专题七第三讲直线平面平行判定与性质(61张)
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平行第三讲直线与平面平行的性质
求证：EF∥平面BCD.
B
A F D
C
判断下列命题的真假
（1）过直线外一点只能引一条直线与
这条直线平行.
（）
（2）过平面外一点只能引一条直线与
这个平面平行.
（）
（3）若两条直线都和第三条直线垂直， 则这两条直线平行.
（）
（4）若两条直线都和第三条直线平行，
则这两条直线平行.
（）
判断下列命题的真假
求证：EF∥RQ。
AERຫໍສະໝຸດ DSFB
Q
C
例1：有一块木料如图，已知棱BC平行于面A´C´． （1）要经过木料表面A´B´C´D´内的一点P和 棱BC将木料锯开，应怎样画线？ （2）所画的线和面AC有什么关系？
已知：平面，，， l, m,
n,且l // m
求证： n // l, n // m
n
l
m
已知：平面，，， l, m,
ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M是PC 的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面 BDM于GH。 求证：AP∥GH。
P
M
D
G
C
H
A
B
S是空间四边形ABCD对角线BD上任意一点，E、F分 别是AD、CD上的点，且AE:AD=CF:CD,BE与AS交于R， BF与SC交于Q。
∴过直线a的某一个平面 ，若与平面 相交，
则直线a就平行于这一条交线
直线与平面平行性质定理
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这 个平面相交,那么这条直线和交线平行
条件
a , a , b
结论
a // b
a b
例1. 如图，空间四边形ABCD中，
直线、平面平行的判定与性质 课件
(2)GH∥平面 PAD. 证明：连接 FH，OH， ∵F，H 分别是 PC，CD 的中点， ∴FH∥PD，∴FH∥平面 PAD. 又∵O 是 AC 的中点，H 是 CD 的中点， ∴OH∥AD，∴OH∥平面 PAD. 又 FH∩OH＝H， ∴平面 OHF∥平面 PAD. 又∵GH⊂平面 OHF，∴GH∥平面 PAD.
又因为点 H 为 BC 的中点， 所以 OH∥BD. 又因为 OH⊂平面 FGH，BD⊄平面 FGH， 所以 BD∥平面 FGH.
判定线面平行的四种方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b⇒a∥b
面面平行的判定与性质 [典例] 如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点，求证： (1)B，C，H，G 四点共面； [证明] ∵G，H 分别是 A1B1，A1C1 的中点， ∴GH 是△A1B1C1 的中位线， ∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G 四点共面．
突破点(二) 平面与平面平行的判定与性质
平面与语言 符号语言
一个平面内的两条_相__交_ 判定 直__线__与另一个平面平 定理 行，则这两个平面平行
(线面平行⇒面面平行)
a∥β，b∥β， a∩b＝P，a⊂α， b⊂α⇒α∥β
如果两个平行平面同时
性质 定理
和第三个平面_相__交__，那 么它们的_交__线__平行
(2)平面 EFA1∥平面 BCHG. [证明] ∵E，F 分别是 AB，AC 的中点， ∴EF∥BC. ∵EF⊄平面 BCHG，BC⊂平面 BCHG， ∴EF∥平面 BCHG.
专题37直线平面平行的判定与性质ppt课件
包括直线与平面平行和直线与平面相交两种情况，所以排除选项B；选项C中缺少直
线a不在平面α内这一条件；选项D正确．
第1轮 ·数学
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第七章 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
立体几何
02 课堂互动·考点突破
自主 完成
1．(2019·山东日照月考)若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面， 则下列命题正确的是( D )
解析 连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的 中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，所以 BD1∥平面ACE.
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解 析 对于 A ， 若 α⊥β ， m⊥β ， 则 m∥α 或 m⊂α， 故 A 错误； 对 于 B，若 m∥α，n⊥m，则n⊥α或n⊂α或n与α相交，故B错误；对于C，若m∥α，n∥α， m⊂β，n⊂β，则α∥β或α、β相交，故C错误；对于D，若m∥β，m⊂α，α∩β ＝n，由线面平行的性质定理，可得m∥n，故D正确．
线平行(线面平行⇒线线平行)
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图形语言
符号语言
l∥a，a⊂α， l⊄α⇒l∥α
l∥α，l⊂β， α∩β＝b⇒l∥ b
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2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
线a不在平面α内这一条件；选项D正确．
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02 课堂互动·考点突破
自主 完成
1．(2019·山东日照月考)若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面， 则下列命题正确的是( D )
解析 连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的 中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，所以 BD1∥平面ACE.
