几何辅助线之中点专题
初中数学几何辅助线添加技巧：中点模型的构造
初中数学几何辅助线添加技巧：中点模型的构造
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中点常见的联想路径：
1.已知任意三角形一边上的中点，可以考虑：
①倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形②三角形中位线定理
2.已知直角三角形斜边上中点，可以考虑构造斜边中线。
3.已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”
4.有些题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含中点，例如直角三角形中斜边中点，等腰三角形底边上的中点，当没有这些条件的时候，可以用辅助线添加。
中点常见的辅助线(八年级)
中点常见的辅助线中点经常所在的三角形：全等三角形等腰三角形：三线合一直角三角形：斜边上的中线、三角形的中位线：一、一个中点常见的辅助线(1）利用中点构建全等形：倍长中线至二倍，构建全等三角形(2）有中点联想直角三角形的斜边上的中线(3）由中点联想到等腰三角形的“三线合一”1、在△ABC中,AD是BC边上的中线，若AB=2，AC=4，则AD的取值范围是________．2、已知：如图，△ABC（AB≠AC）中,D、E在BC上，且DE=EC, 过D作DF∥BA 交AE于点F，DF=AC．求证：AE平分∠BAC．3、正方形ABCD中,E为CD的中点,B F⊥AE于F ,连接CF,求证;CF=CB4．如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，M为BD中点，N为AC中点，求证：MN ⊥AC．5．如图所示，在△ABC中,∠C=2∠B，点D是BC上一点，AD=5，且AD⊥AB，点E是BD的中点,AC=6.5,则AB的长度为_________．6、已知梯形ABCD 中，A D ∥BC,且AD+BC=AB ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE求证；(1)AE 平分∠BAD(2) BE 平分∠ABC（3)A E ⊥BE练习：1、已知正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，AE 平分∠BAF ．求证：AF=BC+CF6、在△ABC （AB ≠AC)中，在∠A 的内部任做一条射线，过B 、C 两点做此射线的垂线BE 和CF ，交此射线于E 、F ，M 为BC 的中点，求证：MD=ME ．等腰直角△ABC 和等腰直角△DCE 如图所示放置，M 为AE 的中点，连接DM 、BM,（1）求证:BM ∥CE（2)若AB=a,DE=2a,求DM 、BM 的长.A MED CBA二、两个或多个中点常见的辅助线：当图中有多个中点时，我们要细致分析图形特点,是否有直角三角形，等腰三角形，等边三角形，有时，要利用中点的性质分析，同时还要考虑中位线，(一)直接连接中点构建中位线：1．已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是BC、AD、BD、AC的中点．①求证:EF与GH互相平分；②当四边形ABCD的边满足_________条件时,EF⊥GH．（二)取三角形一边的中点,构建中位线：2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD的中点，且AC=BD．求证：OM=ON．（三)添加三角形的第三边，构建中位线:如图，已知E、F分别为△ABC的边AB、BC的中点，G、H为AC边上的两个三等分点，连EG、FH，且延长后交于点D,求证:四边形ABCD是平行四边形四、添加三角形的另一边并取中点，构建中位线：在四边形ABCD中，E、F、M分别是AB、CD、BD的中点，AD=BC．求证:∠EFM=∠FEM．如图，在四边形ABCD中，一组对边AB=CD，另一组对边AD≠BC,分别取AD、BC的中点M、N,连接MN．则AB与MN的关系是( ）A．AB=MN B．AB＞MN C．AB＜MN D．上述三种情况均可能出现已知：如图，在四边形ABCD中,AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN=∠F．五、条件中无中点时，完善图形得中位线:如图，△ABC 边长分别为AB=14,BC=16，AC=26,P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD,M 为BC 的中点,则PM 的值是_______．11．如图，自△ABC 顶点A 向∠C 与∠B 的角平分线CE 、BD 作垂线AM 、AN,垂足分别是M 、N ，已知△ABC 三边长为a 、b 、c,则MN=_______．在△ABC 中，∠B=2∠A ，C D ⊥AB 于D,E 为AB 的中点，求证：DE=21BC多个中点中点经常所在的三角形:等腰三角形：三线合一直角三角形：斜边上的中线、三角形的中位线:已知如图：在△ABC 中，AB 、BC 、CA 的中点分别是E 、F 、G ，AD 是高．求证：∠EDG=∠EFG ．（2015•广东模拟）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：（1）如图1所示在等腰△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 、AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连结MD 和ME ，求证:①AF=AG =21AB; ②MD=ME ．（2）在任意△ABC 中，仍分别以AB 、AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图2所示，M 是BC 的中点,连结MD 和ME ，试判断△MDE 的形状．