18版高中数学第一章集合1.2.2集合的运算学案新人教B版必修1

1.2.2 集合的运算第1课时交集、并集1．理解两个集合交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集．(重点、难点) 2．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图对理解抽象概念的作用．(难点)[基础·初探]教材整理1 交集阅读教材P15内容，完成下列问题．1．设集合A＝{1,3,5,7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝( )A．{1,3} B．{3,5}C．{5,7} D．{1,7}【解析】集合A与集合B的公共元素有3,5，故A∩B＝{3,5}，故选B.【答案】 B2．已知集合A＝{x|－3≤x＜4}，B＝{x|－2≤x≤5}，则A∩B＝( )A．{x|－3≤x≤5} B．{x|－2≤x＜4}C．{x|－2≤x≤5} D．{x|－3≤x＜4}【解析】∵集合A＝{x|－3≤x＜4}，集合B＝{x|－2≤x≤5}，∴A∩B＝{x|－2≤x＜4}，故选B.【答案】 B教材整理2 并集阅读教材P16“并集”以下～P17“图1－4”以上部分，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个集合的并集中元素的个数一定大于这两个集合中元素个数之和．( )(2){1,2,3,4}∪{0,2,3}＝{1,2,3,4,0,2,3}．( )(3)若A∪B＝A，则A⊆B.( )【解析】(1)×.当两个集合没有公共元素时，两个集合的并集中元素的个数等于这两个集合中元素个数之和．(2)×.求两个集合的并集时，这两个集合的公共元素在并集中只能出现一次，需要满足集合中元素的互异性．(3)×.若A∪B＝A，则应有B⊆A.【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理3 交集与并集的运算性质阅读教材P17“图1－4”以下～P17“例5”以上部分，完成下列问题.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)集合M＝{直线}与集合N＝{圆}无交集．( )(2)两个集合并集中元素的个数一定大于这两个集合交集中元素的个数．( )(3)若A∩B＝C∩B，则A＝C.( )【解析】(1)∵M∩N＝∅，∴(1)对．(2)∵A∪A＝A∩A，∴(2)错．(3)设A＝{0,1}，B＝{1}，C＝{1,2}，则A∩B＝C∩B，但A≠C，故(3)错．【答案】(1)√(2)×(3)×[小组合作型](1)若集合＝( )A．{0,1} B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}(2)已知集合P＝{x|x<3}，集合Q＝{x|－1≤x≤4}，则P∪Q＝( )A．{x|－1≤x<3} B．{x|－1≤x≤4}C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1}【精彩点拨】(1)集合M和集合N都是含有三个元素的集合，把两个集合的所有元素找出写在花括号内即可，注意不要违背集合中元素的互异性．(2)欲求P∪Q，只需将P，Q用数轴表示出来，取它们所有元素构成的集合，即得P∪Q.【自主解答】(1)因为M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，所以M∪N＝{－1,0,1}∪{0,1,2}＝{－1,0,1,2}．(2)P＝{x|x<3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，如图，P∪Q＝{x|x≤4}．【答案】(1)D (2)C1．若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．2．若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值的取舍．[再练一题]1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为______．【解析】∵A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，∴A∪B＝{1,2,3,4,5}，∴A∪B中元素个数为5.【答案】 5(1)A∩B＝( )A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5}C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x＞5}(2)设集合A＝{x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是( )A．6 B．5C．4 D．3【精彩点拨】(1)欲求A∩B，只需将A，B用数轴表示出来，找出它们的公共元素，即得A∩B.(2)用列举法表示{x∈Z|1≤x≤5}即可．【自主解答】(1)A＝{x|2<x<4}，B＝{x|x<3或x>5}，如图A∩B＝{x|2<x<3}．(2)∵A＝{x|1≤x≤5}，Z为整数集．∴A∩Z＝{x∈Z|1≤x≤5}＝{1,2,3,4,5}．【答案】(1)C (2)B求两个集合的交集时，要注意：求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合.若集合中元素个数无限，常借助数轴，把集合表示在数轴上，利用交集的定义求解，这样处理比较形象直观.[再练一题]2．若A＝{x|x2＝1}，B＝{x|x2－2x－3＝0}，则A∩B＝________.【解析】∵A＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，B＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，∴A∩B＝{－1}．