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解 析 对于 A ， 若 α⊥β ， m⊥β ， 则 m∥α 或 m⊂α， 故 A 错误； 对 于 B，若 m∥α，n⊥m，则n⊥α或n⊂α或n与α相交，故B错误；对于C，若m∥α，n∥α， m⊂β，n⊂β，则α∥β或α、β相交，故C错误；对于D，若m∥β，m⊂α，α∩β ＝n，由线面平行的性质定理，可得m∥n，故D正确．
线平行(线面平行⇒线线平行)
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图形语言
符号语言
l∥a，a⊂α， l⊄α⇒l∥α
l∥α，l⊂β， α∩β＝b⇒l∥ b
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2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
直线、平面平行的判定及其性质完整ppt课件
思考4：有一块木料如图，
E
P为面BCEF内一点，要求 过点P在平面BCEF内画一
F
P D
条直线和平面ABCD平行，
那么应如何画线？
A
整理版课件
C B
5
思考5：如图，设直线b在平面α内，直 线a在平面α外，猜想在什么条件下直线 a与平面α平行？
a
a//b
α
b
整理版课件
6
探究（二）：直线与平面平行的判断定理
通过直线间的平行，推证直线与平面平 行，即将直线与平面的平行关系（空间 问题）转化为直线间的平行关系（平面 问题）.
整理版课件
10
思考6：设直线a，b为异面直线，经过
直线a可作几个平面与直线b平行？过a，
b外一点P可作几个平面与直线a，b都
平行？
a
b
p
b a a
p
整理版课件
b
11
理论迁移
例1 在空间四边形ABCD中，E，F分别是 AB，AD的中点，求证：EF//平面BCD.
定理，分别用文字语言和符号语言可以
怎样表述？
γ
定理 如果两个平行
b
平面同时和第三个平 β
面相交，那么它们的
交线平行.
α
a
/ /, a ,整理版课件 b a / /b 48
思考2:上述定理通常称为平面与平面平 行的性质定理，该定理在实际应用中有 何功能作用？
/ / , a , b a / /b
整理版课件
41
2.2 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.4 平面与平面平行的性质
整理版课件
42
问题提出
1.平面与平面平行的判定定理是什么？
直线、平面平行的判定与性质课件
考点一
直线与平面平行的判定与性质
考向基础
直线与平面平行的判定与性质
文字语言
平面外一条直线与此平面内的一
图形语言
符号语言
a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒a∥α
条直线平行,则该直线与此平面
平行.简称:线线平行,则线面平行
一条直线与一个平面平行,则过
a∥α,a⊂β,
这条直线的任一平面与此平面的
α∩β=b⇒a∥b
别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面平行.
3.证明两个平面都垂直于同一条直线.(客观题可用)
4.证明两个平面同时平行于第三个平面.(客观题可用)
例2 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,
M,N分别是A1B1,A1D1的中点,E,F分别是B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:四边形BDFE为梯形;
∴PQ∥平面BCE.
证法二:如图,在平面ABEF内,过点P作PM∥BE,交AB于点M,连接QM.
∴PM∥平面BCE,且
AP AM
=
,
PE MB
易知AE=BD,又AP=DQ,∴PE=BQ,
∴
AP DQ
AM DQ
=
,∴
=
,
PE BQ
MB QB
∴MQ∥AD,又AD∥BC,
∴MQ∥BC,
∵BC⊂平面BCE,MQ⊄平面BCE,
∴OB∥平面EFC,
∵OB∩OG=O,∴平面OBG∥平面EFC.
方法技巧
方法1
证明直线与平面平行的方法
1.利用线面平行的定义(此法一般伴随反证法证明).
2.利用线面平行的判定定理.应用此法的关键是在平面内找与已知直线
平行的直线.可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常
直线与平面平行的判定与性质
考向基础
直线与平面平行的判定与性质
文字语言
平面外一条直线与此平面内的一
图形语言
符号语言
a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒a∥α
条直线平行,则该直线与此平面
平行.简称:线线平行,则线面平行
一条直线与一个平面平行,则过
a∥α,a⊂β,
这条直线的任一平面与此平面的
α∩β=b⇒a∥b
别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面平行.
3.证明两个平面都垂直于同一条直线.(客观题可用)
4.证明两个平面同时平行于第三个平面.(客观题可用)
例2 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,
M,N分别是A1B1,A1D1的中点,E,F分别是B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:四边形BDFE为梯形;
∴PQ∥平面BCE.
