湘教版数学七年级下册期末知识点复习+各章节培优题

七年级下册总复习

第一章二元一次方程

【知识点归纳】

1.含有个未知数，并且项的次数都是的方程叫做二元一次方程。

2.把个含有未知数的二元一次方程（或者一个二元一次方程，一个一元一次方程）联立起来组成的方程组，叫做二元一次方程组。

3.在一个二元一次方程组中，使每一个方程两边的值都的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程组的解。

4.由二元一次方程组中的一个方程的某一个未知数用含有的代数式表示，再代入另一方程，便得到一个一元一次方程。这种解方程组的方法叫做消元法，简称代入法。

5.两个二元一次方程中同一未知数的系数或时，把这两个方程相减或相加，就能消去这个未知数，从而得到一个一元一次方程。这种解方程组的方法叫做消元法，简称加减法。

6.列二元一次方程组解决实际问题的关键是寻找。

【典型例题】

/

1．已知方程组，甲同学正确解得，而乙同学粗心，把c给看错了，解得，求abc的值．2．已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．

^

解方程组时，可由①得x﹣y=1③，然后再将③代入②得4×1﹣y=5，求得y=﹣1，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”．

请用这样的方法解方程组．

>

4．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．

解方程组

解：由①﹣②得2x+2y=2即x+y=1③③×16得16x+16y=16④②﹣④得x=﹣1，从而可得y=2

∴方程组的解是．

（1）请你仿上面的解法解方程组．

(

（2）猜测关于x、y的方程组的解是什么，并利用方程组的解加以验证．

5．南山植物园以其优美独特的自然植物景观，现已成为重庆市民春游踏青、赏四季花卉、观山城夜景的重要旅游景区．若该植物园中现有A 、B 两个园区，已知A 园区为矩形，长为（x+y ）米，宽为（x ﹣y ）米；B 园区为正方形，边长为（x+3y ）米．

（1）请用代数式表示A 、B 两园区的面积之和并化简；

…

（2）现根据实际需要对A 园区进行整改，长增加（11x ﹣y ）米，宽减少（x ﹣2y ）米，整改后A 区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米．若A 园区全部种植C 种花，B 园区全部种植D 种花，且C 、D 两种花投入的费用与吸引游客的收益如下表：求整改后A 、B 两园区旅游的净收益之和．（净收益=收益﹣投入）

6．江海化工厂计划生产甲、乙两种季节性产品，在春季中，甲种产品售价50千元/件，乙种产品售价30千元/件，生产这两种产品需要A 、B 两种原料，生产甲产品需要A 种原料4吨/件，B 种原料2吨/件，生产乙产品需要A 种原料3吨/件，B 种原料1吨/件，每个季节该厂能获得A 种原料120吨，B 种原料50吨． （1）如何安排生产，才能恰好使两种原料全部用完此时总产值是多少万元

￥

（2）在夏季中甲种产品售价上涨10%，而乙种产品下降10%，并且要求甲种产品比乙种产品多生产25件，问如何安排甲、乙两种产品，使总产值是1375千元，A ，B 两种原料还剩下多少吨 D

投入（元/平方米） 13 16 收益（元/平方米）

18

26

'

7．小明从家到学校的路程为千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路．如果保持上坡路每小时行3千米．平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千米．那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要44分钟，求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米

第二章整式的乘法

【知识点归纳】

1.同底数幂相乘，不变，相加。= (m,n是正整数)

2.幂的乘方，不变，相乘。(a n)m= (m,n是正整数)

3.积的乘方，等于把，再把所得的幂。(ab)n= (n是正整数)