【答案】{－1}[探究共研型]A 与B具有什么关系？【提示】 A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ，即A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，A ⊆B 三者为等价关系． 探究2 若A ⊆B ，那么集合A 是否可能为空集？【提示】 因为空集是任何集合的子集，所以集合A 有可能为空集．探究3 集合{x |x 2＋2x －a ＝0}是否可能为空集，如果可能是空集，求出实数a 的取值范围，若不可能，说明理由？【提示】 集合{x |x 2＋2x －a ＝0}可能为空集．当方程x 2＋2x －a ＝0的判别式Δ＝4＋4a <0，即a <－1时，方程x 2＋2x －a ＝0无解，则集合{x |x 2＋2x －a ＝0}为空集．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a －1)x ＋a 2－5＝0}． (1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值； (2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．【精彩点拨】 (1)根据条件A ∩B ＝{2}，得2∈B ，建立方程即可求实数a 的值． (2)A ∪B ＝A 等价为B ⊆A ，然后分别讨论B ，建立条件关系即可求实数a 的取值范围． 【自主解答】 (1)由题可知：A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ， 将2带入集合B 中，得4＋4(a －1)＋a 2－5＝0，解得a ＝－5或a ＝1. 当a ＝－5时，集合B ＝{2,10}，符合题意； 当a ＝1时，集合B ＝{2，－2}，符合题意． 综上所述：a ＝－5，或a ＝1.(2)若A ∪B ＝A ，则B ⊆A ，∵A ＝{1,2}，∴B ＝∅或B ＝{1}或{2}或{1,2}． ①若B ＝∅，则Δ＝4(a －1)2－4(a 2－5)＝24－8a ＜0，解得a ＞3， ②若B ＝{1}，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝24－8a ＝0，x ＝－a －2＝1－a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a ＝0，不成立．③若B ＝{2}，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝24－8a ＝0，x ＝－a －2＝1－a ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a ＝－1，不成立，④若B ＝{1,2}，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝24－8a >0，1＋2＝－a －，1×2＝a 2－5，即⎩⎪⎨⎪⎧a <3，a ＝－12，a ＝±7，此时不成立，综上a ＞3.1．在进行集合运算时，若条件中出现A ∩B ＝A 或A ∪B ＝B ，应转化为A ⊆B ，然后用集合间的关系解决问题，并注意A ＝∅的情况．2．集合运算常用的性质 (1)A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ； (2)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ； (3)A ∩B ＝A ∪B ⇔A ＝B 等．3．利用集合的并、交求参数的值或范围时，要注意检验集合元素的互异性．[再练一题]3．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－4x ＋a ＝0}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值集合．【解】 A ＝{1,2}，∵A ∪B ＝A ， ∴B ⊆A ，故分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论． (1)B ＝∅时，方程x 2－4x ＋a ＝0无实数根， 则Δ＝16－4a <0，解得a >4.(2)B ≠∅时，当Δ＝0时，a ＝4，B ＝{2}⊆A 满足条件； 当Δ>0时，若1,2是方程x 2－4x ＋a ＝0的根， 由根与系数的关系知矛盾，无解，所以a ＝4. 综上，a 的取值集合为{a |a ≥4}．1．设集合A ＝{0,1,2,3}，集合B ＝{2,3,4}，则A ∩B ＝( ) A ．{2,3}B ．{0,1}C ．{0,1,4}D ．{0,1,2,3,4}【解析】 因为集合A ＝{0,1,2,3}，集合B ＝{2,3,4}，所以A ∩B ＝{2,3}，故选A. 【答案】 A2．已知集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2＜x ≤5}，则A ∪B ＝( ) A ．(2,3) B ．[－1,5] C ．(－1,5)D ．(－1,5]【解析】 ∵集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2＜x ≤5}，∴A ∪B ＝{－1≤x ≤5}．故选B.【答案】 B3．已知集合M ＝{－1,0}，则满足M ∪N ＝{－1,0,1}的集合N 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．8【解析】 由M ∪N ＝{－1,0,1}，得到集合M ⊆M ∪N ，且集合N ⊆M ∪N ，又M ＝{－1,0}，所以元素1∈N ，则集合N 可以为{1}或{0,1}或{－1,1}或{0，－1,1}，共4个．