中考数学专题复习：图形的变换
2024年中考数学二轮专题复习之图形变换(简单)
中考二轮专题复习之 图形变换 知识点归纳 考点一：对称有关概念 1.轴对称 （1）. 如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分能 ，那么这个图形就是 ，这条直线就是它的 .（2）. 如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能与另一个图形 ，那么这两个图形成 ，这条直线就是 ，折叠后重合的对应点就是 .（3）.如果两个图形关于 对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 .2.中心对称（1）. 把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果旋转后的图形能够与原来的图形 ，那么这个图形叫做 图形，这个点就是它的 ．（2）. 把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这个点 ，这个点叫做 ．这两个图形中的对应点叫做关于中心的 ．（3）. 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被对称中心所 ．关于中心对称的两个图形是 图形.（4）. 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号 ，即点),(y x P 关于原点的对称点1P 为 . 对应训练1、如图，一只小狗正在平面镜前欣赏自己的全身像，此时，它所看到的全身像（ ）2、如图①～④是四种正多边形的瓷砖图案.其中，是轴对称图形但不是中心对称的图形为（ ）A.①③B. ①④C.②③D.②④3、已知∠AOB=30°，点P 在∠AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则P 1，O ，P 2三点所构成的三角形是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形4、如图，AD 是ΔABC 的中线，∠ADC=45°，把ΔADC 沿AD 对折，点C 落在点C ′的位置，则BC′与BC 之间的数量关系是 .5、如图，方格纸中有三个点A B C ，，，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．（1）在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；（2）在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；（3）在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．6、如图，在直角坐标系xOy 中， A(一l ，5)，B(一3，0)，C (一4，3)．(1) 在右图中作出△ABC 关于y 轴的轴对称图形△A ′B ′C ′，并写出对应点的坐标；(2) 如果ABC △中任意一点M 的坐标为()x y ，，那么它的对应点N 的坐标是 ．7.如图，将矩形ABCD 沿GH 对折，点C 落在点Q 处，点D 落在点E 处，EQ 与BC 交于点F.若AD ＝8 cm ，AB ＝6 cm ，AE ＝4 cm ，则△EBF 的周长是________cm .8、如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，AC ＝2，BD ＝23，将菱形按如图方式折叠，使点B 与点O 重合，折痕为EF ，则五边形AEFCD 的周长为 ．9、如图，正方形ABCD 中，AB ＝2，E 是CD 中点，将正方形ABCD 沿AM 折叠，使点B 的对应点F 落在AE 上，延长MF 交CD 于点N ，则DN 的长为 __________．考点二：平移旋转有关概念1. 一个图形沿着一定的方向平行移动一定的距离，这样的图形运动称为__ ___，它是由移动的 和 所决定．2. 平移的特征是：经过平移后的图形与原图形的对应线段 ，对应图形的 与 都没有发生变化，即平移前后的两个图形 ；且对应点所连的线段 ．3. 图形旋转的定义：把一个图形 的图形变换，叫做旋转，叫做旋转中心， 叫做旋转角． 4. 图形的旋转由 、 和 所决定．①旋转 在旋转过程中保持不动．②旋转 分为 时针和 时针.③旋转 一般小于360º.5. 旋转的特征是：图形中每一点都绕着 旋转了 的角度，对应点到旋转中心的 相等，对应 相等，对应 相等，图形的 都没有发生变化.也就是旋转前后的两个图形 .对应训练1、如图，下列图案②③④⑤⑥⑦中， 是由①平移得出的， 是由①平移且旋转得出的。
北师大版中考数学复习《图形的变换》
Day7 图形的变换一、几何变换（轴对称、平移、旋转、折叠）1、图形的平移：2、图形的轴对称：对称，如图直线L是这两个图形的对称轴，点A和点E是对称点★记忆：简单来说就是能使得两个图形重合的直线就是对称轴。
要区分“对称轴”和“轴对称图形”。
“对称轴”是一条直线，“轴对称图形”是两个全等的图形如图，两个▲关于直线L对称，直线L是对应点B和点F连线BF的垂直平分线如图▲ABC和▲EFG是以直线L为对称轴的轴对称图形如图，两个▲关于直线L对称，直线L是对应点B和点F连线BF的垂直平分线3、图形的翻折翻折前后图形全等（对应线段和对应角都分别相等）4、图形的旋转转动一个角度，’、5、中心对称（特殊的旋转）二、视图、展开图、位似作图1、投影用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影.由一点（光源）（位似变换），2、三视图：主视图、俯视图、左视图①看得见的部分画成实线，被遮挡而看不见的部分画成虚线3、展开图有些立体图形是由一些平面图形围成的，将这些立体图形的表面剪开可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。
