2020华师大版八年级数学下册：菱形同步练习 含答案
【文库独家】
菱形
班级：________ 姓名：________
一、选择题
1．下列命题中，真命题是（ ）
A ．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
B ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C ．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
D ．对角线相等的四边形是菱形
2．菱形的周长为12cm ，相邻两角之比为5：1，那么菱形对边间的距离是（ ） A ．6cm B ．1.5cm C ．3cm D ．0.75cm
3．在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，且E 、F 分别为BC 、CD 的中点，（如图1）则∠EAF 等于（ ）
A ．75°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
图1 图2
4．已知菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，若S 菱形ABCD =24，且AE =6，则菱形的边长为（ ） A ．12 B ．8 C ．4 D ．2 5．菱形的边长是2 cm ，一条对角线的长是23 cm ，则另一条对角线的长是（ ） A ．4cm
B ．3cm
C ．2cm
D ．23cm
二、判断正误：（对的打“√”错的打“×”） 1．两组邻边分别相等的四边形是菱形．…………………………………………………（ ） 2．一角为60°的平行四边形是菱形．…………………………………………………（ ） 3．对角线互相垂直的四边形是菱形．……………………………………………………（ ） 4．菱形的对角线互相垂直平分．…………………………………………………………（ ）
三、填空题
1．如图3，菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，若OD =
2
1
AD ，则四个内角为________．
图3 图4
2．若一条对角线平分平行四边形的一组对角，且一边长为a 时，如图4，其他三边长为________；周长为________．
3．菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O 点，若∠OBC =
2
1
∠BAC ，则菱形的四个内角的度数为____________．
4．若菱形的两条对角线的比为3：4，且周长为20cm ，则它的一组对边的距离等于__________cm ，它的面积等于________cm 2．
5．菱形ABCD 中，如图5，∠BAD =120°，AB =10cm ，则AC =________cm ，BD =________ cm ．
图5 图6
四、已知：△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，DE ∥AC 交BC 于E ，DF ∥BC 交AC 于F ．求证：四边形DECF 是菱形．
五、已知ABCD 中，如图7，BE 平分∠ABC 交AD 于E ，若CE 平分∠DCB ，且AB =2，求：ABCD 的其余边长．
图7
参考答案
一、1．B 2．B 3．B 4．C 5．C 二、1．× 2．× 3．× 4．√
三、1．60°，120°，60°，120° 2．分别为a 4a 3．60°，120°，60°，120° 4．5
24
24 5．10 103 四、证明：∵DE ∥AC ，DF ∥BC
∴四边形DECF 为平行四边形 ∠2=∠3 又∵∠1=∠2 ∴∠1=∠3 ∴DE =EC
∴DECF 为菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形） 五、解：过E 作EF ∥AB 交BC 于F
∵ABCD ，∴AD ∥BC ∴ABFE 是平行四边形 ∴EF =AB ，∠1=∠3
又∵∠2=∠1，∴∠2=∠3 ∴BF =FE ，同理：EF =FC ∴F 为BC 的中点．
又BE 、CE 为∠ABC 、∠DCF 的平分线 AB ∥CD ，∴∠EBC +∠ECB =90°
∴∠BEC =90°，∴EF =
2
1
BC =AB ∴AB =CD =2，AD =BC =2AB =4。
八年级数学下册 第19章 矩形、菱形与正方形 19.3 正方形 第2课时 正方形的判定练习 华东师大
课时作业(三十八)[19.3 第2课时正方形的判定]一、选择题1．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是链接听课例1归纳总结( )A．∠D＝90° B．AB＝CDC．AD＝BC D．BC＝CD2．四边形的两条对角线相等且互相垂直平分，则这个四边形一定是( )A．平行四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形图K－38－13．如图K－38－1，在▱ABCD中，AC⊥BD于点O，若增加一个条件，使得四边形ABCD是正方形，则下列条件中，不正确的是( )A．AC＝BD B．AB＝BCC．∠ABC＝90° D．AO＝BO4．在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，能判定这个四边形是正方形的是( )链接听课例1归纳总结A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDB．AB∥CD，AC＝BDC．AO＝BO，∠A＝∠CD．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC5．xx·舟山一张矩形纸片ABCD，已知AB＝3，AD＝2，小明按图K－38－2中步骤折叠纸片，则线段DG的长为( )图K－38－2A. 2 B．2 2 C．1 D．2图K－38－36．如图K－38－3，正方形ABCD的边长为8，在各边上依次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是( )A．30 B．34C．36 D．40二、填空题图K－38－47．如图K－38－4所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是____________．链接听课例1归纳总结8．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件：____________________，使其成为正方形．(只填其中一个即可)9．如图K－38－5，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E，F分别在AC，BC边上运动(点E不与点A，C重合)，且保持AE＝CF，连结DE，DF，EF.在此运动变化的过程中，有下列结论：图K－38－5①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF可能为正方形；③四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化．其中正确的结论是________(填写序号)．三、解答题10．如图K－38－6，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：四边形CFDE是正方形．图K－38－611.如图K－38－7，四边形ABCD为矩形，E是BC延长线上一点，AE交CD于点G，F是AE上一点，并且AC＝CF＝EF，∠AEB＝15°.(1)求∠ACF的度数；(2)求证：矩形ABCD为正方形．图K－38－712．如图K－38－8，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE 是等边三角形．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．图K－38－813．如图K－38－9，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，O为AB的中点，连结DO 并延长到点E，使OE＝OD，连结AE，BE.(1)求证：四边形AEBD是矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？请说明理由．图K－38－9问题背景：如图K－38－10①，在正方形ABCD的内部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．类比探究：如图K－38－10②，在正三角形ABC的内部，作∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点(D，E，F三点不重合)．(1)△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果全等，请选择其中一对进行证明；(2)△DEF是不是正三角形？请说明理由；(3)进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系．设BD＝a，AD＝b，AB＝c，请探索a，b，c满足的等量关系.链接听课例2归纳总结图K－38－10详解详析【课时作业】[课堂达标]1．[解析] D由∠A＝∠B＝∠C＝90°知，四边形ABCD是矩形，只需要邻边相等就可以推出该四边形是正方形．2．[答案] D3．[解析] B A项，∵在▱ABCD中，AC⊥BD于点O，∴四边形ABCD是菱形，当AC＝BD时，菱形ABCD就是正方形，故此选项不符合题意；B项，∵在▱ABCD中，AC⊥BD于点O，∴四边形ABCD 是菱形，当AB＝BC时，无法得出菱形ABCD是正方形，故此选项符合题意；C项，∵在▱ABCD中，AC⊥BD于点O，∴四边形ABCD是菱形，当∠ABC＝90°时，菱形ABCD就是正方形，故此选项不符合题意；D项，∵在▱ABCD中，AC⊥BD于点O，∴四边形ABCD是菱形，当AO＝BO时，则AO＝BO＝CO＝DO，故菱形ABCD就是正方形，故此选项不符合题意．故选B.4．[解析] A A项，能，因为对角线相等且互相垂直平分；B项，不能，只能判定为等腰梯形；C项，不能，不能判定为特殊的四边形；D项，不能，只能判定为菱形．故选A.5．[答案] A6．[解析] B∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG.在△AEH，△BFE，△CGF和△DHG中，∵AE＝BF＝CG＝DH，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，AH＝BE＝CF＝DG，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，∴EH＝FE＝GF＝HG，∠AEH＝∠BFE，∴四边形EFGH是菱形．∵∠BEF＋∠BFE＝90°，∴∠BEF＋∠AEH＝90°，∴∠HEF＝90°，∴四边形EFGH是正方形．∵AB＝BC＝CD＝DA＝8，AE＝BF＝CG＝DH＝5，∴EH＝FE＝GF＝HG＝52＋32＝34，∴四边形EFGH的面积是(34)2＝34.故选B.7．[答案] 答案不唯一，如AC＝BD或∠ABC＝90°等[解析] 由题意可得四边形ABCD是菱形，因此只需增加一个条件使菱形ABCD成为正方形即可，所以可使其对角线相等，即增加条件AC＝BD，或增加一个角为直角，即增加条件∠ABC＝90°等．[点评] 本题是一道条件开放题，在添加条件时，要结合图形挖掘隐含的条件．8．[答案] 答案不唯一，如AC⊥BD或AB＝BC或BC＝CD或CD＝AD或AD＝AB[解析] 根据对角线互相垂直的矩形是正方形或一组邻边相等的矩形是正方形来添加条件．所以可以添加的条件是AC⊥BD或AB＝BC或BC＝CD或CD＝AD或AD＝AB.9．[答案] ①②③[解析] 连结CD.因为D 是等腰直角三角形ABC 底边的中点，所以∠DCF ＝45°＝∠A ，CD ＝AD.又因为CF ＝AE ，所以△CDF ≌△ADE ，所以DF ＝DE ，∠CDF ＝∠ADE.因为∠ADE ＋∠CDE ＝90°，所以∠CDF ＋∠CDE ＝90°，即∠EDF ＝90°，①正确；当E ，F 分别为AC ，BC 的中点时，四边形CEDF 为正方形，②正确；因为△CDF ≌△ADE ，所以四边形CEDF 的面积等于△ACD 的面积＝△ABC 面积的一半，③正确．10．证明：∵∠ACB ＝90°，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ， ∴四边形CFDE 是矩形．又∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ， ∴DE ＝DF.∴四边形CFDE 是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)． 11．解：(1)∵CF ＝EF ，∴∠FCE ＝∠AEB ＝15°， ∴∠AFC ＝∠FCE ＋∠AEB ＝30°. ∵AC ＝CF ，∴∠FAC ＝∠AFC ＝30°， ∴∠ACF ＝180°－∠FAC －∠AFC ＝120°. (2)证明：∵四边形ABCD 为矩形， ∴AD ∥BC ，∠D ＝90°， ∴∠DAG ＝∠AEB ＝15°. 由(1)知∠FAC ＝30°，∴∠DAC ＝∠DAG ＋∠FAC ＝45°.∵∠D ＝90°，∴∠ACD ＝∠DAC ＝45°， ∴AD ＝CD ，∴矩形ABCD 为正方形．12．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO ＝CO.又∵△ACE 是等边三角形， ∴EO ⊥AC ，即DB ⊥AC ，∴ 平行四边形ABCD 是菱形． (2)∵△ACE 是等边三角形， ∴∠AEC ＝60°. ∵EO ⊥AC ，∴∠AEO ＝12∠AEC ＝30°.∵∠AED ＝2∠EAD ， ∴∠EAD ＝15°，∴∠ADO ＝∠EAD ＋∠AED ＝45°. ∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ADC ＝2∠ADO ＝90°， ∴ 四边形ABCD 是正方形．13．解：(1)证明：由已知得OA ＝OB ，OE ＝OD ， ∴四边形AEBD 是平行四边形．∵AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线， ∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∴▱AEBD是矩形．(2)当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形．理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD＝BD＝CD.由(1)知四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．[素养提升][解析] (1)已知有一组对应边相等，由旋转可得一组对应角相等，证明另一组对应角相等即可．(2)由(1)中全等可得△DEF三个外角对应相等，从而可得三个内角对应相等．(3)由(2)知∠ADB＝120°，根据特殊角构造直角三角形，作AG⊥BD，利用勾股定理即可求解．解：(1)△ABD≌△BCE≌△CAF.选择证明△ABD≌△BCE如下：∵△ABC是正三角形，∴∠CAB＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC.∵∠ABD＝∠ABC－∠CBE，∠BCE＝∠ACB－∠ACF，而∠CBE＝∠ACF，∴∠ABD＝∠BCE.又∵∠BAD＝∠CBE，∴△ABD≌△BCE.(2)△DEF是正三角形．理由：∵△ABD≌△BCE≌△CAF，∴∠ADB＝∠BEC＝∠CFA，∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD，∴△DEF是正三角形．(3)过点A作AG⊥BD，交BD的延长线于点G.由△DEF是正三角形得到∠ADG＝60°，∴在Rt△ABG中，c2＝(a＋12b)2＋(32b)2，∴c2＝a2＋ab＋b2.（本资料素材和资料部分来自网络，供参考。
2020-2021学年八年级数学华东师大版下册习题课件 19.2 菱形 19.2.1. 菱形的性
5．(3分)(河北中考)如图所示，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝
(D ) A．30° B．25° C．20° D．15°
6．(8分)(衢州中考)已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC， CD上，且BE＝DF，连结AE，AF.求证：AE＝AF.
证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D， ∵BE＝DF， ∴△ABE≌△ADF(SAS)， ∴AE＝AF
解：由题意得 AB＝8÷4＝2， ∵∠BAD 与∠ADC 的度数的比为 1∶2， ∴∠BAD＝1＋1 2 ×180°＝60°， ∴△ABD 是等边三角形，∴BD＝AB＝2， ∴OB＝12 ×2＝1.在 Rt△ABO 中，AO＝ AB2－OB2 ＝ 22－12 ＝ 3 ，
∴AC＝2AO＝2 3 ，∴菱形的面积为12 AC·BD＝12 ×2 3 ×2＝2 3
10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角 线AC于点F，垂足为点E，连结DF，则∠CDF等于( B )
A．50° B．60° C．70° D．80°
11．(枣庄中考)如图，O 是坐标原点，菱形 OABC 的顶点 A 的坐标为 (－3，4)，顶点 C 在 x 轴的负半轴上，函数 y＝kx (x＜0)的图象经过顶点 B， 则 k 的值为( C )
15．(12分)如图，等腰三角形CEF的两腰CE，CF的长与菱形ABCD 的边长相等．
(1)求证：△BEC≌△DFC； (2)当△ECF是等边三角形时，求∠B的度数．
解 ： (1) 证 明 ： ∵ 四 边 形 ABCD 是 菱 形 ， ∴ CB ＝ CD ， 且 ∠ B ＝ ∠D.∵△CEF是等腰三角形，∴CE＝CF.∵CE＝CB，CF＝CD，∴∠B＝ ∠CEB，∠D＝∠CFD，∴∠CEB＝∠CFD，∴△BEC≌△DFC(AAS)
华东师大版八年级数学下册19.菱形的判定课件
B
C
方法二(判定定理1):四条边都相等的四边形是菱形.
