1、 a21 a22III a2n,x=X2 ■ 4 ri + ri h ri ri + ■■ rib■ ■i an1an2IIIann J记A == (X i ,X 2，川，X n )= (X i ,X 2，川，X n )/a a 12 川 a 1n 'a21a 22川a 2nX 2 .」」 ・亠・・ ・・・ 4 4 厲1 a n2川 a nn 丿/n >则二次型可记为=x TA X ,(1.5)其中A 是对称矩阵. 称(1.5)式为二次型的矩阵形式.f 的矩阵，也把f 称为对称矩阵 A 的二次型.称对称矩阵 A 的秩为二次型的秩.(1-1—3)-1-11—3 -1对于二次型f =x T A X,作线性替换X = C y ,其中1C ：= p c11O ziC12C22IIIIIIGn、f y i]y2 4 i + h ri 4 h ri h h ri h,y = RRR .C ni C n2 ill C nn丿Jn>f =x T A X =(C y)T A(C y)C T AC y =y T(C T AC )yB =C T AC ,则有B T=(C T AC)T= C T A T(C T)T= C T AC = B即B 是对称矩阵.这对称矩阵B同样定义了一个二次型.于是，线性替换将二次型化为二次型定义8.1.6设A,B是数域P上的n阶方阵,如果有数域P上的n阶可逆矩阵C ,使得C T AC =B则称矩阵A与B合同，记作A LI B.合同是矩阵之间的一个关系.易知，合同关系具有：(1 ) 反身性：即A与A合同，因为A = E T AE ；对称性：即若A与B合同，则B与A合同，因为由B =C T AC，即得传递性：即若A与B合同，B与C合同，则A与C合同，C =C2T BC2,即得C =C2T BC^(C.C2)T A(C.C2).由B = C i T AC 1 和说明：经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.这样，我们就把二次型的变换通过矩阵表示出来，为以后的讨论提供了有力的工具.另外，在二次型变换时，我们总是要求所作的线性替换是非退化的，因为这样我们可以把所得的二次型还原定理8.1.7若A与B合同，则rank A = rank B.证明：因为A与B合同，所以存在n阶可逆矩阵C ,使得C T AC =B由于可逆矩阵乘以矩阵两边不改变矩阵的秩，故ran kA = rankB.说明：这个定理给我们化二次型为标准形提供了保证.这样，若B是对角矩阵，则非退化的线性替换x = Cy就把二次型化为了标准形.因此，把二次型化为标准形的问题其实质是：对于对称矩阵A ,寻找可逆矩阵C ,使得C T AC =B为对角矩阵.§ 8.2化二次型为标准形现在来讨论用非退化的线性替换化简二次型的问题1配方法定理8.2.i数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化为标准形，即只含有平证明：对变量的个数n作数学归纳法.对于n=1,二次型就是f(x i) =a ii X i2,显然已经是平方项了.现假定对n-1元的二次型，定n n理的结论成立.再设f (x i,X2,ill,X n)=送送a ij X i X j (a ij = a ji) i4 j4分三种情形来讨论：⑴a ii(i =12川，n)中至少有一个不为零，例如卯H0，这时n n n nf(X i，X2，川，X n) =a ii X i2+送a ij X i X j +2：+ 送Z a^X jj=2 i=2 i=2 j=2n n n= a ii X i2+2S a ij X i X j +2 送a j X i X jj=2 iz2 j z2n n=a ii(x i + 2 a ii a j X j) — an (2 a ij X j)jz2 jz2n n n= a ii(x i +2 a i；a,j X j)2+2 Z bjXX jj=2 i=2 j =2n n+2 Z aijXiXj i4 jz2这里送送b ij X i X j = — a ii (无a ij X j) +送送a ij X i X ji=2 jz2j=2是一个关于X2,X3，川，X n的二次型.