注意：不是所有的立体图形都有平面展开图，如球体就不能展开。
4、位似作图（1）几何作图：对应点到位似中心的距离之比等于位似比★记忆：位似即位置相似，位置距离成比例位似又分为同侧位似和异侧位似★注意：位似比，即位似图形的相似比，指的是题目要求画的新图形与参照的原图形的相似比，所以以不同的图形为参照图，所得的位似比不同。
如上面左图同侧位似中，如果题目的意思是“以▲ABC为参照的原图，▲DEF为新图形，求出位似比”，则此时的位似比=DOAO= 95；而如果题目的意思是“以▲DEF为参照的原图，▲ABC为新图形，求出位似比”则此时的位似比=AODO= 59总之位似比总是原图形的数值作分母，口诀：位似比即旧分之新（位似比=新旧）（2）代数作图：如果以原点为位似中心，位似比为k，则原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（一kx，一ky）★记忆：如果是同侧位似则位似对应点的坐标是（kx，ky），如果是异侧位似则位似对应点的坐标是（一kx，一ky）。
中考数学《图形的变换》复习资料总结
中考数学《图形的变换》复习资料总结
中考数学《图形的变换》复习资料总结
考点一、平移 (3~5分)
1、定义
把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的.形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
2、性质
(1)平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动
(2)连接各组对应点的线段平行(或在同一直线上)且相等。
考点二、轴对称 (3~5分)
1、定义
把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。
2、性质
(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形。
(2)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
(3)两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
3、判定
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
4、轴对称图形
把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
考点三、旋转 (3~8分)
1、定义
把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
2、性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等。
中考数学总复习：图形的变换--知识讲解(基础)【含解析】
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】中考总复习：图形的变换--知识讲解（基础）【考纲要求】1.通过具体实例认识轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质；2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；3.探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性质及其相关性质.4.探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）；5.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用.【知识网络】【考点梳理】考点一、平移变换1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．【要点诠释】（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等．【要点诠释】（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．考点二、轴对称变换1．轴对称与轴对称图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点. 轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.2．轴对称变换的性质①关于直线对称的两个图形是全等图形.②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.3．轴对称作图步骤①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点．②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.考点三、旋转变换1．旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.２．旋转变换的性质图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.３．旋转作图步骤①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.②分析所作图形，找出构成图形的关键点.③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.