几何语言：∵ AB=BC=CD=DA, ∴ 四边形ABCD是菱形.
方法三(判定定理2):对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形, AC⊥BD, ∴ 四边形ABCD是菱形.
D
C
O
A
B
随堂练习
1.判断下列说法是否正确：
有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形.
对角线互相垂直,且一条对角线平分一组对角的四边形是 菱形.
对角线相等且互相平分的四边形是菱形. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
矩形
2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，要使它成为
菱形，那么需要添加的条件可以是（A ）.
几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形, AC⊥BD, ∴ 四边形ABCD是菱形.
例题精析
例1 如图,□ABCD的对角线AC与BD相交于点O: 若AB=AD，则□ABCD是 菱形； 若AC=BD，则□ABCD是 矩形； 若∠ABC是直角，则□ABCD是 矩形; 若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 菱形; 若AC⊥BD，则□ABCD是____菱_形.
∴ 四边形ABCD是菱形.
A
D
B
C
方法二(判定定理1):四条边都相等的四边形是菱形.
几何语言：∵ AB=BC=CD=DA,
∴ 四边形ABCD是菱形.
巩固练习
1.如图,要使□ ABCD成为菱形,需添加一个条件是( A ).
A. AB＝BC
B．AC＝BD
C. ∠ABC＝90°
2022年华东师大版八年级数学下册第十九章矩形、菱形与正方形综合练习练习题(精选含解析)
八年级数学下册第十九章矩形、菱形与正方形综合练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，矩形ABCD 的面积为1cm 2，对角线交于点O ；以AB 、AO 为邻边作平行四边形AOC 1B ，对角线交于点O 1；以AB 、AO 1为邻边作平行四边形AO 1C 2B ，…；依此类推，则平行四边形AO 2014C 2015B 的面积为（ ）cmA ．201312 B ．201412 C ．201512 D ．2016122、小明想判断家里的门框是否为矩形，他应该（ ）A ．测量三个角是否都是直角B ．测量对角线是否互相平分C ．测量两组对边是否分别相等D ．测量一组对角是否是直角3、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，对角线AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥AC 交BC 于点E ，EF ⊥BD 于点F ，则OE ＋EF 的值为（ ）A B ．2 C ．52 D ．4、如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接EB ，EC ，DB ，添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是（ ）A ．AB =BE B ．DE ⊥DC C ．∠ADB =90°D ．CE ⊥DE5ABCD 中，点E 是对角线AC 上一点，且EF AB ⊥于点F ，连接DE ，当22.5ADE ∠=︒时，EF =（ ）A ．1B ．2C 1D ．146、如图，点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点，把△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置，若四边形AECF 的面积为144．AE ＝13．则DE 的长为（ ）A ．BC ．4D ．57、如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PE BC ⊥于点E ．PF AB ⊥于点F ．若菱形ABCD 的周长为24，面积为24，则PE PF +的值为（ ）A ．4B ．245C ．6D ．4858、如图所示，四边形ABCD 是矩形，过点D 作对角线BD 的垂线，交BC 的延长线于点E ，取BE 的中点F ，连接DF ，DF ＝5，设AB ＝x ，AD ＝y ，则x 2+（y ﹣5）2的值为（ ）A ．10B ．25C ．50D ．759、如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°后，得到正方形AB ′C ′D ′，边B 'C ′与DC 交于点O ，则∠DOB '的度数为（ ）A ．125°B ．130°C ．135°D ．140°10、如图，把一张长方形纸片ABCD 沿AF 折叠，使B 点落在B '处，若20ADB ∠=︒，要使AB BD '∥，则BAF ∠的度数应为（ ）A．20°B．55°C．45°D．60°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）1、（1）两组对边分别______，菱形的四条边都______．几何语言：∵四边形ABCD是菱形∴AB∥CD，AD∥BCAB＝CD＝AD＝BC（2）菱形的两组对角______，邻角______几何语言：∵四边形ABCD是菱形∴∠BAD＝∠BCD，∠CBA＝∠ADC∠BAD＋∠ADC＝180°∠BCD＋∠CBA＝180°∠BAD＋∠CBA＝180°∠BCD＋∠ADC＝180°（3）菱形的对角线互相______，并且每一条对角线______一组对角．几何语言：∵四边形ABCD 是菱形∴AC ⊥BD ， AC 平分∠BAD ，∠BCD ， BD 平分∠ABC ，∠ADC（4）菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有______条对称轴，其对称轴为两条对角线所在直线，对称中心为其______的交点．2、一个长方形的周长是22cm ，若这个长方形的长减少2cm ，宽增加3cm ，就可以成为一个正方形，则长方形的长是______cm ．3、如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，已知120AOD ∠=︒， 2.5cm AB =，则矩形对角线BD 的长为_______cm ．4、如图，矩形ABCD 的两条对角线AC ，BD 交于点O ，∠AOB ＝60°，AB ＝3，则矩形的周长为 _____．5、如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AB =1BC =，P 是线段AB 边上的动点（不与点A ，B 重合），将BCP 沿CP 所在直线翻折，得到B CP '△，连接B A '，当B A '取最小值时，则AP 的值为________．6、如图，正方形ABCD 中，E 为CD 上一动点（不含C 、)D ，连接AE 交BD 于F ，过F 作FH AE ⊥交BC 于H ，过H 作HG BD ⊥于G ，连接AH ，EH ．下列结论：①AF FH =；②45HAE ∠=︒；③FH 平分GHC ∠；④2BD FG =，正确的是__（填序号）．7、在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，其所对的对角线长为2，则菱形ABCD 的面积是__．8、如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AD =60COB ∠=︒，BF AC ⊥，交AC 于点M ，交CD 于点F ，延长FO 交AB 于点E ，则下列结论：①FO FC =；②四边形EBFD 是菱形；③OBE CBF △△≌；④3MB =．其中结论正确的序号是______．9、如图在正方形ABCD 中，∠EAF 的两边分别交CB 、DC 延长线于E 、F 点且∠EAF ＝45°，如果BE ＝1，DF ＝7，则EF ＝__．10、如图，菱形ABCD 的周长为40，面积为80，P 是对角线BC 上一点，分别作P 点到直线AB ．AD 的垂线段PE ．PF ，则PE PF +等于______．三、解答题（5小题，每小题6分，共计30分）1、数学兴趣小组的同学发现：一些复杂的图形运动是由若干个图形基本运动组合形成的，如一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，这样的一种图形运动，大家讨论后把它称为图形的“翻移运动”，这条直线则称为（这次运动的）“翻移线”如图1，222A B C ∆就是由ABC ∆沿直线1翻移后得到的．（先翻折，然后再平移）(1)在学习中，兴趣小组的同学就“翻移运动”对应点（指图1中的A 与2A ，B 与2B …）连线是否被翻移线平分发生了争议．对此你认为如何？（直接写出你的判断）(2)如图2，在长方形ABCD 中，8BC =，点,E F 分别是边,BC AD 中点，点G 在边CD 延长线上，联结,AE FG ，如果GDF ∆是ABE ∆经过“翻移运动”得到的三角形．请在图中画出上述“翻移运动”的“翻移线”直线a ；联结AG ，线段AG 和直线a 交于点O ，若OGF ∆的面积为3，求此长方形的边长AB 的长．(3)如图3，M 是（2）中的长方形边BC 上一点，如果1BM =，ABM ∆先按（2）的“翻移线”直线a 翻折，然后再平移2个单位，得到111A B M ∆，联结线段11AA MM 、，分别和“翻移线”a 交于点K 和点H ，求四边形AKHM 的面积．2、如图，ABC 和DBC △中，90ACB DBC ∠=∠=︒，E 是BC 的中点，且ED AB ⊥于点F ，且AB DE =，CD 交AB 于点M ．(1)求证：2BD EC =；(2)求ACM △与BCM 的面积之比．3、如图，已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，延长AB 至点E ，使BE =AB ，连接CE ．(1)求证：BD=EC．(2)若∠E=57°，求∠BAO的大小．4、下面是小明设计的“作菱形ABCD”的尺规作图过程．求作：菱形ABCD．作法：①作线段AC；②作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；③在直线l上取点B，以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线l于点D（点B与点D不重合）；④连接AB、BC、CD、DA．所以四边形ABCD为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．=，证明：OA OC=，OB OD∴．，∴四边形ABCD为菱形()（填推理的依据）．5、如图，已知在ABC 中，90A ∠=︒，求作正方形ADEF ，使得D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 上．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据“同底等高”的原则可知平行四边形AOC 1B 底边AB 上的高等于BC 的12，则有平行四边形AOC 1B 的面积12，平行四边形AOC 2B 的边AB 上的高等于平行四边形AOC 1B 底边AB 上的高的12，则有平行四边形ABC 3O 2的面积212，…；由此规律可进行求解． 【详解】解：∵O 1为矩形ABCD 的对角线的交点，∴平行四边形AOC 1B 底边AB 上的高等于BC 的12，∴平行四边形AOC 1B 的面积=12×1=12，∵平行四边形AO 1C 2B 的对角线交于点O 2，∴平行四边形AOC 2B 的边AB 上的高等于平行四边形AOC 1B 底边AB 上的高的12，∴平行四边形ABC 3O 2的面积=12×12×1=212， …，依此类推，平行四边形ABC 2014O 2015的面积=201512cm 2．故答案为：C ．【点睛】本题主要考查矩形的性质与平行四边形的性质，熟练掌握矩形的性质与平行四边形的性质是解题的关键．2、A【解析】【分析】根据矩形的判定方法解题．【详解】解：A 、三个角都是直角的四边形是矩形，∴选项A 符合题意； B 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴选项B 不符合题意，C 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴选项C 不符合题意；D 、一组对角是直角的四边形不是矩形，∴选项D 不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查矩形的判定方法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．3、A【解析】【分析】依据矩形的性质即可得到BOC ∆的面积为2，再根据BOC COE BOE S S S∆=+，即可得到OE EF +的值． 【详解】解：2AB =，4BC =，∴矩形ABCD 的面积为8，AC =12BO CO AC ∴==对角线AC ，BD 交于点O ，BOC ∴∆的面积为2，EF OB ⊥，EO AC ⊥，BOC COE BOE S S S ∆∴=+，即11222CO EO OB EF =⨯+⨯，12)2EO EF ∴=+，)4EO EF +=，∴+EO EF故选：A．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等且互相平分．4、B【解析】【分析】先证明四边形BCED为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，又∵AD=DE，∴DE∥BC，且DE=BC，∴四边形BCED为平行四边形，A、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴□DBCE为矩形，故本选项不符合题意；B、∵DE⊥DC，∴∠EDB=90°+∠CDB＞90°，∴四边形DBCE不能为矩形，故本选项符合题意；C、∵∠ADB=90°，∴∠EDB =90°，∴□DBCE 为矩形，故本选项不符合题意；D 、∵CE ⊥DE ，∴∠CED =90°，∴□DBCE 为矩形，故本选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识，判定四边形BCED 为平行四边形是解题的关键．5、C【解析】【分析】证明67.5CDE CED ∠=∠=︒，则CD CE =AC 的长，得2AE =，证明AFE ∆是等腰直角三角形，可得EF 的长．【详解】 解：四边形ABCD 是正方形，AB CD BC ∴==90B ADC ∠=∠=︒，45BAC CAD ∠=∠=︒， 22AC AB ，22.5ADE ∠=︒，9022.567.5CDE ∴∠=︒-︒=︒，4522.567.5CED CAD ADE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，CDE CED ∴∠=∠，CD CE ∴==2AE ∴=EF AB ⊥，90AFE ∴∠=︒，AFE ∴∆是等腰直角三角形，1EF ∴，故选：C ．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是在正方形中学会利用等腰直角三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．6、D【解析】【分析】由旋转性质得△ABF ≌△ADE ，再根据全等三角形的性质得到S 正方形ABCD =S 四边形AECF =144进而求得AD =12，再利用勾股定理求解DE 即可．【详解】解：∵△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABF ，∴△ABF ≌△ADE ，∴S △ABF =S △ADE ，∴S 正方形ABCD =S 四边形AECF =144，∴AD =12，在Rt△ADE 中，AE =13，AD =12，由勾股定理得：DE ，【点睛】本题考查旋转性质、全等三角形的性质、正方形的面积公式、勾股定理，熟练掌握旋转性质，得出S 正方形ABCD =S 四边形AECF 是解答的关键．7、A【解析】【分析】连接BP ，通过菱形ABCD 的周长为24，求出边长，菱形面积为24，求出ABC S的面积，然后利用面积法，=+ABC ABP CBP S S S ，即可求出PE PF +的值．【详解】解：如图所示，连接BP ，∵菱形ABCD 的周长为24，∴2446AB BC ==÷=，又∵菱形ABCD 的面积为24，∴24212=÷=ABCS ， ∴12=+=ABC ABP CBP SS S ， ∴111222⋅+⋅=AB PF BC PE ，∴()1122⋅+=AB PE PF ，∵6AB =，∴4PE PF +=，故选：A ．【点睛】本题主要考查菱形的性质，解题关键在于添加辅助线，通过面积法得出等量关系．8、B【解析】【分析】根据题意知点F 是Rt△BDE 的斜边上的中点，因此可知DF =BF =EF =5，根据矩形的性质可知AB =DC =x ，BC =AD =y ，因此在Rt△CDF 中，CD 2+CF 2=DF 2，即可得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，AB =x ，AD =y ，∴CD =AB =x ，BC =AD =y ，∠BCD =90°，又∵BD ⊥DE ，点F 是BE 的中点，DF =5，∴BF =DF =EF =5，∴CF =5-BC =5-y ，∴在Rt△DCF 中，DC 2+CF 2=DF 2，即x 2+（5-y ）2=52=25，∴x 2+（y -5）2=x 2+（5-y ）2=25，故选：B ．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半、矩形的性质、勾股定理，做题的关键是利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出BF 的长度．9、C【解析】【分析】连接B ′C ，根据题意得B ′在对角线AC 上，得∠B 'CO =45°，由旋转的性质证出∠OB 'C 是直角，得=45B CO '∠︒，即可得出答案．【详解】解：连接B ′C ，如图所示，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC 平分∠BAD ，∵旋转角∠BAB ′=45°，∠BAC =45°，∴B ′在对角线AC 上，∴∠B 'CO =45°，由旋转的性质得：90AB C B ''∠=∠=︒，AB '=AB =1，∴45B OC '∠=︒∴18045135DOB '∠=︒-︒=︒故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转的性质是解题的关键．10、B【解析】【分析】设直线AF 与BD 的交点为G ，由题意易得90DAB ∠=︒，则有70ABD ∠=︒，由折叠的性质可知BAF B AF '∠=∠，由平行线的性质可得B AF BGA '∠=∠，然后可得BAF BGA ∠=∠，进而问题可求解．