令ny i =X ij =2 y2 =X2iliililll -4a ii a ij X jnX i —2 a i：a ij y jj=2X2 = y2lllilillli/n = y这是一个非退化线性替换，它使n n 2f(X i，X2，川，X n)=a ii y i +2 2；bj^y ji£ j.n n由归纳法假定，对£ £ b j y i y j有非退化的线性替换i z2 j z2Z2 = C22 y2 +C23y3 +in+ C2n y nZ^ C32 y2 +C33y3 +C3n y n川IlliZn =Cn2y2 +Cn3y3 +| 11 + C.n %能使它变成平方和2 2 2d2Z2 +d3Z3 +川中d n Z n于是非退化线性替换卜=y iI Z2 =C22y2 +C23y3 +11 汁C2n y nllllllllllI Z n =Cn2y2 中53丫3 TH 中％ %就使f(X i，X2」||，X n)变成f (X i，X2, ilLX n) =a ii Z i2+d2Z22+d3Z32+川+d n Z n2即变成平方和了.根据归纳法原理，定理得证.⑵ 所有a ii（i =12川，n）都等于零，但是至少有一个的工0（ j = 2,3，川，n），不失普遍性,设a i2 H 0 .令X =乙+Z2X2 =Z^ -Z2 < X3 - Z3IIIIHIH[X n = Zn它是非退化线性变换，且使f(X i，X2, ilLx n) =2a i2X i X2 +III= 2a i2(Z i +z2)(Z i -Z2)+川= 2a i2Z i2-2a i2Z22+ill2这时，上式右端是Z i，Z2，ilLz n的二次型，且Z i的系数不为零，属于第一种情况，定理成立.(3) aii =ai2 =i|( =ain = 0,由对称性知 a2i = a3i =j|| = ani = 0n n这时f(x 1，x 2J||，x n ^z a jj X j X j 是n-1元的二次型，根据归纳法假定，它能用非退化线i=2 j=2性替换变成平方和.证毕. 例8.2.2 用配方法化二次型2 2f(X i , X 2，X 3)=X I +2X 2 +5X 3 为标准形，并写出所用的非退化线性替换 解：由定理的证明过程，令得：f (X i ，X 2，X 3)=Z i 2+Z 22所有的非退化线性替换为X I 徉2 =Z2-2Z 3 1X 3 = Z3例8.2.3 用配方法化二次型f (X i ,X 2,X 3,X 4)=2X 1X 2 -X i X 3 +X ,X 4 —X 2X 3 +X 2X 4 -2X 3X 4为标准形，并写出所用的非退化性替换 解：由定理的证明过程，令X2 =% -y2 X 3 = y 3 X 4 = y 4代入原二次型得：+ 2X I X 2 +2x i X 3 +6x 2X 3y i =Xi +X 2 +X 3x i = yi- y 2 - y 3 “2 =X2=X3X 2 = y 2I[X 3 = y3得：f(X i ，X 2，X 3)=y i 2+y 22+4河3+4y上式右端除第一项外已不再含y i ，继续配方，令z i = y i “ Z 2 *2 +2y l z 3 = y3y i = z ij y 2 = Z2 -2z3(73 = Z3=Zi —Z2 +Z 32 2f (X i ，X 2，X 3, X 4)=2y i -2y 2-2y i y^2y i y^2y 3y 4这时y i 2项不为零，于是2 2 f(X i ，X 2，X 3，X 4)=(2y i -2y i y 3+2y i y 4)-2y 2 -2y 3y41 12 1 2 1 2 12= 2[(y i -尹3 十尹)"4^3 -- y 4 +尹3『4]-勿2 -如41 1 «2 1 2 1 2—劭知 2-寸3 fA-牛1 1 \2_21, .2 -尹+尹)—2y2 -3"5)=^44QQI Q于是，f (X 1，X 2，X 3, X 4)=2乙-2Z 2 --Z 32其中Z 42的系数为零，故没有写出.