证法二:如图,在平面ABEF内,过点P作PM∥BE,交AB于点M,连接QM.
∴PM∥平面BCE,且
AP AM
=
,
PE MB
易知AE=BD,又AP=DQ,∴PE=BQ,
∴
AP DQ
AM DQ
=
,∴
=
,
PE BQ
MB QB
∴MQ∥AD,又AD∥BC,
∴MQ∥BC,
∵BC⊂平面BCE,MQ⊄平面BCE,
∴OB∥平面EFC,
∵OB∩OG=O,∴平面OBG∥平面EFC.
方法技巧
方法1
证明直线与平面平行的方法
1.利用线面平行的定义(此法一般伴随反证法证明).
2.利用线面平行的判定定理.应用此法的关键是在平面内找与已知直线
平行的直线.可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常
直线平面平行的判定与性质 课件
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
平面外一条直线与
__这__个__平__面__内___的一条 判定
直线平行，则该直线与 定理
此平面平行(简记为“线
线平行⇒线面平行”)
符号语言
因为 l∥a， a⊂α，l⊄α，
所以 l∥α
文字语言 一条直线与一个平面平 行，则过这条直线的任一 性质 平面与此平面的_交__线__与 定理 该直线平行(简记为“线 面平行⇒线线平行”)
2.如图所示，已知四边形 ABCD 是正方形， 四边形 ACEF 是矩形，AB＝2，AF＝1，M 是线段 EF 的中点． (1)求证：MA∥平面 BDE. (2)若平面 ADM∩平面 BDE＝l，平面 ABM∩平面 BDE＝m， 试分析 l 与 m 的位置关系，并证明你的结论．
解：(1)证明：如图，记 AC 与 BD 的交点为 O，连接 OE. 因为 O，M 分别是 AC，EF 的中点，四边形 ACEF 是矩形， 所以四边形 AOEM 是平行四边形，所以 AM∥OE. 又因为 OE⊂平面 BDE，AM⊄平面 BDE， 所以 AM∥平面 BDE.
【解析】 A 错误，n 有可能在平面 α 内；B 错误，平面 α 有 可能与平面 β 相交；C 错误，n 也有可能在平面 β 内；D 正确， 易知 m∥β 或 m⊂β，若 m⊂β，又 n∥m，n⊄β，所以 n∥β，若 m∥β，过 m 作平面 γ 交平面 β 于直线 l，则 m∥l，又 n∥m， 所以 n∥l，又 n⊄β，l⊂β，所以 n∥β.
线面平行的判定与性质(多维探究)
角度一 线面平行的证明 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，G，H 分别是
BC，CC1，C1D1，A1A 的中点．求证： (1)BF∥HD1； (2)EG∥平面 BB1D1D.
文字语言
图形语言
平面外一条直线与
__这__个__平__面__内___的一条 判定
直线平行，则该直线与 定理
此平面平行(简记为“线
线平行⇒线面平行”)
符号语言
因为 l∥a， a⊂α，l⊄α，
所以 l∥α
文字语言 一条直线与一个平面平 行，则过这条直线的任一 性质 平面与此平面的_交__线__与 定理 该直线平行(简记为“线 面平行⇒线线平行”)
2.如图所示，已知四边形 ABCD 是正方形， 四边形 ACEF 是矩形，AB＝2，AF＝1，M 是线段 EF 的中点． (1)求证：MA∥平面 BDE. (2)若平面 ADM∩平面 BDE＝l，平面 ABM∩平面 BDE＝m， 试分析 l 与 m 的位置关系，并证明你的结论．
解：(1)证明：如图，记 AC 与 BD 的交点为 O，连接 OE. 因为 O，M 分别是 AC，EF 的中点，四边形 ACEF 是矩形， 所以四边形 AOEM 是平行四边形，所以 AM∥OE. 又因为 OE⊂平面 BDE，AM⊄平面 BDE， 所以 AM∥平面 BDE.
【解析】 A 错误，n 有可能在平面 α 内；B 错误，平面 α 有 可能与平面 β 相交；C 错误，n 也有可能在平面 β 内；D 正确， 易知 m∥β 或 m⊂β，若 m⊂β，又 n∥m，n⊄β，所以 n∥β，若 m∥β，过 m 作平面 γ 交平面 β 于直线 l，则 m∥l，又 n∥m， 所以 n∥l，又 n⊄β，l⊂β，所以 n∥β.
