函数极值 PPT课件
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《高等数学》PPT课件
因dyx, 故有 dx y
fxfyxy 0
记
f x f y Байду номын сангаас
x y
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极值点必满足 引入辅助函数 则极值点满足:
fxx0
fyy0 (x,y)0
F f ( x , y ) ( x , y )
F x fx x 0
F y fyy 0
F 0
辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.利用拉格
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .
但驻点不一定是极值点.
例如, zxy有驻点( 0, 0 ),但在该点不取极值.
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推广 如果三元函数u f ( x, y, z)在点 P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在 P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条
所 以 z f ( 1 , 1 ) 2 为 极 小 值 ；
当 z2 6 时 ， A 1 4 0 ,
所 以 z f ( 1 , 1 ) 6 为 极 大 值 .
例3. 讨论函 数
zx3y3及 z(x2y2)2在点(0,0)
是否取得极值.
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点并,且在 (0,0) 都有
A<0 时取极大值;
则: 1) A C B 20时, 具有极值
当
A>0 时取极小值.
2) 当 A C B 20时, 没有极值.
3) 当 A C B 20时, 不能确定 , 需另行讨论.
证明见 第九节(P65) .
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求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：
函数的极值-课件
函数的极值-PPT课件
这份PPT课件介绍了函数的极值，包括引言、函数的极值点、函数的极值定理、 函数的极值应用等内容。通过本课件，你将深入了解这一重要数学概念的定 义、分类和应用。
一、引言
函数的极值是指函数在特定范围内的最大值或最小值。本节将讨论函数的极 值的定义以及不同类型的极值。
二、函数的极值点
极大值点和极小值点的定义
极大值点是函数在某个范围内的最大值，极小值点是函数在某个范围内的最小值。
函数求极值的步骤
求函数的极值需要确定函数的驻点和临界点，并通过对函数求导来判断是极大值还是极小值。
三、函数的极值定理
第一极值定理
如果函数在某个区间内连续且可导，那么在这个区 间内一定存在至少一个极值点。
六、参考文献
1 数学分册
数学分册中关于函数和极 值的相关章节提供了更深 入的理论和应用。
2 数学课程
数学课程中有关函数极值 的教材和讲义提供了更详 细的学习材料。
3 数学学习资料
网络上有很多关于函数的 极值的学习资料，可以进 一步加深对这一概念的理 解。
第二极值定理
如果函数在某个区间内可导，并且在驻点处的导数 不等于零，那么这个驻点必定不是极值点。
四、函数的极值应用
数学实际问题中的应 用
函数的极值在物理、经济学等 领域中的实际问题中有着广泛 的应用，如求解最大利润、最 小费用等。
OA题型解析
函数的极值常出现在各类OA题 目中，掌握函数的极值求解方 法有助于解答相关题目。
PSAT、SAT、GRE题 型解析
函数的极值是PSAT、SAT、GRE 等考试中经常出现的题型，熟 悉函数的极值概念和求解方法 对应试有帮助。
五、总结
1 函数的极值常见考点
这份PPT课件介绍了函数的极值，包括引言、函数的极值点、函数的极值定理、 函数的极值应用等内容。通过本课件，你将深入了解这一重要数学概念的定 义、分类和应用。
一、引言
函数的极值是指函数在特定范围内的最大值或最小值。本节将讨论函数的极 值的定义以及不同类型的极值。
二、函数的极值点
极大值点和极小值点的定义
极大值点是函数在某个范围内的最大值，极小值点是函数在某个范围内的最小值。
函数求极值的步骤
求函数的极值需要确定函数的驻点和临界点，并通过对函数求导来判断是极大值还是极小值。
三、函数的极值定理
第一极值定理
如果函数在某个区间内连续且可导，那么在这个区 间内一定存在至少一个极值点。
六、参考文献
1 数学分册
数学分册中关于函数和极 值的相关章节提供了更深 入的理论和应用。
2 数学课程
数学课程中有关函数极值 的教材和讲义提供了更详 细的学习材料。
3 数学学习资料
网络上有很多关于函数的 极值的学习资料，可以进 一步加深对这一概念的理 解。
第二极值定理
如果函数在某个区间内可导，并且在驻点处的导数 不等于零，那么这个驻点必定不是极值点。
四、函数的极值应用
数学实际问题中的应 用
函数的极值在物理、经济学等 领域中的实际问题中有着广泛 的应用，如求解最大利润、最 小费用等。
OA题型解析
函数的极值常出现在各类OA题 目中，掌握函数的极值求解方 法有助于解答相关题目。
PSAT、SAT、GRE题 型解析
函数的极值是PSAT、SAT、GRE 等考试中经常出现的题型，熟 悉函数的极值概念和求解方法 对应试有帮助。
五、总结
1 函数的极值常见考点
函数的极值课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
解：因为 = − − + , 所以′ = − −
令��′() = ，解得 = − ，或 = .
