【数学】3.2《立体几何中的向量方法(一)课件(新人教B选修2-1)》
高中数学3.2立体几何中的向量方法课件-(共43张PPT)
，即14x＋ 43y＋12z＝0
，
令 y＝2，则 z＝－ 3，∴n＝(0,2，－ 3)．
∵ PD ＝0，23 3，－1，显然 PD ＝
3 3 n.
26
∵ PD ∥n，∴ PD ⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
探究提高 证明线面平行和垂直问题，可以用 几何法，也可以用向量法，用向量法的关键在 于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定 理及两向量垂直的判定定理。若能建立空间直 角坐标系，其证法较为灵活方便.
7
r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
17
题型分类 深度剖析
题型一 利用空间向量证明平行问题 例 1 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1
中，M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证： MN∥平面 A1BD.
18
证明 方法一 如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在
直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的
1，得
x
1 2
y 1
r n
(
1
,
1,1),
2
10
思考2：
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？ 你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的 位置关系以及它们二面角的大小吗？
《立体几何中的向量方法》人教版高中数学选修2-1PPT课件(第3课时)
可列出方程组
、y .
aa21xx
b1 b2
y y
c1z c2 z
0 0
z n 第五步(取):取 为任意一个正数(取得越特殊越好), 便得到平面法向量 的坐标.
巩固训练
练习1：在空间直角坐标系中,已知
,
个法向量.
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
求平面
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
则 n AB ，n AC .
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(2, 2,1) (4,5, 3)
0 0
即
2x 4 x
2 5
y y
z0 3z 0
∴
y z
2 x 2x
①
∵ x2 y2 z2 1 ②∴由①②得 x 1 3
解得：xy
7 z
z
.
方法总结
第一步(设):设出平面法向量的坐标为 n (x, y, z);
第二步(找):找出（求出）平面内的两个不共线的向量坐标为 a (a1,b1, c1), b (a2,b2, c2 )
第三步(列):根据 n a 0且
z 第四步(解):把 看作常数,用
nb 0
z 表示 x
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
高中数学 3.2立体几何中的向量方法复习课件 新人教版选修2-1
⊥B→C，即 AP⊥BC.
ppt精选
16
研一研·问题探究、课堂更高效
(2)解 假设存在满足题意的 M，设P→M＝λP→A，λ≠1， 则P→M＝λ(0，－3，－4)． B→M＝B→P＋P→M＝B→P＋λP→A
本 ＝(－4，－2,4)＋λ(0，－3，－4)
专 题 栏 目
＝(－4，－2－3λ，4－4λ)， A→C＝(－4,5,0)．
∴AE⊥AD.
ppt精选
11
研一研·问题探究、课堂更高效
即 AD、AB、AE 两两垂直．
故建立如图所示的空间直角坐标系，
设 AB＝1，则 AE＝1，B(0,1,0)，D(1,0,0)，
E(0,0,1)，C(1,1,0)．
本 ∵FA＝FE，∠AEF＝45°，
专
题 栏
∴∠AFE＝90°，
目 开 关
从而 F0，－12，12，E→F＝0，－12，－12， B→E＝(0，－1,1)，B→C＝(1,0,0)．
线线垂直
l⊥m⇔a⊥b⇔___a_·b_＝__0___
ppt精选
3
填一填·知识要点、记下疑难点
线面垂直
l⊥α⇔a∥u⇔_a_＝__k_u_，__k_∈__R_
面面垂直
α⊥β⇔u⊥v⇔___u_·v_＝__0___
本 专
线线夹角
l，m
的夹角为 |a·b|
θ(0≤θ≤π2)，cos
θ
题 栏
＝____|a_|_|b_|___
∴存在点 P，满足 DP∥平面 B1AE，此时 AP＝12.
ppt精选
21
研一研·问题探究、课堂更高效
(3)解 连接 A1D，B1C，由长方体 ABCD－A1B1C1D1 及 AA1 ＝AD＝1，得 AD1⊥A1D.
