浙江省杭州市2019-2020学年第二学期高一年级教学质量检测(期末)数学试题
杭州市2019-2020学年高一数学期末学业水平测试试题
2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1.A.已知b 的模为1.且力在。
方向上的投影为吏，则。
与力的夹角为() 2C. 120°30° B. 60°D. 150°2.7T为了得到函数y = 2sin 2x-|的图象，可以将函数y = 2sin 2% + ^的图象()A.向左平移务...____ 7 兀 B.向右平移24C.3.7 jr7 兀向左平移=D.向右平移技1212如图，在正方体ABCD - AiBiCD 中，给出以下四个结论：①DE 〃平面AjABBj ②AD 与平面BCD 】相交③AD_L 平面DiDB正确的结论个数是(④平面BCDi_L 平面AiABBi )A. 1B. 2C. 3D. 44.四面体共一个顶点的三条棱两两垂直，其长分别为1,， 3,且四面体的四个顶点在同一球面上,则这个球的体积为16〃在AA3C 中，)2a /6A.B.5.A.角A,B.32〃B, C 的对边分别为a , b , c,C. 12〃64〃D.——3A = 45°, 5 = 120°, a = 6,贝!］。
=4(3也logi (x + 2),x< -126.a /1-x 2 ,-1 < x < 1 , 2x -2,x>l若函数g(x)^有4个不同的零点，则实数7"的已知函数/■(》) = <取值范围是()A. (-1,1]B. [1,很]C. (1M)D. [V2,+oo)7. 已知二次函数/(x) = x 2 +bx+c 满足/■⑴=/■⑶=-3,函数g(x)是奇函数，当x20时，g(x) = /(%),若g(a)>a,则。
的取值范围是()A. (—co,—5)B. (一5,0)C. (—5,0)(5,+oo)D.(5,+oo)8. 著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休. ”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：J(x-a)2+(y-。
2019-2020学年高一第二学期数学期末考试
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若平面 平面 ， ，求平面 与平面 所成角的余弦值.
参考答案
1．B
【解析】
试题分析： 选B.
考点：1、三视图；2、体积公式.
2．D
【解析】
两圆圆心分别为 半径分别是1,6； 所以两圆内切；故选D
（3）空间向量方法：计算出平面的法向量 ，找到待求直线的一个方向向量 ， 即为线面角的正弦值.
6．C
【解析】
【分析】
根据垂直计算 ，得到直线方程.
【详解】
圆 的标准方程为 则圆心为 ，
直线 的斜率 = ，又 ，所以 ，所以 ，
故弦MN所在直线的方程为 即 .
故选：C.
【点睛】
本题考查了圆的中点弦问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
绝密★启用前
2019-2020学年高一第二学期数学期末考试
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
一、单选题
1．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 的等边三角形，俯视图是一个圆，那么其体积为（）
【点睛】
本题主要考查空间点线面的位置关系，重点考查线面平行的性质，意在考查空间想象能力以及综合应用所学知识解决问题的能力，属于中档题.
5．D
【解析】
【分析】
取相应边的中点构成六边形，通过线面垂直的判定定理可证明 平面 ，由此得到线面角的值.
【详解】
如图，在正方体中去 分别为棱 、 、 的中点，得到正六边形 ，
浙江省杭州市重点名校2019-2020学年高一下学期期末质量跟踪监视数学试题含解析
浙江省杭州市重点名校2019-2020学年高一下学期期末质量跟踪监视数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的图象可由函数的图象（ ）A ．向左平移个单位长度得到B ．向左平移个单位长度得到C ．向右平移个单位长度得到D ．向右平移个单位长度得到【答案】B【解析】【分析】直接利用函数图象平移规律得解.【详解】 函数的图象向左平移个单位长度， 可得函数的图象， 整理得：故选：B【点睛】 本题主要考查了函数图象平移规律，属于基础题。
2．在0°到360°范围内，与角 －130°终边相同的角是（ ）A ．50°B ．130°C ．170°D ．230°【答案】D【解析】【分析】先表示与角 －130°终边相同的角，再在0°到360°范围内确定具体角，最后作选择.【详解】因为与角 －130°终边相同的角为00130360()k k Z -+⋅∈，所以000001,130360230(0,360)k k =-+⋅=∈，因此选D.【点睛】本题考查终边相同的角，考查基本分析判断能力，属基本题.3．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是( )A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(2) (4)D ．(2)(3)【答案】D【解析】【分析】 仔细观察图象，寻找散点图间的相互关系，主要观察这些散点是否围绕一条曲线附近排列着，由此能够得到正确答案．【详解】散点图（1）中，所有的散点都在曲线上，所以（1）具有函数关系；散点图（2）中，所有的散点都分布在一条直线的附近，所以（2）具有相关关系；散点图（3）中，所有的散点都分布在一条曲线的附近，所以（3）具有相关关系，散点图（4）中，所有的散点杂乱无章，没有分布在一条曲线的附近，所以（4）没有相关关系． 故选D ．【点睛】本题考查散点图和相关关系，是基础题．4．已知向量(2,tan ),(1,1)a b θ==-，且//a b ，则tan()4πθ-=（ ） A ．2B ．3-C ．1-D ．13- 【答案】B【解析】【分析】根据向量平行得到tan 2θ=-，再利用和差公式计算得到答案.【详解】向量(2,tan ),(1,1)a b θ==-，且//a b ，则tan 2θ=-.tan tan 4tan()341tan tan 4πθπθπθ--==-+⋅. 故选：B .【点睛】本题考查了向量平行求参数，和差公式，意在考查学生的综合应用能力.5．若直线y ＝﹣x+1的倾斜角为α，则()cos α=A ．1-B ．1 C．2 D．2- 【答案】D【解析】【分析】 由题意利用直线的方程先求出它的斜率，可得它的倾斜角α，再利用特殊角的余弦值求得cosα．【详解】∵直线y ＝﹣x+1的斜率为﹣1，故它的倾斜角为α＝135°，则cosα＝cos135°＝﹣cos45°= 故选：D ．【点睛】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，特殊角的余弦值，属于基础题．6．在ABC ∆中, 16,7,cos 5AC BC A ===,O 是ABC ∆的内心,若OP xOA yOB =+,其中01,12x y ≤≤≤≤,动点P 的轨迹所覆盖的面积为( )ABC ．103D ．203【答案】A【解析】【分析】画出图形，由已知条件便知P 点在以BD ， BP 为邻边的平行四边形内，从而所求面积为2倍的△AOB 的面积，从而需求S △AOB ：由余弦定理可以求出AB 的长为5，根据O 为△ABC的内心，从而O 到△ABC 三边的距离相等，从而5567AOB ABC S S =⋅++，由面积公式可以求 出△ABC 的面积，从而求出△AOB 的面积，这样2S △AOB 便是所求的面积．【详解】如图，根据题意知，P 点在以BP ，BD 为邻边的平行四边形内部，∴动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △AOB ；在△ABC 中，cos 15BAC ∠=，AC=6，BC=7； ∴由余弦定理得，213649526AB AB +-=⋅； 解得：AB=5，或AB=135-（舍去）； 又O 为△ABC 的内心；所以内切圆半径r=2ABC S a b c ∆++, 所以1r 2AOB s AB ∆=⋅⋅ ∴5567AOB ABC S S =⋅++=51251561182625sin BAC ⋅⋅⋅⋅∠=⋅-=56； ∴动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为1063． 故答案为：A ．【点睛】本题主要考查考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，余弦定理，以及三角形内心的定义，三角形的面积公式．意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的解题关键是找到P 点所覆盖的区域.7．已知函数()()203f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()()122f x f x ⋅=-，则12x x -的最小值为（ ）A ．2πB ．3πC ．πD ．4π 【答案】A【解析】【分析】由正弦型函数的最小正周期可求得ω，得到函数解析式，从而确定函数的最大值和最小值；根据()()122f x f x ⋅=-可知1x x =和2x x =必须为最大值点和最小值点才能够满足等式；利用整体对应的方式可构造方程组求得()12122x x k k ππ-=-+，12,k k Z ∈；从而可知120k k -=时取最小值. 【详解】由()f x 最小正周期为π可得：2ππω= 2ω∴= ()2sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ ()max 2f x ∴=，()min 2f x =-()()122f x f x ⋅=- 1x x ∴=和2x x =分别为()f x 的最大值点和最小值点设1x x =为最大值点，2x x =为最小值点()1112222232,2232x k k k Z x k ππππππ⎧-=+⎪⎪∴∈⎨⎪-=-⎪⎩()12122x x k k ππ∴-=-+， 当120k k -=时，12min 2x x π-=本题正确选项：A【点睛】本题考查正弦型函数性质的综合应用，涉及到正弦型函数最小正周期和函数值域的求解；关键是能够根据函数的最值确定1x 和2x 为最值点，从而利用整体对应的方式求得结果.8．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元【答案】B【解析】∵ 3.5,42x y ==， ∵数据的样本中心点在线性回归直线上， 回归方程ˆybx a =+中的b 为9.4 ∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，故选B ．9．已知,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，给出下列命题：①若m α⊥，m β⊥，则//αβ；②若//m α，//m β，则//αβ；③若m α⊥，//m β，则αβ⊥；④若//m α，//n β，//αβ，则//m n .其中正确的命题是（ ）A ．②③B ．①③C ．②④D ．①④ 【答案】B【解析】【分析】利用空间中线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定与性质即可作答.【详解】垂直于同一条直线的两个平面互相平行,故①对；平行于同一条直线的两个平面相交或平行，故②错；若//m α，//n β，//αβ，则//m n 或m 与n 为异面直线或m 与n 为相交直线，故④错；若//m β，则存在过直线m 的平面r ，平面r 交平面β于直线l ，//l m ，又因为m α⊥，所以l α⊥，又因为l ⊂平面β，所以βα⊥，故③对.故选B.【点睛】本题主要考查空间中，直线与平面平行或垂直的判定与性质,以及平面与平面平行或垂直的判定与性质，属于基础题型.10．已知一组正数123,,n x x x x 的平均数为x ，方差为2S ，则12321,21,21,21n x x x x ++++的平均数与方差分别为（ ）A ．221,21x S ++B ．21,4x S +C ．221,4x S +D ．21,2x S + 【答案】C【解析】【分析】根据平均数的性质和方差的性质即可得到结果.【详解】根据平均数的线性性质，以及方差的性质：将一组数据每个数扩大2倍，且加1，则平均数也是同样的变化，方差变为原来的4倍， 故变换后数据的平均数为：21x +；方差为42S .故选：C.【点睛】本题考查平均数和方差的性质，属基础题.11．如图的折线图为某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据（利润=营业额-支出），根据折线图，下列说法中正确的是（ ）A ．该超市这五个月中，利润随营业额的增长在增长B ．该超市这五个月中，利润基本保持不变C ．该超市这五个月中，三月份的利润最高D ．该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关【答案】D【解析】【分析】根据折线图，分析出超市五个月中利润的情况以及营业额和支出的相关性.【详解】对于A 选项，五个月的利润依次为：0.5,0.7,0.8,0.5,1，其中四月比三月是下降的，故A 选项错误. 对于B 选项，五月的月份是一月和四月的两倍，说明利润有比较大的波动，故B 选项错误.对于C 选项，五个月的利润依次为：0.5,0.7,0.8,0.5,1，所以五月的利润最高，故C 选项错误. 对于D 选项，根据图像可知，超市这五个月中的营业额和支出呈正相关，故D 选项正确.故选：D【点睛】本小题主要考查折线图的分析与理解，属于基础题.12．已知向量()2,1a =，()1,1b =-，则a b ⋅=（ ）A ．-1B ．-2C ．1D ．0【答案】C【解析】【分析】根据向量数量积的坐标运算，得到答案.【详解】向量()2,1a =，()1,1b =-，所以()21111a b ⋅=⨯+⨯-=.故选：C.【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，属于简单题.二、填空题：本题共4小题13．对于正项数列{}n a ，定义12323n n n H a a a na =++++为{}n a 的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为22n H n =+，则数列{}n a 的通项公式为_____． 【答案】212n n a n+= 【解析】 【分析】根据n H 的定义把22n H n =+带入n H 即可。
2020学年第二学期杭州市高一年级教学质量检测数学参考答案及评分标准
数学参考答案及评分标准
一、选择题：
（本大题共 10 小题，每小题 4 分，计 40 分）．
1
2
3
4
5
6
7
8
C
D
B
B
B
A
A
C
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分
2
1
⃗⃗⃗⃗⃗ =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
⃗⃗⃗⃗⃗ +
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，
又四边形 OMPN 为平行四边形，所以
3
3
2
1
⃗⃗⃗⃗⃗ ，
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，所以 = ， = ．………6 分
又因为
3
3
2
1
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗
所以√3sincos = sincos + sincos，
所以√3sincos = sin( + ) = sin，
因为sin ≠ 0，
所以cos = √3 ，
3
……………………5 分
