2012—2013郑州市高二下学期期末考试数学(理)试题及答案

2012—2013学年下学期期末考试高二数学（理）试题卷注意事项：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分，考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试卷上作答无效，交卷时只交答题卡。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，在每个小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知复数Z=11i+，则Z 在复平面上对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 . D 第四象限2.如果随机变量§~N （ —2，2σ ），且P （—3≤§≤—1）=0.4，则P （§≥—1）= A.0.7 B.0.6 C.0.3 D.0.23.用反证法证明“若a ，b ，c<3，则a ，b ，c 中至少有一个小于1”时，“假设”应为 A.假设a ，b ，c 至少有一个大于1 B.假设a ，b ，c 都大于1 C.假设a ，b ，c 至少有两个大于1 D.假设a ，b ，c 都不小于14.下列求导正确的是A.（x+1x ）’=1+21xB.（log2 —X ）’=log 2e x— C （X3）’=X 3log3—e D.（3sin 2x ）’=62sin 2x5.曲线y=x2e 在点（4，2e ）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为A.922e B. 42e C.22e D.2e6.函数f （x ）=3x 3+2x －3x —4在[0,2]上的最小值是 A.—173 B.— 103 C.-4 D —17.甲乙丙三位同学独立的解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为12\13\14，则有人能够解决这个问题的概率为A.1312B.34C.14D.1248.某同学为了解秋冬季节用电量（y 度）与气温（x ℃）的关系曾由下表数据计算出回归直线方程为∧y=—20x+60，现表中有一个数据被污损。

则被污损的数据为气温 18 13 10 —1 用电量（度）2434＊64A.40B.39C.38D.379.甲同学参加一次英语口语考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的5道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2道题才算合格。

则甲合格的概率为A .512 B.12 C.23 D.5610.用1，2，3三个数字组成一个四位数字，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数共有A.18个B.9个C.12个 D24个 21-x ，—1≤x <011.函数f （x ）=【cos x， 0≤x ≤2π与x 轴围成的封闭图形的面积为A.4π+1 B.54π C.54 D.π+112.已知点P 、Q 分别为函数y=ln （x —1）+1和y=x-1e +1图像上的动点，O 为坐标原点，当1PQ1最小时，直线ＯＱ交函数y=x-1e +1的图像于点Ｒ（ox ，oy ）（异于Ｑ点），则o oy x ＝Ａ．o1x -1 Ｂ．2Ｃ．２ Ｄ．３第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.袋中有3个白球2个黑球共5个小球，现从袋中每次取一个小球，每个小球被抽到的可能性均相同，不放回地抽取两次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次扔抽到白球的概率是14.已知i 为虚数单位，则i+2i +3i …+2013i =15.已知（2x —1）的8次方=8a 8x +…+1a x+o a ,则2a +4a +6a +8a =（用数字回答）16.现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个变长都是a 的正方形，其中一个正方形的某起点在另一个正方形的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a ，类比到空间，有两个棱长为a 的正方体，其中某一个正方体的某顶点在另一个正方体的中心，则这两个正方体的重叠部分的体积恒为三、解答题（6小题，共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分） 已知复数Z=a+bi （a ，b εR ），且2a —（i —1）a+3b+2i=0（I ）求复数Z（II ）若Z+mz ε R,求实数m 的值.18.(本题满分12分)某主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示积极参加班级工作不太主动参加班级工作学习积极性高18 7学习积极性一般 6 19（I）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？（II）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由附：P（2K≥k）0.050 0.010 0.001 2K=2(ad-bc)(a b)(c d)(a c)(b d)n++++k 3.841 6.635 10.828 19.（本题满分12分）已知22c+23c+24c+…+2nc=38c（nεN）（I）求n的值（II）求二项式2()3nxx-的一次项20某射手每次射击击中目标的概率均为23，且每次射击的结果互不影响（I）假设这名射手射击3次，求至少2次击中目标的概率（II）假设这名射手射击3次，每次击中目标10分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有两次连续击中目标，而另外一次未击中目标，则额外加5分；若3次全部击中，则额外加10分。