④按原图形连结方式顺次连结各对应点.４．中心对称与中心对称图形中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心对称的对称点．中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形.5．中心对称作图步骤①连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点.②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.【要点诠释】图形变换与图案设计的基本步骤①确定图案的设计主题及要求；②分析设计图案所给定的基本图案；③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；④对图案进行修饰，完成图案.【典型例题】类型一、平移变换1.如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为____________.【思路点拨】根据两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得出线段之间的相等关系，进而得出OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2，即可得出答案．【答案与解析】∵两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，∴A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′，∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2；【总结升华】此题主要考查了平移的性质以及等边三角形的性质，根据题意得出A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′是解决问题的关键．举一反三：【变式】（2015•顺义区一模）如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，且CE⊥BD于点F，将△DEC沿从D到A的方向平移，使点D与点A重合，点E平移后的点记为G．（1）画出△DEC平移后的三角形；（2）若BC=，BD=6，CE=3，求AG的长．【答案】解：（1）△AGB为△DEC平移后的三角形，如下图所示；（2）∵△AGB为△DEC平移后的三角形，∴BG=CE=3，BG∥CE，∵CE⊥BD，∴BG⊥BD．在Rt△BDG中，∵∠GBD=90°，BG=3，BD=6，∴DG==3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=2，∴AG=D G﹣AD=3﹣2=．2．如图（1），已知ABC ∆的面积为3，且,AC AB =现将ABC ∆沿CA 方向平移CA 长度得到EFA ∆. （1）求ABC ∆所扫过的图形面积；（2）试判断，AF 与BE 的位置关系，并说明理由； （3）若,15︒=∠BEC 求AC 的长.【思路点拨】（1）根据平移的性质及平行四边形的性质可得到S △EFA =S △BAF =S △ABC ，从而便可得到四边形CEFB 的面积；（2）由已知可证得平行四边形EFBA 为菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得到AF 与BE 的位置关系为垂直；（3）作BD ⊥AC 于D ，结合三角形的面积求解． 【答案与解析】（1）由平移的性质得 AF ∥BC ，且AF=BC ，△EFA ≌△ABC ∴四边形AFBC 为平行四边形 S △EFA =S △BAF =S △ABC =3∴四边形EFBC 的面积为9；（2）BE ⊥AF证明：由（1）知四边形AFBC 为平行四边形 ∴BF ∥AC ，且BF=AC 又∵AE=CA∴BF ∥AE 且BF=AE∴四边形EFBA 为平行四边形又已知AB=AC ∴AB=AE∴平行四边形EFBA 为菱形 ∴BE ⊥AF ；（3）如上图，作BD ⊥AC 于D ∵∠BEC=15°，AE=AB ∴∠EBA=∠BEC=15° ∴∠BAC=2∠BEC=30°BCA （'C ）E∴在Rt△BAD中，AB=2BD 设BD=x，则AC=AB=2x∵S△ABC=3，且S△ABC=12AC•BD=12•2x•x=x2∴x2=3∵x为正数∴x=3∴AC=23．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定，平移的性质，菱形的性质等知识点的综合运用及推理计算能力．类型二、轴对称变换3（2016•贵阳模拟）（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，，求证：∠B=30°，请你完成证明过程．（2）如图②，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用（1）中的结论求∠ADG的度数和AG的长．（3）若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当AB=6，求EF的长．【思路点拨】（1）Rt△ABC中，根据sinB═=，即可证明∠B=30°；（2）求出∠FA′D的度数，利用翻折变换的性质可求出∠ADG的度数，在Rt△A'FD中求出A'F，得出A'E，在Rt△A'EG中可求出A'G，利用翻折变换的性质可得出AG的长度．（3）先判断出AD=AC，得出∠ACD=30°，∠DAC=60°，从而求出AD的长度，根据翻折变换的性质可得出∠DAF=∠FAO=30°，在Rt△ADF中求出DF，继而得出FO，同理可求出EO，再由EF=EO+FO，即可得出答案．