为求非退化线性替换，我们可将第二个替换代入第一个替换中 ，得X i =Zi 中 Z 2 +；Z 3 —Z 42 X 2 =Z i — Z 2 +1Z 3—Z 42 X3 =Z3 —Z4 X 4 = z4说明：在用配方法化二次型为标准形时，必须保证线性替换是非退化的.有时,我们在配方过 程中会遇到看似简单的方法，但得到的结果未必正确.如f (X ,，X 2，X 3)=2X ,2+2X 22+2X 32 -2^X 2 +2x^3 +2X 2X 3 = (X i -X 2)2 +(X i + X 3)2+(X 2 +X 3)2若令ly i =X i -X 2 (y 2 =xi +x 3 =X2 中= 2(%= 2(y i Z i=y i -2y 3 +*4 2 2 Z 2 Z 3=丫2中X3则 f(X i ,X 2,X 3)1 -1然而，所以，此处所作的线性替换是退化的，于是最后的结果并不是所求的2初等变换法将(2.2)式代入(2.1)式，得P m TtHP 2TP l TAP 1 P2H|P m= D(2.3)式表明，对对称矩阵 A 施行m 次初等行变换及相同的 m 次初等列变换,A 就变为了对角矩阵D .而(2.2)式表明对单位矩阵 E 施行上述的初等列变换,E 就变为可逆矩阵 C .这种利用矩阵的初等变换求可逆矩阵C 及对角矩阵D ，使得A 与D 合同的方法称为 初等变 换法.具体做法：对以n 阶对称矩阵 A 和n 阶单位矩阵E 做成的2门咒n 矩阵进行初等变换卜L — _M A 施行初等行变Tl E 丿对2n>^矩阵施行相同的初等列变换I C 丿=0由于二次型与对称矩阵 对应 ,所以能用非退化线性替换化标准形的过程也可以用矩阵的方法做到，由§ 8.1我们知道，矩阵合同可以将矩阵化为对角阵 .于是，定理8.2.1可以用矩阵的语言描述出来定理824数域P 上任意一个对称矩阵 A 都合同于一对角矩阵 D .即存在可逆矩阵C ,使f d id 2dn 丿(2.1)现在我们就根据定理 8.2.4,讨论用矩阵的初等变换来求定理8.2.4中的可逆矩阵 C 及对角矩阵D .由前面的知识 ，我们知道，可逆矩阵C 可以表示为有限个初等矩阵P 1, P 2」|(，P m的乘积，即C =P i P 2 川 P m = EP i P2H tP m(2.2)(2.3)解：二次型对应的矩阵为：(0-3-3于是有，例825 已知对称矩阵「1A =|1I 1用初等变换法求可逆矩阵C 及对角矩阵D ,使得A 与D 合同-1 -1 -110 10「3 2「2) C 3 卡-2)C 2-1-2所求可逆矩阵C 及对角矩阵「1-11、 1(10 0、C = 101 -2 ,D = 0 1 01卫 0 1 1 10 0 0 丿且 C TAC =D .例8.2.6 已知二次型f(X 1,X 2, X 3) =2X 1X 2 +2X 1X 3 -6X 2X 3用初等变换法将其化为标准形，并求非退化的线性替换|1D 为:故非退化线性替换为心1、”1〕X2=r 扌-11 1 y2 11这3丿(0 0 1丿“3丿这样，二次型化为f =2yj同不改变矩阵的秩，这样一来，任意一个对称矩阵合同的对角矩阵对角线上不为零的元素的 个数是不变的，就是矩阵的秩.因此，在一个二次型的标准形中，系数不为零的项的个数是唯在例8.2.6中，我们还可以进一步，令Z iMyi，Z 2-¥y2，z 3这说明，在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化的线性替换有关F 面只就实数域和复数域的情形来进一步讨论唯一性的问题g1 1、1 —2、"2—2、1 0 -3 10 -31 -电-2 1rH r 2-2 -3 0 「2 我;)「1 -2-2------------- 2—>1 -21C |卡21 0 0 1 c ^^_')C 122 11 0 0 1 011 011 20 0 1丿0 1丿1丿(A 〕(20 0、 <2 0 0 '0 1~2 -20 1 -2 0 0 -2 -20 0 6 1 1 一21 C H(-4)C2 1 1-23 1 121 1 1 2-1 0 X 0 1 > 0 0 1 > r3十1C3-^C ^§ 8.3惯性定理 我们知道，二次型与对称矩阵对应 ，并且对称矩阵可以合同化为对角矩阵 .