线面平行的判定与性质(多维探究)
角度一 线面平行的证明 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，G，H 分别是
BC，CC1，C1D1，A1A 的中点．求证： (1)BF∥HD1； (2)EG∥平面 BB1D1D.
直线与平面平行的性质ppt课件
举例 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
例4. 设平面α、β、γ两两相交,且 a ， b , c 若a∥b，求证：b∥c .
a
c
b
α
β
γ
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
证明：因为 b,所以 b 因 为 a // b 所 以 a // ， 又因为 a，所以 a 又因为 c 所 以 a // c， 因 为 a // b 所 以 b // c
小结
1. 复习直线与平面的位置关系 2. 复习直线与平面平行的判定 3. 学习并掌握直线与平面平行的性质
b （√）
a
举例 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
例2.在四面体ABCD中,E、F分别是 AB、AC的中点,过直线EF作平面α,分别 交BD、CD于M、N,求证：EF∥MN.
A
E
F
BM
D
N C
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
直线与平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行,经 过这条直线的平面和这个平面相交,那 么这条直线和交线平行.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
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(1)【证明】因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面 PBC∩平面GEFH＝GH，
所以GH∥BC.同理可证EF∥BC， 因此GH∥EF.
(2)【解】如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接 OP，GK.
因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC.同理可得PO⊥BD. 又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面ABCD内，所以PO⊥底面 ABCD. 又因为平面GEFH⊥平面ABCD，且PO⊄平面GEFH，所以PO∥ 平面GEFH.
【证明】∵CD∥AB，AB⊂平面SAB，CD⊄平面SAB，∴CD∥平 面SAB.又平面CDEF∩平面SAB＝EF，∴CD∥EF.
(2)【解】∵CD⊥AD，平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面 ABCD＝AD，∴CD⊥平面SAD.又SD⊂平面SAD，∴CD⊥SD，同理 AD⊥SD.
由(1)知EF∥CD，∴EF⊥平面SAD. ∵EC＝AC，∠ADC＝∠EDC＝90°， ∴△ADC≌△EDC，∴ED＝AD.
又易知AO＝ 2，S矩形BDEF＝3×2 2＝6 2， 所以四棱锥A－BDEF的体积V1＝13·AO·S矩形BDEF＝4. 同理可得四棱锥C－BDEF的体积V2＝4. 所以多面体ABCDEF的体积V＝V1＋V2＝8.
平行关系的综合应用
(2018河南开封模拟)如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M， N，G分别是AB，AD，EF的中点．
第八章 立体几何
第38节 直线、平面平行的 判定与性质
考纲呈现 1．掌握线线、 线面、面面平行的判定定理和性质定理，并能应 用它们证明有关空间图形的平行关系的简单命题． 2．高考的重点考查内容之一，主要以几何体为载体考查线线、 线面、面面平行的判定和性质.
诊断型·微题组
课前预习·诊断双基
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
微技探究 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截 面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数 思想来解决．
如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D ∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.
(1)求证：EF∥平面β； (2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD 所成的角为60°，求EF的长．
4．(必修2P56练习T2改编)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是 DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．
【答案】平行
【解析】连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，点 E，O分别是DD1，BD的中点，则EO∥BD1，又因为EO⊂平面ACE， BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.
(2019四川乐山一中调研)如图，在多面体ABCDEF中，底面 ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面 ABCD，BF＝3，G和H分别是CE和CF的中点．
(1)求证：平面BDGH∥平面AEF； (2)求多面体ABCDEF的体积．
(1)【证明】在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所 以GH∥EF.又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面 AEF.
又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綊AB.
∴A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形．
∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG.又A1E∩EF＝E， ∴平面EFA1∥平面BCHG.
微技探究 证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义． (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平 行于另一个平面，那么这两个平面平行． (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
3．必记结论 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一 个平面． (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相 平行． (6)如果两个平面分别垂直于同一条直线，那么这两个平面互相 平行．
1．直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条 件．
2．面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件． 3．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为 这两个平面平行，实质上也可以相交．
1．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M， N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是( )
3．(必修2P58练习T3改编)平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
【答案】D
【解析】若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，故排除A.若 α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b ⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.
∴四边形ABCE是平行四边形．∴O为AC的中点．又∵F是PC的 中点，∴FO∥AP.
又FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，∴AP∥平面BEF. (2)如图，连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH ∥PD. 又PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，∴FH∥平面PAD. ∵O是BE的中点，H是CD的中点， ∴OH∥AD. ∵AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD，∴OH∥平面PAD. 又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD. ∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.
