高中数学第三章圆锥曲线与方程3.2双曲线的简单性质课件北师大版选修2_1(2)
了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大.
梳理
b 2 2 x y y＝± x a (1)渐近线：直线 叫作双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的渐近线. c (2)离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 a ，叫作双曲线的离心率，
用e表示(e>1).
(3)双曲线的性质见下表：
标准方程
答案
是，只有两个顶点.双曲线的顶点和焦点都不能在虚轴上，只能 在实轴上.
梳理
2 x2 y2 y 双曲线a2－b2＝1(a>0， b>0)的顶点坐标为 (－a，0) ， (a，0) ； 双曲线a2－
x2 2＝1(a>0，b>0)的顶点坐标为 (0，－a) ， (0，a) . b
知识点三
渐近线与离心率
x y ①焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程可设为a2－b2＝1(a>0，b>0). y2 x2 ②焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为a2－b2＝1(a>0，b>0).
2 2
x2 y2 x2 y2 ③与双曲线a2－b2＝1 共焦点的双曲线方程可设为 2 － 2 ＝1(λ≠0， a －λ b ＋λ －b2<λ<a2). x2 y2 x2 y2 ④ 与双曲线 a2 － b2 ＝ 1 具有相同渐近线的双曲线方程可设为 a2 － b2 ＝ λ(λ≠0).
思考1
能否和椭圆一样，用a，b表示双曲线的离心率？
2 2 a ＋ b c 能，离心率 e＝a＝ a ＝
答案
b2 1＋a2.
思考2
离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？ 答案
2 2 a ＋ b b2 c b 有影响，因为 e＝a＝ a ＝ 1＋a2，故当a的值越大，渐近 b 线 y＝ax 的斜率越大，双曲线的开口越大，e 也越大，所以 e 反映
原点是对称中心，又叫作双曲线的中心.
梳理
x2 y2 (1)双曲线a2－b2＝1(a>0， b>0)中要求 x∈ (－∞，－a]∪[a，＋∞) ， y∈R. y2 x2 双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)中要求 x∈R，y∈ (－∞，－a]∪[a，＋∞) .
(2)双曲线的对称轴为 x轴、y轴 ，对称中心为 原点 .
⑤渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0).
⑥渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).
y2 x2 跟踪训练2 (1)求与双曲线 － ＝1有共同的渐近线，且经过点M(3，－2) 4 3 的双曲线的标准方程； 解答
引申探究
将本例改为“求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、
虚轴长、离心率和渐近线方程”，请给出解答. 解答
2 2 2 2 x y x y 2 2 将 9y －4x ＝－36 变形为 9 － 4 ＝1， 即32－22＝1，
因此顶点坐标为(－3，0)，(3，0)， 所以 a＝3，b＝2，c＝ 13，
第三章 §3 双曲线
3.2 双曲线的简单性质
学习目标
1.了解双曲线的简单性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴 长等). 2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程. 3.掌握标准方程中 a，b，c，e 间的关系. 4.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.
内容索引
问题导学
题型探究 当堂训练
问题导学
x2 y2 2－ 2＝1(a>0，b>0) a b
y2 x2 2－ 2＝1(a>0，b>0) a b
图形
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
顶点 渐近线
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标：A1(－a，0)， 顶点坐标：A1(0，－a)，
性质
A2(a，0)
b y＝± x a _______
焦点坐标为(－ 13，0)，( 13，0)，
13 c 离心率 e＝a＝ 3 ， 实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4， 2 b 渐近线方程为 y＝± x ＝ ± x . a 3
反思与感悟
由双曲线的方程研究性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值. (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的性质.
跟踪训练1
求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、
离心率、渐近线方程. 解答
2 2 y x 把方程 9y2－16x2＝144 化为标准方程42－32＝1.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；
c＝ a2＋b2＝ 42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0，5)；
4 c 5 离心率 e＝a＝4；渐近线方程为 y＝± 3x.
