高中数学 极限的概念素材
数学极限知识点总结
数学极限知识点总结一、极限的概念极限是一个重要的数学概念，它描述了一个函数在自变量趋近某个特定值时的行为。
具体地说，当自变量x在某一点a附近不断靠近，同时函数f(x)的取值也逐渐接近某个特定的数L时，我们就说函数f(x)在自变量x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
这个定义可以用符号表示为：对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-L|<ε。
在这个定义中，ε和δ分别表示"误差"和"变化范围"，而当自变量x距离a足够近时，函数f(x)的取值与极限L的差异也会变得足够小。
换句话说，极限描述了函数在某点附近的稳定性和趋势。
在实际问题中，极限的概念常常用于描述随着自变量的变化，函数取值的趋势。
比如，在物理学中，我们可以用极限来描述速度、加速度、流体的流动等随着时间或空间的变化而变化的量。
而在工程中，极限也可以描述材料的强度、电路的稳定性等。
因此，极限是数学中一个十分重要、普遍且有广泛应用的概念。
二、极限的性质1.极限的唯一性如果一个函数在某点附近有极限，那么这个极限是唯一的。
换句话说，对于一个自变量x趋近于a的函数f(x)，其极限只能有一个确定的值。
这个性质使得我们可以不用担心在计算函数的极限时会出现多个可能的结果，从而保证了极限的一致性和确定性。
2.极限的局部保号性如果函数f(x)在某点a的邻域内除a点外有定义，并且lim(x→a)f(x)=L，则当L>0时，存在a的某个邻域，使得邻域内的函数值都大于0；当L<0时，存在a的某个邻域，使得邻域内的函数值都小于0。
这个性质表明了在极限存在的情况下，函数在足够靠近极限点的地方都具有一致的正负性。
3.极限的局部有界性如果函数f(x)在某点a的邻域内除a点外有定义，并且lim(x→a)f(x)=L，则存在一个正数M，使得a的某个邻域内函数的取值都在区间(-M,M)之间。
高中数学极限知识点lim
高中数学极限知识点lim
嘿，朋友！说起高中数学里的极限知识点“lim”，那可真是一座充满挑战又藏着宝藏的大山呀！
你想啊，极限就像是一场追逐游戏。
想象一下，你在追一只跑得超快的兔子，你永远也追不上它，但你能越来越接近它，那个无限接近
却又碰不到的点，就是极限。
比如说，函数 y = 1 / x ，当 x 趋近于无穷大时，y 就趋近于 0 。
这
就好像你站在一条无限长的跑道上，越往前跑，手里的东西就变得越轻，轻到几乎感觉不到重量，那个几乎为 0 的感觉就是极限。
再看数列的极限。
就像一群小朋友排队报数，1，2，3，4……一直报下去，当报到无穷大的时候，某个和式或者乘积式会趋近于一个固
定的值，这就是数列的极限。
还有函数的极限，那简直就是数学世界里的神秘探险！比如说，f(x) = sin(x) / x ，当 x 趋近于 0 时，极限值是 1 。
这就好比是在走钢丝，越靠近那个关键的点，越要保持平衡，找到那个稳定的结果。
计算极限也有不少技巧呢！比如等价无穷小替换，这就像是找到了一把神奇的钥匙，能轻松打开难题的大门。
可别小看了极限，它在数学的各个领域都大显身手。
就像盖房子的基石，没有它，好多高楼大厦都建不起来。
在解决实际问题中，极限也能帮大忙。
比如在物理学中计算瞬时速度，不就是通过极限的思想来搞定的吗？
学极限可不能怕吃苦，得像个勇敢的探险家，不怕困难，勇往直前。
多做练习题，多思考，多总结，你就会发现，原来极限也没那么可怕，反而充满了乐趣和惊喜！
所以啊，朋友们，好好掌握极限这个知识点，让它成为你数学世界
里的得力助手，帮你攻克一个又一个难题，开启数学的奇妙之旅！。
归纳极限知识点总结高中
归纳极限知识点总结高中一、极限的定义在介绍极限的相关知识之前，首先需要明确极限的定义。
在数学中，对于一个函数f(x)，当x的取值趋于某个数a时，如果函数f(x)的取值也趋于某个数L，那么我们就说函数f(x)在x趋于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
这个定义可以通过数学公式来表示，即对于任意的正实数ε，存在对应的正实数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-L|<ε成立。
