湘教版七年级下数学培优教案

第一讲整式的乘法

1.基本公式：

典型例题：

例1.已知10m=2,10n=3,则103m+2n=

例2.已知3x+4y-6=0,则8x·16y=

练习：①若a2n=3,则2a6n-1=

②若a=78,b=87,则5656= （用a、b表示）

③若n位正整数，且x2n=5,则(3x2n)2-45(x2)2n+2016=

例3.已知25x=2000,80y=2000,则1

练习：①已知32x=2016,63y=2016,求（x-1)(y-1)的值.

例4.不论x为何值，，都有(x+1)(x2+px-q)=x3-2x2-4x-1,求(p+1)-q(p+q)-p的值。

练习：①若多项式(x 2+mx=n)(x 2-3x+4)展开式中不含x 3和x 2项，求(n-2m)2015的值。

②若3x 2-x-1=0,求代数式9x 4+12x 3-2x 2-7x+2014的值。

③求出使(3x+2)(3x-4)>9(x-2)(x+3)成立的非负整数解。

④若(x 2+nx+3)(x 2-3x+m)的展开式中不含x 2和x 3项，求(2m-5n+2)2015的值。

⑤若(x 2+px+8)(x 2-3x+q)不含x 2和x 3项，则p= q=

⑥已知x=2a +1,y=3+4a ,用x 的代数式表示y=

⑦已知2a =3,2b =6,2c =12,说明a 、b 、c 之间的关系。

⑧已知m 2+2mn=13,3mn+2n 2=21,则2m 2+13mn+6n 2-44的值为

⑨已知a+1b =b+1c =c+1a

,a ≠b ≠c,则a 2b 2c 2=

⑩已知2a ·5b =2c ·5d =10,求证：(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1)

⑾a 、b 、c 都为不等于1的正数，且a -2=b 3=c 6,则abc 的值为

第二讲乘法公式（一）

一、基本知识点

①平方差：

②完全平方：

公式变形：

③

④

⑤

⑥

⑦

二、经典例题

例1：(1-122 )(1-132 )×……×(1-120152 )(1-120162

)的值为例2：（2+1）（22+1）（24+1）…（22n +1)的值为

练习：①（1+12 )(1+122 )(1+124 )…(1+1264 )+12127

②123452+76552+24690×7655

③19492-19502+19512-19522+…+19972-19982+19992的值

例3：已知正实数a 、b 满足ab=a+b,则a b +b a -ab=

练习：①已知a+b=3,a 2b+ab 2=-30,则a 2-ab+b 2+2=

②已知a=2015x+2014,b=2015x+2015,c=2015x+2016,则a 2+b 2+c 2-ab-ac-bc=

③已知(m-n)2=8,(m+n)2=2,则m 2+n 2=

④已知a+b=3,ab=2.则a 2+b 2=

第三讲乘法公式（二）

例一、已知x 、y 满足x 2+y 2

+54 =2x+y,求代数式xy x+y 的值。

例二、设X 、Y 、Z 都为实数，且x ≠y ≠z,且a=x 2-yz,b=y 2-xz,c=z 2-xy ，

那么关于ａ、ｂ、ｃ说法对的是（）

Ａ．都大于或等于0 B 、都不大于0

C 、至少有一个大于0

D 、至少有一个小于0

练习：

1. 已知a 、b 、c 是三角形ABC 的三边长且满足a 2+c 2-2b （a+c-b ）=0，则三角形是三角形。（等腰、等边或直角）

2. 如果a+2b+3c=12，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ca,则a+b 2+c 3 =

例三：已知正整数a 、b 、c 满足不等式 a 2+b 2+c 2+42

则a= b= c=

练习：

1. 整数x 、y 满足不等式x 2+y 2+1≤2x+2y 求x+y 的值。

2. 已知a 、b 满足等式x=a 2+b 2+20，y=4（2b+a ）则x 、y 的大小关系是（）

A. x ≤y

B.x ≥y

C.x

D.x >y

3. 在三角形ABC 中，a 2-16b 2-c 2+6ab+10bc=0（a 、b 、c 为三角形边长），

则a 、b 、c 的关系为

4. 设a+b+2c=1,a 2+b 2-8c 2+6c=5,求ab-bc-ca 的值

5. 已知14 (b-c)2 =(a-b)(c-a)，且a ≠0，求b+c a

的值。 6. 在三角形ABC 中，BC=a,AC=b,AB=c,且满足a 4+b 4

+12 c 4=a 2c 2+b 2c 2 ，试判断三角形的形状。

对于任意正整数n ，能整除（3n+1）（3n-1）-（3-n ）（3+n ）的整数是

已知m+n=-7，mn=6,则a-b= 9. 若a 、b 为有理数，且2a 2-2ab+b 2+4a+4，则a 2b+ab 2= 10. 已知（2016-m ）（2014-m ）=2015，则（2016-m ）2+（2014-m ）2的值是多少？

