初二一次函数与几何题

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第19章一次函数——几何变换专项练习 2022—2023学年人教版数学八年级下册

一次函数典型例题——几何变换◆一次函数的基本性质1．已知一次函数y＝（k﹣2）x﹣3k2+12．（1）k为何值时，图象经过原点；（2）k为何值时，图象与直线y＝﹣2x+9的交点在y轴上；（3）k为何值时，图象平行于y＝﹣2x的图象；（4）k为何值时，y随x增大而减小．2．已知一次函数y＝（3m﹣7）x+m﹣1（1）当m为何值时，函数图象经过原点？（2）若图象不经过三象限，求m的取值范围．（3）不论m取何值，直线恒过一定点P，求定点P坐标．3．已知y＝y1+y2，y1与x﹣2成正比例，y2﹣3与x成正比例，当x＝1时，y＝4；x＝2时，y＝7．求y与x的函数解析式．◆图形的平移、旋转、对称4．如图，直线y＝2x﹣2与x轴、y轴分别相交于点A、点B．（1）求点A、点B的坐标．（2）将直线AB向上平移3个单位得直线l，若C为直线l上一点，且S△AOC＝3，求点C的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△P AB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，在第一象限内将线段CA沿同一直线CG向下翻折得到线段CD，点D与点A对应且CD∥x轴，过点D作DE⊥x轴于E点，与GC交于F点．求点F的坐标．7．如图，一次函数y＝（m+1）x+4的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，且△OAB面积为4．（1）则m＝，点A的坐标为（，）．（2）过点B作直线BP与x轴的正半轴相交于点P，且OP＝4OA，求直线BP的解析式；（3）将一次函数y＝（m+1）x+4的图象绕点B顺时针旋转45°，求旋转后的对应的函数表达式．8．如图，一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），且与x轴，y轴分别交于A，B两点．（1）填空：b＝；（2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．9．直线y＝2x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，将直线AB绕点O按逆时针方向旋转90度得到直线CD，（1）求直线CD的解析式；（2）若将直线AB绕原点按顺时针方向旋转90度得到直线EF，求直线EF的解析式．◆交点问题求范围10．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，将直线AB向右平移6个单位长度，得到直线CD，点A平移后的对应点为点D，点B平移后的对应点为点C．（1）求点C的坐标；（2）求直线CD的表达式；（3）若点B关于原点的对称点为点E，设过点E的直线y＝kx+b，与四边形ABCD有公共点，结合函数图象，求k的取值范围．11．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y＝2x﹣4上运动．（1）若点B的坐标是（1，﹣2），把直线AB向上平移m个单位后，与直线y＝2x﹣4的交点在第一象限，求m 的取值范围；（2）当线段AB最短时，求点B的坐标．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m）是直线y＝﹣x+2上一点，点A向右平移4个单位长度得到点B．（1）求点A，B的坐标；（2）若直线l：y＝kx﹣2（k≠0）与线段AB有公共点，结合函数的图象，求k的取值范围．练习1．如图，已知直线l：y＝2x+4交x轴于A，交y轴于B．（1）直接写出直线l向右平移2个单位得到的直线l1的解析式；（2）直接写出直线l关于y＝﹣x对称的直线l2的解析式；（3）点P在直线l上，若S△OAP＝2S△OBP，求P点坐标．2．如图：一次函数y＝x+2交y轴于A，交y＝3x﹣6于B，y＝3x﹣6交x轴于C，直线BC顺时针旋转45°得到直线CD．（1）求点B的坐标；（2）求四边形ABCO的面积；（3）求直线CD的解析式．3．如图，在直角坐标系中放入一个矩形纸片ABCO，BC＝10，将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B'，折痕为CE，已知OC：OB'＝4：3．（1）求点B'的坐标；（2）求折痕CE所在直线的解析式．4．若一次函数y＝（6﹣3m）x+（2n﹣4）不经过第三象限，求m、n的取值范围．5．已知直线l1：y＝2x+3与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将直线l1向下平移1个长度单位后得到直线l2，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于点D，（1）求△AOB的面积；（2）直线l2的表达式；（3）求△CBD的面积．6．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD在第一象限内，AB∥x轴，点A的坐标为（5，3），已知直线l：y＝x﹣2（1）将直线l向上平移m个单位，使平移后的直线恰好经过点A，求m的值（2）在（1）的条件下，平移后的直线与正方形的边长BC交于点E，求△ABE的面积．一次函数典型例题——几何变换（解析）◆一次函数的基本性质1．已知一次函数y＝（k﹣2）x﹣3k2+12．（1）k为何值时，图象经过原点；（2）k为何值时，图象与直线y＝﹣2x+9的交点在y轴上；（3）k为何值时，图象平行于y＝﹣2x的图象；（4）k为何值时，y随x增大而减小．【解答】解：（1）∵一次函数y＝（k﹣2）x﹣3k2+12的图象经过原点，∴﹣3k2+12＝0，∴，∴k＝﹣2；（2）∵直线y＝﹣2x+9求出此直线与y轴的交点坐标为（0，9），∴﹣3k2+12＝9，∴k＝1或k＝﹣1；（3）∵一次函数的图象平行于y＝﹣2x的图象，∴k﹣2＝﹣2，∴k＝0；（4）∵一次函数为减函数，∴k﹣2＜0，∴k＜2．2．已知一次函数y＝（3m﹣7）x+m﹣1（1）当m为何值时，函数图象经过原点？（2）若图象不经过三象限，求m的取值范围．（3）不论m取何值，直线恒过一定点P，求定点P坐标．【解答】解：（1）∵函数的图象经过原点，∴m﹣1＝0，解得：m＝1；（2）∵图象不经过三象限，∴3m﹣7＜0，m﹣1≥0，解得：1≤m＜；（3）∵不论m取何值，直线恒过一定点P，∴当x＝﹣时，y＝﹣1＝，即不论m取何值，直线恒过一定点P，定点P坐标为：（﹣，）．3．已知y＝y1+y2，y1与x﹣2成正比例，y2﹣3与x成正比例，当x＝1时，y＝4；x＝2时，y＝7．求y与x的函数解析式．【解答】解：∵y1与kx﹣2成正比例，y2﹣3与x成正比例，∴y1＝k1（x﹣2），y2﹣3＝k2x，∴y＝k1（x﹣2）+k2x+3，把x＝1时，y＝4；x＝2时，y＝7代入上式解得，解得：，则y与x的解析式为y＝3x+1．◆图形的平移、旋转、对称4．如图，直线y＝2x﹣2与x轴、y轴分别相交于点A、点B．（1）求点A、点B的坐标．（2）将直线AB向上平移3个单位得直线l，若C为直线l上一点，且S△AOC＝3，求点C的坐标．【解答】解：（1）当y＝0，则2x﹣2＝0，解得x＝1；当x＝0时，y＝﹣2，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，﹣2）；（2）将直线AB向上平移3个单位得直线l：y＝2x+1，设C的坐标为（m，2m+1），∵S△AOC＝3，∴|2m+1|＝3，∴2m+1＝±6，解得m＝或﹣，∴C（，6）或（﹣，﹣6）．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△P AB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令x＝0得：y＝4，∴B（0，4）．∴OB＝4，令y＝0得：0＝﹣x+4，解得：x＝3，∴A（3，0）．∴OA＝3．在Rt△OAB中，AB＝＝5．（2）∵AC＝AB＝5，∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，∴C（8，0）．设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，∴D（0，﹣6）．（3）存在，理由如下：∵S△P AB＝S△OCD，∴S△P AB＝××6×8＝12．∵点P在y轴上，S△P AB＝12，∴BP•OA＝12，即×3BP＝12，解得：BP＝8，∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）．6．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，在第一象限内将线段CA沿同一直线CG向下翻折得到线段CD，点D与点A对应且CD∥x轴，过点D作DE⊥x轴于E点，与GC交于F点．求点F的坐标．【解答】解：连接AF，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝3，∴A（3，0），C（0，4），∴OA＝3，OC＝4，∴AC＝＝5，∵CD∥x轴，点D、点A关于直线CF对称，∴CD＝CA＝5．∠DCF＝∠ACF＝∠FGA，∴∠CAF＝∠D＝90°设EF＝x，则DF＝AF，DF＝4﹣x，AE＝2，∴（4﹣x）2﹣x2＝4．解得x＝．∴点F坐标为（5，）．7．如图，一次函数y＝（m+1）x+4的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，且△OAB面积为4．（1）则m＝1，点A的坐标为（﹣2，0）．（2）过点B作直线BP与x轴的正半轴相交于点P，且OP＝4OA，求直线BP的解析式；（3）将一次函数y＝（m+1）x+4的图象绕点B顺时针旋转45°，求旋转后的对应的函数表达式．【解答】解：（1）由一次函数y＝（m+1）x+4，令x＝0，则y＝4，∴B（0，4），∴OB＝4，∵S△OAB＝4，∴×OA×OB＝4，解得OA＝2，∴A（﹣2，0），把点A（﹣2，0）代入y＝（m+1）x+4，得m＝1，故答案为：1；﹣2，0；（2）∵OP＝4OA，OA＝2，∴P（8，0），设直线BP的解析式为y＝kx+b，将（8，0），（0，4）代入得，解得k＝﹣，b＝4，∴直线BP的解析式为y＝﹣x+4；（3）设直线AB绕点B顺时针旋转45°得到直线BE，如图，过点A作AF⊥AB交BE于点F，作FH⊥x轴于H．则∠AHF＝∠BOA＝90°，AF＝BA，∠F AH＝∠ABO，∴△AOB≌△FHA（AAS），∴FH＝AO＝2，AH＝BO＝4，∴HO＝6，∴F（﹣6，2），设直线BE的解析式为y＝mx+n，则把点F和点B的坐标代入，可得，解得，∴直线BE的解析式为y＝x+4．8．如图，一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），且与x轴，y轴分别交于A，B两点．（1）填空：b＝1；（2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），∴3＝2+b，解得b＝1，（2）∵一次函数y＝2x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点．∴A（﹣，0），B（0，1），∴OA＝，OB＝1，作CD⊥y轴于D，∵∠BAC＝45°，BC⊥AB，∴∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∵∠ABO+∠BAO＝90°＝∠ABO+∠CBD，∴∠BAO＝∠CBD，在△AOB和△BDC中，，∴△AOB≌△BDC（AAS），∴BD＝OA＝，CD＝OB＝1，∴OD＝OB﹣BD＝，∴C（1，），设直线l的解析式为y＝mx+n，把A（﹣，0），C（1，）代入得，解得，∴直线l的解析式为y＝x+．9．直线y＝2x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，将直线AB绕点O按逆时针方向旋转90度得到直线CD，（1）求直线CD的解析式；（2）若将直线AB绕原点按顺时针方向旋转90度得到直线EF，求直线EF的解析式．【解答】解：∵直线y＝2x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣1；∴A（﹣1，0），B（0，2）．（1）∵直线AB绕点O按逆时针方向旋转90度得到直线CD，∴直线CD与x轴，y轴的交点坐标（﹣2，0），（0，﹣1），设直线CD的解析式是y＝k1x+b1，则，解得．故直线CD的解析式是y＝﹣x﹣1；（2）∵将直线AB绕原点按顺时针方向旋转90度得到直线EF，∴直线EF与x轴，y轴的交点坐标（2，0），（0，1），设直线EF的解析式是y＝k2x+b2，则，解得．故直线EF的解析式是y＝﹣x+1．◆交点问题求范围10．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，将直线AB向右平移6个单位长度，得到直线CD，点A平移后的对应点为点D，点B平移后的对应点为点C．（1）求点C的坐标；（2）求直线CD的表达式；（3）若点B关于原点的对称点为点E，设过点E的直线y＝kx+b，与四边形ABCD有公共点，结合函数图象，求k的取值范围．【解答】解：（1）直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝﹣2，∴B（0，4），A（﹣2，0），将直线AB向右平移6个单位长度，点B平移后的对应点为点C为（6，4）；（2）∵A（﹣2，0），∴D（4，0），解得：k＝2，b＝﹣8，∴直线CD的表达式为y＝2x﹣8．把C（6，4），D（4，0）代入y＝kx+b中得，（3）∵点B（0，4）关于原点的对称点为点E（0，﹣4），∴设过点E的直线y＝kx﹣4，把D（4，0）代入y＝kx﹣4中得4k﹣4＝0，∴k＝1，把A（﹣2，0）代入y＝kx﹣4中，∴k＝﹣2∴k≥1或k≤﹣2．11．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y＝2x﹣4上运动．（1）若点B的坐标是（1，﹣2），把直线AB向上平移m个单位后，与直线y＝2x﹣4的交点在第一象限，求m 的取值范围；（2）当线段AB最短时，求点B的坐标．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b．∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标是（1，﹣2），∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣1，把直线AB向上平移m个单位后得y＝﹣x+m﹣1．由，解得，即交点为（，）．由题意，得，解得m＞3；（2）AB最短时有AB⊥CD，设此时直线AB的解析式为y＝﹣x+n，将A（﹣1，0）代入，得0＝﹣×（﹣1）+n，解得n＝﹣．即直线AB的解析式为y＝﹣x﹣．由，解得，所以B点坐标为（，﹣）．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m）是直线y＝﹣x+2上一点，点A向右平移4个单位长度得到点B．（1）求点A，B的坐标；（2）若直线l：y＝kx﹣2（k≠0）与线段AB有公共点，结合函数的图象，求k的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，m）是直线y＝﹣x+2上一点，∴m＝1+2＝3．∴点A的坐标为（﹣1，3）．∴点（﹣1，3）向右平移4个单位长度得到点B的坐标为（3，3）．（2）当直线l：y＝kx﹣2过点A（﹣1，3）时，得3＝﹣k﹣2，解得k＝﹣5．当直线l：y＝kx﹣2过点B（3，3）时，得3＝3k﹣2，解得k＝．如图，若直线l：y＝kx﹣2（k≠0）与线段AB有公共点，则b的取值范围是k≤﹣5或k≥．练习1．如图，已知直线l：y＝2x+4交x轴于A，交y轴于B．（1）直接写出直线l向右平移2个单位得到的直线l1的解析式y＝2x；（2）直接写出直线l关于y＝﹣x对称的直线l2的解析式y＝x+2；（3）点P在直线l上，若S△OAP＝2S△OBP，求P点坐标．【解答】解：（1）直线l：y＝2x+4向右平移2个单位得到的直线l2的解析式为：y＝2（x﹣2）+4，即y＝2x，（2）∵（0，4），（﹣2，0）在直线ly＝2x+4上，这两点关于y＝﹣x的对称点为（﹣4，0），（0，2），设直线l1的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线l1的解析式为：y＝x+2，故答案为y＝x+2；（3）∵直线l：y＝2x+4交x轴于A，交y轴于B．∴A（﹣2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，设P的坐标为（x，2x+4），∵S△OAP＝2S△OBP，∴OA•|2x+4|＝2×OB•|x|，即|2x+4|＝4|x|，解得x＝﹣或2，∴P（﹣，）或（2，8）．2．如图：一次函数y＝x+2交y轴于A，交y＝3x﹣6于B，y＝3x﹣6交x轴于C，直线BC顺时针旋转45°得到直线CD．（1）求点B的坐标；（2）求四边形ABCO的面积；（3）求直线CD的解析式．【解答】解：（1）由，解得，∴B（3，3）．（2）由题意A（0，2），C（2，0），∴S四边形ABCO＝S△OCB+S△AOB＝×2×3+×2×3＝6．（3）如图，将线段BC绕点B逆时针旋转90得到C′．∵△BCC′是等腰直角三角形，∠BCD＝45°，∴点C′在直线CD上，∵B（3，3），C（2，0），∴C′（6，2），设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线CD的解析式为y＝x﹣1．3．如图，在直角坐标系中放入一个矩形纸片ABCO，BC＝10，将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B'，折痕为CE，已知OC：OB'＝4：3．（1）求点B'的坐标；（2）求折痕CE所在直线的解析式．【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴∠AOC＝90°，∵OC：OB'＝4：3，∴B′C：OB′＝5：3，∵B′C＝BC＝10，∴OB′＝6，∴B′点的坐标为：（6，0）；（2）将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上的B′点，CE为折痕，∴△CBE≌△CB′E，故BE＝B′E，CB′＝CB＝OA，由OB′＝6，OC：OB'＝4：3，∴OC＝8，设AE＝a，则EB′＝EB＝8﹣a，AB′＝AO﹣OB′＝10﹣6＝4，由勾股定理，得a2+42＝（8﹣a）2，解得a＝3，∴点E的坐标为（10，3），点C的坐标为（0，8），设直线CE的解析式为y＝kx+b，根据题意，得，解得，∴CE所在直线的解析式为y＝﹣x+8．4．若一次函数y＝（6﹣3m）x+（2n﹣4）不经过第三象限，求m、n的取值范围．【解答】解：∵y＝（6﹣3m）x+（2n﹣4）不经过第三象限，∴6﹣3m＜0，2n﹣4≥0，故m＞2，n≥2．5．已知直线l1：y＝2x+3与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将直线l1向下平移1个长度单位后得到直线l2，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于点D，（1）求△AOB的面积；（2）直线l2的表达式；（3）求△CBD的面积．【解答】解：（1）在y＝2x+3中，令x＝0，得y＝3；令y＝0，得x＝，所以A、B的坐标分别为：A（，0），B（0，3），∴S△ABC＝×|3|×＝；（2）把l1：y＝2x+3向下平移1个长度单位后得l2：y＝2x+2；（3）直线l2：y＝2x+2与x轴、y轴的交点C、D的坐标分别为：C（﹣1，0）、D（0，2），∴S△CBD＝×|1|×|3﹣2|＝．216．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 在第一象限内，AB ∥x 轴，点A 的坐标为（5，3），已知直线l ：y ＝x ﹣2（1）将直线l 向上平移m 个单位，使平移后的直线恰好经过点A ，求m 的值（2）在（1）的条件下，平移后的直线与正方形的边长BC 交于点E ，求△ABE 的面积．【解答】解：（1）设平移后的直线方程为y ＝x +b ，把点A 的坐标为（5，3）代入，得3＝×5+b ，解得 b ＝．则平移后的直线方程为：y ＝x +．则﹣2+m ＝，解得 m ＝；（2）∵正方形ABCD 的边长为2，且点A 的坐标为（5，3），∴B （3，3）．把x ＝3代入y ＝x +，得y ＝×3+＝2，即E （3，2）．∴BE ＝3﹣2＝1，∴△ABE 的面积＝×2×1＝1．22。