二、极限存在与不存在的判定1. 无穷极限存在的条件当x的取值趋于正无穷或负无穷时，如果函数的取值有限且有确定的值L，那么函数在无穷处的极限存在，即lim(x→+∞)f(x)=L或lim(x→-∞)f(x)=L。
2. 极限不存在的情况当x趋于某个数a时，如果函数f(x)的极限不存在，可能有以下几种情况：a) 函数f(x)在a的邻域内没有定义；b) 函数f(x)在a的邻域内存在无穷大的值；c) 函数f(x)在a的邻域内振荡或者是分段函数的情况。
三、极限的性质1. 唯一性如果函数f(x)在x趋于a时的极限存在，并且是唯一的，那么就可以说函数f(x)在x趋于a时的极限存在。
如果函数在x趋于a时的极限不存在或者不唯一，那么就可以说函数在x趋于a时的极限不存在。
2. 夹逼定理对于一个函数f(x)和g(x)，如果它们在x趋于a时的极限存在且等于相同的值L，并且在x趋于a时，有h(x)≤f(x)≤g(x)，那么函数h(x)在x趋于a时的极限也存在且等于L。
3. 有界性如果函数f(x)在x趋于a时的极限存在且为L，那么对于任意的小于L的正数ε，存在对应的正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)|<ε成立。
四、无穷小量与无穷大量1. 无穷小量在微积分中，对于一个函数f(x)，如果在x趋于某个数a时，极限为零，那么我们就说函数f(x)是x趋于a时的无穷小量。
通常情况下，我们记作lim(x→a)f(x)=0。
极限概念知识点总结
极限概念知识点总结一、极限的基本概念1.1 极限的引入极限的概念最早是在微积分的发展过程中被引入的。
当人们试图解决一些问题时，发现需要对一些数列、函数、变量等的趋势进行描述和分析。
例如，当我们用一个数列的前几项来逼近某个数时，我们希望能够明确当数列的项数趋于无穷时，该数列是否真的能够逼近这个数；再如，当我们试图分析一个函数在某一点的性质时，我们也会遇到极限的概念。
因此，为了能够更加准确地描述数学对象在某个方面的性质，人们引入了极限的概念。
1.2 极限的定义数列的极限是极限的最基本形式之一。
对于一个数列{an}，当n趋于无穷时，如果an可以无限地地接近某个确定的数a，则称a为数列{an}的极限，记作lim（n→∞）an=a。
这个定义也可以推广到函数的极限、变量的极限等其他情形，如对于函数f(x)，当x趋于某一点c时，如果f(x)可以无限地地接近某个确定的数L，则称L为函数f(x)当x→c时的极限，记作lim（x→c）f(x)=L。
这就是极限的基本定义形式。
1.3 极限的性质极限具有一系列重要的性质，在实际应用中，这些性质被广泛地用于求解各种问题。
以下是一些极限的基本性质：1）唯一性：如果数列an有极限a，则这个极限是唯一的。
也就是说，一个数列只能有一个极限。
类似地，函数f(x)当x→c时的极限也是唯一的。
2）保号性：如果数列an的极限a>0（或a<0），则对于充分大的n，an>0（或an<0）。
3）夹逼准则：如果数列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，且lim（n→∞）an=lim（n→∞）cn=a，那么必有lim（n→∞）bn=a。
这个性质在确定一些数列的极限时常常会被用到。
4）四则运算法则：如果lim（n→∞）an=a，lim（n→∞）bn=b，那么有lim（n→∞）（an±bn）=a±b，lim（n→∞）（an×bn）=a×b，lim（n→∞）（an÷bn）=a÷b（b≠0）。
极限基础知识点总结
极限基础知识点总结一、极限的概念1.1 极限的概念极限是微积分中的基本概念，它描述了函数在某一点附近的行为。
在数学中，极限通常表示某一数列或函数在自变量取某一值时，与另一给定值（通常是无穷大或无穷小）的距离在很小的范围内。
1.2 极限的符号表示当趋近的过程是无穷远时，称为无穷极限。
常用符号表示：1.3 极限的定义数列极限的定义：对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时， a_n与特定数a的距离小于ε，即 |a_n - a|<ε。
函数在x=a处的极限定义：若对于任意ε>0，存在δ>0，当0< |x-a|<δ时， |f(x)-L|<ε。
1.4 极限的性质（1）唯一性：若极限存在，则唯一。
（2）局部有界性：若函数在某点处有极限，则函数在该点的去心邻域内有界。
（3）局部保号性：若函数在某一点有极限，则该点的去心邻域内函数与该点的极限保持同号。
