3 函数极限存在的条件
ch3-3 函数极限存在的条件
设数列{xn } U ( x0 ; )且 lim xn x0 . n 则由定义知，对上述 0, 存在N 0, 使得当n, m N时有xn , xm U ( x0 ; ),
从而有 f ( xn ) f ( xm ) .
于是, 按数列的柯西收敛准则, 数列{ f ( xn )}的极限存在, 记为A, 即 lim f ( xn ) A.
n
' '' ' 或找到两个都以x0为极限的数列{xn }{xn }, 使 lim f ( xn )与 n '' lim f ( xn )都存在而不相等，则 lim f ( x)不存在. n x x0
归结原则可用来证明函数极限不存在和利用 已知函数的极限求数列极限.
例1
证 明 极 限 i msi n l
对于任给 0, 存在正数 ( ' ), 使得对任何x' , x '' U 0 ( x0 ; ) 都有 | f ( x ' ) f ( x '' ) | .
证 必 要 性 设 l i m f ( x ) A, 则 对 任 给 的 0, 存 在
x x0
正 数( ), 使 得 对 任 何 U ( x0 ; )有 f ( x ) A x
相应于数列极限的单调有界定理，单侧极限也有相应
的定理，以x x0 为例叙述并证明如下：
0 定理3.10(修改) 设f 为定义在U ( x0 )上的递增（减）有下（上）界
函数, 则右极限 lim f ( x)存在.
x x0
证 设f 在U ( x0 )上递增有下界,
xU ( x0 )
3.3函数极限存在的条件
xn A,
lim g xn B
n
数列极限的四则运算,对任意数列 xn 且
lim x n x0 , xn x0 , 有 lim n
n
f ( xn ) A g ( xn ) B
再根据海涅定理的充分性,有
首页
×
lim f ( x ) f ( xn ) A x f ( x) x0 lim lim x x0 g( x ) n g( x ) B lim g( x ) n
f ( x0 0) sup
0 xU ( x0 )
f ( x ) ; 若 f 递减,则
f ( x ).
首页
0 xU ( x0 )
×
(2) 设 f 为定义在U 0 ( x0 ) 上的递增函数 则
f ( x0 0) sup f ( x), f ( x0 0) inf f ( x) 0
lim f ( x ) A, lim g( x ) B( B 0)
x x0
证 已知 lim f ( x ) A与 lim g( x ) B 根据海涅定理
xn x0 , xn x0 必要性,对任意数列 xn 且 lim n
x x0 x x0
有 lim f
数列 f ( xn ) 的极限都相等.
首页
×
注7 可以利用柯西准则证明函数极限 lim f ( x )
的不存在:
x x0
x x0
设函数 在U ( x0 ; ')内有定义. lim f ( x ) 不存在
的充要条件是：存在 0 0 ,对任意正数 ( ') , 存在 x ', x U ( x0 ; ) , 有 f ( x ') f ( x) 0 .
函数极限存在的条件
函数极限存在的条件
极限是一种数学概念，它指函数针对某个变量在某个取值附近一组值集合所向上或向下无限趋近的状态。
极限运算可以用来判断函数是否存在极限，以及求出其值。
在函数的极限存在的条件下，可以使用极限概念来求出函数的行为。
1. 变量不可绝对值取值：函数的极限只有在变量不绝对取值时才存在。
例如，函数f(x)=1/x，当x→0时，这个函数没有定义边界值，因此它没有极限。
3. 函数的连续性：函数的极限只有在函数的连续性情况下才会存在。
数学定义中，连续性指函数被根据变量关系进行连续求值之后，变量的取值域完整无残缺。
换言之，连续的函数随着变量的取值变化，函数的取值也会跟随变化，即使变量取值近似趋于某一值也是如此。
因此，当函数具有连续性时，函数的极限也会存在。
4. 对称性：函数的极限只有在函数具有对称性时才会存在，这是由于对称性会使函数的变化情况一致，从而可以使极限数存在。
例如：函数f(x)=x2-2，其图像呈对称性，并且随着x增大（或减小），函数值逐渐向某一特定值无穷近，因此该函数的极限存在于x=0，且极限值为-2。
数学分析3-3函数极限存在的条件
x1 , x2 , 使得
, xn ,
, xn U ( x0 , n ),
| f ( xn ) A | 0 , n 1, 2, .
另一方面,
0|
xn
x0
| n
n
,
所以
lim
n
xn
x0 .
这与
lim
n
f
( xn )
A
矛盾.