A2(0，a)
a y＝± x b _______
离心率 a，b，c间的关系
e＝ c ，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a2＋b2 a c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
题型探究
类型一
已知双曲线的标准方程研究其简单性质
例1 求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点 坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. 解答
类型二
由双曲线的性质确定标准方程
例2 求下列双曲线的标准方程.
y2 x2 (1)与椭圆25＋16＝1 有公共焦点，且过点(－2， 10)； 解答
10 (2)过点(3，9 2)，离心率 e＝ 3 .
解答
反思与感悟
(1)根据双曲线的某些性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方 程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式. (2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧
知识点一
双曲线的范围、对称性
思考
观察下面的图形： (1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延
伸的，那么是否与椭圆一样有范围限制？ 答案
x2 有限制，因为 2 ≥1，即x2≥a2，所以x≥a或x≤－a. a
思考
(2)是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？ 对称中心是哪个点？
答案பைடு நூலகம்
关于x轴、y轴和原点都是对称的，x轴、y轴是双曲线的对称轴，
知识点二
双曲线的顶点
思考
(1)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，你认为对吗？ 为什么？ 答案 不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，只有在标 准形式下，坐标轴才是双曲线的对称轴，此时双曲线与坐标 轴的交点是双曲线的顶点.
思考
(2)双曲线是否只有两个顶点？双曲线的顶点和焦点能在虚轴上吗？
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3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质(课件)
经典例题
题型二 由几何性质求双曲线的标准方程
总结
1．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当
双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论， 为了避免讨论，也可设双曲线的方程为 mx2－ny2＝1(mn＞0)．
经典例题
题型二 由几何性质求双曲线的标准方程
2.中心在原点，实轴长为 10，虚轴长为 6 的双曲线的标准方程是( )
A.2x52 －y92＝1 C.1x020－3y62 ＝1
√B.2x52 －y92＝1 或2y52 －x92＝1
D.1x020－3y62 ＝1 或1y020－3x62 ＝1
经 典 例 题 题型一 根据双曲线方程研究几何性质
例 1 求双曲线 9y2－4x2＝－36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率 和渐近线方程． 解：双曲线的方程化为标准形式是x92－y42＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝ 13. 又双曲线的焦点在 x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－ 13，0)，( 13，0)，实轴长 2a＝6，虚轴长 2b＝4，
经典例题
题型三 求双曲线的离心率
跟踪训练3
已知双曲线的一条渐近线方程为 y＝2x，则其离心率为________．
5或
5 2
解析：当焦点在 x 轴上时，ba＝2，这时离心率 e＝ac＝ 1＋22＝ 5.
当焦点在 y 轴上时，ab＝2，即ba＝12，这时离心率 e＝ac＝
1＋122＝
5 2.