【详解】解：设直线AF 与BD 的交点为G ，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴90DAB ∠=︒，∵20ADB ∠=︒，∴70ABD ∠=︒，由折叠的性质可知BAF B AF '∠=∠，∵AB BD '∥，∴B AF BGA '∠=∠，∴BAF BGA ∠=∠， ∴180552ABG BAF ︒-∠∠==︒； 故选B ．【点睛】本题主要考查折叠的性质及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键．二、填空题1、 平行 相等 相等 互补 垂直 平分 两 对角线【解析】略2、8【解析】【分析】设这个长方形的长为xcm ，则长方形的宽为()11x -cm ，由题意得长2-=宽+3．进而得到方程2113x x -=-+，解方程即可得到答案．【详解】解：设这个长方形的长为x cm ，由题意得：2113x x -=-+，216,x ∴=解得：8,x =答：这个长方形的长为8.cm故答案为：8【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，抓住关键语句，表示出正方形的边长，进而利用正方形边长相等得到方程．3、5【解析】【分析】由矩形的性质可证△AOB为等边三角形，可求BO=AB的长，即可求BD的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=CO=BO=DO，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，且AO=BO，∴△ABO为等边三角形，∴AO=BO=AB=2.5，∴BD=5，故答案为：5．【点睛】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是本题的关键，①矩形的对边平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等且互相平分．4、663##6【解析】【分析】根据矩形性质得出AD＝BC，AB＝CD，∠BAD＝90°，OA＝OC＝12AC，BO＝OD＝12BD，AC＝BD，推出OA＝OB＝OC＝OD，得出等边三角形AOB，求出BD，根据勾股定理求出AD即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，OA＝OC＝12AC，BO＝OD＝12BD，AC＝BD，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵∠AOB ＝60°，OB ＝OA ，∴△AOB 是等边三角形，∵AB ＝3，∴OA ＝OB ＝AB ＝3，∴BD ＝2OB ＝6，在Rt △BAD 中，AB ＝3，BD ＝6，由勾股定理得：AD ＝∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝∴矩形ABCD 的周长是AB +BC +CD +AD ＝故答案为：【点睛】本题考查了矩形性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，关键是求出AD 的长．5【解析】【分析】根据翻转变换的性质可知BC ＝C B '＝1，当A 、B '、C 三点在一条直线上时，A B '有最小值，根据题意作图，过P 点作PH ⊥BC ，PQ ⊥AC ，得到四边形PQCH 是正方形，利用面积法求出PQ 的长，再根据勾股定理求出AP 的长．【详解】解：∵在ABC 中，90ACB ∠=︒，AB =1BC =∴AC2=由翻转变换的性质可知：BC＝C B'＝1，故当A、B'、C三点在一条直线上时，A B'有最小值，过P点作PH⊥BC，PQ⊥AC，∴∠ACB=∠PHC=∠PQC=90°∴四边形PQCH是矩形∵翻转∴△BCP≌△B'CP∴PH=PQ∴四边形PQCH是正方形设PQ=x，则PH=x∵S△ABC=S△APC+S△PBC∴111222BC AC BC PH PQ AC ⨯=⨯+⨯即1111212 222x x⨯⨯=⨯⨯+⨯解得x=2 3∴AQ=2-23=43∴AP【点睛】本题主要考查的是翻转变换的性质、线段的性质，根据题意找到B '的位置是解题的关键．6、①②④【解析】【分析】连接FC ，延长HF 交AD 于点L ．可证ADF CDF ∆∆≌，进而可得FHC FCH ∠=∠，由此可得出FH AF =；再由FH AF =，即可得出45HAE ∠=︒；连接AC 交BD 于点O ，则2BD OA =，证明AOF FGH ≌，即可得出OA GF =，进而可得2BD FG =；过点F 作MN BC ⊥于点N ，交AD 于点M ，由于F 是动点，FN 的长度不确定，而FG OA =是定值，即可得出FH 不一定平分GHC ∠．【详解】解：如图，连接FC ，延长HF 交AD 于点L ．∵BD 为正方形ABCD 的对角线∴45ADB CDF ∠=∠=︒，AD CD =在ADF 和CDF 中45AD CD ADB CDF DF DF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()ADF CDF SAS ∆∆≌∴AF FC =，DCF DAF ∠=∠∵90AFL ∠=︒，90ALH LAF ∠+∠=︒ ，ALH FHC ∠=∠∴90LHC DAF ∠+∠=︒∵DCF DAF ∠=∠，90FCD FCH ∠+∠=︒∴FHC FCH ∠=∠∴FH FC =∴AF FH =故①正确；∵90AFH ∠=︒，AF FH =∴AFH 是等腰直角三角形∴45HAE ∠=︒故②正确；连接AC 交BD 于点O ，则2BD OA =∵90AFO GFH GHF GFH ∠+∠=∠+∠=︒∴AFO GHF ∠=∠在AOF 和FGH 中90AFO GHF AOF FGH AF FH ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()AOF FGH AAS ∆∆≌∴OA GF =∴22BD OA GF ==故④正确．过点F 作MN BC ⊥于点N ，交AD 于点M ，F 是动点∵FN 的长度不确定，而FG OA =是定值∴FN 不一定等于FGFH ∴不一定平分GHC ∠故③错误；故答案为：①②④．【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，角平分线性质和判定，等腰三角形的性质与判定等，熟练掌握全等三角形判定和性质，合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键．7、【解析】【分析】根据菱形的性质证得△ABD 是等边三角形，得到OB ，利用勾股定理求出OA ，由菱形的性质求出菱形的面积．【详解】解：如图所示：在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，其所对的对角线长为2，AD AB ∴=，AC BD ⊥，BO DO =，AO CO =，ABD ∴∆是等边三角形，则2AB AD ==，故1BO DO ==，则AO =AC =则菱形ABCD 的面积122=⨯⨯故答案为：【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得出菱形的另一条对角线的长是解题关键．8、①②③④【解析】【分析】由矩形的性质及垂直平分线的判定和性质可证明①；根据全等三角形的判定和性质及菱形的判定和性质可证明②；由菱形的性质及全等三角形的判定可证明③；根据矩形的性质，含30︒角的直角三角形的性质，勾股定理可证明④．【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴AC BD =，∴OA OC OD OB ===，∵60COB ∠=︒，∴OBC 为等边三角形，∴OB BC OC ==，60OBC ∠=︒，∵BF AC ⊥，∴OM MC =，∴FM 是OC 的垂直平分线，∴FO FC =，故①正确；∵AB CD ∥，∴DFE BEF ∠=∠，在DOF 与BOE 中，DOF BOE DFE BEF OD OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴DOF BOE ≅，∴DF BE =，∵AB CD ∥，∴四边形EBFD 为平行四边形，由①得OBC 为等边三角形，∴60OBC OCB ∠=∠=︒，∴30ACD BCD OCB ∠=∠-∠=︒，∵OD OC =，∴30ACD BDC ∠=∠=︒，∵BF AC ⊥，OBC 为等边三角形，∴30DBE ∠=︒，∴DBF BDC ∠=∠∴DF BF =，∴四边形EBFD 为菱形，②正确；由②可得：OB EF ⊥，∴90BOE BCF ∠=∠=︒，∵AB CD ∥，∴30EBO BDC ∠=∠=︒，∴30EBO FBC ∠=∠=︒，在OBE 与CBF 中，EBO FBC BO BCBOE BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴OBE CBF ≅，③正确；∵四边形ABCD 为矩形，∴BC AD ==∵BF AC ⊥，30FBC ∠=︒，∴12CM BC ==∴3MB ==，④正确，∴正确结论为：①②③④，故答案为：①②③④．【点睛】题目主要考查矩形的性质，菱形的判定定理，全等三角形的判定和性质，含30︒角的直角三角形的性质，勾股定理等，理解题意，综合运用这些性质是解题关键．9、6【解析】【分析】根据题意把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°到AD ，交CD 于点G ，证明△AEF ≌△AGF 即可求得EF ＝DF ﹣BE ＝7﹣1＝6．【详解】解：如图，把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°到DA ，交CD 于点G ，由旋转的性质可知，AG ＝AE ，DG ＝BE ，∠DAG ＝∠BAE ，∵∠EAF ＝45°，∴∠DAG +∠BAF ＝45°，又∵∠BAD ＝90°，∴∠GAF ＝45°，在△AEF 和△AGF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEF ≌△AGF （SAS ）∴EF ＝GF ，∵BE＝1，DF＝7，∴EF＝GF＝DF﹣DG＝DF﹣BE＝7﹣1＝6.故答案为：6．【点睛】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，构造全等三角形是解题的关键，注意旋转性质的应用．10、8【解析】【分析】直接利用菱形的性质得出AB=AD=10，S△ABD=12.5，进而利用三角形面积求法得出答案．【详解】解：∵菱形ABCD的周长为40，面积为80，∴AB=AD=10，S△ABD=40，∵分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，∴12×AB×PE+12×PF×AD=40，∴12×10（PE+PF）=40，∴PE+PF=8．故答案为：8．【点睛】此题主要考查了菱形的性质，正确得出12×AB×PE+12×PF×AD=S△ABD是解题关键．三、解答题1、 (1)“翻移运动”对应点（指图1中的A 与2A ，B 与2)B ⋯连线被翻移线平分(2)3(3)11或10【解析】【分析】（1）画出图形，即可得出结论；（2）作直线EF ，即为“翻移线”直线a ，再由“翻移运动”的性质和三角形面积关系求解即可；（3）分两种情况：①ABM ∆先按（2）的“翻移线”直线a 翻折，然后再向上平移2个单位，②ABM ∆先按（2）的“翻移线”直线a 翻折，然后再向下平移2个单位，由“翻移运动”的性质、梯形面积公式和三角形面积公式分别求解即可．(1)解：如图1，连接2AA ，2BB ⋯，则“翻移运动”对应点（指图1中的A 与2A ，B 与2)B ⋯连线被翻移线平分；(2)解：作直线EF ，即为“翻移线”直线a ，如图2所示：四边形ABCD 是长方形，AB CD ∴=，8AD BC ==，由“翻移运动”的性质得：AB DC GD ==，142AF DF AD ===，O 是AG 的中点，3AOF OGF S S ∆∆∴==， ΔΔ26AFG OGF S S ∴==，AF DF =，ΔΔ6GDF AFG S S ∴==，Δ114622GDF S DG DF DG ∴=⨯=⨯⨯=， 3DG ∴=，3AB ∴=；(3)解：分两种情况：①ABM ∆先按（2）的“翻移线”直线a 翻折，然后再向上平移2个单位，如图3所示：设ABE ∆翻折后的三角形为DCP ∆，连接1PM ，则1112A D B C M P ===，同（2）得：1112KF A D ==，1112HE M P ==，4BE =，1BM =，3ME BE BM ∴=-=，∴四边形AKHM 的面积=梯形ABEK 的面积ABM -∆的面积HME -∆的面积111(331)4313111222=⨯++⨯-⨯⨯-⨯⨯=； ②ABM ∆先按（2）的“翻移线”直线a 翻折，然后再向下平移2个单位，如图4所示：设ABE ∆翻折后的三角形为DCP ∆，连接1PM ，则1112A D B C M P ===，同（2）得：1112KF A D ==，1112HE M P ==，4BE =，1BM =，3ME BE BM ∴=-=，∴四边形AKHM 的面积=梯形AFEM 的面积AFK -∆的面积HME +∆的面积111(34)3413110222=⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=； 综上所述，四边形AKHM 的面积为11或10．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了长方形的性质、“翻移运动”的性质、梯形面积公式、三角形面积公式等知识，本题综合性强，解题的关键是熟练掌握“翻移运动”的性质和长方形的性质．2、 (1)见解析 (2)12【解析】【分析】（1）易证DEB A ∠=∠，即可证明ACB EBD ∆≅∆，得出BC BD =，根据点E 是BC 的中点即可解题；（2）过点M 作,BC AC 的垂线，交于点,P Q ，证四边形PMQC 为矩形，再证得四边形PMQC 为正方形，得出MP MQ =，根据ACM BCM S AC S BC=． (1)解：证明：90DEB ABC ∠+∠=︒，90A ABC ∠+∠=︒，DEB A ∴∠=∠， 在ACB ∆和EBD ∆中，ACB DBE A DEB AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AAS；∴∆≅∆，()ACB EBD∴=，BC BD点E是BC的中点，∴=，2EC BC∴=；2BD EC(2)BC AC的垂线，交于点,P Q，解：过点M作,∴∠=︒，MP QC MQ PC MPC//,//,90∴四边形PMQC为矩形，=∠=︒，BC BD DBC,90∴△为等腰直角三角形，BCD∴∠=︒，MCP45∴为等腰直角三角形，CPM∴=，CP MP∴四边形PMQC为正方形，∴=，MP MQ11,22ACM BCM SAC MQ S BC MQ =⋅=⋅， ACMBCM S AC S BC ∴=， 12AC BC =， 12ACMBCMSS ∴=． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形，正方形的判定及性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定及性质，同时利用等量代换的思想进行求解．3、 (1)见解析(2)33°【解析】【分析】（1）由菱形的性质可得AB =CD =BE ，AB //CD ，可证四边形BECD 是平行四边形，可得BD =EC ；（2）由平行四边形的性质可得BD //CE ，可得∠ABO =∠E =57°，菱形的性质可求∠BAO 的大小．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =CD ，AB //CD又∵BE =AB ，∴BE =CD ，BE //CD ，∴四边形BECD 是平行四边形∴BD =EC(2)∵四边形BECD是平行四边形，∴BD//CE，∴∠ABO=∠E=57°又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB=90°∴∠BAO+∠ABO=90°∴∠BAO=90°-∠ABO=33°【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．，对角线互相垂直的平行四边形为菱形4、（1）见解析；（2）四边形ABCD为平行四边形，BD AC【解析】【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）先证明四边形ABCD为平行四边形，然后利用对角线垂直可判断四边形ABCD为菱形．【详解】解：（1）如图，四边形ABCD为所作；（2）完成下面的证明．=，证明：OA OC=，OB OD∴四边形ABCD为平行四边形，BD AC⊥，∴四边形ABCD为菱形（对角线互相垂直的平行四边形为菱形）．⊥，对角线互相垂直的平行四边形为菱形．故答案为四边形ABCD为平行四边形，BD AC【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定．5、见解析【解析】【分析】作△ABC的角平分线AE，作线段AE的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点F．四边形ADEF即为所求．【详解】解：如图：四边形ADEF即为所求．【点睛】本题考查了基本作图，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．。
2020—2021年华东师大版八年级数学下册《菱形的性质》同步练习题1及答案.docx
