江苏省淮安市新马高级中学高三数学10月自主练习 文 苏教版

第11题淮安市新马高级中学2013届高三年级月自主练习数学试卷（文科、艺体）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上．1．已知集合A={}0,1,2,4-，B=｛x | 12＜2x +1＜4｝,则A∩B = ▲ ．2．在复平面内，复数2334ii-+-所对应的点位于第 ▲ 象限．3．若命题“01)1(,2<+-+∈∃x a x R x 使得”是假命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 4. 若()()213f x a x ax =-++是偶函数，则()f x 的递增区间为 ▲ ．5．已知实数x y ，满足3450x y ++=的最小值为 ▲ ．6. 已知数列{}n a 满足：22111, 0, 1(*)n n n a a a a n +=>-=∈N ，那么使5n a <成立的n 的最大值为_____▲______． 7．在ABC ∆中，已知BC =1，3π=B ,ABC ∆的面积为3，则AC 的长为_____▲______．8．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()32xf x x a a =-+∈R ，则()2f -=▲ ．9.若函数321(02)3x y x x =-+<<的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值 是 ▲ ．10．已知{}n a 为等差数列，3177,10,n a a a S =+=为其前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 等于 ▲ ．11.如图，在平面四边形ABCD 中，若3,2AC BD ==，则()()+⋅+=AB DC AC BD▲ .12．已知矩形ABCD 的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC 把△ACD 折起，则三棱锥D —ABC 的外接球的表面积等于 ▲ .13．在平面直角坐标系xOy 中，设点()11P x y ，、()22Q x y ，，定义：1212()d P Q x x y y =-+-，． 已知点()10B ，，点M 为直线220x y -+=上的动点，则使()d B M ，取最小值时点M 的坐标是▲ ．14．已知函数f(x)=(31)4(1)log (1)a a x a x x x -+<⎧⎨≥⎩在R 不是单调函数．．．．．．，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答. 15．（本小题满分14分）已知函数1)sin (cos 212sin 23)(22---=x x x x f （1）求函数f(x)的最小值和最小正周期；（2）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a,b,c ,且c =7，0)(=C f ，若向量B ），（A m sin 3)sin ,1(==与向量共线，求a , b 的值。

16．（本小题满分14分）如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是菱形,PA PC =,E 为PB 的中点.(1)求证:∥PD面AEC ； (2)求证:平面AEC ⊥平面PDB .C17．（本小题满分14分）已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ． （1）讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；（2）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ∀∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，求实数b的取值范围.18．（本小题满分16分）如图所示，某市政府决定在以政府大楼O 为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM R = ，45MOP ∠=，OB 与OM 之间的夹角为θ. （1）将图书馆底面矩形ABCD 的面积S 表示成θ的函数.（2）求当θ为何值时，矩形ABCD 的面积S 有最大值？其最大值是多少？(用含R 的式子表示)ABCDMOPQF19、（本小题满分16分）已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B ．（1）若60APB ∠=，试求点P 的坐标；（2）若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于,C D 两点，当CD =直线CD 的方程；（3）经过,,A P M 三点的圆是否经过异于点M 的定点，若经过，请求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由。