故选C.【答案】 C4．设集合A ＝{(x ，y )|y ＝ax ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，且A ∩B ＝{(2,5)}，则( ) A ．a ＝3，b ＝2 B ．a ＝2，b ＝3 C ．a ＝－3，b ＝－2D ．a ＝－2，b ＝－3【解析】 ∵A ∩B ＝{(2,5)}，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝2a ＋1，5＝2＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，故选B.【答案】 B5．已知集合A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |x ＜3或x ≥7}，求： (1)A ∪B ； (2)C ∩B .【解】 (1)由集合A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，把两集合表示在数轴上如图所示：得到A ∪B ＝{x |2＜x ＜10}．(2)由集合B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |x ＜3或x ≥7}，则C∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}．第2课时补集及其综合应用1．了解全集的含义及其符号表示．(易错点)2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点) 3．熟练掌握集合的交、并、补运算．(重点)[基础·初探]教材整理1 全集与补集阅读教材P18“补集”以下部分，完成下列问题．1．全集在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定集合为全集，通常用符号U表示．2．补集1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个集合的补集一定含有元素．( )(2)集合∁Z N与集合∁Z N＋相等．( )(3)集合A与集合A在集合U中的补集没有公共元素．( )【解析】(1)∵∁U U＝∅，∴(1)错；(2)∵0∉∁Z N，而0∈∁Z N＋，∴(2)错；(3)由补集定义知(3)正确．【答案】(1)×(2)×(3)√2．已知M＝{x|x＞1}，N＝{x|x＞2}，则∁M N＝________.【解析】由补集定义可得∁M N＝{x|1＜x≤2}．【答案】{x|1＜x≤2}3．已知全集为R，集合A＝{x|x<1，或x≥5}，则∁R A＝________.【解析】如图所示，集合A＝{x|x<1，或x≥5}的补集是∁R A＝{x|1≤x<5}．【答案】{x|1≤x<5}教材整理2 补集的性质阅读教材P19“例6”以上部分，完成下列问题．1．A∪∁U A＝U，A∩∁U A＝∅，∁U(∁U A)＝A.2．∁U A∩∁U B＝∁U(A∪B)，∁U A∪∁U B＝∁U(A∩B)．设全集为U，A＝{1,2,4,5}，∁U A＝{3}，则U等于( )A．∅B．{1,2,4,5}C．{1,2,3,4,5} D．{3}【解析】因为A∪∁U A＝U，所以U＝{1,2,3,4,5}．【答案】 C[小组合作型](1)U A＝( )A．∅B．{1,3,6,7}C．{2,4,6} D．{1,3,5,7}(2)已知全集U＝{x|x>0}，∁U A＝{x|1<x≤2}，则A＝________.【精彩点拨】(1)根据补集的定义求解；(2)利用补集的性质求解．【自主解答】(1)∵全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，则由集合的补集的定义可得∁U A＝{1,3,6,7}，故选B.(2)A＝∁U(∁U A)＝{x|0<x≤1，或x>2}．【答案】(1)B (2){x|0<x≤1，或x>2}如果全集及其子集是用列举法表示的，可根据补集的定义求解，如果较为复杂，还可借助于Venn图求解；如果全集及其子集是用不等式表示的，常借助于数轴求解.[再练一题]1．(1)设全集U＝{1,2,3,4}，且M＝{x∈U|x2－5x＋p＝0}，若∁U M＝{2,3}，则实数p 的值为( )A．－4 B．4C．－6 D．6(2)已知A＝{x||x|<4，x∈Z}，B＝{－2,1,3}，则∁A B＝________.【解析】(1)由全集U＝{1,2,3,4}，∁U M＝{2,3}，得到集合M＝{1,4}，即1和4是方程x2－5x＋p＝0的两个解，则实数p＝1×4＝4.(2)易知A＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，所以∁A B＝{－3，－1,0,2}．【答案】(1)B (2){－3，－1,0,2}中阴影部分所表示的集合为( )图1­2­1A．{0,1,2} B．{0,1}C．{1,2} D．{1}(2)已知集合A＝{x|x≥－2}，集合B＝{x|－2≤x≤2}，则集合∁R B∩A＝________.【精彩点拨】(1)由图观察阴影部分所代表的集合，然后求解．(2)先求∁R B，借助于数轴求解；【自主解答】(1)由题意，阴影部分表示A∩∁U B.因为∁U B＝{x|x<3}，所以A∩∁U B＝{1,2}．(2)因为B＝{x|－2≤x≤2}，所以∁R B＝{x|x<－2，或x>2}，∁R B∩A＝{x|x>2}．【答案】(1)C (2){x|x>2}1．集合的交、并、补运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算．2．当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解．[再练一题]2．已知全集U ＝{x |1≤x ≤8且x ∈N *}，集合A ＝{1,2,5,7}，B ＝{2,4,6,7}，求A ∩B ，∁U A ∪B ，A ∩∁U B .