(人教)高中数学选修2-1【精品课件】3-2立体几何中的向量方法1
3.2立体几何中的向量方法第一课时空间向量与平行、垂直关系KEQIAN YUXI DAOXUEKETANG HEZUO TANJIU预习引导学习目 标重点难 点1•方向向量与法向量(1)空间中任意一条直线I的位置可以由____________ 以及 __________ 确定，如图A是直线/上一点，向量a表示直线/的___ .(2)直线/丄a,取直线I的方向向量a,则向量a叫做平面a的_____...... 交流1对于一条确定的直线和一个确定的平面，它的方向向量及法向量有几个？课前预习导学课堂合作探究2•空间平行关系的向量表示⑴线线平行:设直线l,m的方向向量分别为a,b,则1 // mu <=> .(2跡平行:设直线I的方向向量为a,平面a的法向量为“，则Zc a 或I // ao o ______ .(3)面丽行:设平面的法向量分别为“”则3•空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直:设直线l,m的方向向量分别为则I _L m^=>a _L b u> .(2)线面垂直:设直线I的方向向量为平面a的法向量为"，则/丄(3)面面垂直:若平面a的法向量为平面卩的法向量为儿则a丄卩o课前预习导学课堂合作探究.......... 交流2(1)已知直线I的方向向量”=(2厂1,3),平面a的法向量v=(-6,3,-9), 则/与a的位置关系是__________ .(2)若两个不同平面％卩的法向量分别是u=(l,2,・3),y=(2，-4,・2)，则两个平面的位置关系是问题导学当堂检测一、利用方向向量和法向量判定线面的位置关系=3活动与探究问题1：如何认识直线的方向向量?问题导学当堂检测问题2：如何理解平面的法向量?问题3：如何认识直线的方向向量和平面的法向量的作用?问题导学当堂检测问题4：利用直线的方向向量和平面的法向量判定线面位置关系的方法是什么？问题5：求平面法向量的方法是什么?问题导学当堂检测______ 例1(1)设a,b分别是不重合的直线/i,/2的方向向量,根据下列条件判断人和仏的位置关系：①“(2,3,-1), “(-6,-9,3);②“=(5,0,2)上=(0,4,0);③“=(-2,1,4),"(6,3,3).(2)设u,v分别是不同的平面a,{3的法向量，根据下列条件判断a,p 的位置关系：②“=(0,3,0),心(0,-5,0);问题导学当堂检测③“=(2,-3,4),心(4,-2,1).（3）设u是平面a的法向量皿是直线I的方向向量，根据下列条件判断a和/的位置关系：①”=（2,2,・1）,“=（・3,4,2）;②”=（0,2厂3）,“=（0厂&12）;③%=（4丄5）皿=（2,丄0）・解:⑴①••力=(2,3厂1)0=(・6,-9,3), ••“ 二・:a//b. ：1{ //12.②S(5Q2)0=(O,4,O)，••“ • b=0・•乙丄力•£丄仏・③・・"(-2 丄4)0=(6,3,3), ••“与b不共线，也不垂直.问题导学当堂检测/11与12相交或异面.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU(2)①••"(1,丄2)严(3,2,母•u• v=3-2-l =0.••“ 丄v・「a 丄卩.②•力=(0,3,0),心(0厂5,0), •3•U = --V.5:u H v. ：d p.③-.w=(2,-3,4),v=(4,-2,l), •S与V不共线，也不垂直.问题导学当堂检测•5与p相交但不垂直.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测S3迁移与应用1・若直线I的方向向量为“=(1,0,2)，平面a的法向量为氏=(-2,0,-4)，则().A.l// a Bl 丄aC.lc a DI与a斜交课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU当堂检测2.已知平面ot和卩的法向量分别是(-1,3,4)和(x,1,-2),若a丄卩，求x 的值.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测3•如图，已知点A(a,O,O),B(O,b,O),C(O,O,c),求平面ABC的一个法向量.问题导学当堂检测------------- 名師❽障----------------若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：(1)设出平面的法向量为n=(x,y,z).(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量° =(如0“1)上=@202(2)・(3)根据法向量的定义建立关于的方程组匸::二常(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量•由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向问题导学当堂检测量.问题导学当堂检测二、利用向量证明平行关系詡舌动与探究问题1:空间中有几种平行关系?课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测③根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量,那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.(3)面面平行①由面面平行的判定定理证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE②若能求岀平面的法向量”,儿则要证明CL// p,只需证明u//v.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测课堂合作探究当堂检测问题2：用向量法证明平行关系的方法步骤是什么?课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE(4)利用向量法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现:一是利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系;二是通过建立空间直角坐标系,借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU当堂检测---------- 列2已知正方体ABCD-A1BCD1的棱长为2,E,F分别是BBi,DD］的中点，求证：(1)F C 1〃平面ADE\(2)平面ADE〃平面B{C X F.