当堂达标
小试牛刀
1.思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)双曲线ax22－by22＝1 与ay22－bx22＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．( × )
(教师用书)高中数学 3.3.2 双曲线的简单性质课件 北师大版选修2-1
∴a＝2，b＝1，c＝ 5， 因此顶点为(0，－2)，(0,2)，焦点坐标为(0，－ (0， 5)， c 5 实半轴长为2，虚半轴长为1，离心率e＝ ＝ ， a 2 渐近线方程为y＝± 2x. 5双曲线 9 － 16＝1有共同的渐近线，且过点 (－3,2 3)的双曲线方程．
3．双曲线确定，渐近线确定吗？反过来呢？
双曲线的离心率e可用来表示双曲线“开口
【提示】
当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就
确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，所 x2 y2 以具有相同的渐近线的双曲线可设为 2 － 2 ＝λ(λ≠0，λ∈ a b R)，当λ＞0时，焦点在x轴上，当λ＜0时，焦点在y轴上．
●教学建议 1．本节课主要采用引导发现法，通过师(生)不断地设 (释)疑，揭示思维过程，将学生置于主体位置，发挥学生的 主观能动性，将知识的形成过程转化为学生亲自探索、归纳 的过程． 2．鼓励学生运用发现、探究、协作、讨论的学习方 法，联系所学知识，大胆、主动地分析问题和解决问题，进 一步提高自己的学习能力．
【自主解答】
2 2 2 y x y 将4x2－y2＝4变形为x2－ ＝1，即 2－ 2 4 1 2
＝1.∴a＝1，b＝2，c＝ 5. 因此顶点为A1(－1,0)，A2(1,0)；焦点为F1(－ F2( 5，0)； 实半轴长是a＝1，虚半轴长是b＝2； c 5 b 离心率e＝ ＝ ＝ 5；渐近线方程为y＝± x＝± 2x. a 1 a 5 ，0)，
二、教学重点与难点 重点：利用标准方程研究双曲线的几何性质． 难点：双曲线的性质在研究实际问题中的应用． 可类比椭圆的几何性质去发现双曲线的几何性质，在这 个过程中，充分发挥学生的主体作用，让学生参与知识的产 生和形成过程．引导学生将实际问题抽象为双曲线模型，并 通过双曲线模型的应用，培养学生的应用能力．
2021年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.3.2双曲线的简单性质课件2北师大版选修2_1
F1(0，-c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|=2c
范围 x≤-a或x≥a，y∈R y≤-a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
性 顶点
质
轴
离心率
渐近线
A1(-a,0)，A2(a，0)
A1(0，-a)，A2(0，a)
实轴长：线段A1A2=2a；虚轴长：线段B1B2=2b；
e c (1,) a
1.与x2 y2 1共渐近线的双曲线系 a2 b2
方程为x2 a2
by22
(0，为参数)，
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线； λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
2、 与 a x2 2b y2 21共 焦 点 的 椭 圆 系 方 程 是 a2x 2b2y 21, 双 曲 线 系 方 程 是 a2x 2b2y 21.
F1
O F2
x
B1
x2 y2 a2 b2 1
(a b 0)
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0)
对称轴： x轴、y轴. 对称中心: 原点 (椭 圆的中心)
用-对y代称替轴y：, 方程x轴不、变y轴. 用对-x称代中替心x,:方原程点不〔变双 用-x曲、线-y的代中替心x、〕y, 方程不变
3)2
9 16
1 4
双曲线的方程为x2 y2 1 94 4
根据下列条件，求双曲线方程: ⑵与双曲线 x2 y2 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
16 4
法一:直接设标准方程,运用待定系数法
⑵解:设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0)
a2 b2 20
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.3.2.1双曲线的简单几
解析：(1)因为实轴长为 4 3，所以 a＝2 3，其渐近线方程为 y＝±bax，(2 3，0)为其一顶点，bx－2 3y＝0 为其一条渐近线，
则(2 3，0)到 bx－2 3y＝0 的距离为 |2 3b| ＝ 3，得 b2＝ b2＋12
4.故此双曲线的方程为1x22 －y42＝1. (2)设与双曲线1x62－y92＝1 共渐近线的双曲线方程为1x62 －y92＝ λ(λ≠0)．
a2＋b2＝ a
1＋ab22，故当ba的值越大，渐近线 y＝bax 的
斜率越大，双曲线的开口越大，e 也越大，所以 e 反映了双曲
线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．
3．在双曲线方程xa22－yb22＝1(a＞0，b＞0)中，如果 a＝b，那么 方程可化为 x2－y2＝a2.此时，双曲线的实轴长和虚轴长都等 于 2a，且两条渐近线互相垂直．实轴和虚轴等长的双曲线叫 做等轴双曲线．等轴双曲线的渐近线方程是 y＝±x，离心率 e ＝ 2.