（直接写答案，不需要写证明过程）．（3）在任意△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边,向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图3所示，M 是BC 的中点，连结MD 和ME ，则MD 与ME 有怎样的数量关系？6、△ABC 中, ∠CAB=120°，分别以AB 、AC 为边分别向外做正△ABD 和△ACE ，M 为AD 的中点，N 为AE 的中点，P 为BC 的中点，（1）求证：PM=PN（2）试求∠MPN 的度数变式一：△ABC 中， ∠CAB=120°,分别以AB 、AC 为边分别向外做等腰直角△ABD 和等腰直角△ACE,M 为AD 的中点，N 为AE 的中点,P 为BC 的中点, 求证：PM=PN变式二:△ABC 中， ∠CAB=120°,分别以AB 、AC 为边分别向外做等腰△ABD 和等腰△ACE ，M 为AD 的中点，N 为AE 的中点，P 为BC 的中点， 求证:PM=PN变式三：△ABC 中, ∠CAB=120°，分别以AB 、AC 为边分别向外做等腰△ABD 和等腰△ACE ，M 为BD 的中点,N 为CE 的中点,P 为BC 的中点， 求证：PM=PN2．如图，点P 为△ABC 的边BC 的中点，分别以AB ，AC 为斜边作Rt △ABD 和Rt △ACE ，且∠BAD=∠CAE ，求证:PD=PE ．2．如图，点O 为△ABC 内的一点,OD ⊥AB,OE ⊥AC ，∠1=∠2,F 为BC 的中点，链接FD 、FE,求证：FD=FE ．A D EMN P A B C DEM NP A F DE OCB 1 2。
初中数学辅助线添加秘籍-一、中点的应用
一、中点的应用1、已知任意三角形一边上的中点：01、倍长中线和类中线构造全等三角形。
作用：a全等b平行线c把分散的线段转移到一个三角形中02、三角形中位线定理。
2、已知直角三角形斜边中点，考虑构造斜边中线。
3、已知等腰三角形底边中点，考虑与顶点连接，用“三线合一”。
4、挖掘题目隐含中点。
1如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，求证：AB+AC＞2AD.2如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，延长BE交AC于F，AF=EF，求证：AC=BE.3如图,在中,,点D为BC中点,点E、F分别为AB、AC上的点,且.以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形?若能,请判断此三角形的形状.4、如图,在中,BE、CF分别为边AC、AB上的高,D为BC的中点,于M.求证:.5、已知:和都是直角三角形,且.如图甲,连接DE,设M为DE的中点.(1)说明:;(2)设,固定,让绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置,试问:是否还能成立?并证明其结论.6、(1)如图1,在四边形ABCD中,E、F分别是BC、AD的中点,连接EF并延长,分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则,求证:(2)如图2,在中,点O是BC边的中点,D是AC边上一点,E是AD的中点,直线OE交BA的延长线于点G,若,,求OE的长度.(3)如图，四边形ACBD中，AB与CD交于点O，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，试判断△OMN 的形状.(4)如图，在△ABC中，AC>AB，D点在AC上，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于G，若∠EFC ＝60°，连结GD，判断△AGD的形状并证明．7、如图在△ABC中, AB＝AC, CE是AB边上的中线, 延长AB到D, 使BD＝AB, 连结CD,证明CD＝2CE.1、证明：延长AD至点E，使ED=AD，连接CE，如图所示：∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD.在△ABD和△ECD中，AD=ED，∠ADB=∠EDC，BD=CD，∴△ABD≌△ECD.∴AB=EC.在△ACE中，∵AC+EC＞AE=2AD，∴AB+AC＞2AD.2、证明：如图，延长AD到点G，使得AD=DG，连接BG∵AD是BC边上的中线(已知)，∴DC=DB，在△ADC和△GDB中，AD＝DG∠ADC＝∠GDB(对顶角相等)DC＝D ∴△ADC≌△GDB(SAS)，∴∠CAD=∠G，BG=ACB∵AF=EF，∴∠FAE=∠AEF，∵∠BED=∠AEF，∴∠BED=∠FAE，即：∠BEG=∠CAD，∴∠BEG=∠G∴BE=BG ∴AC=BE3、:作,与FD延长线交于G,连接EG,,,,在和中,,,,,,,,,,为直角三角形,、EF、FC为边能构成一个三角形,且为直角三角形. 4、证明:连接DE,DF,、CF分别为边AC、AB上的高,D为BC的中点,,,,即是等腰三角形.,点M时EF的中点,即.5证明：延长CM、DB交于G，∵△ABD和△ACE都是直角三角形，∴CE∥BD，即CE∥DG，∴∠CEM=∠GDM，∠MCE=∠MGD又∵M是DE中点，即DM=EM，∴△ECM≌△DMG，∴CM=MG，∵G在DB的延长线上，∴△CBG是Rt△CBG，∴在Rt△CBG中，BM= CG=CM.证明:(1)作点M作于点P,..为DE的中点,,是BC的中垂线,;(2)成立.取AD、AE的中点F、G,连接BF、MF、MG、CG显然线段MG、MF都是的中位线,四边形MFAG是平行四边形,,,,又,斜边中线,,,,,,,.6(1)证明:连结BD,取DB的中点H,连结EH、FH.