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU问题导学当堂检测（1）设兀1=（兀1,刃忆1）是平面ADE的法向量，则W1±DA,W1丄旋，即]ni2?A = 2X1 = 0,（阳• AE = 2yi + Z] = 0, （X] = 0，，，得n 令zi=2,则yi=-l,（zi = -2y「所以切=（0,丄2）.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU问题导学当堂检测因为戸珥•切=2+2=0,所以瓦；丄补又因为FC&平面ADE,所以FCi〃平面ADE.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU问题导学当堂检测⑵因为GW=(2,0,0),设〃2 =(兀2丿2忆2)是平面BGF的一个法向量.由“2丄FC19n2 ^（n2• FC r = 2y2 + z2 = 0.得f 兀2 =I n2• C1B1=2X2 = 0, "2 = -2y2«令Z2=2得歹2=丄所以兀2=（0,丄2）・因为Hi=n2,所以平面ADE〃平面B X C X F.吧迁移与应用1 •在长方体ABCD-AiBiCQi 中,AB=4,AD=3,AA]=2,P,Q,R,S 分别是AA],D]C],AB,CCi 的中点•证明:PQ//RS.当堂检测2•已知正方体ABCD-AECD.求证:平面ABD〃平面BDC.令刃=1,可得平面AB'D'的一个法向量为“1=(-1,1,-1).设平面BDC 的法向量为兀2=(兀2丿2忆2)・因为 DB=(1JMDC=(OJ,1), n 2 丄 DB.令力=1,可得平面BDC 的一个法向量为兀2=（丄 1 1 ）・••阮 1 力2,:n 1 〃 “2, •••平面 4B Q ‘〃 平面n 2 • DB =兀2 + y2 = °，n 2 • DC' = y 2 + z 2 = 0.所以BDC.------------- 名師尊障----------------1 •用空间向量证明线面平行通常有两种方法:一是利用法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;二是利用共面向量定理•若/的方向向量是"，平面a内两个不共线向量是门和巾,则＜〃ao存在实数g 使W=ZV]+|1V2-2 •证明直线与平面平行时,还应说明直线不在平面内.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU三、利用向量证明垂直关系S3活动与探究问题1:空间中的垂直关系有哪些?当堂检测课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测(3)面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU问题导学当堂检测②证明两个平面的法向量互相垂直.问题2：用向量法证明垂直关系的方法步骤是什么?课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU问题导学当堂检测(2)用向量法证明线面垂直的方法与步骤:r①设岀基向量，用基向量表示直线所在的向量②找岀平面内两条相交的向量并分别用基向量表示③分别计算直线的方向向量与平面内两相交向量的数量积①建立空间直角坐标系②将直线的方向向量用坐标表示③求平面的法向量I④说明平面的法向量与直线的方向向量平行(3)用向量法证明面面垂直通常可以有两种方法:一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直.------- H列3如图，在正方体ABCD-A]B]C]D1中,E,F分别是B】B,DC 的中点，求证:AE丄平面AQF证明:如图,建立空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为1, 则A(l,O,O),E(l,l,)A](l,O,l),Di(O,O,l),F(O,.O),•*AE =(0,1,)石殆(-1,0,0)谅=法一:设平面A\D{F的法向量为n=(x,y,z). 则)n• A1D1=O,n • D]F=O,(-x = 0，即h 解得x=0,y=2z・(严=0,课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 问题导学当堂检测课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU令Z=l,则n=（0,2,l）.又近=（0,l,|）,.w=2AE.••n〃近,即XI丄平面A X D X F.因此，AE丄平面AiDiF.法二:由于旋• AX =（0,1,|）• （-1,0,0）=0,•'AE 丄AQi・又旋•而=（0,1勻•（0,芥1）=0, ••AE丄皿••AiDiGDiF=Di,.・AE丄平面AQFEii 移与应用1 •在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P 为DD ］的中点,O 为底面ABCD 的中心，求证:BQ 丄平面PAC.当堂检测当堂检测2•在四面体ABCD中,AB丄平面BCD,BC=CD,ZBCD=90°,ZADB=30°,E,F 分别是AC,AD 的中点, 求证:平面BEF丄平面ABC.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE设平面BEF 的法向量〃=（x,y ，z ）,由 n •丽=0,即g,z) •(0,ya,|)=0, 有yay+|z=0=> z=-V3y ・取 y=l,得 n=(l,l<V3).•S 丄而.•••平面BEF 丄平面ABC.问题导学当堂检测课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU\h • CD=(l 9l r V3) •KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU当堂检测-------------- 名師尊障 ---------------1.用空间向量证明线面垂直的方法：建立空间坐标系,用坐标表示直线的方向向量并求平面的法向量, 说明平面的法向量与直线的方向向量平行;或者说明直线的方向向量与平面内任意两条相交直线垂直,即直线的方向向量与相交直线的方向向量的数量积为零.2.用空间向量证明面面垂直的方法：说明两个平面的法向量垂直或根据线面垂直来证明.当堂检测2问题导学1•已知平面a〃平面卩,n=(l,-l,l)是平面a的一个法向量，则下列向量是平面卩的法向量的是().4(1,1,1) 5.(-1,1,-1)C(-l 厂1,-1) D(l,l，-1)。