选择①，由余弦定理2 = 2 + 2 − 2cos
2√3
得 2 −
3
− 1 = 0，
②折痕的端点 M，N 分别在边 AB，CD 上；
③折痕的端点 M，N 分别在边 AD，BC 上．
C
D
D N
C
N
C
D
M
N
A
浙江省杭州市2019-2020学年高一下期末数学试卷(有答案)
2019-2020学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．设集合M={0，1，2}，则（）A．1∈M B．2∉M C．3∈M D．{0}∈M2．若关于x的不等式mx﹣2＞0的解集是{x|x＞2}，则实数m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．cos150°的值等于（）A．B．C．D．4．函数f（x）=ln的定义域是（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1] C．[﹣1，1）D．（﹣1，1]5．若3x=2，则x=（）A．lg3﹣1g2 B．lg2﹣1g3 C． D．6．设向量=（x，1），=（1，y），若•=0，则（）A．||＞|| B．||＜|| C．||=|| D． =7．设x0为方程2x+x=8的解．若x∈（n，n+1）（n∈N*），则n的值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．要得到函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象，只需将函数g（x）=2sin（2x+）的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位9．已知向量，满足||=4，||=3，且（2﹣3）•（2+）=61，则向量，的夹角为（）A．30° B．60° C．120°D．150°10．当时，函数f（x）=sinx+cosx的（）A．最大值是1，最小值是﹣1 B．最大值是1，最小值是﹣C．最大值是2，最小值是﹣2 D．最大值是2，最小值是﹣111．若a＞0且a≠1，则函数y=a x与y=loga（﹣x）的图象可能是（）A．B． C．D．12．设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a+b+c=，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形13．若不等式sin2x﹣asinx+2≥0对任意的x∈（0，]恒成立，则实数a的最大值是（）A．2 B．C．2 D．314．函数f（x）=（++2）（+1）的值域是（）A．[2+，8] B．[2+，+∞）C．[2，+∞）D．[2+，4]15．若直角△ABC内接于单位圆O，M是圆O内的一点，若||=，则|++|的最大值是（）A． +1 B． +2 C． +1 D． +2二、填空题：本大题共8个小题，每小题6分.共36分.（A）= ．16．若集合A={x|x2﹣x≥0}，则A= ；∁R17．若10x=2，10y=3，则103x﹣y= ．18．若扇形的半径为π，圆心角为120°，则该扇形的弧长等于；面积等于．19．函数f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx（x∈R）的最小正周期为，单调递减区间为．20．设α、β∈（0，π），sin（α+β）=，tan=，则tanα=，tanβ=．21．在矩形ABCD中，AB=2AD=2，若P为DC上的动点，则•﹣的最小值为．22．不等式lg（x2+100）≥2a+siny对一切非零实数x，y均成立，则实数a的取值范围为．23．函数f（x）=（x2﹣ax+2a）ln（x+1）的图象经过四个象限，则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共2小题，共719分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．在△ABC中，||=c，||=b．（Ⅰ）若b=3，c=5，sinA=，求||；（Ⅱ）若||=2，与的夹角为，则当||取到最大值时，求△ABC外接圆的面积．25．设函数f（x）=x2+bx+c（a≠0，b，c∈R），若f（1+x）=f（1﹣x），f（x）的最小值为﹣1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y=|f（x）|与y=t相交于4个不同交点，从左到右依次为A，B，C，D，是否存在实数t，使得线段|AB|，|BC|，|CD|能构成锐角三角形，如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由．2019-2020学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．设集合M={0，1，2}，则（）A．1∈M B．2∉M C．3∈M D．{0}∈M【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据集合中元素的确定性解答．【解答】解：由题意，集合M中含有三个元素0，1，2．∴A选项1∈M，正确；B选项2∉M，错误；C选项3∈M，错误，D选项{0}∈M，错误；故选：A．2．若关于x的不等式mx﹣2＞0的解集是{x|x＞2}，则实数m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】不等关系与不等式．【分析】利用一元一次不等式的解法即可得出．【解答】解：∵关于x的不等式mx﹣2＞0的解集是{x|x＞2}，∴m＞0，，因此，解得m=1．故选：C．3．cos150°的值等于（）A．B．C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】把所求式子中的角150°变为180°﹣30°，利用诱导公式cos=﹣cosα化简后，再根据特殊角的三角函数值即可求出值．【解答】解：cos150°=cos=﹣cos30°=﹣．故选D4．函数f（x）=ln的定义域是（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1] C．[﹣1，1）D．（﹣1，1]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式以及对数函数的性质得到关于x的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：1﹣x2＞0，解得：﹣1＜x＜1，故函数的定义域是（﹣1，1），故选：A．5．若3x=2，则x=（）A．lg3﹣1g2 B．lg2﹣1g3 C． D．【考点】指数式与对数式的互化．2，再利用换底公式化为．【分析】由 3x=2，根据指数式与对数式的互化关系可得 x=log32=，【解答】解：∵3x=2，由指数式与对数式的互化关系可得 x=log3故选D．6．设向量=（x，1），=（1，y），若•=0，则（）A．||＞|| B．||＜|| C．||=|| D． =【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据向量的数量积和向量的模即可判断．【解答】解：∵向量=（x，1），=（1，y），•=0，∴•=x+y=0，∴||=，||=，∴||=||，故选：C．7．设x0为方程2x+x=8的解．若x∈（n，n+1）（n∈N*），则n的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】由题意可得+x0﹣8=0．令f（x）=2x+x﹣8=0，由f（2）＜0，f（3）＞0，可得x∈（2，3）．再根据x∈（n，n+1）（n∈N*），可得n的值．【解答】解：∵x0为方程2x+x=8的解，∴+x﹣8=0．令f（x）=2x+x﹣8=0，∵f（2）=﹣2＜0，f（3）=3＞0，∴x∈（2，3）．再根据x∈（n，n+1）（n∈N*），可得n=2，故选：B．8．要得到函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象，只需将函数g（x）=2sin（2x+）的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，左加右减可得答案．【解答】解：∵f（x）=2sin（2x﹣）=2sin[2（x﹣）]，∴g（x）=2sin（2x+）=2sin[2（x+）]=2sin[2（x﹣++）]=2sin[2（x﹣+）]=f（x+），∴将函数g（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象．故选：C．9．已知向量，满足||=4，||=3，且（2﹣3）•（2+）=61，则向量，的夹角为（）A．30° B．60° C．120°D．150°【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先由已知的等式展开得到两个向量的模压机数量积的等式，求出两个向量的数量积，利用数量积公式求夹角．【解答】解：因为向量，满足||=4，||=3，且（2﹣3）•（2+）=61，所以4，即64﹣27﹣4=61，所以=﹣6，所以cosθ=，所以θ=120°；故选：C．10．当时，函数f（x）=sinx+cosx的（）A．最大值是1，最小值是﹣1 B．最大值是1，最小值是﹣C．最大值是2，最小值是﹣2 D．最大值是2，最小值是﹣1【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】首先对三角函数式变形，提出2变为符合两角和的正弦公式形式，根据自变量的范围求出括号内角的范围，根据正弦曲线得到函数的值域．【解答】解：∵f（x）=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+），∵，∴f（x）∈[﹣1，2]，故选D11．若a＞0且a≠1，则函数y=a x与y=log（﹣x）的图象可能是（）aA．B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】直接根据指数和对数函数的图象和性质即可判断．【解答】解：当a＞1时，由y=log（﹣x）可知函数的定义域为x＜0，且函数单调递减，y=a x单调递增，a（﹣x）可知函数的定义域为x＜0，且函数单调递增，y=a x单调递减，当0＜a＜1时，由y=loga故选：B．12．设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a+b+c=，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】利用三角形重心定理、平面向量基本定理、向量平行四边形法则即可得出．【解答】解：∵G是△ABC的重心， =﹣×， =， =，又a+b+c=，∴（a﹣b）+（a﹣c）+（b﹣c）=，∴a﹣b=a﹣c=b﹣c，∴a=b=c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选：B．13．若不等式sin2x﹣asinx+2≥0对任意的x∈（0，]恒成立，则实数a的最大值是（）A．2 B．C．2 D．3【考点】三角函数的最值．【分析】利用换元法令t=sinx，不等式可整理为t2﹣at+2≥0恒成立，得，利用分离常数法求出实数a的最大值即可．【解答】解：设t=sinx，∵x∈（0，]，∴t∈（0，1]，则不等式即为t2﹣at+2≥0在t∈（0，1]恒成立，即在t∈（0，1]恒成立，∴a≤3．故选：D．14．函数f（x）=（++2）（+1）的值域是（）A．[2+，8] B．[2+，+∞）C．[2，+∞）D．[2+，4]【考点】函数的值域．【分析】容易得出f（x）的定义域为[﹣1，1]，并设，两边平方，根据x的范围即可求出，且得出，从而得出，求导，根据导数在上的符号即可判断函数在上单调递增，从而得出y的范围，即得出函数f（x）的值域．【解答】解：f（x）的定义域为[﹣1，1]；设，则；∵﹣1≤x≤1；∴0≤1﹣x2≤1，；∴2≤t2≤4；∴，且，设y=f（x）；∴；∴，令y′=0得，，或0；∴在上单调递增；∴时，y取最小值，t=2时，y取最大值8；∴；∴原函数的值域为．故选A．15．若直角△ABC内接于单位圆O，M是圆O内的一点，若||=，则|++|的最大值是（）A． +1 B． +2 C． +1 D． +2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由直角三角形可知O为斜边AC的中点，于是++=2+=3+，所以当和同向时，模长最大．【解答】解：设直角三角形的斜边为AC，∵直角△ABC内接于单位圆O，∴O是AC的中点，∴|++|=|2+|=|3+|，∴当和同向时，|3+|取得最大值|3|+||=+1．故选：C．二、填空题：本大题共8个小题，每小题6分.共36分.16．若集合A={x|x2﹣x≥0}，则A= （﹣∞，0]∪[1，+∞）；∁（A）= （0，1）．R【考点】补集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据全集R求出A的补集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：x（x﹣1）≥0，解得：x≤0或x≥1，即A=（﹣∞，0]∪[1，+∞），A=（0，1），则∁R故答案为：（﹣∞，0]∪[1，+∞）；（0，1）17．若10x=2，10y=3，则103x﹣y= ．【考点】对数的运算性质．【分析】根据指数幂的运算性质计算即可．【解答】解：∵10x=2，10y=3，∴103x﹣y=103x÷10y=（10x）3÷10y=23÷3=，故答案为：18．若扇形的半径为π，圆心角为120°，则该扇形的弧长等于；面积等于π3．【考点】扇形面积公式；弧长公式．【分析】利用扇形的弧长公式，面积公式即可直接计算得解．【解答】解：设扇形的弧长为l，扇形的面积为S，∵圆心角大小为α=（rad），半径为r=π，∴则l=rα==，扇形的面积为S=××π=π3．故答案为：，π3．19．函数f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx（x∈R）的最小正周期为π，单调递减区间为．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．【分析】根据二倍角公式、两角和的正弦公式化简解析式，由周期公式求出函数的最小正周期；由正弦函数的减区间、整体思想求出f（x）的单调递减区间．【解答】解：由题意得，f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=，∴最小正周期T==π，由得，，∴函数f（x）的单调递减区间是，故答案为：π；．20．设α、β∈（0，π），sin（α+β）=，tan=，则tanα=，tanβ=﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由tan的值，利用二倍角的正切函数公式求出tanα的值大于1，确定出α的范围，进而sinα与cosα的值，再由sin（α+β）的值范围求出α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+β）的值，所求式子的角β=α+β﹣α，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵tan=，α∈（0，π），∴tanα==＞1，∴α∈（，），∴cosα==，sinα==，∵sin（α+β）=＜，∴α+β∈（，π），∴cos（α+β）=﹣，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣×+×=﹣，∴sin=，tan=﹣．故答案为：，﹣．21．在矩形ABCD中，AB=2AD=2，若P为DC上的动点，则•﹣的最小值为 1 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立平面直角坐标系，求出各向量的坐标，代入向量的数量积公式得出关于P点横坐标a的函数，利用二次函数的性质求出最小值．