当变化时，′() ， 的变化情况如下表所示 .
x
(−∞, −)
′
+
y
单调递增
-1
(-1,3)
3
(, +∞)
0
-
0
+
单调递减
极小值
y
且 0 = 0 ，可知 d=0 .
∴ f′(x)先为负，再变为正，再变为负.
O
x
又 ′ = 3 2 + 2 +
∴ a<0
且 = 0 是在增区间内，即f ′ 0 > 0,
则c>0,对称轴 −
b
2a
> 0,可知b>0
综上， a<0，b>0，c>0，d=0 .
总结
函数的极值
函数f(x)，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做
（2）如果在 附近的左侧 ′ < ，右侧 ′ > ，那么( )是极小值.
课堂检测
判断正误
(1) 函数的极大值一定比极小值大．(
×)
(2) 对可导函数f(x)，f′(x0)＝0 是x0为极值点的充要条件．(
×
)
(3) 函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(
′ = ；而且在点 x=a 附近的左侧′ < ，右侧′ > .
把 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值；
y
a
O
令��′() = ，解得 = − ，或 = .
当变化时，′() ， 的变化情况如下表所示 .
x
(−∞, −)
′
+
y
单调递增
-1
(-1,3)
3
(, +∞)
0
-
0
+
单调递减
极小值
y
且 0 = 0 ，可知 d=0 .
∴ f′(x)先为负，再变为正，再变为负.
O
x
又 ′ = 3 2 + 2 +
∴ a<0
且 = 0 是在增区间内，即f ′ 0 > 0,
则c>0,对称轴 −
b
2a
> 0,可知b>0
综上， a<0，b>0，c>0，d=0 .
总结
函数的极值
函数f(x)，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做
（2）如果在 附近的左侧 ′ < ，右侧 ′ > ，那么( )是极小值.
课堂检测
判断正误
(1) 函数的极大值一定比极小值大．(
×)
(2) 对可导函数f(x)，f′(x0)＝0 是x0为极值点的充要条件．(
×
)
(3) 函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(
′ = ；而且在点 x=a 附近的左侧′ < ，右侧′ > .
把 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值；
y
a
O
同济第五版高数3-5极值最值.ppt
• 对于应用问题 有时可根据实际意义判别 对于应用问题,有时可根据实际意义判别 求出的可疑点是否为最大值点或最小值点. 求出的可疑点是否为最大值点或最小值点
例4 求函数 上的最大值和最小值 . 解
在闭区间
′( x) =6x2 − 18x + 12 f = 6( x − 1)( x − 2), 0 < x < 5 2
极 大 值
极大值 f ( −1) = 10, 极小值 f (3) = −22.
图形如下： f ( x ) = x − 3 x − 9 x + 5 图形如下：3 2来自yf ( −1)
−1 o
3
f ( 3)
x
定理3 第二充分条件 第二充分条件) 定理 (第二充分条件 处具有二阶导数,且 设 f (x)在 x0 处具有二阶导数 且 f ′( x0 ) = 0,
思考题
1.下列命题正确吗？ 1.下列命题正确吗？ 下列命题正确吗
的极小值点, 如果 x 0 为 f ( x ) 的极小值点,那么必存在 的某邻域,在此邻域内, x0 的某邻域,在此邻域内, f ( x ) 在 x0 的左侧 下降, 的右侧上升. 下降,而在 x 0 的右侧上升.
例3 求出函数 f ( x ) = 1 − ( x − 2) 的极值 .
2 解 f ′( x ) = − ( x − 2 ) ( x ≠ 2) 3 当x = 2时 , f ′( x )不存在 . y
− 1 3
2 3
但 函 数 f ( x )在 该 点 连 续 . 当x < 2时， f ′( x ) > 0; 当x > 2时，f ′( x ) < 0. o ∴ f (2) = 1为f ( x )的极大值 .
5.3.2函数的极值课件2024-2025学年人教A版必修第一册
x0 f′(x) =0 极大值
x0 f′(x) =0 极小值
x0右侧 f′(x) <0 减
x0右侧 f′(x) >0 增
练习：(多选)定义在 R 上的可导函数 y＝f(x)的导函数的图象如图所示，以下结论正
确的是
()
A．－3 是 f(x)的一个极小值点
B．－2 和－1 都是 f(x)的极大值点
C．f(x)的单调递增区间是(－3，＋∞)
x3
a x1 O x2
x4 x5
x6
bx
x4为极小值点，f (x4 )为极小值.
