离散树的高度概念
离散数学中的图的树与生成树的计数
在离散数学中，图是一个由点和边组成的抽象数学模型。
其中，树是一种特殊的图，它是一个无环连通图。
在图论中，树扮演了重要的角色，它具有许多有趣的性质和应用。
而生成树则是树的一个特殊子集，它由给定图中的所有顶点和部分边构成。
本文将介绍图的树的基本概念，并探讨生成树的计数方法。
首先，让我们来看看图的树。
树是一种无环连通图，其中任意两个顶点之间存在唯一一条路径。
它具有以下性质：1.n个顶点的树有n-1条边。
这可以通过归纳法证明：当n=1时，结论成立；假设n=k时成立，那么n=k+1时，只需要添加一个顶点和一条边，即可构成n=k+1个顶点的树。
因此，结论成立。
2.连接树上任意两个顶点的边都是桥。
即如果一条边被删除，那么树就会变成两个或更多个不相连的子树。
3.树是一个高度平衡的结构。
对于一个n个顶点的树，任意两个叶子结点之间的路径长度至多相差1。
4.树的任意两个顶点之间有唯一一条路径，路径长度为顶点之间的边数。
接下来，让我们来讨论生成树的计数方法。
生成树是树的一个特殊子集，它是由给定图中的所有顶点和部分边构成。
生成树的计数在图论中具有重要的意义和应用。
对于一个具有n个顶点的连通图来说，其生成树的个数可以通过Cayley公式计算得到。
Cayley公式是由亚瑟·凯利于1889年提出的，它给出了完全图的生成树数目。
据此，我们可以得到生成树的计数公式为：T = n^(n-2)，其中T表示生成树的个数。
此外，还有一种常见的计数方法是基于度数矩阵和邻接矩阵的矩阵树定理。
矩阵树定理由高斯于1847年提出，它提供了一种计算图的生成树个数的方法。
根据矩阵树定理，一个无向图G的生成树数目等于该图度数矩阵的任意一个(n-1)阶主子式的行列式的值。
其中，度数矩阵是一个对角矩阵，它的对角线上的元素为各个顶点的度数。
邻接矩阵则是一个关于顶点间连接关系的矩阵，其中1表示相邻顶点之间存在边，0表示不存在边。
除了数学方法，还存在一种基于图的遍历的计数方法，称为Kirchhoff矩阵树定理。
离散数学-图论-树
二叉树
• 定义:二元有序树称为二叉树.
– 每个顶点最多有两个子顶点,一般称为左子顶 点和右子顶点. – 类似地,称每个顶点的左子树和右子树. – 每个顶点的出度都是0或2,称为二叉正则树.
二叉树的性质
• 定理:设有二叉树T, (1)第i层最多有2i个顶点; (2)若T高度为h,则T最多有2h11个顶点，最 少有h个顶点; (3)树叶个数出度为2的顶点个数1.
1 2
Huffman树与最优编码
• 若以符号为树叶,符号概率为树叶的权,利 用通过Huffman算法得到的二叉树对符号 编码,则可以保证i pili最小. • 例:对1,1,2,3,5,6,7,8构造Huffman树.
7 3 2 1 1 5 6
8
编码：设 A, B, C, D 的频率（即权值）分别为 17％, 25％, 38％, 20％， 试设计哈夫曼编码（最佳前缀码/最优编码）。
最优编码
• 构成消息的各符号的使用频率是不一样 的,显然常用符号编码短一些,罕用符号编 码长一点,可以使传输的二进制位数最少. • 最优编码问题:给定符号集{a1,a2,...,am}, ai 的出现概率是pi,编码长度为li,要使i pili最 小.
