中考数学专题复习第二章函数第6课时二次函数的图像和性质练习无答案
函数
一、选择题
1．抛物线y ＝－3x 2
－x ＋4与坐标轴的交点的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
2．[2017·宿迁]将抛物线y ＝x 2
向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是( )
A ．y ＝(x ＋2)2
＋1 B ．y ＝(x ＋2)2－1 C ．y ＝(x －2)2
＋1 D ．y ＝(x －2)2
－1
3．二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c(a≠0)的图象如图K14－1所示，则下列结论中正确的是( )
图K14－1
A ．a>0
B ．当－1<x<3时，y>0
C ．c<0
D ．当x≥1时，y 随x 的增大而增大
4．若二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c(a ＜0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为直线x ＝－1，则使函数值y ＞0成立的x 的取值范围是( )
A ．x ＜－4或x ＞2
B ．－4≤x≤2
C ．x≤－4或x≥2 D．－4＜x ＜2
5．已知抛物线y ＝－16x 2＋3
2x ＋6与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C.若D 为AB 的
中点，则CD 的长为( )
A.154
B.92
C.132
D.15
2
6．[2017·苏州]若二次函数y ＝ax 2
＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x 的方程a(x －2)2
＋1＝0的实数根为( )
A ．x 1＝0，x 2＝4
B ．x 1＝－2，x 2＝6
C ．x 1＝32，x 2＝5
2
D ．x 1＝－4，x 2＝0
7．[2017·鄂州]如图K14－2，抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 交x 轴于A(－2，0)和点B ，交y 轴负半轴于点C ，且OB ＝OC.下列结论：①2b－c ＝2；②a＝12；③ac＝b －1；④
a ＋b
c ＞0，其中正确的个数有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
图K14－2
8．如图K14－3，一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2
＋bx ＋c 的图象相交于P ，Q 两点，则函数y ＝ax 2
＋(b －1)x ＋c 的图象可能为( )
图K14－3
图K14－4
二、填空题
9．如图K14－5，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为直线________．
图K 14－5
10．[2017·青岛]若抛物线y ＝x 2
－6x ＋m 与x 轴没有交点，则m 的取值范围是________．
11．[2016·凉山]州将抛物线y ＝－x 2
先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为__________．
12．二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c(a≠0)的图象如图K14－6所示，下列结论：①2a ＋b ＝0；②a＋c>b ；③抛物线与x 轴的另一个交点为(3，0)；④abc>0.其中正确的结论是________(填写序号)．
图K14－6
三、解答题
13．已知抛物线y ＝(x －m)2
－(x －m)，其中m 是常数． (1)求证：不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点； (2)若该抛物线的对称轴为直线x ＝5
2.
①求该抛物线的解析式；
②把该抛物线沿y 轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点？
14．[2017·北京]在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2
－4x ＋3与x 轴交于点A 、B(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C.
