课题名称-线性规划图解法47-50
线性规划图解法
图解法 线性规划问题求解的 几种可能结果 由图解法得到的启示
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例1的数学模型
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2 约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0
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图解法
9— 8—
x1+ 2x2=8 4x1 =16
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
最优解 (4, 2)
D
x1 + 2x2 8
| 6 | 7 | 8 | 9 | 4
A
0
| 1
| 2
| 3
E
| 5
x1 下页 返回
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图解法求解步骤
• 由全部约束条件作图求出可行域； • 作目标函数等值线，确定使目标函数最
(d)无可行解
Max Z = 2x1 + 3x2 x1 +2 x2 8 4 x1 16 4x2 12 -2x1 + x2 4 x 1、 x 2 0
可行域为空集
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图解法的几点结论:
（由图解法得到的启示）
– 可行域是有界或无界的凸多边形。 – 若线性规划问题存在最优解，它一定可以在
优的移动方向； • 平移目标函数的等值线，找出最优点， 算出最优值。
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线性规划问题求解的 几种可能结果
(a) 唯一最优解
x2
6— 5— 4— 3— 2— 1— | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | x 9 1
线性规划的标准化及图解法 ppt课件
• 在人力，物力资源有限的条件下，如何安 排生产，达到最大收益？
• 如何用最少的人力，物力资源，完成给定 的任务。
• 许多管理上的问题可以用线性规划来求解。
2020/12/17
ppt课件
1
线性规划的问题
• 某工厂生产两种型号的电机（记为A和B），每台 A型电机需用原料2个单位，4个工时，每台B型电 机需用原料3个单位，2个工时，工厂共有原料 100个单位，120个工时，A、B型电机的每台利 润分别为600元和400元，问两种电机各生产多少 可使利润最大？
最优解x1=5、x2=25，最优值z = 70000。即
最优方案为生产甲产品5件、乙产品25件， 可获得最大利润为70000元。
2020/12/17
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34
作图法求解如下线性规划
1 .Max S x1 3 x2
x1 x2 6 s.t. 2 x1 2 x 2 8
x1 , x 2 0
• 同理约束条件2x1+x2 ≤ 40 也是半个平面
。
2020/12/17
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30
线性规划的图解法
整个约束区域是由直线3x1+2x2 =65；
2x1+x2 =40；3x2 =75；x1 =0；x2 =0所围
约束区域
在约束区域 中寻找一点 使目标函数 最大。
2020/12/17
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31
线性规划的图解法
2020/12/17
ppt课件
6
线性规划的应用模型
设有两个砖厂A1，A2。产量分别为23万 和27万，供应三个工地B1，B2，B3。 其需要量分别为17万，18万和15万。
砖厂到各工地的每万块砖的运价如下
线性规划问题的图解法
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
单纯形法的思路(sīlù)
找出一个(yī ɡè)初始可行解
4x1
16
可行(kěxíng)域
单纯形法的进一步讨论(tǎolùn)－人工变量法
第四十三页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
是否最优 故人(gùrén)为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：
量作为换出变量。
L
min
bi a ik
a ik
0
第二十九页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
③ 用换入变量(biànliàng)xk替换基变量(biànliàng)中的换出变量 (biànliàng)，得到一个新的基。对应新的基可以找出一个新的基可 行解，并相应地可以画出一个新的单纯形表。
： X (1) K和X (2) K
X X (1) (1 ) X (2) (0 1)
则X为顶点(dǐngdiǎn).