人教B版高中数学选修2-1课件3.2《立体几何中的向量方法(二)》(新人教B)
|
( A1 A
AE ) (CB
a2 sin2
BF
)
a2 cos a2 cos cos( ) a2 cos cos( ) a2 cos2
a2 sin2
cos
1 cos
∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。
练习：
（1）如图4，60°的二面角
的棱上有A、B两点，直线AC、BD
分别在这个二面角的两个半平面
内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC
＝6，BD＝8，求CD的长。 C
A B
D
图4
（2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长 为2的正三角形，∠A1AB＝45°，∠A1AC＝ 60°，求二面角B-A A1-C的平面角的余弦值。
A1 C1
所以 cos a2 b2 c2 d 2 .
2ab
回到图形问题 库底与水坝所成二面角的余弦值为
a2 b2 c2 d 2 .
2ab
例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。 从A，B到直线 （库l底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为 c, AB的长为 d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
（回到图形问题）
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，
以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹
角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角
线的长与棱长有什么关系？
解：如图1，设AB AA1 AD 1，BAD
BAA1 DAA1 60
化为向量问题
D1 C1
依据向量的加法法则， A1
人教新课标版数学高二选修2-1课件3.2立体几何中的向量方法(一)
l∥m⇔_a_∥__b_⇔a＝kb (k∈R) l∥α⇔a⊥μ⇔_a_·_μ__＝0
α∥β⇔μ∥v⇔_μ_＝__k_v_(_k_∈__R_)_ l⊥m⇔a⊥b⇔_a_·_b_＝__0_
l⊥α⇔a∥μ⇔_a_＝__k_μ_(_k∈__R__) α⊥β⇔μ⊥v⇔_μ_·_v_＝__0__
答案
知识点二 利用空间向量处理平行问题 利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，
用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向 量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转 化成相应的立体几何问题，从而得出结论.
返回
合作探究
问题1 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？
答案
问题2 (1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量.若直 线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系. 答案 由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共 线，即l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ∈R).
探究点3 利用空间向量证明平行关系 例3 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中 点，求证： (1)FC1∥平面ADE；
解析答案
(证2)明平面因AD为E∥C―1→平B1＝面(B21,C0,10F).，
设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量.
立体几何问题
向量 渐渐成为重要工具
(研究的基本对象是点、直线、平面
以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几
何中的应用.
引入2、复习 共线向量定理:
3.2--立体几何中的向量方法(全)ppt课件
PB (1,1,1)
故PB DE 0 1
DE 1
(0,1 2
0
,1) 2
P
22 所以PB DE
F
E
由已知 EF PB,
且EF DE E,
所以PB 平面EFD A
X
D
C
Y
B
30
第30页，共70页。
例2. 四棱锥P - ABCD中, 底面ABCD是正方
形, PD 底面ABCD, PD DC ,点E是PC的中点,
A
证1 立体几何法
M
B
D
N C
MN就是异面直线AB与CD的公垂线， 故异面直线AB与CD的距离就是MN.
26
第26页，共70页。
例1 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD
的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD.
证2 向量法
A
ＭＮ＝MA AD DN
M
1 AB AD 1 DC
⑴设平面的法向量为 n ( x, y,
r 习惯上取n
z);
(
x,
y,1)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
组
n
a
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
6
第6页，共70页。
z
作EF PB交PB于点F . 2 求证 : PB 平面EFD.