(1)求直线BC 的表达式；
(2)垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，与直线BC 交于点N(x 3，y 3)，若x 1＜x 2＜x 3，结合函数的图象，求x 1＋x 2＋x 3的取值范围．
15．[2017·岳阳]改编如图K14－7，抛物线y ＝23x 2
＋bx ＋c 经过点B(3，0)，C(0，
－2)，直线l ：y ＝－23x －2
3交y 轴于点E ，且与抛物线交于A ，D 两点．P 为抛物线上一
动点(不与A ，D 重合)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P 在直线l 下方时，过点P 作PM ∥x 轴交l 于点M ，PN∥y 轴交l 于点N.求PM ＋PN 的最大值．
图K14－7。
2020春北师大版九年级数学下册第二章二次函数2二次函数的图像与性质练习
2.2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质1.填空：（1）y＝x2的图像是；开口向；对称轴是；顶点坐标是；（2）y＝-x2的图像是；开口向；对称轴是；顶点坐标是；（3）在抛物线y＝x2的对称轴左侧y随x的减小而；而在对称轴的右侧是y随着x 的增大而；此时函数y＝x2当x＝时的值最是.（4）在抛物线y＝-x2的对称轴左侧y随x的减小而；而在对称轴的右侧是y随着x 的增大而；此时函数y＝x2当x＝时的值最是.2.如图，⊙O的半径为2．C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，则阴影部分的面积是_________ ．3.已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=x与y=x2的图象有可能是（）A．B．C．D．4.已知正方形的边长为ccm，面积为Scm2.(1)求S与c之间函数关系式；(2)画出图象；(3)根据图象，求出S ＝1cm 2时，正方形的边长； (4)根据图象，求出c 取何值时，S ≥4cm 2.2.2 二次函数的图象与性质第2课时 二次函数y =ax 2和y =ax 2+c 的图象与性质1.抛物线y=-3x 2+5的开口向________,对称轴是_______,顶点坐标是________,顶点是最_____点,所以函数有最________值是_____.2.抛物线y=4x 2-1与y 轴的交点坐标是_________,与x 轴的交点坐标是_____. 3.把抛物线y=x 2向上平移3个单位后,得到的抛物线的函数关系式为_______. 4.抛物线y=4x 2-3是将抛物线y=4x 2,向_____平移______个单位得到的.5.抛物线y=ax 2-1的图像经过(4,-5),则a=_________. 6.抛物线y=－3(2x 2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____.7.在同一坐标系中，二次函数y=－21x 2，y=x 2，y=－3x 2的开口由大到小的顺序是______. 8.在同一坐标系中，抛物线y ＝4x 2,y ＝41x 2,y ＝-41 x 2的共同特点是( )A.关于y 轴对称，抛物线开口向上;B.关于y 轴对称，y 随x 的增大而增大 B.关于y 轴对称，y 随x 的增大而减小;D.关于y 轴对称，抛物线顶点在原点. 9.如图，函数y ＝ax 2与y ＝-ax+b 的图像可能是( ).10.求符合下列条件的抛物线y=ax 2-1的函数关系式: (1)通过点(-3,2);(2)与y=12x 2的开口大小相同,方向相反; (3)当x 的值由0增加到2时,函数值减少4.11..已知抛物线y=mx 2+n 向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x 2-1,求m,n 的值.2.2 二次函数的图象与性质第3课时 二次函数y =a (x -h )2的图象与性质1.把二次函数2x y =的图象向右平移3个单位长度，得到新的图象的函数表达式是（ ）A. 32+=x yB. 32-=x yC. 2)3(+=x yD. 2)3(-=x y2.抛物线2)3(2--=x y 的顶点坐标和对称轴分别是（ ） A.3),0,3(-=-x 直线 B. 3),0,3(=x 直线 C. 3),3,0(-=-x 直线 D. 3),3,0(-=x 直线3.已知二次函数2)1(3+=x y 的图象上有三点 ),2(),,2(),,1(321y C y B y A - ，则321,,y y y 的大小关系为（ ）A.321y y y >>B. 312y y y >>C. 213y y y >>D. 123y y y >>4.把抛物线2)1(6+=x y 的图象平移后得到抛物线26x y =的图象，则平移的方法可以是（ ）A.沿y 轴向上平移1个单位长度B.沿y 轴向下平移1个单位长度C.沿x 轴向左平移1个单位长度D.沿x 轴向右平移1个单位长度5.若二次函数12+-=mx x y 的图象的顶点在x 轴上，则m 的值是（ ）A. 2B. 2-C.0D. 2± 6.对称轴是直线2-=x 的抛物线是（ ）A.22+-=x yB.22+=x y C.2)2(21+=x y D.2)2(3-=x y 7.对于函数2)2(3-=x y ，下列说法正确的是（ ）A. 当0>x 时，y 随x 的增大而减小B. 当0<x 时，y 随x 的增大而增大C. 当2>x 时，y 随x 的增大而增大D. 当2->x 时，y 随x 的增大而减小8.二次函数132+=x y 和2)1(3-=x y ，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y 轴，顶点坐标都是原点（0,0）； ③当0>x 时，它们的函数值y 都是随着x 的增大而增大； ④它们的开口的大小是一样的. 其中正确的说法有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个9.抛物线2)1(3--=x y 的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 。