【解答】解：以A为原点，以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系如图：则A（0，0），B（2，0），C（2，1），设P（a，1）（0≤a≤2）．=（﹣a，﹣1），=（2﹣a，﹣1），=（0，1），∴•﹣=a（a﹣2）+1﹣（﹣1）=a2﹣2a+2=（a﹣1）2+1．∴当a=1时，•﹣取得最小值1．故答案为：1．22．不等式lg（x2+100）≥2a+siny对一切非零实数x，y均成立，则实数a的取值范围为（﹣∞，2）．【考点】函数恒成立问题．【分析】问题转化为2a≤lg（x2+100）﹣siny，令z=lg（x2+100）﹣siny，根据对数函数和三角函数的性质求出z的最小值，从而求出a的范围即可．【解答】解：不等式lg（x2+100）≥2a+siny对一切非零实数x，y均成立，∴2a≤lg（x2+100）﹣siny，令z=lg（x2+100）﹣siny，则z≥lg100﹣1=9，∴2a≤9，解得：a≤2则实数a的取值范围为（﹣∞，2）．23．函数f（x）=（x2﹣ax+2a）ln（x+1）的图象经过四个象限，则实数a的取值范围为（﹣，0）．【考点】函数的图象．【分析】讨论当x＞0，和x＜0时，函数g（x）=x2﹣ax+2a的取值情况，利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：函数的定义域为（﹣1，+∞），设g（x）=x2﹣ax+2a，若﹣1＜x＜0，ln（x+1）＜0，此时要求g（x）在﹣1＜x＜0经过二、三，即此时，即，此时﹣＜a＜0，当x=0时，f（0）=0，此时函数图象过原点，当x＞0时，ln（x+1）＞0，此时要求g（x）经过一四象限，即x＞0时，x2﹣ax+2a＜0，有解，即a（x﹣2）＜x2有解，当x=2时，不等式等价为0＜4，成立，当0＜x＜2时，a＞，∵此时＜0，∴此时a＜0，当x＞2时，不等式等价为a＜，∵==（x﹣2）++4≥4+2=4+2×2=4+4=8，∴若a＜有解，则a＞8，即当x＞0时，a＜0或a＞8，综上{a|﹣＜a＜0}∩{a|a＜0或a＞8}={a|﹣＜a＜0}=（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．三、解答题：本大题共2小题，共719分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．在△ABC中，||=c，||=b．（Ⅰ）若b=3，c=5，sinA=，求||；（Ⅱ）若||=2，与的夹角为，则当||取到最大值时，求△ABC外接圆的面积．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【分析】（1）求出cosA，利用余弦定理得出a；（2）利用正弦定理得出外接圆半径，从而得出外接圆的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，∵sinA=，∴cosA=．由余弦定理得：||2=a2=b2+c2﹣2bccosA=9+25±18．∴a 2=16或52． ∴||=4或2．（2）由题意可知A=，a=2． 由正弦定理得，∴R=．∴△ABC 的外接圆的面积S==．25．设函数f （x ）=x 2+bx+c （a ≠0，b ，c ∈R ），若f （1+x ）=f （1﹣x ），f （x ）的最小值为﹣1． （Ⅰ）求f （x ）的解析式；（Ⅱ）若函数y=|f （x ）|与y=t 相交于4个不同交点，从左到右依次为A ，B ，C ，D ，是否存在实数t ，使得线段|AB|，|BC|，|CD|能构成锐角三角形，如果存在，求出t 的值；如果不存在，请说明理由． 【考点】二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）根据函数的对称轴求出b 的值，根据函数的最小值求出c 的值，从而求出函数的解析式即可；（Ⅱ）分别求出|AB|﹣|CD|，|CB|，得到不等式（2+）＜，解出即可． 【解答】解：（Ⅰ）∵f （1+x ）=f （1﹣x ）， ∴函数的对称轴是x=1，即﹣=1，解得：b=﹣2； ∵f （x ）的最小值是﹣1，∴=﹣1，解得：c=0，∴f （x ）=x 2﹣2x ；（Ⅱ）若函数y=|f （x ）|与y=t 相交于4个不同交点，则0＜t ＜1， 易知x A =1﹣，x B =1﹣，x C =1+，x D =1+， ∴|AB|﹣|CD|=﹣，|CB|=2， ∴线段|AB|，|BC|，|CD|能构成等腰锐角三角形， ∴|BC|≤|AB|，即2＜（﹣）， 即（2+）＜•， 解得：＜t ＜1．2020学年8月26日。
(9份试卷汇总)2019-2020学年杭州市数学高一(上)期末学业质量监测模拟试题
2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．设ABC ∆的内角A B C 、、所对边分别为1330a b c a b A ︒===，，，，，．则该三角形（ ）A.无解B.有一解C.有两解D.不能确定2．如果121211sin 2,,log 23a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，那么( )A.a b c >>B.c b a >>C.a c b >>D.c a b >>3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞上是增函数，令()1a f =，()0.32b f -=，()0.32c f =-，则：（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<4．要得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数2y sin x ＝的图象（ ）A ．向左平移π6个单位 B ．向右平移π6个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向右平移π3个单位 5．已知两点(,0),(,0)(0)A a B a a ->,若曲线2223230x y x y +--+=上存在点P ，使得090APB ∠=,则正实数a 的取值范围为（ ）A.(0,3]B.[1,3]C.[2,3]D.[1,2]6．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且2EC AE =u u u v u u u v，则向量EM u u u u v＝（ ）A ．1123AC AB +u u uv u u u vB ．1126AC AB +u u uv u u u vC ．1162AC AB +u u uv u u u vD ．1362AC AB +u u uv u u u v7．函数的一个零点所在区间为（ ） A ．B ．C ．D ．8．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）.A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 19．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．510．从某高中随机选取5名高三男生,其身高和体重的数据如下表所示: 身高x/cm 160 165 170 175 180 体重y/kg6366707274根据上表可得回归直线方程ˆy=0.56x+$a ,据此模型预报身高为172 cm 的高三男生的体重为( ) A ．70.09 kg B ．70.12 kg C ．70.55 kgD ．71.05 kg11．若平面向量(1,2)a =-r 与b r 的夹角是180°，且||35b =r，则b r 等于( )A ．(3,6)-B ．(3,6)-C ．(6,3)-D ．(6,3)-12．设长方体的长、宽、高分别为2,,a a a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A.3πa 2 B.6πa 2C.12πa 2D.24πa 2二、填空题13．已知在t R ABC ∆中,两直角边1,2,AB AC D ==是ABC ∆内一点,且60DAB ∠=︒,设AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ,(),R λμ∈ , 则λμ=_________14．把函数sin y x =的图象向右平移3π个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），则得到的图象的函数解析式为_________．15．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线20mx y m --+=交于点(,)P x y ，3PA PB +的最大值是________________16．等腰直角△ABC 中，AB=BC=1，M 为AC 的中点，沿BM 把△ABC 折成二面角，折后A 与C 的距离为1，则二面角C —BM —A 的大小为_____________． 三、解答题17．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入()216006x -万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．18．已知函数()22cos 12f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中0>ω，x ∈R ）的最小正周期为2π. （1）求ω的值；（2）如果0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，且()85fα=，求cos α的值. 19．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比0q >，2222S a =-，342S a =-． （1）求等比数列{}n a 的通项公式； （2）设2log n n b a =，求11{}n n b b +的前n 项和n T ． 20．在平面直角坐标xOy 中，圆与圆相交与PQ 两点．（I ）求线段PQ 的长．（II ）记圆O 与x 轴正半轴交于点M ，点N 在圆C 上滑动，求面积最大时的直线的方程．21．已知在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为A （cosα，sinα），B （2，0），C （0，2），α∈（0，π）．（1）若AB AC =u u u r u u u r，求α的值；（2）若13AB AC ⋅=-u u u r u u u r ，求2221sin sin tan ααα++的值．22．已知函数()(),f x x x a bx a b R =-+∈.（1）当1b =-时，函数()f x 恰有两个不同的零点，求实数a 的值； （2）当1b =时，①若对任意[]1,3x ∈，恒有()f x x≤，求a 的取值范围； ②若0a >，求函数()f x 在区间[]0,2上的最大值().g a【参考答案】*** 一、选择题13 14．sin(2)3y x π=-15．16．90o 三、解答题17．（1）每件定价最多为40元；（2）当该商品明年的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总收入之和，此时该商品的每件定价为30元． 18．（1）12ω=（2）cos α= 19．（1）2nn a =（2）1n nT n =+ 20．（I ）；（II ）或．21．（1）4π；（2）59- 22．(1)1a =±；(2)①.0a ≤≤.()262,05,(1),53,422, 3.a a a g a a a a ⎧-<<⎪+⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎩2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的平面几何图形．此图由两个圆构成，O 为大圆圆心，线段AB 为小圆直径．△AOB 的三边所围成的区域记为I ，黑色月牙部分记为Ⅱ，两小月牙之和（斜线部分）部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则（）A.123p p p >>B.123p p p =+C.213p p p >>D.123p p p =>2．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若4426,260,126(4)n n S S S n -===>，则n = A ．12 B ．13 C ．14 D ．163．已知(,0)2απ∈- ，tan cos2-1αα=，则α=( ) A.-12πB.-6πC.-4πD.-3π4．已知圆C 的半径为2，在圆内随机取一点P ，并以P 为中点作弦AB ，则弦长23AB ≤的概率为 A ．14B ．34C ．23- D ．3 5．直线()2y k x =+被圆224x y +=截得的弦长为23，则直线的倾斜角为（ ） A ．6πB ．3π C ．6π或56π D ．3π或23π 6．数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋2)910n⎛⎫ ⎪⎝⎭，那么在此数列中( )A ．a 7＝a 8最大B ．a 8＝a 9最大C ．有唯一项a 8最大D ．有唯一项a 7最大7．已知，并且是方程的两根，则实数的大小关系可能是（ ） A ．B ．C ．D ．8．已知集合则（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知,x y 满足250x y +-=，则22(1)(1)x y -+-的最小值为（ ） A ．45B ．25 C 25D 10 10．300240sin tan ︒+︒的值是（ ） A ．3 B 3C ．132-D ．13211．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则侧视图的面积为( )A ．8B ．43C ．2D ．412．用min{a ，b ，c}表示a 、b 、c 三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x ，x ＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为 ( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6二、填空题13．已知函数()22222x kx x f x xx ⎧-+≤=⎨>⎩，若()f x 在R 上是单调增函数，则实数k 的取值范围是____________．14．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（−∞，0）上单调递增.若实数a 满足f （2|a-1|）＞f（2-），则a 的取值范围是______.15．在正四棱锥P-ABCD 中，PA=2，直线PA 与平面ABCD 所成角为60°，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角的大小为___________．16．设(1,2)OA =-u u u r ，(,1)OB a =-u u u r ，(,0)OC b =-u u u r，0a >，0b >，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则11a b+的最小值是_______． 三、解答题17．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为10000辆.本年度为适应市场需求，计划适度增加投入成本，提高产品档次.若每辆车投入成本增加的比例为(01)x x <<，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ． 已知年利润(=出厂价一投入成本)⨯年销售量．(Ⅰ)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式； (Ⅱ)投入成本增加的比例多大时，木年度预计的年利润最大？最大值是多少？18．已知平面向量a r 、b r满足2a =r ，1b =r ，(1)若2a b -=r r ，试求a r 与b r的夹角的余弦值；(2)若对一切实数x ，a xb a b +≥+r r r r 恒成立，求a r 与b r 的夹角。