（新课标）2017-2018学年华东师大版八年级下册第十九章第二节19.2.1菱形的性质同步练习一、选择题1．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．∠AOC＝45°，OC＝2，则点B的坐标为（）A．（2，1）B．（1，2）C．（21+，1）D．（1，+）21答案：C解答：作CE⊥x轴于点E，∵四边形OABC是菱形，OC＝2，∴OA＝OC＝2，又∵∠AOC＝45°，∴△OCE为等腰直角三角形，∵OC＝2，OE＝CE，又∵222+=，∴OE＝CE＝1，∴点COE CE OC的坐标为（1，1），又∵BC＝OA＝2，∴B的横坐标为OE＋BC＝12+，B的纵坐标为CE＝1，则点B的坐标为（21+，1），故选C．分析：根据菱形的性质，作CE⊥x轴，先求C点坐标，然后求得点B的坐标．2．如图：在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则菱形的边长为（）A．5 B．10C．6 D．8答案：A解答：由菱形的性质知：AC⊥BD，OA＝12AC＝3，OB＝12BD＝4，在Rt△OAB中，AB＝2222345OA OB+=+=，所以菱形的边长为5．分析：根据菱形的性质：菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，可知每个直角三角形的直角边，根据勾股定理可将菱形的边长求出．3．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC等于（）A．20 B．15C．10 D．5答案：D解答：∵AB＝BC，∠B＋∠BCD＝180°，∠BCD＝120°，∴∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝5．分析：根据菱形的性质及已知可得△ABC为等边三角形，从而得到AC＝AB．4．菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的周长是（）A．24 B．20C．10 D．5答案：B解答：如图，∵AC＝6，BD＝8，∴OA＝3，BO＝4，∴AB＝5，∴这个菱形的周长是20，故选B．分析：菱形的边长和对角线的一半组成直角三角形，根据勾股定理求得其边长，从而求出菱形的周长即可．5．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．3cm2D．23cm2答案：D解答：由已知可得，这条对角线与边长组成了等边三角形，可求得另一对角线长23，则菱形的面积＝223223⨯÷=cm2，故选D．分析：根据菱形的性质可得该对角线与菱形的边长组成一个等边三角形，利用勾股定理求得另一条对角线的长，再根据菱形的面×两条对角线的乘积，即可求得菱形的积公式：菱形的面积＝12面积．6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的周长为（）A．16a B．12aC．8a D．4a答案：C解答：因为菱形的对角线互相垂直平分，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AB＝2a，则菱形ABCD的周长为8a，故选C．分析：根据已知可得菱形性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以求得菱形的边长即AB＝2OE，从而不难求得其周长．7．如图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD 的延长线于点E，则下列式子不成立的是（）A．DA＝DE B．BD＝CEC．∠EAC＝90°D．∠ABC＝2∠E答案：B解答：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CE，AB＝DA，又∵BD∥AE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴DA＝AB＝DE，故A正确；∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∴∠OAD＋∠ODA＝90°，又∵BD∥AE，∴∠EAD＝∠ODA，∴∠EAD＋∠OAD＝90°，即∠EAC＝90°，故C正确；∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC＝2∠ABD，又∵四边形ABDE是平行四边形，∴∠E＝∠ABD，∴∠ABC ＝2∠E，故D正确；所以选B．分析：依题意推出∠OAD＋∠ODA＝90°，四边形ABDE是平行四边形，然后基于推论得出AB＝DA＝DE，∠E＝∠ABD，∠EAD ＋∠ODA＝90°，则∠EAC＝90°，∠ABC＝2∠E．8．如图，在菱形ABCD中，不一定成立的是（）A．四边形ABCD是平行四边形B．AC⊥BDC．△ABD是等边三角形D．∠CAB＝∠CAD答案：C解答：菱形是特殊的平行四边形，故A正确，根据菱形的性质：对角线互相平分且平分对角得B、D正确，所以选C．分析：此题主要考查菱形的基本性质：菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；以及和平行四边形的联系．9．如图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为20cm，墙上悬挂晾衣架的两个铁钉A、B之间的距离为203cm，则∠1等于（）A．90°B．60°C．45°D．30°答案：B解答：铁钉A、B之间的距离就是一个菱形的对角线的长，即203cm，又因为菱形的边长为20cm，根据菱形的性质以及勾股定理，利用含30度角的直角三角形求出∠1＝60°，故本题选B．分析：首先铁钉A、B之间的距离就是一个菱形的对角线的长，又已知菱形的边长为20cm，根据菱形的性质以及勾股定理，利用含30度角的直角三角形可求解．10．已知菱形的边长为6cm，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长是（）A．6cm B．63cmC．3cm D．33cm答案：A解答：根据菱形的性质可得较短的对角线与菱形的两边组成一个等边三角形，从而得到较短的对角线等于菱形的边长，已知菱形的边长为6cm，则较短的对角线的长为6cm，故选A．分析：本题考查了菱形的性质及等边三角形的判定的理解及运用．11．菱形的周长等于高的8倍，则此菱形的较大内角是（）A．60°B．90°C．120°D．150°答案：D解答：设菱形的边长为a，高为h，则依题意，4a＝8h，即a＝2h，延长最大角的一边，让其邻边和高构造直角三角形，∵有一直角边是斜边的一半，∴菱形的较大内角的外角为30°，∴菱形的较大内角是150°，故选D．分析：熟悉菱形的性质，及一些特殊的直角是解题的关键，画出图形再解题有助于理清思路．12．在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是（）A．AO⊥BO B．∠ABD＝∠CBD C．AO＝BO D．AD＝CD答案：C解答：菱形的对角线互相垂直平分，所以A正确；一条对角线平分一组对角，所以B正确；菱形的对角线不相等，所以C不正确；菱形的四边均相等，所以D正确；故选C．分析：根据菱形的对角线垂直、平分且平分每一组对角的性质对各个选项进行验证．13．菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：2，则较长的对角线长为（）A．4.5cm B．4cm C．53cm D．43cm答案：C解答：由已知可得，菱形的边长为5cm，两邻角分别为60°，120°，又菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，可得30°的角，所对边为2.5cm，则此条对角线长5cm，cm，则较长的对根据勾股定理可得，另一对角线长的一半为532角线长为53cm，故本题选C．分析：根据菱形的性质求出菱形的边长以及两邻角的度数，又根据菱形的对角线互相垂直平分求出对角线的长．14．已知菱形的两条对角线长分别为4cm和10cm，则菱形的边长为（）A．116cm B．29cm C．229cm D．29cm答案：D解答：因为菱形的两条对角线互相垂直平分，所以AC⊥BD，AO＝CO＝2cm，BO＝CO＝5cm，由勾股定理得AB＝222529+=cm，故本题选D．分析：根据菱形的性质：两条对角线相互垂直且互相平分，求出AO＝CO＝2，BO＝CO＝＝5，然后根据勾股定理求出AB的长．15．菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：3，则菱形的面积为（）cm2A．25cm2B．16cm2 C．2522D．162cm2答案：C解答：由已知可得，菱形的边长AB＝5cm，∠A＝45°，∠D＝135°，作BE⊥AD于E，则△ABE是等腰直角三角形，根据勾股定理可得BE＝AE＝52 2cm，则菱形的面积为52252522⨯=cm2，故选C．分析：首先由已知得出∠A和∠D的度数以及AB的长，然后作BE⊥AD于E，得出△ABE是等腰直角三角形，根据勾股定理可得BE＝AE则易求出菱形的面积．二、填空题16．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程40x-=的解，则菱形ABCD的周长为．答案：16解答：∵解方程40x-=得：x＝4，∴菱形的边长为4，∴菱形ABCD 的周长为4×4＝16．分析：边AB的长是方程40x-=的解，解方程求得x的值，即可求得菱形ABCD的周长．17．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为．答案：（22+，2）解答：过点D作DE⊥x轴，垂足为E，在菱形ABCD中，∠ABC＝45°，∴∠DCE＝∠ABC＝45°，又∵在Rt△CDE中，CD＝2，∴CE＝DE＝2，∴OE＝OC＋CE＝22+，+，∴点D坐标为（22 2）．分析：根据坐标意义，点D坐标与垂线段有关，过点D向x轴垂线段DE，则OE、DE长即为点D坐标．18．边长为5cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是cm．答案：8解答：在菱形ABCD中，AB＝5cm，AC＝6cm，因为对角线互相垂直平分，所以∠AOB＝90°，AO＝3cm，在Rt△AOB中，BO＝2222-=-=cm，∴BD＝2BO＝8cm．534AB AO分析：根据菱形的对角线互相垂直平分，得已知对角线的一半是3cm；根据勾股定理，得要求的对角线的一半是4cm，则另一条对角线的长是8cm．19．已知菱形ABCD的对角线AC＝6cm，BD＝8cm，则菱形的边长是cm．答案：5解答：菱形ABCD的对角线AC＝6cm，BD＝8cm，∴OA＝OC＝12AC＝162⨯＝3cm，OB＝OC＝12BD＝182⨯＝4cm，由勾股定理得AB＝2222345OA OB+=+=cm．分析：根据菱形性质与勾股定理解题即可．20．如图，在由12个边长都为1且有一个锐角为60°的小菱形组成的网格中，点P是其中的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长．答案：2，4，7，13，23解答：如图（1）所示，∵PD＝1，每个菱形有一个角是60°，∴PC＝3，∵∠APB＝90°，∴斜边CD＝2，CB＝()22+=，327 DA＝()22+=，AB＝4；如图（2）所示，123132223=+=；综上所述，可能的直角三角形斜边的长有MN PM PN2，4，7，13，23．图（1）图（2）分析：根据已知求得PD，PC的长，再根据勾股定理即可求得斜边的长．三、解答题21．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，求OH的长．答案：3解答：解：由题意可得AD＝6，在Rt△AOD中，OH为斜边上的中线，∴OH＝12AD＝3．分析：根据已知可求得菱形的边长，再根据对角线互相垂直平分，H为AD的中点，从而求得OH的长．22．如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，求∠CPB的度数．答案：72°解答：解：如下图，先连接AP，由四边形ABCD是菱形，∠ADC ＝72°，可得∠BAD＝180°－72°＝108°，根据菱形对角线的对称性可得∠ABD＝∠ADB＝12∠ADC＝1722⨯︒，EP是AD的垂直平分线，由垂直平分线的对称性可得∠DAP＝∠ADB＝36°，∴∠PAB＝∠DAB－∠DAP＝108°－36°＝72°，在△BAP中，∠APB＝180°－∠BAP－∠ABP＝180°－72°－36°＝72°，由菱形对角线的对称性可得∠CPB＝∠APB＝72°．分析：本题开放性较强，解法有多种，可以从菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法，在这些方法中，最容易理解和表达的应为对称法，这也应该是本题考查的目的；灵活应用菱形、垂直平分线的对称性，可使解题过程更为简便快捷．23．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，求∠CDF的度数．答案：60°解答：解：如图，连接BF，在△BCF和△DCF中，∵CD＝CB，∠DCF＝∠BCF，CF＝CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF＝∠CDF，∵FE垂直平分AB，∠BAF＝12×80°＝40°∴∠ABF＝∠BAF＝40°，∵∠ABC＝180°－80°＝100°，∠CBF＝100°－40°＝60°，∴∠CDF ＝60°．分析：连接BF，利用SAS判定△BCF≌△DCF，从而得到∠CBF＝∠CDF，根据已知可注得∠CBF的度数，则∠CDF也就求得了．24．在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，且E，F分别为BC，CD的中点，求∠EAF．答案：60°解答：解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AFC＋∠AEC＝180°，∴∠C＋∠EAF＝180°，又∵∠B＋∠C＝180°，∴∠EAF＝∠B，又∵BE＝12BC，AB＝BC，∴BE＝12AB，∴∠BAE＝30°，∴∠B＝60°，∴∠EAF＝60°．分析：画出图形，根据菱形的性质求出∠C＋∠EAF＝180°，又因为∠B＋∠C＝180°，推出BE＝12BC，AB＝BC，BE＝12AB，最后可推出∠EAF＝60°．25．如图，在菱形ABCD中，∠A＝110°，E，F分别是边AB 和BC的中点，EP⊥CD于点P，求∠FPC．答案：55°解答：解：延长PF交AB的延长线于点G，，在△BGF与△CPF中，CBF PCF BF CFBFG CFP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BGF≌△CPF，∴GF＝PF，∴F为PG中点．又∵EP⊥CD，∴∠BEP＝90°，∴EF＝12PG，∵PF＝12PG（中点定义），∴EF＝PF，∴∠FEP＝∠EPF，∵∠BEP ＝∠EPC＝90°，∴∠BEP－∠FEP＝∠EPC－∠EPF，即∠BEF＝∠FPC，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∠ABC＝180°－∠A ＝70°，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝12（180°－70°）＝55°，∴∠FPC＝55°．分析：延长PF交AB的延长线于点G．根据已知可得∠ABC，∠BEF，∠BFE的度数，再根据余角的性质可得到∠EPF的度数，从而不难求得∠FPC的度数．。
2020-2021学年华东师大版八年级下册数学 第19章《矩形、菱形与正方形》单元试卷
华东师大版八年级下册数学2020-2021年第19章《矩形、菱形与正方形》单元试卷一、单选题1．平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，添加一个条件不能使平行四边形ABCD 变为矩形的是（ ）A ．OD OC =B ．90DAB ∠=︒C ．ODA OAD ∠=∠ D ．AC BD ⊥ 2．如图，已知菱形ABCD 中，∠A=60°，过AD 中点E 作EF ⊥BD ，交对角线BD 于点M ，交BC 的延长线于点F ．连接DF ，若CF ＝2，BD ＝4，则DF 的长是（ ）A ．4B ．43C ．27D ．53 3．如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 上的一点，连接BE ，若∠EBC =20°，将△EBC 绕点C 按顺时针方向旋转90°得到△FDC ，连接EF ，则∠EFD 的度数为（ ）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30° 4．如图，在平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝120°，AB ＝4，AD ＝2，点O 为对称中心，点M 从点A 出发沿AB 向点B 运动，到点B 停止运动，连接MO 并延长交CD 于点N ，则四边形AMCN 形状的变化依次为（ ）A ．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形→平行四边形B ．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形C ．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形D ．平行四边形→菱形→正方形→矩形→平行四边形5．如图，正方形ABCD 的边长为10，AG ＝CH ＝8，BG ＝DH ＝6，连接GH ，则线段GH 的长为（ ）A ．5B ．22C ．23D ．46．矩形ABCD 中，点M 在对角线AC 上，过M 作AB 的平行线交AD 于E ，交BC 于F ，连接DM 和BM ，已知，2,4DE ME ==，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．12B ．10C ．8D ．6 7．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，∠AOC ＝120°，点B 的坐标为（6，0），点D 是边BC 的中点，现将菱形OABC 绕点O 顺时针旋转，每秒旋转60°，则第2021秒时，点D 的坐标为（ ）A ．（92332B ．（﹣92332C ．（92332D ．（﹣92332 8．如图，矩形ABCD 中，2AB =，点E 在边AD 上，EB 平分AEC ∠，45DCE ∠=︒，则AE 长（ ）A．2B．222-D．2-C．229．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点M在CD边上，且DM＝1，△AEM与△ADM 关于AM所在直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（）A．3 B．4 C．4.5 D．510．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，将△ACD沿对角线AC折叠得到△ACE，AE与BC交于点F，则下列说法正确的是（）A．当∠B＝90°时，则EF＝2B．当F恰好为BC的中点时，则▱ABCD的面积为127C．在折叠的过程中，△ABF的周长有可能是△CEF的2倍D．当AE⊥BC时，连结BE，四边形ABEC是菱形二、填空题11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AM⊥CD于点M，已知AC＝6，BD＝8，则AM＝_____．12．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，则添加一个适当的条件：_____可使其成为矩形（只填一个即可）．13．如图，在正方形ABCD 中，对角线为AC ，在BC 延长线上取一点F ，有AC ＝CF ，AF 与DC 相交于点E ，AB ＝4，则CF ＝_____，∠AEC ＝_____．14．如图，ABCD 为正方形，O 为AC 、BD 的交点，△DCE 为直角三角形，∠CED ＝90°，∠DCE ＝30°，若正方形的边长为2，则OE 的长为__________．15．如图，矩形ABCD 中，2,4AB BC ==，点E 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，以CE 为边，在CE 的右侧构造正方形CEFG ，当AE =________时，ED 平分FEC ∠；连结AF ，则AF 的最小值为_______．16．