吉林大学工程数学计算方法第三章习题答案word资料9页
计算方法_课后习题答案
(4.5)(0.01172)
0.00879
（2）采用 Newton 插值多项式 y x N2(x) 根据题意作差商表：
i
xi
0
4
1
6.25
f (xi ) 2 2.5
一阶差商 2 9
2
9
3
2 11
二阶差商 4 495
N2 (7) 2 29 (7 4) ( 4 495) (7 4) (7 6.25) 2.6484848
1
e2
则根据二次Lagrange插值公式得：
L2 (x)
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
y0
(x ( x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
y1
(x ( x2
x0 )(x x1) x0 )(x2 x1)
y2
2(x 1)(x 0.5) 2x(x 0.5)e1 4x(x 1)e0.5
8. 求作 f x xn1 关于节点 xi i 0,1, , n 的 Lagrange 插值多项式，并利用
插值余项定理证明
n
n
xin1li 0 1n xi
i0
i0
式中 li x 为关于节点 xi i 0,1, , n 的 Lagrange 插值基函数。
2 02 12 4 23 4 04 14 2 3
1 x2 3x 2 x 4 3x x2 6x 8 23 x x2 5x 4 1 x x2 3x 2
8
4
8
计算方法第三章习题答案
计算方法第三章习题答案计算方法第三章习题答案计算方法是一门涵盖了数值计算和计算机编程的学科，它在现代科学和工程中扮演着重要的角色。
第三章是计算方法课程中的重要章节，主要涉及到数值计算中的误差分析和插值方法。
本文将为大家提供第三章习题的详细答案，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
1. 误差分析误差分析是计算方法中非常重要的一部分，它帮助我们理解和评估数值计算中的误差来源。
以下是一些常见的误差类型：- 绝对误差：绝对误差是指数值计算结果与真实值之间的差异。
它可以通过计算两者之差来得到。
- 相对误差：相对误差是指绝对误差与真实值之间的比值。
通常以百分比的形式表示。
- 截断误差：截断误差是由于在计算过程中舍入或截断数字而引入的误差。
它通常是由于计算机的有限精度导致的。
- 舍入误差：舍入误差是由于将无限位数的小数截断为有限位数而引入的误差。
它通常是由于计算机的有限精度或计算方法的近似性质导致的。
2. 插值方法插值方法是一种用于通过已知数据点来估计未知数据点的技术。
以下是一些常见的插值方法：- 线性插值：线性插值是一种简单的插值方法，它假设两个已知数据点之间的未知数据点的取值在直线上。
通过已知数据点的斜率和截距，我们可以计算出未知数据点的值。
- 拉格朗日插值：拉格朗日插值是一种使用多项式来逼近已知数据点的方法。
它通过构造一个满足通过已知数据点的多项式来估计未知数据点的值。
- 牛顿插值：牛顿插值是一种使用差商来逼近已知数据点的方法。
它通过构造一个满足通过已知数据点的差商多项式来估计未知数据点的值。
3. 习题答案以下是一些第三章习题的答案，供大家参考：- 习题1：已知函数f(x)在区间[a, b]上连续，且在[a, b]上的导数存在且连续，证明存在一点c∈(a, b)，使得f(b) - f(a) = (b - a)f'(c)。
这是拉格朗日中值定理的一个特例，根据定理的条件，我们可以得到上述结论。
- 习题2：已知函数f(x)在区间[a, b]上连续，且在(a, b)内可导，证明存在一点c∈(a, b)，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
计算方法-刘师少版第三章课后习题完整答案
⎡2 1 − 1⎤ ⎡ 1 ⎢4 − 1 3 ⎥ = ⎢l ⎢ ⎥ ⎢ 21 ⎢ ⎥ − 6 9 1 ⎣ ⎦ ⎢ ⎣l 31
1 l32
⎤ ⎡u11 ⎥⎢ ⎥⎢ 1⎥ ⎦⎢ ⎣
u12 u 22
u13 ⎤ u 23 ⎥ ⎥ u 33 ⎥ ⎦
将右端两矩阵相乘后比较两端，可得
l 2 = b2 − a 2 u1 = 4 −
1 15 = 4 4
u 2 = c2 / l2 = −
由
4 , 15
l3 = b3 − a3u 2 = 4 −
4 56 = 15 15
⎤ ⎡ ⎢4 0 0 ⎥ ⎡ y1 ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎥ ⎢ 15 y2 ⎥ =⎢ 0 ⎥⎢ 4⎥ ⎢− 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 4 ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢10⎥ ⎢ 56 ⎥⎣ 3 ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ −1 ⎢ 15 ⎥ ⎦ ⎣
−1
消元
0 .5 1 .5 2 .5 0 .5 2 .5 1 .5 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 3 2
1 2 3 0 0 1 0 0 1 1
0 1 0
0 .5
− 0 .5 − 0 .5
0.5
0 ⎤ 0 ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎦ 0 ⎤ 1 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦
列选主
− 0.5 − 0.5
6
消元