当焦点在 x 轴上时，设双曲线的标准方程为ax22－ya22＝1，把点(－
5，3)代入，得
a2＝16，所以所求双曲线的标准方程为1x62 －
y2 16
＝1； 当焦点在 y 轴上时，设双曲线的标准方程为ya22－ax22＝1，把点(－
5，3)代入，得 a2＝－16，1x62－1y62 ＝1.
以坐标轴为对称轴，以原点为对称中心的对称 图形
__(_±__a_，__0_) ____
__(0_，__±__a_)____
实轴A1A2，虚轴B1B2 ___e_>_1________
__y_＝__±_ba_x______
y＝±abx
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线 x2－y2＝m(m≠0)的离心率为 2，渐近线方程为 y ＝±x.( √ ) (2)平行于渐近线的直线与双曲线相交，且只有一个交 点．( √ ) (3)双曲线的弦的两个端点不一定在双曲线的同一支 上．( √ ) (4)若直线与双曲线xa22－yb22＝1 相离，则直线与 x 轴垂直或直线 与渐近线重合．( × )
高中数学第2章圆锥曲线与方程3.2双曲线的简单性质第2课时双曲线方程与性质的应用课件北师大版选修1_1
由yy－2－84＝x2k＝x4－1 ，得(k2－4)x2＋2k(8－k)x＋(8－k)2－4＝ 0(k2－4≠0)．(*)
设 A(x1，y1)、B(x2，y2)， 则 x1、x2 是方程(*)的两个不等实根， ∴Δ＝4k2(8－k)2－4(k2－4)[(8－k)2－4]＞0. ① ∵弦 AB 的中点是 P(1,8)， ∴由中点坐标公式与韦达定理，得－kk82－－4k＝1. ② 由①②得 k＝12. ∴直线 AB 的方程为 y－8＝12(x－1)，即 x－2y＋15＝0.
求得的参数值是否点作双曲线y2－4x2＝4的一条弦AB， 求直线AB的方程．
解析： 方法一：当过点 P 的直线和 x 轴垂直时，直线被 双曲线截得的弦的中点不是点 P.
当直线 AB 与 x 轴不垂直时，设其斜率为 k，则直线 AB 的 方程为 y－8＝k(x－1)．
双曲线的实际应用问题
•
(12分)2010年4月，青海玉树
发生了里氏7.1级地震，为了援救灾民，
某部队在如图所示的P处空降了一批救
灾药品，今要把这批药品沿道路PA，
PB送到矩形灾民区ABCD中去，已知
PA＝100 km，PB＝150 km，BC＝60
km，∠APB＝60°，试在灾民区中确
定一条界线，使位于界线一侧的点沿
方法二：设 A(x1，y1)、B(x2，y2)， 则 y21－4x21＝4，y22－4x22＝4， ∴(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1＋x2)(x1－x2)． ∵线段 AB 的中点是 P(1,8)， ∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝16. ∴16(y1－y2)＝4×2(x1－x2)． ∴直线 AB 的斜率为yx11－－yx22＝21. ∴直线 AB 的方程为 y－8＝12(x－1)，即 x－2y＋15＝0.
设 A(x1，y1)、B(x2，y2)， 则 x1、x2 是方程(*)的两个不等实根， ∴Δ＝4k2(8－k)2－4(k2－4)[(8－k)2－4]＞0. ① ∵弦 AB 的中点是 P(1,8)， ∴由中点坐标公式与韦达定理，得－kk82－－4k＝1. ② 由①②得 k＝12. ∴直线 AB 的方程为 y－8＝12(x－1)，即 x－2y＋15＝0.
求得的参数值是否点作双曲线y2－4x2＝4的一条弦AB， 求直线AB的方程．
解析： 方法一：当过点 P 的直线和 x 轴垂直时，直线被 双曲线截得的弦的中点不是点 P.
