鲁教版五四制七年级数学上册勾股定理测试题
七年级数学上册第三章勾股定理达标检测卷鲁教版五四制
第三章达标检测卷一、选择题(本大题共12道小题,每小题3分,共36分)1．下面的每组数分别是一个三角形的三边长：①6,8,10；②12,13,5；③17,8,15；④4,11,9.其中能构成直角三角形的有( ) A ．4组 B ．3组 C ．2组 D ．1组2．在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别是a ,b ,c ,若∠A ＋∠C ＝90°,则下列等式中成立的是( )A ．a 2＋b 2＝2c 2B ．b 2＋c 2＝a 2C ．a 2＋c 2＝b 2 D ．c 2－a 2＝b 23．如图,阴影部分是一个正方形,此正方形的面积是( )A ．16B ．8C ．4D ．24．东海上一艘快艇欲驶向正东方向24 km 远的A 处,速度为50 km/h ,由于水流原因,半小时后快艇到达位于A 处正南方向的B 处,则此时快艇距离A 处( ) A ．25 km B ．24 km C ．7 km D ．1 km 5．满足下列条件的△ABC ,不是直角三角形的是( ) A ．∠A ＝∠B ＋∠C B ．∠A ：∠B ：∠C ＝1：1：2 C ．b 2＝a 2＋c 2D ．a ：b ：c ＝1：1：26．如图,直线l 上有三个正方形a ,b ,c ,若a ,b 的面积分别为5和13,则c 的面积为( )A ．4B ．8C ．12D ．187．如图,在△ABC 中,∠ACB ＝90°,AC ＝6,BC ＝8,点D 在边AB 上,AD ＝AC ,AE ⊥CD ,垂足为F ,与BC 交于点E ,则BE 的长是( ) A ．3 B ．5 C.163D ．68．如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,AC＝17,BC＝16,AD＝15,则△ABC的面积为( )A．128 B．136 C．120 D．2409．如图是台阶的示意图,已知每个台阶的宽度都是30 cm,每个台阶的高度都是15 cm,则A,B两点之间的距离等于( )A．195 cm B．200 cm C．205 cm D．210 cm10．如图是一个圆柱形的饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一根到达底部的直吸管在罐内部分的长度a(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)的范围是( )A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤1311．如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C,D的面积分别为4,5,3,4,则最大的正方形E的面积是( ) A．14 B．15 C．16 D．1812．如图,已知∠C＝90°,AB＝12,BC＝3,CD＝4,AD＝13,则∠ABD的度数是( ) A．70° B．80° C．90° D．100°二、填空题(本大题共6道小题,每小题3分,共18分)13．小明向东走80 m后,沿另一方向又走了60 m,再沿第三个方向走100 m回到原地,小明向东走80 m后是向________方向走的．14．飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩正上方4 000 m处,过了10 s,飞机距离这个男孩头顶5 000 m,则飞机平均每小时飞行__________．15．某直角三角形中一直角边的长为9,另两边的长为连续自然数,则该直角三角形的周长为____________．16．如图,在一根长90 cm的灯管上缠满了彩色丝带,已知可近似地将灯管看成圆柱体,且底面周长为 4 cm,彩色丝带均匀地缠绕了30圈,则彩色丝带的总长度为________．17．图①是第七届国际数学教育大会(ICME－7)的会徽图案,它是由一串有公共顶点O的直角三角形(如图②所示)演化而成的．如果图②中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…A7A8＝1,那么OA82的长为________．18．如图,在Rt△ABC中,∠ABC＝90°,DE垂直平分AC,垂足为O,AD∥BC,且AB＝5,BC ＝12,则AD的长为________．三、解答题(本大题共7道小题,19－21题每题8分,22－24题每题10分,25题12分,共66分)19．如图,在四边形ABFC中,∠ABC＝90°,CD⊥AD,AD2＝2AB2－CD2.试说明：AB＝BC.20．小颖用四块完全一样的长方形地砖,恰好拼成如图①所示图案,如图②,连接对角线后,她发现该图案中可以用“面积法”采用不同方案去说明勾股定理．设AE＝a,DE ＝b,AD＝c,请你找到其中一种方案说明：a2＋b2＝c2.21．如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,BC＝6,AC＝8,AB＝10.求CD的长．22．如图所示的一块草地,已知AD＝12 m,CD＝9 m,∠ADC＝90°,AB＝39 m,BC＝36 m,求这块草地的面积．23．如图,某港口O位于南北延伸的海岸线上,东面是大海．“远洋”号、“长峰”号两艘轮船同时离开港口O,各自沿固定方向航行,“远洋”号每小时航行12海里,“长峰”号每小时航行16海里,它们离开港口1小时后,分别到达A,B两个位置,且AB ＝20海里,已知“远洋”号沿着北偏东60°方向航行,请判断“长峰”号航行的方向,并说明理由．24．如图所示的圆柱形容器的高为1.2 m,底面周长为1 m．在容器内壁离容器底部0.3 m的点B处有一只蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁的点A处,且距离容器上沿0.3 m(点A,B在同一个经过圆柱中心轴的截面上),则壁虎捕捉蚊子的最短距离为多少(容器厚度忽略不计)?25．如图甲是一个直角三角形ABC,它的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形,放在边长为a＋b的大正方形内．(1)由图乙、图丙,可知①是以________为边长的正方形,②是以________为边长的正方形,③的四条边的长都是________,且每个角都是直角,所以③是以________为边长的正方形．(2)图乙中①的面积为________,②的面积为________,图丙中③的面积为________．(3)图乙中①②的面积之和为________．(4)图乙中①②的面积之和与图丙中③的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？答案一、1.B 2.C 3.B 4.C 5.D 6.B 7．B 8.C 9.A 10.A 11.C 12.C 二、13.北或南 14．1 080 km 15．90 16．150 cm17．8 【点拨】由题意可得OA 22＝12＋12＝2,OA 32＝12＋2＝3,…,所以OA n 2＝n ,所以OA 82＝8. 18.16924三、19.解：因为在△ABC 中,∠ABC ＝90°, 所以AB 2＋BC 2＝AC 2. 因为在△ACD 中,CD ⊥AD , 所以AD 2＋CD 2＝AC 2. 所以AB 2＋BC 2＝AD 2＋CD 2. 又因为AD 2＝2AB 2－CD 2, 所以AB 2＋BC 2＝2AB 2－CD 2＋CD 2. 所以AB 2＝BC 2. 所以AB ＝BC .20．解：(答案不唯一)因为AE ＝a ,DE ＝b ,AD ＝c , 所以S 正方形EFGH ＝EH 2＝(a ＋b )2,S 正方形EFGH ＝4S △AED ＋S 正方形ABCD＝4×12ab ＋c 2＝2ab ＋c 2,所以(a ＋b )2＝2ab ＋c 2. 所以a 2＋b 2＝c 2.21．解：因为在△ABC 中,BC ＝6,AC ＝8,AB ＝10, 所以BC 2＋AC 2＝AB 2. 所以∠ACB ＝90°.因为12AC ×BC ＝12AB ×CD ,所以12×6×8＝12×10×CD ,解得CD ＝4.8. 22．解：连接AC . 因为∠ADC ＝90°,所以AC 2＝CD 2＋AD 2＝92＋122＝225, 所以AC ＝15 m .在△ABC 中,AB 2＝1 521,AC 2＋BC 2＝152＋362＝1 521. 所以AB 2＝AC 2＋BC 2, 所以∠ACB ＝90°,所以S △ABC －S △ACD ＝12AC ·BC －12AD ·CD ＝12×15×36－12×12×9＝216(m 2)．所以这块草地的面积是216 m 2.【点拨】求解不规则图形的面积时,常通过作辅助线构造直角三角形,进而利用勾股定理求出各边的长,然后由直角三角形的判定方法判定出直角三角形,再结合三角形的面积公式进行求解．23．解：由题意得OA ＝12海里,OB ＝16海里,AB ＝20海里． 因为122＋162＝202, 所以OA 2＋OB 2＝AB 2.所以△OAB 是直角三角形,∠AOB ＝90°. 因为∠DOA ＝60°,所以∠COB ＝180°－90°－60°＝30°. 所以“长峰”号航行的方向是南偏东30°. 24．解：圆柱形容器的侧面展开图如图所示,作点A 关于直线EF 的对称点A ′,连接A ′B ,交EF 于点P ,连接AP , 则AP ＋PB 的值为壁虎捕捉蚊子的最短距离． 过点B 作BM ⊥AA ′于点M .易知在Rt △A ′MB 中,A ′M ＝1.2 m ,BM ＝0.5 m , 根据勾股定理可得A ′B ＝1.3 m . 因为A ′B ＝AP ＋PB ,所以壁虎捕捉蚊子的最短距离为1.3 m .25．解：(1)a ；b ；c ；c (2)a 2；b 2；c 2(3)a 2＋b 2(4)图乙中①②的面积之和与图丙中③的面积相等．理由：由大正方形的边长为a ＋b ,得大正方形的面积为(a ＋b )2,图乙中可把大正方形分成四部分,分别是边长为a 的正方形,边长为b 的正方形,还有两个长为a ,宽为b 的长方形,根据面积相等得(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab .由图丙可得(a ＋b )2＝c 2＋4×12ab .所以a 2＋b 2＝c 2.所以图乙中①②的面积之和与图丙中③的面积相等．由此能得到关于直角三角形三边长的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方．。
初中数学鲁教版(五四制)七年级上册第三章 勾股定理本章综合与测试-章节测试习题