0 .4 1 .2 0 .2
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
得
3 2 3 3
0 2 3 − 6
0 ⎤ ⎡ y ⎤ ⎡5⎤ ⎥ 1 0 ⎥⎢ 3⎥ y2 ⎥ =⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ 7 y ⎦ ⎣ 3⎦ ⎣ ⎥ 3⎥ ⎦ 1 6 1 3
y1 =
再由
5 3
,
计算方法习题答案
计算方法习题答案在数学和工程领域，计算方法是指解决数学问题的一系列算法和程序。
以下是一些常见的计算方法习题及其答案。
习题1：求解线性方程组考虑线性方程组：\[ \begin{align*}3x + 2y &= 7, \\4x - y &= 5.\end{align*} \]答案：使用高斯消元法，我们首先将第二个方程乘以2，然后从第一个方程中减去得到：\[ \begin{align*}3x + 2y &= 7, \\0x + 9y &= 17.\end{align*} \]解得 \( y = \frac{17}{9} \)。
将 \( y \) 的值代入第一个方程，解得 \( x = 1 \)。
因此，解为 \( x = 1, y = \frac{17}{9} \)。
习题2：数值积分给定函数 \( f(x) = x^2 \)，求在区间 [0, 1] 上的积分。
答案：使用梯形法则进行数值积分，取两个子区间：\[ \int_{0}^{1} x^2 dx \approx \frac{1}{2} \left( f(0) + f(1) \right) = \frac{1}{2} \left( 0 + 1 \right) = 0.5. \]习题3：求解常微分方程的初值问题考虑初值问题：\[ y' = 3x^2 - 2y, \quad y(0) = 1. \]答案：使用欧拉方法，取步长 \( h = 0.1 \)，计算 \( y \) 的值：\[ y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n). \]从 \( y_0 = 1 \) 开始，计算得到：\[ y_1 = 1 + 0.1(0 - 2) = 1.2, \]\[ y_2 = 1.2 + 0.1(0.01 - 2.4) = 1.4, \]以此类推，可以得到 \( y \) 在区间 [0, 1] 上的近似值。
习题4：数值解非线性方程给定方程 \( f(x) = x^3 - x - 1 = 0 \)，求根。
计算方法第三章习题答案
第三章习题解答1.试讨论a 取什么值时，下列线性方程组有解，并求出解 。
123123123123212312311(1)1(2)1ax x x ax x x x ax x x ax x a x x ax x x ax a⎧++=++=⎧⎪⎪++=++=⎨⎨⎪⎪++=++=⎩⎩ 解：(1)111111111a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 经初等行变换化为1001/(2)0101/(2)0011/(2)a a a +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦当2a ≠-时，方程组有解，解为111(,,).222Tx a a a =+++ (2)21111111a A a a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 经初等行变换化为2100(1)/(2)0101/(2)001(21)/(2)a a a a a a -++⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦当2a ≠-时，方程组有解，解为21121(,,).222Ta a a x a a a +++=-+++2.证明下列方程组Ax=b12341123421233234432432385x x x x b x x x x b x x x b x x x b+--=⎧⎪-+-=⎪⎨+-=⎪⎪-+-=⎩ 当（1）(10,4,16,3).T b =-时无解；（2）(2,3,1,3).T b =时有无穷多组解。
解：(1) r(A)=3≠r(A,b)=4 当(10,4,16,3).T b =-时无解；(2) r(A)=3,r(A,b)=3 当(2,3,1,3).T b =时有无穷多组解。
3.用列主元高斯消元法求解Ax=b2233(1)477,12457A b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ 1231(2)234,13462A b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(1)x=(2,-2,1)T (2)x=(0,-7,5)T4.证明上（下）三角方阵的逆矩阵任是上（下）三角方阵。
计算方法课后习题集规范标准答案