【答案与解析】（1）证明：Rt△ABC中，∠C=90°，，∵sinB==，∴∠B=30°；（2）解：∵正方形边长为2，E、F为AB、CD的中点，∴EA=FD=×边长=1，∵沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，∴A′D=AD=2，∴=，∴∠FA′D=30°，可得∠FDA′=90°﹣30°=60°，∵A沿GD折叠落在A′处，∴∠ADG=∠A′DG，AG=A′G，∴∠ADG===15°，∵A′D=2，FD=1，∴A′F==，∴EA′=EF﹣A′F=2﹣，∵∠EA′G+∠DA′F=180°﹣∠GA′D=90°，∴∠EA′G=90°﹣∠DA′F=90°﹣30°=60°，∴∠EGA′=90°﹣∠EA′G=90°﹣60°=30°，则A′G=AG=2EA′=2（2﹣）；（3）解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O，∴AO=AD=CB=CO，∴DA=，∵∠D=90°，∴∠DCA=30°，∵AB=CD=6，在Rt△ACD中，=tan30°，则AD=DC•tan30°=6×=2，∵∠DAF=∠FAO=∠DAO==30°，∴=tan30°=，∴DF=AD=2，∴DF=FO=2，同理EO=2，∴EF=EO+FO=4．【总结升华】本题考查了翻折变换的知识，涉及了含30°角的直角三角形的性质、平行四边形的性质，综合考察的知识点较多，注意将所学知识融会贯通．举一反三：【变式】（2016·松北区模拟）如图（1）是四边形纸片ABCD，其中∠B=120°，∠D=50°.若将其右下角向内这出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图（2）所示，则∠C＝度.【答案】∵∠CPR=12∠B=12×120°=60°，∠CRP=12∠D=12×50°=25°，∴∠C=180°－60°－25°=95°．4. 如图1，矩形纸片ABCD的边长分别为a，b（a<b）．将纸片任意翻折（如图2），折痕为PQ．（P 在BC上），使顶点C落在四边形APCD内一点C′，PC′的延长线交直线AD于M，再将纸片的另一部分翻折，使A落在直线PM上一点A′，且A′M所在直线与PM•所在直线重合（如图3），折痕为MN．（1）猜想两折痕PQ，MN之间的位置关系，并加以证明．（2）若∠QPC的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕PQ，•MN间的距离有何变化？请说明理由．（3）若∠QPC的角度在每次翻折的过程中都为45°（如图4），每次翻折后，非重叠部分的四边形MC′QD，及四边形BPA′N的周长与a，b有何关系，为什么？（1）（2）（3）（4）【思路点拨】（1）猜想两直线平行，由矩形的对边平行，得到一组内错角相等，翻折前后对应角相等，那么可得到PQ与MN被MP所截得的内错角相等，得到平行．（2）作出两直线间的距离．∵PM长相等，∠NPM是不变的，所以利用相应的三角函数可得到两直线间的距离不变．（3）由特殊角得到所求四边形的形状，把与周长相关的边转移到同一线段求解．【答案与解析】（1）PQ∥MN．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，且M在AD直线上，则有AM∥BC．∴∠AMP=∠MPC．由翻折可得：∠MPQ=∠CPQ=12∠MPC，∠NMP=∠AMN=12∠AMP，∴∠MPQ=∠NMP，故PQ∥MN．（2）两折痕PQ，MN间的距离不变．过P作PH⊥MN，则PH=PM•sin∠PMH，∵∠QPC的角度不变，∴∠C′PC的角度也不变，则所有的PM都是平行的．又∵AD∥BC，∴所有的PM都是相等的．又∵∠PMH=∠QPC，故PH的长不变．（3）当∠QPC=45°时，四边形PCQC′是正方形，四边形C′QDM是矩形．∵C′Q=CQ，C′Q+QD=a，∴矩形C′QDM的周长为2a．同理可得矩形BPA′N的周长为2a，∴两个四边形的周长都为2a，与b无关．【总结升华】翻折前后对应角相等，对应边相等，应注意使用相应的三角函数，平行线的判断，特殊四边形的判定．类型三、旋转变换【高清课堂图形的变换例4】5．已知O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝135°，试问：（1）以OA，OB，OC为边能否构成一个三角形?若能，求出该三角形各角的度数；若不能，请说明理由；（2）如果∠AOB的大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA，OB，OC为边的三角形是一个直角三角形?【思路点拨】因为△ABC是等边三角形，所以可以运用旋转将△BCO转至△ACD.【答案与解析】（1）以OC为边作等边△OCD，连AD.∵△ABC是等边三角形∴∠BCO=∠ACD (∠BCO+∠ACO=60°，∠ACD+∠ACO=60°)∵ BC=AC，OC=CD∴△BCO≌△ACD (SAS)∴ OB=AD，∠ADC=∠BOC又∵OC=OD∴△OAD是以线段OA，OB，OC为边构成的三角形∵∠AOB=110°, ∠BOC=135°∴∠AOC=115°∴∠AOD=115°-60°=55°∵∠ADC=135°∴∠ADO=135°-60°=75°∴∠OAD=180°-55°-75°=50°∴以线段OA，OB，OC为边构成的三角形的各角是50°、55°、75°.（2）∠AOB+∠AOC+∠BOC=∠AOB+∠AOC+∠ADC=∠AOB+(∠AOD+∠DOC)+(∠ADO+∠CDO)=∠110°+(∠AOD+60°)+(∠ADO+60°) =360°∴∠AOD+∠ADO=130°∴∠OAD=50°当∠AOD是直角时，∠AOD=90°，∠AOC=90°+60°=150°，∠BOC=100°;当∠ADO是直角时，∠ADC=90°+60°=150°，∠BOC=150°.