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，P 是BC 边上一动点（不含B 、C 两点），将△ABP 沿直线AP 翻折，点B 落在点E 处；在CD 上有一点M ，使得将△CMP 沿直线MP 翻折后，点C 落在直线PE 上的点F 处，直线PE 交CD 于点N ，连接MA ，NA ．当△ABP ≌△ADN时，则BP 的长为_____．三、解答题17．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，DE ∥AC ，AE ∥BD ．（1）求证：四边形AODE 是矩形；（2）若AB ＝13，DE ＝5，求四边形AODE 的面积．18．如图，E 、F 是正方形ABCD 的对角线AC 上的两点，//BE DF ．求证：AE CF ．19．如图，将平行四边形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕EF 交BC 于E 交AD 于F ，交AC 于G ，连接AE ，CF ．（1）求证：四边形AECF 为菱形；（2）若四边形AECF 恰为正方形，且AB ＝5，BC ＝7，求平行四边形ABCD 的面积．20．如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，D 为BC 的中点，将ADB △沿直线AB 翻折到AEB △．（1）试判断四边形ADBE 的形状，并说明理由；（2）若10BC =，8AC =，求D 、E 两点之间的距离．21．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点P 为线段DC 上的一个动点．设DP x =，由点A ，B ，C ，P 首尾顺次相接形成图形的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数表达式及x 的取值范围；（2）设（1）中函数图象的两个端点分别为M 、N ，且P 为第一限内位于直线MN 右侧的一个动点，若MNP △正好构成一个等腰直角三角形，请求出满足条件的P 点坐标； （3）在（2）的条件下，若l 为经过(1,0)-且垂直于x 轴的直线，Q 为l 上的一个动点，使得MNQ NMP S S =，请直接写出符合条件的点Q 的坐标．参考答案1．D解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴12OA OC AC ==，12OB OD BD ==， A. OD OC =时，AC BD =，∴平行四边形ABCD 是矩形，故选项A 不符合题意；B.四边形ABCD 是平行四边形，90DAB ∠=︒，∴平行四边形ABCD 是矩形，故选项B 不符合题意；C.∵ODA OAD ∠=∠，∴OA OD =，∴AC BD =，∴平行四边形ABCD 是矩形，故选项C 不符合题意；D.四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥，∴平行四边形ABCD 是菱形，故选项D 符合题意；故选：D ．2．C如图，连接AC 交BD 于O 点，∴AC ⊥BD∵∠BAD =60°，∴△ABD 是等边三角形∴AD =BD ＝4，∵E 点是AD 中点∴AE =CF =2又AE //CF∴四边形AEFC 是平行四边形∴,AC EF =∵E点是AD中点，∠ADM=60°，EF⊥BD 故∠DEM=30°∴DM=12DE=1，EM=22213-=∵AD=4，OD=2∴AO=224223-=∴AC=43=EF∴MF=EF-EM=33在Rt△DMF中DF=2227DM MF+=故选C．3．C由旋转得：∠EBC=∠FDC=20°，CE=CF，∵∠ECF=90°，∴△CEF是等腰直角三角形，∠CEF=45°，根据三角形的外角定理得：∠EFD=∠CEF-∠FDC=45°-20°=25°，4．B如图，连接AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AM∥NC，∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，∴△MAO≌△NCO，∴MO=NO，∴四边形ANCM是平行四边形，当∠AOM=90°时，四边形ANCM是菱形，当∠AOM＞90°，且OA≠OM时，四边形ANCM 是平行四边形，当∠AOM ＞90°，且OA =OM 时，四边形ANCM 是矩形，当∠AOM ＞90°，且OA ≠OM 时，四边形ANCM 是平行四边形，∴选B ．5．B解：如图，延长BG 交CH 于点E ，∵AB ＝CD ＝10，BG ＝DH ＝6，AG ＝CH ＝8，∴AG 2+BG 2＝AB 2，∴△ABG 和△DCH 是直角三角形，在△ABG 和△CDH 中，AB CDAG CH BG DH=⎧⎪=⎨⎪=⎩ ， ∴△ABG ≌△CDH （SSS ），∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，在△ABG 和△BCE 中，1324AB BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABG ≌△BCE （ASA ），∴BE ＝AG ＝8，CE ＝BG ＝6，∠BEC ＝∠AGB ＝90°，∴GE ＝BE ﹣BG ＝8﹣6＝2，同理可得HE ＝2，在Rt △GHE 中，GH ＝224422GE HE +=+= ，6．C解：过M 作MP ⊥AB 于P ，交DC 于Q ，如图所示：则四边形DEMQ ，四边形QMFC ，四边形AEMP ，四边形MPBF 都是矩形， ∴S △DEM =S △DQM ，S △QCM =S △MFC ，S △AEM =S △APM ，S △MPB =S △MFB ，S △ABC =S △ADC ， ∴S △ABC -S △AMP -S △MCF =S △ADC -S △AEM -S △MQC ，∴S 四边形DEMQ =S 四边形MPBF ，∵DE =CF =2，∴S △DEM =S △MFB =12×2×4=4， ∴S 阴=4+4=8，故选：C ．7．A解：∵菱形OABC 绕点O 顺时针旋转，每秒旋转60°，而360660︒︒=（秒）， ∴当菱形OABC 绕点O 旋转6秒后与自身重合，∵2021÷6=336……5，又∵60°×5=300°，∴第2021秒时，原图顺时针旋转了300°，如图所示，∵菱形的边长为6，∴OB´= B´C´=OC´=6，∴B´(3,33，C´(6,0)，∵点D´是边B´C´的中点，∴D´36330 2⎛++⎝⎭，即D´933 22⎛⎝．8．B解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=2，∠A=∠D=∠DCB=90°，∵∠DCE=45°，∴DE=DC=2，∴EC2，∵∠DCE=45°，∴∠DEC=45°，∵EB平分∠AEC，∴∠AEB=∠BEC=12∠AEC=180452︒-︒＝67.5°，∵AD∥BC∴∠AEB =∠EBC ，∴∠BEC =∠EBC ，∴BC =CE =22，∴AD =BC =22，∴AE =AD -DE =22-2，9．D解：△AEM 与△ADM 关于AM 所在直线对称，∴△AEM ≅△ADM4AE AD AB ∴===连接BM ，如图，△ADM 按顺时针方向绕点A 旋转90°得到△ABF ，∴△ABF ≅△ADM,AF AM FAB MAD ∴=∠=∠FAB MAE ∴∠=∠FAB BAE MAE BAE ∴∠+∠=∠+∠FAE MAB ∴∠=∠()FAE MAB SAS ∴≅EF BM ∴=在正方形ABCD 中，4BC CD AB ∴===1DM =3CM ∴=在Rt BCM △中，22345BM=+=5EF∴=，10．B解：A、如图1中，∵∠B＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠DAC＝∠CAE，∴∠ACF＝∠CAF，∴AF＝CF，设AF＝CF＝x，在Rt△ABF中，则有x2＝62+（8﹣x）2，解得x＝254，∴EF＝8﹣254＝74，故选项A不符合题意．B、如图2中，当BF＝CF时，∵AF ＝CF ＝BF ，∴∠BAC ＝90°，∴AC ＝22228627BC AB -=-=，∴S 平行四边形ABCD ＝AB•AC ＝6×27＝127，故选项B 符合题意． C 、在折叠过程中，△ABF 与△EFC 的周长相等，选项C 不符合题意． D 、如图3中，当AE ⊥BC 时，四边形ABEC 是等腰梯形，选项D 不符合题意． 11．245解：∵四边形是ABCD 菱形，∴AC ⊥BD ，142OD BD ==，1=32OC AC =，11==68=2422ABCD S AC BD ⨯⨯菱形， ∴△DOC 是直角三角形，∴225CD OD OC =+=，∵AM ⊥CD ，∴=ABCD S AM CD 菱形,∴245AM =． 故答案为：245 12．AC BD =（答案不唯一）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴添加条件：AC=BD ，即：对角线相等，可使其成为矩形，故答案为：AC=BD(答案不唯一)．13．42112.5°∵四边形ABCD是正方形，∴AB=B C=4，∠B=90°，由勾股定理得：AC=22224442AB BC+=+=，∵CF=AC，∴CF=42．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=∠D=90°，∴∠ACB=12∠DCB=12×90°=45°，∠DCF=90°，∵AC=CF，∴∠F=∠CAF，∵∠F+∠CAF=∠ACB=45°，∴∠F=12×45°=22.5°，∴∠AEC=∠F+∠DCF=22.5°+90°=112.5°．故答案为：42，112.5°．14．62+．解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，∵∠CED=90°，∴四边形OMEN是矩形，∴∠MON=90°，∵∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM，∴∠COM=∠DON，∵四边形ABCD 是正方形，∴OC =OD ，在△COM 和△DON 中，90COM DON N CMO OC OD ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝ ∴△COM ≌△DON （AAS ），∴OM =ON ，∴四边形OMEN 是正方形，∴ME =NE ，∵∠CED =90°，∠DCE =30°，∴DE =12CD =1，CE== ∵NE =ME ，∴1+DNCM ，∴DN=12∴NE =DN +DE=12-1 ∵OE1)==15．2解：答题空1∵四边形ABCD 是矩形，∴CD =AB =2，AD =BC =4，∠D =90°，∵四边形CEFG 是正方形，∴∠FEC =90°，∵ED 平分∠FEC ，∴∠CED =45°，∴CDE 是等腰直角三角形，∴DE =CD =2，∴AE =AD -DE =2，即当AE =2时，ED 平分∠FEC ；故答案为：2；答题空2过F 作FH ⊥ED 垂足为H ，如图所示：∵四边形CEFG 是正方形，∴EF =EC ，∠FEC =∠FED +∠DEC =90°，∵FH ⊥ED ，∴∠FHE =∠D=90°，∠FED +∠EFH =90°，∴∠DEC =∠EFH ，且EF =EC ， 在EFH 和EDC 中，FHE DEFH DEC EF EC∠∠⎧⎪∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴EFH ≌EDC （AAS ），∴EH =DC =2，FH =ED ，∴由勾股定理得：AF 22AH FH +=()22(24)AE AE ++-=22118()AE -+，∴当AE=1时，AF 的最小值为32故答案为：3216．424-解：∵ABP ADN ≅△△时，将ABP △沿直线AP 翻折；∴ABP ADN AEP AEN ≅≅≅△△△△∴119022.544PAB DAN DAB ∠=∠=∠=⨯︒=︒， 在AB 上取一点K 使得AK PK =，设PB z =， ∴22.5KPA KAP ∠=∠=︒，∵45PKB KPA KAP ∠=∠+∠=︒，∴45BPK BKP ∠=∠=︒，∴PB BK z ==，2AK PK z ==， ∴24z z =， ∴424z =， ∴424PB =， 故答案为：424.17．（1）证明：//DE AC ，//AE BD ，∴四边形AODE 是平行四边形，在菱形ABCD 中，AC BD ⊥，90AOD ∴∠=︒，∴四边形AODE 是矩形；（2）解：四边形AODE 是矩形，5OA DE ∴==，四边形ABCD 是菱形，OB OD ∴=，AC BD ⊥，12OB ∴===，12OD ∴=，∴四边形AODE 的面积12560OD OA =⨯=⨯=． 18证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴,//AB CD AB CD =，∴EAB FCD ∠=∠，∵//BE DF ，∴BEF DFE ∠=∠，∵180BEF BEA DFE DFC ∠+∠=∠+∠=︒， ∴DFC BEA ∠=∠，∴AEB CFD △≌△（AAS ），∴AE CF =．19解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴∠AFE ＝∠FEC ，由折叠的性质，可得：∠AEF ＝∠CEF ，AE ＝CE ，AF ＝CF ， ∴∠AEF ＝∠AFE ，∴AF ＝AE ，∴AF ＝CF ＝CE ＝AE ，∴四边形AFCE 为菱形．(2)设AE =x ，则BE =7- x ，222(7)5x x +-=，解得，14x =，23x =，平行四边形ABCD 的面积为：4×7=28或3×7=21． 20．解：（1）∵90BAC ∠=︒，D 为BC 的中点， ∴AD BD CD ==，由翻折性质得：BE BD =，AE AD =， ∴AD AE BE BD ===，∴四边形ADBE 是菱形；（2）连接DE 与AB 相交于点O ，∵90BAC ∠=︒，10BC =，8AC =， ∴22221086AB BC AC =-=-=， ∵四边形ADBE 是菱形， ∴132OA OB AB ===，12OD OE DE ==，AB DE ⊥， ∵12AD BC =，10BC =， ∴5AD =，在Rt AOD 中，由勾股定理得：2222534OD AD OA =-=-= ∴8DE =．即D 、E 两点之间的距离为8．21．解：（1）由线段的和差，得PC =（4-x ）， ∵y =S 梯形ABCP =12（4-x +4）×4=-2x +16， 且x 的取值范围是0＜x ＜4；（2）在y =-2x +16中，令x=0，则y=16，令x=4，则y=8，∵函数图象的两个端点分别为M 、N ，∴M （0，16），N （4，8），以MN 为边，在MN 右侧作正方形MNP 1P ，正方形中心为P 2，则易知P ，P 1，P 2即为所求P 的坐标；示意图如下：分别过点P 和点N 作y 轴的垂线，垂足为E ，F ，∵△PMN 为等腰直角三角形，∴∠PMN =90°，PM =MN ，∴∠PME +∠NMF =90°，又∠PME +∠MPE =90°，∴∠NMF =∠MPE ，又∠PEM =∠MFN ，∴△PEM ≌△MFN （AAS ），∴PE =MF =8，ME =FN =4，∴P （8，20），同理求得P 1（12，12），P 2（6，14），故P 点可能的坐标为（12，12）或（8，20）或（6，14）；（3）由S △MNQ =S △NMP ，设Q （-1，m ），QN 所在直线方程为y =kx +b ，把Q 和N 代入方程，得：84m k b k b =-+⎧⎨=+⎩， 解得b =845m +， 则可求S △NMQ =12×|16-b |×[4-（-1）]=|36-2m |， 当P 为（12，12）时，S △MNP =212MN =()()221168402⎡⎤-+-⎣⎦=40，∴|36-2m|=40，解得m=-2或38，当P（8，20），同理解得：m=-2或38，当P（6，14），有S△MNQ=20，∴|36-2m|=20，解得m=8或28，综上，符合条件的Q的坐标为（-1，-2）或（-1，8）或（-1，38）或（-1，28）．。
华东师大版初中八年级数学下册第19章单元测试卷含答案(2套)
第19章矩形、菱形、正方形单元检测题时间：120分钟满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列命题中正确的是( B )A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线垂直的平行四边形是正方形 D．一组对边平行的四边形是平行四边形2．如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，若∠DBC＝30°，则∠AOB等于( D )A．120° B．15° C．30° D．60°3．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连结AE，CF，则四边形AECF是( C )A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形,第2题图),第3题图),第5题图),第6题图) 4．一个菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则这个菱形的两邻角的度数之比为( D )A．2∶1 B．3∶1 C．4∶1 D．5∶15．如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.下列四个判断中不正确的是( D )A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．如果∠BAC ＝90°，那么四边形AEDF 是矩形C ．如果AD 平分∠BAC ，那么四边形AEDF 是菱形D ．如果AD ⊥BC 且AB ＝AC ，那么四边形AEDF 是正方形6．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，BC ＝8，将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，则下列结论错误的是( D )A ．AF ＝AEB ．△ABE ≌△AGFC ．EF ＝2 5D ．AF ＝EF7．如图，一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的15%，黄色的三角形的面积是21 cm 2，则该矩形的面积为( A )A ．60 cm 2B ．70 cm 2C ．120 cm 2D ．140 cm 28．如图，正方形ABCD 的边长为1，点E 在对角线BD 上，且∠BAE ＝22.5°，EF ⊥AB ，垂足为F ，则EF 的长为( C )A ．1 B. 2 C ．1－22D.2－4 ,第7题图),第8题图),第9题图),第10题图)9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC 的顶点O 在坐标原点，边BO 在x 轴的负半轴上，∠BOC ＝60°，顶点C 的坐标为(m ，32)，反比例函数y ＝k x的图象与菱形对角线AO 交于D 点，连结BD ，当DB ⊥x轴时，k的值是( D )A．1 B．－1 C. 3 D．