习 题 一3.已知函数y =4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函解：0120124, 6.25,9;2, 2.5,3y x x x y y y =======由题意 （1） 采用Lagrange插值多项式220()()j j j y L x l x y ==≈=∑27020112012010*********()|()()()()()()()()()()()()(7 6.25)(79)(74)(79)(74)(7 6.25)2 2.532.255 2.25 2.75 2.7552.6484848x y L x x x x x x x x x x x x x y y y x x x x x x x x x x x x ==≈------=++------------=⨯+⨯+⨯⨯-⨯⨯= 其误差为(3)25(3)25(3)2[4,9]2()(7)(74)(7 6.25)(79)3!3()83max |()|40.0117281|(7)|(4.5)(0.01172)0.008796f R f x x f x R ξ--=---==<∴<=又则（2）采用Newton插值多项式2()y N x =≈ 根据题意作差商表：224(7)2(74)()(74)(7 6.25) 2.64848489495N =+⨯-+-⨯-⨯-≈4. 设()()0,1,...,k f x x k n ==，试列出()f x 关于互异节点()0,1,...,i x i n =的Lagrange 插值多项式。
注意到：若1n +个节点()0,1,...,i x i n =互异，则对任意次数n ≤的多项式()f x ，它关于节点()0,1,...,i x i n =满足条件(),0,1,...,i i P x y i n ==的插值多项式()P x 就是它本身。
可见，当k n ≤时幂函数()(0,1,...,)kf x x k n ==关于1n +个节点()0,1,...,i x i n =的插值多项式就是它本身，故依Lagrange 公式有()00(),0,1,...,nn n k kk i j j j j j i j ii jx x x l x x x k n x x ===≠-=≡=-∑∑∏特别地，当0k =时，有()0001nn n ij j j i j ii jx x l x x x ===≠-=≡-∑∑∏而当1k =时有()000nnn ij j j j j i j ii jx x x l x x x x x ===≠⎛⎫- ⎪=≡ ⎪- ⎪⎝⎭∑∑∏ 5.依据下列函数表分别建立次数不超过3的Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。
《工程数学-复变函数与积分变换》吉林大学数学学院 习题详解
《工程数学-复变函数与积分变换》课后习题详解大学数学学院 （主编：王忠仁 静）高等教育 习题一（P12）1.1 对任何z ，22z z =是否成立？如果是，就给出证明。
如果不是，对哪些z 值才成立？解：设z x iy =+，则2222z x y xyi =-+，222z x y =+；若22z z =成立，则有22222x y xyi x y -+=+，即222220x y x yxy ⎧-=+⎨=⎩，解得0y =，即z x =。
所以，对任何z ，22z z =不成立，只对z 为实数时才成立。
1.2 求下列各式的值：（1）5)i ； （2）6(1)i +； （3； （4）13(1)i -。
解：（162ii eπ-=，所以555556661)223232())2i i i i e e e i i πππ--⨯-⎛⎫====-=- ⎪⎝⎭（2）因为41ii e π+=，所以63663442(1)288i i i e e e i πππ⨯⎫+====-⎪⎭（3）因为1cos sin i ππ-=+，所以()1622cos sin cossin66k k k w i i ππππππ++==+=+，其中0,1,2,3,4,5k =；即01cossin6622w i i ππ=+=+，1cos sin 22w i i ππ=+=，2551cossin 662w i i ππ=+=+，3771cos sin 662w i i ππ=+=-，433cossin 22w i i ππ=+=-，511111cos sin 662w i i ππ=+=-。
（4）因为1cos()sin()44i i ππ⎤-=-+-⎥⎦，所以11362244(1)2cos sin 33k k k w i i ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥=-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中0,1,2k =；即1602cos()sin()1212w i ππ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，161772cos sin1212w i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，162552cos sin 44w i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦。
工程数学作业3参考答案
工程数学作业3参考答案工程数学作业3参考答案在工程数学中，作业是帮助学生巩固所学知识的重要环节。
作业3是一个综合性较强的作业，涉及到多个概念和技巧。
本文将为大家提供一份参考答案，帮助大家更好地理解和掌握工程数学的相关内容。
1. 题目一：求解微分方程给定微分方程 dy/dx = 2x，求解其通解。
解答：首先将方程分离变量，得到 dy = 2x dx。
然后对两边同时积分，得到∫dy = ∫2x dx。
对右边进行积分，得到 y = x^2 + C，其中C为常数。
所以方程的通解为 y = x^2 + C。
2. 题目二：求解线性方程组给定线性方程组：2x + 3y = 54x + 6y = 10求解该线性方程组的解。
解答：首先将方程组写成增广矩阵的形式：[2 3 | 5][4 6 | 10]然后对增广矩阵进行行变换，目标是将矩阵化简为上三角形式。
通过第一行乘以2再减去第二行，得到新的矩阵：[2 3 | 5][0 0 | 0]由于第二行全为0，说明该线性方程组有无穷多个解。