练1.下图是导函数y f '(x) 的图象，试找出函数y f (x) 的极值点. 并且指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.
y
x
(x4 , x6 )
x6
(x6 , b)
y f ( x)
f '(x) +
0
+
x3
f (x) 单调递增
O
b
x
(2)
注意：
(1) 极值是某一点附近的小区间而言的，是函数的局部性质，不是整体的最值； (2) 函数的极值不一定唯一，在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；
(3) 极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小. (4) 对于可导函数，若x0是极值点，则 f '(x0)=0;反之，若f '(x0)=0，则x0不一定 是极值点.
单调递增
a x1 O x2
x4 x5
x6
bx
f (x6 )既不是极大值也不是极小值.
问题3：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
f ′(x0)=0 ⇏ x0是函数 f(x) 的极值点
ppt-0302--函数单调性与极值、最值
y
b a
2 2
x y
(X
x).
令Y=0，得切线在x轴上的截距 X
a
2
.
x
令X=0，得切线在y轴上的截距 Y b2 . y
可知切线与两个坐标轴所围成的三角形面积为
S 1 XY a2b2 .
2
2xy
yb a
a2
x2 ,
S
a2b2 2xb a2 b2
a
(0 x a).
但是S最小当且仅当其分母 2bx a2 x2最大. a
令f (x) 0， 得到f (x)的驻点x1 1，x2 4.
f (1) 11，f (1) 41，f (2) 2,
6
6
3
可知f (x)在[1,2]上的最大值点为x 1，
最大值为f (1) 11. 6
最小值点为x 1，最小值为f (1) 41. 6
2
例6 设f (x) 1 2 (x 2)3，求f (x)在[0,3]上的最大值与 3
令y 0得驻点x1 1，x2 0，x3 3. y 12x2 16x 12.
y |x1 12 16 12 16 0
y |x0 12 0 y |x3 48 0
可知x1 1为函数的极小值点,
相应的极小值为y
| x 1
7. 3
x2 0为函数的极大值点，
相应极小大值为y |x0 0.
又因a，b为正常数，x a2 x2 0,
所以S最小当且仅当u x2 (a2 2x2 )最大.由于
u 2a2x 4x3 2x(a2 2x2 ),
令u 0，解出在(0,a)内的唯一驻点x0
2 a. 2
此时y0
2 b. 2
S a2b2 ab.
3.1.2 函数的极值 课件(北师大选修2-2)
(2)问可由(1)的结论，把问题转化为函数y＝f(x)与y＝a的图 像有3个不同的交点，利用数形结合的方法来求解．
[精解详析] 令f′(x)＝0，
(1)∵f′(x)＝3x2－3，
解得x1＝－1，x2＝1，
∴当x<－1或x>1时，f′(x)>0，
当－1<x<1时，f′(x)<0. ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)； f(x)的单调递减区间为(－1,1)． 当x＝－1时，f(x)有极大值3；
(1)对于可导函数来说，y＝f(x)在极值点处的导数
为0，但导数为0的点不一定是极值点．例如，函数y＝
x3在x＝0处，f′(0)＝0，但x＝0不是函数的极值点． (2)可导函数f(x)在x0取得极值的充要条件是f′(x0)＝0， 且在x0左侧与右侧，f′(x)的符号不同． (3)若函数y＝f(x)在(a，b)内有极值，则y＝f(x)在(a，
(1)按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端 点a，b. (2)极值是一个局部性概念，只要在一个小邻域内成立 即可． (3)极大值与极小值没有必然的大小关系，也不唯一．
(4)在区间上单调的函数没有极值．
[例1]
求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5； ln x (2)f(x)＝ x .
