高考数学复习 专题一 第一讲 函数与方程思想

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[思路点拨] 函数y＝f(x)的图像与y＝g(x)的图
像有且仅有两个不同的公共点，即方程f(x)－g(x)＝0有且
仅有两个不同的实数根，故可构造方程，利用方程思想解
பைடு நூலகம்
决．[解析]
由题意知函数f(x)＝
1 x
，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，
a≠0)的图像有且仅有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，等价于
法二：若设ab＝t，则a＋b＝t－3， 所以a，b可看成方程x2－(t－3)x＋t＝0的两个正根．
Δ＝t－32－4t≥0， 从而有a＋b＝t－3>0，
ab＝t>0，
t≤1或t≥9， 即t>3，
t>0，
解得t≥9，即ab≥9.
所以ab的取值范围是[9，＋∞)．
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法三：(看成不等式的解集) ∵a，b为正数， ∴a＋b≥2 ab，又ab＝a＋b＋3， ∴ab≥2 ab＋3. 即( ab)2－2 ab－3≥0， 解得 ab ≥3或 ab≤－1(舍去)， ∴ab≥9.∴ab的取值范围是[9，＋∞)．
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思想方法概述
角度一
角度二
专
第
应用角度例析 角度三
题
一
角度四
一
讲
角度五
通法归纳领悟
专题专项训练
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1．函数与方程思想的含义 (1)函数的思想： 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研 究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函 数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、 转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调 性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等．
因此该问题可转化为：求x为何值时，函数F(x)＝x2－ln x取得
最小值．
(2)由ab＝a＋b＋3变形可得b＝
a＋3 a－1
，从而求ab＝
aa＋3 a－1
的
取值范围问题可转化为求函数f(a)＝aaa－＋13的值域问题；若设
ab＝t，则a＋b＝t－3，从而a，b可看成方程x2－(t－3)x＋t＝0的
两根，利用方程的思想解决．
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(2)法一：(看成函数的值域) ∵ab＝a＋b＋3，a≠1，∴b＝aa＋ －31. 而b>0，∴aa＋ －31>0. 即a>1或a<－3，又a>0， ∴a>1，故a－1>0. ∴ab＝a·aa＋ －31＝a－12＋a－5a1－1＋4 ＝(a－1)＋a－4 1＋5≥9. 当且仅当a－1＝a－4 1，即a＝3时取等号． ∴ab的取值范围是[9，精品＋课件∞)．
设f(x)＝－cos2x＋sin x，x∈0，π2. 显然当且仅当a属于f(x)的值域时，a＝f(x)有解．
f(x)＝－(1－sin2x)＋sin
x＝sin
x＋122－54，
且由x∈0，π2知sin x∈(0,1]． 易求得f(x)的值域为(－1,1]．
故a的取值范围是(－1,1].
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函数与方程思想在解决函数图像交点及 方程根等问题中的应用
[例2] (2012·山东高考)设函数f(x)＝1x，g(x)＝ax2＋bx(a， b∈R，a≠0)．若y＝f(x)的图像与y＝g(x)的图像有且仅有两个不 同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是 ( )
A．当a<0时，x1＋x2<0，y1＋y2>0 B．当a<0时，x1＋x2>0，y1＋y2<0 C．当a>0时，x1＋x2<0，y1＋y2<0 D．当a>0时，x1＋x2>0，y1＋y2>0
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(3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一
元二次方程的明显信息，构造方程后再利用方程知识可使问
题巧妙解决.
(4)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关
系减少变量的个数，如果最后能把其中一个变量表示成关于
另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解
决.
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1．如果方程cos2x－sin x＋a＝0在0，π2上有解，求a的取值范围． 解：把方程变形为a＝－cos2x＋sin x.
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(2)方程的思想： 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量 关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或 方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题 得以解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指 导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问 题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．
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函数与方程思想在求最值及参数范围中 的应用
[例1] (1)设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图像分别
交于点M、N，则当|MN|达到最小时t的值为
()
A．1
B.12
5 C. 2
2 D. 2
(2)若a，b是正数，且满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．
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[思路点拨] (1)由题意可知|MN|＝f(x)－g(x)＝x2－ln x，
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[解析] (1)可知|MN|＝f(x)－g(x)＝x2－ln x. 令F(x)＝x2－ln x，则F′(x)＝2x－1x＝2x2x－1， 所以当0<x< 22时，F′(x)<0，F(x)单调递减； 当x> 22时，F′(x)>0，F(x)单调递增， 故当x＝ 22时，F(x)有最小值，即|MN|达到最小． [答案] D
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(1)求字母(式子)的值的问题往往要根据题设条件构 建以待求字母(式子)为元的方程(组)，然后解方程(组)求得.
(2)求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、 解析几何等问题中的重要问题，解决这类问题一般有两种途径： 其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元 的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待 求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域.
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2．函数思想与方程思想的联系 函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可 以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题
加以解决，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点， 解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y＝f(x)的正(或负) 区间，再如方程f(x)＝g(x)的解的问题可以转化为函数y＝ f(x)与y＝g(x)的交点问题，也可以转化为函数y＝f(x)－ g(x)与x轴的交点问题，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函 数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．