2.3公式法(2)
2.3用公式法求解一元二次方程第2课时教案
一、教学内容
本节课为“2.3用公式法求解一元二次方程”第2课时教案，依据人教版数学八年级上册教材，教学内容主要包括以下三个方面：
1.掌握一元二次方程的求根公式，即：
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
2.学会运用求根公式解决实际问题，特别是当判别式\(b^2 - 4ac\)大于、等于或小于0时的情况讨论。
此外，小组讨论环节中，我发现有的学生参与度不高，可能是因为他们对主题不够感兴趣，或者是在小组中缺乏足够的发言机会。针对这个问题，我计划在组织小组讨论时，更多地关注每个学生的参与情况，鼓励那些比较内向或不确定的学生发表自己的观点，让每个人都有机会表达自己的想法。
最后，从学生的提问和作业完成情况来看，我感到他们在计算过程中仍存在一些粗心大意的现象。为了提高学生的计算准确性，我打算在接下来的课程中，增加一些针对性的计算训练，并教导学生如何进行自我检查和同伴互评，以提高解题的正确率。
其次，判别式的概念及其与方程解的关系是本节课的一个重点和难点。我发现有些学生在判断判别式符号时容易出错，这说明对这个概念的理解还不够深入。在以后的教学中，我可以通过更多的实例和练习，让学生反复练习判别式的判断，同时强调其在解题过程中的重要性。
在实践活动中，学生们的讨论和实验操作都比较积极，但我也观察到有些小组在解决问题时思路不够清晰。这提示我在未来的活动中，应该更加注重引导学生如何有效地进行问题分析和解决。我可以通过提问和指导，帮助学生理清思路，提高他们解决问题的能力。
3.能够熟练运用求根公式求解一元二次方程，并对方程的解进行验证。
本节课将通过具体例题的讲解和练习，使学生更好地理解和掌握一元二次方程的公式法解法，提高解题能力。
2.3运用公式法2
C、x6-4x3y3+4y6 D、x4+x2y2+y4
5、把
1 4
x
2
3 x y 9 y 分解因式得
2
（
2
B
2
）
1 A、 4 x 3 y
B、
2
1 x 3y 2
6、把 A、
分解因式得 x y xy （ ） A 9 3
4
2
4
2 x y 3
2 2
是
2 2 xy x y 是 3 x 4 xy 4 y 是 4 a 6ab b 否
2 2 2 2
5x2 x1 Nhomakorabea是
6
a2
4 2 a b 4b 2 否
请补上一项，使下列多项 式成为完全平方式
1 x 3 x 4a
2
2 __ _ _ _x y _ _ y
因式分解——运用公式法
2、完全平方公式因式分解
上节课的回顾 练习:
(1) 3 x 4 y x 2 y
2 2
2 5 a
3
x 5a y
2 3
2
1、分解因式的结果是－（2x－y）（2x＋y）的是（ ） A、4x2－y2 B、4x2＋y2 C、－4x2－y2 D、－4x2＋y2
a 2ab b a 2ab b 我们把以上两个式子 叫做完全平方式
2 2
2
2
两个“项”的平方和加 上（或减去）这两“项” 的积的两倍
判别下列各式是不是 完全平方式
1x
2
2 xy y
2
2
是
2
2.3用公式法解一元二次方程(第2课时)-北师大版九年级数学上册教学案
北师大版数学九年级上册第二章第3节用公式法解一元二次方程（第2课时）导学案【教学目标】1．理解一元二次方程根的判别式；2．不解方程，会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等．教学重点：一元二次方程根的判别式教学难点：理解一元二次方程根的判别式【教学过程】[知识回顾：]一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式是：x ＝－b ±b 2－4ac 2a(其中b 2―4ac ≥0)． 这个公式成立的条件是：b 2―4ac ≥0．那么，有没有b 2―4ac ＜0的一元二次方程呢？如果有，这样的方程的解的情况又是怎样的？[问题探究：]对于方程x 2－2x ＋3＝0，有a ＝1，b ＝－2，c ＝3，得b 2―4ac ＝(－2) 2―4×1×3＝－8＜0,不满足b 2―4ac ≥0的条件，所以该方程不能用求根公式求解．事实上，将方程x 2－2x ＝―3，配方，得x 2－2x ＋1＝―3＋1，即(x －1) 2＝－2．∵x 取任何实数时，总有左边＝(x －1) 2≥0,而右边＝－2＜0,∴x 取任何实数时，都不能使(x －1) 2＝－2成立，即方程(x －1) 2＝－2无实数根．也就是方程x 2－2x ＋3＝0无实数根．[归纳总结，得出结论：]对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，(1) 当b 2―4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根，（x ＝－b ±b 2－4ac 2a） (2) 当b 2―4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根，（x 1＝x 2＝－b 2a） (3) 当b 2―4ac ＜0时，方程无实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的情况可以由b 2―4ac 来判定．我们把b 2―4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用“△”（读：delta ）来表示．