行四边形，∴C1D1綊DA，
∴四边形ADC1D1为平行四边形，∴AD1∥C1D， 又AD1⊄平面BDC1，C1D⊂平面BDC1， ∴AD1∥平面BDC1. (2)连接D1D，∵BB1∥平面ACC1A1，BB1⊂平面BB1D1D，平面 ACC1A1∩平面BB1D1D＝D1D， ∴BB1∥D1D. 又D1，D分别为A1C1，AC的中点， ∴BB1＝DD1. 故四边形BDD1B1为平行四边形， ∴BD∥B1D1. 又BD⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1， ∴BD∥平面AB1D1.
1 2
BC＝
4.
由已知可得OB＝4 2 ，PO＝ PB2－OB2 ＝ 68－32 ＝6，所以
GK＝3.
故四边形GEFH的面积S＝GH＋2 EF·GK＝4＋2 8×3＝18.
微技探究 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)． (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)． (3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒α∥β)． (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒α∥β)．
求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG.
【证明】(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点， ∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面． (2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG.
(1)求证：BE∥平面DMF； (2)求证：平面BDE∥平面MNG.
【证明】(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接 MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.
又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF， 所以BE∥平面DMF. (2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以 DE∥GN. 又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG. 又因为M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线， 所以BD∥MN. 又BD⊄平面MNG, MN⊂平面MNG. 所以BD∥平面MNG， 又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线， 所以平面Bห้องสมุดไป่ตู้E∥平面MNG.
1．(2018河北故城期中)在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB ＝BC＝12AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交 于O点，G是线段OF上一点．
(1)求证：AP∥平面BEF； (2)求证：GH∥平面PAD.
【证明】(1)如图，连接EC，
∵AD∥BC，BC＝12AD，E为AD的中点， ∴BC綊AE.
连接AC，设AC与BD的交点为O，连接OH，如图．
在△ACF中，因为O，H分别是AC，CF的中点，所以OH∥AF. 又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF. 因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH， 所以平面BDGH∥平面AEF.
(2)【解】因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.平面 ABCD∩平面BDEF＝BD，AC⊂平面ABCD，且平面ABCD⊥平面 BDEF，所以AC⊥平面BDEF，
2．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的 是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
【答案】B
【解析】若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，故A错 误；B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错误；若m∥α，m ⊥n，则n与α可能平行、相交或n⊂α，故D错误．因此选B.
形成型·微题组
归纳演绎·形成方法
直线与平面平行的判定与性质 命题角度1 直线与平面平行的判定
(2018甘肃张掖模拟)如图所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点 D，D1分别为AC，A1C1的中点．
(1)证明：AD1∥平面BDC1； (2)证明：BD∥平面AB1D1. 【证明】(1)∵D1，D分别为A1C1，AC的中点，四边形ACC1A1为平
所以GH∥BC.同理可证EF∥BC， 因此GH∥EF.
(2)【解】如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接 OP，GK.
因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC.同理可得PO⊥BD. 又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面ABCD内，所以PO⊥底面 ABCD. 又因为平面GEFH⊥平面ABCD，且PO⊄平面GEFH，所以PO∥ 平面GEFH.
【证明】∵CD∥AB，AB⊂平面SAB，CD⊄平面SAB，∴CD∥平 面SAB.又平面CDEF∩平面SAB＝EF，∴CD∥EF.
(2)【解】∵CD⊥AD，平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面 ABCD＝AD，∴CD⊥平面SAD.又SD⊂平面SAD，∴CD⊥SD，同理 AD⊥SD.
由(1)知EF∥CD，∴EF⊥平面SAD. ∵EC＝AC，∠ADC＝∠EDC＝90°， ∴△ADC≌△EDC，∴ED＝AD.
又易知AO＝ 2，S矩形BDEF＝3×2 2＝6 2， 所以四棱锥A－BDEF的体积V1＝13·AO·S矩形BDEF＝4. 同理可得四棱锥C－BDEF的体积V2＝4. 所以多面体ABCDEF的体积V＝V1＋V2＝8.
平行关系的综合应用
(2018河南开封模拟)如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M， N，G分别是AB，AD，EF的中点．
第八章 立体几何
第38节 直线、平面平行的 判定与性质
考纲呈现 1．掌握线线、 线面、面面平行的判定定理和性质定理，并能应 用它们证明有关空间图形的平行关系的简单命题． 2．高考的重点考查内容之一，主要以几何体为载体考查线线、 线面、面面平行的判定和性质.
