直线方程的一般式
3.2.3直线的一般式方程(最新)
所以 a 1; 综上, a 0 或 a 1.
练习3：直线x+m2y+6=0与直线 (m-2)x+3my+2m=0没有公共点,求实数m的值.
解：当m=0时, l1 : x 6 0, l2 : 2 x 0,
P0 ( x0 , y0 )
也具有形式Ax+By+C=0(B=0).
综上，都具有形式：Ax+By+C=0.
二、方程Ax+By+C=0表示直线
A C x , 1、当B≠0时, 方程可化为 y B B A 这是直线的斜截式方程，它表示斜率是
C 在y轴上的截距是 的直线. B
2、当B=0时，
4 x 3 y 12 0.
练习1：根据下列条件, 写出直线的方程, 并 把它化成一般式:
1 ⑴ 经过点 A(8, 2) , 斜率是 ; 2 ⑵ 经过点 B (4, 2) , 平行于 x 轴;
⑶ 经过点 P (3, 2) , P2 (5, 4) ; 1
x 2y 4 0 y20 x y 1 0
y
l
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0
o
x
四、A、B、C对直线的位置的影响:
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时， 方程表示的直线： (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;
y
l
(2) B=0 , A≠0 , C≠0
o
x
四、A、B、C对直线的位置的影响:
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时， 方程表示的直线： (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;
3.2.3直线的一般式方程
讲授新课
所有的直线方程是否都是二元一次方程？
y y1 k ( x x1 )
kx (1) y y1 kx1 0
kx (1) y b 0
( y2 y1 ) x ( x1 x2 ) y x1 ( y1 y2 ) y1 ( x2 x1 ) 0
课堂小结
点斜式 斜率和一点坐标 斜截式
y y0 k ( x x0 )
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
两点式
两点坐标 截距式
x y 1 a b
直线方程的一般式与特殊式的互化。
课堂抢答
⒈根据下列条件写出直线的方程，并且 化成一般式：
讲授新课
注：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：
①按含x项、含y项、常数项顺序排列； ②x项的系数为正； ③x，y的系数和常数项一般不出现分数；
无特别说明时，最好将所求直线方程的结 果写成一般式。
课堂练习
若直线l在x轴上的截距-4时，倾斜角
4 的正切值是 ， 3
则直线l的点斜式方程是y-0=(-4/3)(x+4) ___________ y=(-4/3)x-16/3 直线l的斜截式方程是___________ 4x+3y+16=0 直线l的一般式方程是___________
讲授新课
例2 把直线 化成斜截式，求
出直线的斜率以及它在y轴上的截距。
3 解：将直线的一般式方程化为斜截式： y x 3 ， 5
3 它的斜率为： ，它在y轴上的截距是3 5
讲授新课
直线的一般式方程
求满足下列条件的直线l的方程: (1)与直线3x+4y-12=0平行,且与直线2x+3y+6=0 在y轴上的截距相同; (2)与直线x+2y-1=0垂直,且与直线x+2y-4=0在x轴 上的截距相同.
直线和二元一次方程是一一对应。
3.新知：直线方程的一般式
定义：我们把关于 x , y 的二元一次方程 Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线 的一般式方程，简称一般式。
4.
深化探究
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线： （1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合;（5）过原点; （6）与x轴和y轴相交; y
3.