章节测试题1.【答题】设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，已知b=12，c=13，则a＝（）A. 1B. 5C. 10D. 25【答案】B【分析】【解答】2.【答题】在△ABC中，已知下列条件：①∠B=∠C-∠A；②a2＝（b+c）（b-c）；③∠A：∠B：∠C=3：4：5；④a：b：c=5：4：3；⑤a2：b2：c2=1：2：3．其中能判断△ABC为直角三角形的条件有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】C【分析】【解答】3.【答题】如图，网格中小正方形的边长为1，点A，B为网格线的交点，则AB的长为（）A. 3B. 5C. 7D. 12【分析】【解答】4.【答题】如图①，分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别为S1，S2，S3；如图②，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别为S1，S2，S3；如图③，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别为S1，S2，S3，其中满足S1＝S2+S3的是（）A. ①B. ②C. ①②D. ①②③【答案】D【分析】【解答】5.【答题】如图，一只蚂蚁从长为2cm、宽为2cm、高是3cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）A. 3cmB. 2cmC. 5cmD. 7cm【分析】【解答】6.【答题】我国古代算书《九章算术》中第九章第六题是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深葭长各几何？你读懂题意了吗？请回答水深几尺，葭长几尺．根据题意，可设水深OB=x尺，则葭长OA′＝（x+1）尺．下列方程正确的是（）A. x2+52＝（x+1）2B. x2+52＝（x-1）2C. x2+（x+1）2=102D. x2+（x-1）2＝52【答案】A【分析】【解答】7.【答题】底边长为10cm、底边上的高为12cm的等腰三角形的腰长为（）A. 12cmB. 13cmC. 8cmD. 9cm【答案】B【分析】8.【答题】已知a，b，c是三角形的三边长，如果a，b，c满足（a-b）2+（b-8）2+|c-10|=0，那么三角形的形状是（）A. 底与边不相等的等腰三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形【答案】D【分析】【解答】9.【答题】《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长．如果设AC=x，则可列方程为______．【答案】x2+32=（10-x）2【分析】10.【答题】小明将四个全等的直角三角形拼成如图所示的五边形，添加适当的辅助线后，用等面积法建立等式证明勾股定理．小明在证明过程中用两种方法表示五边形的面积，分别记为S1＝______，S2＝______．【答案】c2+ab,【分析】【解答】11.【答题】我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三边长分别为5里、12里、13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里＝0.5km，则该沙田的面积为______km2．【答案】7.5【分析】【解答】12.【答题】已知一个三角形的三边之比为5：12：13，它的周长为60，则它的面积是______．【答案】120【分析】【解答】13.【题文】（10分）为整治城市街道汽车超速现象，交警大队在某街道旁进行流动测速．如图，一辆小汽车在该城市街道上向西直行，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A 正北方向60m的C处，过了4s后，小汽车到达离车速检测仪A100m的B处．已知该段城市街道的限速为60km/h，请问这辆小汽车是否超速？【答案】【分析】【解答】超速．理由如下：在Rt△ABC中，AC=60m，AB=100m．由勾股定理可得BC2=AB2-AC2=1002-602=802．∴BC=80m，∴汽车速度为80÷4=20m/s=72km/h．∵72＞60，∴这辆小汽车超速了．14.【题文】（12分）在一平直河岸l的同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离AM，BN 分别是5km，3km，且MN为6km．现计划在河岸上建一座抽水站P，用输水管向两个村庄A，B供水，求水管长度最少为多少．【答案】【分析】【解答】如图，延长AM到A'，使MA'=AM，连接A'B交l于P，过A'作A'C垂直于BN的延长线于点C．∴AM⊥l，∴PA=PA'．∵A'M⊥l，CN⊥l，A'C⊥BC，∴四边形MA'CN是长方形，∴CN=A'M=5km，A'C=MN=6km．∴BC=3+5=8（km）．∵A'C2+BC2=A'B2．∴A'B=10．∴AP+BP=A'P+PB=A'B=10km．答：水管长度最少为10km．15.【题文】（12分）某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，那么能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【答案】【分析】【解答】根据题意得PQ=16×1.5=24（海里），PR=12×1.5=18（海里），QR=30（海里）．∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR=90°．由“远洋号”沿东北方向航行可知∠QPS=45°，则∠SPR=45°，即“海天”号沿西北方向航行．16.【题文】（14分）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC．由于某种原因，由C到A的路现在已经不通．为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB=3km，CH=2.4km，HB=1.8km．（1）CH是否为从村庄C到河边的最近路（即CH与AB是否垂直）？请通过计算加以说明．（2）求原来的路线AC的长．【答案】【分析】【解答】（1）是．理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2=（2.4）2+（1.8）2=9．BC2=9．∴CH2+BH2=BC2．∴CH⊥AB，∴CH是从村庄C到河边的最近路．（2）设AC=x km．在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-1.8，CH=2.4．由勾股定理得AC2=AH2+CH2，∴x2=（x-1.8）2+（2.4）2．解这个方程，得x=2.5，答：原来的路线AC的长为2.5 km．17.【答题】下列四组数中不是勾股数的一组是（）A. a=15，b=8，c=17B. a=9，b=12，c=15C. a=7，b=24，c=25D. a=3，b＝5，c=7【答案】D【分析】【解答】18.【答题】如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4．将矩形沿AC折叠，点D落在点E 处，且CE与AB交于F，那么△ACF的面积为（）A. 12B. 15C. 6D. 10【答案】D【分析】【解答】19.【答题】已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2＝a4-b4，则△ABC是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【分析】【解答】20.【答题】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【分析】【解答】。
初中数学鲁教版(五四制)七年级上册第三章 勾股定理2 一定是直角三角形吗-章节测试习题(2)
章节测试题1.【答题】已知下列几组数：①6，8，10；②7，24，25；③9，12，15；④n2-1，2n，n2+1（n是大于1的整数）．其中是勾股数的有（）A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组【答案】D【分析】【解答】2.【答题】有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，25，24．现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】【解答】3.【答题】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则下列说法中错误的是（）A. 如果∠C-∠B=∠A，那么△ABC是直角三角形，且∠C=90°B. 如果c2=a2-b2，那么△ABC是直角三角形，且∠C=90°C. 如果（c+a）（c-a）＝b2，那么△ABC是直角三角形，且∠C=90°D. 如果∠A：∠B：∠C=3：2：5，那么△ABC是直角三角形，且∠C=90°【答案】B【分析】【解答】4.【题文】例1 如图，已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm．（1）求证：CD⊥AB；（2）求该三角形的腰的长度．【答案】见解答.【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．（1）依据勾股定理的逆定理可得到∠BDC=90°，从而得到CD⊥AB．（2）设腰长为x，则AD＝x-12．由（1）可知AD2+CD2=AC2，解方程（x-12）2+162＝x2，即可得到腰长．【解答】（1）∵BC=20cm，CD=16cm，BD=12cm，∴BD2+CD2＝BC2．根据勾股定理的逆定理可知∠BDC=90°，即CD⊥AB．（2）设腰长为x，则AD＝x-12．由（1）可知AD2+CD2=AC2，即（x-12）2+162=x2，解得．∴腰长为cm．5.【题文】例2 如图，△ABC中，D是BC上的一点，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC的面积．【答案】84.【分析】此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形，根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．【解答】∵BD2+AD2=62+82＝102=AB2，∴△ABD是直角三角形，∴AD⊥BC．在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=172-82=152，∴CD=15，∴．因此△ABC的面积为84．6.【答题】若△ABC的三边长分别为5，12，13，则△ABC的面积是（）A. 30B. 40C. 50D. 60【答案】A【分析】【解答】7.【答题】某住宅小区有一块草坪，形状如图所示．已知AB=3m，BC=4m，CD=12m，DA=13m，且AB⊥BC，则这块草坪的面积是（）A. 24m2B. 36m2C. 48m2D. 72m2【答案】B【分析】【解答】8.【答题】下列四组数中，不是勾股数的是（）A. a=15，b=8，c=17B. a=9，b=12，c=15C. a＝7，b=24，c=25D. a=3，b=5，c=7【答案】D【分析】【解答】9.【答题】如图，已知∠ADC=90°，AD=8m，CD=6m，BC=24m，AB=26m，则图中阴影部分的面积为______m2．【答案】96【分析】【解答】10.【答题】已知△ABC中∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b和c．下面给出了五组条件：①∠A：∠B：∠C=1：2：3；②a：b：c=3：4：5；③2∠A＝∠B+∠C；④a2-b2=c2；⑤a=6，b=8，c＝13．其中能独立判定△ABC是直角三角形的是______．（请写出所有正确的序号）【答案】①②④【分析】【解答】11.【题文】如图，在△ABC中，AB=9，AC=12，BC=15，求BC边上的高AD．【答案】【分析】【解答】∵AB2+AC2=225=BC2，∴△ABC是直角三角形．∴AB×AC=BC×AD，∴AD=7.2．12.【题文】如图，在△ABC中，AB=17cm，AC=8cm，BC=15cm．将AC沿AE折叠，使得点C与AB上的点D重合．（1）证明：△ABC是直角三角形；（2）求△AEB的面积．【答案】【分析】【解答】（1）∵AC2+BC2=82+152=289，AB2=289．∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形．（2）由翻折的性质可知EC=DE，AC=AD=8cm，∠ADE=∠C=∠BDE=90°．