2020届浙江省杭州市高一下期末数学试卷(有答案)
浙江省杭州市高一第二学期期末考试数学试卷一、选择题（共25小题，每小题2分，满分55分）1．函数f（x）=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．[0，1]2．函数f（x）=sin2x，x∈R的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）3．设向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），若∥，则=（）A．B．﹣C．2 D．﹣24．函数f（x）=lnx+x﹣2的零点位于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k+α=（）A．B．1 C．D．26．在区间（﹣1，1）上单调递增且为奇函数的是（）A．y=ln（x+1）B．y=xsinx C．y=x﹣x3D．y=3x+sinx7．若向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．8．设函数f（x）=x2+ax，a∈R，则（）A．存在实数a，使f（x）为偶函数B．存在实数a，使f（x）为奇函数C．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递增D．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递减9．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣7）∪（7，+∞）C．（﹣7，1）∪（7，+∞）D．（﹣7，1]∪（7，+∞）10．函数f（x）=asin2x+cos2x，x∈R的最大值为，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．11．函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．712．设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a13．函数y=cos2x﹣sin2x的图象可以由函数y=cos2x+sin2x的图象经过下列哪种变换得到（）A．向右平移B．向右平移πC．向左平移D．向左平移π14．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A． B．C．D．15．设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min|a，b|=．若函数y=f（x）﹣m有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（2，6﹣2）B．（2，+1）C．（4，8﹣2）D．（0，4﹣2）16．设M是△ABC边BC上任意一点，N为AM上一点且AN=2NM，若，则λ+μ=（）A．B．C．1 D．17．计算：=（）A．B．C．D．﹣18．若函数f（x）=x2﹣2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则a的取值集合为（）A．[﹣3，3]B．[﹣1，3]C．{﹣3，3} D．[﹣1，﹣3，3]19．若不等式|ax+1|≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，则实数a=（）A．1 B．2 C．3 D．420．如图，己知||=5，||=3，∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点，=x+y，若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；④5x﹣3y≥0；⑤3x﹣5y≥0．满足题设条件的为（）A．①②④B．①③④C．①③⑤D．②⑤21．设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[]C．[]D．[，+∞）22．设O为△ABC的外心（三角形外接圆的心），若=||2，则=（）A．1 B．C．2 D．23．设函数f（x）=．若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．{﹣1}∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）24．函数的值域为（）A．[1，]B．[1，]C．[1，]D．[1，2]25．在△ABC中，BC=6，若G，O分别为△ABC的重心和外心，且=6，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）26．若函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=．27．设tanx=2，则cos2x﹣2sinxcosx=．28．计算：log89log32﹣lg4﹣lg25=．29．已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若||=||，则的最小值是．30．若函数f（x）=﹣﹣a存在零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（共3小题，满分30分）31．已知向量，如图所示．（Ⅰ）作出向量2﹣（请保留作图痕迹）；（Ⅱ）若||=1，||=2，且与的夹角为45°，求与的夹角的余弦值．32．设α是三角形的一个内角，且sin（）=cos（）．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1的最大值．33．设函数f（x）=（x﹣2）||x|﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共25小题，每小题2分，满分55分）1．函数f（x）=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．[0，1]【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则x﹣1≥0，即x≥1，故函数的定义域为[1，+∞），故选：A【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．2．函数f（x）=sin2x，x∈R的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性求得函数的对称中心，从而得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=sin2x，x∈R，令2x=kπ，k∈z，求得x=，故函数的对称中心为（，0），k∈z，故选：D．【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．3．设向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），若∥，则=（）A．B．﹣C．2 D．﹣2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出m的值．【解答】解：∵向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），且∥，∴﹣1m﹣2n=0∴=﹣．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题目．4．函数f（x）=lnx+x﹣2的零点位于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】求导函数，确定函数f（x）=lnx+x﹣2单调增，再利用零点存在定理，即可求得结论．【解答】解：求导函数，可得f′（x）=+1，∵x＞0，∴f′（x）＞0，∴函数f（x）=lnx+x﹣2单调增∵f（1）=ln1+1﹣2=﹣1＜0，f（2）=ln2＞0∴函数在（1，2）上有唯一的零点故选：B．【点评】本题考查函数的零点，解题的关键是确定函数的单调性，利用零点存在定理进行判断．5．已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k+α=（）A．B．1 C．D．2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据幂函数f（x）的定义与性质，求出k与α的值即可．【解答】解：∵幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），∴k=1，=，∴α=﹣；∴k+α=1﹣=．故选：A．【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．6．在区间（﹣1，1）上单调递增且为奇函数的是（）A．y=ln（x+1）B．y=xsinx C．y=x﹣x3D．y=3x+sinx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用奇偶函数的定义判断奇偶性，再确定函数的单调性，即可得到结论【解答】解：对于A，函数不是奇函数，在区间（﹣1，1）上是增函数，故不正确；对于B，函数是偶函数，故不正确；对于C，函数是奇函数，因为y′=1﹣3x2，所以函数在区间（﹣1，1）不恒有y′＞0，函数在区间（﹣1，1）上不是单调递增，故不正确；对于D，以y=3x+sinx是奇函数，且y′=3+cosx＞0，函数在区间（﹣1，1）上是单调递增，故D正确故选：D．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，正确运用定义是关键7．若向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据平面向量的数量积公式求向量的夹角．【解答】解：由已知向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角的余弦值为：，由向量的夹角范围是[0，π]，所以向量，的夹角为；故选：A．【点评】本题考查了利用平面向量的数量积公式求向量的夹角；熟记公式是关键．8．设函数f（x）=x2+ax，a∈R，则（）A．存在实数a，使f（x）为偶函数B．存在实数a，使f（x）为奇函数C．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递增D．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递减【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据偶函数、奇函数的定义，二次函数的单调性即可判断每个选项的正误．【解答】解：A．a=0时，f（x）=x2为偶函数，∴该选项正确；B．若f（x）为奇函数，f（﹣x）=x2﹣ax=﹣x2﹣ax；∴x2=0，x≠0时显然不成立；∴该选项错误；C．f（x）的对称轴为x=；当a＜0时，f（x）在（0，+∞）没有单调性，∴该选项错误；D．根据上面a＜0时，f（x）在（0，+∞）上没有单调性，∴该选项错误．故选A．【点评】考查偶函数、奇函数的定义，以及二次函数单调性的判断方法．9．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣7）∪（7，+∞）C．（﹣7，1）∪（7，+∞）D．（﹣7，1]∪（7，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可．【解答】解：∵偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，∴f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，且f（﹣7）=f（7）=0，即f（x）对应的图象如图：则不等式（x﹣1）f（x）＞0等价为：或，即或，即x＞7或﹣7＜x＜1，故选：C【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．10．函数f（x）=asin2x+cos2x，x∈R的最大值为，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】通过辅助角公式，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的最大值求出a．【解答】解：函数f（x）=asin2x+cos2x=sin（2x+φ），其中tanφ=，…（2分）因为函数f（x）=asin2x+cos2x的最大值为，∴=，解得a=±2．故选：C．…（4分）【点评】本题主要考查了正弦函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．11．函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．7【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象，数形结合可得它们的图象的交点个数．【解答】解：在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象，如图所示，结合图象可得它们的图象的交点个数为1，故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．12．设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c的取值范围，即可得到结论．【解答】解：log2π＞1，logπ＜0，0＜π﹣2＜1，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，∴a＞c＞b，故选：C【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础．13．函数y=cos2x﹣sin2x的图象可以由函数y=cos2x+sin2x的图象经过下列哪种变换得到（）A．向右平移B．向右平移πC．向左平移D．向左平移π【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据函数y=cos2x+sin2x=sin（2x+），y=cos2x﹣sin2x=sin（），利用y=Asin（ωx+φ）的图象变化规律，可得结论．【解答】解：∵y=cos2x+sin2x=sin（2x+），y=cos2x﹣sin2x=sin（），又∵y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）=﹣sin（π+﹣2x）=sin（），∴函数y=cos2x+sin2x的图象向右平移可得函数y=cos2x﹣sin2x的图象．故选：A．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变化规律，属于基础题．14．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．15．设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min|a，b|=．