第19章专题20：一次函数与几何综合题(四)-通用版八年级下册数学专题练

19章专题：一次函数与几何综合题（三）1.如图，把长方形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA ，OC 分别落在x ，y 轴的的正半轴上，连接AC ，且AC=45，AO=2CO ．（1）求点A ，C 的坐标；（2）将纸片OABC 折叠，使点A 与点C 重合（折痕为EF ），求折叠后纸片重叠部分△CEF 的面积；（3）求EF 所在直线的函数表达式，并求出对角线AC 与折痕EF 交点D 的坐标．（1）∵AC=45，AO=2CO ，∵AC 2=OC 2+OA 2， ∴80=OC 2+4OC 2，∴OC=4，OA=8，∴A （8，0），C （0，4）；（2）设AC 的解析式为y=kx+b ，则⎩⎨⎧=+=084b k b ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=421b k ， ∴AC 的解析式为y=-21x+4；设AC 与EF 交于点D ，由折叠知EF 垂直平分AC ，所以D 是矩形ABOC 的中心， ∴FD=DE ，∴EF 、AC 互相垂直平分， ∴重合部分AECF 是菱形，设CF=x ，则AF=x ，BF=8-x ， ∵AB=4，∠B=90°， ∴x 2=42+（8-x ）2， ∴x=5，即CF=5， ∴重合部分的面积=5×4=20；（3）∵AC ⊥EF ，直线AC 表达式中的k 值为：-21，∴直线EF 表达式中的k 值为2， ∵A （8，0），C （0，4），且D 为AC 中点， ∴D （4，2），设直线EF 的表达式为：y=2x+b ，将点D 的坐标代入上式并解得：则直线EF 解析式为：y=2x-6．2. 如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 分别交x 轴、y 轴于点A （-2，0）点B （0，4）；点P 在直线AB 的右侧，且∠APB=45°．（1）若△ABP 为直角三角形，求点P 的坐标；（2）如图2，若点P 在第四象限，且∠BAP=90°，AP 与y 轴交于点M ，BP 与x 轴交于点N ，连接MN ，求证：P 是△OMN 的一个外角平分线交点．【解答】（1）∵△ABP 是直角三角形，且∠APB=45°，∴只有∠ABP=90°或∠BAP=90°，如图3，Ⅰ、当∠ABP=90°时，∵∠APB=∠BAP=45°，∴AB=PB ，过点P 作PC ⊥OB 于C ，∴∠BPC+∠CBP=90°， ∵∠CBP+∠ABO=90°，∴∠ABO=∠BPC ，在△AOB 和△BCP 中，∠AOB=∠BCP=90°，∠ABO=∠BPC ，AB=BP ，∴△AOB ≌△BCP （AAS ），∴PC=OB=4，BC=OA=2， ∴OC=OB-BC=2，∴P （4，2）；Ⅱ、当∠BAP=90°时，过点P'作P'D ⊥OA 于D ，同Ⅰ的方法得，△ADP'≌△BOA ，∴DP'=OA=2，AD=OB=4，∴OD=AD-OA=2，∴P'（2，-2）；即：满足条件的点P （4，2）或（2，-2）；（2）如图2，由（2）知点P （2，-2），∵A （-2，0），∴直线AP 的解析式为y=-21x-1，∴M （0，-1），∴BM=5，同理：直线BP 的解析式为y=-3x+4，∴N （34，0），∴MN=35，过点P 作PH ∥AB 交x 轴于H ，∵∠BAP=90°，∴∠BAO+∠PAH=90°，∴∠BAO+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠PAH ，在△ABM 和△PAH 中，∠ABM=∠PAH ，AB=AP ，∠BAM=∠APH=90°， ∴△ABM ≌△PAH （ASA ），∴∠AMB=∠PHA ，AH=BM=5，∴∠PMG=∠PHA ，OH=AH-OA=3，∴H （3，0），∴NH=3-34=35=MN ，∵P （2，-2），M （0，-1），H （3，0），∴PM=5，PH=5，∴PM=PH ， ∴△PNM ≌△PNH （SSS ），∴∠AHP=∠PMN ，∴∠PMG=∠PMN ，即：MP 是△BMN 的一个外角的平分线．3. 如图1，在平面直角坐标系中，直线y=21x+4经过点A （310，m ），与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，点D （0，-1），P （t ，0）（t ＞-8）（1）求m 的值和直线AD 的函数表达式；（2）连结CP ，当△BPC 是等腰三角形时，求t 的值；（3）若t=-4，点M ，N 分别在线段AB ，线段AD 上，当△PMN 是等腰直角三角形且∠MPN=45°时，求△PMN 的面积（1）直线y=21x+4经过点A （310，m ），则m=21×310+4=317， y=21x+4，令y=0，则x=-8，令x=0，则y=4，故点B 、C 的坐标分别为：（-8，0）、（0，4）；设直线AD 的表达式为：y=kx-1，将点A 的坐标代入上式并解得：k=2，故直线AD 的表达式为：y=2x-1；（2）点P （t ，0），点B 、C 的坐标分别为：（-8，0）、（0，4），PB 2=（t+8）2，PC 2=t 2+16，BC 2=80；当PB=PC 时，（t+8）2=t 2+16，解得：t=-3，当PB=BC 时，同理可得：t=-8+45（不合题意的值已舍去）；当PC=BC 时，同理可得：t=±8（舍去-8）；故t=-3或-8+45或8；（3）点P （-4，0），设点M （m ，21m+4），点N （n ，2n-1），①当∠PMN=90°时，如图1，PM=MN ，过点M 作MH ⊥x 轴于点H ，作GN ⊥MH 于点G ， ∵∠PMH+∠NMH=90°，∠NMH+∠MNG=90°， ∴∠PMH=∠MNG ，∠NGM=∠MHP=90°， ∴△NGM ≌△MHP （AAS ），∴GN=MH ，MG=PH ，即n-m=21m+4，21m+4-2n+1=m+4，解得：m=-2，故点M （-2，3）；△PMN 的面积=21PM 2=21（4+9）=213；②当∠MNP=90°时，MN=PN ，过点N 作x 轴的平行线交过点P 与y 轴的平行线于点H ，交过点M 与y 轴的平行线于点G ，同理可得：△MGN ≌△NHP （AAS ），则PH=GN ，HM=MG ，即1-2n=m-n ，n+4=21m+4-2n+1，解得：m=74，故点M （74，730），△PMN 的面积=21×（22PM ）2=49481；故答案为：213或49481．4. 直线y=-43x+6与x 轴相交于点B ，与y 轴相交于点A ．（1）求直线AB 与坐标轴围成的面积；（2）在x 轴上一动点P ，使△ABP 是等腰三角形；请直接写出所有P 点的坐标，并求出如图所示AP=PB 时点P 的坐标；（3）直线y=x+3与直线AB 相交于点C ，与x 轴相交于点D ；点Q 是直线CD 上一点，若△BQD 的面积是△BCD 的面积的两倍，求点Q 的坐标．（1）在当y=-43x+6中，令y=0时，x=8；当x=0时，y=6；∴△AOB 的面积=6×6×21=24；（2）如图，由（1）知A （0，6），B （8，0）， ∴OA=6，OB=8，∴AB=10， ∵△ABP 是等腰三角形；∴当AB=PB=10时，OP=18或2， ∴P （18，0）或（-2，0），当AB=AP 时，OP=OB=8， ∴P （-8，0），当AP=PB 时，如图所示：设OP=x ，则AP=BP=8-x ，由AO 2+OP 2=AP 2，得：62+x 2=（8-x ）2，∴x=47此时P （47，0）；综上所述，点P 的坐标为（18，0）或（-2，0）或（-8，0）或P （47，0）；（3）由y=-43x+6以及y=x+3联立方程组求得x=712，y=733，∴C （712，733），∵△BQD 的面积是△BCD 的面积的两倍，∴Q 点的纵坐标为766或-766，把y=766代入y=x+3得x=745，把y=-766代入y=x+3得x=-787，因此Q （745，766）或（-787，-766）．5. 如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y 1=kx+b 经过A （a ，0），B （0，b ）两点，且a 、b 满足（a-4）2+2-b =0，过点B 作BP ∥x 轴，交直线l 2：y 2=x 于点P ，连接PA ．（1）求直线AB 的函数表达式；（2）在直线l 2上是否存在一点Q ，使得S △BPQ =S △BPA ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点C （n ，0）是x 轴上的一个动点，点D 是y 轴上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线交直线l 1、l 2于点M 、N ，若△MND 是等腰直角三角形，请直接写出符合条件的n 的值．（1）（a-4）2+2-b =0，则a=4，b=2，点A 、B 的坐标分别为：（4，0）、（0，2），把点A 、B 的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b 并解得：y=-21x+2；（2）存在，理由：点B （0，2），点P （2，2），则BP=2，S △APM =2， S △BPQ =S △BPA ，则点Q 的纵坐标为：0或4，故点Q （0，0）或（4，4）；0，0）或（4，4）；（3）MN=|-21n+2-n|=|-23n+2|，x M =x N =n ，①当∠MDN=90°时，则x M =21MN ，即：21|-23n+2|=n ，解得：n=74或-4；②当∠DNM=90°（或∠DMN=90°）时，则x M =MN ，即|-23n+2|=n ，解得：n=54或4；符合条件的n 的值为：4或54或74或-4．。

初二：一次函数综合题(与几何、方程、不等式综合)

题二：已知关于 x 的函数 y1=kx2 与 y2= 3x+b 交于点 A(2，1)． (1)求 k、b 的值； (2)当 x 取何值时，y1＞ y2．题三：如图，一次函数 y= x+4 的图象与 y 轴交于点 A，一次函数 y=3x6 的图象与 y 轴交于点 B，这两个函数的图象交于点 C． (1)求点 C 的坐标； (2)若线段 AB 的中点为 D，求图象经过 C、D 两点的一次函数的解析式．
一次函数与方程和不等式
重难点易错点辨析
一次函数与一元一次方程
题一：直线 y=2x+b 与 x 轴的交点坐标是(2，0)，则关于 x 的方程 2x+b=0 的解是( )
A．x=2
B．x= 4
C．x=8
D．x=10
一次函数与一元一次不等式
题二：已知一次函数 y=ax+b 的图象如图所示，则 ax+b＞0 的解集为
金题精讲
题一：如图，一次函数 y 3 x 3 的图像分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B，以线段 AB 为边在第一象限内 4
作等腰 Rt△ABC，∠BAC=90°，则过 B、C 两点直线的解析式为( ) A. y 1 x 3
7 B. y 1 x 3
5 C. y 1 x 3
答案见微信公众号：绿爱生活
题四：某花农要将规格相同的 800 件水仙花运往 A，B，C 三地销售，要求运往 C 地的件数是运往 A 地件
数的 3 倍，各地的运费如下表所示：
A地 B地 C地
运费(元/件) 20
10
15
(1)设运往 A 地的水仙花 x(件)，总运费为 y(元)，试写出 y 与 x 的函数关系式和 x 的取值范围；