、F分别是BC、AD的中点,,,,,,,;(2)解:连结BD,取DB的中点H,连结EH、OH,,,,,,是等边三角形,,.(3)首先取BD的中点G，连接EG，FG，则由E，F分别是BC，AD的中点，所以EG，FG分别是△CDB，△ADB的中位线，则由三角形的中位线定理得EG∥CD，EG＝12CD；FG∥AB，FG＝12AB；又由AB＝CD，所以EG＝FG，所以∠GFE＝∠GEF，又由EG∥CD，FG∥AB，所以∠G FE＝∠ONM，∠OMN＝∠GEF，所以∠OMN＝∠ONM，所以OM＝ON，即△OMN是等腰三角形.【答案】解：△OMN是等腰三角形；理由：如图，先取BD的中点G，连接EG，FG，∵E，F分别是BC，AD的中点，∴EG，FG分别是△CDB，△ADB的中位线，∴EG∥CD，EG＝12CD；FG∥AB，FG＝12AB；又∵AB＝CD，∴EG＝FG，∴∠GFE＝∠GEF，又∵EG∥CD，FG∥AB，∴∠GFE＝∠ONM，∠OMN＝∠GEF，∴∠OMN＝∠ONM，∴OM＝ON，即△OMN是等腰三角形.故答案为：△OMN是等腰三角形.(4)连接bd，k为bd的中点，连接fk、ek7、证法一: 取DC的中点为F, 联结BF, 则BF AC,又BE＝AB AB＝AC ∴BF＝BE∠FBC＝∠BCA＝∠ABC又∵ BC＝BC∴△FBC≌△EBC∴ FC＝CE即 CD＝2CE证法二: 延长CE到F, 使EF＝CE, 连结FB∵ CE为△ABC中线∴ BE＝AE又∠1＝∠2∴△FBE≌△CAE∴ FB＝AC ∠3＝∠A∵ AB＝AC＝BD∴ FB＝BD ∠ABC＝∠ACB ∠3+∠ABC＝∠A+∠ACB 即∠FBC＝∠DBC又∵ BC公用∴△FBC≌△DBC∴ FC＝DC又∵ FC＝2CE∴ CD＝2CE。
中考几何辅助线专题---遇到中点时的辅助线
第一节等腰底中垂分解题方法技巧1.等腰三角形中有底边中点或证是底边中点时，常连底边中线，利用等腰三角形“三线合一”性质证题2.有中点时，也可过中点作垂线，构造垂直平分线，利用垂直平分线上的点和线段两个端点距离相等证题如图，在ABC中，AB=AC,取BC中点D，连接AD,则AD是BAC∠的平分线，又是BC边上的高和BC边上的中线，这样为证明题目增添了很多条件。
例1 已知：如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线上一点且AC=CE,F为AE的中点。
求证：BF FD⊥.例2 如图，AB=AE,ABC AED∠=∠,BC=ED,点F是CD的中点（1）求证：AF CD⊥（2）在你连接BE后，还能得出什么新结论？请写出三个（不要求证明）。
练习 1.如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN AC⊥于点N，则MN等于（）A 65B95C125D1652.已知：如图，在等腰ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过A的直线MN//BC,在直线MN 上点A的两侧分别取点E,F且AE=AF.求证：DE=DF.3. 已知:如图，在等腰ABC 中，AB=AC,D 是BC 的中点，过A 作,,AE DE AF DF ⊥⊥且AE=AF.求证：EDB FDC ∠=第二节 斜边中 是一半解题方法技巧直角三角形中，有斜边中点时常作斜边中线；有斜边的倍分关系线段时，也常常作斜边中线如图，在Rt ABC 中，D 为斜边AB 的中点，连接CD ，则得CD=AD=BD,从而构造出等腰三角形。
如图，在Rt ABC 中，AB=2BC,作斜边AB 的中线CD ，则得相等的线段AD=BD=CD=BC,从而得到BCD 为等边三角形，为研究等边三角形，求角的大小提供了条件。
例 如图，在Rt ABC 中，AB=AC,90BAC ∠=︒,O 为BC 的中点。
（1） 写出点O 到ABC 的三个顶点A,B,C 的距离的关系：（不需证明）（2） 如果点M,N 分别在线段AB,AC 上移动，在移动中保证AN=BM,请判断OMN 的形状，并证明你的结论。
2025年中考数学二轮复习几何模型突破课件：模型1中点辅助线作法
A．6
B．5.5
C．6.5
D．5
【解析】连接BE.∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°.∵AD＝12，E为
1
AD 的 中 点 ， ∴ AE ＝ AD ＝ 6. ∵ AB ＝ 8 ， ∴ 在 Rt△ABE 中 ， BE ＝
2
2 ＋ 2 ＝10.∵G，H分别为EF，BF的中点，∴GH是△BEF的中位
1
1
BD.∵BD⊥AC，AE＝BD，∴EF⊥AC，EF＝ AE，∴∠CFE＝∠AFE
2
2
＝90°，∠EAF＝30°，∴∠AEF＝60°.又∵∠C＝55°，∴∠CEF＝
35°，∴∠AEB＝180°－∠AEF－∠CEF＝85°.故选D.
2.如图，菱形ABCD的对角线BD的长为8，E，F分别是AD，CD边的中
点，连接EF.若EF＝3，则菱形ABCD的面积是( A )
A．24
B．20
C．12
D．6
【解析】连接AC.∵E，F分别是AD，CD边上的中点，即EF是△ACD的中
1
1
位线，∴AC＝2EF＝6，∴S菱形ABCD＝ AC·BD＝ ×6×8＝24.故选A.
2
2
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，E为AD的中点，F为CD边上
AD，∠B＝∠DCB，∠A＝∠ACD
模型
总结
当遇等腰三角形底边上的中点
当遇直角三角形斜边上的
时，考虑作底边上的中线，利用 中点时，考虑作斜边上的
“三线合一”解题
中线
例2
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为边AC的中
点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F，连接EF.若AE＝4，