若函数y=f（x）﹣m有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（2，6﹣2）B．（2，+1）C．（4，8﹣2）D．（0，4﹣2）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】先比较2与|x﹣2|的大小以确定f（x）的解析式，然后结合函数的图象即可判断符合条件的m的范围，求出x1，x2，x3，的值从而求出x1+x2+x3的取值范围．【解答】解：令y=f（x）﹣m=0，得：f（x）=m，由2≥|x﹣2|可得x2﹣8x+4≤0，解可得4﹣2≤x≤4+2，当4﹣2≤x≤4+2时，2≥|x﹣2|，此时f（x）=|x﹣2|当x＞4+2或0≤x＜4﹣3时，2＜|x﹣2|，此时f（x）=2，其图象如图所示，，∵f（4﹣2）=2﹣2，由图象可得，当直线y=m与f（x）图象有三个交点时m的范围为：0＜m＜2﹣2，不妨设0＜x1＜x2＜2＜x3，则由2=m得x1=，由|x2﹣2|=2﹣x2=m，得x2=2﹣m，由|x3﹣2|=x3﹣2=m，得x3=m+2，∴x1+x2+x3=+2﹣m+m+2=+4，当m=0时，+4=4，m=2﹣2时，+4=8﹣2，∴4＜x1+x2+x3＜8﹣2．故选：C．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数的交点个数的判断，解题的关键是结合函数的图象．16．设M是△ABC边BC上任意一点，N为AM上一点且AN=2NM，若，则λ+μ=（）A．B．C．1 D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用平面向量基本定理，用、表示出、，从而得出结论．【解答】解：如图所示，∵M是△ABC边BC上任意一点，设=m+n，∴则m+n=1，又∴AN=2NM，∴=，∴==m+n=λ+μ，∴λ+μ=（m+n）=．故选：B．【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是用、表示出向量，属于基础题．17．计算：=（）A．B．C．D．﹣【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】利用诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式将所求式子转化为10°角的正弦函数值，即可得解．【解答】解：===．故选：A．【点评】本题主要考查了诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式的应用，属于基础题．18．若函数f（x）=x2﹣2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则a的取值集合为（）A．[﹣3，3]B．[﹣1，3]C．{﹣3，3} D．[﹣1，﹣3，3]【考点】二次函数在闭区间上的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】配方法得到函数的对称轴为x=1，将对称轴移动，讨论对称轴与区间[a，a+2]的位置关系，合理地进行分类，从而求得函数的最小值【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，对称轴x=1，∵区间[a，a+2]上的最小值为4，∴当1≤a时，y min=f（a）=（a﹣1）2=4，a=﹣1（舍去）或a=3，当a+2≤1时，即a≤﹣1，y min=f（a+2）=（a+1）2=4，a=1（舍去）或a=﹣3，当a＜a＜a+2时，y min=f（1）=0≠4，故a的取值集合为{﹣3，3}．故选：C．【点评】配方求得函数的对称轴是解题的关键．由于对称轴所含参数不确定，而给定的区间是确定的，这就需要分类讨论．利用函数的图象将对称轴移动，合理地进行分类，从而求得函数的最值，当然应注意若求函数的最大值，则需按中间偏左、中间偏右分类讨论19．若不等式|ax+1|≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，则实数a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意可得﹣3≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，由此可得a的值．【解答】解：由题意可得，不等式|ax+1|≤3，即﹣3≤ax+1≤3，即﹣4≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，∴a=2，故选：B．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．20．如图，己知||=5，||=3，∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点，=x+y，若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；④5x﹣3y≥0；⑤3x﹣5y≥0．满足题设条件的为（）A．①②④B．①③④C．①③⑤D．②⑤【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量共线定理，及三角形法则，将向量表示出来，的系数对应等于x，y．由此即可解题【解答】解：设线段OP与AB的交点为C，则由向量共线定理知：存在实数λ，，其中λ＞0，∴==，∵共线，∴存在实数μ，使得，∵N为AB的中点，∴μ'又∵||=5，||=3，OM平分∠AOB，∴由正弦定理知，AM=BM∴AC≤AM=AB，故，∴==∴x=λ（1﹣μ），y=λμ，∴x≥0，y≥0；∴x﹣y=λ（1﹣2μ）≤0；∴5x﹣3y=λ（5﹣8μ）≥0．故选：B．【点评】本题主要考察了平面向量的共线定理以及向量的三角形法则，并涉及到了正弦定理，难度较大，属于难题．21．设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[]C．[]D．[，+∞）【考点】指数函数综合题．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】把已知不等式变形，分离参数m，然后结合指数式的值域，利用配方法求得的范围得答案．【解答】解：由4x﹣m（4x+2x+1）≥0，得m（4x+2x+1）≤4x，即m≤=，∵x∈[0，1]，∴∈[，1]，则∈[]，∴∈[]，则m．故选：A．【点评】本题考查恒成立问题，考查了分离变量法，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．22．设O为△ABC的外心（三角形外接圆的心），若=||2，则=（）A．1 B．C．2 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用三角形的外心，得到，，两式平方相减化简，得到2，又=||2，得到AB，AC的关系【解答】解：因为O是三角形的外心，所以，，，两式平方相减得2，即2，又=||2，所以2，所以；故选：B．【点评】本题考查了三角形外心性质以及向量数量积等运算；考查学生的运算能力；属于中档题．23．设函数f（x）=．若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．{﹣1}∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】当x＜0时，由f（x）=x2=1得x=﹣1；从而可得，当0≤x≤π时，方程sin2x=有2个不同的解；作函数y=sin2x，（0≤x≤π）的图象，结合图象求解即可．【解答】解：当x＜0时，f（x）=x2=1，解得，x=﹣1；∵方程f（x）=1有3个不同的实数根，∴当0≤x≤π时，方程f（x）=1可化为asin2x=1；显然可知a=0时方程无解；故方程可化为sin2x=，且有2个不同的解；作函数y=sin2x，（0≤x≤π）的图象如下，结合图象可得，0＜＜1或﹣1＜＜0；解得，a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；故选D．【点评】本题考查了分段函数的应用及方程的根与函数的图象的交点的应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．24．函数的值域为（）A．[1，]B．[1，]C．[1，]D．[1，2]【考点】函数的值域．【专题】综合题；压轴题；转化思想；综合法．【分析】先求出函数的定义域，观察发现，根号下两个数的和为1，故可令则问题可以转化为三角函数的值域问题求解，易解【解答】解：对于f（x），有3≤x≤4，则0≤x﹣3≤1，令，则=∵，∴．函数的值域为[1，2]故选D【点评】本题考查求函数的值域，求解的关键是观察到问题可以转化为三角函数求解，注意本题转化的依据，两数的和为1，此是一个重要的可以转化为三角函数的标志，切记．25．在△ABC中，BC=6，若G，O分别为△ABC的重心和外心，且=6，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，运用重心和外心的性质，运用向量的三角形法则和中点的向量形式，以及向量的平方即为模的平方，可得2﹣=﹣36，又BC=6，则有||=||2+||2，运用勾股定理逆定理即可判断三角形的形状．【解答】解：在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD，∵，，由=6，则（）==﹣（）=6，即﹣（）（）=6，则，又BC=6，则有||=||2+||2，即有C为直角．则三角形ABC为直角三角形．故选：C．【点评】本题考查向量的数量积的性质和运用，主要考查向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，运用勾股定理逆定理判断三角形的形状．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）26．若函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=4．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】由三角函数的周期性及其求法可得T==，即可解得ω的值．【解答】解：由三角函数的周期性及其求法可得：T==，解得：ω=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．27．设tanx=2，则cos2x﹣2sinxcosx=﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】原式分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，把tanx的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵tanx=2，∴原式====﹣，故答案为：﹣【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．28．计算：log89log32﹣lg4﹣lg25=．【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数的运算性质计算即可．【解答】解：log89log32﹣lg4﹣lg25=log23log32﹣lg100=﹣2=﹣，故答案为：【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．29．已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若||=||，则的最小值是．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】如图所示，取=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．由于，可得C（cosθ，﹣sinθ）．再利用数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性即可得出．【解答】解：如图所示，取=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．∵，∴C（cosθ，﹣sinθ）．∴=（cosθ﹣1，sinθ）（cosθ﹣1，﹣sinθ）=（cosθ﹣1）2﹣sin2θ=，当且仅当，即时，上式取得最小值．即的最小值是﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．30．若函数f（x）=﹣﹣a存在零点，则实数a的取值范围是（﹣1，1）．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】化简a=﹣，从而利用其几何意义及数形结合的思想求解．【解答】解：由题意得，a=﹣=﹣；表示了点A（﹣，）与点C（3x，0）的距离，表示了点B（，）与点C（3x，0）的距离，如下图，结合图象可得，﹣|AB|＜﹣＜|AB|，即﹣1＜﹣＜1，故实数a的取值范围是（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查了数形结合的思想应用．三、解答题（共3小题，满分30分）31．已知向量，如图所示．（Ⅰ）作出向量2﹣（请保留作图痕迹）；（Ⅱ）若||=1，||=2，且与的夹角为45°，求与的夹角的余弦值．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】（I）运用向量的加减运算的几何性质求解绘画，（II）根据向量的运算得出==，=利用夹角得出cosθ=，求解即可．【解答】解：（I）先做出2，再作出，最后运用向量的减法得出2，如图表示红色的向量，（II）设，的夹角θ，∵||=1，||=2，且与的夹角为45°∴=1×2×cos45°=，∴==，=，（）=1﹣4=﹣3，cosθ=====．【点评】本题考察了平面向量的加减运算，数量积，向量的模的计算，属于向量的典型的题目，难度不大，计算准确即可．32．设α是三角形的一个内角，且sin（）=cos（）．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1的最大值．【考点】三角函数的最值；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）花间条件可得tanα=﹣，求得α的值，可得tan2α的值．（Ⅱ）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的值域求得它的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵sin（）=cos（），∴2sinαcos+2cosαsin=cosαcos+sinαsin，化简可得sinα+cosα=0，即tanα=﹣．又α是三角形的一个内角，可得α=，故tan2α=tan=tan=．（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1=2sin2xcos+cos2xsin﹣1=﹣sin2x﹣cos2x﹣1=﹣sin（2x+θ）﹣1，故当sin（2x+θ）=﹣1时，f（x）取得最大值为﹣1．【点评】本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，正弦函数的值域，属于中档题．33．设函数f（x）=（x﹣2）||x|﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．【考点】分段函数的应用．【专题】分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当a=3时，f（x）=（x﹣2）||x|﹣3|，对x讨论，去掉绝对值，再由二次函数的对称轴和单调性，即可得到所求增区间；（Ⅱ）对x讨论，去绝对值，再对a讨论，分0＜a≤2，2＜a＜3时，3≤a＜8，a≥8，结合对称轴和区间[﹣3，3]的关系，即可得到最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=（x﹣2）||x|﹣3|，当x≥3时，f（x）=（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6在[3，+∞）递增；当0＜x＜3时，f（x）=（x﹣2）（3﹣x）=﹣x2+5x﹣6在（0，]递增；当﹣3＜x≤0时，f（x）=（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6在[﹣，0]递增；当x≤﹣3时，f（x）=（x﹣2）（﹣x﹣3）=﹣x2﹣x﹣6在（﹣∞，﹣3]递增．综上可得，f（x）的增区间为（﹣∞，﹣3]，[﹣，]，[3，+∞）．（Ⅱ）f（x）=，（1）若0＜a≤2，则f（x）min=min{f（﹣3），f（0）}=min{﹣5|3﹣a|，﹣2a}，当﹣5|3﹣a|=﹣2a，解得a=或a=5，即当0＜a≤2时，f（x）min=﹣5（3﹣a）；（2）若2＜a＜3时，f（x）min=min{f（﹣3），f（）}=min{﹣5|3﹣a|，﹣}，当﹣5|3﹣a|=﹣，解得a=10﹣12∈（2，3），即f（x）min=，（3）若﹣a≤﹣3＜，即3≤a＜8时，f（x）min=f（﹣）=﹣，（4）若≤﹣3，则a≥8，f（x）min=f（﹣3）=15﹣5a．综上可得，f（x）min=．【点评】本题考查分段函数的单调性和最值求法，注意讨论对称轴和区间的关系，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．。