例：如果需传送的电文为 ‘A B A C C D A’，它只用到四种字符， 用两位二进制编码便可分辨。假设 A, B, C, D 的编码分别为 00， 01，10，11，则上述电文便为 ‘00010010101100’（共 14 位）， 译码员按两位进行分组译码，便可恢复原来的电文。 数据的最小冗余编码问题 在编码过程通常要考虑两个问题 译码的惟一性问题
5 1 5 6 6
U 1
1 5 6 1 5 5 4 6 5 4 5 5
2
树的高度名词解释
树的高度名词解释一、引言在我们的日常生活中，经常能够看到各种各样的树木，它们在城市、农村、森林等各个环境中生长茁壮。
众所周知，树木的高度对于我们来说非常重要，它既是我们测量树木生长的基本指标，也是我们对于大自然的一种认知。
那么，什么是树的高度呢？本文将对树的高度进行名词解释。
二、树的高度的定义树的高度是指从树的基部到树的最高点的距离。
一般来说，我们所说的树的高度是指从树的基部到树冠顶端的距离。
树冠是指树木上部的分支和叶子的集合，也是树木生长的主要部分。
因此，树的高度也可以理解为树木在竖直方向上的生长延伸。
三、测量树的高度的方法测量树的高度是对树的生长状态进行评估的重要手段。
树的高度可以通过多种方法来进行测量，下面将介绍几种常见的测量方法。
1. 直接测量法：直接测量法是最常见的一种测量树高的方法，其原理是利用测量工具（如测量杆或测高仪）直接测量树的高度。
这种方法适用于树木较小、生长位置容易接近的情况。
测量时，我们站在树木的基部，将测量工具沿着树干竖直向上延伸，直至达到树冠顶端，即可得到树的高度。
2. 三角法：三角法是一种相对简单但精度较高的测量树高的方法。
这种方法利用三角形的几何性质，通过测量与树木底部和顶部的距离，以及观察视角与垂直方向的夹角，计算出树的高度。
这一方法适用于树木较大、观察距离较远的情况。
3. 激光测距法：激光测距法利用激光器发射激光束，并通过接收器接收反射的激光束，根据激光到达时间差来计算树的高度。
激光测距法具有准确性高、测量速度快的优点，适用于测量较大范围内的树木高度。
四、树的高度与生长环境的关系树的高度与其生长环境密切相关。
树木生长的环境包括土壤、气候、光照等因素。
这些因素的变化会影响树木的生长速度和高度。
例如，在肥沃的土壤中，树木的营养供应更充足，生长速度较快，从而可以达到较大的高度。
而在缺乏养分的贫瘠土壤中，树木的生长速度较慢，高度也相对较低。
此外，气候条件对于树木生长也具有重要影响。
《离散数学》课件-第16章树
18
16.3 根树及其应用
19
定义（有向树）设D是有向图，如果D的基图是无向 树，则称D为有向树。
在有向树中最重要的是根树。 定义16.6（根树）一棵非平凡的有向树，如果恰有 一个顶点的入度为O，其余所有顶点的入度均为1,则称该 树为根树。 入度为0的顶点称为树根，入度为1出度为0的顶点称 为树叶，入度为1出度不为0的点称为内点，内点和树根统 称为分支点。 树根到一个顶点的有向通路的长度称为该顶点的层数。 层数最大顶点的层数称为树高。 平凡树也称为根树。
2
16.1 树及其性质
3
定义16.1（树和森林） 连通且无回路的无向图称为无向树，简称为树，常用
T表示树。 平凡图为树，称为平凡树。 非连通且每个连通分支是树的无向图称为森林。 T中度数为1的顶点（悬挂顶点）称为树叶，度数大于
1的顶点称为分支点。 称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的n（n≥3）
定义16.8（子树）设T为一棵根树，则其任一顶点v 及其后代导若将层数相同的顶点都 标定次序，则称T为有序树。
根据每个分支点的儿子数以及是否有序，可将根树 分成如下若干类：
定义（跟树分类）设T为一棵根树 （1）若T的每个分支点至多有r个儿子，则称T为r叉 树。又若r叉树是有序的，则称它为r叉有序树。 （2）若T的每个分支点恰好有r个儿子，则称T为r叉 正则树。又若r叉正则树是有序的，则称它为r叉正则有 序树。 （3）若T为r叉正则树，且每个树叶的层数均为树高， 则称T为r叉完全正则树。又若r叉完全正则树是有序的， 则称它为r叉完全正则有序树。
8
平均编码长度为：L = ∑ P( i )× l( i ) = 2.53bit i=1
植物 分支点高度
植物分支点高度
当我们漫步在郊外或森林中时，常常会被树木的分支点高度所吸引。
这些分支点高度不仅是自然景观的一部分，也是植物生长和繁衍的重要标志。