－ 310．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG，CF.则下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S△EGC＝S△AFE；⑤∠AGB＋∠AED＝145°.其中正确的个数是( C )A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，且∠AED＝90°，AD＝10，则AB的长为__5__．,第11题图) ,第13题图),第14题图) ,第15题图) 12．在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别是6和8，则菱形的周长是__20__．13．如图，▱ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E，F不重合，已知△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为__3__．14．如图，▱ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝4，BD＝2，小明说：“这个四边形是菱形．”他说这话的根据是__对角线互相垂直的平行四边形是菱形__．15．▱ABCD中，给出下列四个条件：①AC⊥BD；②∠ADC＝90°；③BC＝CD；④AC＝BD.其中选两个条件能使▱ABCD是正方形的有__①②、①④、②③、③④__．(填上所有正确结果的序号)16．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝12，BC ＝5，点E 在AB 上，将△DAE 沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A ′处，则AE 的长为__103__． ,第16题图) ,第17题图),第18题图)17．如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF ，若菱形ABCD 的边长为2 cm ，∠A ＝120°，则EF ＝18．正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示的方式放置，点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y ＝kx ＋b(k ＞0)和x轴上，已知点B 1(1，1)，B 2(3，2)，则点B n 的坐标为__(2n －1，2n －1)__．三、解答题(共66分)19．(8分)如图，在矩形ABCD 中，两条对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AC 上的一点，且BO ＝2AE ，∠AOD ＝120°，求证：BE ⊥AC.解：∵四边形ABCD 是矩形，∴OB ＝OA ，又∵OB ＝2AE ，∴AE ＝OE ，又∵∠AOD ＝120°，∴∠AOB ＝60°，∴△ABO 是等边三角形．又∵AE ＝OE ，∴BE ⊥AO ，即BE ⊥AC20．(8分)如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别是边BC，AD的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若∠B＝60°，AB＝2，求线段AE的长．解：(1)用SAS证△ABE≌△CDF (2)∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BE＝CE＝1，AE⊥BC，∴AE＝AB2－BE2＝22－12＝ 321．(10分)如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F，连结DF.(1)在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；(2)连结AE，试判断AE与DF的位置关系，并说明理由．解：(1)△ADC≌△ABC，△ADF≌△ABF，△CDF≌△CBF (2)AE ⊥DF.理由如下：设AE与DF相交于点H，易证△ADF≌△ABF，∴∠ADF＝∠ABF，再证△ADE≌△BCE，∴∠DAE＝∠CBE，∵∠ABF＋∠CBE ＝90°，∴∠ADF＋∠DAE＝90°，∴∠DHA＝90°，∴AE⊥DF22．(9分)如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，AF∥CD交CE 于点F，FG∥AC交CD于点G.求证：四边形ACGF是菱形．解：易证四边形ACGF是平行四边形，再证AC＝AF，故四边形ACGF 是菱形23．(9分)如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F.(1)求证：四边形AFDE是菱形；(2)当∠ABC等于多少度时，四边形AFDE是正方形？请说明理由．解：(1)易证四边形AFDE是平行四边形，∵D为BC中点，DE∥AB，DF∥AC，∴DE＝12AB，DF＝12AC，∵AB＝AC，∴DE＝DF，∴四边形AFDE是菱形(2)当∠ABC＝45°时，四边形AFDE是正方形，理由略24.(10分)如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连结DO并延长到点E，使OE＝OD，连结AE，BE.(1)求证：四边形AEBD是矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．解：(1)∵OA＝OB，OE＝OD，∴四边形AEBD为平行四边形，∵AB ＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，∴四边形AEBD为矩形(2)当∠BAC＝90°时，四边形AEBD为正方形，理由如下：∵∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，AD⊥BC，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，∴BD＝AD，∴矩形AEBD为正方形25．(12分)已知，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ABC ＝45°，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与点B ，C 重合)．以AD 为边作正方形ADEF ，连结CF.(1)如图①，当点D 在线段BC 上时，求证：CF ＋CD ＝BC ；(2)如图②，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系；(3)如图③，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变：①请直接写出CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系；②若正方形ADEF 的边长为2，对角线AE ，DF 相交于点O ，连结OC ，求OC 的长度．解：(1)∵∠BAC ＝90°，∠ABC ＝45°，∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∴AB ＝AC ，可证△BAD ≌△CAF(SSS)，∴BD ＝CF ，∵BC ＝BD ＋CD ，∴CF ＋CD ＝BC (2)BC ＝CF －CD (3)①CD －CF ＝BC ②由题知，∠BAC ＝90°，∠ABC ＝45°，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD ＝AF ，∠DAF ＝90°，∵∠BAD ＝90°－∠BAF ，∠CAF ＝90°－∠BAF ，∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，∴△BAD ≌△CAF(SAS)，∴∠ACF ＝∠ABD ，∵∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝135°，∴∠ACF ＝∠ABD ＝135°，∴∠FCD ＝90°，∴△FCD 为直角三角形，∵DE ＝2，∴DF ＝2DE ＝22，∴OC ＝12DF ＝ 2四边形测试题一、选择题(本大题共5小题，每小题5分，共25分；在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意)1．若菱形的周长为48 cm，则其边长是()A．24 cmB．12 cmC．8 cmD．4 cm2．如图3－G－1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为()图3－G－1A．30°B．60°C．90°D．120°3.如图3－G－2所示，在菱形ABCD中，不一定成立的是()图3－G－2A．四边形ABCD是平行四边形B．AC⊥BDC．△ABD是等边三角形D．∠CAB＝∠CAD4．如图3－G－3，在矩形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，点E，F分别是OD，OC的中点．如果AC＝10，BC＝8，那么EF的长为()A．6 B．5 C．4 D．3图3－G－35．如图3－G－4，菱形ABCD的周长为16，∠ABC＝120°，则AC的长为()图3－G－4A．4 3B．4C．2 3D．2二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)6．在菱形ABCD中，若对角线AC＝8 cm，BD＝6 cm，则边长AB＝________ cm.7．矩形两对角线的夹角为120°，矩形的宽为3，则矩形的面积为__________．8．如图3－G－5所示，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为________．图3－G－59．已知菱形ABCD的面积为24 cm2，若对角线AC＝6 cm，则这个菱形的边长为________cm.10．如图3－G－6，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是________(只填写序号)．图3－G－6三、解答题(本大题共5小题，共50分)11．(6分)如图3－G－7所示，已知四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，求BD的长．图3－G－712．(8分)如图3－G－8，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．(1)求证：四边形ADBE是矩形；(2)求矩形ADBE的面积．图3－G－813.(12分)如图3－G－9①，在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠DCE ＝90°，AB与CE交于点F，ED与AB，BC分别交于M，H.(1)求证：CF＝CH；(2)如图②，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE＝45°时，试判断四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．图3－G－914．(12分)如图3－G－10，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°.(1)求证：四边形ABCD是矩形．(2)若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？图3－G－1015．(12分)如图3－G－11，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12 cm，AC ＝6 cm，点E在线段BO上从点B以1 cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O以2 cm/s 的速度运动．(1)若点E，F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形？(2)在(1)的条件下，①当AB为何值时，四边形AECF是菱形？②四边形AECF可以是矩形吗？为什么？图3－G－111．B 2．B3．C [解析] 灵活掌握菱形的性质定理即可判断． 4．D [解析] ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠ABC ＝90°.∵AC ＝10，BC ＝8，由勾股定理得AB ＝102－82＝6，∴CD ＝AB ＝6.∵点E ，F 分别是OD ，OC 的中点，∴EF ＝12CD ＝3.故选D . 5．A [解析] 设AC 与BD 交于点E ，则∠ABE ＝60°.根据菱形的周长求出AB ＝16÷4＝4.在Rt △ABE 中，求出BE ＝2，根据勾股定理求出AE ＝42－22＝2 3，故可得AC ＝2AE ＝4 3.6．5 [解析] 如图，∵在菱形ABCD 中，对角线AC ＝8 cm ，BD ＝6 cm ，∴AO ＝12AC＝4 cm ，BO ＝12BD ＝3 cm .∵菱形的对角线互相垂直，∴在Rt △AOB 中，AB ＝AO 2＋BO 2＝42＋32＝5(cm )．7．9 3 [解析] 根据勾股定理求得矩形的另一边长为3 3，所以面积是9 3.8．3 [解析] 可证得△AOE ≌△COF ，所以阴影部分的面积就是△BCD 的面积，即矩形面积的一半．9．5 [解析] 菱形ABCD 的面积＝12AC·BD.∵菱形ABCD 的面积是24 cm 2，其中一条对角线AC 长6 cm ，∴另一条对角线BD 的长为8 cm .边长＝32＋42＝5 (cm )．10．③ [解析] 由题意得BD ＝CD ，ED ＝FD ，∴四边形EBFC 是平行四边形．①BE ⊥EC ，根据这个条件只能得出四边形EBFC 是矩形；②BF ∥CE ，根据EBFC 是平行四边形已可以得出BF ∥CE ，因此不能根据此条件得出▱EBFC 是菱形；③AB ＝AC ，∵⎩⎨⎧AB ＝AC ，DB ＝DC ，AD ＝AD ，∴△ADB ≌△ADC(SSS)，∴∠BAD ＝∠CAD ，∴△AEB ≌△AEC(SAS)，∴BE ＝CE ，∴四边形BECF 是菱形． 11．解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，DO ＝BO. ∵AB ＝5，AO ＝4，∴BO ＝AB 2－AO 2＝52－42＝3， ∴BD ＝2BO ＝6.12．解：(1)证明：∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，∴AD ⊥BC ， ∴∠ADB ＝90°.∵四边形ADBE 是平行四边形， ∴▱ADBE 是矩形．(2)∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD 是BC 边上的中线，∴BD ＝DC ＝6×12＝3.在Rt △ACD 中，AD ＝AC 2－DC 2＝52－32＝4， ∴S 矩形ADBE ＝BD·AD ＝3×4＝12.13．解：(1)证明：∵AC ＝CE ＝CB ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝90°， ∴∠A ＝∠B ＝∠D ＝∠E ＝45°. 在△BCF 和△ECH 中， ⎩⎨⎧∠B ＝∠E ，BC ＝EC ，∠BCF ＝∠ECH ，∴△BCF ≌△ECH(ASA)， ∴CF ＝CH.(2)四边形ACDM 是菱形．证明：∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠BCE ＝45°， ∴∠ACE ＝∠DCH ＝45°.∵∠E ＝45°，∴∠ACE ＝∠E ，∴AC ∥DE ， ∴∠AMH ＝180°－∠A ＝135°＝∠ACD. 又∵∠A ＝∠D ＝45°，∴四边形ACDM 是平行四边形． ∵AC ＝CD ，∴四边形ACDM 是菱形．14．解：(1)证明：∵AO ＝CO ，BO ＝DO ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ABC ＝∠ADC.∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°， ∴∠ABC ＝∠ADC ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形．(2)∵∠ADC ＝90°，∠ADF ∶∠FDC ＝3∶2， ∴∠FDC ＝36°.∵DF ⊥AC ，∴∠DCO ＝90°－36°＝54°. ∵四边形ABCD 是矩形，∴OC ＝OD ，∴∠ODC ＝54°， ∴∠BDF ＝∠ODC －∠FDC ＝18°.15．解：(1)若四边形AECF 是平行四边形， 则AO ＝OC ，EO ＝OF.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BO ＝OD ＝6 cm ， ∴EO ＝6－t ，OF ＝2t ， ∴6－t ＝2t ，∴t ＝2，∴当t ＝2时，四边形AECF 是平行四边形． (2)①若四边形AECF 是菱形， ∴AC ⊥BD ，∴AO 2＋BO 2＝AB 2，∴AB ＝36＋9＝3 5， 即当AB ＝3 5时，四边形AECF 是菱形． ②不可以．理由：若四边形AECF 是矩形，则EF ＝AC ， ∴6－t ＋2t ＝6，∴t ＝0，则此时点E 在点B 处，点F 在点O 处， 显然四边形AECF 不可以是矩形．四边形全章综合测试1.如图，E F 、是ABCD 对角线AC 上两点，且AE CF =，连结DE 、BF ，则图中共有全等三角形的对数是（ ）Ａ．1对Ｂ．2对Ｃ．3对Ｄ．4对2.如图，在在平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，E F ，是对角线AC 上的两点，当E F ，满足下列哪个条件时，四边形DEBF 不一定是是平行四边形（ ） Ａ．OE OF = Ｂ．DE BF = Ｃ．ADE CBF ∠=∠ Ｄ．ABE CDF ∠=∠ABF ECD3.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）．A ．测量对角线是否相互平分B ．测量两组对边是否分别相等C ．测量一组对角线是否都为直角D ．测量其中三角形是否都为直角4.如果一个四边形绕对角线的交点旋转90，所得的图形与原来的图形重合，那么这个四边形一定是（ ） Ａ．平行四边形Ｂ．矩形Ｃ．菱形Ｄ．正方形5. 已知点(20)A ，、点B （12-，0）、点C （0，1），以A 、B 、C 三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在 （ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限6.如图，在平行四边形ABCD 中，AC BD ，相交于点O ．下列结论：①OA OC =，②BAD BCD ∠=∠，③AC BD ⊥，④180BAD ABC ∠+∠=．