浙江省杭州市2020-2021学年高一下学期期末教学质量检测数学试题 (含答案)
2020学年第二学期杭州市高一年级期末教学质量检测数学试题卷考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卡两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名、姓名、试场号、座位号、准考证号，并用2B 铅笔将准考证号所对应的数字涂黑。
3．答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．1．设全集U =R ，{}2M x x =≥，{}13N x x =<<，则图中阴影部分集合是（ ）A ．{}21x x -<<B ．{}22x x -<<C ．{}12x x <<D ．{}2x x <2．设复数z 满足i 12i z =-（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i --3．已知2log 0.2a =，0.22b =，sin 2c =，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．风光秀丽的千岛湖盛产鳙鱼，记鳙鱼在湖中的游速为m/s v ，鳙鱼在湖中的耗氧量的单位数为x ，已知鳙鱼的游速v 与2log 100x （100x ≥）成正比，当鳙鱼的耗氧量为200单位时，其游速为1m/s 2．若某条鳙鱼的游速提高了1m/s ，那么它的耗氧量的单位数是原来的（ ） A ．2倍 B ．4倍 C ．6倍 D ．8倍5．两个体积分别为1V ，2V 的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为1S ，2S ，则“12V V =”是“12S S =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图，一个半径为2的水轮，圆心O 距离水面1米，水轮做匀速圆周运动，每分钟逆时针旋转4圈．水轮上的点P 到水面的距离y （米）与时间x （秒）满足()sin y A x k ωϕ=++（0A >），则（ ）A ．2π15ω=B ．3A =C ．2k =D ．0ϕ=7．如图是第24届国际数学家大会的会标，是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的．已知图中正方形ABCD 的边长为1，DAE θ∠=，则小正方形EFGH 的面积为（ ）A ．1sin 2θ-B ．1cos 2θ-C ．12sin θ-D ．12cos θ-8．若0x ∈R ，0x ∆>，函数()f x 满足()()()()()()()()()000000002321f x x f x x f x x f x n x f x f x x f x x f x n x +∆+∆+∆+∆===⋅⋅⋅=+∆+∆+-∆，*n ∈N ，则函数()y f x =可能是（其中0a >且1a ≠）（ ） A ．()f x ax = B ．()af x x =C ．()x f x a =D ．()log a f x x =二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知不等式20ax bx c ++≥的解集是{}12x x -≤≤，则（ ） A ．0b <B ．0a b c ++>C ．0c >D ．0a b +=10．已知平面向量a ，b ，若3a =，13a b -=，6a b ⋅=，则（ ） A ．4b =B ．向量a 与向量b 的夹角为2π3C ．7a b +=D ．向量a 与向量b 的夹角为π311．已知某湖泊蓝藻面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）满足t y a =．若第1个月的蓝藻面积为22m ，则（ ）A ．蓝藻面积每个月的增长率为100%B ．蓝藻每个月增加的面积都相等C ．第6个月时，蓝藻面积就会超过260mD ．若蓝藻面积到22m ，23m ，26m 所经过的时间分别是1t ，2t ，3t ，则123t t t += 12．某演讲比赛冠军奖杯由一个水晶球和一个金属底座组成（如图①）．已知球的体积为4π3，金属底座是由边长为4的正三角形ABC 沿各边中点的连线向上垂直折叠而围成的几何体（如图②），则（ ）A ．A ，B ，D ，F 四点共面B ．经过A ，B ，C 三点的截面圆的面积为π4C ．直线AD 与平面DEF 所成的角为π3D 1+ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知lg 2a =，lg3b =，则2log 12=________．（用a ，b 表示）14．半正多面体亦称为“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，如图所示．这是一个将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”花岗岩石凳，已知此石凳的棱长为，则此石凳的体积是________3cm ．15．已知区间()0,1中的实数m 在数轴上的对应点为M ，如图1；将线段AB 围成一个圆（端点A ，B 重合），如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为()0,1，如图3．直线AM 与x 轴交于点(),0N n ，把m 与n 的函数关系记作()n f m =，则方程()1f x =-的解是x =________．16．已知1m =，向量n 满足n m n m -=⋅，当向量m ，n 夹角最大时，n =________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）在①a =cos 2c S B =；③π3C =，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其进行求解．问题 在ABC △中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC △的面积为S ，cos cos cos A a C c A =+，1b =，______，求c 的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本题满分12分）如图，在OAB △中，P 为边AB 上的一点，2BP PA =，6OA =，2OB =，且OA 与OB 的夹角为60°．（Ⅰ）设OP xOA yOB =+，求x ，y 的值；（Ⅱ）求OP AB ⋅的值．19．（本题满分12分）四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒．（Ⅰ）求证：1AA BD ⊥；（Ⅱ）求直线1A B 与平面11AA D D 所成角的正弦值．20．（本题满分12分）如图是函数()()sin A f x x ωϕ=+（0A >，0ω>，πϕ<）的部分图象，()5π60f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）将()f x 的图象向右平移π3，得函数()g x ，记()()()h x f x g x =+，求()h x 的单调递减区间． 21．（本题满分12分）将一张长8cm ，宽6cm 的长方形纸片沿着直线MN 折叠，折痕MN 将纸片分成两部分，面积分别为21cm S ，22cm S ．设cm MN l =． 若12:1:2S S =，求l 的取值范围．22．（本题满分12分）设函数()2f x x x a a x =-+-（0a >），方程()f x t =有三个不同的实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<．（Ⅰ）当2a =时，求实数t 的取值范围； （Ⅱ）当2t =时，求正数a 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若231x x x λ>恒成立，求实数λ的取值范围．2020学年第二学期杭州市高一年级期末教学质量检测数学参考答案及评分标准一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，计40分）．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．BCD 10．AD 11．ACD12．ACD三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．2b a +14．1600003 15．1416四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在ABC △cos cos cos A a C c A =+，cos sin cos sin cos B A A C C A =+，()cos sin sin B A A C B =+=，因为cos A =选择①，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得210c --=，解得c = 选择②，1cos sin 22c S B bc A ==， 所以cos sin co πs 2B A A ⎛⎫==-⎪⎝⎭，所以π2B A =-，即π2C =，解得c =选择③，π3C =，因为sin sin sin cos cos sin 33π3ππB A A A ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭， 所以由sin sin c b C B=，得sin sin b Cc B== 18．（1）如下图，过点P 作//PM OB ，//PN OA 分别交OA ，OB 点M ，N ，因为2BP PA =，所以12AP BP =， 所以23OM OA =，13ON OB =， 又四边形OMPN 为平行四边形，所以2133OP OM ON OA OB =+=+， 又因为OA ，OB 不共线，所以23x =，13y =． （2）由（1）知()2133OP AB OA OB OB OA ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭22121333OB OA OA OB =-+⋅47216243323=-+⨯=-． 19．（1）取BD 的中点O 连接OA ，1OA ，BD OA ⊥，1BD OA ⊥，所以直线BD ⊥平面1A AO ， 所以1BD AA ⊥．（2）不妨设1AB =，由题意可知1B A AD -为正四面体，1A B 与平面11AA D D 所成的角即侧棱与底面所成的角，过B 作底面1AA D 的垂线，垂足为正1AA D △的中心O ，连接1AO ，所以1BAO ∠为1A B 与平面11AA D D所成的角．设11A B =，则13AO=，3BO =，所以1sin 3BAO ∠=．20．（1）由图可知2A =，5π12x =是图中的一条对称轴， 且5π126π44πT-==，∴2ω=， ∴()()2sin 2x f x ϕ=+又2ππ6ϕ⨯+=得2π3ϕ=，∴()2π2sin 23x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （2）()2sin 2g x x =，()2π2sin 22sin 22sin 2π33x x x h x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3π7π2π22πππ23π2121π2πk x k k x k +≤+≤+⇒+≤≤+，k ∈Z ． 所以()h x 的单调递减区间为7ππ,π1212πk k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）21．如图所示，不妨设纸片为长方形ABCD ，8cm AB =，6cm AD =，其中点A 在面积为1S 的部分内．折痕有下列三种情形：①折痕的端点M ，N 分别在AB ，AD 上； ②折痕的端点M ，N 分别在AB ，CD 上； ③折痕的端点M ，N 分别在AD ，BC 上．由题意知，长方形的面积为6848S =⨯=．因为12:1:2S S =，12S S ≤，所以116S =，232S =． 当折痕是情形①时，设cm AM x =，cm AN y =，则1162xy =，即32y x=． 设()22232f x xx =+，1683x ≤≤，所以()f x 的取值范围为[]64,80，从而l 的范围是8,⎡⎣．当折痕是情形②时，设cm AM x =，cm DN y =，则()16162x y +⨯=，即163y x =-．所以l 的范围为⎡⎢⎣⎦．当折痕是情形③时，设cm BN x =，cm AM y =，则()18162x y +⨯=，即4y x =-． 由06,046,x x ≤≤⎧⎨≤-≤⎩得04x ≤≤．所以l ==04x ≤≤．所以l 的取值范围是8,⎡⎣．8>（即145144>）， 所以l 的取值范围为⎡⎢⎣⎦． 22．（1）2a =，()()()()22422242x x f x x x x x ⎧-≥⎪=+-=⎨-+<⎪⎩ ()f x 在(),0-∞单调递增，在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增，所以()()20f t f <<，即04t <<．（2）①当02a <≤时，()2222,22,22,2x a x a f x x ax a a x x a x ⎧-+<⎪=-+≤≤⎨⎪->⎩()f x 在(),0-∞单调递增，在()0,a 单调递减，在(),2a 单调递增，在()2,+∞单调递增，所以()()20f a f <<即2222a a a -<<，所以12a <≤②当2a >时，()2222,222,22,x a x f x x ax a x a x a x a ⎧-+<⎪=-+-≤≤⎨⎪->⎩()f x 在(),0-∞单调递增，在()0,2单调递减，在()2,a 单调递增，在(),a +∞单调递增，所以()()220f f <<即2422a a -<<，所以23a <<，由①②可知，13a <<．（3）由（2）可知，①当12a <≤时，()f x 在(),0-∞单调递增，在()0,a 单调递减，在(),2a 单调递增，在()2,+∞单调递增， 因为()2422f a =-<，所以1x ，2x 为方程222x a -+=的两个根，120x x +=3x 为方程222x a -=的正根，所以3x =231x x x =≥，所以λ< ②当23a <<时，()f x 在(),0-∞单调递增，在()0,2单调递减，在()2,a 单调递增，在(),a +∞单调递增，()()22211a a f a a =-=--．i ）当()2f a ≥13a ≤<时，3x 为方程2222x ax a -+-=的较小根，()3111x a a =-=-=+在)1,3a ∈单调递减，(31x ⎤∈⎦，()233min 1min 1x x x x λ⎛⎫<=-= ⎪⎝⎭．ii ）当()2f a <，即21a <<时，3x 为方程222x a -=的正根，3x =2311x x x =，所以1λ<．综上，1λ<．。