二、极限的求解2.1 函数在无穷远处的极限当x趋于无穷大时，通常分析函数的渐近行为，例如当x趋近无穷大时，若函数趋近某一有限值，则说明函数有水平渐近线；若函数趋近无穷大，则说明函数有垂直渐近线。
2.2 无穷小的性质与判定无穷小在极限的计算中占有重要地位，一些基本的无穷小性质与无穷小的判定方法：2.3 函数的极限存在性判定对于一些特殊类型的函数，判断其在某一点是否存在极限，例如当x趋近某一值时，函数的变化趋势是否稳定，是否可以利用夹逼定理进行求解等。
2.4 极限存在性的定理弦截定理、单调有界定理、闭区间上连续函数的性质等有助于判断函数在某一点的极限是否存在。
三、极限的计算方法3.1 函数极限的基本运算法则函数极限的基本运算法则包括极限的四则运算法则、复合函数的极限、函数乘积与函数商的极限等。
3.2 极限的计算方法极限的计算方法包括利用函数的性质、夹逼定理、洛必达法则、泰勒展开等方法。
3.3 极限的分析对于一些复杂函数极限的计算问题，需要先进行极限的分析，例如观察函数的泰勒级数展开式，取其前几项进行计算等。
高中数学中的极限运算知识点总结
高中数学中的极限运算知识点总结极限是高中数学中重要的概念和工具之一，具有广泛的应用领域。
本文将对高中数学中的极限运算知识点进行总结，包括极限的概念、性质、计算方法以及实际应用等方面。
一、极限的概念1. 定义：当自变量趋近于某个确定值时，函数的取值趋近于某个确定值。
即极限是函数在某一点附近的局部性质。
2. 记号：用lim来表示极限，例如lim(x→a) f(x) = L，表示当x趋近于a时，函数f(x)的极限为L。
3. 无穷大与无穷小：当x趋近于无穷大时，函数的极限可能是无穷大或无穷小。
二、极限的性质1. 唯一性：函数在某一点的极限若存在，则唯一。
2. 有界性：有界函数的极限存在，且极限值在该有界区间内。
3. 局部性：极限的存在只与该点附近的函数值有关，与整体函数的取值无关。
4. 保号性：如果函数在某一点的极限存在且不为零，且函数在该点附近连续，则函数在该点附近保持与极限相同的符号。
三、极限的计算方法1. 代数运算法则：极限具有代数运算的性质，可以通过极限的加减乘除法则进行计算。
2. 数列极限法则：对于递推公式给定的数列，可以通过将递推公式的项逐项求极限来计算数列的极限。
四、常用的极限运算知识点1. 常用极限：- sinx/x的极限lim(x→0) = 1；- a^x(x趋于无穷大)的极限lim(x→∞) = ∞；- e^x(x趋于无穷大)的极限lim(x→∞) = ∞；- ln(1+x)/x的极限lim(x→0) = 1。
2. 极限的四则运算：- 两个函数的和（差）的极限等于各自函数的极限之和（差）；- 两个函数的乘积的极限等于各自函数的极限之积；- 两个函数的商的极限等于各自函数的极限之商，其中分母函数的极限不为0。
3. 极限的复合运算：- 实数函数与数列的极限运算；- 函数的函数与数列的极限运算。
五、极限的实际应用极限在数学、物理、经济等学科中具有广泛的应用，常见应用包括：1. 利用极限的概念和性质，推导出数学中的重要定理和公式；2. 在物理学中，通过极限，可以计算出物体在某一瞬间的速度、加速度等相关信息；3. 在经济学中，通过极限，可以计算出市场需求、供应等相关指标。
有关极限知识点总结
有关极限知识点总结一、极限的概念1.1 极限的定义在微积分中，我们通常用极限来描述函数在某一点附近的行为。
如果一个函数f(x)在x趋向于a的过程中，当x足够接近a时，f(x)的取值也趋向于一个确定的常数L，那么我们就说f(x)在x趋向于a时的极限存在，记作lim(x→a)f(x)=L。
这个定义还可以用符号ε和δ来表达，即对任意给定的ε>0，都存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立。
1.2 极限的几何意义极限可以理解为函数在某一点附近的局部平均值。
当x趋向于a时，函数f(x)在a点的极限就是当x趋近a时，f(x)对应的y值所形成的一个集合，而这个集合的平均值即为该点的极限值。
这也可以理解为函数在某一点附近的近似值，通过这个近似值，我们可以更好地了解函数在该点的行为。
1.3 极限的存在性极限并不是所有函数都存在的，有些函数在某些点处可能不存在极限。
一般来说，函数在某一点处的极限是否存在取决于该点的邻域内函数的性质和变化规律。