(wèntí)
的 几
第四页，共51页。
凸组合(zǔhé)：
意线 义性
规 划 问 题 的 几 何
设X（1) ,..., X (k)是n维向量空间中的k个点,
若存在1,..., k ,且0 i 1, i 1,2,..., k,
A
1 域2 3
D
| E|
45
4 x2 16 x1 + 2x2 8
|||| 6789
x1
第九页，共51页。
❖图解法
目标(mùbiāo)函数 Max Z = 2x1 + 3x2
x2 9—
8—
7—
6—
5—
4—
线性规划图解法
第二章 线性规划的图解法
在管理中一些典型的线性规划应用 • 合理利用线材问题：如何在保证生产的条
件下，下料最少 • 配料问题：在原料供应量的限制下如何获
取最大利润 • 投资问题：从投资项目中选取方案，使投
资回报最大
3
第二章 线性规划的图解法
• 产品生产计划：合理利用人力、物力、财 力等，使获利最大
第二章 线性规划的图解法
• 对于只有两个变量的简单的线性规划问 题，一般采用图解法求解。这种方法仅 适用于只有两个变量的线性规划问题。 它的特点是直观而易于理解，但实用价 值不大。
第二章 线性规划的图解法
1.基本概念 （1）可行解：满足约束条件的决策变量的取值 （2）可行域：可行解的全体 （3）最优解：使目标函数取得最优值的可行解 （4）最优值：最优解代入目标函数所得到的值
决策变量为可控的连续变量。
x 1 ≥ 0，x 2 ≥ 0
x 1 =0,1,2,3…n
目标函数和约束条件都是线性的。
Maxf 7x1 12x2
9x1 4x2 360
s.t.34xx11
5x2 10 x
2
2 ln
x2
1 x3
第二章 线性规划的图解法
9x1 4x2 360
s
.t
.43
x1 x1
5x2 10x
200 2 300
x1, x2 0
第二章 线性规划的图解法
★线性规划模型的三个基本要素： （也是所有规划问题的三个基本要素）：
（1）决策变量：甲、乙产品的产量x1 ，x2 决策变量：需要决策的量，即等待求解的未知数。
（2）目标函数：总收入最大，Max f = 7 x 1 +12 x 2
第2章 线性规划图解法
x2
6
4
可行域
6
0
x1
23
3. 画出目标函数的图形(通常可画出当目 标函数值为零时的(基准)目标函数图)，确 定目标函数平行移动的方向，并沿目标函 数直线的法向用小箭头标出。
例1. max Z = x1+3x2 s.t. x1+ x2≤6 -x1+2x2≤8 x ≥0, x ≥0 1 2
大轿车座椅的限制： 非负限制：
5 x1 2.5 x2 2500 x1 400 x1 0, x2 0
分析：问题是如何安排生产使得工厂获利最大？
项目 产品 生产能力 5 (小时 ⁄ 辆) 2.5 (小时 ⁄ 辆) 2500 (小时 ⁄ 年) 钢材 (吨 ) 装配座椅 (辆 ⁄ 年 ) 利润 (千元 ⁄ 辆)
4
§2.1
线性规划问题的提出
线性规划研究的内容和问题
线性规划是研究在线性不等式或等式的限 制条件下，使得某一个线性目标函数取得最大 （或最小）的问题。常见的线性规划问题有： （一） 运输问题 （二） 生产的组织与计划问题 （三） 合理下料问题 （四） 配料问题 （五） 布局问题 （六） 分派问题
5
7
例1. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产， 已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的 消耗、资源的限制，如下表：
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利 Ⅰ 1 2 0 50 元 Ⅱ 1 1 1 100 元 资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
问题:工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获 利最多？
6
§2.1
线性规划问题的提出
线性规划发展前景
另一方面，以线性规划为基础而发展起 来的多部门的线性规划 , 多时期的线性规划， 模糊线性规划，随机线性规划，以及整数规 划，非线性规划，目标规划等等，为现代管 理中各类实际问题的解决提供了科学的方法。 目前线性规划的理论研究仍十分活跃，其应 用前景也越来越广阔，它已成为国家重点推 广的现代管理方法之一。
线性规划问题的图解法
如果一个实际问题抽象成像例1-4这样的线性规 划模型，比如是一个生产计划问题，其经济含义就是 某些资源是无限的，产品的产量可以无限大。此时应 重新检查和修改模型，否则就没有实际意义。
注意，对于无界可行域的情况，也可能有唯一
最优解或无穷多个最优解。
x1 2x2 ≤8 代表一个半平面
其边界: x1+2 x2 =8
x1+2 x2 =8 及x1，x2 ≥0
x2 B
Q4
3
2
x12x28
△ AOB
点A、B 连线AB △A0B
1
A x1
0 1 2345678
经济含义 ？
点A(8,0)：
全部的设备都用来生产Ⅰ产品而不生产Ⅱ 产品,那么Ⅰ产品的最大可能产量为8台,计 算过程为： x1+2×08 x18
maxZ2x13x2
x1 2 x2 ≤ 8
4
4
x1 x2
≤ ≤
16 12
x 1 , x 2 ≥ 0
x2 B 4x1 16
3E F
2
1
4x2 12
C
最优点
x12x28
A
D
x1
0
1 2345 678
结果
有唯一最优解 可行域是一个非空有界区域
讨论 可行域有几种可能 ? 解有几种可能 ?