设EC=DE=x cm，在Rt△BDE中，∵DE2+BD2=BE2，∴x2+92=（15-x）2，解得．∴，∴．13.【题文】如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，AF⊥BC于点F．（1）若∠BAC=90°，求AE的长；（2）若DF=1.4，求证：△ABC为直角三角形．【答案】【分析】【解答】（1）如图，连接CE．设AE=x，∵AB=8．∴BE=8-x．∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE=8-x．∵∠BAC=90°，AC=6．∴x2+62=（8-x）2，∴，即．（2）证明：设BD=y，则CD=y．∵DF=1.4，∴BF=y+1.4，CF=y-1.4．∵AF⊥BC，∴AB2-BF2=AC2-CF2=AF2．∴82-（y+1.4）2=62-（y-1.4）2，∴y=5，∴BC=10．∵62+82=102．∴△ABC为直角三角形．14.【题文】如图，在△ABC中，D是BC的中点，点M，N分别在AB，AC上，且∠MDN＝90°，延长MD到点E，使MD=DE，连接CE，EN，已知BM2+CN2＝DM2+DN2．（1）求证：MN=EN；（2）求证：△ABC为直角三角形．【答案】【分析】【解答】（1）∵MD=DE，∠MDN=90°，∴ND垂直平分ME，∴MN=NE（2）∵D是BC的中点，∴BD=CD．在△BDM和△CDE中，∴△BDM≌△CDE，∴BM=CE，∠B=∠DCE．∵BM2+CN2=DM2+DN2，DM2+DN2=MN2=NE2，∴CE2+CN2=EN2，∴∠NCE=90°．∴∠B+∠ACB=∠ACB+∠BCE=90°．∴∠A=90°，∴△ABC为直角三角形．15.【答题】如果三角形的三边长a，b，c满足______，那么这个三角形是直角三角形．其中，边长为______的边所对的角是直角．【答案】【解答】16.【答题】满足a2+b2=c2的三个正整数，称为______数．请在下面的横线上任意写出四组勾股数：______．【答案】【分析】【解答】17.【答题】下列条件中，不能判断一个三角形为直角三角形的是（）A. 三个角的比是1：2：3B. 三条边满足关系a2=c2-b2C. 三条边的比是2：3：4D. 三个角满足关系∠B+∠C=∠A【答案】C【分析】【解答】18.【答题】三角形的两边长为5和4，要使它成为直角三角形，则第三边长的平方为______．【答案】9或41【分析】19.【答题】小白兔每跳一次为1m，先沿直线跳12次后左拐，再沿直线向前跳5次后左拐，最后沿直线向前跳13次正好回到原来的地方，则小白兔第一次左拐的角度是______．【答案】90°【分析】【解答】20.【题文】如图，正方形网格中有△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识判断△ABC是什么形状，并说明理由．【答案】【分析】【解答】如图，在Rt△ABF中，AB2=33+22=13．在Rt△AEC中，AC2=82+12=65．在Rt△BDC中，BC2=62+4=52，所以AB2+BC2=AC2，所以△ABC是直角三角形．。
初中数学鲁教版(五四制)七年级上册第三章 勾股定理本章综合与测试-章节测试习题(2)
章节测试题1.【答题】如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸（单位：mm），计算出两圆孔中心A和B之间的距离为______mm．【答案】40【分析】【解答】2.【答题】如图，已知∠A=90°，AC=AB=4，CD=2，BD=6，则∠ACD=______．【答案】45°【分析】【解答】3.【答题】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是______．【答案】【分析】【解答】4.【答题】如图，在Rt△ABC中，CD是AB边上的高，则x=______，y=______．【答案】8 17【分析】【解答】5.【题文】蚂蚁沿图中所示的折线由A点爬行到B点，再由B点爬行到C点（图中小方格的边长为1个单位），蚂蚁爬行的路线成一个直角，你相信吗?请说明理由．【答案】【分析】【解答】如图，连接AC，在Rt△ADC中，由勾股定理得AC2=32+42=25．在Rt△BEC与Rt△ABF中，由勾股定理得BC2=12+22=5，AB2=22+42=20，所以AC2=BC2+AB2，所以∠ABC=90°，即蚂蚁爬行的路线成一个直角．6.【题文】如图，从塔吊的顶部A处与其横臂上B，C两处拉两条钢丝线．已知AD长为4m，BD长为3m，BC长为10.5m，则两根拉线的长度各是多少米?【答案】5m，8.5m.【分析】【解答】7.【题文】一家商场为做广告，需要制作一条幅，一端挂在楼顶C处，另一端系在与地面垂直高度为3m的栏杆顶端A处．已知楼高19m，栏杆的底部B离楼的底部D的距离为12m，你能算出这一条幅至少长多少米吗?【答案】20m.【分析】【解答】8.【题文】已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm．动点P 从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t s，解答下列问题：（1）t为______时，△PBQ是等边三角形；（2）P，Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为何值时，△PBQ是直角三角形?说明理由．【答案】【分析】【解答】（1）12；（2）由题意得AP=2t，BQ=t，则PB=36-2t．当∠PQB=90°时，∵∠B=60°，∴2BQ=BP，即36-2t=2t，解得t=9．当∠QPB=90°时，∵∠B=60°，∴BQ=2BP，即t=2（36-2t），解得．综上，当t=9或时，△PBQ是直角三角形．9.【答题】Rt△ABC中，若∠C＝90°，三条边长分别是a、b、c，则下列各式成立的是（）A. a+b=cB. a+b＞cC. a+b＜cD. a2+b2=c2【答案】D【分析】【解答】10.【答题】下列各组数中，属于勾股数的是（）A. 0.3，0.4，0.5B. 1.5，2，2.5C. 6，8，10D. 5，6，7【答案】C【分析】【解答】11.【答题】在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，则该三角形为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形【答案】B【分析】【解答】12.【答题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为（）A. 26B. 18C. 20D. 21【答案】C【分析】【解答】13.【答题】如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的（）A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍【答案】B【分析】【解答】14.【答题】如图，两个正方形的面积分别是100和36，则字母B所代表的正方形的面积是（）A. 8B. 10C. 64D. 136【答案】C【分析】【解答】15.【答题】一个等腰三角形的腰长为5，底边上的高为4，这个等腰三角形的周长是（）A. 12B. 13C. 14D. 16【答案】D【分析】【解答】16.【答题】已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A. 25B. 14C. 7D. 7或25【答案】D【分析】【解答】17.【答题】如图，四边形ABCD中，AB＝17，BC＝8，CD＝12，AD＝9，∠D＝90°，则四边形ABCD的面积为（）A. 114B. 110C. 100D. 122【答案】A【分析】【解答】18.【答题】如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，则a，b，c三个正方形的面积和为（）A. 15B. 11C. 10D. 22【答案】A【分析】【解答】19.【答题】木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面______．（填“合格”或“不合格”）．【答案】合格【分析】【解答】20.【答题】如图，台风过后，希望小学的旗杆在B处折断，旗杆顶部A落在离旗杆底部8米处，已知旗杆长16米，则旗杆是在离底部______米处断裂．【答案】6【分析】【解答】。
鲁教版(五四制)七年级上册 第三章《勾股定理》检测试卷(无答案)
鲁教版（五四制）七年级上册 第三章《勾股定理》检测试卷（无答案） 1 / 4 勾股定理 一、选择题（本大题共20小题，共60.0分） 1. 如图，直线L 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为1和9，则b 的面积为( )A. 8B. 9C. 10D. 112. 正方形ABCD 的边长为1，其面积记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S 2，…按此规律继续下去，则S 9的值为( )A. (12)9B. (12)8C. (√22)9D. (√22)8 3. 如图，以Rt △ABC 为直径分别向外作半圆，若S 1=10，S 3=8，则S 2=( )A. 2B. 6C. √2D. √64. 如图，在一个高为5m ，长为13m 的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少应是( )A. 13mB. 17mC. 18mD. 25m5. 下列各组数能构成勾股数的是( )A. 2，√3，√7B. 12，16，20C. 13，14，15D. 32，42，526. 如图，将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是( )A. 12cm ≤ℎ≤19cmB. 12cm ≤ℎ≤13cmC. 11cm ≤ℎ≤12cmD. 5cm ≤ℎ≤12cm7. 一个三角形的三边长为15，20，25，则此三角形最大边上的高为( )．A. 10B. 12C. 24D. 488. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若(a +b)2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 69. 如图，A 、B 、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则∠BAC 的值为( )A.300B. 450C.600D. 50010. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( )A. 0.7米B. 1.5米C. 2.2米D. 2.4米11. 三角形的三边长为a ，b ，c ，且满足(a +b)2=c 2+2ab ，则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形 12. 已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足(a −3)2+√b −4+|c −5|=0，则三角形的形状是( )A. 底与边不相等的等腰三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形13. 将面积为8π的半圆与两个正方形拼接如图所示，这两个正方形面积的和为( )A. 16B. 32C. 8πD. 6414. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈=10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x 尺，则可列方程为( )A. x 2−6=(10−x)2B. x 2−62=(10−x)2C. x 2+6=(10−x)2D. x 2+62=(10−x)215. 如图，校园内有两棵树，相距8米，一棵树树高13米，另一棵树高7米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞( )A. 8米B. 9米C. 10米D. 11米16. 已知△ABC ，AB =5，BC =12，AC =13，点P 是AC 上一个动点，则线段BP 长的最小值是( )A. 6013B. 5C. 3013D. 1217. △ABC 中，AB =13cm ，AC =15cm ，高AD =12，则BC 的长为( )A. 14B. 4C. 14或4D. 以上都不对18. 如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要( )A. 4米B. 5米C. 6米D. 7米19. 下列条件能判定△ABC 为直角三角形的是( )A. ∠A +∠B =∠CB. ∠A ：∠B ：∠C =1：2：4C. a =32，b =42，c =52D. a =13，b =14，c =15 20. 满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是( )A. b 2−c 2=a 2B. a ：b ：c =3：4：5C. ∠C =∠A −∠BD. ∠A ：∠B ：∠C =9：12：15二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）21. 如图1，有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为______．22. 如图2，在△ABC 中，∠C =90∘，∠BAC =60∘，D 为BC 上一点，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，连接AD ，若CD =DE =1，则AB 的长为______ ．图1 图2 图3 图423. 如图3，一架云梯长10米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6米，要使梯子顶端离地面8米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动______米.24. 一株美丽的勾股树如图4所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A ，B ，C ，D 的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E 的面积是______．鲁教版（五四制）七年级上册第三章《勾股定理》检测试卷（无答案）3 / 425.已知：如图5，四边形ABDC，AB=4，AC=3，CD=12，BD=13，∠BAC=90∘.则四边形ABDC的面积是______．26.三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于______．27.如图7，在△ABC中，AB=10cm，AC=6cm，BC=8cm，点D、E分别在AC、AB上，且△BCD和△BED关于BD对称，则△ADE的周长为______cm．28.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为______尺.图8图5图7 图8 图929.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方两丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池是边长为2丈(1丈=10尺)的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面2尺.如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度分别是多少？”答：这个水池的深度和这根芦苇的长度分别是______．图930.小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1m，当他把绳子下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为______米.三、解答题（本大题共5小题，共50分）31.如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90∘．(1)判断∠D是否是直角，并说明理由．(2)求四边形ABCD的面积．32.如图所示，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，求BC的长．33.如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在一座建筑物上，梯子底部与建筑物距离BC为0.7米．(1)求梯子上端A到建筑物的底端C的距离(即AC的长)；(2)如果梯子的顶端A沿建筑物的墙下滑0.4米(即米)，则梯脚B将外移(即的长)多少米？34.如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？35.如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，BC边上的中线AD=4.求AC的长．。
鲁教版(五四制) 七年级数学上册 第3章 勾股定理 单元测试卷 (解析版)
第3章勾股定理单元测试卷一、选择题（共8小题）.1．（3分）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（）A．B．C．D．2．（3分）如图中，边长k等于5的直角三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（3分）五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（）A．B．C．D．4．（3分）用四个边长均为a、b、c的直角三角板，拼成如图中所示的图形，则下列结论中正确的是（）A．c2＝a2+b2B．c2＝a2+2ab+b2C．c2＝a2﹣2ab+b2D．c2＝（a+b）2．5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）A．5个B．4个C．3个D．2个6．（3分）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm7．（3分）如图，长方体的长为15宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．20B．25C．30D．328．（3分）如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（）A．47B．62C．79D．98二、填空题（每小题4分；共24分）9．（4分）直角三角形的两条直角边长分别为cm和cm，则这个直角三角形的周长为．10．（4分）如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BAC+∠CDE＝°．11．（4分）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为2：3，则中间围成的小正方形的面积与整个图形（大正方形）的面积之比为．12．（4分）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝°（点A，B，P 是网格线交点）．13．（4分）如图，一张三角形纸片ABC，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现将纸片折叠：使点A与点B重合，那么折痕长等于cm．14．（4分）腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为．三、解答题（15-18题每题10分，19题12分，共52分）15．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，D为BC边上的中点．（1）求BD，AD的长度；（2）将△ABC折叠，使A与D重合，得折痕EF交AB于点E，交AC于点F．求AE，BE的长度．16．（10分）如图，AB为一棵大树（垂直于地面，即AB⊥BC），在树上距地面12m的D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，再利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B 跑到C，已知两猴子经过的路程都是20m，求树高AB．17．（10分）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A、B 作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．①求证：EC＝BD；②若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．18．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，求∠DAB的度数．19．（12分）如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，AD⊥DB，点E为AB的中点，DE∥BC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）连接EC，若∠A＝30°，DC＝，求EC的长．参考答案一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（）A．B．C．D．解：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：故选：B．2．（3分）如图中，边长k等于5的直角三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：如图1，k＝＝5；如图2，k＝＝5；如图3，k＝＝＝8；如图4，k＝＝＝7．故选：B．3．（3分）五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（）A．B．C．D．解：A、72+242＝252，152+202≠242，222+202≠252，故A不正确；B、72+242＝252，152+202≠242，故B不正确；C、72+242＝252，152+202＝252，故C正确；D、72+202≠252，242+152≠252，故D不正确．故选：C．4．（3分）用四个边长均为a、b、c的直角三角板，拼成如图中所示的图形，则下列结论中正确的是（）A．c2＝a2+b2B．c2＝a2+2ab+b2C．c2＝a2﹣2ab+b2D．c2＝（a+b）2．解：由题意得到四个完全一样的直角三角板围成的四边形为正方形，其边长为c，里边的小四边形也为正方形，边长为b﹣a，则有c2＝ab×4+（b﹣a）2，整理得：c2＝a2+b2．故选：A．5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）A．5个B．4个C．3个D．2个解：过A作AE⊥BC，∵AB＝AC，∴EC＝BE＝BC＝4，∴AE＝＝3，∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．