中考数学点对点-几何问题辅助线添加技巧(解析版)
专题29 几何问题辅助线添加技巧专题知识点概述全国各地每年的中考试卷里都会出现考查几何的证明和计算问题，在解答试题过程中，我们发现当题设条件不够，必须添加辅助线，把分散条件集中，建立已知和未知的桥梁，结合学过的知识，采用一定的数学方法，把问题转化为自己能解决的问题。
学会添加辅助线技巧，是培养学生科学思维、科学探究的重要途径。
所以希望大家学深学透添加辅助线的技巧和方法。
一、以基本图形为切入点研究添加辅助线的技巧策略1.三角形问题方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。
含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。
方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。
方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。
2.平行四边形问题平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形；（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线；（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形；（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。
3.梯形问题梯形是一种特殊的四边形。
它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。
初三几何2中点辅助线中位线教师.docx
2015年中考解决方案构造中位线学生姓名：X X X上课时间:2014 x xxx构造中位线自检自查必考点知识点一中点一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边.直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形二、与中点有关的辅助线秘籍一：倍长中线解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段, 从而达到将条件进行转化的目的。
秘籍二：构造中位线解读：凡是岀现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。
秘籍三：构造三线合一解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口秘籍四：构造斜边中线解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现 两个等腰三角形，从而转化线段关系。
/中考满分必做题—、构造三角形中位线抄考点说明：①凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直 角三角形斜边中点或其他线段中点，②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。
“题中有中点，莫忘中位线"・与此很相近的几何思想是“题中有中线，英忘加倍延"，这两个是常用几何思 想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来.平移也有类似功效.【练1】如右下图，在AA3C 中，若= AD 丄BC , E 为边的中点.求证：AB = 2DE .【答案】如右下图，则取AC 边中点F,连结EF 、DF .由中位线可得，EF=」AB JL ZB = ZCEF . DF 为RtAADC 斜边上的中线，・\ DF = CF .A ZCDF = ZC ,又ZDFE + ZFDE = ZCEF ,即ZC + ZDFE = 2ZC ,其他位置的也要能看出他位置的也要能看出【例1】 已知：AD 是△ABC 的中线，AE 是的中线，且求证：AC = 2AE.72 7 2 2 故 DF = DE .再证△ ADE^/\ADF ,得 AE=AF./. ZDFE = ZEDF ,・*. DE = EF =^AB ,・\ AB = 2DE .【练2】在厶ABC屮，CD、AE分別为AB、BC边上的高，ZB = 60°,求证：DE = -AC.【考点】三角形的中位线，30。
专题——中点的妙用(初三数学)
方法专题:中点的妙用联想是一种非常重要的数学品质。
善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。
同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢学习完这个专题后，能给你带来一定的启示。
看到中点该想到什么1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；5、有中点时常构造垂直平分线；6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；7、倍长中线8、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”中点辅助线模型一、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质1、如图1所示，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于（ ）A ．65B ．95C ．125 D ．165二、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”2、如图，在Ｒｔ⊿ABC 中，∠A=90°,AC=AB,M 、N 分别在AC 、AB 上。