我们需要通过一些定理和性质来判断函数在某一点的极限是否存在。
二、极限的性质2.1 极限的唯一性如果函数f(x)在x趋向于a时的极限存在且是唯一的，那么这个极限值是确定的，记作lim(x→a)f(x)=L。
这说明函数在某一点的极限只可能有一个值，如果存在多个值，则说明函数在该点的极限不存在。
2.2 极限的局部性极限具有局部性的特点，即函数在某一点的极限与该点的邻域内的函数值相关。
当x趋向于a时，函数f(x)的极限值只与a点邻域内的函数值有关，与该点的邻域外的函数值无关。
这也说明了极限可以通过邻域内的近似值来确定。
2.3 极限的分段性如果一个函数可以分成若干个区间，每个区间内函数的极限存在且是确定的，那么这个函数在整个定义域内的极限也是存在的。
这说明了极限的存在性与区间的分割是有密切关系的，通过区间的极限可以得到整个函数的极限。
高中极限知识点总结
高中极限知识点总结
嘿！同学们，今天咱们来好好总结一下高中极限的知识点呢！
首先呀，咱们得搞清楚啥是极限。
哎呀呀，简单来说，极限就是一个数值趋近的过程呀！比如说，当x 无限接近某个值的时候，函数的值会怎么样呢？
一、极限的定义
哇！这可是基础中的基础呢！极限的定义一般是这样的：对于函数f(x)，如果当x 无限趋近于某个值 a 时，f(x)无限趋近于一个确定的常数L，那么就说L 是函数f(x)在x 趋近于a 时的极限。
这可得好好理解，不然后面可就麻烦啦！
二、极限的计算方法
哎呀呀，这部分可重要啦！
1. 代入法。
如果函数在某点连续，直接把这个点代入函数就能求出极限啦。
是不是挺简单？
2. 化简法。
有时候函数看起来很复杂，咱们得通过化简，比如约分呀，通分呀，把它变得简单，再求极限。
3. 洛必达法则。
这个可厉害啦！如果满足一定条件，通过对分子分母分别求导来计算极限。
三、极限的性质
哇！这也不能忽略呀！
1. 唯一性。
一个函数在某个点的极限是唯一的呢，不会有两个或者更多哟！
2. 局部有界性。
函数在某个点的极限存在，那么在这个点的某个邻域内，函数是有界的。
3. 保号性。
极限的正负和函数在某个邻域内的正负是有关联的哟！
四、极限的应用
哎呀呀，学了极限可有用啦！
1. 可以用来求曲线的切线斜率。
这在解析几何里可重要啦！
2. 帮助我们理解函数的连续性和间断点。
同学们，高中极限的知识点是不是很有趣呀？好好掌握这些，咱们在数学的海洋里就能游得更畅快啦！加油哇！。
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极 限 的 概 念（4月27日）
教学目的：理解数列和函数极限的概念；
教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限；
教学难点：数列和函数极限的理解
教学过程：
一、实例引入：
例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。
（1）求第n 天剩余的木棒长度n a (尺)，并分析变化趋势；（2）求前n 天截下的木棒的总长度n b (尺)，并分析变化趋势。
观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数n 无限增大时，数列的项n a 无限趋近于某个常数A （即A a n -无限趋近于0）。
n a 无限趋近于常数A ，意指“n a 可以任意地靠近A ，希望它有多近就有多近，只要n 充分大，就能达到我们所希望的那么近。
”即“动点n a 到A 的距离A a n -可以任意小。
二、新课讲授
1、数列极限的定义：
一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．
某个常数A （即A a n -无限趋近于0）
，那么就说数列}{n a 的极限是A ，记作 A a n n =∞
→lim 注：①上式读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”。
“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思。
A a n n =∞
→lim 有时也记作当n →∞时，n a →A ②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________ ③思考：是否所有的无穷数列都有极限？