∴3≤AD＜5，∴AD＝3或4，∵线段AD长为正整数，∴AD的可以有三条，长为4，3，4，∴点D的个数共有3个，故选：C．6．（3分）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；根据勾股定理，得：AD＝＝5cm；∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；故橡皮筋被拉长了2cm．故选：A．7．（3分）如图，长方体的长为15宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．20B．25C．30D．32解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD＝CD+BC＝10+5＝15，AD＝20，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB＝＝25；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB＝；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴AC＝CD+AD＝20+10＝30，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：∴AB＝；∵25＜5，∴蚂蚁爬行的最短距离是25，故选：B．8．（3分）如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（）A．47B．62C．79D．98解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，∴当c＝n2+1＝65时，n＝8，∴x＝63，y＝16，∴x+y＝79，故选：C．二、填空题（每小题4分；共24分）9．（4分）直角三角形的两条直角边长分别为cm和cm，则这个直角三角形的周长为（3+）cm．解：∵直角三角形的两条直角边长分别为cm和cm，∴直角三角形的斜边长为＝2cm，∴这个直角三角形的周长为+6＝（3+）cm，故答案为：（3+）cm．10．（4分）如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BAC+∠CDE＝45°．解：连接AD，由勾股定理得：AD2＝12+32＝10，CD2＝12+32＝10，AC2＝22+42＝20，∴AD＝CD，AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝∠ACD＝45°，∵AB∥DE，∴∠BAD+∠ADE＝180°，∴∠BAC+∠CDE＝180°﹣90°﹣45°＝45°，故答案为：45°．11．（4分）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为2：3，则中间围成的小正方形的面积与整个图形（大正方形）的面积之比为1：13．解：设两直角边分别是2x，3x，则斜边即大正方形的边长为x，小正方形边长为x，所以S大正方形＝13x2，S小正方形＝x2，S阴影＝12x2，∴中间围成的小正方形的面积与整个图形（大正方形）的面积之比为＝1：13；故答案为：1：13．12．（4分）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝45°（点A，B，P是网格线交点）．解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，故答案为：45．13．（4分）如图，一张三角形纸片ABC，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现将纸片折叠：使点A与点B重合，那么折痕长等于cm．解：如图，折痕为GH，由勾股定理得：AB＝＝10cm，由折叠得：AG＝BG＝AB＝×10＝5cm，GH⊥AB，∴∠AGH＝90°，∵∠A＝∠A，∠AGH＝∠C＝90°，∴△ACB∽△AGH，∴＝，∴＝，∴GH＝cm．故答案为：．14．（4分）腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为6或2或4．解：①如图1当AB＝AC＝5，AD＝4，则BD＝CD＝3，∴底边长为6；②如图2．当AB＝AC＝5，CD＝4时，则AD＝3，∴BD＝2，∴BC＝＝2，∴此时底边长为2；③如图3：当AB＝AC＝5，CD＝4时，则AD＝＝3，∴BD＝8，∴BC＝4，∴此时底边长为4．故答案为：6或2或4．三、解答题（15-18题每题10分，19题12分，共52分）15．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，D为BC边上的中点．（1）求BD，AD的长度；（2）将△ABC折叠，使A与D重合，得折痕EF交AB于点E，交AC于点F．求AE，BE的长度．解：（1）∵∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，∴BC＝＝＝4，∵D为BC边上的中点．∴BD＝CD＝BC＝2．∴AD＝＝＝；（2）如图，连接DE，∵将△ABC折叠，使A与D重合，得折痕EF交AB于点E，交AC于点F．∴AE＝DE，在Rt△BDE中，BE2+BD2＝DE2，设BE＝x，则AE＝DE＝3﹣x，∴x2+22＝（3﹣x）2，解得x＝，∴AE＝，BE＝3﹣＝．16．（10分）如图，AB为一棵大树（垂直于地面，即AB⊥BC），在树上距地面12m的D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，再利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B 跑到C，已知两猴子经过的路程都是20m，求树高AB．解：设AD长为x m，则AC＝（20﹣x）m，BC＝20﹣12＝8（m），在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，则（12+x）2+82＝（20﹣x）2，解得：x＝3，故AB＝AD+BD＝3+12＝15，答：树的高度为15m．17．（10分）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A、B 作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．①求证：EC＝BD；②若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．【解答】①证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCD＝90°．∵∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠BCD．在△AEC与△BCD中，∴△CAE≌△BCD（AAS）．∴EC＝BD；②解：由①知：BD＝CE＝aCD＝AE＝b∴S梯形AEDB＝（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2．又∵S梯形AEDB＝S△AEC+S△BCD+S△ABC＝ab+ab+c2＝ab+c2．∴a2+ab+b2＝ab+c2．整理，得a2+b2＝c2．18．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，求∠DAB的度数．解：∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝＝2，∠BAC＝45°，又∵CD＝3，DA＝1，∴AC2+DA2＝8+1＝9，CD2＝9，∴AC2+DA2＝CD2，∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD＝90°，∴∠DAB＝45°+90°＝135°．故∠DAB的度数为135°．19．（12分）如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，AD⊥DB，点E为AB的中点，DE∥BC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）连接EC，若∠A＝30°，DC＝，求EC的长．【解答】（1）证明：∵AD⊥DB，点E为AB的中点，∴DE＝BE＝AB．∴∠1＝∠2．∵DE∥BC，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴BD平分∠ABC．（2）解：∵AD⊥DB，∠A＝30°∴∠1＝60°．∴∠3＝∠2＝60°．∵∠BCD＝90°，∴∠4＝30°．∴∠CDE＝∠2+∠4＝90°．在Rt△BCD中，∠3＝60°，DC＝2，∴DB＝4．∵DE＝BE，∠1＝60°，∴DE＝DB＝4．∴EC＝＝＝2．。
鲁教版(五四学制)七年级上册《第3章勾股定理》单元测试卷含答案解析
七年级数学上册《第3章勾股定理》单元测试卷一．填空题（每题3分，共24分）1．如图，正方形内数字分别为所在正方形的面积，则图中字母A，B，C所代表的正方形面积是__________．2．如图，半圆内数字分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的半圆面积是__________．3．已知直角三角形的两直角边长为6cm和8cm，则斜边上的中线长是__________；斜边上的高为__________．4．如图，台风过后，琼岛小学的旗杆在B处折断，旗杆顶部A落在离旗杆底部8米处，已知旗杆长16米，则旗杆是在离底部__________米处断裂．5．长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体纸盒内可完全放入的棍子最长是__________cm．6．在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2=__________．7．直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为__________cm．8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为__________cm2．二、选择题（每题3分，共24分）9．在Rt△ABC中，a、b、c分别是△A、△B、△C、的对边，若△A=90°，则( )A．a2+b2=c2B．b2+c2=a2C．c2+a2=b2D．b+a=c10．观察下列几组数据：①3，4，5；②4，5，6；③6，8，10；④7，24，25．其中能作为直角三角形三边长的有( )A．1组B．2组C．3组D．4组11．把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的( )A．2倍B．4倍C．3倍D．5倍12．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是( )A．斜边长为5B．三角形的周长为25C．斜边长为25D．三角形的面积为2013．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是( )A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰三角形14．如图，一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫底部点A爬到上底B 处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）( )A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm15．