用随机变量§表示射手射击3次后的总得分，求§的分布列和数学期望。

21.（本小题满分12分）设F（x）=3a2x+2bx+c，若a+b+c=0，且F（x）>0，F（1）>0.求证：a>0，且—2<ba <—1.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2x-2alnx（a>0）（I)求函数f（x）的单调区间和最小值.（II）若方程f（x）=2ax有唯一解，求实数a的值.2012—2013学年度下学期期末考试 高中二年级 数学（理科） 参考答案一、选择题DCDBD ABCBA AC 二、填空题13.12； 14.i ； 15.3280； 16.38a .三、解答题17.解：⑴由题意230,20,a ab a ⎧++=⎨-+=⎩解之得2,2,a b =⎧⎨=-⎩所以22z i =-为所求. -------5分 ⑵由⑴得(1)2222224R m m m i z i i z i ++=-+=-+∈-， 所以204m-=，即8m =为所求. -------10分 18．解：⑴随机抽查这个班的一名学生，共有50种不同的抽查方法，其中积极参加班级工作的学生有18＋6＝24人，即有24种不同的抽法， 由古典概型的计算公式可得抽到积极参加班级工作的学生的概率是12412.5025P == 同理可得，抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的概率是21950P =.---------4分⑵由2K 统计量的计算公式得：2250(181967)11.53824262525K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，------8分 由于11.53810.828>，所以有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系”． --------12分19．解：⑴由题意，222332318n n C C C C C ++++==，所以7n =为所求.---------4分 ⑵由⑴得2157362177(2)(2)rr rr rrr r T C x xC x---+=⋅⋅-⋅=-，---------8分令21516r-=，解得3r =， 所以所求一次项为3478280T C x x =-⨯=-. ---------12分20．解：⑴设X 为射手3次射击击中目标的总次数，则2(3,)3XB .故22333322220(2)(2)(3)()(1)()33327P X P x P x C C ≥==+==⋅⋅-+⋅=,所以所求概率为2027.-------4分⑵由题意可知，ξ的所有可能取值为0,10,20,25,40, 用(1,2,3)i A i =表示事件“第i 次击中目标”，则311(0)(0)327P P X ζ⎛⎫===== ⎪⎝⎭，123222(10)(1)(1)339P P X C ζ====⋅⋅-=，1232124(20)()33327P P A A A ζ===⨯⨯=，8(25)(2)(20)27P P X P ζζ===-==，(40)(3)P P X ζ====328327⎛⎫= ⎪⎝⎭.故ξ的分布列是-----10分16488220()01020254027272727279E ζ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. -----12分21．证明：由题意(1)322()0f a b c a c a b c a c =++=-+++=->， 又(0)0f c =>，所以0a c >>.---------4分 注意到0a b c +=-<，又0a >，所以10b a +<，即1ba<-， 又(1)322()20f a b c a b a b c a b =++=++++=+>，0a >，所以20ba+>，即2b a >-. ---------11分综上：0a >，且21ba-<<-． ---------12分ζ0 10 20 25 40P 127 29 427 827 82722. 解：⑴函数的定义域为(0,)+∞，且22()()()2a x a x a f x x x x+-'=-=， 所以当0x a <<时，()0f x '<，当x a >时，()0f x '>，即函数()f x 的减区间为(0,)a ，增区间为(,)a +∞，min ()()ln f x f a a a a ==-. ---------4分⑵设2()()222ln (0)g x f x ax x ax a x x =-=-->，则222442()()2()22()a a a a a ax x x ax a g x x x-+++----'==，因为2402a a a -+<，令242a a at ++=，则0t >，所以当0x t <<时()0g x '<，当x t >时()0g x '>，即函数()g x 的减区间为(0,)t ，增区间为(,)t +∞， 又因为当0,x x →→+∞时均有()g x →+∞，所以()0g x =有唯一解()0g t ⇔=， ---------8分注意到()0g t '=，所以2222ln 0,0,t at a t t at a ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩所以2ln a t a at =-，因为0a >，所以ln 10t t +-=， 记()ln 1h t t t =+-，则1()10h t t'=+>对于0t >恒成立，即()h t 为增函数，又(1)0h =，所以2412a a at ++==，解之得12a =，为所求. ---------12分 解法2：方程()2f x ax =有唯一解，22ln 2(0,0)x a x ax x a ∴-= >>有唯一解.21ln (0,0)2x x x a a x+∴= >>有唯一解.令2ln ()(0,0)x x g x x a x +=>>，则312ln '()(0,0)x xg x x a x --= >>， 故当(0,1)x ∈时，'()0g x >，()y g x =单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，'()0g x <，()y g x =单调递减，max ()(1)1g x g ∴==，112a ∴=，12a ∴=。