二次函数图像与性质总结含答案
二次函数的图像及性质一、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移〞． 概括成八个字“左加右减，上加下减〞． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上〔下〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2〔或m c bx ax y -++=2〕⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左〔右〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2〔或c m x b m x a y +-+-=)()(2〕三、二次函数()2y a x h k =-+及2y ax bx c =++的比拟从解析式上看，()2y a x h k =-+及2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、及y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、及x 轴的交点()10x ，，()20x ，〔假设及x 轴没有交点，那么取两组关于对称轴对称的点〕.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，及x 轴的交点，及y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++〔a ，b ，c 为常数，0a ≠〕；2. 顶点式：2()y a x h k =-+〔a ，h ，k 为常数，0a ≠〕；3. 两根式：12()()y a x x x x =--〔0a ≠，1x ，2x 是抛物线及x 轴两交点的横坐标〕. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线及x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象及各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好及上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边那么0>ab ，在y 轴的右侧那么0<ab ，概括的说就是“左同右异〞总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线及y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线及y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线及y 轴的交点为坐标原点，即抛物线及y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线及y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线及y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线及y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式确实定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大〔小〕值，一般选用顶点式；3. 抛物线及x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称〔即：抛物线绕顶点旋转180°〕2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原那么，选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线〔或表达式的抛物线〕的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
专题06 二次函数的图象与性质-九年级数学上册(解析版)
专题06二次函数的图象与性质考点1：二次函数的图象；考点2：二次函数的增减性；考点3：二次函数的相关结论。
1．函数y=12的大致图象是（）A ．B．C．D ．解：由函数y=12可知，函数是双曲线，它的两个分支分别位于第一、二象限，当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大．答案：A．2．已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（）A ．B．C ．D．解：∵c＞0，∴﹣c＜0，故A，D选项不符合题意；当a＞0时，∵b＞0，∴对称轴x=−2＜0，故B选项不符合题意；当a＜0时，b＞0，∴对称轴x=−2＞0，故C选项符合题意，题型01二次函数的图象答案：C．3．二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＝1，对称轴为直线x=−2，由直线可知，a＞0，b＜0，直线经过点（−2，0），故本选项符合题意；B、由抛物线可知，对称轴为直线x=−2，直线不经过点（−2，0），故本选项不符合题意；C、由抛物线可知，对称轴为直线x=−2，直线不经过点（−2，0），故本选项不符合题意；D、由抛物线可知，对称轴为直线x=−2，直线不经过点（−2，0），故本选项不符合题意；答案：A．4．（易错题）已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b 的大致图象不可能是（）A．B．C．D．解：=B2+B=B+解得=−=0或=1=+．故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（−，0）或点（1，a+b）．