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于( )A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm16．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为( )A．600米B．800米C．1000米D．不能确定三、解答题（共52分）17．如图，等腰三角形腰长为5cm，底边长为6cm，求三角形的面积．18．在Rt△ABC中，△C=90°．（1）已知c=25，b=15，求a的值；（2）已知a=12，△A=60°，求b、c的值．19．在Rt△ABC中，△C=90°，a：b=3：4，c=15，求a、b的值．20．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1m，﹣阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m，求这里的水深为__________米．21．如图所示，一架长为2.5米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端距离底0.7米，求梯子顶端离地多少米？如果梯子顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动多少m？22．一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中△A和△DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边长如图2所示．（1）你认为这个零件符合要求吗？为什么？（2）求这个零件的面积．23．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？24．如图，已知长方体的长为AC=2cm，宽BC=1cm，高AA′=4．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？鲁教五四新版七年级数学上册《第3章勾股定理》单元测试卷一．填空题（每题3分，共24分）1．如图，正方形内数字分别为所在正方形的面积，则图中字母A，B，C所代表的正方形面积是81，64，100．【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理，即可求出A，B，C所代表的正方形的面积．【解答】解：如图1所示：△△DEF=90°，△DE2=DF2﹣EF2=162﹣81=81，△字母A所代表的正方形面积是81；同理：字母B所代表的正方形面积=172﹣152=64；字母C所代表的正方形面积=64+36=100；故答案为：81，64，100．【点评】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．2．如图，半圆内数字分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的半圆面积是π．【考点】勾股定理．【分析】由于正方形的面积等于边长的平方，根据勾股定理求出面积是A的半圆的直径的平方，进而即可求得半圆的面积A．【解答】解：△以EG为边正方形的面积等于400，即EG2=400，△以FG为边正方形的面积为300，△FG2=300，又△△EFG为直角三角形，根据勾股定理得：EG2=EF2+FG2，△EF2=EG2﹣FG2=400﹣300=100，△EF=10，则半圆的面积为：A=π（）2=π．故答案为π．【点评】此题考查了正方形的面积公式、圆的面积公式以及勾股定理，熟记正方形、圆的面积和勾股定理是解题的关键．3．已知直角三角形的两直角边长为6cm和8cm，则斜边上的中线长是5cm；斜边上的高为4.8cm．【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．【专题】计算题．【分析】根据勾股定理先求出斜边，依据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半求出中线长，再根据面积相等求出斜边上的高．【解答】解：直角三角形中两直角边长为6、8，则根据勾股定理可得斜边长的平方等于两直角边的平方和，△斜边长==10，△斜边中线长=×10=5；根据面积相等，设斜边上的高为xcm，列方程得：×6×8=×10x，解得x=4.8cm．故答案为：5cm，4.8cm．【点评】考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线的性质，利用面积相等来解题，是解决直角三角形问题的常用的方法，可有效简化计算．4．如图，台风过后，琼岛小学的旗杆在B处折断，旗杆顶部A落在离旗杆底部8米处，已知旗杆长16米，则旗杆是在离底部6米处断裂．【考点】勾股定理的应用．【分析】旗杆折断的部分，未折断的部分和旗杆顶部离旗杆底的部分构成了直角三角形，运用勾股定理可将折断的未知求出．【解答】解：设旗杆未折断部分长为x米，则折断部分的长为（16﹣x）m，根据勾股定理得：x2+82=（16﹣x）2，可得：x=6m，即距离地面6米处断裂，故答案为：6．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是建立数学模型，将实际问题运用数学思想进行求解．5．长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体纸盒内可完全放入的棍子最长是13cm．【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意画出图形，两次运用勾股定理即可得出结果．【解答】解：如图所示：BC=3cm，CD=4cm，AB=12cm，连接BD、AD，在Rt△BCD中，BD===5（cm），在Rt△ABD中，AD===13（cm）．故这个盒子最长能放13cm的棍子．故答案为：13．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意画出图形，作出辅助线、构造出直角三角形是解答此题的关键．6．在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2=8．【考点】勾股定理．【专题】计算题．【分析】由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理根据斜边AB的长，可得出AB的平方及两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值．【解答】解：△△ABC为直角三角形，AB为斜边，△AC2+BC2=AB2，又AB=2，△AC2+BC2=AB2=4，则AB2+BC2+CA2=AB2+（BC2+CA2）=4+4=8．故答案为：8【点评】此题考查了勾股定理的运用，勾股定理为：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．7．直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为24cm．【考点】勾股定理．【分析】设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2，由勾股定理得：两直角边的平方和等于斜边的平方，据此列出关于n的方程，求出符合题意n的值，即求出了直角三角形的三边长，之后求出周长即可．【解答】解：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2．由勾股定理得：（2n﹣2）2+（2n）2=（2n+2）2，解得：n1=4，n2=0（不合题意舍去），即：该直角三角形的三边边长分别为6cm，8cm，10cm．所以，其周长为6+8+10=24cm．【点评】本题主要考查了运用直角三角形的性质的能力，关键在于运用勾股定理得出三边之间的关系，根据题意求出三边的边长．周长=三边之和，求出周长．8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为49cm2．【考点】勾股定理．【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．【解答】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm2．故答案为：49cm2．【点评】熟练运用勾股定理进行面积的转换．二、选择题（每题3分，共24分）9．在Rt△ABC中，a、b、c分别是△A、△B、△C、的对边，若△A=90°，则( )A．a2+b2=c2B．b2+c2=a2C．c2+a2=b2D．b+a=c【考点】勾股定理．【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求解即可．【解答】解：如图所示，△△A=90°，△b2+c2=a2．故选B．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．10．观察下列几组数据：①3，4，5；②4，5，6；③6，8，10；④7，24，25．其中能作为直角三角形三边长的有( )A．1组B．2组C．3组D．4组【考点】勾股定理的逆定理．【分析】由勾股定理的逆定理得出①③④能构成直角三角形，②不能构成直角三角形；即可得出结论．【解答】解：△32+42=52，△3，4，5能构成直角三角形，△①能作为直角三角形三边长；△42+52≠62，△4，5，6不能构成直角三角形，△②不能作为直角三角形三边长；△62+82=102，△6，8，10能构成直角三角形，△③能作为直角三角形三边长；△72+242=252，△7，24，25能构成直角三角形，△④能作为直角三角形三边长；△能作为直角三角形三边长的有3组，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理的逆定理，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．11．把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的( )A．2倍B．4倍C．3倍D．5倍【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理，可知：把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍．【解答】解：设一直角三角形直角边为a、b，斜边为c．则a2+b2=c2；另一直角三角形直角边为2a、2b，则根据勾股定理知斜边为=2c．即直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍．故选A．【点评】熟练运用勾股定理对式子进行变形．12．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是( )A．斜边长为5B．三角形的周长为25C．斜边长为25D．三角形的面积为20【考点】勾股定理．【分析】利用勾股定理求出后直接选取答案．【解答】解：两直角边长分别为3和4，△斜边==5；故选A．【点评】此题较简单关键是熟知勾股定理：在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．13．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是( )A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【考点】相似三角形的性质．【分析】根据三组对应边的比相等的三角形相似，依据相似三角形的性质就可以求解．