部编数学八年级下册专题09一次函数与几何图形综合的七种考法(解析版)含答案

专题09 一次函数与几何图形综合的七种考法类型一、面积问题例．如图，直线AB 的表达式为364y x =-+，交x 轴，y 轴分别与B ，A 两点，点D 坐标为()4,0-点C 在线段AB 上，CD 交y 轴于点E ．(1)求点A ，B 的坐标．(2)若CD CB =，求点C 的坐标．(3)若ACE △与DOE V 的面积相等，在直线AB 上有点P ，满足DOC △与DPC △的面积相等，求点P 坐标．∵CD CB =，∴DF BF =，∵点D 坐标为()4,0-，点B 的坐标为(∴12BD =，8OB =，∴6BF =，∴2OF =，∵DOC △与DPC △的面积相等，∴点O 和点P 到距离相等，此时OP ∥∴直线OP 的解析式为35y x =，联立得：36435y x y xì=-+ïïíï=ïî，解得：x y ì=ïïíï=ïî【变式训练1】如图，直线1:1l y kx =+与x 轴交于点D ，直线2:l y x b =-+与x 轴交于点A ，且经过定点(1,5)B -，直线1l 与2l 交于点(2,)C m ．(1)填空：k =________；b =________；m =________；(2)在x 轴上是否存在一点E ，使BCE V 的周长最短？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若动点P 在射线DC 上从点D 开始以每秒1个单位的速度运动，连接AP ，设点P 的运动时间为t 秒．是否存在t 的值，使ACP △和ADP △的面积比为1:2？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．（3）∵点P 在射线DC 上从点∴(2,0)D -，∵(2,2)C ，∴22(22)225CD =++=，∵点P 的运动时间为t 秒．②点P 在线段DC 的延长线上，∵ACP △和ADP △的面积比为1:∴12CP DP =，∴22545DP =´=，综上：存在t 的值，使ACP △和【变式训练2】在平面直角坐标系中，O 为原点，点()4,0A ，()2,0B -，()3,2C -，点D 是y 轴正半轴上的动点，连接CD 交x 轴于点E ．(1)如图①，若点D 的坐标为()0,2，求ACD V 的面积；(2)如图②，若12ABD ABC S S =V V ，求点D 的坐标．(3)如图③，若BDE ACE S S =△△，请直接写出点D 的坐标．【变式训练3】如图，平面直角坐标系中，直线AB ：13y x b =-+交y 轴于点()0,1A ，交x 轴于点B ．过点()1,0E 且垂直于x 轴的直线DE 交AB 于点D ，P 是直线DE 上一动点，且在点D 的上方，设()1,P n ．(1)求直线AB 的解析式和点B 的坐标；(2)求ABP V 的面积（用含n 的代数式表示）；(3)当ABP V 的面积为2时，以PB 为边在第一象限作等腰直角三角形BPC ，求出点C 的坐标．，则90PEB BP CGB Ð=Ð=Ð=°，PB BC =，∴90PBE BPE Ð+Ð=°，90BPE CPG Ð+Ð=°，∴BPE CPG Ð=Ð，∴()AAS BEP PGC ≌V V ，∴2BE PG ==，2PE CG ==，∴点()3,4C ；②以PB 为底时，如图，过点C 作CG PE ^于点G ，作CH x ^轴于点H ，则90PGC CGE CHB PEB PCB Ð=Ð=Ð=°=Ð=Ð，CP CB =，∴90GCH PCB Ð=°=Ð，∴PCG BCH Ð=Ð，∴∴()AAS BCH PCG ≌V V ，∴BH PG =，CH CG =，∴BE BH PE PG +=-，即22BH BH +=-，∴0BH PG ==，∴点()3,2C ；综上，符合题意的点C 坐标为()5,2或()3,4或()3,2．类型二、最值问题例．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+¹的图像经过()4,0A 、()0,4B 两点．(1)k =______，b =______．(2)已知()1,0M -、()3,0N ，①在直线AB 上找一点P ，使PM PN =．用无刻度直尺和圆规作出点P （不写画法，保留作图痕迹）；②点P 的坐标为______；③点Q 在y 轴上，那么PQ NQ +的最小值为______．【答案】(1)1-，4；(2)①见解析；②()1,3；③5【详解】（1）解：将()4,0A 、()0,4B 代入()0y kx b k =+¹中，得：044k b b =+ìí=î，解得；14k b =-ìí=î，故答案为：1-，4；（2）①如图，点P 即为所求；【变式训练1】在平面直角坐标系中，已知直线l经过1,32Aæöç÷èø和()3,2B-两点，且与x轴，y轴分别相交于C，D两点．(1)求直线l的表达式；V的面积等于2时，求点E的坐标；(2)若点E在直线AB上，当ODE-的值最小，则点P的坐标为______；(3)①在x轴上找一点P，使得PA PB-的值最大，则点Q的坐标为______．②在x轴上找一点Q，使得QA QB【变式训练2】如图，一次函数2y x =+的图象分别与x 轴和y 轴交于C ，A 两点，且与正比例函数y kx=的图象交于点()1,B m -．(1)求正比例函数的表达式；(2)点D 是一次函数图象上的一点，且OCD V 的面积是4，求点D 的坐标；(3)点P 是y 轴上一点，当BP CP +的值最小时，若存在，点P 的坐标是______．取点C 关于y 轴的对称点C ¢，则PC PC =CP BP C P BP C B ¢¢\+=+³，即点P 位于C B ¢与x 轴的交点时，BP +∵点(2,0)C - ，【变式训练3】如图，在平面直角坐标系内，()3,4A -，()3,2B ，点C 在x 轴上，AD x ^轴，垂足为D ，BE x ⊥轴，垂足为E ，线段AB 交y 轴于点F ．若AC BC =，ACD CBE Ð=Ð．(1)求点C 的坐标；(2)如果经过点C 的直线y kx b =+与线段BF 相交，求k 的取值范围；(3)若点P 是y 轴上的一个动点，当PA PC -取得最大值时，求BP 的长．类型三、等腰三角形存在性问题例．如图，在平面直角坐标系中，一次函数21y x =--的图像分别交x 轴、y 轴于点A 和B ．已知点C 的标为()3,0-，若点P 是x 轴上的一个动点．(1)A 的坐标是______，B 的坐标是______；(2)过点P 作y 轴的平行线交AB 于点M ，交BC 于点N ，当点P 恰好是MN 的中点时，求出P 点坐标．(3)若以点B 、P 、C 为顶点的BPC △为等腰三角形时、请求出所有符合条件的P 点坐标．【变式训练1】直线8y kx =-与x 轴、y 轴分别交于B C 、两点，且43OC OB =．(1)求OB 的长和k 的值：(2)若点A 是第一象限内直线8y kx =-上的一个动点，当它运动到什么位置时，AOB V 的面积是12？(3)在（2）成立的情况下，y 轴上是否存在点P ，使POA V 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（写过程）由题意得，12OB AD ´´=6OB =Q ，\解得，AD当21294OA OP =+==当397OA OP ==时，3P 当22AP OP =时，作2P H ^22AP OP =Q Q 2P 为线段OA 垂直平分线与【变式训练2】在平面直角坐标系中，直线MN 交x 轴正半轴于点M ，交y 轴负半轴于点()0,3N -，30Ð=°ONM ，作线段MN 的垂直平分线交x 轴于点A ，交y 轴于点B ．(1)如图1，求直线MN 的解析式和A 点坐标；(2)如图2，过点M 作y 轴的平行线l ，P 是l 上一点，若ANP S =△P 坐标；(3)如图3，点Q 是y 轴的一个动点，连接QM 、AQ ，将MAQ V 沿AQ 翻折得到1M AQ △，当1M MN △是等腰三角形时，求点Q 的坐标．过T 作TS AM ^于S ，则AT ∴22333322AS æö=-=ç÷èø，同理2315Q P y x =--：，综上：()3,6P ，(3,P -（3）①如图，当MN MM =由轴对称的性质可得：AM ∵()223323AN =+=，∴()0,1Q ．②当1NM NM =时，如图，由23AN NM AM ===，∴ANM V 为等边三角形，此时Q ，N 重合，∴()0,3Q -；③当11M M M N =时，1M 在直线∵30OAB Ð=°，【变式训练3】如图，一次函数()0y kx b k =+¹的图象与x 轴交于点C ，与y 轴交于点()0,5A ，与正比例函数12y x =的图象交于点B ，且点B 的横坐标为2，点P 为y 轴上的一个动点．(1)求B 点的坐标和k 、b 的值；(2)连接CP ，当ACP △与AOB V 的面积相等时，求点P 的坐标；(3)连接BP ，是否存在点P 使得PAB V 为等腰三角形?若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．③当PA PB =时，如图2，设(0,P m 22(5)PA m =-，1PH m =-，所以PB 所以222(5)(1)2m m -=-+，解得m类型四、直角三角形存在性问题例．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，直线AB :3y 4x b =+与直线AC ：9y kx =+交于点(2,)A n ，与x 轴分别交于点0()6,B -和点C ．点D 为线段BC 上一动点，将ABD △沿直线AD 翻折得到ADE V ，线段AE 交x 轴于点F ．(1)直线AC 的函数表达式．(2)当点D 在线段BO 上，点E 落在y 轴上时，求点E 的坐标．(3)若DEF V 为直角三角形，求点D 的坐标．【变式训练1】综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线2y x =+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与直线11433y x =-+交于点C ．直线11433y x =-+与x 轴交于点D ，若点P 是线段AD 上的一个动点，点P 从点D 出发沿DA 方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A （到 A 停止运动）．设点P 的运动时间为s t ．(1)求点A 和点B 的坐标；△的面积为12时，求t的值；(2)当ACP△为直角三角形？若存在，请直接写出t的值；(3)试探究，在点P运动过程中，是否存在t的值，使ACP若不存在，请说明理由．【变式训练2】如图，平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点()30A -，与y 轴交于点()06B ，，点C 是直线AB 上的一点，它的坐标为()4m ，，经过点C 作直线CD x ∥轴交y 轴于点D ．(1)求点C 的坐标；(2)已知点P 是直线CD 上的动点，①若POC △的面积为4，求点P 的坐标；②若POC △为直角三角形，请求出所有满足条件的点P 的坐标．②Q OCP Ð一定不是直角，当90OPC Ð=°时，点P 恰好在点D ，\()04P ，，当90POC Ð=°时，，由题可得221417OC =+=，2222416OP DP DP =+=+，()221CP DP =+，Q 222CP OC OP =+，\()2211716DP DP +=++，\16DP =，\()164P ，，综上所述，所有满足条件的点P 的坐标为()04，或()164P ，．【变式训练3】如图，已知函数1y x =+的图象与y 轴交于点A ，一次函数y kx b =+的图象经过点()0,1B -，与x 轴以及1y x =+的图象分别交于点C ，D ，且点D 的坐标为()1,n ．(1)则k =______，b =______，n =______；(2)关于x ，y 的二元一次方程组y =x +1,y =kx +b的解为______；(3)求四边形AOCD 的面积；(4)在x 轴上是否存在点P ，使得以点P ，C ，D 为顶点的三角形是直角三角形，请求出点P 的坐标．①当P D DC ¢^时，22P C P D ¢¢=类型五、等腰直角三角形存在性问题例．模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC 中，90ACB Ð=°，CB CA =，直线ED 经过点C ，过A 作AD ED ^于D ，过B 作BE ED ^于E ．(1)求证：BEC CDA V V ≌．(2)模型应用：已知直线14:43l y x =+与y 轴交与A 点，将直线1l 绕着A 点顺时针旋转45°至2l ，如图2，求2l 的函数解析式．(3)如图3，矩形ABCO ，O 为坐标原点，B 的坐标为()8,6，A 、C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上动点，设PC m =，已知点D 在第一象限，且是直线26y x =-上的一点，若APD △是不以A 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D 的坐标．∵45BAC Ð=°，∴ABC V 为等腰直角三角形，由（1）得：CBD BAO V V ≌∴BD AO =，CD OB =，∵直线4:4l y x =+，∴()626122AE x =--=-由（1）得：ADE DPF △△≌∴DF AE =，即1228x x -=-，解得：4x =；∴()4,2D ；∴266212BF x x =--=-；同（1）得，APB PDF △≌△∴8AB PF ==，PB DF ==∴()88BF PF PB x =-=--=∴21216x x -=-，解得：283x =；∴2838,33D æöç÷èø；【变式训练1】综合与探究：如图1，平面直角坐标系中，一次函数334y x =-+的图像分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，点C 是线段OA 的中点，点D 与点C 关于y 轴对称，作直线BD ．(1)求A ，B 两点的坐标；(2)求直线BD 的函数表达式；(3)若点P 是直线BD 上的一个动点．请从A ，B 两题中任选一题作答．我选择______题．A ．如图2，连接AP ，CP ．直接写出ACP △为直角三角形时点P 的坐标．B ．如图3，连接CP ，过点P 作PQ x ^轴于点Q ．直接写出CPQ V 为等腰直角三角形时点P 的坐标．【变式训练2】如图，平面直角坐标系中，直线1:3AB y x b =-+交y 轴于点()0,1A ，交x 轴于点B ．直线1x =交AB 于点D ，交x 轴于点E ，P 是直线1x =上一动点，且在点D 的上方，设()1,P n ．(1)求直线AB 的解析式；(2)当2ABP S =△时，在第一象限内找一点C ，使BCP V 为等腰直角三角形，求点C 的坐标．∵1x =时，12133y x =-+=，P 在点∴23PD n =-，∴12PAB APD BPD S S S PD AM =+=×+V V V ∵2ABP S =△，3∵90,45CPB EPB Ð=°Ð=°，∴45NPC EPB Ð=Ð=°．又∵90,CNP PEB BP PC Ð=Ð=°=，∴CNP BEP ≌V V ，∴2PN =NC =EB =PE =，∴224NE NP+PE ==+=，∴()3,4C ；若90,PBC BP BC Ð=°=，如图，过点C 作CF x ^轴于点F ．∵90,45PBC EBP Ð=°Ð=°，∴45CBF PBE Ð=Ð=°．又∵90,CFB PEB BC BP Ð=Ð=°=，∴CBF PBE ≌V V ．∴2BF CF PE EB ====，∴325OF OB BF =+=+=，∴()5,2C ；若90,PCB CP EB Ð=°=，如图，∴45CPB EBP Ð=Ð=°，∵,,CP EB CPB EBP BP BP =Ð=Ð=，∴PCB PEB ≌V V ，∴2PC CB PE EB ====，∴()3,2C ；∴点C 的坐标是()3,4或()5,2或()3,2．【变式训练3】如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AP 交x 轴于点(),0P p ，与y 轴交于点()0,A a ，且a ，p ()230a +=．(1)求直线AP 的解析式；(2)如图1，直线2x =-与x 轴交于点N ，点M 在x 轴上方且在直线2x =-上，若MAP △的面积等于6，请求出点M 的坐标；(3)如图2，已知点()2,4C -，若点B 为射线AP 上一动点，连接BC ，在坐标轴上是否存在点Q ，使BCQ △是以BC 为底边，点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q 坐标；若不存在，请说明理由．∵MD AP P ，MAP △的面积等于∴DAP V 的面积等于6，∴162A DP y ××=，即12DP ×∴4DP =，∴()3,0D -，y∴,33OE t BE t ==-，∵BCQ △是以BC 为底边的等腰直角三角形，∴BQ CQ =，90BQC Ð=∴90BQE NQC Ð=°-Ð=又∵BEQ QNC Ð=Ð，∴()AAS BEQ QNC V V ≌，∴BG t =，33OG t =-，∴BT t =，33OT t =-，同②可证CFQ QTB V V ≌∴QF BT t ==，QT CF =∴OQ OT QT OF =+=+∴52t =，∴513422OQ =+=，类型六、平行四边形存在性问题例．在平面直角坐标系xOy 中，直线36y x =+分别与x 、y 轴相交于A 、B 两点，将线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AC ．连接BC 交x 轴于点D ．(1)求点C 的坐标；(2)P 为x 轴上的动点，连接PB ，PC ，当PB PC -的值最大时，求此时点P 的坐标．(3)点E 在直线AC 上，点F 在x 轴上，若以B 、D 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点F 的坐标；【答案】(1)点C 的坐标为()4,2-(2)()6,0P (3)点F 的坐标为()17,0-或()13,0或()23,0【详解】（1）解：令0y =，则2x =-，()2,0A \-，令0x =，则6y =，()0,6B \，26OA BO \==，，过点C 作CH x ^轴于H ，9090CAD BAO BAO ABO ÐÐÐÐ+=°+=°Q ，，CAD ABO ÐÐ\=，90AHC BOA ÐÐ\==°，由旋转得AB AC =，()AAS ABO CAH \V V ≌，26CH OA AH BO \====，，4OH AH OA \=-=，\点C 的坐标为()4,2-；（2）作点C 关于x 轴的对称点C ¢，连接BC ¢延长交x 轴于点P ，则点P 就是所求的最大值点，\()4,2C ¢设直线BC ¢的解析式为y kx b =+，\642b k b =ìí+=î，解得16k b =-ìí=î，6y x \=-+，()6,0P \；（3）()()()2,04,20,6A C B --Q ，，，设直线AC 的解析式为y mx n =+，则2042m n m n -+=ìí+=-î【变式训练1】如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点(),0A m ，与y 轴交于点()0,B n ，且m n ，满足：()260m n n ++-=．(1)求：AOB S V 的值；(2)D 为OA 延长线上一动点，以BD 为直角边作等腰直角BDE V ，连接EA ，求直线EA 与y 轴交点F 的坐标；(3)在（2）的条件下，当2AD =时，在坐标平面内是否存在一点P ，使以B E F Р、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点Р的坐标，若不存在，说明理由．∵EDB △为等腰直角三角形，∴,90DE DB EDB =Ð=°，∴18090EDG ODB Ð+Ð=°-。

(必考题)初中八年级数学下册第十九章《一次函数》经典习题(含答案解析)