且AN=为斜边BC 的中点.试判断△OMN 的形状，并说明理由.3、如图，正方形ABCD 的边长为2, 将长为2的线段QF 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A D CB A →→→→滑动到点A 为止，同时点F 从点B 出发，沿图中所示方向按B A D C B →→→→滑动到点B 为止，那么在这个过程中，线段QF 的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（ ）A. 2B. 4－πBC 第8题图QFMC.πD.1π-三、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”4、（直接找线段的中点，应用中位线定理）如图，已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC=BD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，MN 分别交BD 、AC 于点E 、F.你能说出OE 与OF 的大小关系并加以证明吗5、（利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理）如图所示，在三角形ABC 中，AD 是三角形ABC ∠BAC 的角平分线，BD ⊥AD ，点D 是垂足，点E 是边BC 的中点，如果AB=6,AC=14，求DE 的长6、（利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中图2-1FEDMNCB A位线定理）如图所示，AB ∥CD ，BC ∥AD ，DE ⊥BE ，DF=EF ，甲从B 出发，沿着BA 、AD 、DF 的方向运动，乙B 出发，沿着BC 、CE 、EF 的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B 出发，则谁先到达F 点7、（综合使用斜边中线及中位线性质，证明相等关系问题）如图，等腰梯形ABCD 中，CD ∥AB ，对角线AC 、BD 相交于点O ，60ACD ∠=︒，点S 、P 、Q 分别是DO 、AO 、BC 的中点.求证：△SPQ 是等边三角形。
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几何辅助线之中点专题看到中点该想到什么？
1．两条线段相等，为全等提供条件
2．中线平分三角形的面积
3．倍长中线
4．中位线
5．斜边上的中线是斜边的一半
典型例题
【例1】在△ABC中，AB=12，AC=20，求BC边上的中线AD的范围。
【例2】已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF=EF,求证:AC=BE.
【例3】在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且ED⊥FD.以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形还是直角三角形，或者是钝角三角形？
【例4】在△ABC中，BE、CF分别为边AC、AB上的高，D为BC的中点，DM⊥EF于点M.求证：FM=EM
【例5】已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°.连接DE,设M为DE 的中点，连接MB、MC.求证：MB=MC
【例6】已知：△ABC中， AB=AC,CE是AB边上的中线，延长AB到点D,使BD=AB.求证：CD=2CE.
【例7】在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上的中点，过点D作DE⊥DF,交AB于点E,交BC于点F. 若AE=4，FC=3，求EF的长。
课后练习
1、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且AC=BE，延长BE交AC 于点F，AF与EF相等吗？为什么？.
2、已知在△ABC中，AD交BC于点D,点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F,交AB于点G,若AD为△ABC的角平分线，求证：BG=CF
3、已知M为△ABC中BC边上的中点，∠AMB、∠AMC的平分线分别交AB、AC于点E、F,连接EF.求证：BE﹢CF﹥EF
4、在△ABC 中，D 是BC 的中点，DM ⊥DN ,如果BM ﹢CN =DM +DN ，求证：
2221
)4
(AD AB AC =+
5、如图所示，在△ABC 中，AC ＞AB ，M 为BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，若 CF ⊥AD 且交AD 的延长线于F ， 求证：MF ＝
1
2
(AC －AB )。
6、如图所示，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 的中点，ME ⊥AD 且交AC 的延长线于E ，CD ＝2CE ，求证：∠ACB ＝2∠B 。
7、(2008北京)如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P 是线段DF的中点，连结PGPC。
若∠ABC＝∠BEF＝60°，
⑴探究PG与PC的位置关系及PG
PC
的值。
⑵将上图中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD 的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变(如图)。
你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明。