证2：立体几何法
P
PD 面ABCD
BC
面ABCD
PD PC
BC BC,
E
PD PC P
选修2-1课件3.2.2_立体几何中的向量方法(全面)
D1 C1
B1
依据向量的加法法则， AC1 AB AD AA1
进行向量运算
A1 D A 图1
B
C
AC1 ( AB AD AA1 ) 2
2 2 2
2
AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )
1 1 1 2(cos60 cos60 cos60) 6 所以 | AC1 | 6
空间“距离”问题(1)
一、复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。 （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向
量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几
何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意 义。 （回到图形）
P
n
A
O
这个结论说明,平面外一点到平面的距离为：连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量与该平面的法向量数量积的 绝对值与该法向量模长的商.
练习(用向量法求距离): 1.如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
z
G
C
1 1 n ( , ,1) ,BE (2,0,0) A 3 3 | n BE| 2 11 d . 11 n
E
y
B
2 11 答:点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11
空间“距离”问题(2)
高中数学人教版选修2-1教学课件：3.2《立体几何中的向量方法-空间角的计算》课件
a
a， b
|
a， b
a
b
结论：
| cos a, b |
|
已知 F1 与 E1 为四等分点， 求异面直线
DF1与BE1的夹角余弦值？
z
D1 A1
F1 E1 B1
C1
① 几何法 ② 向量法
C
D A
x
y
B
cos < DF1,BE1 > = 15 17 cos < DF1,E1B> = - 15 17
A
B
| AB n | sinα = | AB | | n |
线面角或等于直线的方向向量与平面的法向量 所成角的补角的余角.
(1, y, z ) (0, 0, 2a) 0 z 0 n AA1 0 (1, y, z ) (0, a, 0) 0 y 0 n AB 0 3 1 n (1,0,0) AC1 ( a , a , 2a ) A 2 2
3 2 a AC1 CB1 1 2 2 cos AC1 , CB1 2 | AC1 | | CB1 | 3a
C
y
A
D
B
∴AC1和CB1的夹角为： 3
x
练习：Rt ABC中，BCA 900 , 现将 ABC沿着平面ABC的法向量
空间“角”问题
空间的角：
空间的角常见的有： 线线角、线面角、面面角。
一、线线角：
异面直线所成角的范围： 0, 思考： 2 C D CD, AB 与 的关系？ D1 A DC, AB 与 的关系？ B 设直线CD的方向向量为a，AB的方向向量为b
人教A版高中数学选修2-1课件高二《3.2立体几何中的向量方法(1)》.pptx
新课讲解
用向量表示空间的位置关系
新课讲解
用向量表示空间的位置关系
1. 设直线l、m的方向向量为a、b，平面、的
法向量为u、v，则
新课讲解
用向量表示空间的位置关系
1. 设直线l、m的方向向量为a、b，平面、的
法向量为u、v，则 l m a b a kb l m ab0 a b
l a uau0 l a u a u u v u kv u v uv 0
例题分析
例 1.已知直线m、n是内任意两条相交直 线l m，l n，求证：l .
例题分析
例 2. 在正方体ABCD A1B1C1D1中，棱长为
3，E为D1C的一个三等分点， F为AB中点， 求平面EFC的法向量.
D1
E
C1
A1
B1
D
C
F
A
B
例题讲解
例 3．长方体ABCD A1B1C1D1，高为1，底面
BF 平面AEC ?
E
A
F
D
B
C
课后作业
《学案》P84 面双基训练。
新课讲解
用向量法表示一个平面：
新课讲解
用向量法表示一个平面： （1）若a 、b不共线，则OP xa yb 表示OP ，
a ，b 共面.
新课讲解
用向量法表示一个平面： （1）若a 、b不共线，则OP xa yb 表示OP ，
a ，b 共面.
（2）取直线 l ，则直线l的方向向量a 叫平
空白演示
在此输入您的封面副标题
主讲：陈震
新课讲解
用向量表示空间点、线、面
新课讲解
用向量表示空间点、线、面 思考 1：怎样用向量表示空间点的位置
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
cos A1 AC
|
AA1 AA1 |
AC | AC
|
1 3
6 sin A1 AC 3
A1H AA1 sin A1 AC
6∴
3
所求的距离是
6。 3
练习:
如图2，空间四边形OABC各边以及AC，BO 的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点， 连结DE，计算DE的长。
O
D C
E A
B 图2
面面垂直：α ⊥ β u ⊥ v u·v=0.