【解答】解：将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形与原三角形相似，因而得到的三角形是直角三角形．故选C．【点评】本题主要考查相似三角形的判定以及性质．14．如图，一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫底部点A爬到上底B 处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）( )A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm【考点】平面展开-最短路径问题．【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值．【解答】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．由题意，得AC=3×16÷2=24，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB===30cm．故选B．【点评】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用．在解答时将圆柱的侧面展开是关键．15．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于( )A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【考点】勾股定理．【专题】几何图形问题．【分析】先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长．【解答】解：△AC=6cm，BC=8cm，△C=90°△AB=10cm，△AE=6cm（折叠的性质），△BE=4cm，设CD=x，则在Rt△DEB中，42+x2=（8﹣x）2，△x=3cm．故选：B．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．16．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为( )A．600米B．800米C．1000米D．不能确定【考点】勾股定理的应用．【分析】两人的方向分别是东南方向和西南方向，因而两人的家所在点与学校的连线正好互相垂直，根据勾股定理即可求解．【解答】解：根据题意得：如图：OA=40×20=800m．OB=40×15=600m．在直角△OAB中，AB==1000米．故选C．【点评】本题考查正确运用勾股定理的应用，解题时从实际问题中整理出直角三角形是本题的关键．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．三、解答题（共52分）17．如图，等腰三角形腰长为5cm，底边长为6cm，求三角形的面积．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】作CD△AB于D，则△ADC=90°，AD=AB=3cm，由勾股定理求出CD，△ABC的面积=AB•CD，即可得出结果．【解答】解：作CD△AB于D，如图所示：则△ADC=90°，AD=AB=3cm，△CD===4（cm），△△ABC的面积=AB•CD=×6×4=12（cm2）．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．18．在Rt△ABC中，△C=90°．（1）已知c=25，b=15，求a的值；（2）已知a=12，△A=60°，求b、c的值．【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形．【分析】（1）直接根据勾股定理即可得出a的值；（2）根据锐角三角函数的定义即可得出b、c的值．【解答】解：（1）△Rt△ABC中，△C=90°，c=25，b=15，△a===20；（2）△Rt△ABC中，△C=90°，a=12，△A=60°，△b=a•cot60°=12×=4，c===8．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．19．在Rt△ABC中，△C=90°，a：b=3：4，c=15，求a、b的值．【考点】勾股定理．【分析】首先设出a=3k，b=4k，然后运用勾股定理列出关于k的方程，求出k的值即可解决问题．【解答】解：△a：b=3：4，△设a=3k，b=4k；由勾股定理得：（3k）2+（4k）2=152，解得：k=3，△a=9，b=12．【点评】该题以直角三角形为载体，考查了勾股定理及其应用问题；灵活运用勾股定理来分析、判断是解题的关键．20．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1m，﹣阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m，求这里的水深为米．【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】根据题意画出图形，结合图形利用勾股定理解答．【解答】解：如图，AD是红莲高出水面部分，即AD=1，B是红莲入泥处（根部）．设BD=x，则BA=1+x，所以BC=AB=1+x，在Rt△BCD中，CD2+BD2=BC2，即22+x2=（1+x）2，4+x2=1+2x+x2，2x=3△x=．故这里的水深m．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．21．如图所示，一架长为2.5米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端距离底0.7米，求梯子顶端离地多少米？如果梯子顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动多少m？【考点】勾股定理的应用．【分析】首先利用勾股定理得出BO的长，进而求出CO的长，即可得出答案．【解答】解：由题意可得：AB=2.5m，AO=0.7m，故BO==2.4（m），△梯子顶端沿墙下滑0.4m，△DO=2m，CD=2.5m，△CO=1.5m，△AC=CO﹣AO=1.5﹣0.7=0.8（m）．答：梯子底端将向左滑动0.8m．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理是解题关键．22．一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中△A和△DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边长如图2所示．（1）你认为这个零件符合要求吗？为什么？（2）求这个零件的面积．【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，判断出△ABD、△BDC的形状，从而判断这个零件是否符合要求；（2）这个零件的面积=△ABD的面积+△BDC的面积，再根据三角形面积公式即可求解．【解答】解：（1）△AD=4，AB=3，BD=5，DC=13，BC=12，△AB2+AD2=BD2，BD2+BC2=DC2，△△ABD、△BDC是直角三角形，△△A=90°，△DBC=90°，故这个零件符合要求．（2）这个零件的面积=△ABD的面积+△BDC的面积=3×4÷2+5×12÷2=6+30=36．故这个零件的面积是36．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理判断△ABD、△BDC 的形状．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．23．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？【考点】轴对称-最短路线问题．【专题】计算题；作图题．【分析】此题的关键是确定点M的位置，需要首先作点A的对称点A′，连接点B和点A′，交l于点M，M即所求作的点．根据轴对称的性质，知：MA+MB=A′B．根据勾股定理即可求解．【解答】解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B与CD，交点CD于M，点M即为所求作的点，则可得：DK=A′C=AC=10千米，△BK=BD+DK=40千米，△AM+BM=A′B==50千米，总费用为50×3=150万元．【点评】此类题的重点在于能够确定点M的位置，再运用勾股定理即可求解．24．如图，已知长方体的长为AC=2cm，宽BC=1cm，高AA′=4．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？【考点】平面展开-最短路径问题．【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：如图：根据题意，如上图所示，最短路径有以下三种情况：（1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪开，得图（1）AB′2=AB2+BB′2=（2+1）2+42=25；（2）沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪开，得图（2）AB′2=AC2+B′C2=22+（4+1）2=4+25=29；（3）沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪开，得图（3）AB′2=AD2+B′D2=12+（4+2）2=1+36=37；综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB′2=25，即AB′=5cm．【点评】将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．。
初中数学鲁教版(五四制)七年级上册第三章 勾股定理3 勾股定理的应用举例-章节测试习题(1)
章节测试题1.【答题】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=8，AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E.则AD的长度为______.【答案】8.2【分析】由线段垂直平分线的性质得出AD=BD，在Rt△BCD中，由勾股定理得出方程，解方程即可.【解答】解：连接BD，如图所示：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，设AD=BD=x，则CD=AC﹣AD=10﹣x，在Rt△BCD中，由勾股定理得：82+（10﹣x）2=x2，解得：x=8.2；故答案为：8.2.2.【答题】如图，已知圆柱底面的周长为24cm，高为5cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度至少长______cm.【答案】26【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据"两点之间线段最短"得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可.【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度.∵圆柱底面的周长为24cm，圆柱高为5cm，∴AB=5cm，BC=BC′=12cm，∴AC2=52+122=169，∴AC=13cm，∴这圈金属丝的周长最小为2AC=26cm.故答案为：26.3.【答题】如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为______．