例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由
（1）1，
21，31，…，n 1，… ；（2）21，32，43，…，1
+n n ，…；
（3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01，－0.001，…，n )1.0(-，…；
（5）－1,1，－1，…，n )1(-，…；
注：几个重要极限：
（1）01lim =∞→n n （2）C C n =∞
→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n q （1<q ）的极限是0，即 ：)1(0lim <=∞→q q n
n 2、当∞→x 时函数的极限
（1） 画出函数x
y 1=的图像，观察当自变量x 取正值且无限增大时，函数值的变化情况：函数值无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于正无穷大时，的极限是0，记作：01lim =+∞→x
x 一般地，当自变量x 取正值且无限增大时，如果函数 )(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =+∞
→)(lim 也可以记作，当x +∞→时，A x f →)(
（2）从图中还可以看出，当自变量x 取负值而x 无限增大时，函数x
y 1=
的值无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于负无穷大时，函数x y 1=的极限是0，记作：01lim =-∞→x x 一般地，当自变量x 取负值而x 无限增大时，如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =-∞
→)(lim
也可以记作，当x -∞→时，A x f →)(
（3）从上面的讨论可以知道，当自变量x 的绝对值无限增大时，函数x
y 1=
的值都无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于无穷大时，函数x y 1=的极限是0，记作01lim =∞→x x 一般地，当自变量x 的绝对值无限增大时，如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =∞
→)(lim 也可以记作，当x ∞→时，A x f →)(
特例：对于函数C x f =)(（C 是常数），当自变量x 的绝对值无限增大时，函数C x f =)(的值保持不变，所以当x 趋向于无穷大时，函数C x f =)(的极限就是C ，即
C C x =∞
→lim 例2：判断下列函数的极限：
（1）x x )21(lim +∞→ （2）x
x 10lim -∞
→ （3）21lim x x ∞→ （4）4lim ∞
→x
三、课堂小结
1、数列的极限
2、当x ∞→时函数的极限
四、练习与作业
1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限
（1）1，41，91， (21)
，… ；（2）7，7，7，…，7，…； （3）ΛΛ,2
)1(,,81,41,21n n
---； （4）2，4，6，8，…，2n ，…；
（5）0.1，0.01，0.001，…，n 10
1，…；
P
M
N A B C D （6）0，,32,21--…，11-n
，…； （7）,41,31,21-…，11)1(1+-+n n ，…； （8）,51,5
9,54…，52n ，…； （9）－2, 0，－2，…，1)1(--n
,…，
2、判断下列函数的极限：
（1）x x 4.0lim +∞→ （2）x x 2.1lim -∞→ （3）)1lim(-∞
→x （4）41lim
x x ∞→ （5）x x )101(lim +∞→ （6）x x )4
5(lim -∞→ （7）11lim 2+∞→x x （8）5lim ∞→x 补充：3、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点。
（1）求证：MN ⊥AB ； （2）若平面PCD 与平面ABCD 所成的二面角为θ，
能否确定θ，使得MN 是异面直线AB 与PC 的公垂线？
若可以确定，试求θ的值；若不能，说明理由。