第六章 无限脉冲响应数字滤波器的设计

第六章 无限脉冲响应数字滤波器的设计6.1 数字滤波器的基本概念6.2 模拟滤波器的设计6.3 用脉冲响应不变法设计IIR 数字低通滤波器6.4 用双线性变换法设计IIR 数字低通滤波器6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计6.6 IIR 数字滤波器的直接设计法6.1 数字滤波器的基本概念1. 数字滤波器的分类数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。

它们的系统函数分别为：(6.1.1) (6.1.2)图6.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性110()1()()M r r r N kk k N n n b z H z a z H z h n z -=-=--==+=∑∑∑)(e j ωH )(e j ωH )(e j ωH )(e j ωH 0低通0高通0带通0带阻ωωωωπ2-π2-π2-π2-π-π-π-π-πππππ2π2π2π22 数字滤波器的技术要求我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。

假设数字滤波器的传输函数H(e j ω)用下式表示：通带内和阻带内允许的衰减一般用dB 数表示，通带内允许的最大衰减用αp 表示，阻带内允许的最小衰减用αs 表示，αp 和αs 分别定义为：(6.1.3)(6.1.4)如将|H(ej0)|归一化为1，(6.1.3)和(6.1.4)式则表示成：(6.1.5)(6.1.6)3. 数字滤波器设计方法概述IIR 滤波器和FIR 滤波器的设计方法是很不相同的。

IIR 滤波器设计方法有两类，经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。

其设计步骤是：先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。

6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。

图6.2.1 各种理想滤波器的幅频特性()()()j j j H e H e e ωωωΩ=00()20lg ()()20lg ()p s j p j j s j H e dB H e H e dB H e ωωαα==20lg ()20lg ()p s j p j s H e dB H e dB ωωαα=-=-1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标有αp, Ωp,αs和Ωs。

其中Ωp和Ωs分别称为通带截止频率和阻带截止频率，αp是通带Ω(=0~Ωp)中的最大衰减系数，αs是阻带Ω≥Ωs的最小衰减系数，αp和αs一般用dB数表示。

对于单调下降的幅度特性，可表示成：(6.2.1)(6.2.2) 如果Ω=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,αp和αs表示为(6.2.3)(6.2.4) 以上技术指标用图6.2.2表示。

图中Ωc称为3dB截止频率，因图6.2.2 低通滤波器的幅度特性滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标αp和αs，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此(6.2.5) 2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(jΩ)|2用下式表示：(6.2.6)222()10lg()()10lg()apa pasa sH jH jH jH jααΩ=ΩΩ=Ω2210lg()10lg()p a ps a sH jH jαα=-Ω=-Ω()20lg()3a c a cH j H j dBΩ=-Ω=2()()()()()a a s ja aH j H s G sH j H j=Ω*Ω=-=ΩΩ221()1()aNcH jΩ=Ω+Ω图6.2.3 巴特沃斯幅度特性和N 的关系将幅度平方函数|Ha(j Ω)|2写成s 的函数：(6.2.7)此式表明幅度平方函数有2N 个极点，极点sk 用下式表示：(6.2.8)图6.2.4 三阶巴特沃斯滤波器极点分布为形成稳定的滤波器，2N 个极点中只取s 平面左半平面的N 个极点构成Ha(s)，21()()1()a a N c H s H s s j -=+Ω1121()222(1)()k j N N k c c s j e π++=-Ω=Ω而右半平面的N 个极点构成Ha(s)。

Ha(s)的表示式为设N=3，极点有6个，它们分别为取s 平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：(6.2.9)由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。

这里采用对3dB 截止频率Ωc 归一化，归一化后的Ha(s)表示为(6.2.10)式中，s/Ωc=j Ω/Ωc 。

令λ=Ω/Ωc ，λ称为归一化频率；令p=j λ，p 称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为(6.2.11)式中，pk 为归一化极点，用下式表示：(6.2.12)将极点表示式(6.2.12)代入(6.2.11)式，得到的Ha(p)的分母是p 的N 阶多项式，用下式表示： (6.2.14)将Ω=Ωs 代入(6.2.6)式中，再将|Ha(j Ωs)|2代入(6.2.4)式中，得到：(6.2.15) 由(6.2.14)和(6.2.15)式得到：10()()N c a N k k H s s s -=Ω=-∏23012321334135j c c j c j c c j c s e s s e s e s s e ππππ--=Ω=-Ω=Ω=Ω=Ω=Ω32233()()()()a a j j c c c H s s s s ππ-Ω=+Ω-Ω-Ω101()()a N k k c c H s s s -==-ΩΩ∏101()()a N k k H p p p -==-∏121()22,0,1,,1k j N k p e k N π++==⋅⋅⋅-/10/10221()101()10p s a p N c a N s c Ω+=ΩΩ+=Ω令则N 由下式表示：(6.2.16)用上式求出的N 可能有小数部分，应取大于等于N 的最小整数。