11. 已知P=715 m-1，Q=m 2-815

m （m 为任意实数），则P 、Q 的关系为（） A. P >Q B.P=Q C.P

12. 已知a-b=1,a 2+b 2=25,则a+b=

13. 二次三项式4x 2-2（m-1）xy+9y 2是一个完全平方式，则m=

14. 已知a >0，且a-2a =1，则a 2-4a 2 =

第四讲整式的除法

知识点：

1.同底数幂相除：

2.0指数幂：

3.负指数幂：

例1：已知x=y+2,求[(x+y)(x-y)-(x-y)2+2y(x-y)]÷4y的值。练习：

1.a(x m y3)4÷(3x2y n)2=4x4y2,求a-2m+n+1979的值。

2.计算

①(28x2y2-12xy2+4y2)÷(-4y2)+(2016-π)0

②[2x(x2y-xy2)+xy(xy-x2)÷x2y

例2：若（x-3)0-2(3x-6)0有意义，则x的范围是

例3：已知2×5m=5×2m,求m的值。

练习：

1.若(x-3)0无意义，求代数式（9x2-2)2016的值。

2.求满足等式(n2-n-1)n+1=1的所有整数n的值。

例4：是否存在整数a、b、c，使 (9

)a·(

)b(

)c？若存在，求出a、b、c的

值，若不存在，说明理由。练习：

已知x m =9,x n =6,x k =4,求x m-2n+2k 的值。 2. 已知9m+3×27m+1÷34m+7=81,求m 的值。

例5：若3x 2-x=1,则9x 4+12x 3-2x 2-7x+2005的值等于

练习：

1.已知x 2-5x-2007=0,则代数式(x-2)4+(x-1)2-1(x-1)(x-2)

的值为（） 2.设f(x)是x 的多项式，f(x)除以2(x+1)和3(x-2)的系数分别为1和-2，那么5f(x)除以x 2-x-2的余式是（）.

3.若3x 3-kx 2+4被3x-1除后余3，则k 的值为（）

4.已知A=2x,B 是多项式，在计算B+A 时，小马把B+A 看成B ÷A ，结果x 2+12x,求B+A 的值。

5.已知(x-y)a =3,(x-y)b =2,则代数式(x-y)2a-b 的值为（）

6.已知(x-1)x+2=1,则整数x 的值有

7.已知a 2-3a+1=0,求2a 5-5a 4+2a 3-8a 2a 2+1

的值。 8.已知10a =20,10b

=15 ,求9a ÷32b 的值。 9.若12x =3,12y

=2,则81-2y 1-x+y =

10.如果x 2+x-1=0,那么代数式x 3+2x 2-7的值为（）

11.如果整数x 、y 、z 满足(158 )x ·(169 )y ·(2710 )z =16，求代数2x+y z-y

的值。 12.已知a 、b 、c 为有理数，且多项式x 3+ax 2+bx+c 能被x 2+3x-4整除。

①求4a+c 的值

②求2a-2b-c 的值

③若a 、b 、c 为整数，且c ≥a >1,试比较a 、b 、c 的大小

第五讲因式分解（一）一．定义(化归思想）

二．步骤：

三、例题精讲

例一、因式分解

①2x3-8x2y+8xy2 ②m3-4m ③xy2-2xy+2y-4 ④16(a-b)2-9(a+b)2⑤3m(2x-y)2-3mn2⑥(a2+4b2)2-16a2b2⑦x3-3x2+4 ⑧a4+b4+(a+b)4⑨x3+5x-6

⑩x3+6x2+11x+6

例2因式分解

①（x+y-2xy)(x+y-2)+(xy-1)2

②x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz

③(x 4+x 2-4)(x 4+x 2+3)+10

④(x+y)(x+y+2xy)+(xy+1)(xy-1)

第六讲因式分解

例120032-4004×2003+2002×4008-2003×200420032-3005×2003-2003×2005+2005×2005

例2（74+64）（154+64）（234+64）（314+64）（394+64）（34+64）（114+64）（194+64）（274+64）（354+64）

练习1：（2×5+2）（4×7+2）（6×9+2）（8×11+2）…（2014×2017+2）（1×4+2）（3×6+2）（5×8+2）（7×10+2）…（2013×2016+2）

20153-2×20152-2013练习2：

20153+20152-2016