4.单项式与单项式相乘，把它们的、分别相乘。

}

5.单项式与多项式相乘，先用单项式，再把所得的积，a（m+n）=

6.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘，再把所得的积，

（a+b）（m+n）= 。

7.平方差公式，即两个数的与这两个数的的积等于这两个数的平方差（a+b）（a-b）=

8.完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的，加（或减）它们的积的。

（a+b）2= ,（a-b）2= 。

9.公式的灵活变形：

（a+b）2+（a-b）2= ，（a+b）2-（a-b）2= ，a2+b2=（a+b）2- ，a2+b2=（a-b）2+ ，（a+b）2=（a-b）2+ ，（a-b）2=（a+b）2- 。【典型例题】

1．）

2．已知2a?5b=2c?5d=10，求证：（a﹣1）（d﹣1）=（b﹣1）（c﹣1）．

2．（1）已知2x+2=a，用含a的代数式表示2x；

（2）已知x=3m+2，y=9m+3m，试用含x的代数式表示y．

3．我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就能用图1或图2等图形的面积表示：

（1）请你写出图3所表示的一个等式：．

|

（2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2．

11．归纳与猜想：

（1）计算：

①（x﹣1）（x+1）=；②（x﹣1）（x2+x+1）=；③（x﹣1）（x3+x2+x+1）=；（2）根据以上结果，写出下列各式的结果．

①（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=；②（x﹣1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=；

（3）（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x2+x+1）=（n为整数）；

（4）若（x﹣1）?m=x15﹣1，则m=；

（5）根据猜想的规律，计算：226+225+…+2+1．

~

12．认真阅读材料，然后回答问题：

我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出

多项式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，

（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…

下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，

n取正整数时可以单独列成表中的形式：

上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：

（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式并预测第三项的系数；

—

13．观察下列各式：

（x﹣1）÷（x﹣1）=1；（x2﹣1）÷（x﹣1）=x+1；（x3﹣1）÷（x﹣1）=x2+x+1；（x4﹣1）÷（x﹣1）=x3+x2+x+1；（1）根据上面各式的规律可得（x n+1﹣1）÷（x﹣1）=；

（2）利用（1）的结论求22015+22014+…+2+1的值；

?

（3）若1+x+x2+…+x2015=0，求x2016的值．

第三章因式分解

【知识点归纳】

1.把一个多项式表示成若干个的形式，称为把这个多项式因式分解。（因式分解三注意：1.乘积形式；

2.恒等变形；

3.分解彻底。）

2.几个多项式的称为它们的公因式。

3.如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法。am+an=a（）

\

4.找公因式的方法：

找公因式的系数：取各项系数绝对值的。

确定公因式的字母：取各项中的相同字母，相同字母的的。

5.把乘法公式从右到左的使用，把某些形式的多项式进行因式分解的方法叫做公式法。

a2-b2= ，a2+2ab+b2= ，a2-2ab+b2= 。

【典型例题】

1．仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．

解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n

∴．解得：n=﹣7，m=﹣21

∴另一个因式为（x ﹣7），m 的值为﹣21

仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x 2+3x ﹣k 有一个因式是（2x ﹣5），求另一个因式以及k 的值．

2．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

1+x+x （x+1）+x （x+1）2=（1+x ）[1+x+x （x+1）]=（1+x ）2（1+x ）=（1+x ）3 （1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次．

（2）若分解1+x+x （x+1）+x （x+1）2+…+x （x+1）2004，则需应用上述方法 次，结果是 ．

~

（3）分解因式：1+x+x （x+1）+x （x+1）2+…+x （x+1）n （n 为正整数）．

3．已知乘法公式：a 5+b 5=（a+b ）（a 4﹣a 3b+a 2b 2﹣ab 3+b 4）；a 5﹣b 5=（a ﹣b ）（a 4+a 3b+a 2b 2+ab 3+b 4）．利用或者不利用上述公式，分解因式：x 8+x 6+x 4+x 2+1．

4、先化简，再求值：()()()

()33222491233x y x y x y xy xy xy +-+-+÷-，其中1

,23

x y ==17．

]

5、已知3

2

3121710x x x --+能被2

2mx mx +-整除，其商式为5x n +，求m 、n 的值。

:

第四章相交线与平行线

【知识点归纳】

1.同一平面内的两条直线有、、（或平行）三种位置关系。

2.在同一平面内，没有的两条直线叫做平行线。（记作a直线外一点有直线与这条直线平行。

4.平行于同一条直线的两条直线(平行线的性)。

5.有共同的，其中一角的两边分别是另一角的两边的线，这样的两个角叫做对顶角。对顶角。两条直线相交，有2对对顶角，n条直线相交于一点，有n（n-1）对对顶角。

,

6.同位角：在“三线八角”中，位置相同的角，在，同一侧的角，是同位角。

7.内错角：在“三线八角”中，夹在两直线，位置角，是内错角。

8.同旁内角：在“三线八角”中，夹在两直线，在第三条直线的角，是同旁内角。

9.平移不改变图形的和，不改变直线的，一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线（或在同一直线上）。

10.平行线的性质：

（1）两直线平行，角相等；（2）直线平行，相等；（3）两直线平行，角互补。11.平行线的判定：

（1）角相等，两直线平行；（2）角相等，两直线平行；（3）角互补，两直线平行。

12.两条直线相交所成的四个角中，有一个角是角时，这两条直线叫做互相垂直，它们的交点叫做。

13.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线。

14.在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于。

15.在同一平面内，过一点一条直线与已知直线垂直。

16.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，最短，从直线外一点到这条直线的的长度，叫做点到直线的距离。

17.两条平行线的所有都相等。两条平行线的公垂线段的叫做两条平行线间的距离。

：

1．如图，直线AE与CD相交于点B，射线BF平分∠ABC，射线BG在∠ABD内，

（1）若∠DBE的补角是它的余角的3倍，求∠DBE的度数；

（2）在（1）的件下，若∠DBG=∠ABG﹣33°，求∠ABG的度数；

（3）若∠FBG=100°，求∠ABG和∠DBG的度数的差．

{

2．数学思考：（1）如图1，已知AB∥CD，探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并证明你的结论

推广延伸：（2）①如图2，已知AA1∥BA1，请你猜想∠A1，∠B1，∠B2，∠A2、∠A3的关系，并证明你的猜想；

②如图3，已知AA1∥BA n，直接写出∠A1，∠B1，∠B2，∠A2、…∠B n-1、∠A n的关系

拓展应用：（3）①如图4所示，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，应为

°+α+β-γ°-α-γ+βC．β+γ-αD．α+β+γ

②如图5，AB∥CD，且∠AFE=40°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，请你根据上述结论直接写出∠GHM的度数是

|

3．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．

（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC．

（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．

：

（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系说明理由．4．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．

（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；

（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；

'

5．已知：∠MON=132°，射线OC是∠MON内一条射线，且∠CON+∠MOC=59度．问OM与OC是否垂直，并说明理由．

6．一张白纸上有三条直线，已知直线a平行于直线b，直线b平行于直线c且直线a与直线b之间的距离为3厘米，直线b与直线c之间的距离是5厘米，那么直线a与直线c之间的距离是几厘米

第五章轴对称图形

【知识点归纳】

…

1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线，直线两侧的部分能够，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的。等腰三角形有条对称轴，等边三角形有条对称轴，长方形有条对称轴，正方形有条对称轴，圆有条对称轴。

2.轴对称变换不改变图形的和（含长度、角度、面积等）。

3.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴。

4.一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的相等，两组对应点分别与旋转中心的连线所成的相等。旋转不改变图形的和。