又因为合一确定的，与所作的非退化的线性替换无关.至于标准形中的系数，就不是唯一确定的•比如则二次型化为 f =zj -Z?2+z32.设对称矩阵A的秩为r,则由定理824知，存在可逆矩阵C，使得矩阵f diA合同于对角矩C T AC =D =d r,d i 工0,i =12川，r即此时原二次型化为2 2 2 2f(X,,X2, IILX n) "1X1 +d2X2 "3X3 +川+d r X r (3.1) 在这些不为零的d i中,假设d^0, d2 > 0,川,d p》0;d p屮c 0,d叶2 <0」| dr <0这样(1)在实数域内，我们令% =阿％』2 =7^7x2,川,y p =7d p x p,yp卅=J-dpH1Xp卅，yp42 = J-dp^xp^JII,齐=7^人2 2 . 2 2 2则(3.1)式变为：f(X1,X2, Htx n) = y1 +y2 + lll+y p -yp+-y p七1||一齐这就是说对称矩阵A合同于下列对角矩阵：-1-1(2)在复数域内则(3.1)式变为：,其中有P个1, r-p个一1,n-r个0.,我们令% =7d?X1,y2 =7d?X2,lil,y r =7d7x rf(X1,X2,川,X n) = yj +y22+||| + y r2这就是说对称矩阵A合同于下列对角矩阵：H 二环％ +C 12y 2+川+久治Z 2 =C21y 1 +C 22y 2 +川 + jy n I lllllllll［召=Cn1y 1 +C n2y 2 + 川 +c nn y n因为p A q ,齐次线性方程组定义8.3.1 实二次型的 规范形.定理 8.3.2 ( f 1在实数域内， ,其中有r 个1.称 f(X 1,x 2, iHX n) = y 12 +y 22 +lll+y p 2— y 訂—y p 』ll —y r 2 为2 2 2规范形；在复数域内，称f(X 1,X 2，川,X n) = y 1 + y 2 +H|+y r 为复二次型的 惯性定理 ）设f （X i ,X 2，川，X n ）是一个n 元实二次型，且f 可化为两个规范形：2 , 2* +y 2中 Hi+y p —yp+ — y p 书川一齐， 乙2+Z 22 + |H+Z q 2—书 IH-z 2则必有 P=q .证明：用反证法.设P >q ，由前面知识知，+ y22+ilh y p 2—-yp Jil —yr 2 + Z22 +)11 + Zq 2—Z^H !—Z^glH —Zr22 y12―Z1(3.2)又设X = B y, X = CZ其中X2* ■f* ，y= y2i i ，Z = Z2pp p<Xn>』n 丿Zn丿于是，Z = C 'B y .令C iiC21IIC12 C22II Iypnl川 川II ICm IC2nIII Cnn 丿戸1% +切2中川+G ny n =0C21y1 +C22y2 +i||+C2n y n =0IIIHHII<Cq1y1 +C q2y2 +111+ C qn y n =0y p + =0IIIHHIIy =0必有非零解(n个未知数，n-(p-q)个方程式).令其中一个非零解为：y i =a i, y2 =a2,川，y p =a p, y+ =0J(|，Y n =0把这组解代入(3.2)式中的上式，得到：%2"2十I片y p2-y2十卜y r2=印2乜22+H| + a p2>0但这时Z1 =Z2 =Zq = 0,故(3.2)式中的下式为乙2乜2+11杵Z q2-审-III-Z r2=-事-山-Z r2兰0这样就得出了矛盾.同理可证P <q也不可能.于是p=q.证毕.