一、选择题1．若一次函数y kx b =+（k b ，都是常数）的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y bx k =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．B解析：B【分析】根据一次函数y kx b =+图像在坐标平面的位置，可先确定,k b 的取值范围，在根据,k b 的取值范围确定一次函数y bx k =+图像在坐标平面的位置，即可求解．【详解】根据一次函数y kx b =+经过一、二、四象限，则函数值y 随x 的增大而减小，可得0k <；图像与y 轴的正半轴相交则0b >，因而一次函数y bx k =+的一次项系数0b >，y 随x 的增大而增大，经过一三象限，常数0k <，则函数与y 轴的负半轴，因而一定经过一、三、四象限，故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的图像与系数的关系，解题关键是根据已知函数图像的位置确定,k b 的取值范围．2．已知点()1,4P 在直线2y kx k =-上，则k 的值为（）A ．43B ．43-C ．4D ．4-D解析：D【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征，将P （1，4）代入反比例函数的解析式2y kx k =-，然后解关于k 的方程即可．【详解】解：∵点P （1，4）在反比例函数2y kx k =-的图象上，∴4=k-2k ，解得，k=-4．故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式是解题的关键． 3．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中．以(О为圆心，适当长为半径作圆弧，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点,B 再分别以A B 、为圆心．大于12AB 长为半径作圆弧，两条圆弧在第四象限交于点C ．以下四组x 与y 的对应值中，能够使得点(),1P x y -在射线OC 上的是（）A ．2和1-B ．2和2-C ．2和2D ．2和3A解析：A【分析】根据题意可得OC 的解析式为y=-x ，再由各选项的数字得到点P 的坐标，代入解析式即可得出结论．【详解】解：由作图可知，OC 为第四象限角的平分线，故可得直线OC 的解析式为y=-x ，A 、当x=2，y=-1时，P （2，-2），代入y=-x ，可知点P 在射线OC 上，故A 符合题意；B 、当x=2，y=-2时，P （2，-3），代入y=-x ，可知点P 不在射线OC 上，故B 不符合题意；C 、当x=2，y=2时，P （2，1），代入y=-x ，可知点P 不在射线OC 上，故C 不符合题意； D/当x=2，y=3时，P （2，2），代入y=-x ，可知点P 不在射线OC 上，故D 不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．4．将直线2y x =-向下平移后得到直线l ，若直线l 经过点(),a b ，且27a b +=-，则直线l 的解析式为（）A ．22y x =--B ．22y x =-+C ．27y x =--D ．27y x =-+C解析：C【分析】可设直线l 的解析式为y=-2x+c ，由题意可得关于a 、b 、c 的一个方程组，通过方程组消去a 、b 后可以得到c 的值，从而得到直线l 的解析式．【详解】解：设直线l 的解析式为y=-2x+c ，则由题意可得： 227a c b a b -+=⎧⎨+=-⎩①②， ①+②可得：b+c=b-7，∴c=-7，∴直线l 的解析式为y=-2x-7，故选C ．【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数的解析式，设定一次函数解析式后再由题意得到含有待定系数的方程或方程组并由方程或方程组得到待定系数的值是解题关键．5．如图，在平面直角坐标系中点A 的坐标为()0,6，点B 的坐标为3,52⎛⎫-⎪⎝⎭，将AOB 沿x 轴向左平移得到A O B '''，若点B '的坐标为19,52⎛⎫-⎪⎝⎭，点A '落在直线y kx =上，则k 的值为（）A ．43-B ．34-C ．34D ．611-B 解析：B【分析】确定向左平移的距离为319()822---=，确定点A '的坐标为（-8,6），将其代入y=kx中，得k=6(8)-=34-. 【详解】 ∵点B 的坐标为3,52⎛⎫-⎪⎝⎭，将AOB 沿x 轴向左平移得到A O B '''，且点B '的坐标为19,52⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴向左平移的距离为319()822---=， ∵点A 的坐标为()0,6，∴点A '的坐标为（-8,6），∵点A '落在直线y kx =，∴6= -8k ，解得k=34-，故选：B. .【点睛】本题考查了平移的基本规律，正比例函数解析式的确定，熟记平移的规律是解题的关键. 6．已知直线()1:0l y kx b k =+≠与直线()2:30l y mx m =-<在第三象限交于点M ，若直线1l 与x 轴的交点为()10B ,，则k 的取值范围是（） A ．33k -<<B ．03k <<C ．04k <<D ．30k -<<B解析：B【分析】由直线1l 与x 轴的交点为()10B ,可得直线1l 轴的表达式为y ＝kx−k ，则1l 与y 轴交点（0，−k ），再由直线()2:30l y mx m =-<在第三象限交于点M 得出（0，−k ）在原点和点（0，−3）之间，即可求解．【详解】解：∵直线()1:0l y kx b k =+≠与x 轴的交点为B （1，0），∴k ＋b ＝0，则b ＝−k ，∴y ＝kx−k ，直线()2:30l y mx m =-<与y 轴的交点坐标为（0，−3），则1l 与y 轴交点（0，−k ）在原点和点（0，−3）之间，即：−3＜−k ＜0，解得：0＜k ＜3，故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质并能利用数形结合的思想确定1l 与y 轴交点位置．7．下列关于一次函数25y x =-+的说法，错误的是（）A ．函数图象与y 轴的交点()0,5B ．当x 值增大时，y 随着x 的增大而减小C ．当 5y >时，0x < D ．图象经过第一、二、三象限D 解析：D【分析】根据一次函数的性质，依次分析各个选项，选出错误的选项即可．【详解】A 选项：25y x =-+，当0x =时5y =，则一次函数与y 轴交于()0,5，A 正确，故不符合题意；B 选项：25y x =-+，斜率2k =-，则0k <，y 随x 增大而减小，B 正确，故不符合题意；C 选项：25y x =-+，5y >即255x -+>，解得0x <，C 正确，故不符合题意；D 选项：25y x =-+，与y 轴交于()0,5，与x 轴交于5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，则图象过一、二、四象限，D 错误，故符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查一次函数的性质，属于基础题，熟练掌握一次函数的性质是解决本题的关键． 8．函数2y x=+()P x,y 一定在第（）象限 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B解析：B【分析】由二次根式和分式有意义的条件，得到0x <，然后判断得到0y >，即可得到答案．【详解】解：根据题意，则∵00x x -≥⎧⎪⎨-≠⎪⎩，解得：0x <， ∴20x >，10x >-， ∴210y x x=+>-， ∴点(,)P x y 一定在第二象限；故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，以及判断点所在的象限，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题．9．在某大国的技术封锁下，华为公司凭借自身强大的创造力和凝聚力，华为概念指数从年初至今涨幅连连翻倍，比如硕贝德股票涨幅接近200%（如图AB 段），小丽在图片中建立了坐标系，将AB 段看作一次函数y kx b =+图象的一部分，则k ，b 的取值范围是( )A ．0k >，0b <B ．0k >，0b >C ．0k <，0b <D ．0k <，0b >A解析：A【分析】根据题意和题目中函数图象，可以延长，得到该函数图象经过的象限，从而可以得到k 、b 的正负情况，本题得以解决．【详解】解：由图象可得，该函数经过第一、三、四象限，0k ∴>，0b <，故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数的图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合思想解答．10．已知，整数x 满足1266,1,24x y x y x -≤≤=+=-+，对任意一个x ，p 都取12,y y 中的大值，则p 的最小值是（）A ．4B ．1C ．2D ．-5C解析：C【分析】先画出两个函数的图象，然后联立解析式即可求出两个函数的交点坐标，然后根据图象对x 分类讨论，分别求出对应p 的取值范围，即可求出p 的最小值．【详解】 11y x =+，224y x =-+的图象如图所示联立124y x y x =+⎧⎨=-+⎩，解得：12x y =⎧⎨=⎩∴直线11y x =+与直线224y x =-+的交点坐标为（1,2），∵对任意一个x ，p 都取1,y 2y 中的较大值由图象可知：当61x -≤<时，1y ＜2y ，2y ＞2∴此时p=2y ＞2；当x=1时，1y =2y =2，∴此时p=1y =2y =2；当16x <≤时，1y ＞2y ，1y ＞2∴此时p=1y ＞2．综上所述：p≥2∴p 的最小值是2．故选：C ．【点睛】此题考查的是画一次函数的图象、求两个一次函数的交点坐标和比较函数值的大小，掌握一次函数的图象的画法、联立函数解析式求交点坐标、根据图象比较函数值大小是解决此题的关键．二、填空题11．如图，一次函数y ax b =+与y cx d =+的图象交于点P ．下列结论中，所有正确结论的序号是_________．①0b <；②0ac <；③当1x >时，ax b cx d +>+；④a b c d +=+；⑤c d >．②④⑤【分析】仔细观察图象：①根据一次函数y ＝ax ＋b 图象从左向右变化趋势及与y 轴交点即可判断ab 的正负；②根据一次函数y ＝cx ＋d 图象从左向右变化趋势及与y 轴交点可判断cd 的正负即可得出结论；③以解析：②④⑤【分析】仔细观察图象：①根据一次函数y ＝ax ＋b 图象从左向右变化趋势及与y 轴交点即可判断a 、b 的正负；②根据一次函数y ＝cx ＋d 图象从左向右变化趋势及与y 轴交点可判断c 、d 的正负，即可得出结论；③以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大；④由两个一次函数图象的交点坐标的横坐标为1可得出结论；⑤由一次函数y ＝cx ＋d 图象与x 轴的交点坐标为（d c -，0），可得d c-＞-1，解此不等式即可作出判断．【详解】解：①由图象可得：一次函数y ＝ax ＋b 图象经过一、二、四象限，∴a ＜0，b ＞0，故①错误；②由图象可得：一次函数y ＝cx ＋d 图象经过一、二、三象限，∴c ＞0，d ＞0，∴ac ＜0，故②正确；③由图象可得：当x ＞1时，一次函数y ＝ax ＋b 图象在y ＝cx ＋d 的图象下方， ∴ax ＋b ＜cx ＋d ，故③错误；④∵一次函数y＝ax＋b与y＝cx＋d的图象的交点P的横坐标为1，∴a＋b＝c＋d，故④正确；⑤∵一次函数y＝cx＋d图象与x轴的交点坐标为（dc-，0），且dc-＞-1，c＞0，∴c＞d．故⑤正确．故答案为：②④⑤．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次不等式，掌握一次函数的图象与性质并利用数形结合的思想是解题的关键．12．某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行x轴）请你算一下，该植物的最大高度是________厘米．16【分析】根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变也就是停止长高设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0）然后利用待定系数法求出直线AC的解析式再把x=50代入进行计算即可得解【详解】设直解析：16【分析】根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出直线AC的解析式，再把x=50代入进行计算即可得解．【详解】设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），∵经过点A（0，6），B（30，12），∴63012 bk b=⎧⎨+=⎩，解得156kb⎧=⎪⎨⎪=⎩．所以，直线AC的解析式为165y x=+（0≤x≤50），当x=50时，15065y =⨯+=16cm ．答：该植物最高长16cm ．【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．13．已知一次函数y kx b =+的图象与直线1y x =-+平行，且经过点(8,2)，那么b 的值是________．10【分析】根据两条直线平行比例系数k 相同求出k=-1把点代入即可求b 【详解】解：因为一次函数的图象与直线平行所以k=-1把点代入得解得b=10故答案为：10【点睛】本题考查了一次函数图象互相平行时解析：10【分析】根据两条直线平行，比例系数k 相同，求出k=-1，把点(8,2)代入即可求b ．【详解】解：因为一次函数y kx b =+的图象与直线1y x =-+平行，所以k=-1，把点(8,2)代入y x b =-+，得28b =-+，解得，b=10，故答案为：10．【点睛】本题考查了一次函数图象互相平行时，比例系数的关系和待定系数法求解析式，解题关键是知道两条直线平行时比例系数k 相同．14．在平面直角坐标系中，直线6y kx =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，若AOB 的面积为12，则k 的值为_________．或【分析】求出AB 点坐标在Rt △AOB 中利用面积构造方程即可解得k 值【详解】由直线与y 轴于B 则则∴直线与x 轴于A 令则∴∴∴∴∴解得：由k≠0符合题意则k 的值为或故答案为：或【点睛】本题主要考查了一次解析：32-或32【分析】求出A 、B 点坐标，在Rt △AOB 中，利用面积构造方程即可解得k 值．【详解】由直线6y kx =+与y 轴于B ，则0x =，则6y =，∴(0,6)B ，直线6y kx =+与x 轴于A ，令0y =，则60kx +=，6x k=-， ∴6,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴6OA k =-，6OB =， ∴1122AOB S OA OB =⋅=△， ∴64k -=， ∴64k-=±，解得：132k =-，232k =，由k≠0，符合题意，则k 的值为32-或32．故答案为：32-或32．【点睛】本题主要考查了一次函数问题，掌握图象上点的坐标特征以及利用面积构造方程，会解方程是解题关键．15．已知y ＝kx+b ，当﹣1≤x≤4时，3≤y≤6，则k ，b 的值分别是_____．k=b=或k=b=【分析】分 k ＞0和 k ＜0两种情况结合一次函数的增减性可得到关于 k b 的方程组求解即可【详解】解：当 k ＞0时此函数是增函数∵当﹣1≤x≤4时3≤y≤6∴当x ＝﹣1时解析：k =35，b =185或k =35-，b=275．【分析】分 k ＞0和 k ＜0两种情况，结合一次函数的增减性，可得到关于 k 、 b 的方程组，求解即可．【详解】解：当 k ＞0时，此函数是增函数，∵当﹣1≤x≤4时，3≤y≤6，∴当x ＝﹣1时，y ＝3；当x ＝4时，y ＝6，∴346k b k b -+=⎧⎨+=⎩ ，解得35185k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；当k ＜0时，此函数是减函数，∵当﹣1≤x≤4时，3≤y≤6，∴当x ＝﹣1时，y ＝6；当x ＝4时，y ＝3，∴643k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得35275k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故答案为：k =35，b =185或k =35-，b=275．【点睛】本题考查一次函数知识，涉及一次函数的增减性以及求一次函数解析式，属于基础题，熟练掌握一次函数的增减性以及解析式的求法是解决此题的关键．16．已知直线y ＝x+b 和y ＝ax ﹣3交于点P （2，1），则关于x 的方程x+b ＝ax ﹣3的解为________．x ＝2【分析】交点坐标同时满足两个函数的解析式而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成因此两函数的交点坐标即为方程组的解【详解】∵直线y ＝x+b 和y ＝ax ﹣3交于点P （21）∴当x ＝2时x+b ＝解析：x ＝2【分析】交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．【详解】∵直线y ＝x+b 和y ＝ax ﹣3交于点P （2，1），∴当x ＝2时，x+b ＝ax ﹣3＝1，∴关于x 的方程x+b ＝ax ﹣3的解为x ＝2．