【总结升华】此题主要运用旋转的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理等知识，渗透分类讨论思想．6 . 如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1(如图2)．(1)探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；(2)当α＝30°时，求证：△AOE1为直角三角形．【思路点拨】(1)要证AE1＝BF1，就要首先考虑它们是全等三角形的对应边；(2)要证△AOE1为直角三角形，就要考虑证∠E1AO＝90°.【答案与解析】(1)AE1＝BF1，证明如下：∵O为正方形ABCD的中心，∴OA＝OB＝OD.∴OE＝OF .∵△E1OF1是△EOF绕点O逆时针旋转α角得到，∴OE1＝OF1.∵ ∠AOB＝∠EOF＝900，∴ ∠E1OA＝900－∠F1OA＝∠F1OB.在△E1OA和△F1OB中，1111OE OFE OA FOBO A OB⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△E1OA≌△F1OB（SAS）.∴AE1＝BF1.(2)取OE1中点G，连接AG.∵∠AOD＝900，α＝30°，∴ ∠E1OA＝900－α＝60°.∵OE1＝2OA，∴OA＝OG，∴ ∠E1OA＝∠AGO＝∠OAG＝60°.∴ AG＝GE1，∴∠GAE1＝∠GE1A＝30°.∴∠E1AO＝90°.∴△AOE1为直角三角形.【总结升华】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定. 举一反三：【变式】如图，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a(a>0).(1)求∠APB的度数；(2)求正方形ABCD的面积.【答案】(1)将△ABP 绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ.则△ABP≌△CBQ且PB⊥QB.于是PB=QB=2a，.在△PQC中，∵，.∴.∴.∵△PBQ是等腰直角三角形，∴∠BPQ=∠BQP=45°.故∠APB=∠CQB=90°+45°=135°.(2)∵∠APQ=∠APB+∠BPQ=135°+45°=180°，∴三点A、P、Q在同一直线上.在Rt△AQC中，.∴正方形ABCD的面积.中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
【中考一轮复习】图形的变换---轴对称与中心对称课件
5.如图,将△ABC折叠,使点A与BC边中点D重合,
折痕为MN,若AB=9,BC=6,则△DNB的周长为( A )
A.12 B.13
C.14
D.15
A
C
Mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D
N
B
当堂训练
6.如图,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90º,将△ABC折叠,使A点与
BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为( C )
是( C ) A．12厘米 B．16厘米 C．20厘米 D．28厘米
考点聚焦---轴对称
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合, 轴对称 那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称,这条直线叫做对称
轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.
轴对称 如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重 图形 合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.
人教版中考数学第一轮总复习
第七单元 图形的变化
§7.3 轴对称与中心对称
目录
01 轴对称与轴对称图形 02 中心对称与中心对称图形
典型例题
【例1-1】下列四个图案中，不是轴对称图案的是( B )
A．
B．
C．
D．
解：A有3条对称轴，是轴对称图形，故本选项错误；
B没有对称轴，不是轴对称图形，故本选项正确；
△CDA,点A,B,C的坐标分别为(-5,2),(-2,-2),(5,-2),则点D的坐
标为( A )
A.(2,2) C.(2,5)
B.(2,-2) D.(-2,5)
y
A
D
A
x
B
C
做关于对称中心的对称点.
新初三数学：图形的变换复习
图形的变换与计算【第一部分平移】【知识点】1、平移的概念．2、理解“对应点的连线平行且相等”等平移变换的基本特征；能够按照要求画出简单平面图形平移后的图形；能利用平移进行简单的图案设计．3、平移变换的确定：给定了平移方向和平移的距离，就确定了平移．4、图形在平移下的不变性和不变量．平移把任一线段变成与它平行且相等的线段，即在平移下，任一线段保持方向和长度不变；平移把任一个角变成与它相等的角，即在平移下，任一个角保持大小不变．【基础训练】一、选择题1．下列几种运动属于平移的有（）①水平运输带上的砖在运动；②升降机上下做机械运动；③足球场上足球的运动；④超市里电梯上的乘客；⑤平直公路上行驶的汽车A.2种B.3种C.4种D.5种2．点A(1,2)向右平移2个单位得到对应点A’,则点A’的坐标是( )A.(1．4)B.(1．0) C．(-l，2) D.(3，2)二、填空题1．