重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分
类讨论的思想、数形结合思想在解题中的应用，熟练掌 握单调性问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合 问题的关键．
7．函数f(x)＝x3－3x＋2的零点个数为________． 解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，
可知f(x)在(－∞，－1)及(1，＋∞)上是
高二数学函数的极值课件
寻找解决方案
如何将绝对值函数分段，以将其带入不同的定义 域来确定其极值。
带参数的函数极值
1 多元函数最值定理
了解多元函数最值定理的基本原理，以及如何将其应用于带参数的函数极值问题。
2 应用实例
如何根据问题的具体要求，确定函数参数的最优值。
函数反转法求函数最值
了解函数反转法
什么是函数反转法？如何通过函数反转法来简 化找到函数的最值。
常见极值点的类型
了解峰值点和谷值点的定义以及如何区分它们。
如何确定极值点
了解如何使用导数或其他方法确定函数的极值点。
求解函数极值的方法
1
使用导数法
导数法是求解函数极值的基本方法。
2
使用二次函数分析法
了解如何使用二次函数来分析实际问题，以确定函数的极值。
3
查看函数的图像
通过观察函数的图像来确定函数的极值。
一次函数的极值
一次函数的定义
了解一次函数的数学定义以及其图像。
应用实例
如何将一次函数应用于实际问题，以确定其最值。
二次函数的极值
1
二次函数的最值
2
如何通过计算或求导数来求解二次函
数的最值。
3
了解二次函数的图像
二次函数的图像是一个拱形。了解这 一特性在确定极值时的作用。
应用实例
如何将二次函数应用到实际问题中， 以确定其最值。
如何将极值理论与实际问题联系起来。
解决实际问题的思考过程
开发解决实际问题的有效思考过程。
应用实例
如何通过将学到的技能应用到实际问题中，解决实际问题。
三次函数的极值
了解三次函数的图像
三次函数的图像是一个拱形或S形。它可能 有一个或两个极值点。
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函数的极 值
•函数极值的概念 •函数极值的求法
函数极值的概念
设函数 y = f ( x )在(a , b)内连续 , x0 是(a , b)内一点
如果对于点 x0近旁的任意一点 x ， 均有 f ( x ) < f ( x0 )，
则就称 f ( x0 )是函数 f ( x )的一个极大值， 点 x0 是 f ( x )的一个极大点；
a
O
b x
A．1个 C．3个
B．2个 D． 4个
函数极值的求法
求可导函数 f (x) 的极值点和极值的步骤： (1) 确定函数的定义域；
(2) 求出导数f´(x)； (3) 令f ´(x)=0，求出 f (x)的全部驻点；
(4)用驻点把定义域划分为部分区间，
考察每个部分区间内 f ´(x) 的符号，
则函数 f (x)在点 x0 处取得极小值 f ´( x0 )
y yf(x)
在极大值点附近
f (x)>0
f (x)<0
f (x)<0
f (x)>0
Oa
x1
x2
bx
在极小值点附近
注意： （ⅰ）极值是一个局部概念
由定义，极值只是某个点的函数值与它 附近点的函数值比较是最大或最小
并不意味着它在函数的整个的定义域 内最大或最小
f (x5)0
函数极值的判定定理
设函数 f (x)在点 x0 的近旁可导且 f ´(x0) = 0 (1) 若在点 x0 的左侧近旁 f ´(x) 恒为正；
在点 x0 的右侧近旁 f ´(x)恒为负，
(1) 则函数 f (x)在点 x0 处取得极大值 f
(2)´若( x在0 )点 x0 的左侧近旁 f ´(x) 恒为负； 在点 x0 的右侧近旁 f ´(x)恒为正，
以确定每个驻点是否是极值点， 若是极值点，确定是极大点还是极小点。
例: 求 yx33x218x24的单调区间和极值.
2
解：(1) f (x) 的定义域为(－∞,＋∞)；
(2) f´(x) =－3x²+ 3x + 18
(3) 令 f ´(x) = 0得驻点 x1 =－2, x2 =3
(4) 列表讨论，如下：
（ⅱ）函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大 值或极小值可以不止一个
（ⅲ）极大值与极小值之间无 确定的大小关系
即一个函数的极大值未必大于极小值
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间
的内部，区间的端点不能成为极值点
而使函数取得最大值、最小值的点可
能在区间内部，也可能在区间的端
如果对于点 x0近旁的任意一点 x ， 均有 f ( x ) > f ( x0 )，
则就称 f ( x0 )是函数 f ( x )的一个极小值， 点 x0 是 f ( x )的一个极小点；
取得极值的必要条件：
如果函数 f (x) 在点 x0 处有极值，且 f (x0)存在， 则必有 f (x0)0。 驻点：使导数 f (x)为零的点叫函数 f(x)的驻点。