故答案为：x ＝2．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：熟练掌握交点坐标同时满足两个函数的解析式是解题关键．17．一次函数2y x b =+的图象过点()0,2，将函数2y x b =+的图象向下平移5个单位长度，所得图象的函数表达式为______．【分析】根据待定系数法求得b 然后根据函数图象平移的法则上加下减就可以求出平移以后函数的解析式【详解】解：∵一次函数y=2x+b 的图象过点（02）∴b=2∴一次函数为y=2x+2将函数y=2x+2的图解析：23y x =-【分析】根据待定系数法求得b，然后根据函数图象平移的法则“上加下减”，就可以求出平移以后函数的解析式．【详解】解：∵一次函数y=2x+b的图象过点（0，2），∴b=2，∴一次函数为y=2x+2，将函数y=2x+2的图象向下平移5个单位长度，所得函数的解析式为y=2x+2-5，即y=2x-3．故答案为：y=2x-3．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，利用函数图象平移的规律是解题关键，注意求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变．18．已知一次函数y＝2x+b的图象经过点A（2，y1）和B（﹣1，y2），则y1_____y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．＞【分析】由k＝2＞0利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大结合2＞﹣1即可得出y1＞y2【详解】解：∵k＝2＞0∴y随x的增大而增大又∵2＞﹣1∴y1＞y2故答案为：＞【点睛】本题考查一次函数解析：＞【分析】由k＝2＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合2＞﹣1即可得出y1＞y2．【详解】解：∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大，又∵2＞﹣1，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点睛】本题考查一次函数的增减性，根据比例系数k的正负，判断y随x的变化规律是解题关键．，且y随x的增大而减小，则这个一次函数的解19．已知一个一次函数的图象过点(1,2)析式为__________．（只要写出一个）y=-x+1(答案不唯一)【分析】设一次函数的解析式为y=kx+b根据一次函数的性质得k＜0取k=-1然后把（-12）代入y=-x+b 可求出b【详解】解：设一次函数的解析式为y=kx+b∵y随x的增解析：y=-x+1．(答案不唯一)【分析】设一次函数的解析式为y=kx+b，根据一次函数的性质得k＜0，取k=-1，然后把（-1，2）代入y=-x+b可求出b．【详解】解：设一次函数的解析式为y=kx+b，∵y随x的增大而减小，∴k可取-1，把（-1，2）代入y=-x+b得1+b=2，解得b=1，∴满足条件的解析式可为y=-x+1．故答案为y=-x+1．(答案不唯一)【点睛】本题考查了一次函数y=kx+b的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．20．平面直角坐标系中，点A坐标为()，将点A沿x轴向左平移a个单位后恰好落在正比例函数y=-的图象上，则a的值为__________．【分析】根据点的平移规律可得平移后点的坐标是(2-a3)代入计算即可【详解】解：∵A坐标为(23)∴将点A沿x轴向左平移a个单位后得到的点的坐标是(2-a3)∵恰好落在正比例函数的图象上∴解得：a=【分析】根据点的平移规律可得平移后点的坐标是，3)，代入y=-计算即可．【详解】解：∵A坐标为3)，∴将点A沿x轴向左平移a个单位后得到的点的坐标是-a，3)，∵恰好落在正比例函数y=-的图象上，∴)3-=，a解得：．【点睛】此题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特点，以及点的平移规律，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．．三、解答题21．设一次函数y1＝kx﹣2k（k是常数，且k≠0）．（1）若函数y1的图象经过点(﹣1，5)，求函数y1的表达式．（2）已知点P(x1，m)和Q(﹣3，n)在函数y1的图象上，若m＞n，求x1的取值范围．（3）若一次函数y2＝ax+b（a≠0）的图象与y1的图象始终经过同一定点，探究实数a，b满足的关系式．解析：（1）151033y x =-+；（2）当k ＜0时，x 1＜﹣3；当k ＞0时，x 1＞﹣3；（3）2a +b ＝0．【分析】（1）将点（﹣1，5）代入y 1＝kx ﹣2k ，求得k 值，即可得出函数解析式；（2）根据一次函数的性质，由k 值判断函数自变量的大小，即可得出结论；（3）根据一次函数y 1＝kx ﹣2k 得y 1＝k （x ﹣2），可得函数图象经过的定点为（2，0），再将定点坐标代入y 2＝ax+b 即可求出实数a ，b 满足的关系式．【详解】解：（1）∵函数y 1的图象经过点（﹣1，5），∴5＝﹣k ﹣2k ，解得k ＝53-，函数y 1的表达式151033y x =-+；（2）当k ＜0时，若m ＞n ，则x 1＜﹣3；当k ＞0时，若m ＞n ，则x 1＞﹣3；（3）∵y 1＝kx ﹣2k ＝k （x ﹣2），∴函数y 1的图象经过定点（2，0），当y 2＝ax +b 经过（2，0）时，0＝2a +b ，即2a +b ＝0．【点睛】本题考查了一次函数图象与性质，掌握一次函数的图象与性质并能准确理解题意进行解答是解题的关键．22．如图，顶点M 在y 轴上的抛物线2=y ax c +与直线1y x =+相交于,A B 两点，且点A 在x 轴上，点B 的横坐标为2，连接,AM BM ，（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）判断ABM ⊿的形状，并说明理由；（3）若将（1）中的抛物线沿y 轴上下平移，则如何平移才能使平移后的抛物线过点(2,3)--？解析：（1）21y x =-；（2）△ABM 为直角三角形，见解析；（3）向下平移6个单位过点（-2，-3）【分析】（1）将y=0，x=2，分别代入直线解析式求出x 、y 的值，即求得点A 、B 的坐标，再利用待定系数法即可求解抛物线解析式；（2）令x=0，代入抛物线解析式求得M 坐标，利用两点间的距离公式求得AB 、AM 、BM ，再利用勾股定理的逆定理即可判定△ABM 为直角三角形；（3）设抛物线2=1y x -平移后的解析式为y=x 2-1+m ，将点（-2，-3）代入上式，得到关于m 的方程，解方程即可得出结论．【详解】（1）当y=0时，有x+1=0，则x=-1．∴A （-1，0），当x=2时，y=2+1=3，∴B （2，3），将A ，B 两点代入2=y ax c +中，得0=34a c a c +⎧⎨=+⎩，解得=11a c ⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为2=1y x -．（2）三角形ABM 为直角三角形，理由如下：在抛物线中，当x=0时，y=-1，∴M （0，-1），又∵A （-1，0），B （2，3）， ∴=32AB ，=2AM =25BM ，又∵22220AM AB BM +==，∴三角形ABM 为直角三角形．（3）设抛物线2=1y x -沿y 轴平移后的解析式为2=1y x m -+，将点（-2，-3）代入上式，得m=-6，则向下平移6个单位过点（-2，-3）．【点睛】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象上的坐标特征、两点间的距离公式及勾股定理的逆定理，解题的关键是（1）求出A 、B 的坐标，（2）求出求得AB 、AM 、BM 的长，（3）正确写出平移后的抛物线解析式，难度适中．23．甲、乙两人计划8：00一起从学校出发，乘坐班车去博物馆参观，乙乘坐班车准时出发，但甲临时有事没赶上班车，8：45甲沿相同的路线自行驾车前往，结果比乙早1小时到达．甲、乙两人离学校的距离y （千米）与甲出发时间x （小时）的函数关系如图所示．（1）求甲、乙两人的速度．（2）求OC 和BD 的函数关系式．（3）求学校和博物馆之间的距离．解析：（1）甲、乙的速度分别是80千米/小时，40千米/小时；（2）OC 的函数关系式为：80y x =，BD 的函数关系式为：4030y x =+；（3）140千米．【分析】（1）根据函数图像，甲0.75小时行驶60千米，计算得出甲的速度；结合题意，乙行驶60千米时，所用总时间为：(0.750.75)+小时，计算得出乙的速度．（2）观察函数图像，根据A 点坐标，计算得出OC 的函数解析式；根据题意得出A 、B 两点的坐标，用待定系数法求出BD 的函数解析式．（3）设甲行驶时间为x 小时，根据甲乙两人行驶路程相等，列出一元一次方程，计算得出行驶时间，根据“路程＝速度×时间”计算得出学校和博物馆之间的距离．【详解】解：（1）甲的速度：600.7580÷=（千米/小时），从8：00到8：45经过0.75小时，乙的速度为：60(0.750.75)40÷+=（千米/小时），甲、乙的速度分别是80千米/小时，40千米/小时．（2）∵根据题意得：A 点坐标为(0.75,60)，当乙运动了45分钟后即0.75小时，距离学校：400.7530⨯=（千米），∴B 点坐标为(0,30)．∵设直线OC 的函数关系式为1y k x =，将点A 代入得：1600.75k =，解得：180k =，∴直线OC 的函数关系式为80y x =，∵设BD 的函数关系式为2y k x b =+，将A 、B 两点的坐标值代入得：220.7560030k b k b +=⎧⎨⨯+=⎩，解得：24030k b =⎧⎨=⎩， ∴直线BD 的函数关系式为：4030y x =+．（3）∵设甲的行驶时间为x 小时，则乙所用的时间为：0.751 1.75x x ++=+（小时），列方程为：()8040 1.75x x =+ 解得：74x =， 7801404⨯=（千米）． ∴学校和博物馆之间的距离是140千米．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中获取相关信息是解题关键．24．如图，A ，B ，C 为三个超市，在A 通往C 的道路（粗实线部分）上有一D 点，D 与B 有道路（细实线部分）相通，A 与D ，D 与C ，D 与B 之间的路程分别为25km ，10km ，5km ，现计划在A 通往C 的道路上建一个配货中心H ，每天有一辆货车只为这三个超市送货，该货车每天从H 出发，单独为A 送货1次，为B 送货1次，为C 送货2次，货车每次仅能给一家超市送货，每次送货后均返回配货中心H ，设H 到A 的路程为km x ，这辆货车每天行驶的路程为km y ．（1）用含的代数式填空：当025x ≤≤时：货车从H 到A 往返1次的路程为2km x ，①货车从H 到B 往返1次的路程为_______km ．②货车从H 到C 往返2次的路程为_______km ，当2535x <≤时，这辆货车每天行驶的路程y =__________．（2）求y 与x 之间的关系式；（3）配货中心H 建在哪段，这辆货车每天行驶的路程最短？最短路程是多少？（直接写出结果，不必写出解答过程）解析：（1）①602x -；②1404x -；100；（2）2004(025)100(2535)x x y x -≤≤⎧=⎨<≤⎩；（3）建在CD 段，100km ．【分析】（1）根据当0≤x ≤25时，结合图象分别得出货车从H 到A ，B ，C 的距离，进而得出y 与x 的函数关系，再利用当25＜x ≤35时，分别得出从H 到A ，B ，C 的距离，即可得出y ＝100；（2）利用（1）的结论可得y 与x 的函数关系；（3）根据一次函数的性质解答即可．【详解】解：（1）①如图1，当025x ≤≤时，货车从H 到A 往返1次路程为22km AH S x =货车从H 到B 往返1次的路程为：()22(255)HD DB S S x +=-+2(30)x =-602x =-；②货车从H 到C 往返2次的路程为：()44(2510)DH CD S S x +=-+4(35)x =-1404x =-，如图2，25DH S x =-，25,10(25)35DH CH S x S x x =-=--=-，∴2535x <≤时，货车从H 到A 往返1次路程为：2x ，货车从H 到B 往返1次的路程为：2(525)240x x +-=-，货车从H 到C 往返2次的路程为：4(35)1404x x -=-，∴这辆货车每天行驶的路程为：22401404100km y x x x =+-+-=．（2）由（1）可得：025x ≤≤时，26021404y x x x =+-+-2004x =-，2535x <≤时，100y =，∴2004(025)100(2535)x x y x -≤≤⎧=⎨<≤⎩．（3）由②得，025x ≤≤时，4200y x =-+，2535x <≤时，100y =，如图所示，由图象可知，配货中心建在CD 段时，这辆货车每天行驶的路程最短为100km ．【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，利用已知分别表示出从P 到A ，B ，C ，D 距离是解题关键．25．地表以下岩层的温度()y ℃随着所处深度() km x 的变化而变化，在某个地点y 与x 之间满足如下关系：深度() km x1 2 3 4 温度()y ℃ 55 90 125 160 y x （2）当8x =时，求出相应的y 值．（3）若岩层的温度是510℃，求相应的深度是多少？解析：（1）3520y x =+；（2）300；（3）相应的深度是14km ．【分析】（1）根据图表可知，深度每增加1km ，温度增加35℃，据此直接直接写出y 与x 之间的关系式即可；（2）根据（1）所得关系式，令x=8，求得y 的值即可；（3）根据（1）所得关系式，令y=510，求得x 的值即可．【详解】（1）由图表可知，深度每增加1km ，温度增加35℃，5535(1)y x ∴=+-553535x =+-3520x =+，即y 与x 之间的关系式为：3520y x =+；（2）由3520y x =+令8x =时，则35820300y =⨯+=；（3）由3520y x =+令510y =时，则3520510x +=，解得14x =故相应的深度是14km ．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，明确题意、正确列出函数解析式成为解答本题的关键． 26．小东从A 地出发以某一速度向B 地走去，同时小明从B 地出发以另一速度向A 地走去，1y ，2y 分别表示小东、小明离B 地的距离()y km 与所用时间()x h 的关系，如图所示，根据图象提供的信息，回答下列问题：（1）试用文字说明交点P 所表示的实际意义；（2）求1y 与x 的函数关系式；（3）求小明到达A 地所需的时间．解析：（1）交点P 表示小东和小明出发2.5小时在距离B 地7.5km 处相遇；（2）1520y x =-+；（3）263h 【分析】（1）根据相遇问题的等量关系结合函数图象的表示的量，可知点P 横纵坐标表示两人相遇时的时间和两人离B 地的距离；（2）代入两个已知点坐标列出方程组，用待定系数法求出解析式即可；（3）根据时间等于路程除以速度，用小明走的路程除以小明走的速度即可得到结果．【详解】解：（1）交点P 表示小东和小明出发2.5小时在距离B 地7.5km 处相遇．（2）设1y 与x 的函数关系式为1y kx b =+（k ，b 为常数，且0k ≠），因为函数图象经过点()020，，()40，，所以20b =，①40k b +=，②解得5k =- 所以1y 与x 的函数关系式为1520y x =-+．（3）小明的速度为()7.5 2.53/km h ÷=，小明到达A 地所需的时间为()220363h ÷=．【点睛】本题考查一次函数的应用、待定系数法求解析式和读懂函数图象的能力，熟练运用相遇问题的数量关系解决相关问题是解题的关键．27．某水果生产基地销售苹果，提供以下两种购买方式供客户选择:方式1：若客户缴纳1200元会费加盟为生产基地合作单位，则苹果成交价为3元/千克．方式2：若客户购买数量达到或超过1500千克，则成交价为3.5元/千克；若客户购买数量不足1500千克，则成交价为4元/千克．设客户购买苹果数量为x (千克)，所需费用为y (元)﹒（1）若客户按方式1购买，请写出y (元)与x (千克）之间的函数表达式．(备注：按方式1购买苹果所需费用=生产基地合作单位会费+苹果成交总价)（2）如果购买数量超过1500千克，请说明客户选择哪种购买方式更省钱．解析：（1）12003y x =+；（2）当15002400x <<时，选择方案二省钱；当 2400x =时，两种方案费用一样；当2400x >时，选择方案一省钱．【分析】（1）根据题意即可得出y （元）与x （千克）之间的函数表达式；（2）设方式2购买时所需费用记作y 2元，求出y 2与x （千克）之间的函数表达式，结合（1）的结论解答即可；【详解】解：（1）根据题意得：12003y x =+．（2）方案一:112003y x =+，方案二:2 3.5y x =，当12y y >，12003 3.5,x x +>2400,x <当12,12003 3.5y y x x =+=，2400,x =当12,12003 3.5y y x x <+>2400,x >∴当15002400x <<时，选择方案二省钱；当2400x =时，两种方案费用一样；当2400x >时，选择方案一省钱．【点睛】此题主要考查一次函数的应用；得到两种方案总付费的等量关系是解决本题的关键． 28．已知一次函数3y kx =-的图象经过点()2,1A ．。