其中，正确的个数有（ ） Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个7.如图，平行四边形ABCD 中，AB3=，5BC =，AC 的垂直平分线交AD 于E ，则CDE △的周长是（） Ａ．6Ｂ．8Ｃ．9Ｄ．108.把长为10cm 的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形，如果剪掉．．部分的面积为12cm 2，则打开后梯形的周长是 （ ）A 、（10+25）cmB 、（12+25）cmC 、22cmD 、20cm9.如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上，四边形EFGB 也为正方形，设AFC △的面积为S ，则（ ）Ａ．2S =Ｂ． 2.4S = Ｃ．4S =Ｄ．S 与BE 长度有关10.梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 为BC 上点，且DE ∥AB ，AF ∥DC ，DE ⊥AF 于G ，若AG =3，DG =4，四边形ABED 的面积为36，则梯形ABCD 的周长为（ ）A ．49B ．43C ．41D ．4611. 已知：如图，正方形ABCD ，AC 、BD 相交于点O ，E 、F 分别为BC 、CD 上的两点，BE=CF ，AE 、BF 分别交BD 、AC 于M 、N 两点， 连结OE 、OF.下列结论，其中正确的是（ ）.①AE=BF ；②AE ⊥BF ；③OM=ON=12DF ；④CE+CF=22AC .（A ）①②④ （B ）①②（C ）①②③④（D ）②③④12.已知菱形ABCD 的边长为6，∠A =60°，如果点P 是菱形内一点，且PB =PD =23，那么AP 的长为 ．13.（7分）如图，在ABC △中，AB BC =，Ｄ、Ｅ、Ｆ分别是BC 、AC 、AB 边上的中点．(1) 求证：四边形BDEF 是菱形；(2) 若12AB =cm ，求菱形BDEF 的周长．AFBDCEGBF A E ABCDOMENFACE GF EDCBA14.（7分）如图，将一张矩形纸片A B C D ''''沿EF 折叠，使点B '落在A D '' 边上的点B 处；沿BG 折叠，使点D '落在点D 处，且BD 过F 点.⑴试判断四边形BEFG 的形状，并证明你的结论. ⑵当∠BFE 为多少度时，四边形BEFG 是菱形.15.（7分）如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AD 上的一点，连接EB 并延长，使BF=BE ，连接EC 并延长，使CG=CE ，连接FG ．H 为FG 的中点，连接DH ． （1） 求证：四边形AFHD 为平行四边形；（2）若CB=CE ，∠BAE=600 ,∠DCE=200 求∠CBE 的度数．16.（7分）如图，梯形ABCD 中，120AD BC AB DC ADC =∠=∥，，，对角线CA平分DCB ∠，E 为BC 的中点，试求DCE △与四边形ABED 面积的比．17.（8分）在矩形纸片ABCD 中，33AB =，6BC =，沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P处，点D 落在点Q 处，AD 与PQ 相交于点H ，30BPE ∠=．AＤＢEC（1）求BE 、QF 的长； （2）求四边形PEFH 的面积．18.（本题12分）如图，四边形ABCD 位于平面直角坐标系的第一象限，B 、C 在x 轴上，A 点函数xy 2上，且AB ∥CD ∥y 轴，AD ∥x 轴，B （1，0）、C （3，0）。
华师大版数学八年级下册19.2《菱形》(第1课时)说课稿
华师大版数学八年级下册19.2《菱形》（第1课时）说课稿一. 教材分析菱形是初中数学中的重要内容，华师大版数学八年级下册19.2节主要介绍了菱形的性质。
这部分内容在教材中占据重要地位，既是对之前所学平行四边形的巩固，又是后续学习圆的知识的铺垫。
教材通过丰富的实例和探究活动，引导学生发现菱形的性质，培养学生的观察能力、推理能力和实践能力。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了平行四边形的性质，具备了一定的几何知识基础。
但是，对于菱形这一概念，学生可能比较陌生，需要通过实例和活动，让学生直观地感受菱形的特征。
此外，学生对于如何发现和证明几何性质的方法可能还不够熟练，需要在教学中加以引导和培养。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生会识别菱形，理解并掌握菱形的性质，能够运用菱形的性质解决一些简单的问题。
2.过程与方法：学生通过观察、操作、推理等过程，培养观察能力、推理能力和实践能力。
3.情感态度与价值观：学生能够积极参与数学活动，体验成功的喜悦，培养对数学的兴趣和信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：菱形的性质。
2.教学难点：如何引导学生发现和证明菱形的性质。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用引导发现法、实践操作法、合作交流法等。
2.教学手段：多媒体课件、实物模型、几何画板等。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些生活中的菱形图案，如钻石、蜂巢等，引导学生关注菱形这一几何图形。
2.新课导入：介绍菱形的定义，引导学生发现菱形的特点。
3.性质探究：引导学生通过观察、操作、推理等方法，发现菱形的性质。
4.性质证明：引导学生运用之前学过的知识，证明菱形的性质。
5.应用拓展：出示一些练习题，让学生运用菱形的性质解决问题。
6.总结：对本节课的内容进行总结，强调菱形的性质。
7.布置作业：布置一些有关菱形的练习题，巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计如下：1.定义：四条边相等的四边形2.对角线：垂直且平分3.角度：对角相等4.边长关系：邻边垂直且长度相等八. 说教学评价本节课的评价主要从学生的知识掌握、能力培养和情感态度三个方面进行。
2020—2021年华东师大版八年级数学下册《菱形的判定》同步训练(含答案).docx
（新课标）华东师大版八年级下册19.2.1菱形的判定一．选择题（共6小题）1．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，﹣2），四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形2．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点，连接AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，四边形EMFN是（）A．正方形B．菱形C．矩形D．无法确定3．下列说法正确的是（）A．对角线相等的平行四边形是菱形B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形C．对角线相互垂直的四边形是菱形D．有一个角是直角的平行四边形是菱形4．如图，在平行四边形ABCD中，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD是菱形的是（）A．AB=BC B．AC⊥BD C．BD平分∠ABC D．AC=BD5．下列说法中，正确的是（）A．同位角相等 B．对角线相等的四边形是平行四边形C．矩形的对角线一定互相垂直 D．四条边相等的四边形是菱形6．下列说法中，正确的是（）A．同位角相等 B．对角线相等的四边形是平行四边形C．四条边相等的四边形是菱形 D．矩形的对角线一定互相垂直二．填空题（共7小题）7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是_________ （写出一个即可）．8．已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD 成为一个菱形，你添加的条件是_________ ．9．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是_________ （只填写序号）．10．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD= _________ ，平行四边形CDEB为菱形．11．如图，在平行四边形ABCD中，请再添加一个条件，使它成为菱形，则该条件可以是_________ ．12．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有_________ （只填写序号）．．13．在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，那么再加上条件_________ ，此四边形就成为菱形（填上一个正确的条件即可）．三．解答题（共7小题）14．如图：在▱ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC的延长线交于E．（1）求证：△ABC≌△DCE；（2）若AC=BC，求证：四边形ACED为菱形．15．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O，点E在AO上，且OE=OC．（1）求证：∠1=∠2；（2）连结BE、DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由．16．如图，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．求证：四边形AEDF是菱形．17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD=∠BCD，AM=AN，求证：四边形ABCD是菱形．18如图所示，已知：矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线EF与AB、CD的延长线分别交于点E、F．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形？并证明你的结论．19.如图，在▱ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F．（1）试说明四边形AECF是平行四边形；（2）当EF过AC的中点，且与AC垂直时，试说明四边形AECF是菱形．13．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF与BE交于G，DF与CE交于H．求证：四边形EGFH为菱形．19.2.1菱形的判定参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，﹣2），四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形考点：菱形的判定；坐标与图形性质．分析：在平面直角坐标系中，根据点的坐标画出四边形ABCD，再根据图形特点进行判断．解答：解：图象如图所示：∵A（﹣3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，﹣2），∴OA=0C，OB=OD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵BD⊥AC，∴四边形ABCD为菱形，故选：B．点评：本题考查了点的坐标的表示方法，及菱形的判定定理．2．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点，连接AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，四边形EMFN是（）A．正方形B．菱形C．矩形D．无法确定考点：菱形的判定；矩形的性质．分析：求出四边形ABFE为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，根据平行四边形的性质得出BE∥FD，即GE∥FH，同理可证EH∥GF，得出四边形EGFH为平行四边形，求出GE=GF，根据菱形的判定得出即可．解答：解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD=BC，又∵E，F分别为AD，BC中点，∴AE∥BF，AE=BF，ED∥CF，DE=CF，∴四边形ABFE为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，∴BE∥FD，即GE∥FH，同理可证EH∥GF，∴四边形EGFH为平行四边形，∵四边形ABFE为平行四边形，∠ABC为直角，∴ABFE为矩形，∴AF，BE互相平分于G点，∴GE=GF，∴四边形EGFH为菱形．故选B．点评：本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，平行四边形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较好，综合性比较强．3．下列说法正确的是（）A．对角线相等的平行四边形是菱形B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形C．对角线相互垂直的四边形是菱形D．有一个角是直角的平行四边形是菱形考点：菱形的判定．分析：利用菱形的判定定理对各个选项逐一判断后即可确定正确的选项．解答：解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故A选项错误；B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B选项正确；C、对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故C选项错误；D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D选项错误，故选：B．点评：本题考查了菱形的判定，牢记菱形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．4．如图，在平行四边形ABCD中，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD是菱形的是（）A．AB=BC B．AC⊥BD C．BD平分∠ABC D．AC=BD考点：菱形的判定；平行四边形的性质．分析：根据菱形的判定定理，即可求得答案．注意排除法的应用．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴A、当AB=BC时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得▱ABCD是菱形，故本选项正确；B、当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得▱ABCD是菱形，故本选项正确；C、当BD平分∠ABC时，易证得AB=AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得▱ABCD是菱形，故本选项正确；由排除法可得D选项错误．故选D．点评：此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键．5．下列说法中，正确的是（）A．同位角相等B．对角线相等的四边形是平行四边形C．矩形的对角线一定互相垂直D．四条边相等的四边形是菱形考点：菱形的判定；同位角、内错角、同旁内角；平行四边形的判定；矩形的性质．分析：A、根据平行线的性质进行判断；B、由平行线的判定定理进行判断；C、由矩形的性质进行判断；D、由菱形的判定定理进行判断．解答：解：A、两直线平行时，同位角才相等．故本选项错误；B、对角线相等的四边形不一定是平行四边形．例如：等腰梯形的对角线相等．故本选项错误；C、矩形的对角线不一定互相垂直，菱形的对角线一定垂直．故本选项错误；D、根据菱形的定义知，四条边相等的四边形是菱形．故本选项正确；故选：D．点评：本题考查了菱形、平行四边形的判定，矩形的性质等．熟记四边形的性质和定义是解题的关键．6．下列说法中，正确的是（）A．同位角相等B．对角线相等的四边形是平行四边形C．四条边相等的四边形是菱形D．矩形的对角线一定互相垂直考点：菱形的判定；同位角、内错角、同旁内角；平行四边形的判定；矩形的性质．分析：根据平行线的性质判断A即可；根据平行四边形的判定判断B即可；根据菱形的判定判断C即可；根据矩形的性质判断D即可．解答：解：A、如果两直线平行，同位角才相等，故A选项错误；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故B选项错误；C、四边相等的四边形是菱形，故C选项正确；D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故D选项错误；故选C．点评：本题考查了平行线的性质，平行四边形、菱形的判定、矩形的性质的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．二．填空题（共7小题）7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是AB=AD （写出一个即可）．考点：菱形的判定．专题：开放型．分析：利用菱形的判定定理添加邻边相等或对角线垂直即可判定该四边形是菱形．解答：解：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴添加的条件是AB=AD（答案不唯一），故答案为：AB=AD．点评：本题考查了菱形的判定，牢记菱形的判定定理是解答本题的关键．8．已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD 成为一个菱形，你添加的条件是AD=DC ．考点：菱形的判定；平行四边形的性质．专题：开放型．分析：根据菱形的定义得出答案即可．解答：解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：可以为：AD=DC；故答案为：AD=DC．点评：此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，根据菱形的定义得出是解题关键．9．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是③（只填写序号）．考点：菱形的判定．专题：推理填空题．分析：首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定该四边形为平行四边形，然后结合菱形的判定得到答案即可．解答：解：由题意得：BD=CD，ED=FD，∴四边形EBFC是平行四边形，①BE⊥EC，根据这个条件只能得出四边形EBFC是矩形，②BF∥CE，根据EBFC是平行四边形已可以得出BF∥CE，因此不能根据此条件得出菱形，③AB=AC，∵，∴△ADB≌△ADC，∴∠BAD=∠CAD∴△AEB≌△AEC（SAS），∴BE=CE，∴四边形BECF是菱形．