我们可以令x = t，其中t 为任意实数，然后代入第一行方程求解y。
所以该线性方程组的解为：x = ty = (5 - 2t)/33. 题目三：求解极限求极限 lim(x->0) [(sinx)/x]。
解答：将极限表达式化简为不定型，得到 lim(x->0) [(sinx)/x] = 1。
这是一个常见的极限结果，被称为正弦函数的极限。
4. 题目四：求解定积分求解定积分∫(0 to π/2) sinx dx。
解答：对于这个定积分，可以直接使用定积分的性质进行求解。
根据定积分的定义，我们有∫(0 to π/2) sinx dx = [-cosx] (0 to π/2) = -cos(π/2) - (-cos(0)) =-1 - (-1) = 0。
5. 题目五：求解常微分方程的特解给定常微分方程 y'' - 4y' + 4y = 0，求解其特解。
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第三章习题答案1.分别用梯形公式、Simpson 公式、Cotes 公式计算积分1,I =⎰并估计误差。
解：1）用梯形公式有： 事实上， 2）Simpson 公式事实上，()()()110.50.510.5410.000030462S E f f f f -⎡+⎤⎛⎫=-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰3）由Cotes 公式有： 事实上，()0.0000003C E f =2．证明Simpson 公式()2.8具有三次代数精度。
证明：而当()4f x x =时左侧：()()45515b b f x dx x dx b a a a ==-⎰⎰ 右侧：左侧不等于右侧。
所以Simpson 具有三次代数精度. 3.分别用复化梯形公式和复化公式Simpson 计算下列积分.(1)21,804x dx n x =+⎰，（3）,4n =⎰，6,sin 4602=-⎰n d ϕϕπ解：（1）用复化梯形公式有：10188b a h n --===，()()[]12345672128888888102(0.0311280.0615380.0905660.117650.142350.164380.18361)0.20.111416n h T f a f f f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+⨯+++++++=由复化Simpson 公式有： 解：删去 解（3）：,4n =⎰由复化梯形公式有： 由复化Simpson 公式有：（4）解：6,sin 4602=-⎰n d ϕϕπ由复化梯形公式： 由复化Simpson 公式：4．给定求积节点012113,,,424x x x ===试推出计算积分()10f x dx ⎰的插值型求积公式，并写出它的截断误差。
解：考虑到对称性，有20A A =，于是有求积公式由于原式含有3个节点，故它至少有2阶精度。
考虑到其对称性，可以猜想到它可能有3阶精度。
事实上，对3f x =原式左右两端相等：此外，容易验证原式对4f x =不准确，故所构造出的求积公式有3阶精度。
5．给定积分20sin I xdx π=⎰。
（1）利用复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过3110;2-⨯ （2）取同样的求积节点，改用复化Simpson 公式计算时，截断误差是多少？（3）如果要求截断误差不超过610-，那么使用复化Simpson 公式计算时，应将积分区间分成多少等分？解：(1) 33''''22()()()()1296nTb a E f f f n nπηη-=-=- 当误差3()0.510n T E f -≤⨯时，n ≥25.6, 所以取n =26。
（2）1S 4''''42E []()()()sin()n 180218022nh f f ππηη=-=-⨯⨯b-a 6．用Romberg 求积方法计算下列积分，使误差不超过510-。
（11x e dx -；（2）20sin x xdx π⎰；（3）3⎰;(4)12041dx x +⎰解（1）：dx ex⎰-12π计算可以停止。
解（2）：dx x x ⎰π20sin581116266125455244844483163381623222163264323232643103215255124444243833482162281632161616321501614244123433210105.9Y -Z 283185304.6Y 141Y 144Z ,283185304.6X 141X 144Y 283185304.6R 141R 144,283185304.6141144283185292.6141144,283188551.63134278137899.6)(21,293289853.6163216:]20[)(283185209.6141_144283185288.6141144,283185356.6141144283184528.6141144,283237428.63134262985945.6)(21,323740394.68168]20[)(283266463.6141144,283202742.6141144--==<⨯=-=---=-=---=-=---=-=---=-=---=-=-=-=+=-=⎪⎭⎫⎝⎛+=-=--=-=---=-=---=-=---=-=-=-=+=-=⎪⎭⎫⎝⎛+=-=---=-=---=∑∑X C C R S S C T T S H T T i f H ，g X X Y R R X C C R S S C T T S H T T i f H ，f R R X C C R i i ππππππππ六十四等分将三十二等分将（3）解:⎰+3021dx x x 解（4）:dx x ⎰+102147．推导下列三种矩形求积公式：证明：(1)将()f x 在x a =处Taylor 展开，得 两边在[,]a b 上积分，得(2)将()f x 在x b =处Taylor 展开，得 两边在[,]a b 上积分，得 (3)将()f x 在2a bx +=处Taylor 展开，得 两边在[,]a b 上积分，得8．如果()''0,f x >证明用复化梯形公式计算积分()bI f x dx a=⎰所得结果比准确值大，并说明其几何意义。