在A中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，−＜0，a+b＞0，故选项A有可能；在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＜0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，由|a|＞|b|，则a+b＞0，故选项B 有可能；在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，a+b＜0，故选项C有可能；在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D 不可能；答案：D．5．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是﹣3＜x＜1．解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x＝﹣1，已知一个交点为（1，0），根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．答案：﹣3＜x＜1．6．如图是二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象，当y2＞y1，x的取值范围是﹣2＜x＜1．解：从图象上看出，两个交点坐标分别为（﹣2，0），（1，3），∴当有y2＞y1时，有﹣2＜x＜1，答案：﹣2＜x＜1．7．小明为了通过描点法作出函数y＝x2﹣x+1的图象，先取自变量x的7个值满足：x2﹣x1＝x3﹣x2＝…＝x7﹣x6＝d，再分别算出对应的y值，列出表：x x1x2x3x4x5x6x7y137********记m1＝y2﹣y1，m2＝y3﹣y2，m3＝y4﹣y3，m4＝y5﹣y4，…；s1＝m2﹣m1，s2＝m3﹣m2，s3＝m4﹣m3，…（1）判断s1、s2、s3之间关系，并说明理由；（2）若将函数“y＝x2﹣x+1”改为“y＝ax2+bx+c（a≠0）”，列出表：x x1x2x3x4x5x6x7y y1y2y3y4y5y6y7其他条件不变，判断s1、s2、s3之间关系，并说明理由；（3）小明为了通过描点法作出函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，列出表：x x1x2x3x4x5x6x7y1050110190290412550由于小明的粗心，表中有一个y值算错了，请指出算错的y值（直接写答案）．解：（1）s1＝s2＝s3．m1＝y2﹣y1＝3﹣1＝2，同理m2＝4，m3＝6，m4＝8．∴s1＝m2﹣m1＝4﹣2＝2，同理s2＝2，s3＝2．∴s1＝s2＝s3．（2）s1＝s2＝s3．m1＝y2﹣y1＝ax22+bx2+c﹣（ax12+bx1+c）＝d[a（x2+x1）+b]．m2＝y3﹣y2＝ax32+bx3+c﹣（ax22+bx2+c）＝d[a（x3+x2）+b]．同理m3＝d[a（x4+x3）+b]．m4＝d[a（x5+x4）+b]．s1＝m2﹣m1＝d[a（x3+x2）+b]﹣d[a（x2+x1）+b]＝2ad2．同理s2＝2ad2．s3＝2ad2．∴s1＝s2＝s3．（3）412．8．下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（）A．y＝x2+1B．y＝﹣x2+1C．y＝2x+1D．y＝﹣2x+1解：选项A中，函数y＝x2+1，x＜0时，y随x的增大而减小；故A不符合题意；选项B中，函数y＝﹣x2+1，x＞0时，y随x的增大而减小；故B不符合题意；选项C中，函数y＝2x+1，y随x的增大而增大；故C不符合题意；选项D中，函数y＝﹣2x+1，y随x的增大而减小．故D符合题意；答案：D．9．已知二次函数y＝2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（）A．x＜1B．x＞1C．x＜2D．x＞2解：∵y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴x＞1时，y随x增大而增大，答案：B．10．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y2＜y1＜y3，答案：D．题型02二次函数的增减性11．抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是（）A．0≤x1＜x2B．x2＜x1≤0C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2D．以上都不对解：抛物线y＝x2+3开口向上，对称轴为y轴，∵抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2，∴|x1|＜|x2|，∴0≤x1＜x2或x2＜x1≤0或0＜﹣x1＜x2或0＜x1＜﹣x2，答案：D．12．（易错题）已知二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3（m为常数，m≠0），点P（x p，y p）是该函数图象上一点，当0≤x p ≤4时，y p≤﹣3，则m的取值范围是（）A．m≥1或m＜0B．m≥1C．m≤﹣1或m＞0D．m≤﹣1解：∵二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3，∴对称轴为x＝2m，抛物线与y轴的交点为（0，﹣3），∵点P（x p，y p）是该函数图象上一点，当0≤x p≤4时，y p≤﹣3，∴①当m＞0时，对称轴x＝2m＞0，此时，当x＝4时，y≤﹣3，即m•42﹣4m2•4﹣3≤﹣3，解得m≥1；②当m＜0时，对称轴x＝2m＜0，当0≤x≤4时，y随x增大而减小，则当0≤x p≤4时，y p≤﹣3恒成立；综上，m的取值范围是：m≥1或m＜0．答案：A．13．（易错题）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列命题正确的是（）A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2D．