关于3dB 截止频率Ωc ，如果技术指标中没有给出，可以按照(6.2.14)式或(6.2.15)式求出，由(6.2.14)式得到：(6.2.17)由(6.2.15)式得到：(6.2.18) 总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：(1)根据技术指标Ωp,αp,Ωs 和αs ，用(6.2.16)式求出滤波器的阶数N 。

(2)按照(6.2.12)式，求出归一化极点pk ，将pk 代入(6.2.11)式，得到归一化传输函数Ha(p)。

(3)将Ha(p)去归一化。

将p=s/Ωc 代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。

例 6.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz ，通带最大衰减αp=2dB ，阻带截止频率fs=12kHz ，阻带最小衰减αs=30dB ，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。

解 (1) 确定阶数N 。

(2) 按照(6.2.12)式，其极点为按照(6.2.11)式，归一化传输函数为()p N s Ω=Ω/,sp s p sp k λ=ΩΩ=lg lg sp sp k N λ=-10.1210.12(101)(101)p s a N c p a N c s --Ω=Ω-Ω=Ω-0.02422 2.42lg 0.0242 4.25,5lg 2.4sp s sp p k f f N N πλπ=====-==3455016523754,,j j j j j s e s e s e s e s e πππππ=====401()()a k k H p p p ==-∏表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。

这里不如直接查表6.2.1简单，由N=5，直接查表得到：极点：-0.3090±j0.9511,-0.8090±j0.5878;-1.0000式 b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361(3) 为将Ha(p)去归一化，先求3dB 截止频率Ωc 。

按照(6.2.17)式，得到：将Ωc 代入(6.2.18)式，得到：将p=s/Ωc 代入Ha(p)中得到：我们这里仅介绍切比雪夫Ⅰ型滤波器的设计方法。

图6.2.5分别画出阶数N 为奇数与偶数时的切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性。

其幅度平方函数用A2(Ω)表示： (6.2.19)图6.2.5 切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性式中，ε为小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度，ε愈大，波动幅度也愈大。

Ωp 称为通带截止频率。

令λ=Ω/Ωp ，称为对Ωp 的归一化频率。

CN(x)称为N 阶切比雪夫多项式，定义为5432432101()a H p p b p b p b p b p b =+++++10.1210.12(101)2 5.2755/(101)210.525/p s a N c p a N s c krad s krad s ππ--Ω=Ω-=Ω=Ω-= 554233245432()10c a c c c c c H s s b s b s b s b s b Ω=+Ω+Ω+Ω+Ω+Ω22221()()1()a N p A H j C εΩ=Ω=Ω+Ωcos(arccos ),1()(),1N N x x C x ch N Archx x ≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩当N=0时，C0(x)=1；当N=1时，C1(x)=x ；当N=2时，C2(x)=2x 21；当N=3时，C3(x)=4x 33x 。

由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为C N+1(x)=2xC N (x)C N-1(x) (6.2.20)图6.2.6示出了阶数N=0,4,5时的切比雪夫多项式特性。

由图可见：(1)切比雪夫多项式的过零点在|x|≤1的范围内；(2)当|x|<1时，|CN(x)|≤1,在|x|<1范围内具有等波纹性；(3)当|x|>1时，CN(x)是双曲线函数，随x 单调上升。

图6.2.6 N=0,4,5切比雪夫多项式曲线按照(6.2.19)式，平方幅度函数与三个参数即ε,Ωp 和N 有关。

其中ε与通带内允许的波动大小有关，定义允许的通带波纹δ用下式表示：(6.2.21)2max 2min 2max min 2()10lg ()1()1,()1A A A δεΩ=ΩΩ=Ω=+因此(6.2.22)图6.2.7 切比雪夫Ⅰ型与巴特沃斯低通的A 2(Ω)曲线设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用Ωs 表示，在Ωs 处的A2(Ωs)用(6.2.19)式确定：(6.2.23) 令λs=Ωs/Ωp ，由λs>1，有可以解出(6.2.24)(6.2.25)3dB 截止频率用Ωc 表示，按照(6.2.19)式，有通常取λc>1，因此220.110lg(1)101δδεε=+=-2221()1()s s N P A C εΩ=Ω+Ω()[()]1N s s s s p C ch NArch N Arch N λλ===⎫⎪⎧Ω=Ω⎨⎬⎩⎪⎭22221()2()1,1()[()]c cN c c p N c c A C C ch NArch ελλλλεΩ=Ω==Ω=±=上式中仅取正号，得到3dB 截止频率计算公式：(6.2.26)以上Ωp,ε和N 确定后，可以求出滤波器的极点，并确定Ha(p)，p=s/Ωp 。