一次函数与几何综合(通用版)(含答案)

一次函数与几何综合（通用版）试卷简介:一次函数与几何综合一、单选题(共10道，每道10分)1.如图,已知一条直线经过A(0,2),B(1,0)两点,将这条直线向左平移与x轴,y轴分别交于点C,点D.若DB=DC,则直线CD的函数解析式为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：由题意可求得直线AB的解析式为y=-2x+2，AB∥CD．由DB=DC，DO⊥BC可得，OC=OB=1，∴C（-1，0）．由AB∥CD可设直线CD的解析式为y=-2x+b，把C点坐标代入可得，b=-2，∴直线CD的函数解析式为y=-2x-2．试题难度：三颗星知识点：一次函数图象与几何变换2.如图,一束光线从点A(3,3)出发,经过y轴上的点C反射后经过点B(1,0),则光线从点A到点B 经过的路径长为( )A. B.C. D.5答案：D解题思路：如图，延长AC交x轴于点B′．则点B，B′关于y轴对称，CB=CB′．作AD⊥x轴于点D，则AD=3，DB′=3+1=4，AB′=5．∴AC+CB=AC+CB′=AB′=5．即光线从点A到点B经过的路径长为5．试题难度：三颗星知识点：坐标与图形性质3.如图,△ABC的内心在y轴上,点C的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,2),直线AC的解析式为,则tanA的值是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：根据三角形内心的定义可知∠ABO=∠CBO，∵C（2，0），B（0，2），∴OB=OC，∠CBO=∠ABO=45°，，∴∠ABC=90°即AB⊥BC，可求得直线AB的表达式为：，由得，，即A（-6，-4），∴，在Rt△ABC中，．试题难度：三颗星知识点：一次函数综合题4.如图,直线⊥x轴于点(1,0),直线⊥x轴于点(2,0),直线⊥x轴于点(3,0)…,直线⊥x轴于点(n,0).函数y=x的图象与直线,,,…,分别交于点,…,;函数y=2x的图象与直线,,,…,分别交于点,…,.如果△的面积为,四边形的面积为,四边形的面积为,…,四边形的面积为,那么=( )A.4025B.4023C. D.答案：C解题思路：∵函数y=x的图象与直线，，，…，分别交于点，∴∵函数y=2x的图象与直线，，，…，分别交于点∴，，……．当n=2013时，．试题难度：三颗星知识点：一次函数综合题5.如图,在平面直角坐标系中,直线经过原点O,且与x轴正半轴的夹角为30°.点M在x轴上,⊙M的半径为2,⊙M与直线相交于A,B两点.若△ABM为等腰直角三角形,则点M的坐标为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：如图，当点M在原点右边时，过点M作MN⊥AB，垂足为N，则，∵△ABM为等腰直角三角形，∴AN=MN，∴，∵AM=2，∴，∴，∵直线与x轴正半轴的夹角为30°，∴，∴点M的坐标为，由对称性可知，点M′的坐标为．试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性6.已知在直角坐标系中有两条直线,直线所对应的函数解析式为y=x-2,如果将坐标纸折叠,使与重合,则点(-1,0)与点(0,-1)也重合,那么直线所对应的函数解析式为( )A.y=x-2B.y=x+2C.y=-x-2D.y=-x+2答案：B解题思路：∵折叠坐标纸可以使点（-1，0）与点（0，-1）重合，∴是沿直线y=x折叠的（也就是对称轴为直线y=x）．∵y=x-2过点（0，-2），（2，0），折叠后的对应点为（-2，0），（0，2），即直线过两点（-2，0），（0，2）．可以求得：y=x+2．试题难度：三颗星知识点：一次函数图象与几何变换7.如图,有一种动画程序,屏幕上正方形ABCD是黑色区域(含正方形边界),其中A(1,1),B(2,1),C(2,2),D(1,2),用信号枪沿直线发射信号,当信号遇到黑色区域时,区域便由黑变白,则能够使黑色区域变白的b的取值范围是( )A.3<b<6B.2<b<6C.3≦b≦6D.2<b<5答案：C解题思路：题干意思是指直线与小正方形有交点时，求b的取值范围．我们知道直线是由直线向上平移b个单位得到的，若直线与小正方形有交点，可知当直线经过A（1，1）时b的值最小，此时b=3；当直线经过C（2，2）时，b最大，此时b=6．∴能够使黑色区域变白的b的取值范围为3≦b≦6．试题难度：三颗星知识点：一次函数综合题8.已知矩形ABCD中,AB=9,AD=3,将此矩形置于平面直角坐标系中,使AB在x轴正半轴上,若经过点C的直线与x轴交于点E,则四边形AECD的面积为( )A.9B.18C.6D.21答案：B解题思路：在矩形ABCD中，要求四边形AECD的面积，只需求出△EBC的面积即可，即求BE的长．∵点C的纵坐标是3，代入直线解析式可得点C（10，3），∴OB=10，∵直线与x轴交于点E，∴点E（4，0），∴OE=4，BE=6，则△EBC的面积为9，∴四边形AECD的面积为18．试题难度：三颗星知识点：一次函数综合题9.如图,在平面直角坐标系xOy中,A(0,2),B(0,6),动点C在直线y=x上.若以A,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点C的个数为( )A.2B.3C.4D.5答案：B解题思路：由于点A，B是固定点，要使△ABC是等腰三角形，只需根据一线两圆，判断与直线的交点即可．①作线段AB的垂直平分线，交直线于点，则是以AB为底的等腰三角形；②以点A为圆心，AB长为半径作圆，交直线于两点，，则，分别是以为底的等腰三角形；③以点B为圆心，AB长为半径作圆，我们发现该圆与直线无交点，原因在于：过点B作直线的垂线BM，垂足为M，．试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性10.如图,在以点O为原点的平面直角坐标系中,一次函数的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C在直线AB上,且,反比例函数的图象经过点C,则所有可能的k值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：由题意得，A（2，0），B（0，1），．显然当点为线段AB的中点时，有，此时点的坐标为，．如图，以点O为圆心，的长为半径作圆，交直线AB于另一点，则点也符合条件．过点O作OE⊥AB于点E，过点作⊥x轴于点F，则，．在中，，，则；在中，，且，则，∴点，综上：，试题难度：三颗星知识点：一次函数综合题。