【典型例题】

1．如图所示，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始依次关于点A，B，C作循环

对称跳动，即第一次从点P跳到关于点A的对称点M处，第二次从点M跳到关于点B

的对称点N处，第三次从点N跳到关于点C的对称点处，…如此下去．

（1）在图中标出点M，N的位置，并分别写出点M，N的坐标：．

（2）依次连接M、N和第三次跳后的点，组成一个封闭的图形，并计算这个图形的面积；

\

（3）猜想一下，经过第2009次跳动之后，棋子将落到什么位置．

2．将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的

方式放置，已知∠BAC=∠B1A1C=30°，AB=2BC．

（1）固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕点C

顺时针方向旋转至图2的位置，AB与A1C、A1B1

分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F．

①填空：当旋转角等于20°时，∠BCB1=度；

②当旋转角等于多少度时，AB与A1B1垂直请说明理由．

（2）将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使AB∥CB1，AB与A1C交于点D，试说明A1D=CD．

|

3．世界数学家大会于2002年在北京举办，大会的会标如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的“弦图”．请你按要求拼图和设计图案．①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上；②每个直角三角形按原来的尺寸画，且互不重叠；③五个图案互不全等，且不与图1全等．

（1）拼图游戏：应用你所学过的图形变换的知识，将四个直角三角形通过平移、旋转、翻折等方法，拼成以下方格纸中要求的四边形；

（2）设计图案：用四个直角三角形在下列方格纸中按要求设计另外不同的图案．

设计一个既是轴对称图形设计一个是中心对称图形

又是中心对称图形的图案但不是轴对称图形的图案．

~

第六章数据的分析

【知识点归纳】

1.加权平均数：权数之和为。

2.中位数：把一组数据按顺序排列，如果数据的个数是数，位于的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是数，位于中间的两个数的数称为这组数据的中位数。

3.众数：一组数据中，出现的数。

4.方差：一组数据中，各数据与其之差的平方的值。即S2= 。【典型例题】

1．某地区初中毕业综合成绩按社会实践、考试成绩、体育测试三项分别占40%，40%，20%进行计算，毕业综合成绩

（1）下表是朝阳中学小聪、小亮两位同学的毕业综合成绩统计表：（单位：分）

①计算并填写表中小聪、小亮两位同学的毕业综合成绩； ②回答小聪和小亮谁能达到“优秀毕业生”水平

（2）小亮绘制了一个不完整的该校去年300名学生毕业综合成绩优秀、良好、合格、不合格人数的扇形统计图（如图），根据图中提供的信息回答：

—

①扇形统计图中“不合格率”是多少

②表示“良好”的扇形圆心角是多少度

2．某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评．A 、B 、C 、D 、E 五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班50位同学参与了民主测评．结果如下表所示： 表1 演讲答辩得分表（单位：分） 表2 民主测评票数统计表（单位：张） A

B

C

"

D E

甲 90 92 94 95 88

乙 89

{

86

87 94 91

规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平

均分”的方法确定；

民主测评得分=“好”票数×2分+“较好”票数×1分+“一般”票数×0分； 综合得分=演讲答辩得分×（1﹣a ）+民主测评得分×a （≤a ≤）．

}

（1）当a=时，甲和乙的综合得分是多少

（2）a 在什么范围时，甲的综合得分高a 在什么范围时，乙的综合得分高

/

社会实践

考试成绩 体育测试 毕业综合成绩

小聪 72

98 60 小亮

—

90

75

95

“好”票数 “较好”票数 “一般”票数

甲

40 ~ 7

3 乙

42 4 4

4 5 6 7 8 9 10

选手组数 1 2 ]

3

87 98 99 91 92 96 98 96

甲98 :

90

91 89 97 96 97 98 96 98 98

乙.

85

/

（1）根据上表数据，完成下列分析表：

平均数众数中位数方差极差

甲96 12

乙

（2）如果要从甲、乙两名选手中选择一个参加比赛，应选哪一个为什么

31．某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取6次，记录如下：

甲79 82 78 81 80 80

乙83 80 76 81 79 81

（1）请你计算这两组数据的平均数；

（2）现要从中选派一人参加操作技能比赛，从成绩的稳定性考虑，你认为选派哪名工人参加合适请说明理由．