问题情境二
数学家笛卡尔接着 思考？
当A.B不全为0,每一
个关于x , y的二 元一次方程都表 示直线吗？
对于方程Ax+By+C=0
A C 当B 0时, 方程可以化为y - x - , B B 这是直线方程的斜截式,
A C 表示斜率为 - , 截距是 - 的直线, B B 当B 0时, 方程Ax By C 0化为Ax C 0,
（二）直线方程的一般式化为斜截式，以及已知
直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法
例2 把直线 l : 3x 5 y 15 0 化成斜截式，求出直 线的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形。
3 解：将直线的一般式方程化为斜截式： y x 3 ， 5
直线的一般式方程
直线的一般式方程直线一般式方程适用于所有的二维空间直线。
它的基本形式是Ax+By+C=0 （A，B不全为零）。
因为这样的特点特别适合在计算机领域直线相关计算中用来描述直线。
方程表达式直线的一般式方程能够表示坐标平面内的任何直线。
（A，B不全为零即A^2+B^2≠0）该直线的斜率为(当B=0时没有斜率)平行于x轴时，A=0，C≠0；平行于y轴时，B=0，C≠0；与x轴重合时，A=0，C=0；与y轴重合时，B=0，C=0；过原点时，C=0；与x、y轴都相交时，A*B≠0。
结论两直线平行时：普遍适用：，方便记忆运用：(A2B2C2≠ 0）两直线垂直时：两直线重合时：两直线相交时：两直线一般式垂直公式的证明：设直线l1：A1x+B1y+C1=0直线l2：A2x+B2y+C2=0（必要性）∵l1⊥l2∴k1×k2=-1∵k1=-A1/B1，k2=-A2/B2 ∴(-A1/B1)(A2/B2)=-1 ∴（B1B2）/(A1A2)=-1∴B1B2=-A1A2∴A1A2+B1B2=0（充分性）∵A1A2+B1B2=0∴B1B2=-A1A2∴（B1B2）(1/A1A2)=-1∴(A1/B1)(A2/B2)=-1∴(-A1/B1)(-A2/B2)=-1∵k1=-A1/B1, k2=-A2/B2∴k1×k2=-1∴l1⊥l2方程求解一般式方程在计算机领域的重要性常用的直线方程有一般式、点斜式、截距式、斜截式、两点式等等。
除了一般式方程，它们要么不能支持所有情况下的直线（比如跟坐标轴垂直或者平行），要么不能支持所有情况下的点（比如x坐标相等，或者y坐标相等）。
所以一般式方程在用计算机处理二维图形数据时特别有用。
已知直线上两点求直线的一般式方程已知直线上的两点P1(X1,Y1) P2(X2,Y2)， P1 P2两点不重合。
对于AX+BY+C=0：当x1=x2时，直线方程为x-x1=0当y1=y2时，直线方程为y-y1=0当x1≠x2，y1≠y2时，直线的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1) 故直线方程为y-y1=(y2-y1)/(x2-x1)×(x-x1)即x2y-x1y-x2y1+x1y1=(y2-y1)x-x1(y2-y1)即(y2-y1)x-(x2-x1)y-x1(y2-y1)+(x2-x1)y1=0即(y2-y1)x+(x1-x2)y+x2y1-x1y2=0 ①可以发现，当x1=x2或y1=y2时，①式仍然成立。
直线的一般式方程
问题2：
平面内的任意一条直线是否都可以用形如 的二元一次方程 Ax+ By+ C = 0 （A、B不全等于0）
来表示？
直线的一般式方程
直线方程不同形式的转化
知识运用
典型例题
直线 + 2)x -(2m -1)y - 3m - 4） 0必与 (m （ = 以点P（2，1），Q（4，6）为端点的线 段相交于一点，求m的取值范围。
直线方程小结
直线方程 点斜式
斜截式 两点式 截距式
方程形式
使用条件
y- y1=k(x – x1) (1) 由一点和斜率决定. (2)不能表示和x轴垂直的直线 方程(x=x1). y=kx+b (3)斜截式是点斜式的特殊情况。
y y1 x x1 (1)由两个点决定。 y2 y1 x2 x1 (2)不能表示与数轴平行的直 线方程（ x=x1，y=y1) (3)截距式是两点式的特殊情况。 x y + = 1 (4)截距式还不能表示过原点 a b 的直线。
直线的一般式方程
直线的一般式方程直线是数学中基本的几何图形之一，在代数几何学中，我们经常使用方程来表示直线。
一般式方程是一种常见的直线表示方法，它可以通过两个未知数的线性关系来描述一条直线。
在本文中，我们将探讨直线的一般式方程的定义、推导和应用。
一、一般式方程的定义直线的一般式方程是一个包含两个未知数的线性方程，通常可表示为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是已知的常数，且A和B不同时为0。
该方程描述的是平面上所有满足该线性关系的点，即直线上的所有点。
二、推导一般式方程我们可以通过已知的直线上的两个点来推导一般式方程。