当直线 AB 与 x 轴不垂直时，设其斜率为 k，则直线 AB 的 方程为 y－8＝k(x－1)．
双曲线的实际应用问题
•
(12分)2010年4月，青海玉树
发生了里氏7.1级地震，为了援救灾民，
某部队在如图所示的P处空降了一批救
灾药品，今要把这批药品沿道路PA，
PB送到矩形灾民区ABCD中去，已知
PA＝100 km，PB＝150 km，BC＝60
km，∠APB＝60°，试在灾民区中确
定一条界线，使位于界线一侧的点沿
方法二：设 A(x1，y1)、B(x2，y2)， 则 y21－4x21＝4，y22－4x22＝4， ∴(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1＋x2)(x1－x2)． ∵线段 AB 的中点是 P(1,8)， ∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝16. ∴16(y1－y2)＝4×2(x1－x2)． ∴直线 AB 的斜率为yx11－－yx22＝21. ∴直线 AB 的方程为 y－8＝12(x－1)，即 x－2y＋15＝0.
2016北师大版选修2-1高中数学3.3.2《双曲线的简单性质》ppt课件
c a 5 1
= 5,
b a
渐近线方程为 y=± x=± 2x,作草图如图.
-9-
3.2
双曲线的简单性质
首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
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知识拓展(1)等轴双曲线:
实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线,其方程为 x2-y2=± a2. 等轴双曲线有两个非常明显的特征:①离心率 e= 2;②两条渐近线互 相垂直.这两个特征可用来作为判断双曲线是否为等轴双曲线的充要条件 . (2)共轭双曲线: 以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的 共轭双曲线. 如 2−
中的 1 改为 0 即为渐近线,1 改为-1 即为共轭双
曲线.
-3-
3.2
双曲线的简单性质
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J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
思考 1 如何正确理解双曲线的渐近线?
提示:双曲线的渐近线是两条直线.随着 x 和 y 趋向于无穷大,双曲线将 无限地与渐近线接近,但永远没有交点.由双曲线的渐近线方程只能确定 a 与 b 或 b 与 a 的比值,却无法确定双曲线的焦点在哪一坐标轴上.与双曲线
-4-
3.2
双曲线的简单性质
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S 随堂练习
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= 5,
b a
渐近线方程为 y=± x=± 2x,作草图如图.
-9-
3.2
双曲线的简单性质
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知识拓展(1)等轴双曲线:
实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线,其方程为 x2-y2=± a2. 等轴双曲线有两个非常明显的特征:①离心率 e= 2;②两条渐近线互 相垂直.这两个特征可用来作为判断双曲线是否为等轴双曲线的充要条件 . (2)共轭双曲线: 以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的 共轭双曲线. 如 2−
中的 1 改为 0 即为渐近线,1 改为-1 即为共轭双
曲线.
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3.2
双曲线的简单性质
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思考 1 如何正确理解双曲线的渐近线?
提示:双曲线的渐近线是两条直线.随着 x 和 y 趋向于无穷大,双曲线将 无限地与渐近线接近,但永远没有交点.由双曲线的渐近线方程只能确定 a 与 b 或 b 与 a 的比值,却无法确定双曲线的焦点在哪一坐标轴上.与双曲线
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3.2
双曲线的简单性质
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高中数学第三章圆锥曲线与方程3.2双曲线的简单性质课件北师大版选修2_1(2)
1＋a2 又双曲线的离心率 e＝ a ＝
→ 5→ (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且PA＝12PB，求 a 的值. 解答
5→ → 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知P(0，1)， ∵PA＝12PB，
5 5 ∴(x1，y1－1)＝12(x2，y2－1)，故 x1＝12x2.
又x1，x2是方程①的两个根，
引申探究
将本例改为“求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、
虚轴长、离心率和渐近线方程”，请给出解答. 解答
2 2 2 2 x y x y 2 2 将 9y －4x ＝－36 变形为 9 － 4 ＝1， 即32－22＝1，
因此顶点坐标为(－3，0)，(3，0)， 所以 a＝3，b＝2，c＝ 13，
2 2 a ＋ b 2 3 4 c 2 3 ∵e＝ 3 ，∴a＝ 3 ，∴ a2 ＝3，∴a2＝3b2.