[例1]不解方程，判断下列方程的根的情况：(1) 2x 2＋5＝7x ； (2) 4x (x －1)＋1＝0； (3) (x ＋1)(4x ＋1)＝2x ．[跟踪练习1]1．不解方程，判断下列方程的根的情况：(1) 5x 2＋x ＝7； (2) 25x 2＋20x ＋4＝0； (3) x 2－2x ＋3=0．[例2]若关于x的一元二次方程(k－1) x 2＋2x－2＝0有两个不相等实数根，求k的取值范围．[跟踪练习2]1．关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1B．m≥1C．m≤1D．m＞12．关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定3．已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋3＝0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是________．4．已知关于x的一元二次方程kx2－2(k＋1)x＋k－1＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围；5．关于x的一元二次方程(k－2)x2－2kx＋k＝6有两个实数根，求k的取值范围；[本课知识、方法总结：]1．我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，记作：△＝b2－4ac，(1)当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；即x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b―b2－4ac2a；(2)当△＝0时，方程有两个相等的实数根；即x1＝x2＝－b2a．(3)当△＜0时，方程无实数根．反过来也成立．[拓展延伸：]1．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏总长40m．(1) 鸡场的面积能达到180m2吗？(2) 鸡场的面积能达到200m2吗？(3) 鸡场的面积能达到250m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．（提示：设平行于墙的一边为x m）答案例1（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根；[跟踪练习1]1．（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程有两个不相等的实数根；例2 解：根据题意，得⎩⎨⎧△＝4－4×(－2)×(k －1)＞0k －1≠0 解得k ＞12且k ≠1． [跟踪练习2]1．D2．A3．k ＜－1144．k 的取值范围是k ＞－13且k ≠0． 5．k 的取值范围是k ≥32且k ≠2． [拓展延伸：]1．解：设平行于墙的一边长为x 米，则垂直于墙的一边长为40－x 2米，鸡场的面积为x ·40－x 2平方米． （1）当x ·40－x 2＝180时，解得 x 1＝20－210，x 2＝20＋210（不合题意，舍去）．∴鸡场的面积能达到180m 2，此时鸡场平行于墙的一边长为（20－210）米，垂直于墙的一边长为（10＋2010）米．（2）当x ·40－x 2＝200时，解得 x 1＝x 2＝20．∴鸡场的面积能达到200m 2，此时鸡场平行于墙的一边长为20米，垂直于墙的一边长为10米．（3）当x ·40－x 2＝250时，整理，得 x 2－40x ＋500＝0．∵△＝1600－4×1×500＜0，∴该方程没有实数根．∴鸡场的面积不能达到250m 2．。
北师大版2.3公式法解一元二次方程PPT课件 第二课时
3
学习是件很愉快的事
公式法
程为一般形式;
例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0 1.变形:化已知方 解: a 5, b 4, c 12
b 4ac 4 4 5 (12) 256 0.
2 2
a=1，b=-2 b2-4ac=(-2 ∴x= x1 = x 2 =
2014年8月18日星期 一6时56分36秒
6
二，思考题：m取什 么值时，方程
2 2 x +(2m+1)x+m -4=0
有两个相等的实数解
2014年8月18日星期 一6时56分36秒 7
三，想一想：
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
一元二次方程 解：
x1 b
ax 2 bx c 0 a 0 的解为：
b 2 4ac b b 2 4ac , x2 2a 2a
x1 x2
b b 2 4ac b b 2 4ac 2a 2a
b b 2a 2a
2014年8月18日星期 一6时56分36秒
2014年8月18日星期 一6时56分36秒 10
五，根据题意，列出方程： 1.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广六尺八寸 ,两相去适一丈.问户高,广各几何.” 大意是说:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈, 那么门的高和宽各是多少? 解：设门的高为 x 尺，根据题意得 2 10 x x 2 x 6.8 102.