【解】 因为集合A ＝{1,2,5,7}，B ＝{2,4,6,7}，所以A ∩B ＝{2,7}， 因为全集U ＝{x |1≤x ≤8且x ∈N *}， 则∁U A ＝{3,4,6,8}，∁U B ＝{1,3,5,8}， 所以∁U A ∪B ＝{2,3,4,6,7,8}，A ∩∁U B ＝{1,5}．[探究共研型]U U 么？【提示】 如果“a ∈∁U B ”，那么a ∉B .“a ∈A ∩∁U B ”意味着a ∈A 且a ∉B .探究2 是否存在元素a ，使得a ∈A 且a ∈∁U A ？若集合A ＝{x |－2<x ≤3}，则∁U A 是什么？【提示】 不存在．若集合A ＝{x |－2<x ≤3}，则∁R A ＝{x |x ≤－2或x >3}．(1)已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足B ∩∁U A ＝{2}，A ∩∁U B ＝{4}，U ＝R ，求实数a ，b 的值；(2)已知集合A ＝{x |2a －2<x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A∁R B ，求a 的取值范围．【精彩点拨】 (1)由条件可判断元素2和4所在的集合，代入到对应的方程中，解方程组可以解出实数a ，b 的值．(2)求出∁R B ，根据A∁R B ，列出不等式组，可求a 的取值范围．【自主解答】 (1)∵B ∩∁U A ＝{2}，∴2∈B ，但2∉A .∵A ∩∁U B ＝{4}，∴4∈A ，但4∉B .∴⎩⎪⎨⎪⎧42＋4a ＋12b ＝0，22－2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝87，b ＝－127，∴a ，b 的值分别为87，－127. (2)∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}≠∅. ∵A∁R B ，∴分A ＝∅和A ≠∅两种情况讨论．①若A ＝∅，此时有2a －2≥a ，∴a ≥2.②若A ≠∅，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a ，a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a ，2a －2≥2，∴a ≤1.综上所述，a ≤1或a ≥2.1．已知元素与已知集合补集的关系，一般要转化为元素与该集合的关系求解． 2．已知补集之间的关系求参数的取值范围时，常根据补集的定义及集合之间的关系，并借助于数轴列出参数应满足的关系式求解，具体操作时要注意端点值的取舍．[再练一题]3．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |a ＋1≤x ≤2a －1}且A ⊆∁U B ，求实数a 的取值范围．【解】 若B ＝∅，此时∁U B ＝R ，且A ⊆∁U B ；则a ＋1>2a －1，所以a <2， 若B ≠∅，则a ＋1≤2a －1， 即a ≥2，此时∁U B ＝{x |x <a ＋1，或x >2a －1}， 由于A ⊆∁U B ， 如图，则a ＋1>5，∴a >4，所以实数a 的取值范围为{a |a <2，或a >4}.1．设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则∁U A ＝( ) A ．{1,2} B ．{3,4,5} C ．{1,2,3,4,5}D ．∅【解析】 ∵U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2}， ∴∁U A ＝{3,4,5}． 【答案】 B2．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |1<x <4}，集合B ＝{x |2≤x <5}，则A ∩∁U B ＝( ) A ．{x |1≤x <2} B ．{x |x <2} C ．{x |x ≥5}D ．{x |1<x <2}【解析】 ∁U B ＝{x |x <2，或x ≥5}，A ∩∁U B ＝{x |1<x <2}．【答案】 D3．已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则∁R A∩B＝( )A．{－2，－1} B．{－2}C．{－1,0,1} D．{0,1}【解析】因为集合A＝{x|x>－1}，所以∁R A＝{x|x≤－1}，则∁R A∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．【答案】 A4．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若∁U A＝{x|2≤x≤5}，则a＝________.【解析】∵A＝{x|1≤x＜a}，∁U A＝{x|2≤x≤5}，∴A∪∁U A＝U＝{x|1≤x≤5}，且A∩∁U A＝∅，因此a＝2.【答案】 25．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4,7,8}，求A∩B，A∪B，∁U A∩∁U B，A∩∁U B，∁U A∪B.【解】法一由已知易求得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}．∁U A＝{1,2,6,7,8}，∁U B＝{1,2,3,5,6}，∴∁U A∩∁U B＝{1,2,6}，A∩∁U B＝{3,5}，∁U A∪B＝{1,2,4,6,7,8}．法二画出Venn图，如图所示，可得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，∁U A∩∁U B＝{1,2,6}，A∩∁U B＝{3,5}，∁U A∪B＝{1,2,4,6,7,8}．。