高精度算法

高精度算法问题的引入由于计算机运算是有模运算,数据范围的表示有一定限制,如整型int(C++中int 与long相同)表达范围是(-2^31~2^31-1),unsigned long(无符号整数)是(0~2^32-1),都约为几十亿.如果采用实数型,则能保存最大的double只能提供15~16位的有效数字,即只能精确表达数百万亿的数。

因此,在计算位数超过十几位的数时,不能采用现有类型,只能自己编程计算。

目前在青少年信息学奥林匹克竞赛中所涉及到的高精度计算包括加(addition)、减(subtract)、乘(multiply)、除(divide)四种基本运算。

此外，在C++语言中，int类型（4个字节/32位计算机）元素存储十进制的一位数字非常浪费空间，并且运算量也非常大，因此常将程序代码优化为万进制，即数组的每个元素存储高精数字的四位。

（为什么选择万进制，而不选择更大的进制呢？十万进制中的最大值99999相乘时得到的值是9999800001超过4个字节的存储范围而溢出，从而导致程序计算错误。

）本文以暂时以10进制为例讲述高精度算法一、高精度数字的存储高精度计算通用方法:高精度计算时一般用一个数组来存储一个数,数组的一个元素对应于数的一位(当然,在以后的学习中为了加快计算速度,也可用数组的一个元素表示数的多位数字,暂时不讲),表示时,由于数计算时可能要进位,因此为了方便,将数由低位到高位依次存在数组下标对应由低到高位置上,另外,我们申请数组大小时,一般考虑了最大的情况,在很多情况下,表示有富余,即高位有很多0,可能造成无效的运算和判断,因此,我们一般将数组的第0个下标对应位置来存储该数的位数.如数:3485(三千四百八十五)，表达在数组a[10]上情况是:下标0 1 2 3 4 5 6 7 8 9内容 4 5 8 4 3 0 0 0 0 0说明：位数个位十位百位千位例：一个不超过200位的非负整数，可能有多余的前导0。

#include<cstdio>#include<cmath>#include<cstdlib>#include<string>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;const int maxn=220;const int maxlen=5001;int a[maxn],b[maxn],c[maxlen],d[maxlen];char str1[maxn],str2[maxn];void init(char str[],int num[]){int len=strlen(str);int i,pos=0;while(str[pos]=='0'&&pos<len-1)pos++;//找到首个非0位置,保留最后1位for(i=pos;i<len;i++)num[len-i]=str[i]-'0';//个位下标1，十位下标2...num[0]=len-pos;//下标0处存放位数}int main(){int i;scanf("%s",str1);init(str1,a);//将字符串str1初始化到a数组中return 0;}二、高精度算法说明: int a[maxn],b[maxn],c[maxlen];a为数1,b为数2,c存放计算结果1. 高精度数比较int cmp(){//比较a和b的大小关系，若a>b则为1，a<b则为-1,a=b则为0int i;if (a[0]>b[0]) return 1;//a的位数大于b则a比b大if (a[0]<b[0]) return -1;//a的位数小于b则a比b小for(i=a[0];i>=1;i--) //从高位到低位比较{if (a[i]>b[i]) return 1;if (a[i]<b[i]) return -1;}return 0;//各位都相等则两数相等。

}2.高精度加法10:大整数加法/ch0106/10/求两个不超过200位的非负整数的和。

输入有两行，每行是一个不超过200位的非负整数，可能有多余的前导0。

输出一行，即相加后的结果。

结果里不能有多余的前导0，即如果结果是342，那么就不能输出为0342。

样例输入2222222222222222222233333333333333333333样例输出55555555555555555555#include<cstdio>#include<cmath>#include<cstdlib>#include<string>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;const int maxn=220;const int maxlen=5001;int a[maxn],b[maxn],c[maxlen];char str1[maxn],str2[maxn];void init(char str[],int num[]){int len=strlen(str);int i,pos=0;while(str[pos]=='0'&&pos<len-1)pos++;//找到第一个非0位置,保留最后1位for(i=pos;i<len;i++)num[len-i]=str[i]-'0';//个位下标1，十位下标2...num[0]=len-pos;//下标0处存放位数}void add(){//计算c=a+bint i;int k=max(a[0],b[0]);//找到最大长度for(i=1;i<=k;i++){//从个位开始，逐位相加c[i+1]+=(c[i]+a[i]+b[i])/10;//先计算进位c[i]=(c[i]+a[i]+b[i])%10;//计算当前数字}if(c[k+1])c[0]=k+1;else c[0]=k;//修正位数，最多比k多一位}int main(){int i;scanf("%s",str1);init(str1,a);//将字符串str1初始化到a数组中scanf("%s",str2);init(str2,b);//将字符串str2初始化到b数组中add();for(i=c[0];i>=1;i--)printf("%d",c[i]);printf("\n");return 0;}2.高精度减法11:大整数减法/ch0106/11/求两个大的正整数相减的差。

输入共2行，第1行是被减数a，第2行是减数b(a > b)。

每个大整数不超过200位，不会有多余的前导零。

输出一行，即所求的差。

样例输入99999999999999999999999999999999999999999999999999样例输出9999999999999999999999990000000000000#include<cstdio>#include<cmath>#include<cstdlib>#include<string>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;const int maxn=220;const int maxlen=5001;int a[maxn],b[maxn],c[maxlen];char str1[maxn],str2[maxn];void init(char str[],int num[]){int len=strlen(str);int i,pos=0;while(str[pos]=='0'&&pos<len-1)pos++;for(i=pos;i<len;i++)num[len-i]=str[i]-'0';num[0]=len-pos;}int cmp(){//比较a和b的大小关系，若a>b则为1，a<b则为-1,a=b则为0int i;if (a[0]>b[0]) return 1;//a的位数大于b则a比b大if (a[0]<b[0]) return -1;//a的位数小于b则a比b小for(i=a[0];i>=1;i--) //从高位到低位比较{if (a[i]>b[i]) return 1;if (a[i]<b[i]) return -1;}return 0;//各位都相等则两数相等。

}int sub(){//计算c=a-bint i;int flag=cmp();//比较a,b大小if(flag==0){c[0]=1;return 0;}//若相等，结果为0，c位数为1if(flag==1){//若a>b，则c=a-bfor(i=1;i<=a[0];i++){c[i]+=a[i];//a[i]加入c[i]if(c[i]<b[i]){ c[i+1]--;c[i]+=10;}//若不够减向上借位c[i]-=b[i];//计算第i位结果}c[0]=a[0];//修正位数while(c[c[0]]==0)c[0]--;//若结果为0,c[0]?return 1;}if(flag==-1){//若a<b，则c=-(b-a)for(i=1;i<=b[0];i++){c[i]+=b[i];if(c[i]<a[i]){ c[i+1]--;c[i]+=10;}c[i]-=a[i];}c[0]=b[0];while(c[c[0]]==0)c[0]--;return -1;}return flag;}int main(){int i;scanf("%s",str1);init(str1,a);scanf("%s",str2);init(str2,b);int flag=sub();if(flag==-1)printf("-");for(i=c[0];i>=1;i--)printf("%d",c[i]);printf("\n");return 0;}3.高精度乘法2980:大整数乘法/practice/2980/求两个不超过200位的非负整数的积。