2014年8月18日星期 一6时56分36秒
北师大版-数学-九年级上册-北师大九年级上 2.3公式法(第二课时) 教案
九上数学§2.2配方法（3）【学习目标】．1．利用方程解决实际问题．2．训练用配方法解题的技能【学习重点】利用方程解决实际问题【学习指导】自学课本P60-61的内容，完成下列问题。
1、小明设计的方案：设花园四周小路的宽度均为x m，可列怎样的一元二次方程？一元二次方程的解是什么？这两个解都合要求吗？为什么？2、小亮设计的方案中可列怎样的一元二次方程？符合条件的解是多少？3、你还有其他设计方案吗？请设计出来与同伴交流。
【课堂检测】（1、2每题30分，第3题40分）、1、课本P62随堂练习2、课本P62问题解决2※3、课本P63联系拓广九上数学§2.3公式法【学习目标】．1．会一元二次方程的求根公式的推导【学习重点】一元二次方程的求根公式．【自学指导】1、自学教材P64的内容，并完成公式推导推导求根公式：ax2+bx+c=0 (a≠0)解：方程两边都除以a，得___________________.移项，得：________________________配方，得：______________________即：___________________∵a≠0，所以4a2>0当b2－4ac≥0时，得_________________________________∴x=_______________________一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)当b2－4ac＞0时，它的根是x=_____________，一元二次方程有两个______的实数根_；当b2－4ac=0时，它的根是x=_____________，一元二次方程有两个______的实数根_；当b2－4ac<0时，一元二次方程_______________2、自学教材P65例1：【自学检验】：1、利用求根公式解方程：（1）2x2―9x+8=0 （2）9x2+6x+1=0 （3）16x2+8x=32、一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长。
初中数学八年级下第二章分解因式23运用公式法2教案
北师大版初中数学八年级（下）第二章分解因式2.3运用公式法（2）教案一、学情分析：认知基础：学生的知识储备中对于乘法公式的运用还是比较熟练的，但在能力上，对于公式的变形问题可能会处理不当。
二、教材处理中的问题与思考：1、教材采用直接将乘法公式逆过来应用，这种呈现新知方式，不适于学习基础较为困难的学生，如何让学生更好地理解整式乘法与因式分解之间的关系？2、对于形式上与完全平方公式相近的式子与完全平方公式的区别，进一步牢记公式有什么特点？三、教学设计：（一）教学目标：1、知识与技能：会用完全平方公式法（直接用公式不超过两次）分解因式。
2、过程与方法：经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。
3、情感、态度与价值观：培养学生的整体意识，以及逆向应用公式的能力。
（二）教学重点：掌握公式的形式和特点并能正确运用。
（三）教学难点：将多项式适当变形后运用公式分解因式。
（四）教学过程：创设问题情境，导入新课：某小区规划在边长为a米的正方形场地上，修建两条宽为b米的通路，其余组织学生观察并思考：（1）先求出甬道面积，ab+ab-b2，然后不难求出草地的面积为a2-2ab+b2（2）将两条甬道运用平移法，移到边沿，不难求出种草的面积为(a-b)2。
● 2、尝试发现、探索新知：探索：由上面的问题，可以求出a 2-2ab+b 2=(a-b)2即：a 2±2ab+b 2=(a ±b)2实际上，这也是乘法公式中的完全平方公式的逆变形所得到的分解因式的方法。
组织学生观察，讨论这类式子的共同特点：x 2+14x+49 216364x x -+ a 4+2a 2b 2+b 4 (m+n)2-6(m+n)+9 总结这类式子的共同特点：（1）公式的左边是一个三项式；（2）在这个三项式中前后两项是两数的平方，且符号相同，中间一项是这两个数的积的2倍，符号可正可负。
2.3运用公式法 (2)
小甸子中学八年级（下）数学 2.3 运用公式法 (2) 研学案主备: 曹立明 副备：于传波、黄祖花 审核人： 备课时间：2012-3-19【课前热身】1.把下列各式分解因式:(1)162-x (2)224121y x -(3)22249y x a - (4)22)()(y x y x --+2.计算： (1)(x+3)2= ； （2）(4x-y)2=(3)（1+2x ）2= ； (4)(3m-2n)2=【自学提示】1、【知识点一】会判别完全平方公式。