①
又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0，
3 ab 2 2 2 2 ∴d＝ 2 ＝ ，即 4 a b ＝ 3( a ＋ b ). 2 2 a ＋b ②
解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1.
x2 2 ∴双曲线的标准方程为 3 －y ＝1.
轴上.
跟踪训练 4
x2 y2 若双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则双
解析
曲线的离心率 e 为 答案 A. 2 B.2
C. 3
D. 5
依据等轴双曲线的性质，得e＝ 2 .
类型四
直线与双曲线的位置关系
命题角度1 直线与双曲线位置关系的判定与交点问题
例5 已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4.
了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大.
北师大版高中数学选修2-1课件：3.3.2 双曲线的简单性质
考点类析
考点类析
考点三 双曲线的离心率问题
[导入]用a,b(a>0,b>0)表示双曲线的离心率为
.
[答案] (1)A
考点类析
考点类析
[答案] (1)B
考点类析
[答案] (2)C
考点类析
备课素材
1．定义法
在求双曲线的渐近线方程时，可以先求出a，b，再由渐近线方程的定义得出渐近线
的方程．
[例] 双曲线x42－y92＝1 的渐近线方程
就越开阔．由此可见，双曲线的离心率越大，它的开口就越大．
备课素材
(4)双曲线渐近线的理解． 双曲线的渐近线是两条直线，当 x，y 趋向于无穷大时，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远 没有交点．因为焦点在 x 轴上和 y 轴上的渐近线方程分别为 y＝±bax 和 y＝±abx，容易混淆，所以 求渐近线方程时，常把双曲线标准方程右边的常数写成 0，分解因式即得渐近线方程．
[答案] 1x22 －y82＝1
[解析] 设双曲线方程为 x2 － y2 ＝1，将点 16－k 4＋k
(3 2，2)代入得 k＝4，故所求双曲线方程为1x22 －y82
＝1.
当堂自测
[答案] A
当堂自测
[答案] C
当堂自测
[答案] A
当堂自测
[答案] C
备课素材
[小结]
知识
方法
易错
1.求双曲线 1.求双曲线的顶点、焦点、轴长、离心率、
三维目标
3．情感、态度与价值观 在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互 动，实现共同探究，教学相长的教学活动情境．结合教学内容，培养学生 科学的探索精神、科学的审美观和世界观，激励学生创新．
【优质课件】北师大版选修21高中数学3.3双曲线第2课时优秀课件.ppt
4
•双曲线的离心率
(济南二模)已知抛物线 y2＝2px(p>0)与双曲线ax22－
by22＝1(a>0，b>0)有相同的焦点 F，点 A 是两曲线的交点，且 AF⊥
x 轴，则双曲线的离心率为( )
A．
5＋1 2
B． 2＋1
C． 3＋1
D．2
2＋1 2
[解析] 双曲线与抛物线有相同的焦点，有 c＝p2，又 AF⊥x 轴可知|AF|是双曲线与抛物线的通径的一半，故ba2＝p，所以c2－a a2 ＝2c，即 c2－2ac－a2＝0，可得 e＝ac＝1＋ 2，答案为 B．
5．双曲线与椭圆的六个不同点
双曲线
曲线
两支曲线
顶点
两个顶点
轴
实、虚轴
渐近线
有渐近线
离心率
e＞1
a，b，c 关系 a2＋b2＝c2
椭圆 封闭的曲线 四个顶点 长、短轴 无渐近线
0＜e＜1 a2－b2＝c2
预习效果检测
1．双曲线 2x2－y2＝8 的实轴长是( )