如图5-1-1所示，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC移到了△A′B′C′的位置，则平移的方向是，平移的距离是个单位长度．2．如图5-1-2所示，△ABC平移到△A′B′C′的位置，则与AA′平行的线段有，与AA′相等的线段是．【提高训练】一、选择题1．如图所示5-1-3，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形变换为平移，如图，将网格中的三条线段沿网格线的方向（水平或垂直）平移后组成一个首尾依次相接的三角形，至少需要移动（）A.12格B.11格C.9格D.8格2．如图5-1-4所示：边长分别为和的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为，大正方形内除去小正方形部分的面积为（阴影部分），那么与的大致图象应为（）二、解答题A．B．C．D．图5-1-3图5-1-4图2FD EA BC图1图5-1-5 图5-1-1 图5-1-21．已知如图5-1-5所示，图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位.（1）将图1中的格点△ABC ，先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到△A 1B 1C 1，请你在图1中画出△A 1B 1C 1.（2）在图2中画出一个与格点△DEF 相似但相似比不等于1的格点三角形.2．在平面直角坐标系中，直线l 过点M(3,0)，且平行于轴.(1)如果△ABC 三个顶点的坐标分别是A(-2,0),B(-l,O),C(-1,2)，△ABC 关于轴的对称图形是△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1关于直线的对称图形是△A 2B 2C 2，写出△A 2B 2C 2的三个顶点的坐标； (2)如果点的坐标是(,0)，其中，点P 关于轴的对称点是，点关于直线的对称点是，求的长.3．如图5-1-7（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合。
人教版初三数学下册中考专题复习---------图形变换(一)
ABCD是矩形，AD∥x轴，A（ 3 ，3 ），AB=1，AD=2．
2
（1）直接写出B、C、D三点的坐标；
（2）将矩形ABCD向右平移m个单位，使点A、C 恰好同时落
在反比例函数y
k
x（ x 0 )的图象上，得矩形A′B′C′D′
求矩形ABCD的平移距离m 和反比例函数的解析式．
真题解析：
够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线 就是它的对称轴。
真题解析：
1、（2015来宾）如图，在平面直角坐
标系中，将点M（2，1）向下平移2个 单位长度得到点N，则点N 的坐标为
（ A） A．（2，﹣1） B．（2，3） C．（0，1） D．（4，1）
真题解析：
2、（2015钦州）在平面直角坐标系中，将
点A（x，y）向左平移5个单位长度， 再向上平移3个单位长度后与点B（﹣3，2）
重合A．，（则2点，A5的）坐标是（B．D （）﹣8，5）
C．（﹣8，﹣1） D．（2，﹣1）
3真、题（解2析0：15常州）将一张宽为4cm的长方形纸片
（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是 A．
一个三角形，则这个三角形面积的最
小值是（ B ）
8
A.
3 cm2
B．8cm2
3
C． 16 3 cm2 3Байду номын сангаас
D．16cm2
真题解析：
4、（2015达州）如图，将矩形ABCD沿EF折叠， 使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，点D落在 D′处，C′D′交AE于点M． 若AB=6，BC=9，则AM 的长为 ．
M
真题解析：
5、（2015宜宾）如图，在平面直角坐标系中，四边形
【备战2023中考】中考数学一轮复习基础练——图形的变换(含答案)
【备战2023中考】中考数学一轮复习基础练——图形的变换时间：45分钟满分：80分一、选择题(每题4分，共32分)1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是()2．如图，将△ABC沿BC方向平移1 cm得到对应的△A′B′C′.若B′C＝2 cm，则BC′的长是()A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm(第2题)(第3题)3．如图，在△ABC中，∠B＝32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1－∠2的度数是()A．32°B．45°C．60°D．64°4．几何体的三视图如图所示，这个几何体是()(第4题)(第5题)5．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA∶OD＝1∶2，则△ABC与△DEF的周长比为()A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶56．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，将线段CD绕点C 逆时针旋转90°后得到CE ，连接BE ，若∠DAB ＝15°，则∠ABE ＝( ) A ．75° B ．78° C ．80°D ．92°(第6题) (第7题)7．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，点E 为BC 边上一点，把△CDE 沿DE 翻折，点C 恰好落在AB 边上的点F 处，则CE 的长是( ) A ．