诊断型·微题组
课前预习·诊断双基
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
微技探究 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截 面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数 思想来解决．
如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D ∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.
(1)求证：EF∥平面β； (2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD 所成的角为60°，求EF的长．
4．(必修2P56练习T2改编)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是 DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．
【答案】平行
【解析】连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，点 E，O分别是DD1，BD的中点，则EO∥BD1，又因为EO⊂平面ACE， BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.
(2019四川乐山一中调研)如图，在多面体ABCDEF中，底面 ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面 ABCD，BF＝3，G和H分别是CE和CF的中点．
(1)求证：平面BDGH∥平面AEF； (2)求多面体ABCDEF的体积．
(1)【证明】在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所 以GH∥EF.又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面 AEF.
又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綊AB.
∴A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形．
∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG.又A1E∩EF＝E， ∴平面EFA1∥平面BCHG.
微技探究 证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义． (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平 行于另一个平面，那么这两个平面平行． (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
3．必记结论 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一 个平面． (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相 平行． (6)如果两个平面分别垂直于同一条直线，那么这两个平面互相 平行．
1．直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条 件．
2．面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件． 3．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为 这两个平面平行，实质上也可以相交．
1．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M， N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是( )
3．(必修2P58练习T3改编)平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
【答案】D
【解析】若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，故排除A.若 α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b ⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.
∴四边形ABCE是平行四边形．∴O为AC的中点．又∵F是PC的 中点，∴FO∥AP.
又FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，∴AP∥平面BEF. (2)如图，连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH ∥PD. 又PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，∴FH∥平面PAD. ∵O是BE的中点，H是CD的中点， ∴OH∥AD. ∵AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD，∴OH∥平面PAD. 又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD. ∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.
行四边形，∴C1D1綊DA，
∴四边形ADC1D1为平行四边形，∴AD1∥C1D， 又AD1⊄平面BDC1，C1D⊂平面BDC1， ∴AD1∥平面BDC1. (2)连接D1D，∵BB1∥平面ACC1A1，BB1⊂平面BB1D1D，平面 ACC1A1∩平面BB1D1D＝D1D， ∴BB1∥D1D. 又D1，D分别为A1C1，AC的中点， ∴BB1＝DD1. 故四边形BDD1B1为平行四边形， ∴BD∥B1D1. 又BD⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1， ∴BD∥平面AB1D1.
1 2
BC＝
4.
由已知可得OB＝4 2 ，PO＝ PB2－OB2 ＝ 68－32 ＝6，所以
GK＝3.
故四边形GEFH的面积S＝GH＋2 EF·GK＝4＋2 8×3＝18.
微技探究 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)． (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)． (3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒α∥β)． (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒α∥β)．
求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG.
【证明】(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点， ∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面． (2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG.
(1)求证：BE∥平面DMF； (2)求证：平面BDE∥平面MNG.
【证明】(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接 MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.
又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF， 所以BE∥平面DMF. (2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以 DE∥GN. 又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG. 又因为M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线， 所以BD∥MN. 又BD⊄平面MNG, MN⊂平面MNG. 所以BD∥平面MNG， 又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线， 所以平面Bห้องสมุดไป่ตู้E∥平面MNG.
1．(2018河北故城期中)在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB ＝BC＝12AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交 于O点，G是线段OF上一点．
(1)求证：AP∥平面BEF； (2)求证：GH∥平面PAD.
【证明】(1)如图，连接EC，
∵AD∥BC，BC＝12AD，E为AD的中点， ∴BC綊AE.
连接AC，设AC与BD的交点为O，连接OH，如图．
在△ACF中，因为O，H分别是AC，CF的中点，所以OH∥AF. 又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF. 因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH， 所以平面BDGH∥平面AEF.
(2)【解】因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.平面 ABCD∩平面BDEF＝BD，AC⊂平面ABCD，且平面ABCD⊥平面 BDEF，所以AC⊥平面BDEF，
2．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的 是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
【答案】B
【解析】若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，故A错 误；B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错误；若m∥α，m ⊥n，则n与α可能平行、相交或n⊂α，故D错误．因此选B.
形成型·微题组
归纳演绎·形成方法
直线与平面平行的判定与性质 命题角度1 直线与平面平行的判定
(2018甘肃张掖模拟)如图所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点 D，D1分别为AC，A1C1的中点．
(1)证明：AD1∥平面BDC1； (2)证明：BD∥平面AB1D1. 【证明】(1)∵D1，D分别为A1C1，AC的中点，四边形ACC1A1为平