说明：这个定理表明了实二次型的规范形是唯一的定义8.3.3 在实二次型的规范形f(x,，x2，|||，Xn) = yj +y22+||| + y p2-y2Hi-yp4JH—y r2中，则称r是该二次型的秩，P是它的正惯性指数，q = r - P是负惯性指数，s = p - q称为f的符号差.推论8.3.4两个实二次型合同当且仅当它们有相同的秩和正惯性指数定理8.3.5设f (X i,X2」|l|,X n)是一个n元复二次型，则f经过适当的非退化线性替换可以化为规范形，且规范形是唯一的.推论8.3.6两个复二次型合同当且仅当它们有相同的秩§ 8.4正定二次型在实二次型中，正定二次型占有特殊的地位.所以本节主要介绍实二次型，并讨论它们的正定性.定义8.4.1设f (X1,X2」||,X n) =x T A X是一个n元实二次型,如果对任意n维列向量x^O都有:>0,则称为正定二次型，并称实对称矩阵A为正定矩阵；<0,则称为负定二次型，并称实对称矩阵A为负定矩阵；>0,则称为半正定二次型，并称实对称矩阵A为半正定矩阵；<0,则称为半负定二次型，并称实对称矩阵A为半负定矩阵；既不满足（3）,又不满足（4）,则称f为不定二次型，并称实对称矩阵A为不定矩阵.例842已知A和B都是n阶正定矩阵，证明A+ B也是正定矩阵.证明：因为A和B都是n阶正定矩阵，所以A T = A, BB ,于是(A+B f = A T+ B T= A + B即A+B也是对称矩阵.又任意X H 0 ,有X T A X A 0, X T B X A 0,从而X T(A+ B)x = X T A X +X T B X A0即X T( A+B )x是正定二次型，故A+B是正定矩阵.定理8.4.3 n元实二次型f（X i,X2」||,X n） =X T A X正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n.设n元实二次型f （x i,X2^|,X nH x T A X经过非退化线性替换X = Cy化为标准形证明：nf=s d i y iizi充分性已知di :>0(i =12川，n),对于任意X HO有y = C 'x H 0 ,故nT* 2f =Z d i y i >0i zi必要性用反证法.假设有某个d t兰0，当取y = W t =（0,川，1,川,0）T时，有X = C NH。
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高等代数拓展内容之七
二次型理论发展史简介
二次型理论来源于解析几何中化二次曲线及二次曲面方程为标准方程问题，对二次型理论的研究始于18世纪中期。
1748年，瑞士数学家欧拉（Euler，1707-1783)讨论了三元二次型的化简问题。
1826年，数学家柯西开始研究化三元二次型为标准形问题。
他利用特征根概
念解决了n元二次型化简问题，并且证明了两个n元二次型f(x
1,x
2
,…,x
n
)=X T AX,
g(x
1,x
2
,…,x
n
)=X T BX可用非退化线性替换X=CY同时化成标准形。
1801年。
高斯 (Guass)在他的“算术研究”中引进了正定二次型等有关概
念。
1852年，西尔维斯特提出了惯性定律，即任何n元实二次型经过非退化线性替换总可以化成规范形
y 12+…+y
p
2-y
p+1
2-…-y
r
2
并且p，r是不变量，但是当时他没有给出证明。
1857年，雅可比证明了这个结果。
1858年，德国数学家维尔斯特拉斯 (Weierstrass，1815一1897)对同时化两个二次型成平方和给出一般方法。
他同时证明了如果二次型之一是正定的，即使某些特征根相等，这个结果也是对的。
1657年，费尔马指出方程x2-Ay2=1(A为非平方正整数)有无穷多整数解，后来，布龙克尔等人给出了求解的试验性方法，但对费尔马的断言没有给出证明。
1765
年，欧拉通过把
1766-1769年，拉格朗日证明了费尔马的结论，并给出一个求解方法，据此方法可得到方程的所有整数解。
更一般地，拉格朗日解出了方程ax2十2bxy十cy2十2dx+2ey+f=0的解，他是通过建立二元二次型的一般理论达到这个目的的。