2019-2020学年浙江省杭州市高一下学期期末数学试卷
2019-2020学年浙江省杭州市高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分） 1.设全集U =R ，A ={x|0≤x ≤6}，则∁U A 等于( )A. {0,1，2，3，4，5，6}B. {x|x <0或x >6}C. {x|0<x <6}D. {x|x ≤0或x ≥6}2.设函数f(x)=e x +e −x −11+x 2，则使得f(x)>f(2x −1)成立的x 的取值范围( )A. (−13,13) B. (−∞,13)∪(1,+∞) C. (13,1)D. (−∞,−13)∪(13,+∞)3.函数f(x)=e x +2x −3(e =2.71828⋅⋅⋅是自然对数的底数)一定存在零点的区间是( )A. (−1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)4.在△ABC 中，∠C =90o ，AB =3，AC =2，O 为△ABC 所在平面内一点，并且满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，记I 1=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，I 2=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，I 3=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( )A. I 1<I 2<I 3B. I 2<I 1<I 3C. I 1<I 3<I 2D. I 3<I 1<I 25.cos()的值是A.B. −C.D.6.函数f(x)=sin(ωx +φ)(其中ω>0且|φ|≤π2)的图象如图所示，为了得到y =sinωx 的图象，只需把y =f(x)的图象上所有点( )A. 向右平移π6个单位长度 B. 向右平移π3个单位长度 C. 向左平移π6个单位长度D. 向左平移π3个单位长度7.6.已知函数是R 上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，>0，则的值A. 恒为正数B. 恒为负数C. 恒为0D. 可正可负8.设0<β<α<π2,tan(a −β)+tanβ=1cosβ，则( )A. 2α+β=π2B. 2α−β=π2C. a +2β=π2D. α−2β=π29.已知数列{a n }为等差数列，若a11a 10<−1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的n 的最大值为( )A. 11B. 19C. 20D. 2110. 已知函数在区间上既没有最大值也没有最小值，则实数的取值范围是A.B.C.D.二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 把函数y =sinx 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移π6个单位，这时对应于这个图象的解析式______． 12. log 54+log 514= ______ ．13. 已知a ⃗ =(m,3)，b ⃗ =(−2,2)，且(a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，则m =______． 三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14. 如图，在△ABC 中，AB =3，AC =2，∠BAC =60°，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，AE =1，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12，则|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= ，若P 是线段DE 上的一个动点，则BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 ．15. 已知函数y =sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则ω= ；φ= ．16. 如图，扇形AOB 中，半径为1，AB⏜的长为2，则AB ⏜所对的圆心角的大小为 (1) 弧度；若点P 是AB ⏜上的一个动点，则当OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值时，<OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ >= (2) ．17. 定义“等积数列”：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的乘积都等于同一个不为零的常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做等积数列的公积，已知数列{a n }是a 1=2，公积为−6的等积数列，则a 3= (1) ；数列{a n }的前n 项和S n = (2) ． 四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知集合A ={x|2−a ≤x ≤2+a ，且a >0}，B ={x|x ≤1或x ≥4}． (1)当a =3时，求A ∩B ，A ∪B ． (2)若A ∩B =⌀，求实数a 的取值范围．19. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2，数列{b n }为等比数列，且a 2=b 2，a 5=b 3．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式．(2)设数列{c n }满足c n =a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ．20. 已知函数(1)求f(x)的最小正周期； (2)写出f(x)的单调递减区间；(3)求出当时，函数f(x)的值域．21. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2C−2√2cos(A+B)+2=0．(1)求角C的大小；(2)若b=√2a，△ABC的面积为√2sinAsinB，求sin A及c的值．2+sinαcosα)，其中λ，m，α为实数．22. 设向量a⃗=(λ+2,λ2−√3cos2α)，b⃗ =(m,m2(1)若α=π，求|b⃗ |的最小值；12(2)若a⃗=2b⃗ ，求λ的取值范围．m【答案与解析】1.答案：B解析：解：全集U=R，A={x|0≤x≤6}，所以∁U A={x|x<0或x>6}．故选：B．根据补集的定义写出结果即可．本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题目．2.答案：C解析：解：函数的定义域为R，f(−x)=e−x+e x−11+(−x)2=e x+e−x−11+x2=f(x)，故函数f(x)为偶函数，易知，当x∈(0,+∞)时，函数y=e x+e−x为增函数，函数y=11+x2为减函数，故此时函数f(x)为增函数，∴f(x)>f(2x−1)等价于|x|>|2x−1|，解得13<x<1．故选：C．首先判断函数f(x)为定义在R上的偶函数，且在(0,+∞)单调递增，进而把原不等式转化为|x|>|2x−1|，解出即可．本题考查函数单调性及奇偶性的综合运用，考查函数不等式的求解，考查逻辑推理能力，属于基础题．3.答案：B解析：解：∵f(x)=e x+2x−3，是连续增函数，∴f(0)=−2<0，f(1)=e−1>0，可得f(0)f(1)<0，由函数零点判定定理可知，函数在(0,1)上一定存在零点．故选：B．由已知可检验f(0)<0，f(1)>0，结合零点判定定理即可求解．本题主要考查了函数零点判定定理的简单应用，属于基础试题．4.答案：A解析：解：∵∠C =90o ，AB =3，AC =2，∴BC =√5， ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0⃗ ， 设AC 的中点为M ，BC 的中点为N ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴O 为线段MN 的靠近N 的三等分点，以C 为原点，以CA ，CB 为坐标轴建立平面直角坐标系，则A(2,0)，B(0,√5)，C(0,0)，O(13,√53)， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(53,−√53)，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,2√53)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,−√53)， ∴I 1=−59−109=−53，I 2=19−109=−1，I 3=−59+59=0．∴I 1<I 2<I 3． 故选：A ．分别令AC ，BC 的中点为M ，N ，则可化简式子得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，于是O 为线段MN 的靠近N 的三等分点，再分别计算3个数量积即可得出结论．本题考查了平面向量的数量积运算，确定O 点位置是解题关键，属于中档题．5.答案：D解析：6.答案：A解析：结：由函数f(x)=sin(ωx +φ)(其中ω>0且|φ|≤π2)的图象，可得14⋅2πω=7π12−π3，∴ω=2， 再根据五点法作图可得2⋅π3+φ=π，∴φ=π3，∴f(x)=sin(2x +π3). 故把y =f(x)的图象上所有点向右平移π6个单位，可得y =sin2x 的图象， 故选：A ．由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f(x)的解析式，再根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，再根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论，属于基础题．7.答案：A解析：本题主要考查函数的奇偶性、单调性，等差数列的性质．解∵函数f(x)是R上的奇函数且是增函数数列，∴取任何x2>x1，总有f(x2)>f(x1)，∵函数f(x)是R上的奇函数，∴f(0)=0，∵函数f(x)是R上的奇函数且是增函数，∴当x>0，f(0)>0，当x<0，f(0)<0．∵数列{a n}是等差数列，a1+a5=2a3，a3>0，∴a1+a5>0，则f(a)+f(a5)>0，∵f(a3)>0，∴f(a1)+f(a3)+f(a5)恒为正数．故选：A．8.答案：B解析：解：由题意知，tan(α−β)+tanβ=1cosβ，即sin(α−β) cos(α−β)+sinβcosβ=1cosβ，等式两边同乘以cos(α−β)cosβ，得sin(α−β)cosβ+cos(α−β)sinβ=cos(α−β)，所以sinα=cos(α−β)， 即cos(π2−α)=cos(α−β)； 又0<β<α<π2， 所以π2−α∈(0,π2)， 0<α−β<π2， 所以π2−α=α−β， 所以2α−β=π2． 故选：B ．由题意利用三角恒等变换化简tan(α−β)+tanβ=1cosβ，得出cos(π2−α)=cos(α−β)； 再根据角的取值范围，即可得出正确的结论．本题主要考查了三角函数恒等变换，以及运算求解能力与转化思想，是中档题．9.答案：B解析：本题主要考查了等差数列的性质在求解和的最值中应用，属于基础题． 解题的关键是由已知a 11a 10<−1及它们的前n 项和S n 有最大． 解：由a 11a 10<−1可得a 11+a 10a 10<0，由它们的前n 项和S n 有最大值，可得数列的d <0， ∴a 10>0，a 11+a 10<0，a 11<0， ∴a 1+a 19=2a 10>0， a 1+a 20=a 11+a 10<0， 使得S n >0的n 的最大值n =19， 故选B ．10.答案：C解析：解：∵函数在区间上既没有最大值也没有最小值 根据二次函数的性质可知，函数在区间上是单调函数∴ k8≤5或 k8≥20∴或故选C11.答案：y =sin(2x +π3)解析：解：把函数y =sinx 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，可得y =sin2x 的图象；再把图象向左平移π6个单位，这时对应于这个图象的解析式为y =sin(2x +π3)， 故答案为：y =sin(2x +π3).由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．12.答案：0解析：解：log 54+log 514=log 54+log 54−1=log 54−log 54=0． 故答案为：0．化第二个对数式中的真数的分数为负指数幂，然后直接利用对数的运算性质求解． 本题考查了对数的运算性质，是基础的运算题．13.答案：−1解析：解：根据题意，已知a ⃗ =(m,3)，b ⃗ =(−2,2)，则a ⃗ −b ⃗ =(m +2,1)， 若(a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，则(a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =(−2)(m +2)+2=0， 解可得m =−1； 故答案为：−1．根据题意，由向量a ⃗ 、b ⃗ 的坐标计算可得a ⃗ −b ⃗ 的坐标，进而由向量垂直与向量数量积的关系分析可得(a ⃗ −b⃗ )⋅b ⃗ =(−2)(m +2)+2=0，解可得m 的值，即可得答案． 本题考查平面向量的坐标计算以及数量积的坐标计算，注意向量垂直与向量数量积的关系．14.