【答案】10【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，设D′F=x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，∴AF=AB-BF．【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，∴D′F=BF，设D′F=x，则AF=8-x，在Rt△AFD′中，（8-x）2=x2+42，解之得：x=3，∴AF=AB-FB=8-3=5，∴S△AFC=•AF•BC=10．故答案为10．4.【答题】如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE=3，AB=8，则BF=______．【答案】6【分析】设BC=x，AF可用含x的式子表示，CF可以根据勾股定理求出，然后用x表示出BF，在Rt△ABF中，利用勾股定理，可建立关于x的方程，即可得出BF的长．【解答】解：由折叠的性质知：AD=AF，DE=EF=8-3=5；在Rt△CEF中，EF=DE=5，CE=3，由勾股定理可得：CF=4，若设AD=AF=x，则BC=x，BF=x-4；在Rt△ABF中，由勾股定理可得：82+（x-4）2=x2，解得x=10，故BF=x-4=6．5.【答题】直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边与斜边长的和是49cm，则斜边的长为______cm．【答案】25【分析】设斜边的长为xcm，则另一直角边长为（49-x）cm，再根据勾股定理求出x的值即可．【解答】解：设斜边的长为xcm，则另一直角边长为（49-x）cm，∵直角三角形的一条直角边长是7cm，∴72+（49-x）2=x2，解得x=25cm．故答案为：25．6.【答题】在直角三角形中，斜边比一条直角边长1厘米，另一条直角边长为7厘米，则这个三角形的斜边长是______厘米．【答案】25【分析】设该三角形的斜边是xcm，则其中一条直角边是（x-1）cm，根据勾股定理列方程求解．【解答】解：设该三角形的斜边是xcm．根据勾股定理，得x2=（x-1）2+49，x=25．则该三角形的斜边是25cm．7.【答题】如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为______．【答案】4.8【分析】由折叠的性质得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，求出CG、BG，根据勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，根据题意得：△ABP≌△EBP，∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，在△ODP和△OEG中，，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP，设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，∴CG=8-x，BG=8-（6-x）=2+x，根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2，即62+（8-x）2=（x+2）2，解得：x=4.8，∴AP=4.8；故答案为：4.8．8.【答题】我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是______尺．【答案】25【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．【解答】解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺，另一条直角边长5×3=15（尺），因此葛藤长为=25（尺）．故答案为：25．9.【答题】如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为______cm．【答案】20【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B==20（cm）．故答案为：20．【点评】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．10.【答题】如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m 的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为______m（容器厚度忽略不计）．【答案】1.3【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解答】解：如图：∵高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，∴A′D=0.5m，BD=1.2m，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B==1.3（m）．故答案为：1.3．11.【答题】如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为______cm．【答案】13【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：∵PA=2×（4+2）=12，QA=5∴PQ=13．故答案为：13．12.【答题】如图，圆柱底面半径为2cm，高为9πcm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为______cm．【答案】15π【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB；即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；∵圆柱底面半径为2cm，∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×2=4πcm；又∵圆柱高为9πcm，∴小长方形的一条边长是3πcm；根据勾股定理求得AC=CD=DB=5πcm；∴AC+CD+DB=15πcm；故答案为：15π．13.【题文】某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召,决定公路相距25km的A,B两站之间E点修建一个土特产加工基地,如图,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要使C、D两村到E点的距离相等,那么基地E应建在离A站多少km的地方?【答案】10【分析】设AE=x千米，则BE=（25-x）千米，再根据勾股定理得出DA2+AE2=BE2+BC2，进而可得出结论．【解答】设AE=x千米，则BE=(25-x)千米，在Rt△DAE中，DA2+AE2=DE2在Rt△EBC中，BE2+BC2=CE2∵CE=DE∴DA2+AE2=BE2+BC2∴152+x2=102+(25-x)2解得x=10答：基地应建在离A站10千米地方.14.【答题】如图，在底面周长为12、高为8的圆柱体上有A，B两点，则A，B两点之间外表面的最短距离是（）A. 10B. 8C. 5D. 4【答案】A【分析】【解答】15.【答题】如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱外表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（）A. 6B. 8C. 10D. 14【答案】C【分析】【解答】16.【答题】如图，网格纸中的小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，则△ABC是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形【答案】B【分析】【解答】17.【答题】一个三角形的三边长分别为15，20，25，则此三角形最长边上的高为（）A. 10B. 12C. 24D. 48【答案】B【分析】【解答】18.【题文】例1 如图是一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点．点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为多少？【答案】见解答【分析】本题是最短路径问题，解答此类问题要先根据题意把立体图形展开成平面图形，然后确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间线段最短，在平面图形上构造直角三角形解决问题．先将立体图形展开，再由勾股定理，根据两点之间线段最短进行解答．【解答】三级台阶的平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x dm，则由勾股定理得x2＝202+[（2+3）×3]2=252，解得x＝25．19.【题文】例2 如图，在高为3m、斜坡长为5m的楼梯表面铺地毯．（1）至少需要地毯多少米？（2）若楼梯宽2m，地毯每平方米30元，那么这块地毯需要花多少元？【答案】见解答.【分析】此题考查勾股定理的应用及平移的知识，属于基础题．（1）利用勾股定理求出AC的长度，利用平移的知识可得出地毯的长度．（2）求出所需地毯的面积，继而可得出答案．【解答】（1）如图，∠C=90°，AB=5m，BC=3m．在Rt△ABC中，AC2=AB2-BC2=16，∴AC=4m．故可得地毯的长度为AC+BC=7m．（2）7×2×30=420（元）．答：这块地毯需要花费420元．20.【答题】如图，小明将一张长为20cm、宽为15cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB=3cm，CD=4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（）A. 5cmB. 12cmC. 16cmD. 20cm 【答案】D【分析】【解答】。
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勾股定理测试题
1．如图是由边长为1米的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A →B →C 所走的路程为( )米．
A ．15
B ．10
C ．14
D ．20
2．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A ，则点A 表示的数是( )．
A ．－12
B ．－13
C ．1－ 3
D ．1－ 2
3．如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是20 cm ，宽都是50 cm ，长都是40 cm ，一只蚂蚁沿台阶从点A 出发到点B ，其爬行的最短路线的长度是( )．
A ．100 cm
B ．120 cm
C ．130 cm
D ．150 cm
4．在直线l 上依次摆着几个正方形(如图所示)，已知斜放的三个正方形的面积分别为1,2,3，正放的四个正方形的面积分别是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于( )．
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
5．已知四个三角形分别满足下列条件：
①一个内角等于另两个内角之和；
②三个内角度数之比为3：4：5；
③三边长分别为7，24，25；。