八年级数学一次函数32道典型题(含答案和解析)

八年级数学一次函数32道典型题（含答案和解析）1、下列函数中：① y=2πx ；② y=－2x+6；③ y=34x ；④ y=x2+3；⑤ y=32x ；⑥ y=√x ，其中是一次函数的有（）个．A.1B.2C.3D.4 答案： C ．解析： ①②③满足自变量次数为1，系数不为零，且自变量不在分母上，故为一次函数．④自变量次数不为1，故不是一次函数． ⑤自变量在分母上，不是一次函数． ⑥自变量次数为12，不是一次函数．考点：函数——一次函数——一次函数的基础．2、当m= 时，y=（m －4）x 2m+1－4x －5 是一次函数．答案： 4或0.解析：y=（m －4）x 2m+1－4x －5是一次函数．则 m －4=0或2m+1=1．解得 m=4或m=0.考点：函数——一次函数——一次函数的基础．3、一次函数y=kx+b 的图象不经过第二象限，则k ，b 的取值范围是（）．A. k ＜0，b≥0B. k ＞0，b≤0C. k ＜0，b ＜0D. k ＞0，b ＞0 答案： B ．解析： ① k ＞0时，直线必经过一、三象限，故k ＞0.② 再由图象过三、四象限或者原点，所以b≤0 ．考点：函数——一次函数——一次函数的性质——一次函数图象与k 、b 的关系．4、一次函数y=kx －k 的图象一定经过（）．A. 一、二象限B. 二、三象限C. 三、四象限D. 一、四象限答案： D ．解析：解法一：当k ＞0时，函数为增函数，且与y 轴交点在x 轴下方，此时函数经过一、三、四象限．当k ＜0时，函数为减函数，且与y 轴交点在x 轴上方，此时函数经过一、二、四象限．∴一次函数y=kx －k 的图象一定经过一、四象限．解法二：一次函数y=kx －k=k （x －1）的图象一定过（1,0），即该图象一定经过一、四象限．考点：函数——一次函数——一次函数的图象——一次函数的性质．5、如果ab ＞0，ac ＜0，则直线y=−ab x+cb 不通过（）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案： A ．解析：ab ＞0 ，ac ＜0．则a ，b 同号；a ，c 异号；b ，c 异号． ∴−ab ＜0，cb ＜0.∴直线y=−abx+cb 过第二、三、四象限．考点：函数——一次函数——一次函数的性质——一次函数图象与k 、b 的关系．6、如图，一次函数y=kx+b 和正比例函数y=kbx 在同一坐标系内的大致图象是（）．解析：A 、∵一次函数的图象经过一、三、四象限．∴k＞0，b＜0．∴kb＜0.∴正比例函数y=kbx应该经过第二、四象限．故本选项错误．B、∵一次函数的图象经过一、二、四象限．∴k＜0，b＞0．∴kb＜0.∴正比例函数y=kbx应该经过第二、四象限．故本选项正确．C、∵一次函数的图象经过二、三、四象限.∴k＜0，b＜0．∴kb＞0.∴正比例函数y=kbx应该经过第一、三象限．故本选项错误．D、∵一次函数的图象经过一、二、三象限.∴k＞0，b＞0．∴kb＞0.∴正比例函数y=kbx应该经过第一、三象限．故本选项错误．故选B．考点：函数——一次函数——正比例函数的图象——一次函数的图象．7、下列图象中，不可能是关于的一次函数y=mx－（m－3）的图象的是（）．解析：将解析式变为y=mx+（3－m）较易判断．考点：函数——一次函数——一次函数的图象．8、若一次函数y=－2x+3的图象经过点P1（－5，m）和点P2（1，n），则m n．（用“＞”、“＜”或“＝”填空）．答案：＞．解析：在y=－2x+3中，k=－2＜0.∴在一次函数y=－2x+3中，y随x的增大而减小.∵－5＜1.∴m＞n．考点：函数——一次函数——一次函数的性质．9、一次函数y=kx+b中，y随着x的增大而减小，b＜0，则这个函数的图象不经过（）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：A．解析：∵一次函数y=kx+b中，y随着x的增大而减小．∴k＜0.又∵b＜0.∴这个函数的图象不经过第一象限．考点：函数——一次函数——一次函数的性质——一次函数图象与k、b的关系．10、已知一次函数y=kx+b－x的图象与x轴的正半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则k，b的取值情况为（）．A. k＞1，b＜0B. k＞1，b＞0C. k＞0，b＞0D. k＞0，b＜0答案：A．解析：一次函数y=kx+b－x即为y=（k－1）x+b．∵函数值y随x的增大而增大．∴k－1＞0，解得k＞1.∵图象与x轴的正半轴相交，∴b ＜0.考点：函数——一次函数——一次函数的性质——一次函数图象与k 、b 的关系．11、已知一次函数y=kx+2k+3的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，且函数值y 随x 的增大而减小，则k 所有可能取得的整数值为．答案：－1.解析：由已知得：{ 2k +3＞0k ＜0.解得：−32＜k ＜0. ∵k 为整数． ∴k=－1.考点：函数——一次函数——一次函数的性质——一次函数图象与k 、b 的关系．12、在直角坐标系x0y 中，一次函数y=kx+6的图象经过点A （2,2）．（1）求一次函数的表达式．（2）求一次函数图象与x 轴、y 轴交点的坐标．答案：（1）一次函数的表达式为：y=－2x+6.（2）一次函数图象与x 轴、y 轴交点的坐标分别为（3,0），（0,6）．解析：（1） ∵一次函数y=kx+6的图象经过点A （2,2）．∴2=2k+6． ∴k=－2.∴一次函数的表达式为：y=－2x+6.（2）在y=－2x+6中，令x=0，则y=6，令y=0，则x=3.∴一次函数图象与x 轴、y 轴交点的坐标分别为（3,0），（0,6）．考点：函数——一次函数——一次函数与坐标轴交点——求一次函数解析式．13、设一次函数y=kx+b 的图象经过点P （1,2），它与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，坐标原点为O ，若OA+OB=6，则此函数的解析式是或．答案： 1．y=－x+3.2．y=－2x+4.解析：因为一次函数y=kx+b的图象经过点P（1,2）．所以k+b=2，即k=2－b．令y=0，则x=−bk =bb−2．所以点A（bb−2，0），点B（0，b）．又因为A，B位于x轴，y轴的正半轴，并且OA+OB=6．所以bb−2+b=6，其中b＞2．解得b=3或b=4.此时k=－1或－2.所以函数的解析式是y=－x+3或y=－2x+4.考点：函数——一次函数——一次函数综合题．14、一次函数y=（m2－1）x+（1－m）和y=（m+2）x+（2m－3）的图象分别与y轴交于点P和Q，这两点关于x轴对称，则m的值是（）．A. 2B.2或－1C. 1或－1D.－1答案：A．解析：一次函数y=（m2－1）x+（1－m）的图象与y轴的交点P为（0,1－m）．一次函数y=（m+2）x+（2m－3）的图象与y轴的交点Q为（0,2m－3）．因为P和Q关于x轴对称．所以1－m+2m－3=0.解得m=2.考点：函数——一次函数——一次函数的图象——一次函数图象与几何变换．15、已知直线y=2x－1．（1）求此直线与x轴的交点坐标．（2）若直线y=k1x+b1与已知直线平行，且过原点，求k1、b1的值．（3）若直线y=k2x+b2与已知直线关于y轴对称，求k2、b2的值．答案：（1）（12，0）．（2）k1=2，b1=0．（3）k2=－2，b2=－1．解析：（1）令y=0，则0=2x－1.∴x=12.∴与x轴的交点坐标为（12，0）．（2）∵y=k1x+b1与y=2x－1平行．∴k1=2.又∵y=k1x+b1过原点．∴b1=0．（3）在直线y=2x－1上任取一点（1,1）．则（1,1）关于y轴的对称点为（－1,1）．又∵y=k2x+b2与已知直线关于y轴对称．则b2=－1．点（－1,1）在直线y=k2x－1上.∴1=－k2－1.∴k2=－2.考点：函数——一次函数——一次函数与坐标轴交点——一次函数图象与几何变换——两条直线相交或平行问题．16、如图所示，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（1，b）．（1）求b的值．（2）解关于x，y的方程组{y=x+1y=mx+n，请你直接写出它的解．（3）直线l3：y=nx+m是否也经过点P？请说明理由．答案：（1）b=2．（2）{x=1y=2．（3）直线l3：y=nx+m经过点P．解析：（1）将P（1，b）代入y=x+1，得b=1+1=2．（2）由于P点坐标为（1,2），所以{x=1y=2．（3）将P（1,2）代入解析式y=mx+n得，m+n=2．将x=1代入y=nx+m得y=m+n．由于m+n=2.所以y=2.故P（1,2）也在y=nx+m上．考点：函数——一次函数——求一次函数解析式——一次函数与二元一次方程．17、如图，直线y=kx+b经过A（－1,1）和B（－√7,0）两点，则关于x的不等式组0＜kx+b＜－x的解集为．答案：－√7＜x＜－1.解析：∵直线y=kx+b经过B（－√7,0）点．∴0＜kx+b，就是y＞0，y＞0的范围在x轴的上方．此时：－√7＜x．∵直线y=－x经过A（－1,1）．那么就是A点左侧kx+b＜－x．得：x＜－1.故解集为：－√7＜x＜－1.考点：函数——一次函数——一次函数与一元一次不等式．18、阅读理解：在数轴上，x=1表示一个点，在平面直角坐标系中，x=1表示一条直线（如图（a）所示），在数轴上，x≥1表示一条射线；在平面直角坐标系中，x≥1表示的是直线x=1右侧的区域；在平面直角坐标系中，x+y－2=0表示经过（2，0），（0,2）两点的一条直线，在平面直角坐标系中，x+y－2≤0表示的是直线x+y－2=0及其下方的区域（如图（b）所示），如果x，y满足{x+2y−2≥03x+2y−6≤0x≥0y≥0，请在图（c）中用阴影描出点（x，y）所在的区域．答案：解析：略．考点：函数——一次函数——一次函数与一元一次不等式．19、甲、乙两人从顺义少年宫出发，沿相同的线路跑向顺义公园，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超过甲150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后，乙和甲一起以甲原来的速度跑向顺义公园，如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）的函数图象，请根据题意解答下列问题．（1）在跑步的全过程中，甲共跑了米，甲的速度为米/秒．（2）求乙跑步的速度及乙在途中等候甲的时间．（3）求乙出发多长时间第一次与甲相遇？答案：（1）1．900.2．1.5．（2）乙在途中等候甲的时间是100秒.（3）乙出发150秒时第一次与甲相遇．解析：（1）解：根据图象可以得到：甲共跑了900米，用了600秒.∴甲的速度为900÷600=1.5米/秒．（2）甲跑500秒的路程是500×1.5=750米.甲跑600米的时间是（750－150）÷1.5=400秒.乙跑步的速度是750÷（400－100）=2.5米/秒.乙在途中等候甲的时间是500－400=100秒．（3）∵D（600,900），A（100,0），B（400,750）．∴OD的函数关系式为y=1.5x，AB的函数关系式为y=2.5x－250.根据题意得{y=1.5xy=2.5x−250．解得x=250.∴乙出发150秒时第一次与甲相遇．考点：函数——一次函数——一次函数的应用．20、如图1是某公共汽车线路收支差额y（单位：万元）（票价总收人减去运营成本）与乘客量x（单位：万人）的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会．乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏．公交公司认为：运营成本难以下降，公司己尽力，提高票价才能扭亏．根据这两种意见，可以把图1分别改画成图2和图3.（1）说明图1中点A和点B的实际意义．（2）你认为图2和图3两个图象中，反映乘客意见的是，反映公交公司意见的是．（3）如果公交公司采用适当提高票价又减少成本的办法实现扭亏为赢，请你在图4 中画出符合这种办法的y与x的大致函数关系图象．答案：（1）点A表示这条线路的运营成本为1万元．点B表示乘客数达1.5万人时，这条线路的收支达到平衡．（2）1．图3.2．图2.（3）将图4中的射线AB绕点A逆时针适当旋转且向上平移．解析:（1）点A表示这条线路的运营成本为1万元．点B表示乘客数达1.5万人时，这条线路的收支达到平衡．（2）反映乘客意见的是图3.反映公交公司意见的是图2．（3）将图4中的射线AB绕点A逆时针适当旋转且向上平移．考点：函数——一次函数——一次函数的图象——一次函数的应用．x+b的图象经过点A（2，3），AB⊥x轴于点B，连接OA．21、如图，已知一次函数y=−12（1）求一次函数的解析式．（2）设点P 为y=−12x+b 上的一点，且在第一象限内，经过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ．若△POQ 的面积等于54倍的△AOB 的面积，求点P 的坐标．答案：（1） y=−12x+4．（2）（3，52）或（5，32）.解析：（1） ∵一次函数y=−12x+b 的图象经过点A （2，3）．∴3=（−12）×2+b ．解得b=4.故此一次函数的解析式为：y=−12x+4.（2）设P （p ，d ），p ＞0．∵点P 在直线y=−12x+4的图象上．∴ d=−12p+4①．∵ S △POQ =54S △AOB =54×12×2×3． ∴ 12pd=154②.①②联立得，{ d =−12p +412pd =154．解得{ p =3d =52或{p =5d =32．∴ 点坐标为：（3，52）或（5，32）.考点：函数——一次函数——求一次函数解析式——一次函数的应用．22、已知：一次函数y=12x+3的图象与正比例函数y=kx 的图象相交于点A （a ，1）．（1）求a 的值及正比例函数y=kx 的解析式．（2）点P 在坐标轴上（不与原点O 重合），若PA=OA ，直接写出P 点的坐标．（3）直线x=m （m ＜0且m≠－4 ）与一次函数的图象交于点B ，与正比例函数图象交于点C ，若△ABC 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式．答案：（1） a=－4，正比例函数的解析式为y=−14x ．（2） P 1（－8,0）或P 2（0,2）．（3） S △ABC=38m2+3m+6（m≠－4）．解析：（1） ∵一次函数y=12x+3的图象与正比例函数y=kx 的图象相交于点A （a ，1）．∴ 12a+3=1. 解得a=－4. ∴ A （－4,1）． ∴ 1=K×（－4）．解得k=−14．∴正比例函数的解析式为y=−14x ．（2）如图1，P 1（－8,0）或P 2（0,2）．（3）依题意得，点B 坐标为（m ，12m+3），点C 的坐标为（m ，−m4）．作AH ⊥BC 于点H ，H 的坐标为（m ，1）．分两种情况： ① 当m ＜－4时．BC=−14m －（12m+3）=−34m －3.AH=－4－m ．则S △ABC =12BC×AH=12（−34m －3）（－4－m ）=38m 2+3m+6.② 当m ＞－4时．BC=（12m+3）+m 4=34m+3.AH=m+4．则S △ABC =12BC×AH=12（34m+3）（m+4）=38m 2+3m+6.综上所述，S △ABC=38m2+3m+6（m≠－4）．考点：函数——平面直角坐标系——坐标与距离——坐标与面积．一次函数——一次函数图象上点的坐标特征——两条直线相交或平行问题——一次函数综合题．三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换．23、已知y 1=x+1，y 2=－2x+4，当－5≤x≤5时，点A （x ，y 1）与点B （x ，y 2）之间距离的最大值是．答案：18.解析：当x=5时，y 1=6，y 2=－6．当x=－5时，y 1=－4，y 2=14．∴ A （5,6），B （5，－6）或A （－5，－4），B （－5,14）. ∴ AB=6－（－6）=12或AB=14－（－4）=18. ∴ 线段AB 的最大值是18．考点：函数——一次函数——一次函数的性质．24、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−4x+8与x轴，y轴分别交于点A，点B，点3D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C 处．（1）求AB的长和点C的坐标．（2）求直线CD的解析式．答案: （1）AB=√62+82=10，点C的坐标为C（16，0）．（2）直线CD的解析式为y=3x－12．4解析：（1）根据题意得A（6,0），B（0,8）．在RT△OAB中，∠AOB=90°，OA=6，OB=8．∴AB=√62+82=10．∵△DAB沿直线AD折叠后的对应三角形为△DAC．∴AC=AB=10．∴OC=OA+AC=OA+AB=16．∵点C在x轴的正半轴上．∴点C的坐标为C（16,0）．（2）设点D的坐标为D（0，y）（y＜0）．由题意可知CD=BD，CD2=BD2．由勾股定理得162+y2=（8－y）2．解得y=－12．∴点D的坐标为D（0，－12）．可设直线CD的解析式为y=kx－12（k≠0）．∵点C（16,0）在直线y=kx－12上．∴16k－12=0．．解得k=34∴直线CD的解析式为y=3x－12．4考点：函数——一次函数——一次函数与坐标轴交点——求一次函数解析式．25、直线AB：y=－x+b分别与x、y轴交于A、B两点，点A的坐标为（3,0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB:OC=3:1．（1）求点B的坐标及直线BC的解析式．（2）在x轴上方存在点D，使以点A、B、C为顶点的三角形与△ABC全等，画出△ABD，并请直接写出点D的坐标．（3）在线段OB上存在点P，使点P到点B，C的距离相等，求出点P的坐标．答案：（1）B（0,3），直线BC的解析式为y=3x+3．（2）画图见解析，D1（4,3），D2（3,4）．（3）证明见解析．解析：（1）把A（3,0）代入y=－x+b，得b=3．∴B（0,3）．∴OB=3.∵OB:OC=3:1.∴OC=1．∵点C在x轴负半轴上．∴C（－1,0）．设直线BC 的解析式为y=mx+n ．把B （0，3）及C （－1,0）代入，得{n =3−m +n =0．解得{m =3n =3．∴直线BC 的解析式为：y=3x+3．（2）如图所示，D 1（4,3），D 2（3,4）．（3）由题意，PB=PC ．设PB=PC=X ，则OP=3－x ．在RT △POC 中，∠POC=90°． ∴ OP 2+OC 2=PC 2． ∴ （3－x ）2+12=x 2．解得，x=53．∴ OP=3－x=43．∴点P 的坐标（0，43）．考点：函数——平面直角坐标系——特殊点的坐标．一次函数——求一次函数解析式．三角形——全等三角形——全等三角形的性质．26、一次函数y=kx+b （k≠0），当x=－4时，y=6，且此函数的图象经过点（0,3）．（1）求此函数的解析式．（2）若函数的图象与x 轴y 轴分别相交于点A 、B ，求△AOB 的面积．（3）若点P 为x 轴正半轴上的点，△ABP 是等腰三角形，直接写出点P 的坐标．答案：（1）y=−34x+3.（2）6.（3）（78，0）或（9,0）．解析：（1）当x=－4时，y=6，且此函数的图象经过点（0,3）．代入y=kx+b 有，{−4k +b =6b =3，解得：{k =−34b =3．∴此函数的解析式为y=−34x+3.（2）当y=0时，x=4．∴点A （4,0），B （0,3）． ∴ S △AOB=12×3×4=6.（3）AB=√42+32=5．当点P 为P 1时，BP 1=AP 1.∴在RT △OBP 1中，32+OP 12=（4－OP 1）2．解得：OP 1=78. ∴ P1（78，0）．当点P 为P 2时，AB=AP 2，∴P 2（9,0）．故点P 的坐标为（78，0）或（9,0）．考点：函数——一次函数——一次函数与坐标轴交点——求一次函数解析式．三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换．等腰三角形——等腰三角形的性质．27、已知点A （-4,0），B （2,0）．若点C 在一次函数y=12x+2的图象上，且△ABC 是直角三角形，则点C 的个数是（）．A.1B. 2C. 3D.4 答案： B ．解析：如图所示，当AB 为直角边时，存在C 1满足要求．当AB 为斜边时，存在C 2满足要求．故点C的个数是2．考点：函数——一次函数——一次函数综合题．28、在平面直角坐标系xOy中，点A（－3,2），点B是x轴正半轴上一动点，连结AB，以AB为腰在x轴的上方作等腰直角△ABC，使AB=BC．（1）请你画出△ABC．（2）若点C（x，y），求y与x的函数关系式．答案：（1）画图见解析．（2）y=x+1.解析：（1）（2）作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F.∴∠AEB=∠BFC=90°．∵A（－3,2）．∴ AE=2，EO=3. ∵ AB=BC ，∠ABC=90°． ∴ ∠ABE+∠CBF=90°． ∵ ∠BCF+∠CBF=90°． ∴ ∠ABE=∠BCF. ∴ △ABE ≌△BCF ． ∴ EB=CF ，AE=BF. ∵ OF=x ，CF=y ． ∴ EB=y=3+（x+2）． ∴ y=x+1．考点：函数——一次函数——一次函数综合题．三角形——直角三角形——等腰直角三角形．29、如图，直线l 1：y=12x 与直线l 2：y=－x+6交于点A ，直线l 2与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，点E 是线段OA 上一动点（E 不与O 、A 重合），过点E 作 EF ∥x 轴，交直线l 2于点F ．（1）求点A 的坐标．（2）设点E 的横坐标为t ，线段EF 的长为d ，求d 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．（3）在x 轴上是否存在一点P ，使△PEF 为等腰直角三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请你说明理由．答案:（1）（4,2）．（2） d=6－32t ，其中0＜t ＜4．（3）存在点P （3,0），P （92，0），P （185，0），使△PEF 为等腰直角三角形．解析：（1）联立{ y =12y =−x +6，解得{x =4y =2．∴点A 的坐标为（4,2）．（2）点E 在直线l 1：y=12x ．∵点E 的横坐标为t ． ∴点E 的纵坐标为12t ．∵ EF ∥x 轴，点F 在直线l 2：y=－x+6上． ∴点F 的纵坐标为12t ．由12t=－x+6，得点F 的横坐标为6－12t ．∴ EF 的长d=6−12t －t=6−32t ． ∵ 点E 在线段OA 上． ∴ 0＜t ＜4．（3）若∠PEF=90°，PE=EF ．则6−32t=t2，解得t=3.∵ 0＜t ＜4.∴ P 点坐标为（3,0）．若∠PFE=90°，PF=EF ．则6−32t=t2，解得t=3. ∵ 0＜t ＜4.∴ P 点坐标为（92，0）．若 ∠EPF=90°． ∴6−32t=2×t2，解得t=125. 此时点P 的坐标为（185，0）．综上，存在点P （3,0），P （92，0），P （185，0），使△PEF 为等腰直角三角形．考点：函数——一次函数——两条直线相交或平行问题——一次函数的应用——一次函数综合题．三角形——直角三角形——等腰直角三角形．30、规定：把一次函数y=kx+b 的一次项系数和常数项互换得y=bx+k ，我们称y=kx+b 和y=bx+k （其中k.b≠0，且|k|≠|b |）为互助一次函数，例如y=−23x+2和y=2x −23就是互助一次函数．如图，一次函数y=kx+b 和它的互助一次函数的图象l 1，l 2交于P 点，l 1，l 2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 点和C ，D 点．（1）如图（1），当k=－1，b=3时． ① 直接写出P 点坐标．② Q 是射线CP 上一点（与C 点不重合），其横坐标为m ，求四边形OCQB 的面积S 与m 之间的函数关系式，并求当△BCQ 与△ACP 面积相等时m 的值．（2）如图（2），已知点M （－1,2），N （-2,0）．试探究随着k ，b 值的变化，MP+NP 的值是否发生变化？若不变，求出MP+NP 的值；若变化，求出使MP+NP 取最小值时的P 点坐标．答案: （1）① （1,2）．② S=2m −16（m ＞13），m=53.（2）随着k ，b 值的变化，点P 在直线x=1上运动，MP+NP 的值随之发生变化．使MP+NP 取最小值时的P 点坐标为（1，65）．解析：（1）① P （1,2）．② 如图，连接OQ ．∵ y=－X+3与y=3x －1的图象l 1，l 2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 点和C ，D 点． ∴ A （3,0），B （0,3），C （13，0），D （0，－1）．∵ Q （m ，3m －1）（m ＞13）．∴ S=S △OBQ +S △OCQ =12×3×m+12×13×（3m －1）=2m −16（m ＞13）．∴ S △BCQ =S －S △BOC =2m −16−12×3×13=2m −23. 而S △ACP =12×（3−13）×2=83．由S △BCQ=S △ACP ，得2m −23=83，解得m=53．（2）由{ y =kx +b y =bx +k，解得{ x =1y =k +b ，即P （1，k+b ）．∴随着k ，b 值的变化，点P 在直线x=1上运动，MP+NP 的值随之发生变化．如图，作点N （-2,0）关于直线x=1的对称点N(4,0)，连接MN 交直线x=1于点P ，则此时MP+NP 取得最小值．设直线MN 的解析式为y=cx+d ，依题意{−c +d =24c +d =0.解得{c =−25y =85.∴直线MN 的解析式为y=−25x+85．令x=1，则y=65，∴P （1，65）．即使MP+NP 取最小值时的P 点坐标为（1，65）．考点：函数——函数基础知识——函数过定点问题.一次函数——一次函数与二元一次方程——一次函数综合题. 几何初步——直线、射线、线段——线段的性质：两点之间线段最短. 三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.31、新定义：对于关于x 的一次函数y=kx+b （k≠0），我们称函数{y =kx +b （x ≤m ）y =−kx −b （x ＞m ）为一次函数y=kx+b （k≠0）的m 变函数（其中m 为常数）．例如：对于关于x 的一次函数y=x+4的3变函数为{y =x +4（x ≤3）y =−x −4（x ＞3）．（1）关于x 的一次函数y=－x+1的2变函数为y ，则当x=4时，y=__________．（2）关于x 的一次函数y=x+2的1变函数为y 1,关于x 的一次函数y=−12x －2的－1变函数为y 2，求函数y 1和函数y 2的交点坐标．（3）关于x 的一次函数y=2x+2的1变函数为y 1，关于x 的一次函数y=−12x －1的m变函数为y 2．① 当－3≤x≤3时，函数y 1的取值范围是__________（直接写出答案）．② 若函数y 1和函数y 2有且仅有两个交点，则m 的取值范围是__________（直接写出答案）．答案：（1）3.（2）（−83，−23）和（0,2）．（3）①－8≤y 1≤4.②−65≤m ＜−23．解析：（1）根据m 变函数定义，关于x 的一次函数y=－x+1的2变函数为： {y =−x +1（x ≤2）y =x −1（x ＞2）.∴ x=4时，y 1=4－1=3．∴ y 1=3．（2）根据定义得：y 1={y =x +2（x ≤1）y =−x −2（x ＞1），y 2={y =−12x −2（x ≤−1）y =12x +2（x ＞−1）．求交点坐标：① {y =x +2（x ≤1）y =−12x −2（x ≤−1），解得{x =−83y =−23． ② {y =x +2（x ≤1）y =12x +2（x ＞−1），解得{x =0y =2． ③ {y =−x −2（x ＞1）y =−12x −2（x ≤−1），无解． ④ {y =−x −2（x ＞1）y =12x +2（x ＞−1），无解．综上所述函数y 1和函数y 2的交点坐标为（−83，−23）和（0,2）．（3）略．考点：函数——一次函数——一次函数的性质——一次函数图象上点的坐标特征——一次函数与二元一次方程——一次函数综合题．32、在平面直角坐标系xOy 中，对于点M （m ，n ）和点N （m ，n’，给出如下定义：若n’={n （m ≥2）−n （m ＜2），则称点N 为点M 的变换点．例如：点（2,4）的变换点的坐标是（2,4），点（－1,3）的变换点的坐标是（－1，－3）．（1）回答下列问题：① 点（√5，1）的变换点的坐标是．② 在点A （－1,2），B （4，－8）中有一个点是函数y=2x 图象上某一点的变换点，这个点是（填“A”或“B”）．（2）若点M 在函数y=x+2（－4≤x≤3）的图象上，其变换点N 的纵坐标n’的取值范围是．（3）若点M 在函数y=－x+4（－1≤x≤a ，a ＞－1）的图象上，其变换点N 的纵坐标n’的取值范围是－5≤n’≤2，则a 的取值范围是．答案: （1）①（√5，1）.② A.（2）－4＜n’≤2或4≤n’≤5.（3）6≤a≤9.解析：（1）① 由定义可知，由于√5＞2，所以点（√5，1）的变换点的坐标是（√5，1）．②若点A（－1,2）是变换点，则变换前的点为（－1，－2），－2=－1×2，在函数y=2x上．若点B（4，－8）是变换点，则变换前的点为（4，－8），－8≠4×2，不在函数y=2x上．所以这个点是A．（2）若点M在函数y=x+2（－4≤x≤3）的图象上，设M（x，x+2）．当2≤x≤3时，4≤n’=x+2≤5．当－4≤x＜2时，－4＜n’=－（x+2）≤2．综上，纵坐标n’的取值范围是－4＜n’≤2或4≤n’≤5.（3）当a＞2时，2≤x＜a时，4－a≤n’=－x+4≤2．－1≤x＜2时，－5≤n’=－（－x+4）≤—2．∴只需－5≤4－a≤－2，此时6≤a≤9.当a＜2时，－1≤x≤a，－5≤n’=－（－x+4）≤a－4.此时不满足－5≤n’≤2，故舍去．综上，的取值范围是6≤a≤9．考点：式——探究规律——定义新运算．函数——平面直角坐标系——点的位置与坐标．一次函数——一次函数图象上点的坐标特征．。