证明：复化梯形公式为若"()f x 在[,]a b 上连续，则复化梯形公式的余项为 由于2"()[,],f x C a b ∈且 所以(,)a b η∃∈使 则(1)式成为：又因为"()0,f x >所以2[]"()0.12Tn b a E f h f η-=-< 即用复化梯形公式计算积分()ba I f x dx =⎰所得结果比准确值大。
其几何意义：曲线()f x 在定义域内是向下凹的，即曲线在曲线上任两点连线的下方。
9．对()3f x dx ⎰构造一个至少具有三次代数精度的求积公式。
解：因为具有4个求积节点的插值型求积公式，至少有三次代数精度。
如果在[0,3]上取节点0，1，2，3，则插值型求积公式为：其中系数为 0nb ik a i k ii k x x A dx x x =≠-=-∏⎰同理求得 123993,,.888A A A === 即有：33993()(0)(1)(2)(3).8888f x dx f f f f ≈+++⎰10．判别下列求积公式是否是插值型的，并指明其代数精度： 解：插值型求积公式()()nbk k a k f x dx A f x =≈∑⎰ 其中 0nb ik ai k ii kx x A dx x x =≠-=-∏⎰则 3301002313,.122212x x A dx A dx --====--⎰⎰因此，33()[(1)(2)]2f x dx f f ≈+⎰是插值型的求积公式。
因其求积公式是插值型的，且存在2个节点，所以其代数精度至少是1。
对于2()f x x =时，可见它对于2()f x x =不准确成立，故该求积公式的代数精度是1。
11．构造下列求积公式，并指明这些求积公式所具有的代数精度： 解（1）：令原式对于()1,f x x =准确成立，于是有 解之得 0111,22A A ==， 于是有求积公式容易验证，它对于2()f x x =不准确成立，故该求积公式的代数精度是1。
解（2）：令原式对于23()1,,,f x x x x =准确成立，于是有解之得 01011111,,,.221212ααββ====-于是有求积公式 容易验证当4()f x x =时，501();5h f x dx h =⎰而可见，它对于4()f x x =不准确成立，故该求积公式的代数精度是3。
解(3)：令原式对于2()1,,f x x x =准确成立，于是有0100A A -A A 011223112023h dx h h A x h A x h ⎧+==⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩⎰解得: 01h 3A =,A =221,3hh x =于是有求积公式 13()()().223hh hf x dx hf h hf -≈-+⎰容易验证，当3()f x x =时，()0;hhf x dx -=⎰而 4134()().2239h hf h hf h -+=-可见，它对于3()f x x =不准确成立，故该求积公式的代数精度是2。
12. 利用代数精度方法构造下列两点Gauss 求积公式： 解（1）：令原式对于23()1,,,f x x x x =准确成立，于是有 利用(1)的第1式，可将第2式化为同样，利用第2式化简第3式，利用第3式化简第4式，分别得由(2)(3)(4)式消去101(),x x A -得 进一步整理 由此解出 0101510,.219x x x x =+= 解得：01010.821161913186,0.289949197925,0.3891110668436,0.27755599823.x x A A ====因此所求的两点Gauss 求积公式： 或依下面的思想：解（2）：令原式对于23()1,,,f x x x x =准确成立，于是有 利用(1)的第1式，可将第2式化为同样，利用第2式化简第3式，利用第3式化简第4式，分别得由(2)(3)(4)式消去101(),x x A -得 进一步整理 由此解出 010136,.357x x x x =+= 解得：01010.115587109995,0.741555747146,1.30429030972,0.695709690284.x x A A ====因此所求的两点Gauss 求积公式： 或依下面的思想：13．分别用三点和四点Gauss －Chebyshev 求积公式计算积分1I -=⎰，并估计误差。
解：(1)用三点(2)n =Gauss-Chebyshev 求积公式来计算：此时，11(6)2945()()(2),64f x f x x -==-+由公式可得：由余项可估计误差为 325945|[]| 2.0133510.26!64E f π-≤=⨯g (2)用四点(3)n =Gauss-Chebyshev 求积公式来计算：此时，15(8)2945143()()(2),644f x fx x -==-⨯⨯+由余项可估计误差为 437945143|[]| 3.2132710.28!644E f π-≤⨯⨯=⨯g 14．用三点Gauss Legendre -求积公式计算积分0cos x I e xdx π=⎰，并估计误差。