20.（本小题满分16分）已知点（1，31）是函数,0()(>=a a x f x且1≠a ）的图象上一点，等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)(， 数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和n S 满足n S －1n S -=n S 2n ≥）.（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 的通项1()3nn n c b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n R ； （3）若数列{}11+n n b b 前n 项和为n T ，问n T >10002013的最小正整数n 是多少?淮安市新马高级中学2013届高三年级月自主练习数学参考答案 一、填空题：1、{}0,1-2、 第二象限3、[]13-，4、(),0-∞5、16、24 7 8、－4 9、34π10、6 11、5 12、16π 13、（1,3/2） 14、),1()1,31[)71,0(+∞⋃⋃ 二、解答题：15、答案：解：（1）12cos 21223)(--∑=x x x f 1)62(--∑=πx162)(22262-=-∑∈+-=-∴）mm x （z k k x πππ时当 即2)(-=mm x fT=π …………6分 （2）a b A B 33=∴∑=∑61162601)62(01)62()(ππππππ<-<-∴<<=-∑∴=--∑=c c c c c f3262πππ==-∴C c 即 …………10分由余弦定理31cos 2222==-+=，b a c ab b a C 即 (14)分16、（1）证明:设AC BD O =,连接EO,因为O,E 分别是BD,PB 的中点,所以∥PD EO ………4分而,PD AEC EO AEC ⊄⊂面面,所以∥PD面AEC ………………………………………………7分(2)连接PO,因为PA PC =,所以AC PO ⊥,又四边形ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥………10分而PO ⊂面PBD ,BD ⊂面PBD ,PO BD O =,所以AC ⊥面PBD …………………………13分 又AC ⊂面AEC ,所以面AEC ⊥面PBD …………………………………………………………14分17、解：（Ⅰ）xax x a x f 11)(-=-='，…………1分当0≤a 时，()0f x '<在),0(+∞上恒成立，函数)(x f 在),0(+∞单调递减， ∴)(x f 在),0(+∞上没有极值点；……………3分 当0>a 时，()0f x '<得10x a<<，()0f x '>得1x a >，∴)(x f 在(10,)a 上递减，在(1),a+∞上递增，即)(x f 在ax 1=处有极小值．………5分 ∴当0≤a 时)(x f 在),0(+∞上没有极值点，当0>a 时，)(x f 在),0(+∞上有一个极值点．………………7分 （Ⅱ）∵函数)(x f 在1=x 处取得极值，∴1=a ， ∴b xx x bx x f ≥-+⇔-≥ln 112)(，………………10分 令xxx x g ln 11)(-+=，可得)(x g 在(]2,0e 上递减，在[)+∞,2e 上递增，…………12分 ∴22min 11)()(e e g x g -==，即211b e≤-．………………14分 18、解（Ⅰ）由题意可知，点M 为PQ 的中点，所以OM AD ⊥.设OM 于BC 的交点为F ，则2sin BC R θ=，cos OF R θ=.1cos sin 2AB OF AD R R θθ=-=-. 所以2sin (cos sin )S AB BC R R R θθθ=⋅=-22(2sin cos 2sin )R θθθ=-2(sin 21cos2)R θθ=-+22sin(2)4R πθ=+-，(0,)4πθ∈ . …………10分（表达式8分，定义域2分） （Ⅱ）因为(0,)4πθ∈ ，则32(,)444πππθ+∈ . 所以当 242ππθ+=，即8πθ=时，S 有最大值.2max 1)S R =.故当8πθ=时，矩形ABCD 的面积S 有最大值21)R . (16)分19、解：（1）设(2,)P m m ，由题可知2MP =，所以22(2)(2)4m m +-=，解之得：40,5m m ==, 故所求点P 的坐标为(0,0)P 或84(,)55P ．( 5分) （2）设直线CD 的方程为：1(2)y k x -=-，易知k 存在，由题知圆心M 到直线CD 的距2=( 7分) 解得，1k =-或17k =-，ks.5u 故所求直线CD 的方程为：30x y +-=或790x y +-=．( 10分) （3）设(2,)P m m ，MP 的中点(,1)2mQ m +，因为PA 是圆M 的切线 所以经过,,A P M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆， 故其方程为：2222()(1)(1)22m mx m y m -+--=+- (12分) 化简得：0)22(222=-+--+y x m y y x ，此式是关于m 的恒等式，故（14分） 解得02x y =⎧⎨=⎩或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5254y x 所以经过,,A P M 三点的圆必过异于点M 的定点)52,54( (16分)20、解（1）()113f a ==Q ,()13xf x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭w.()1113a f c c =-=- ,()()221a f c f c =---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦29=-, ()()323227a f c f c =---=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ . 又数列{}n a 成等比数列，22134218123327a a c a ===-=-- ，所以1c =；…………………….2分又公比2113a q a ==，所以12112333n nn a -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭*n N ∈ ；……………………... 4分1n n S S --==Q ()2n ≥又0n b >0>, 1=；数列构成一个首相为1公差为1()111n n =+-⨯= ， 2n S n =当2n ≥， ()221121n n n b S S n n n -=-=--=- ；又其满足11b c ==，21n b n ∴=-(*n N ∈)； ………………………………. 7分（2）、11(21)33nnn n c b n ⎛⎫⎛⎫∴==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以123n n R c c c c ∴=++++L12331111135(21)3333n R n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L （1）2341111111135(23)(21)333333nn n R n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L （2） (1)式减（2）式得：234121111112(21)3333333n n n R n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 化简：2111113321122(1)12(21)133333313n n n n n R n -+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+--⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以所求113n nn R +=- …………………………………………………….. 12分（3）12233411111n n n T b b b b b b b b +=++++L ()1111133557(21)21n n =++++⨯⨯⨯-⨯+K 1111111111112323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K 11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭；w. 由1000212013n n T n =>+得100013n >，满足10002013n T >的最小正整数为77. ………… 16分。