1 B.43 C.32D.538．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(0，2)，(－1，0)，将△ABO 绕点O 顺时针旋转得到△A 1B 1O ，若AB ⊥OB 1，则点A 1的坐标为( )(第8题)A.⎝ ⎛⎭⎪⎫255，455B.⎝ ⎛⎭⎪⎫455，255 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，85 二、填空题(每题4分，共16分)9．若点A 与点B (2，－3)关于y 轴对称，则点A 的坐标为________．10．如图，这个图案绕着它的中心旋转α(0°＜α＜360°)后能够与它本身重合，则α可以为________．(写出一个即可)(第10题)11．利用尺规作图，如图，作△ABC 边BC 上的高正确的是________．(第11题)12．在平面直角坐标系中，有A(3，－3)，B(5，3)两点，现另取一点C(1，n)，当AC＋BC的值最小时，n的值为________．三、解答题(共32分)13．(14分)如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，先以原点O为位似中心在第三象限内画一个△A1B1C1，使它与△ABC位似，且相似比为21，然后再把△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2.(1)画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；(2)画出△A2B2C2，并求出在旋转过程中，点A到点A2所经过的路径长．(第13题)14．(18分)如图，在△ABC中，∠ABC＝135°，AC＝3，现将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，再将线段ED绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接BD，BF，DF.(第14题)(1)求证：B，D，E三点共线；(2)求BF的长．答案一、1.A 2.C 3.D 4.C 5.A 6.A 7.D 8.A 二、9.(－2，－3) 10.60°(答案不唯一) 11.② 12.－1三、13.解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求，点A 1的坐标为(－2，－4)．(第13题)(2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求．∵点A 的坐标为(1，2)，故由勾股定理得OA ＝12＋22＝5， ∴点A 到点A 2所经过的路径长为90×π×5180＝5π2.14．(1)证明：由旋转性质可知△ABC ≌△ADE ，AB ＝AD ，BC ＝DE ＝FE ，∠BAD ＝∠DEF＝90°， ∴∠ADB ＝45°.∵∠ADE ＝∠ABC ＝135°，∴∠ADB ＋∠ADE ＝45°＋135°＝180°， 即B ，D ，E 三点共线.(2)解：由(1)易得△ABD 和△EDF 都是等腰直角三角形， ∴BD AB ＝DFDE ＝ 2.∵DE ＝BC ，∴BD AB ＝DFBC＝ 2.由(1)可知B ，D ，E 三点共线，∠EDF ＝45°， ∴∠BDF ＝180°－∠EDF ＝180°－45°＝135°， ∴∠BDF ＝∠ABC ， ∴△ABC ∽△BDF ， ∴BF AC ＝BDAB ＝ 2. ∵AC ＝3，∴BF ＝3 2.。
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2. 旋转的三大要素： ⑪_旋__转__中__心___、旋转方向和旋转角.
3. 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角⑫ _等__于__ 旋转角； （3）旋转前、后的图形全等.
考点4 网格中图形变换作图
网格作图主要利用轴对称、中心对称、平移及 旋转的性质作图．
得解.
解：∵四边形ACDE 为菱形，AB =AC =1， ∴DE =AE =AC =AB =1，AC∥DE， ∴∠AEB =∠ABE，∠ABE =∠BAC =45°， ∴∠AEB =45°，∠EAB ＝90°， ∴△ABE 为等腰直角三角形， ∴BE = 2AB =2, ∴BD =BE -DE = 2 -1.
（1）求证：BE =CF；
E
A
（2）当四边形ACDE为菱形时， F
求BD 的长.
D
B
C
（1）【思路分析】先由旋转的性质得到对应边、角的
等量关系，进而得到∠EAB =∠FAC,再利用AB =AC可得 AE =AF，再根据旋转的性质即可解证.
证明：∵△AEF 是由△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转
得到的，
（3）线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域
的
9π
4
面积为_____.
【思路分析】（1）分别将点A、B、C向上平移6
个单位，再分别向右平移3个单位，最后依次连 接两次平移后的点即可得解；（2）分别将线段
A1B1、B1C1、C1A1旋转90度后依次连接即可;（3） 线段B1C1扫过的图形为圆心角为90°的扇形，根
3.坐标变换的规律
1.一般地,在直角坐标系中,将点(x,y)向右(或左)平移a个单位 长度,可以得到对应点_(_x_+_a_,_y_)_(或_(_x_-_a_,_y_)_);将点(x,y)向上 (或下)平移b个单位长度,可以得到对应点_(_x_,_y_+_b_)_(或_(_x_,_y_-_b_)_).
据扇形的面积计算公式即可求解.