结果表明，该线性规划有无穷多个 最优解－－线段AB上的所有点都是最优
点，它们都使目标函数取得相同的最大值 Zmax=14。
无界解
maxZx1x2
x
2
1
x
1
x2
第二章线性规划的图解法
➢ 答案：
X2 ➢ 最优解为： x1 ＝15 ，x2＝10 40 ➢ 最优值为：z*＝2500×15+1500×10
➢
30
＝52500
3x2＝75
20
（15，10）
10
O
10
20
30
40
50 X1
3x1+2x2＝65
2x1+x2＝40
五、线性规划问题解的情况
➢ 例1.5的最优解只有一个，这是线性规划问题 最一般的解的情况，但线性规划问题解的情 况还存在其它特殊的可能：无穷多最优解、 无界解或无可行解。
... am1x1+am2x2 +…+amnxn≤( =, ≥ )bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ ( ≤) 0 或无约束
xj为待定的决策变量； cj为目标函数系数，或价值系数、费用系数； aij为技术系数； bj为资源常数，简称右端项； 其中i＝1，2，…m； j＝1，2，…n
可以看出，一般LP模型的特点： A、决策变量x1，x2，x3，……xn表示要寻求
O
100 200 300
X1
3、无界解的情况
➢若将例1.5的线性规划模型中约束条件1、2的 不等式符号改变，则线性规划模型变为：
➢ 目标函数：Max z= 50x1+100 x2 约束条件：x1+x2 ≥ 300 2x1+x2 ≥ 400 x2≤250 x1 ≥0， x2 ≥0
B、定义决策变量；
C、用决策变量的线性函数形式写出所要追求 的目标，即目标函数；
D、用一组决策变量的等式或不等式来表示在 解决问题过程中所必须遵循的约束条件。
三、线性规划的数学模型
1、LP模型的一般形式 目标函数：
线性规划问题的图解法PPT课件
y
A
B
oC
x
5x＋3 y 15
y
x＋1
x－5 y 3
z＝3x＋5y
作出直线3x＋5y ＝z 的
图像，可知直线经过A点时， 求得A（1.5，2.5），B
Z取最大值；直线经过B点时，（－2，－1），则Zmax=17，
Z取最小值。
Zmin=－11。
用图解法解线性规划问题的一般步骤：
（1）在直角坐标系中画出线性约束条件下 的可行域。
（2）将目标函数变为斜截式，并指出当截 距取最大值（或最小值）时，目标函数取 得最大值还是最小值。
（3）令目标函数的值取0，画出直线 Ax+By=0。然后根据图形，找出直线经 过可行域时目标函数的最优解。
（4）确定最优解的坐标（x，y）。
（5）把最优解的坐标代入线性目标函数， 求出最大值或最小值。
便可判断Ax+By+C>0表示这一直线哪 一侧的平面区域，特殊地，当
x+y-1=0
C≠0时常把原点作为此特殊点。
简单的线性规划问题
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每 生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙 产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂 获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该 厂所有可能的日生产安排是什么？
书少成天勤什 劳才功山么小才的就=有艰孩是也求不在苦子百路不展分学于的真勤之望问劳习勤一为未知动的，的来径奋+老灵,正人，，感确学来努什但，的学懒百海么徒力方惰分无法做也的之伤才+孩崖九学少人悲能子十苦谈享不九成空作受的到话现汗舟功!在水!！! !！!! 第十九章 线性规划初步
2020年4月30日
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课题名称18．2二元线性规划问
题的图解法
授课班级
授课时间
13级
课题序号授课课时第47到50 授课形式讲练结合使用教具
教学目的知识目标：了解解线性规划问题的图解法；理解二元一次不等式（组）表示的平面区域，
也就是二元一次不等式（组）的几何意义.