二、讲授新课
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间 向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几 何问题转化为向量问题； （化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
6
所以 | AC1 | 6
回到图形问题
这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的 6 倍。
思考：
（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长
有什么关系？
D1
C1
分析: BD1 BA BC BB1
A1
B1
其中 ABC ABB1 120，B1BC 60 D
C
A
B
思考（：2）如果一个四棱柱的各条棱
（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（回到图形问题）
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，
以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹
角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角
线的长与棱长有什么关系？
解：如图1，设AB AA1 AD 1，BAD
BAA1 DAA1 60
D1
C1
长和一条对角线的长，并且以同一顶点 A1
B1
为端点的各棱间的夹角都相等，那么可 D
C
以确定各棱之间夹角的余弦值吗？ A
B
分析：如图，设以顶点 A 为端点的对角线 长为 d ，三条棱长分别为 a，b，c， 各棱间夹角为 。
则
d2
2
A1C
( AB
AC
CC1 )2
a2 c2 b2 2(ab bc ac)cos
化为向量问题
D1 C1
依据向量的加法法则， A1
B1
AC1 AB AD AA1
进行向量运算
Dห้องสมุดไป่ตู้
C
2
AC1
( AB
AD
AA1 )2
A
图1
B
2
2
2
AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )
1 1 1 2(cos 60 cos 60 cos 60)
C1
B1 C B
则 A1H 为所求相对两个面之间 的距离.
由 A1 AB A1 AD BAD 且 AB AD AA1 H 在 AC上.
D1
C1
A1 B1
D
C
AH
B
2
AC
( AB
BC )2
1
1
2cos 60
3
AC 3
AA1 AC AA1 ( AB BC) AA1 AB AA1 BC cos 60 cos 60 1.
进行向量运算
B
C
d2
2
AB
( AC
CD
DB)2
A
D
图3
2
2
2
AB CD BD 2( AC CD AC DB CD DB)
a2 c2 b2 2 AC DB
a2 c2 b2 2CA DB 于是，得 2CA DB a2 b2 c2 d 2
设向量CA与 DB的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的
二面角。
因此 2ab cos a2 b2 c2 d 2 .
所以 cos a2 b2 c2 d 2 .
2ab
回到图形问题 库底与水坝所成二面角的余弦值为
a2 b2 c2 d 2 .
2ab
例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水 坝斜面上的点B处。从A，B到直线 l（库底与水坝的交线） 的距离AC和BD分别为 和 a ,CDb的长为 , ABc的长为 。 求库d 底与水坝所成二面角的余弦值。
思考：
B
（1）本题中如果夹角 可以
C
测出，而AB未知，其他条件不变，
D
可以计算出AB的长吗？
分析：由
2
AB
( AC
CD
DB)2
A
图3
2
2
2
AB CD BD 2( AC CD AC DB CD DB)
a2 c2 b2 2ab cos
∴ 可算出 AB 的长。
（2）如果已知一个四棱柱的各棱
cos d 2 a2 b2 c2
2(ab bc ac)
（3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 a ， 并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那 么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？
分析：二面角 平面角 向量的夹角 回归图形
解：如图，在平面 AB1 内过 A1 作 A1E⊥AB 于点 E，在平面 AC 内作 CF⊥AB 于 F。
3.2 立体几何中的向量方法（一）
设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α，β 的法向量分别为u,v,则
线线平行：l∥m a ∥b 线面平行：l ∥α a⊥u 面面平行：α∥β u ∥v
a=kb; a·u=0; u=kv.
线线垂直：l ⊥ m a ⊥ b a·b=0; 线面垂直：l ⊥ α a ∥ u a=ku;
例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水
坝a斜面上的点B处。从A，B到直线 （l 库底与水坝的交线）
的距离AC和BD分别为 和 b ,CDc的长为 , AB的长为 。
求库d 底与水坝所成二面角的余弦值。
解：如图， AC a，BD b，CD c，AB d .
化为向量问题
根据向量的加法法则 AB AC CD DB
D1
C1
长都相等，并且以某一顶点为端点 A1
B1
的各棱间的夹角都等于 , 那么
D
C
有这个四棱柱的对角线的长可以确 A
B
定棱长吗?
分析:
设 AC1 a，AB AD AA1 x，BAD BAA1 DAA1
则由 AC1 AB AD AA1
2
2
2
2
AC1 AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )
即 a2 3x2 2(3x2 cos ) x
1a
3 6cos
∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。
（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距
离是多少？（提示：求两个平行平面的距离，
通常归结为求两点间的距离）
D1
分析：面面距离 点面距离
A1
向量的模 回归图形
解：
D AH
过 A1点作 A1H 平面 AC 于点 H .