A．2
B．2 2
C．4
D．4 2
[答案] C
中小学精编教育课件
第三章 圆锥曲线与方程
第三章
3.3 双曲线 第2课时 双曲线的简单性质
课前自主预习
1．双曲线是以 x 轴、y 轴为对称轴的_轴__对__称____图形；也是以 原 点 为 对 称 中 心 的 _中__心__对__称__ 图 形 ， 这 个 对 称 中 心 叫 作 __双__曲__线__的__中__心___．
因此顶点为 A1(－1,0)，A2(1,0)；焦点为 F1(－ 5，0)，F2( 5， 0)；
实半轴长是 a＝1，虚半轴长是 b＝2；
•双曲线的离心率
(济南二模)已知抛物线 y2＝2px(p>0)与双曲线ax22－
by22＝1(a>0，b>0)有相同的焦点 F，点 A 是两曲线的交点，且 AF⊥
x 轴，则双曲线的离心率为( )
A．
5＋1 2
B． 2＋1
C． 3＋1
D．2
2＋1 2
[解析] 双曲线与抛物线有相同的焦点，有 c＝p2，又 AF⊥x 轴可知|AF|是双曲线与抛物线的通径的一半，故ba2＝p，所以c2－a a2 ＝2c，即 c2－2ac－a2＝0，可得 e＝ac＝1＋ 2，答案为 B．
5．双曲线与椭圆的六个不同点
双曲线
曲线
两支曲线
顶点
两个顶点
轴
实、虚轴
渐近线
有渐近线
离心率
e＞1
a，b，c 关系 a2＋b2＝c2
椭圆 封闭的曲线 四个顶点 长、短轴 无渐近线
0＜e＜1 a2－b2＝c2
预习效果检测
1．双曲线 2x2－y2＝8 的实轴长是( )
A．2
B．2 2
C．4
D．4 2
[答案] C
中小学精编教育课件
第三章 圆锥曲线与方程
第三章
3.3 双曲线 第2课时 双曲线的简单性质
课前自主预习
1．双曲线是以 x 轴、y 轴为对称轴的_轴__对__称____图形；也是以 原 点 为 对 称 中 心 的 _中__心__对__称__ 图 形 ， 这 个 对 称 中 心 叫 作 __双__曲__线__的__中__心___．
因此顶点为 A1(－1,0)，A2(1,0)；焦点为 F1(－ 5，0)，F2( 5， 0)；
实半轴长是 a＝1，虚半轴长是 b＝2；
2021年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.3.2双曲线的简单性质课件1北师大版选修2_1
x
x
x
4、渐近线
⑴双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0) 的渐近线为
yy
b a
x
双 如曲 何线 记x 2忆 y 双2 曲线(的 0 渐) 近渐 线近 方线 程方 ？程 x 2 y 2 b0 .B 2
a 2 b 2
a 2 b 2
(2)利用渐近线可以较准确的画出 A1
A2
双曲线的草图
o a
2、与ax22
y2 b2
1共焦点的双曲线系是方
x2 k
y2 c2 -k
1
稳固练习
1、假设双曲线的渐近线方程为y 4 x ,
那么双曲线的离心率为
3。
2、求以下双曲线的焦点坐标： 〔1〕x2-8y2=32 (2) x2-y2=-4
3、求适合以下条件的双曲线方程：
(1)顶点在x轴上，顶点间距离为8，e 5 ； (2)焦点在y轴上，焦距是16， e 4 。4
双曲线是否具有类似的性质呢?
探究新课
x2 y2
一、探究双曲线 a2b2 1(a0,b0)的简单性质。
1、对称性
对称轴是x轴、y轴。
(-x,y)
y (x,y)
对称中心是原点，
又叫做双曲线的中心。 2、范围
-a o a
x
x2 1 y2
a2
b2
(-x,-y)
(x,-y)
x2 a2
1,即 x 2
a2
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点
〔-a,0) (a,0)
(0,b) (0,-b)
长轴长：2a
短轴长：2b
e=
c a
(
0＜e
＜1