乘法公式之完全平方公式：(a+b)2=222b ab a ++,2222)(b ab a b a +-=-反过来: 222b ab a ++ =____________222b ab a +-=___________________.温馨提示：1、利用完全平方公式可以进行分解因式。
2、完全平方公式中的a 与b 不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．观察式子x ²+6x+9， 16x ²-8xy+y ², 1+4x+4x ²，小组讨论它们有什么共同特征？ (有几项式?每项式都有什么特征?整体有什么特征?)你能按照再举几个例子吗？)【练习一】判断下列式子能否用完全平方公式分解因式？（1）x 2+xy+y 2 （2）x 2－2xy -y 2 （3）x 2+4xy+4y 2 （4）x 2－xy +y 22、【知识点二】利用完全平方公式进行分解因式。
（1）、结合课前热身第二题，完成下列填空：x ²+6x+9= ， 16x ²-8xy+y ²= ，1+4x+4x ²= ，9m ²-12mn+4n ²= ，（2）、自学P 57例3同桌间指出完全平方公式中的“a ”“b ”。
（1）a 2－4a+4; （2）x 2+4xy+4y 2; （3）4a 2+4ab+ b 2;（4）a 2－4ab+4b 2; （5）x 2－6x+9; （6）a 2+a+0.25.（3）、自学P 57例4后模仿其过程完成下面问题【练习二】分解因式（利用完全平方公式）。
2.3 用公式法求解一元二次方程(2)
解：设小路的宽度为 x米， 所占的面积只与小路的 条数、宽度
有关，而与位置无关。 为了研究问 由题意得 题方便，可分别把沿东 西和南北方 （ 40 2 x） (26 x） 864 向修建的小路移到一起 （最好靠一
解得x1 2, x2 44 (米，那么草 舍去) 边）。设小路的宽度为 x 答：小路的宽度为 2米。 坪长和宽分别为（ 40 2 x）米，
例2 如图，有一块面积是125平方米的矩形 20 米），另三边 鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 30 用长为35米的竹篱笆围成，求鸡场的长与宽。
解：设矩形垂直于墙壁 的一边长为xm， 则另一边长为（ 35 2 x）m
A B
D C
由题意得x(35 2 x） 125 25 解得x1 12.5, x2 5 2 当x 12.5时,35 2 x 10 当x 5时,35 2 x 25（不合题意，舍去） 答 : 鸡场的长和宽分别为 12.5m和10m 或25cm和5cm。
想一想，
（26 x）米。
为什么？
长为(40 2 x）米 宽为(26 2 x）米
长为(40 x）米 宽为(26 x）米
点评：解答这类问题，并没有用到什么 复杂的数学知识，只是运用化归思想， 把几条小路归在一起，草坪归在一起， 这种做法给综合分析问题、解决问题带 来很大方便。
在一块长16m、宽12m的矩形土地上，要建 造一个花园，并使花园所占面积为矩形土地 面积的一半。你能求出下图中的x吗？
在一块长16m、宽12m的矩形土地上，要 建造一个花园，并使花园所占面积为矩形土地 面积的一半。你能给出设计方案吗?
xm
重
x 2 16 12
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解这个方程,得
x1 ＝5; x2 ＝-70(不合题意,舍去). 答:金链的宽应是5cm.
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场
的一边靠墙(墙长25m),另外三边用木栏
围成,木栏长40m.
25m
(1) 鸡场的面积能达到 180m2吗?
180m2
(2) 鸡场的面积能达到 200m2吗?
答 :小路的宽为4m.
xm
当堂作业习题2.6 P44
1.在一幅长90cm,宽40cm的风景画四周外围 镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂 图。如果要求风景画的面积是整个挂图面积 的72%。那么金边的宽应是多少？
解：设金边的宽为 x cm，根据题意得
90 2x40 2x72% 90 40.
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙 (墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.
解:(3)设养鸡场的与墙平行的一边为
xm,根据题意得
25m
x 40 x 250 . 2
180m2
即x2 40 x 500 0.
x
解这个方程 ,知
这个方程无解.