x (－∞,－2) －2
(－2 , 3)
3 (3 , + ∞)
f ´(x) －
0
+
0
－
f (x) 单调减少 极小值－62 单调增加 极大值16.5单调减少
函数在 x = －2处取得极小值－62 在 x = 3处取得极大值16.5
点
y
f(x5)
f(x3)
f(x1) f(x4)
a
x1
x2 O
x3 x4 x5
bx
f(b)
f(x2)
f(a)
例1：函数f(x)的定义域为开区间(a,b)， 导函数f’(x)在(a,b)内的图象如图所示， 则函数f(x)在开区间(a,b)内极值点有 （ ）极小值A 点有（ ） B
y
y f ?( x)
说明： 可导函数 f(x)的极值点必定 是函数的驻点。但函数 f(x)的驻 点却不一定是极值点。
y f(x)x3
O
x
函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得极值的点称为极值点。 观察与思考：极值与导数有何关系？
y yf(x)
O a x1
x2
x3
x4
x5 b x
f (x1)0 f (x2)0 f (x3)0
•函数极值的概念 •函数极值的求法
函数极值的概念
设函数 y = f ( x )在(a , b)内连续 , x0 是(a , b)内一点
如果对于点 x0近旁的任意一点 x ， 均有 f ( x ) < f ( x0 )，
则就称 f ( x0 )是函数 f ( x )的一个极大值， 点 x0 是 f ( x )的一个极大点；
a
O
b x
A．1个 C．3个
B．2个 D． 4个
函数极值的求法
求可导函数 f (x) 的极值点和极值的步骤： (1) 确定函数的定义域；
(2) 求出导数f´(x)； (3) 令f ´(x)=0，求出 f (x)的全部驻点；
(4)用驻点把定义域划分为部分区间，
考察每个部分区间内 f ´(x) 的符号，
则函数 f (x)在点 x0 处取得极小值 f ´( x0 )
y yf(x)
在极大值点附近
f (x)>0
f (x)<0
f (x)<0
f (x)>0
Oa
x1
x2
bx
在极小值点附近
注意： （ⅰ）极值是一个局部概念
由定义，极值只是某个点的函数值与它 附近点的函数值比较是最大或最小
并不意味着它在函数的整个的定义域 内最大或最小
f (x5)0
函数极值的判定定理
设函数 f (x)在点 x0 的近旁可导且 f ´(x0) = 0 (1) 若在点 x0 的左侧近旁 f ´(x) 恒为正；
在点 x0 的右侧近旁 f ´(x)恒为负，
(1) 则函数 f (x)在点 x0 处取得极大值 f
(2)´若( x在0 )点 x0 的左侧近旁 f ´(x) 恒为负； 在点 x0 的右侧近旁 f ´(x)恒为正，
以确定每个驻点是否是极值点， 若是极值点，确定是极大点还是极小点。
例: 求 yx33x218x24的单调区间和极值.
2
解：(1) f (x) 的定义域为(－∞,＋∞)；
(2) f´(x) =－3x²+ 3x + 18
(3) 令 f ´(x) = 0得驻点 x1 =－2, x2 =3
(4) 列表讨论，如下：
（ⅱ）函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大 值或极小值可以不止一个
（ⅲ）极大值与极小值之间无 确定的大小关系
即一个函数的极大值未必大于极小值
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间
的内部，区间的端点不能成为极值点
而使函数取得最大值、最小值的点可
能在区间内部，也可能在区间的端
如果对于点 x0近旁的任意一点 x ， 均有 f ( x ) > f ( x0 )，
则就称 f ( x0 )是函数 f ( x )的一个极小值， 点 x0 是 f ( x )的一个极小点；
取得极值的必要条件：
如果函数 f (x) 在点 x0 处有极值，且 f (x0)存在， 则必有 f (x0)0。 驻点：使导数 f (x)为零的点叫函数 f(x)的驻点。
x (－∞,－2) －2
(－2 , 3)
3 (3 , + ∞)
f ´(x) －
0
+
0
－
f (x) 单调减少 极小值－62 单调增加 极大值16.5单调减少
函数在 x = －2处取得极小值－62 在 x = 3处取得极大值16.5
点
y
f(x5)
f(x3)
f(x1) f(x4)
a
x1
x2 O
x3 x4 x5
bx
f(b)
f(x2)
f(a)
例1：函数f(x)的定义域为开区间(a,b)， 导函数f’(x)在(a,b)内的图象如图所示， 则函数f(x)在开区间(a,b)内极值点有 （ ）极小值A 点有（ ） B
y
y f ?( x)
说明： 可导函数 f(x)的极值点必定 是函数的驻点。但函数 f(x)的驻 点却不一定是极值点。
y f(x)x3
O
x
函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得极值的点称为极值点。 观察与思考：极值与导数有何关系？
y yf(x)
O a x1
x2
x3
x4
x5 b x
f (x1)0 f (x2)0 f (x3)0