能力目标：（1）通过对二元一次不等式（组）的几何意义的学习,培养和提高学生数形结合的（2）通过对图解法解线性规划问题的学习,培养学生的作图能力和对图象的观察能力.
教学重点理解二元一次不等式（组）表示的平面区域.教学难点作图能力和对图象的观察能力.
更新、补
充、删减
内容
课外作业P72-2、3
授课主要内容或板书设
计（1）通过讲解例题1；2，理解二元一次不等式（组）表示的平面区域. 从而归纳出C
By
Ax+
+≤0（或）C
By
Ax+
+≥0的几何意义.
（2）通过讲解例题3；4，归纳总结出利用图解法解线性规划问题的5个步骤
（3）通过练习，巩固知识．
教学后记
主要教学内容及步骤教学过程师生活动设计意图等
*动脑思考 探索新知 概念
（1）含有两个未知数，并且未知数的次数都是一次的不等式叫做二元一次不等式，使不等式成立的未知数的值叫做它的解.
（2）二元一次不等式：C By Ax ++≤0（或C By Ax ++≥0 ）的几何意义： 5.2.2 图解法
例3 试解二元线性规划:
约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤+≤+-0,021y x y x y x
目标函数y x Z 3max +=
y
x
x+y=2
2
1
A
z=3z=2z=1
z=0
-x+y=1
O
1
2
图 5-4
解 在平面直角坐标系中，分别作出约束条件中各不等式对应的平面区域，满足线性约束条件的点集是由四个半平面区域的公共部分组成（图5-4中的阴影部分）
图5-4中阴影区域（包括边界）上任何一点的都能满足四个不等式；反之，阴影区域外任一点，其坐标都不能同时满足这四个不等式.因此，阴影区域（包括边界）内每一点的坐标都是这个线性规划问题的可行解，所有可行解的全体就构成了这一线性规划问题的可
学生参与讨论，回答教师的即时问题，自主完成思考；
学生独立思考，被抽检学生回答教师提问，学
生评价，发表不同的看法，教师和学生进行形成性评价。
行域.
现在要在可行域中找出一个使目标函数y x z 3+=取得最大值的解,即最优解.
观察目标函数z 的可能取值，不妨令0=z ，则得到一条直线
03=+y x 这条直线上任何一点都能使得目标函数z 取同一个常数值
（此时z =0），将这条直线叫做等值线.分别令z 等于1，2，…，就可以做出互相平行的直线族. ,2,1==z z 从图5-4中可以看到，当z 得值增加时，等值线就离原点O 越来越远.于是，这个问题转化为：在上述等值线的平行直线族中，找出一条直线，使它既与阴影区域相交，又离开直线0=z 最远.由图5-4可见，经过A 的等值线符合这一要求.
为求点A 的坐标，解方程组 ⎩⎨⎧=+=+-21
y x y x 得点A
的坐标为（0.5，1.5）.