解:(1)(2)如解图所示；
A1
B1
C1
A2
A
C2
B
C
(3)扫过图形的面积为 90 π 32 9 π 360 4
类型三 图形变化的相关证明与计算
例3 （’15襄阳）如图,△ABC 中,AB =AC = 1,∠BAC =45°,△AEF是由△ABC 绕点A 按顺 时针方向旋转得到的,连接BE、CF相交于点D．
类型二 网格作图
例2 （’15巴中）如图，在边长为1个单位长度 的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形 ABC（顶点是网格线的交点）.
（1）先将△ABC 竖直向上平移6个单位，再 水平向右平移3个单位得到△A1B1C1，请画出 △A1B1C1；
（2）将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°，得 △A2B1C2，请画出△A2B1C2；
轴对称图形两个图形沿一条直线 直线折叠后,直线两旁的部 对折后能够完全重合,那么
义 分能够互相重合,那么这个 称这两个图形成③轴__对__称__, 图形叫做②_轴__对__称__图__形__, 这条直线叫做对称轴 这条直线叫做对称轴
（1）对应线段相等,对应角④__相__等__;对称点所连 的线段被对称轴⑤_垂__直__平__分__ 性 （2）轴对称变换不改变图形的形状和⑥_大__小___,只 改变图形的位置 质 （3）成轴对称的两个图形,它们对应线段的延长线 相交,交点在⑦_对__称__轴__上__
全重合，那么这个图形叫 形关于这个点对称或中心对
做中心对称图形,这个点 称,这个点叫做对称中心性
叫做对称中心
质
性 （1）对应点的连线经过对称中心,且被对称中心平分； 质 （2）对称中心有且只有一个
考点3 图形的旋转（高频考点）
1. 定义：
将一个平面图形F上的每一个点绕这个平面 内一定点O 旋转同一个角α（即把F上每一个点 与定点的连线绕定点旋转角α）得到图形F′， 图形的这种变换就叫做旋转，这个定点O 叫旋
∴AE =AB，AF =AC，∠EAF =∠BAC， ∴∠EAF +∠BAF =∠BAC +∠BAF，即∠EAB =∠FAC， ∵AB =AC，∴AE =AF， ∴△AEB 可由△AFC 绕点A 按顺时针方向旋转得到， ∴BE =CF；
（2）【思路分析】由菱形的性质得到DE ＝AE =AC =AB =1,AC∥DE,再根据等腰直角三角形的性质即可
1. 对称图形：
（1）作轴对称图形：利用对应点到对称轴的距 离相等找出点关于对称轴的对称点，再连线； （2）作中心对称图形：连接关键点与对称中心 并延长，使得延长线与延长前的线段相等，则延 长线上线段的另一点即为关键点的对应点.
2. 平移作图：
（1）确定平移方向、平移距离； （2）找关键点； （3）分别平移关键点得到其对应点； （4）连接对应点.
第六章 图形的变换 相似与解直角 三角形
第1课时 图形的变换
考点1 图形的平移 1. 定义：
把图形上所有的点都按同一方向移动相等 的距离叫做平移.
2. 性质：
（1）平移前后，对应线段平行(或在一条直线 上)且相等,对应角相等； （2）对应点所连线段平行（或在一条直线上） 且①_相__等__； （3）平移前、后的图形全等.
2.一般地,在直角坐标系中,点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为 (_x_,_-_y_)__,关于y轴对称的点的坐标为_______.
(-x,y) 3.一般地,在直角坐标系中,两个点关于原点对称时,它们的坐 标符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P′__(_-_x_,_-_y_).
考点2 图形的对称（高频考点） 1. 轴对称图形与轴对称：
3. 旋转作图：
（1）确定旋转中心及旋转方向、旋转角； （2）找关键点； （3）旋转关键点与旋转中心的连线，得到其对 应点； （4）连接对应点
常考类型剖析
类型一 图形的对称
例１ （’15青岛）下列四个图形中，既是轴对
称图形又是中心对称图形的是
（B）
【思路点拨】根据轴对称图形和中心对称图形 的概念进行判断．
【温馨提示】轴对称与轴对称图形两个概念的要区 别是:轴对称是对两个图形而言；轴对称图形是对一 个图形而言.
2. 中心对称图形与中心对称
中心对称图形
图 示
中心对称图形
定 把一个图形绕着某个点旋 把一个图形绕着某一点旋转
义 转⑧_1_8_0_°_，如果旋转后 ⑨_1_8_0_°_,它能够与另一个图
的图形能与原来的图形完 形重合,那么就说这两个图