植物的分支点高度是指从植物根部到其最低分支点的距离。
它能够反映出植物的生长速度、生长环境和竞争状况。
不同植物的分支点高度有时会有较大的差异，这是由于植物的生长方式和生态特征不同所导致的。
以大树为例，它们通常具有较高的分支点高度。
这是由于大树需要更多的光照和空间来进行光合作用和繁殖。
它们会通过长时间的生长来达到这个高度，并且会不断分支，形成浓密的树冠。
这样的分支点高度不仅能够提供足够的光照，还能够帮助它们在竞争中占据优势地位。
而一些灌木或矮小的植物，它们的分支点高度相对较低。
这是因为它们在生长过程中通常受到了大树的阻挡，无法获得充足的光照和空间。
因此，它们会选择在更低的位置分支，以尽可能地获取光线和养分。
除了光照和竞争的因素，植物的分支点高度还受到其他环境因素的影响。
例如，土壤的质地和水分状况会影响植物的生长速度和分支点高度。
同时，气候条件和风力也会对植物的形态和分支点高度产
生影响。
一些生活在风吹日晒环境中的植物，它们的分支点高度通常会较低，以减少风力对植物的影响。
总的来说，植物的分支点高度是植物生长和繁殖的重要标志。
它可以反映出植物的生长速度、竞争状况和环境适应能力。
了解植物的分支点高度，有助于我们更好地了解植物的生态特征和生长环境，也能够为植物的保护和利用提供一定的参考依据。
离散数学7-树
(b)
(a)
V5
2
1
V7
8
9
V2
V4
2
3
V8
5
V1
V1
V4
V5
1
3
V7
V6
8
V4
2
V8
5
6
V1
1
V5
6
V7
V6
8
3
V8
5
6
V7
9
V3
(e)
V3
(f)
(g)
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V2
V3
(h)
五.应用举例——求最小生成树
例3 用管梅谷算法求下图的最小生成树。
23
五.应用举例——求最小生成树
例3 用管梅谷算法求下图的最小生成树。
成圈。
首先证明T无简单回路。对n作归纳证明。
(i) n=1时,m=n-1=0,显然无简单回路；
(ii)假设顶点数为n-1时无简单回路，现考察顶点数是n的情况：此时至少有一
个顶点v其次数d(v)=1。因为若n个顶点的次数都大于等于2，则不少于n条边，但这与
m=n-1矛盾。
删去v及其关联边得到新图T’，根据归纳假设T’无简单回路，再加回v及其关联
边又得到图T，则T也无简单回路。
再由图的连通性可知，加入任何一边后就会形成圈，且只有一个圈，否则原图
中会含圈。
9
二. 基本定理——证明
证明(4):(3)(4)，即证一个无圈图若加入任一边就形成圈，
则该图连通，且其任何一边都是桥。
若图不连通,则存在两个顶点vi和vj，在vi和vj之间没有路，若
加边(vi,vj)不会产生简单回路，但这与假设矛盾。由于T无简单回
离散数学-树
离散数学导论
. 树
1.2 生成树
➢定义9.10
图T称为无向图G的生成树（spanning tree）， 如果T为G的生成子图且T为树。
✓定理9.17
任一连通图G都至少有一棵生成。
.. 树树
1.2 生成树
✓ 定理9.18
设G为连通无 向图，那么G的 任一回路与任一生 成树T的关于G的补 G – T ，至少有一 条公共边。
1.3 根树
➢ 定义9.15
每个结点都至多有两个儿子的根树称为 二元树（quasibinary tree）。类似地，每个结点都
至多有n个儿子的根树称为n元树。 对各分支结点 的诸儿子规定了次序（例如左兄右弟）的n 元树称
为n元有序树；若对各分支结点的已排序的诸儿子
规定了在图示中的位置（例如左、中、右），那么
弦组成G的一个割集，它被称为枝t-割集（t-cut set）；
而每一条弦e与T中的通路构成一回路，它被称为弦e-回
路（e-circuit）。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.20
在连通无向图G中，任一回路与任 一割集均有偶数条公共边。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.21
设G为一连通无向图，T是G的生成树， S = {e1, e2, e3,…,ek}
✓ 定理9.19
设G为连通无 向图，那么G的任 一割集
与任一生成树至少
有一条公共边。
.. 树树
1.2 生成树
➢ 定义9.11
设T为图G的生成树，称T中的边为树枝（branch） 称G – T 中的边为弦（chord）。对每一树枝t，T–t分为