故答案为：③．点评：本题考查了菱形的判定，解题的关键是了解菱形的判定定理，难度不是很大．10．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD= ，平行四边形CDEB为菱形．考点：菱形的判定．分析：首先根据勾股定理求得AB=5；然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知OD=OB，CD=CB；最后Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB的值，则AD=AB﹣2OB．解答：解：如图，连接CE交AB于点O．∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB==5（勾股定理）．若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD=OB，CD=CB．∵AB•OC=AC•BC，∴OC=．∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB===，∴AD=AB﹣2OB=．故答案是：．点评：本题考查了菱形的判定与性质．菱形的对角线互相垂直平分．11．如图，在平行四边形ABCD中，请再添加一个条件，使它成为菱形，则该条件可以是AC⊥BD，AB=BC ．考点：菱形的判定；平行四边形的性质．专题：开放型．分析：在平行四边形ABCD的基础上，邻边相等或对角线互相垂直均可判定．解答：解：在平行四边形ABCD的基础上①∵菱形ABCD是一组邻边相等的平行四边形，∴平行四边形ABCD中，只需添一个条件：邻边AB=AD或AD=CD；②∵菱形ABCD的对角线互相垂直平分，∴平行四边形ABCD中，只需添一个条件：AC⊥BD．故答案是：AC⊥BD，AB=BC等．点评：本题主要考查的是平行四边形和菱形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于平行四边形、菱形之间的关系．12．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有①②③④（只填写序号）．考点：菱形的判定；平行四边形的判定；矩形的判定．专题：压轴题．分析：根据平行四边形、矩形、菱形的判定方法进行解答．解答：解：①∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形；故①正确；②若∠BAC=90°，则平行四边形AEDF是矩形；故②正确；③若AD平分∠BAC，则DE=DF；所以平行四边形是菱形；故③正确；④若AD⊥BC，AB=AC；根据等腰三角形三线合一的性质知：DA平分∠BAC；由③知：此时平行四边形AEDF是菱形；故④正确；所以正确的结论是①②③④．点评：此题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；一组邻边相等的平行四边形是菱形．13．在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，那么再加上条件AB=AD ，此四边形就成为菱形（填上一个正确的条件即可）．考点：菱形的判定．专题：开放型．分析：根据两组对边相等的四边形是平行四边形，可知四边形ABCD是平行四边形；根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可补充条件AB=AD．此题属开放性题目，答案不唯一．解答：解：可添加的条件为AB=AD，∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=AD，∴四边形ABCD为菱形．故答案为：AB=AD．点评：此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．三．解答题（共7小题）14．如图：在▱ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC的延长线交于E．（1）求证：△ABC≌△DCE；（2）若AC=BC，求证：四边形ACED为菱形．考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：（1）利用AAS判定两三角形全等即可；（2）首先证得四边形ACED为平行四边形，然后证得AC=AD，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．解答：证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠B=∠1，又∵DE∥AC∴∠2=∠E，在△ABC与△DCE中，，∴△ABC≌△DCE；（2）∵平行四边形ABCD中，∴AD∥BC，即AD∥CE，由DE∥AC，∴ACED为平行四边形，∵AC=BC，∴∠B=∠CAB，由AB∥CD，∴∠CAB=∠ACD，又∵∠B=∠ADC，∴∠ADC=∠ACD，∴AC=AD，∴四边形ACED为菱形．点评：本题考查了菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理，难度不大．15．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O，点E在AO上，且OE=OC．（1）求证：∠1=∠2；（2）连结BE、DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由．考点：菱形的判定；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：（1）证明△ADC≌△ABC后利用全等三角形的对应角相等证得结论；（2）首先判定四边形BCDE是平行四边形，然后利用对角线垂直的平行四边形是菱形判定菱形即可．解答：（1）证明：∵在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠1=∠2；（2）四边形BCDE是菱形；证明：∵∠1=∠2，∴AC垂直平分BD，∵OE=OC，∴四边形DEBC是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形DEBC是菱形．点评：本题考查了菱形的判定及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是了解菱形的判定方法，难度不大．16．如图，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D 重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．求证：四边形AEDF 是菱形．考点：菱形的判定；翻折变换（折叠问题）．专题：证明题．分析：由∠BAD=∠CAD，AO=AO，∠AOE=∠AOF=90°证△AEO≌△AFO，推出EO=FO，得出平行四边形AEDF，根据EF⊥AD得出菱形AEDF．解答：证明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°∵在△AEO和△AFO中，∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO=FO又∵A点与D点重合，∴AO=DO，∴EF、AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形又EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形．点评：本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，线段垂直平分线，全等三角形的性质和判定等知识点，注意：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD=∠BCD，AM=AN，求证：四边形ABCD是菱形．考点：菱形的判定．专题：证明题．分析：首先证明∠B=∠D，可得四边形ABCD是平行四边形，然后再证明△ABM ≌△ADN可得AB=AD，再根据菱形的判定定理可得结论．解答：证明：∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD=180°，∠D+∠C=180°，∵∠BAD=∠BCD，∴∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AM⊥BC，AN⊥DC，∴∠AMB=∠AND=90°，在△ABM和△ADN中，，∴△ABM≌△ADN（AAS），∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形．点评：此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．18．如图所示，已知：矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线EF与AB、CD的延长线分别交于点E、F．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形？并证明你的结论．考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．专题：证明题．分析：（1）由矩形的性质：OB=OD，AE∥CF证得△BOE≌△DOF；（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．根据已知条件可证明四边形AECF是平行四边形，当EF⊥AC，可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定．解答：证明：（1）∵四边形ABCD是矩形∴OB=OD（矩形的对角线互相平分）AE∥CF（矩形的对边平行）∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF∴△BOE≌△DOF（AAS）；（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．证明：∵四边形ABCD是矩形∴OA=OC（矩形的对角线互相平分）又∵△BOE≌△DOF∴OE=OF∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．点评：本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质和菱形的判定．解答此题的关键是熟知矩形、菱形、全等三角形的判定与性质定理．19．如图，在▱ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F．（1）试说明四边形AECF是平行四边形；（2）当EF过AC的中点，且与AC垂直时，试说明四边形AECF是菱形．考点：菱形的判定；平行四边形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）要说明四边形AECF是平行四边形，我们可以通过说明AE=CF、AE∥CF或AO=CO、EO=FO．证△AOE≌△COF可得；（2）运用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来加以说明．解答：解：（1）∵在平行四边形ABCD中，∴AD∥BC，∴∠EAC=∠FCA，∠AEF=∠CFE．又AO=OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．∴四边形AECF是平行四边形；（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（2）∵四边形AECF是平行四边形，AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）点评：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．20．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF与BE交于G，DF与CE交于H．求证：四边形EGFH为菱形．考点：菱形的判定；矩形的性质．专题：证明题．分析：根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边形，可证明四边形AECF、BEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得GF与EH、EG与FH的关系，根据平行四边形的判定，可得EGFH的形状，根据三角形全等，可得EG与FG的关系，根据菱形的定义，可得证明结论．解答：证明：∵在矩形ABCD中AD=BC，且E、F分别是AD、BC的中点，∴AE=DE=BF=CF又∵AD∥BC，∴四边形AECF、BEDF是平行四边形．∴GF∥EH、EG∥FH．∴四边形EGFH是平行四边形．在△AEG和△FBG中，，∴△AEG≌△FBG（AAS）∴EG=GB，AG=GF，在△ABE和△BAF中∵，∴△ABE≌△BAF（SAS），∴AF=BE，∵EG=GB=BE，AG=GF=AF，∴EG=GF，∴四边形EGFH是菱形．点评：考查了菱形的判定，牢记有关菱形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．。
华师大版八年级数学下册：第19章《矩形、菱形与正方形》章末检测(2)及答案.docx
第十九章矩形，菱形与正方形章末测试（二）总分120分120分钟农安县合隆中学徐亚惠一．选择题（共8小题，每题3分）1．对角线相等且互相平分的四边形是（）A．一般四边形B．平行四边形C．矩形 D．菱形2．下列说法中不能判定四边形是矩形的是（）A．四个角都相等的四边形 B．有一个角为90°的平行四边形C．对角线相等的平行四边形D．对角线互相平分的四边形3．已知，在等腰△ABC中，AB=AC，分别延长BA，CA到D，E点，使DA=AB，EA=CA，则四边形BCDE是（）A．任意四边形B．矩形 C．菱形 D．正方形4．在平行四边形ABCD中，增加一个条件能使它成为矩形，则增加的条件是（）A．对角线互相平分B．AB=BC C．AB=AC D．∠A+∠C=180°5．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分（图中阴影部分）的面积是（）A．2 B．C．1 D．6．下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A．AC⊥BD，AC与BD互相平分B．AB=BC=CD=DAC．AB=BC，AD=CD，AC⊥BD D．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD7．已知四边形ABCD是平行四边形，若要使它成为正方形，则应增加的条件是（）A．AC⊥BD B．AC=BD C．AC=BD且AC⊥BD D．AC平分∠BAD8．△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，则点O到三边AB、AC、BC的距离为（）A．2cm，2cm，2cm B．3cm，3cm，3cm C．4cm，4cm，4cm D．2cm，3cm，5cm二．填空题（共6小题，每题3分）9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，若再补充一个条件，如∠A= _________ 度时，就能推出四边形ABCD是矩形．10．如图，已知MN∥PQ，EF与MN，PQ分别交于A、C两点，过A、C两点作两组内错角的平分线，分别交于点B、D，则四边形ABCD是_________ ．11．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是_________ ．12．在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，则四边形ABCD是_________ ．13．一组邻边相等的_________ 是正方形，有一个角是_________ 角的菱形是正方形．14．如图，在△ABC中，点D是边BC上一动点，DE∥AC，DF∥AB，对△ABC及线段AD添加条件_________ 使得四边形AEFD是正方形．三．解答题（共11小题）15．（6分）如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC．过点C作CG⊥AD，垂足为G，AF是BC边上的中线，连接FG．（1）求证：AC=FG．（2）当AC⊥FG时，△ABC应是怎样的三角形？为什么？16．（6分）如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形：△ABD，△BCE，△ACF，请解答下列问题：（1）求证：四边形AFED是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是菱形？（4）对于任意△ABC，▱AFED是否总存在？17．（6分）如图，BC是等腰三角形BED底边DE上的高，四边形ABEC是平行四边形．判断四边形ABCD的形状，并说明理由．18．（6分）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．（1）求证：AC=BE；（2）若∠AFC=2∠D，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是矩形．19．（6分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC，DF⊥AC，EG⊥AB，垂足分别为点D、E、F、G，DF、EG相交于点P．判断四边形MDPE的形状，并说明理由．20．（8分）如图：在平行四边形ABCD中，AC的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，交AC于O点，试判断四边形AECF的形状，并说明理由．21．（8分）如图所示，▱ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、BC、AC分别交于点E、F、O，连接AF，EC，则四边形AFCE是菱形吗？为什么？22．（8分）在△ABC中，点O是AC边上一动点，点P在BC延长线上，过点O的直线DE∥BC交∠ACB与∠ACP的平分线于点D、E．（1）点O在什么位置时，四边形ADCE是矩形？说明理由．（2）在（1）的条件下，当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCE是正方形？为什么？23．（8分）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．（3）当点O在边AC上运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？24．（8分）如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF会是正方形．25．（8分）（1）如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由。