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注: 1、 若 lim f (x) A 存在, x x0
f
为定义在U
(
x0
)上的单调有界函数,
则右极限 lim f ( x) 存在 . x x0
（相信大家也能够写出关于 lim f ( x) , lim f ( x) ,
x x0
x
lim f ( x) 的单调有界定理 .）
x
y y f (x)
几何意义
f (x0)
•
o a x0 b
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证
从而 f ( x) f ( xN1 ) A . 因此 A f (x) A .
即 lim f ( x) A. x x0
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三、柯西收敛准则
这里 仅给出 lim f ( x) 的柯西收敛准则, 请大家自 x
行写出其他五种极限类型的柯西收敛准则，并证
明之.
定理3.12 设 f (x) 在 的某个邻域{x | x M }上 有定义, 则极限 lim f ( x) 存在的充要条件是:
不妨设
f
在
U
(
x0
)
递减
.
因为 f (x) 有界, 故 sup f ( x) 存在, 设为A .
xU
函数极限存在的条件是什么
函数极限存在的条件是什么
函数极限存在的条件：
1、单调有界准则。
函数在某一点极限存在的充要条件是函数左极限和右极限在某点都存在且相等。
如果左右极限不相同、或者不存在。
则函数在该点极限不存在。
即从左趋向于所求点时的极限值和从右趋向于所求点的极限值相等。
2、夹逼准则，如能找到比目标版数列或者函数权大而有极限的数列或函数，并且又能找到比目标数列或者函数小且有极限的数列或者函数，那么目标数列或者函数必定存在极限。
函数极限求值方法：
当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：
第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。
第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。
第三：以上解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。
（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）。
函数极限存在的条件(精)
f (x) 存在.
三、单调有界定理 数列极限的单调有界定理: 在实数系中,有界的单调数列必有极限.
函数单侧极限的单调有界定理:
定理3.10
设f在
U
0
(
x0
)
单调有界, 则
证:
不妨设f在
U
0
(
x0
)
单调递增.
lim
x x0
f (x) 存在.
对任何含于
U
0
(
x0
)
且以
x0 为极限的递增数列{xn},
§3 函数极限存在的条件
教 学 要求
1．领会归结原则(海涅定理)、函数单侧极限的单调有界定理与柯西准则 的实质以及证明过程，掌握运用归结原则与柯西准则判定某些函数极 限的存在性。
2．掌握函数极限与数列极限的联系。 3．初步掌握用归结原则、柯西准则证明函数极限不存在的技巧。
§3 函数极限存在的条件
一、lim f (x) A 的 0 定义 xx0
x0
),
而
lim
n
f
(xn ) 不存在,
则lim xx0
f
(x)
不存在.
若
lim
n
xn'
x0 ,
lim
n
xn"
x0 ,
但
lim
n
f
(xn' )
lim
n
f
(xn" ),
则
lim f (x) 不存在.
xx0
例2
证明极限 limsin 1 不存在.
x0 x
y sin 1 x
例2 证明极限 limsin 1 不存在. x0 x
函数极限存在的条件
作业： 作业：
P55 1; 3
{ f ( x )} .
o 增性， 由 f ( x ) 的递增性，当 x ∈ ( x ′, x0 ) = U + ( x0 , δ ),时，有 f ( x ) ≤ f ( x′) < a + ε . o 由 a = x∈infx ) { f ( x )} ，当 x ∈ ( x ′, x0 ) = U + ( x0 , δ ), 时， U ( a − ε < a ≤ f ( x ).
这 一原则可 以简单地 写为： n→∞ →∞ lim f ( x ) = A ⇔ ∀ { xn } , xn → x0 ,有 lim f ( xn ) = A.
n →∞
lim 又 { xn } ⊂ U δo ′ ( x0 )， xn = x0 , ∃N > 0, 当 n > N 时，有 n →∞
证“ ⇒ ” x → x f ( x ) = a , 对 ∀ε > 0, ∃0 < δ < δ ′, 当 设 lim 0 < x − x0 < δ , 有 f ( x ) − a < ε .
n →∞ n →∞
都存在而不相等， 都存在而不相等，则 lim f ( x )不存在.
x → x0
1 例1 证明极限 lim sin 不存在. x→0 x 1 1 ′ ′′ ( n = 1, 2, L)，则显然有 证：设xn = ， xn = π nπ 2nπ + 2 ′ ′′ xn → 0，xn → 0( n → ∞ )，
∴ lim f ( x ) = a .
x → x0
n →∞
3-03函数极限存在条件精简版
ln
x
ln
x0
x0 0 .