离散数学c图论
《 离散数学 》同步测试卷10:图的基本概念一．填空：1．一个无向图表示为G=<V , E>，其中V 是 结点 的集合，E 是 边 的集合， 并且要求E 中的任何一条边必须和G 中的两个结点 相关联 。
2．设无向图G 中有12条边，已知G 中度为3的结点有6个，其余的结点度均 小于3，则G 中至少有 9 个结点。
3．设G=(n,m)是简单图，v 是G 中一个度为k 的结点，e 是G 中的一条边，则G – v 中有1n -个结点，m k -条边；G – e 中有n 个结点，1m -条边。
4．设G 是个有向图，当且仅当G 中有一条经过每一个结点的路径时，G 才是 单向 连通图。
5．设图G=<V , E>，则：若E 中的每条边都是_无向边 _，则称图G 为无向图；若E 中的每条边都是_有向边__，则称图G 为有向图。
6．设图G 中 无自环 和 无平行边 ，则称图G 为简单图。
7．设G 是个无自环的无向图，其中有2个结点的度数为4，其余结点的度为2，有6条边。
则G 中共有_ 4 个结点。
因此，G 是个多重边_图。
8．一个无向图G 有16条边，若G 中每一个结点的度均为2，则G 有16个结点。
9．设G 是个具有5个结点的简单无向完全图，则G 有__10_条边。
10．设G 是个具有5个结点的简单有向完全图，则G 有_20_条边。
11．设G 是个n 阶简单有向图，G '是G 的子图，已知G '的边数()1E n n '=-，则G 的边数m 为()1n n -。
12．35条边，每个结点的度数至少是3的图最多有__23_个结点。
13、3个结点可构成 4 个不同构的简单无向图，可构成 16 个不同构的简单有向图。
14、设()100,100G =为无向连通图，则从G 中能找到 1 条回路15、5K 的点连通度为 4 ，边连通度为 4 。
16、设图G=<V , E>，{}1234,,,V v v v v =，若G 的邻接矩阵0101101111001000A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则 ()1deg v -= 3 ，()4deg v += 1 ，，从2v 到4v 长度为2的通路有 1 条。
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离散树的高度概念
离散树是图论中的一种特殊类型的有向无环图。
它被定义为一个包含有限个结点的集合，其中有一个特殊的结点被称为根节点，其他的结点被称为叶结点。
除了根节点外，每个结点都与树中的某个结点有一个有向边连接，而每个叶结点都没有出边。
这种特殊的树形结构在离散数学、计算机科学和网络理论等领域中具有广泛的应用。
离散树的高度是指根节点到叶结点的最长路径上的结点数量。
换句话说，它是树中最深的路径的长度。
离散树的高度可以用来衡量树的大小和复杂度。
在解决某些问题时，我们经常需要计算或比较离散树的高度，以便找到最优的解决方案。
离散树的高度可以通过多种方法进行计算。
其中一种常用的方法是递归。
如果树为空树，即只有一个根节点且没有叶结点，那么树的高度为0。
否则，树的高度等于树中的最大子树高度加上1。
通过递归地计算每个子树的高度，可以得到整个树的高度。
另一种计算离散树高度的常用方法是使用深度优先搜索（DFS）。
DFS是一种图遍历的算法，它从某个节点开始沿着一条路径遍历到底，然后返回到前一个节点，再选择另一条路径进行遍历。
当进行DFS遍历时，我们可以在每次遍历到一个叶结点时，将当前路径的长度与之前计算出的最大路径长度进行比较，从而更新最大路径长度。
通过遍历整个树，我们可以找到树的最大路径长度，即树的高度。
离散树的高度在离散数学和计算机科学中具有重要的应用。
例如，在计算机网络中，路由器之间的通信常常可以表示为一个离散树，其中根节点表示起始路由器，叶结点表示目标路由器。
通过计算离散树的高度，我们可以评估通信路径的延迟和网络的拓扑结构，从而优化网络的传输效率。
在算法设计中，离散树的高度常常用来评估算法的效率和复杂度。
较小的树高度通常意味着算法的运行时间较短和占用的资源较少。
总结起来，离散树的高度是指根节点到叶结点的最长路径上的结点数量。
它是衡量树的大小和复杂度的重要指标。
通过递归或深度优先搜索算法，可以计算离散树的高度。
离散树的高度在离散数学和计算机科学中具有广泛的应用，可以用来评估网络通信的效率和算法的复杂度。