所以当x =0.5，y =1.5时，目标函数Z 取得最大值
5.135.0max ⨯+=Z
答 问题的最优解是x =0.5，y =1.5时Z max =5
归纳
利用图解法解线性规划问题的步骤是：
（1）确定决策变量，列出线性约束条件与目标函数； （2）由线性约束条件，在平面直角坐标系中画出可行域； （3）过原点作出目标函数的0等值线，即目标函数值等于0的直线； （4）将0等值线平行移动，观察确定可行域内最大解的位置，一般
最优解在可行域的顶点取得. （5）求最值——将最优解带入目标函数求值.
例4解第5.1节中的问题2.求满足下面约束条件的目标函数的最小
值.
约束条件：⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≥+≥+0,0931022y x y x y x
目标函数：y x Z 500400min += 解 作出可行域，如图5-5所示.
y
x
x+3y=9
2x+2y=0
z=0
3
O
35
5
79
7
图5-5
作出目标函数y x z 500400+=的0等值线.即054=+y x .将0等值线向可行与平行移动至点A 处，这时目标函数取最小值.
解方程组 ⎩⎨⎧=+=+9310
22y x y x 得点A 的坐标为（3，2）
所以当x =3，y =2时目标函数Z 取得最小值
y x Z 500400min +==400×3+500×2=2 200.
答 问题的最优解为甲、乙两种型号的废钢分别用3吨和2吨时，可使总费用最小，其最小费用为2 200元.
*运用知识 强化练习
练习5.2.2用图解法解5.1节中的例2
例2某工厂生产甲、乙两种产品，每件甲产品要消耗钢材2kg,煤2kg,产值为120元；每件乙产品要消耗钢材3kg,煤1kg,产值为100元；现钢厂有钢材600kg., 煤400kg,试确定甲、乙两种产品各生产多少件，才能使该厂的总产值最大？试写出问题的线性约束条件和目标函数.
*运用知识强化练习
练习5.2.2用图解法解5.1节中的例2
例2某工厂生产甲、乙两种产品，每件甲产品要消耗钢材2kg,煤2kg,产值为120元；每件乙产品要消耗钢材3kg,煤1kg,产值为100元；现钢厂有钢材600kg., 煤400kg,试确定甲、乙两种产品各生产多少件，才能使该厂的总产值最大？试写出问题的线性约束条件和目标函数.
*理论升华整体建构
本次课重点学习了图解法解线性规划问题. 二元一次不等式（组）所表示的区域就是各不等式所表示区域的公共部分. 、在用图解法解线性规划问题时，我们发现线性规划问题的可行域是一个凸多边形（或凸的区域），（所谓凸的区域，是指若有任意两点在区域内，那么这两点所连线段也在该区域内.）从而使问题的最优解可在凸多边形的顶点处找到，因此，我们也可以通过比较各顶点处目标函数的值求出最优解.
图解法解线性规划问题只限于只有两个决策变量的情形.当多于两
个决策变量的问题，一般不便于用图解法，因此图解法有很大的
局限性.
利用图解法解线性规划问题的步骤是：
（1）确定决策变量，列出线性约束条件与目标函数；
（2）由线性约束条件，在平面直角坐标系中画出可行域；
（3）过原点作出目标函数的0等值线，即目标函数值等于0的直线；
（4）将0等值线平行移动，观察确定可行域内最大解的位置，一般最优解在可行域的顶点取得.
（5）求最值——将最优解带入目标函数求值
*归纳小结强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
（1）本次课学了哪些内容？
（2）通过本次课的学习，你会解决哪些问题了？
（3）在学习方法上有哪些体会？
*继续探索活动探究
(1)阅读理解：教材16.3，学习与训练16.3；
(2)书面作业：教材习题16.2，学习与训练16.2训练题；
(3)实践调查：探究生活中的应用线性规划问题的实例。