假设直线通过点P(x1, y1)和Q(x2, y2)，我们可以假设直线上的任意一点为R(x, y)。
由于P、Q和R共线，我们可以使用向量的方法来表达它们之间的关系。
向量PR = (x - x1, y - y1)，向量PQ = (x2 - x1, y2 - y1)。
由于P、Q和R共线，它们的向量满足一个重要的性质，即向量PR 与向量PQ的叉乘为0。
根据向量的叉乘公式，我们可以得到如下的方程：(x - x1)(y2 - y1) - (y - y1)(x2 - x1) = 0。
展开并整理上述方程，我们可以得到直线的一般式方程：x(y2 - y1) - y(x2 - x1) + x1y2 - x2y1 = 0。
将x(y2 - y1)记作A，-y(x2 - x1)记作B，x1y2 - x2y1记作C，可得到一般式方程Ax + By + C = 0。
这样，我们就从已知的两个点推导出了直线的一般式方程。
三、一般式方程的应用一般式方程在几何学和代数学中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 直线的交点计算: 当两条直线分别由各自的一般式方程给出时，我们可以通过联立方程组求解交点的坐标。
将两个一般式方程联立，消去未知数后求解，即可得到交点的坐标。
2. 直线的垂直与平行关系判断: 两条直线垂直时，它们的斜率乘积为-1。
3.2.1 直线的一般式方程
y
解： 由 x 2 y 6 0 1 y x3 有 2 1 故 l 的斜率 k 2 纵截距为3 令y 0 则
B(0,3)
A(6,0)
0
x
x 6
即横截距为－6
针对性练习：课本P99 练习1、2、3
课堂小结：
斜率和一点坐标 斜率k和截距b 点斜式 斜截式
y y0 k ( x x0 )
轴
平行
；
时，方
2.当 A 0，B 0，C为任意实数 程表示的直线与x轴垂直；
3.当 A 0，B 0，C 0 时，方程表示的直 重合 线与x轴———————— ；
4.当A 0，B 0，C 0 时，方程 表示的直线与y轴重合 ；
5.当 C 0, A, B不同时为0 时，方程
例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)， 求①BC边所在直线的方程 ②AC边所在直线的方程
y C .
. A
O
x
. B
例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)， 求③BC边上中线所在直线的方程
y C .
. A
O
.M
. B
x
中点坐标公式
y
A(x1，y1)
.
C
. A
O
.
M
x
.
B
例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)，
求①BC边所在直线的方程
②AC边所在直线的方程
两点式 截距式
③BC边上中线所在直线的方程 两点式
④BC边上垂直平分线所在直线的方程? 点斜式
⑤BC边上高所在直线的方程?
点斜式
直线的一般式方程
②倾斜角α=90°,k不存在
A=1
B=0
x x0 0 即x 0 y x0 0
C
2.所有二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不 同时为0)都表示直线吗？ 解:对y的系数B进行分类讨论
①当B≠0时
A C y x B B
A C 表示斜率是 ,在y轴上的截距是 的直线. B B C ②当B=0时 x （A 0) y l A
4.求满足下列条件的直线方程：
①与直线2x-3y+1=0平行，且过点P(1,2)；
②与直线2x-3y+1=0垂直，且过点P(1,2)；
4.求满足下列条件的直线方程： ①与直线3x+4y+8=0平行，且过点P(3,-2)； ②与直线3x+4y+8=0垂直，且过点P(3,-2)；
小结：
斜率和一点坐标 斜率k和截距b 点斜式 斜截式
作业布置
截距式 (1)3 x y 5 0• •
＋4＝0 垂直，则 l 的方程是( )
练： 1、把下列直线的一般式 方程化为斜截式、 (2)7 x 6 y 4 0
2.(2009· 安徽高考)直线 l 过点(－1,2)且与直线 2x －3y
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0 C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
解:将原方程移项,得2y = x+6 两边除以2，得斜截式
y
3
-6 o
x
因此,直线L的斜率k=1/2,它在y轴上的截距是 3 令y=0，可得 x= -6即直线L在x轴上的截距是- 6
[点评] 求截距的方法：
(1)令 x ＝0，解出 y 的值，即得直线 l 在 y 轴上的截距． (2)令 y ＝0，解出 x 的值，即得直线 l 在 x 轴上的截距.
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