高考数学任意角的三角函数(2)—三角函数的定义教案 苏教版

tan α
sin α
任意角的三角函数（2）——三角函数的定义
一、课前检测
1.设集合M ＝{α|α＝k π2－π
3
，k∈Z }，N ＝{α|－π<α<π}，则M∩N＝________.
解析：由－π<k π2－π3<π得－43<k<8
3
，∵k∈Z ，
∴k＝－1,0,1,2，故M∩N＝{－56π，－π3，π6，2
3
π}．
答案：{－56π，－π3，π6，2
3
π
}
2.圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为( )
A.π3
B.2π
3
C. 3 D ．2 解析：选C.
二、知识梳理
1.1)设
α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：
x
y x y =
==αααtan ,cos ,sin . 2)设点()00,y x A 为角α终边上任意一点，那么：（设2020y x r +=）
r y 0sin =
α，r x 0cos =α，0
0tan x y
=α.(解读：特殊与一般的关系) 2.αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号（一全二正弦，三切四余弦,简记为“全s t c ”）
3.三角函数线（单位圆中）
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.
6.诱导公式一:终边相同的角的同一三角函数值相等。

即：
Z)(k tan ) tan(2k ,cos )cos(2k ,sin )sin(2k ∈=+=+=+ααπααπααπ
解读：1）化不在)[0,2
π的角的三角函数为在)[0,2π的角的三角函数； 2）三角函数值有“周而复始”的变化规律，呈现明显的周期性。

(3) 若 o<x<2
,则sinx<x<tanx
16. 几个重要结论:
三、典型例题分析
例1 若角α的终边过点(sin30°，-cos30°),则sin α等于（ ） A.12 B.－12 C.－32 D.－33
变式训练1 已知角α的终边经过)0)(3,4(≠-a a a P ，求αααtan ,cos ,sin 的值. 错解：a y x r a y a x 5,3,422=+=
∴=-=
,4
3
43tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-===
∴a a a a a a ααα
错因：在求得r 的过程中误认为a >0
正解：若0>a ，则a r 5=，且角α在第二象限
3
434cot ,4343tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-=-=-===
∴a a a a a a a a αααα 若0<a ，则a r 5-=，且角α在第四象限
3
4
34cot ,4343tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-==--=-=-=∴a a a a a a a a αααα
说明：（1）给出角的终边上一点的坐标，求角的某个三解函数值常用定义求解； （2）本题由于所给字母a 的符号不确定，故要对a 的正负进行讨论.
变式训练2 已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求sin α,cos α,tan α的值. 解：∵角α的终边在直线3x+4y=0上，
∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0), 则x=4t,y=-3t,
r=5)3()4(2222=-+=+t t y x |t|, 当t ＞0时，r=5t, sin α=5353-=-=t t r y ,cos α=5454==t t r x , tan α=
4
343-=-=t t x y ; 当t ＜0时，r=-5t,sin α=5
3
53=--=t t r y , cos α=5
4
54-=-=t t r
x , tan α=
4
343-=-=t t x y . 综上可知，t ＞0时，sin α=53-,cos α=54,tan α=4
3-; t ＜0时，sin α=5
3
,cos α=-5
4,tan α=4
3-.
例2. 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合: (1)sin α≥
2
3
; (2)cos α≤21-.
解：（1）作直线y=
2
3
交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB ， 则OA 与OB 围成的区
域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为
α|2k π+
3π≤α≤2k π+3
2
π，k∈Z . （2）作直线x=2
1
-交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域（图中阴影部分）
即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为 ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+
Z k k k ,342322|ππαππα. 变式训练1 求下列函数的定义域： （1）y=1cos 2-x ；（2）y=lg(3-4sin 2
x ）. 解：（1）∵2cosx -1≥0，∴cosx≥2
1
.
由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).
∴x∈⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+-32,3
2ππππk k （k∈Z ）.
（2）∵3-4sin 2x ＞0,∴sin 2
x ＜43,∴-
23＜sinx ＜2
3. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如右图阴影), ∴x ∈（k π-3π,k π+3
π
）（k ∈Z ). 变式训练2 下列四个值:sin3,cos3,tg3的大小关系是( ) A.cos3＜tg3＜sin3 B.sin3＞cos3＞tg3 C.tan3＜cos3＜sin3 D.sin3＞tan3＞cos3
例3 用三角函数的定义求3
5π
的正弦、余弦和正切值。

小结与拓展：
变式训练1 用三角函数的定义求)4
-sin(k π
π、)4-
cos(k π
π和Z)(k )4
-tan(k ∈π
π的值。

例4 求证：⎩⎨⎧><0
tan 0
sin θθ是θ为第三象限角的充要条件。

例5 求下列三角函数值：（1）49cos π；（2） )6
11tan(-π
四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）
1.知识：
2.思想与方法：
3.易错点：
4.教学反思（不足并查漏）：。