证明 : x 0, ln x严格单调增加.
则 (1)对 设于 2x0. 0证1, 此 明0, 时 存: xl有 在imx满 lx0iml足 n1 lxnxnxln01,(x如 n0 若x不 0)然 的0,正.数列,
使得 ln xn 0 ,由此可知, n N ,
我们也可以用说明lim sin n不存在来说明 n
lim sin 1 不存在, 但是反之不成立.
x0
x
假设:如果 lim sin n a 存在,则 n
limsin(n 2) sin n 0 ,即lim 2cos(n 1)sin1 0
n
n
lim cos(n 1) 0 lim cos n 0, lim sin 2n 0,
即 0, M , x : M x ,
有 有 f ( xf ()x) AA ,,
limlimf (fx( x)) ssuupp f (fx)(x. ) .
x x
(
(
MM00,,)
)
三. Cauchy 收敛准则
定理3 ( Cauchy 收敛准则 )
(1) lim f ( x)存在 0, 0, x x0
x, x U o ( x0 , ),有 f ( x) f ( x) ; (2) lim f ( x)存在 0, X 0,
x
x, x : x X , x X ,
如果lim g( x)存在,证明lim f ( x)存在.
x0
x0
证明 由Cauchy 收敛准则 立即得到。
练习
1.
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§3 函数极限存在的条件
与讨论数列极限存在的条件一样，我们将从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性。
下面的定理只
对这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的。
下述归结原则有
时成为海涅（Heine）定理。
定理3.8（归结原则）设在内有定义。
存在的充要条件是：对任何含于
且以为极限的数列，极限都存在且相等。
证 [必要性] 设，则对任给的，存在正数，使得当时，
有。
另一方面，设数列且，则对上述的，存在
，使得当时，
有，从而有。
这就证明了。
(充分性) 设对任何数列且，有，则可用反证法推出
事实上，倘若当时不以为极限，则存在某，对任何（不论多么小），总存在
一点，尽管，但有。
现依次取，，
，…，，…，则存在
相应的点，，，…,…,使得，而，。
显然数列且，但当时不趋于。
这与假设相矛盾，所以必
有。
注1 归结原则也可简述为：
对任何（）有。
注2若可找到一个以为极限的数列，使不存在，或找到两个都以为极限的数列
注3与，使与都存在而不相等，
则不存在。
例1 证明极限不存在。
证设，（），则显然有
，（）
，（）。
故有归结原则即得结论。
函数的图象如图3-4所示。
由图象可见，当时，其函数值无限地在-1与1的范围内振
荡，而不趋于任何确定的数。
归结原则的意义在于把函数极限归结为数列极限来处理。
从而，我们能应用归结原则和数列极限的有
关性质来证明上一节中所述的函数极限的所有性质。
对于，，和这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的
形式，现以这种类型为例阐述如下：
定理3.9设函数在点的某空心右邻域有定义。
的充要条件是：对任何以
为极限的递减数列，有。
这个定理的证明可仿照定理3.8进行，但在运用反证法证明充分性时，对
的取法要作适当的修改，
以保证所找到的数列能递减地趋于。
证明的细节留给读者作为练习。
相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理。
现以这种类型为例叙述如下：
定理3.10设是定义在上的单调有界函数，则右极限存在。
证不妨设在上递增。
因在上有界，由确界原理，
存在，记为。
下证。
事实上，任给，按下确界定义，存在，使得。
取，则由
的递增性，对一切=，有
另一方面，由，更有。
从而对一切有
这就证得。
最后，我们叙述并证明关于函数极限的柯西准则。
定理3.11（柯西准则）设在内有定义。
存在的充要条件是：任给，存在
正数，使得对任何，，有
．
证必要性设，则对任给的，存在正数，使得
对任何有。
于是对任何，有。
充分性设数列且。
按假设，对任给的，存在正数，使得
对任何，有。
由于（），对上述的，存在，
使得当时有，, 从而有.
于是,按数列的柯西收敛准则,数列的极限存在,记为,即
.
设另一数列且, 则如上所证, 存在, 记为. 现证.
为此,考虑数列:,,,,．．．,,,．．．易见且
(见第二章§3例7).
故仍如上所证, 也收敛.
于是，作为的两个子列，与必有相同的极限。
所以由归结原则推得
按照函数极限的柯西准则，我们能写出极限不存在的充要条件：存
在，对任何
（无论多么小），总可找到，，使得．
如在例１中我们可取，对任何设正整数，令，
，则有，
，而
于是，按柯西准则极限不存在．。