八年级下册数学- 一次函数与几何大综合

第23讲一次函数与几何大综合【板块一】探求点的坐标或坐标关系题型一求点的坐标【例1】已知一次函数y ＝2kx －3k ＋12(k ≠0). (1)不论k 为何值，函数图象必过一定点，求定点的坐标；(2)如图1，设(1)中的定点为P ，C 为y 轴正半轴上一点，∠CPO ＝45°，求S △CPC ； (3)如图2，若k ＝14-，函数图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，在直线AB 上是否存在点Q ，使25QA QB =?若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由.图1针对练习11.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，点O 是AB 的中点，直线l ：y ＝kx －2k ＋4过定点C ，交x 轴于点E . (1)求正方形ABCD 的边长；(2)如图2，在直线l 上有一点N ，CN ＝12AB ，连接AN ，点M 为AN 的中点，连接BM ，求线段BM 的长度的最小值，并求出此时点N 的坐标.图1图22.已知一次函数y ＝－3x ＋3的图象与x 轴、y 轴交于点A ，B ，点C (3，0). ⑴求线段AB 的长度；(2)点G 和点B 关于x 轴对称，点P 在直线CG 上，若△ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标.图2图1【板块二】字母系数求解析式或解析式中的的值题型二求解析式或字母系数的值【例2】在平面直角坐标系中，已知点A （a ，0），C （0，b ）且a ，b 满足(a ＋1)2＝0.⑴直接写出:a ＝_______，b ＝_______；(2)如图1，点B 为x 轴正半轴上的一点:BE ⊥AC 于点E ，交y 轴于点D 连接OE ，若OE 平分∠AEB ，求直线BE 的解析式；(3)如图2，在(2)的条件下，点M 为直线BE 上的一动点:连接OM ，将线段OM 绕点M 逆时针旋转90°，点O 的对应点为N ，当点M 运动时，判断点N 的运动路线是什么图形，并说明理由.图2图1针对练习21.在平直角坐标系中，直线y ＝ax ＋b 与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，且a ，b 满足a ＋3，不论k 为何值，直线l :y ＝kx －2k 都经过x 轴上一定点A .⑴a ＝____，b ＝_____；点A 的坐标为________.(2)如图1，当k ＝1时，将线段BC 沿某个方向平移，使点B ，C 对应的点M ，N 恰好分别在直线l 和直线y ＝2x －4上，请你判断四边形BMNC 的形状，并说明理由；⑶图2，当k 的取值发生变化时，直线l ：y ＝kx －2k 绕着点A 旋转，当它与直线y ＝ax ＋b 相交的夹角为45°时，求出相应的k 的值.图22.如图，直线l 1：y ＝2kx ＋4k ＋4交x 轴正半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，经过点B 的直线l 2：y ＝x ＋4k ＋4交x 轴于点C .⑴若A (4，0)，求两直线的解析式；⑵直线 y ＝－2x 交直线l 1于点M ，，交直线l 2于点N ，若S △MNB ＝S △NCO 求BMAB的值； ⑶直线x ＝k 交l 1于点D ，交l 2于点E ，若2DE －kAC ＝5，求k 的值.图2图1针对练习21．在平面直角坐标系中，直线y ＝ax ＋b 与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，且a ，b 满足a ＋3，不论k 为何值，直线l ：y ＝kx 一2k 都经过x 轴上一定点A ． (1)a ＝，b ＝；点A 的坐标为；(2)如图1，当k＝1时，将线段BC沿某个方向平移，使点B，C对应的点M，N恰好分别在直线l和直线y＝2x －4上，请你判断四边形BMNC的形状，并说明理由；(3)如图2，当k的取值发生变化时，直线l：y＝kx－2k绕着点A旋转，当它与直线y＝ax＋b相交的夹角为45°时，求出相应的k的值．图1 图22．如图，直线l1：y＝2kx＋4k＋4交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，经过点B的直线l2：y＝x＋4k＋4交x轴于点C．(1)若A(4，0)，求两直线的解析式；(2)直线y＝－2x交直线l1于点M，交直线l2于点N，若S△MNB＝S△NCO，求BMAB的值；(3)直线x＝k交l1于点D，交l2于点E，若2DE一kAC＝5，求k的值．【板块三】探求点的轨迹模型三探求点的轨迹【例3】在平面直角坐标系中，点A(0，8)、C(8，0)，四边形AOCB是正方形，点D（a，0）是x轴正半轴上的一动点，∠ADE＝90°，DE交正方形AOCB的外角的平分线CE于点E．（1）点D(a，0)在x轴正半轴上运动，点P在y轴上，若四边形PDEB为菱形，求直线PB的解析式；（2）连接AE，点F是AE的中点，当点D在x轴正半轴上运动时，点F到CE的距离是否为定值？若为定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由．针对练习32．已知直线l 1:y ＝mx －4m 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，直线l 2:y ＝nx －12m ，交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，交l 1于点E （1）求点A 坐标；（2）如图1，若B 为线段AE 中点，求证：EC ＝EA ；（3）如图2，P （0，t ），将线段P A 绕点P 逆时针方向旋转90°至PF ，连接AF ，OF ，求OF ＋AF 的最小值．【板块四】探求线段关系题型四探求线段关系【例4】直线y ＝kx －2k 交x 轴于点B ，交y 轴于点A（1）当k ＝－2时，①点P 为直线AB 上的一动点，求OP 的最小值；②若点Q 为x 轴上的一点，∠QAB ＝45°，求点Q 坐标；（2）若直线CD :Y ＝22kk x -交AB 于点D ，点C 的横坐标为－1，求AD ACBD-针对练习41．已知点C （0，－2），直线l :y ＝kx －2k ，无论k 取何值，直线总经过点B ． (1)求定点B 的坐标；(2)若直线BC 关于x 轴对称后再向上平移5个单位得到直线B 1C 1，如图，点G （1，a ）和H (6，b )是直线B 1C 1上的两点，点P (m ，n )为第一象限内(G ，H 两点除外)的一点，且mn ＝6，直线PG 和PH 分别交y 轴M ，N 两点，问线段OM ，ON 有什么数量关系?请证明．2．如图1，直线AB 交x 轴正半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，OA ＝OB ． (1)当AB＝AB 的解析式；(2)如图2，直线y ＝kx 交直线AB 于点C ，点D 是AB 上的一点，过点D 分别作x 轴，y 轴的垂线交直线y ＝kx 于点E ，F ，若CF ＝2CE ，求k 的值；图1 图2。

初二一次函数与几何题练习及答案

3、如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B恰好将矩形OABC分为面积相等的两部分，试求b 的值。

4、如图，在平面直角坐标系中，直线y= 2x —6与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，点C 在x 轴上，若△ABC 是等腰三角形，试求点C 的坐标。

5、在平面直角坐标系中，已知A （1，4）、B （3，1），P 是坐标轴上一点，（1）当P 的坐标为多少时，AP+BP 取最小值，最小值为多少? 当P 的坐标为多少时，AP-BP 取最大值，最大值为多少？6、如图，已知一次函数图像交正比例函数图像于第二象限的A 点，交x 轴于点B （-6，0），△AOB 的面积为15，且AB=AO ，求正比例函数和一次函数的解析式。

7、已知一次函数的图象经过点（2，20），它与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1，求这个一次函数的表达式。

8、已经正比例函数Y=k1x的图像与一次函数y=k2x-9的图像相交于点P(3,-6) 求k1,k2的值如果一次函数y=k2x-9的图象与x轴交于点A 求点A坐标9、正方形ABCD的边长是4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB在x轴负半轴上，A点的坐标是（-1，0），（1）经过点C的直线y=-4x-16与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；（2）若直线L经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线L的解析式。

10、在平面直角坐标系中，一次函数y=Kx+b(b小于0）的图像分别与x 轴、y轴和直线x=4交于A、B、C，直线x=4与x轴交于点D，四边形OBCD的面积为10，若A的横坐标为-1/2，求此一次函数的关系式11、在平面直角坐标系中,一个一次函数的图像过点B(-3,4),与y轴交于点A，且OA=OB：求这个一次函数解析式12、如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P（2，m）在第一象限，直线PA交y轴于点C （0，2），直线PB交y轴于点D，S AOP=6.求：（1）△COP 的面积（2）求点A 的坐标及m 的值；（3）若S BOP =S DOP ，求直线BD 的解析式13、一次函数y=-33x+1的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以AB 为边在第一象限内做等边△ABC （1）求△ABC 的面积和点C 的坐标；（2）如果在第二象限内有一点P （a ，21），试用含a 的代数式表示四边形ABPO 的面积。

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初二一次函数与几何题1、平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，0），点P 在直线y=-x-m 上，且AP=OP=4，则m 的值是多少？2、如图，已知点A 的坐标为（1，0），点B 在直线y=-x 上运动，当线段AB 最短时，试求点B 的坐标。

3、如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为（15，6），分为面积相等的两部分，试求b 的值。

4、如图，在平面直角坐标系中，直线y= 2x —6与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，点C 在x 轴上，若△ABC 是等腰三角形，试求点C 的坐标。

7、已知一次函数的图象经过点（2，20），它与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1，求这个一次函数的表达式。

8、已经正比例函数Y=k1x的图像与一次函数y=k2x-9的图像相交于点P(3,-6)求k1,k2的值如果一次函数y=k2x-9的图象与x轴交于点A 求点A坐标9、正方形ABCD的边长是4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB在x轴负半轴上，A点的坐标是（-1，0），（1）经过点C的直线y=-4x-16与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；（2）若直线L经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线L的解析式。

10、在平面直角坐标系中，一次函数y=Kx+b(b小于0）的图像分别与x轴、y轴和直线x=4交于A、B、C，直线x=4与x轴交于点D，四边形OBCD的面积为10，若A的横坐标为-1/2，求此一次函数的关系式11、在平面直角坐标系中,一个一次函数的图像过点B(-3,4),与y轴交于点A，且OA=OB：求这个一次函数解析式12、如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P（2，m）在第一象限，直线PA交y轴于点C（0，2），直线PB交y轴于点D，S AOP=6.求：（1）△COP的面积（2）求点A的坐标及m的值；（3）若S BOP =S DOP ，求直线BD的解析式13、一次函数y=--33x+1的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以AB 为边在第一象限内做等边△ABC （1）求△ABC 的面积和点C 的坐标；（2）如果在第二象限内有一点P （a ，21），试用含a 的代数式表示四边形ABPO 的面积。

（3）在x 轴上是否存在点M ，使△MAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

14、已知正比例函数y=k 1x 和一次函数y=k 2x+b 的图像如图，它们的交点A （-3,4），且OB=53OA 。

（1）求正比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB 的面积和周长；（3）在平面直角坐标系中是否存在点P ，使P 、O 、A 、B 成为直角梯形的四个顶点？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。

15、如图，已知一次函数y=x+2的图像与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，（1）求∠CAO 的度数；（2）若将直线y=x+2沿x 轴向左平移两个单位，试求出平移后的直线的解析式；（3）若正比例函数y=kx (k ≠0)的图像与y=x+2得图像交于点B ，且∠ABO=30°，求：AB 的长及点B 的坐标 16、一次函数y=33x+2的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以AB 为边在第二象限内做等边△ABC （1）求C 点的坐标；（2）在第二象限内有一点M （m ，1），使S △ABM =S △ABC ，求M 点的坐标；（3）点C （23，0）在直线AB 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形？若存在，求P 点的坐标；若不存在，说明理由。

17、已知正比例函数y=k1x 和一次函数y=k2x+b 的图像相交于点A(8,6),一次函数与x 轴相交于B ，且OB=0.6OA ，求这两个函数的解析式18、已知一次函数y=x+2的图像经过点A(2,m ）。

与x 轴交于点c ，求角AOC.19、已知函数y=kx+b的图像经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1的图像平行，点B（2，m)在一次函数y=kx+b的图像上（1）求此一次函数的表达式和m的值？（2）若在x轴上有一动点P（x,0),到定点A（4，3）、B（2，m)的距离分别为PA和PB，当点P的横坐标为多少时，PA+PB的值最小？答案3、点到线的最短距离是点向该线做垂线因为直线与x夹角45度所以ABO为等腰直角三角形AB=BO=2分之根号2倍的AO AO=1 BO=2分之根号2在B分别向xy做垂线垂线与轴交点就是B的坐标由于做完还是等腰直角三角形所以议案用上面的共识可知B点坐标是（0.5，-0.5）7、一次函数的解析式为y=8x+4或y=(25/2)x-5.设一次函数为y=kx+b,则它与两坐标轴的交点是（-ｂ/ｋ，0）（0，ｂ），所以有20=2x+b,|-b/k×b|×1/2=1,解之得k1=8,b1=4;k2=25/2,b2=-5.所以,一次函数的解析式为y=8x+4或y=(25/2)x-58、因为正比例函数和一次函数都经过（3，-6）所以这点在两函数图像上所以，当x=3 y=-6 分别代入得k1= -2 k2=1若一次函数图像与x轴交于点A 说明A的纵坐标为0把y=0代入到y=x-9中得 x=9所以A（9，0）例4、A的横坐标=-1/2，纵坐标=00=-k/2+b,k=2bC点横坐标=4，纵坐标y=4k+b=9bB点横坐标=0，纵坐标y=bSobcd=(\9b\+\b\)*4/2=1010\b\=5\b\=1/2b=1/2,k=2b=1 y=x+1/2b=-1/2,k=-1 y=-x-1/2\b\表示b的绝对值11、？解：设这个一次函数解析式为y=kx+b∵y=kx+b经过点B（－3，4）,与y轴交与点A,且OA=OB∴{－3k+b=4{3k+b=0∴{k=－2/3{b=2∴这个函数解析式为y=－2/3x+2？解2根据勾股定理求出OA=OB=5,所以，分为两种情况：当A(0,5)时，将B(-3,4)代入y=kx+b中,y=x/3+5,当A(0,-5),将B(-3,4)代入y=kx+b中y=3x+5,12、做辅助线PF，垂直y轴于点F。

做辅助线PE垂直x轴于点E。

（1）求S三角形COP解：S三角形COP = 1/2 * OC * PF = 1/2 * 2 * 2 = 2（2）求点A的坐标及P的值解：可证明三角形CFP全等于三角形COA，于是有PF/OA = FC/OC.代入PF=2和OC=2，于是有FC * OA = 4.（1式）又因为S三角形AOP=6，根据三角形面积公式有S = 1/2 * AO * PE = 6，于是得到AO * PE = 12.（2式）其中PE = OC + FC = 2 + FC，所以（2）式等于AO * (2 + FC) = 12.（3式）通过（1）式和（3）式组成的方程组就解，可以得到AO = 4，FC = 1.p = FC + OC = 1 + 2 = 3.所以得到A点的坐标为（-4，0），P点坐标为（2，3), p值为3.（3）若S三角形BOP=S三角形DOP，求直线BD的解析式解：因为S三角形BOP=S三角形DOP，就有（1/2)*OB*PE = (1/2)*PF*OD,即(1/2)*(OE+BE)*PE = (1/2)*PF*(OF+FD),将上面求得的值代入有(1/2)*(2+BE)*3 = (1/2)*2*(3+FD)即3BE = 2FD。

又因为：FD：DO = PF：OB 即FD:(3+FD) = 2:(2+BE),可知BE=2.B坐标为（4，0）将BE=2代入上式3BE=2FD，可得FD = 3. D坐标为（0，6）因此可以得到直线BD的解析式为：y = (-3/2)x + 617、正比例函数y=k1x和一次函数y=k2x+b的图像相交于点A(8,6),所以有 8K1=6 (1)8K2+b=6 ....... (2) 又OA=10 所以OB=6 即B点坐标(6,0) 所以6K2+b=0 ....... (3) 解（1）（2）（3）得K1=3/4 K2=3 b=-18OA=√（8^2+6^2）=10，OB=6，B(6，0),k1=6/8=0.75正比例函数y=0.75x,一次函数y=3x-1818、一次函数y=x+2的图像经过点a(2,m）,有m=2+2=4,与x轴交于点c,当y=0时,x=-2.三角形aoc的面积是:1/2*|oc|m|=1/2*|-2|*|4|=4平方单位.19、解：两直线平行，斜率相等故k=1,即直线方程为y=x+b经过点（4，3）代入有：b=-1故一次函数的表达式为：y=x-1经过点（2，m)代入有：m=12)A（4，3），B（2，1）要使得PA+PB最小，则P,A,B在一直线上AB的直线方程为：(y-1)/(3-1)=(x-2)/(4-2)过点（x,0)代入有：(0-1)/2=(x-2)/2x=1即当点P的横坐标为1时，PA+PB的值最小.。