答案：1−116解析：解：∵AE =1，∠BAC =60°，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12， ∴|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，∴在△DAE 中，根据余弦定理得，DE 2=AD 2+AE 2−2AD ⋅AE ⋅cos60°=1+1−2×12=1， 又AB =3，AC =2，∴BD =2，CE =1，且∠ADE =∠AED =60°， ∵P 是线段DE 上的一个动点，∴设DP⃗⃗⃗⃗⃗ =λDE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，0≤λ≤1，则EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−1)DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EP ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λDE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅[CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ−1)DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ] =BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ−1)λDE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+(λ−1)BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λDE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1×12+λ2−λ+2×1×12×(λ−1)+1×1×(−12)×λ=λ2−λ2=(λ−14)2−116，∴λ=14时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值−116． 故答案为：1,−116．根据AE =1，∠BAC =60°，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12即可求出|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，然后根据余弦定理即可求出DE =1，从而得出BD =2，CE =1，且∠ADE =∠AED =60°，并据题意设DP⃗⃗⃗⃗⃗ =λDE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，0≤λ≤1，从而可得出BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λDE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅[CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ−1)DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]，然后进行数量积的运算即可得出BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2−λ2，从而配方即可求出最小值的大小．本题考查了向量数量积的运算及计算公式，余弦定理，向量加法和数乘的几何意义，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．15.答案：2π6解析：本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得结论． 解：根据函数y =sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象，可得14⋅2πω=5π12−π6，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×π6+φ=π2，∴φ=π6，故答案为：2；π6． 16.答案：2解析：解：由弧长公式得：θ=21=2，即AB⏜所对的圆心角的大小为2弧度， 由三角函数定义可建立以点O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴的直角坐标系，易得：A(1,0)，B(cos2,sin2)，设<OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ >=θ，则P(cosθ,sinθ)(0≤θ≤2)，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =cosθ−cosθcos2−sinθsin2=(1−cos2)cosθ−sinθsin2=2sin 21cosθ−2sin1cos1sinθ=2sin1sin(1−θ)，又0≤θ≤2，所以−1，≤1−θ≤1，当1−θ=1即θ=0时，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值2sin 21，故答案为：2，0．由弧长公式得：θ=21=2，可求圆心角的大小，由三角函数定义可建立以点O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴的直角坐标系，易得：A(1,0)，B(cos2,sin2)，P(cosθ,sinθ)(0≤θ≤2)，结合两角和差的正弦公式则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =cosθ−cosθcos2−sinθsin2=(1−cos2)cosθ−sinθsin2=2sin 21cosθ−2sin1cos1sinθ=2sin1sin(1−θ)，当1−θ=1即θ=0时，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值2sin 21，本题考查了弧长公式及三角函数的定义及二倍角公式，两角和差的正弦公式，属中档题． 17.答案：2{−k , n =2k −k +2, n =2k +1解析：解：数列{a n }是等积数列且a 1=2，公积为−6，可得a 2=−3，a 3=2，a 4=−3，…，则前n 项和S n =2+(−3)+2+(−3)+⋯．n =2k ，有k 个2，k 个−3，∴{−k , n =2k −k +2, n =2k +1S n=2k −3k =−k ；n =2k +1，有(k +1)个2，k 个−3，∴S n =2(k +1)−3k =−k +2．∴S n ={−k , n =2k −k +2, n =2k +1． 故答案为：2，{−k , n =2k −k +2, n =2k +1． 由等积数列的定义，可得a 1=2，a 2=−3，a 3=2，a 4=−3，…，即为周期为2的数列，即可得到数列前n 项和以及第三项．本题考查新定义的理解和运用，考查数列的求和，注意运用周期性，考查运算能力，属于基础题． 18.答案：解：(1)a =3时，A ={x|−1≤x ≤5}，且B ={x|x ≤1或x ≥4}，∴A ∩B ={x|−1≤x ≤1，或4≤x ≤5}，A ∪B =R ；(2)∵A ∩B =⌀，∴{2−a >12+a <4a >0，∴0<a <1，∴实数a 的取值范围为(0,1)．解析：(1)a =3时，可以得出A ={x|−1≤x ≤5}，然后进行交集和并集的运算即可；(2)根据A ∩B =⌀即可得出{2−a >12+a <4a >0，解出a 的范围即可．考查描述法的定义，交集、并集的运算，以及空集的定义．19.答案：解：(1)∵S n =n 2，∴当n =1，a 1=S 1=1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2−(n −1)2=2n −1，∵当n =1时适合上式，∴a n =2n −1，设等比数列{b n }的公比为q ，∵a 2=b 2，a 5=b 4，∴{b 1q =3b 1q 2=9， ∴q =3，∴b n =3n−1；(2)由(1)得：c n =a n ·b n =(2n −1)·3n−1，∴T n =c 1+c 2+c 2+⋯+c n =1⋅30+3⋅31+5⋅32+⋯+(2n −1)⋅3n−1，①∴3T n=1⋅31+3⋅32+⋯+(2n−3)⋅3n−1+(2n−1)⋅3n，②①−②，得−2T n=1+2⋅31+2⋅32+⋯+2⋅3n−1−(2n−1)⋅3n=1+6(1−3n−1)1−3−(2n−1)⋅3n=−2−(2n−2)⋅3n，∴T n=(n−1)⋅3n+1．解析：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其性质、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)由S n=n2，得n=1，a1=S1=1，n≥2时，a n=S n−S n−1=n2−(n−1)2=2n−1，可得a n，根据数列{b n}为等比数列，a2=b2，a5=b4，可得q，即可得出b n；(2)由(1)得：c n=a n·b n=(2n−1)·3n−1，利用错位相减法即可得出．20.答案：(1)f(x)的最小正周期T=2π2=π；(2)f(x)的递减区间为[5π12+kπ,11π12+kπ](k∈Z)；(3)f(x)的值域为(−√32,1]．解析：(1)∵sin2x=2sinxcosx，cos 2x=12(1+cos2x)，∴f(x)=12sin2x−√32(1+cos2x)+√32=12sin2x−√32cos2x=sin(2x−π3)∴f(x)的最小正周期T=2π2=π；(2)由(1)得f(x)=sin(2x−π3)，令π2+2kπ≤2x−π3≤3π2+2kπ(k∈Z)，解得5π12+kπ≤x≤11π12+kπ(k∈Z)，∴f(x)的递减区间为[5π12+kπ,11π12+kπ](k∈Z)；(3)∵当x∈(0,π2)时，2x−π3∈(−π3,2π3)，∴sin(2x−π3)∈(−√32,1]，即f(x)的值域为(−√32,1]．(1)根据二倍角公式与辅助角公式化简得f(x)=sin(2x−π3)，由三角函数的周期公式可得最小正周期T=π；(2)由正弦函数的单调区间的公式，解关于x的不等式，解之即可得出f(x)的单调递减区间；(3)根据x ∈(0,π2)得出2x −π3∈(−π3,2π3)，结合正弦函数的图象与性质，即可算出函数f(x)的值域．21.答案：解：(1)已知等式变形得：2cos 2C −1+2√2cosC +2=0，即2cos 2C +2√2cosC +1=0， 整理得：(√2cosC +1)2=0，解得：cosC =−√22， 则C =3π4；(2)∵b =√2a ，sinC =√22，△ABC 的面积为√22sinAsinB ， ∴12absinC =√22sinAsinB ，即a 2sinC =sinAsinB ， 由正弦定理a sinA =c sinC ，得到asinC =csinA ，即a 2sinC =acsinA ，可得ac =sinB ，由正弦定理a sinA =b sinB 得：sinB =bsinA a =√2sinA ，即ac =√2sinA ， 把a =csinA sinC 代入得：c 2sinA sinC =√2sinA ，即c 2=√2sinC =1，解得：c =1，由余弦定理得：c 2=a 2+b 2−2abcosC ，即1=a 2+2a 2+2a 2，即a =√55， 则sinA =asinC c =√1010． 解析：(1)已知等式利用二倍角的余弦函数公式及诱导公式化简，整理求出cos C 的值，即可确定出C 的度数；(2)利用三角形面积公式列出关系式，把b =√2a ，sin C 的值，以及已知面积代入整理表示出ac ，再利用正弦定理化简求出c 的值，由余弦定理求出a 的值，进而确定出sin A 的值即可．此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．22.答案：解：(1)当α=π12时，b ⃗=(m,m 2+14)， ∴|b ⃗ |2=54m 2+m 4+116=54(m 2+15m)+116=54(m +110)2+120，∴|b ⃗ |最小值为√510(2)∵a ⃗ =2b ⃗ ，向量a ⃗ =(λ+2,λ2−√3cos2α)，b ⃗ =(m,m 2+sinαcosα)， ∴λ+2=2m ，λ2−√3cos2α=m +sin2α∴4m2−9m+4=sin2α+√3cos2α=2sin(2α+π3)，∵−2≤2sin(2α+π3)≤2，∴−2≤4m2−9m+4≤2，解得14≤m≤2而λm =2−2m，∴λm∈[−6,1]解析：(1)根据向量的模的定义和二次函数的性质即可求出，(2)根据a⃗=2b⃗ ，结合三角函数的恒等变换，求出m的取值范围，再求λm的取值范围即可．本题考查了平面向量的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，还考查了求函数的最值问题，是综合题．。
杭州市2019-2020学年高一下期末学业质量监测数学试题含解析
杭州市2019-2020学年高一下期末学业质量监测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等比数列{}n a 中，若12a =，且1324,,2a a a 成等差数列，则5a =（ ） A ．2 B ．2或32C ．2或-32D ．-1【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列与等比数列的通项公式及性质，列出方程可得q 的值，可得5a 的值. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q （q 0≠），1324,,2a a a 成等差数列， 321224a a a ∴=+，10a ≠， 220q q ∴--=，解得：q=2q=-1或， 451a =a q ∴，5a =232或，故选B. 【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的定义及性质，熟悉其性质是解题的关键.2．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一.”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为：V ＝112×（底面的圆周长的平方×高）．则由此可推得圆周率π的取值为（ ） A ．3 B ．3.14C ．3.2D ．3.3【答案】A 【解析】试题分析：由题意知圆柱体积V =112×（底面的圆周长的平方×高）221(2)12r h r h ππ=⨯=,化简得：3π=，故选A ．考点：圆柱的体积公式．3．已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA=PB=PC ，△ABC 的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF=90°.则球O 的体积为（ ）A ．B ． CD ．2【答案】D 【解析】 【分析】计算可知三棱锥P －ABC 的三条侧棱互相垂直，可得球O 是以PA 为棱的正方体的外接球，球的直径d O 的体积.【详解】在△PAC 中，设PAC θ∠=，2PA PB PC x ===，,0EC y x =>，0y >， 因为点E ，F 分别是PA ，AB 的中点，所以1,2EF PB x AE x ===， 在△PAC 中，22cosθ=，在△EAC 中，22cosθ=整理得221x y -=-，因为△ABC 的正三角形，所以CF =， 又因为∠CEF=90°，所以2232x y +=， 所以12x =， 所以21PA PB PC x ====.又因为△ABC 的正三角形， 所以PA,PB,PC 两两垂直，则球O 是以PA 为棱的正方体的外接球，则球的直径d =，所以外接球O 的体积为3344πππ3322d V r ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.故选D.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.4．已知平面向量a ，b ，c ，e ，在下列命题中：①//a b 存在唯一的实数R λ∈，使得b a λ=；②e 为单位向量，且a //e ，则a a e =±；③2a a a ⋅=；④a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；⑤若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =.正确命题的序号是( )A ．①④⑤B ．②③④C ．①⑤D ．②③【答案】D 【解析】 【分析】分别根据向量的平行、模、数量积即可解决。