答 : 鸡场的面积不能达到 250 m2.
当堂作业习题2.6 P44
3. 如图，圆柱的高为15cm，全面积（也称表面积） 为200π c㎡ ，那么圆柱底面半径为多少？
解:设圆柱的底面半径为R,则有两个底的面 积和为:π R²× 2=2π R²; 侧面积为:2πR × 15=30πR. ∴ 2π R²+30πR=200π; R²+15R-100=0; 解这个方程得 R1= -20(不符合题意舍去) R2=5
180m2
解这个方程 ,得
x x1 20 2 10 ; x2 20 2 10.
x1 20 2 10 20 40 20 25 25不合题意,舍去.
答 : 鸡场的面积能达到 180 m2 ,这时鸡场的长为 20 2 10 m.
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙 (墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙 (墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.
解:(2)设养鸡场的长为xm,根据题意得
x 40 x 200 .
25m
2
即x2 40 x 400 0.
180m2
解这个方程 ,得
x
x1 x2 20. 答 : 鸡场的面积能达到 200 m2 ,这时鸡场的长为 20m.
(3) 鸡场的面积能达到 250m2吗?
如果能,请给出设计方案; 如果不能,请说明理由.
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙 (墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.
解:(1)设养鸡场的与墙平行的一边为xm,根据题意得
x 40 x 180 .
25m
2
即x2 40 x 360 0.
中花园四周小路的宽都相等.通过解方
程,他得到小路的宽为2m或12m.
你认为小明的结果对吗?为什么?
你能将小明解答的过程重现吗?
16m
解: 设小路的宽为 xm,根据题意得
12m
16 2x12 2x 1612 .
2 即x2 14 x 24 0.
解这个方程 ,得
x1
2,
x2
12(不合题意,舍去).提示:在检验时,方程的根
解:(1)设养鸡场的与墙垂直的一边为
xm,根据题意得
25m
x40 2x 180.
即x2 20 x 90 0.
180m2
x
解这个方程 ,得
x1 10 10 ; x2 10 10.
当x2 10 10时,长40 2x 20 2 10 25不合题意,舍去.
答 : 鸡场的面积能达到 180 m2 ,这时鸡场的宽为 10 10 m.
2.3用公式法求 解一元二次方程 （二）
复习提问
1、求根公式 2、怎样判断一元二次方程根的个数？ 3、用求根公式解一元二次方程的步骤 是什么？
试一试 引入 P44
在一块长16m,宽12m的矩形荒地上, 要建造一个花园,并使花园所占面积为 荒地面积的一半.
你能给出设计方案吗?
想一想
1、小明的设计方案如图所示.其
答：底面半径为5厘米.
当堂作业习题2.6 P44
4. 如图，由点P（14,1），Ａ（a，0)，Ｂ(0，a)(a ﹥ 0）确定的⊿PAB的面积为18，求a的值。
三、小结
1、列一元二次方程解应用题的步骤： ⑴审⑵设⑶列⑷解⑸验⑹答 2、关键是找相等关系，列方程。
答 : 扇形的半径约为5.5m.
3、小颖的设计方案如图所示.其 中花园是两条互相垂直的小路,且它 的宽都相等.
你能通过解方程,帮她得到小路的宽x吗?
解: 设小路的宽为 xm,根据题意得
16 x12 x 1612 .
16m
2
即x2 28 x 96 0.
12m xm
解这个方程 ,得 x1 4, x2 24(不合题意,舍去).
一定要符合问题的实际意
答 :的设计方案如图所示.其 中花园每个角上的扇形都相同.你能通 过解方程,帮他得到扇形的半径x吗?
12m xm
解 : 设扇形的半径为 xm,根据题意得
x2 1612 .
2
16m
即x2 96.
解这个方程 ,得
96
x=± π ≈±5.5 ∴ x1≈5.5 x2≈ - 5.5 （不符合题意，舍去）
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙 (墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.
解:(2)设养鸡场的与墙垂直的一边为xm,
根据题意得
25m
x40 2x 200.
即x2 20 x 100 0. 解这个方程 ,得
180m2
x
40-2x
x1 x2 10.
答 : 鸡场的面积能达到 200 m2,这时鸡场的宽为10m.