若y1＝y2，则x1＝x2解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a，∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，当a＞0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，故选项B错误；当a＜0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2，故选项A错误；若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2，故选项C正确；若y1＝y2，则|x1﹣1|＝|x2﹣1|，故选项D错误；答案：C．14．在函数y＝（x﹣1）2中，当x＞1时，y随x的增大而增大．（填“增大”或“减小”）解：∵函数y＝（x﹣1）2，∴a＝1＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大．答案：增大．15．已知函数y＝﹣x2﹣2x，当x＜﹣1时，函数值y随x的增大而增大．解：∵y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1，a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，答案：x＜﹣1．16．函数y＝x2+mx﹣4，当x＜2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是m≤﹣4．解：∵x＜2时，y随x的增大而减小，∴−2×1≥2，∴m≤﹣4．答案：m≤﹣4．17．如图，二次函数y＝a（x+2）2+k的图象与x轴交于A，B（﹣1，0）两点，则下列说法正确的是（）题型03二次函数的相关结论A．a＜0B．点A的坐标为（﹣4，0）C．当x＜0时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴为直线x＝﹣2解：∵二次函数y＝a（x+2）2+k的图象开口方向向上，∴a＞0，故A错误，∵图象对称轴为直线x＝﹣2，且过B（﹣1，0），∴A点的坐标为（﹣3，0），故B错误，D正确，由图象知，当x＜0时，由图象可知y随x的增大先减小后增大，故C错误，答案：D．18．对于二次函数y=−14x2+x﹣4，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而增大B．当x＝2时，y有最大值﹣3C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7）D．图象与x轴有两个交点解：∵二次函数y=−142+x﹣4可化为y=−14（x﹣2）2﹣3，又∵a=−14＜0∴当x＝2时，二次函数y=−14x2+x﹣4的最大值为﹣3．答案：B．19．已知二次函数y＝ax2﹣2x+12（a为常数，且a＞0），下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当x＜0时，y随x的增大而减小；④当x＞0时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．②D．③④解：∵a＞0时，抛物线开口向上对称轴为x=22=1＞0，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x 的增大而增大，函数图象一定不经过第三象限，函数图象可能经过第一、二、三、四象限．答案：B．20．已知P1（x1，y1）P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2+4ax+3（a是常数，a≠0）上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x＝﹣2；②点（0，3）在抛物线上；③若x1＞x2＞﹣2，则y1＞y2；④若y1＝y2，则x1+x2＝﹣2，其中，正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：∵抛物线y＝ax2+4ax+3的对称轴为直线x=−42=−2，∴①正确；当x＝0时，y＝3，则点点（0，3）在抛物线上，∴②正确；当a＞0时，x1＞x2＞﹣2，则y1＞y2；当a＜0时，x1＞x2＞﹣2，则y1＜y2；∴③错误；当y1＝y2，则x1+x2＝﹣4，∴④错误；故正确的有2个，答案：B．21．（易错题）如图，已知抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中较小值为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．①当x＞2时，M＝y2；②当x ＜0时，M随x的增大而增大；③使得M大于4的x的值不存在；④若M＝2，则x＝1．上述结论正确的是②③（填写所有正确结论的序号）．解：①当x＞2时，抛物线y1＝﹣x2+4x在直线y2＝2x的下方，∴当x＞2时，M＝y1，结论①错误；②当x＜0时，抛物线y1＝﹣x2+4x在直线y2＝2x的下方，∴当x＜0时，M＝y1，∴M随x的增大而增大，结论②正确；③∵y1＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴M的最大值为4，∴使得M大于4的x的值不存在，结论③正确；④当M＝y1＝2时，有﹣x2+4x＝2，解得：x1＝2−2（舍去），x2＝2+2；当M＝y2＝2时，有2x＝2，解得：x＝1．∴若M＝2，则x＝1或2+2，结论④错误．综上所述：正确的结论有②③．答案：②③．22．对于二次函数y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1（a≠0），有下列结论：①其图象与x轴一定相交；②若a＜0，函数在x＞1时，y随x的增大而减小；③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a取何值，函数图象都经过同一个点．其中所有正确的结论是①③④．（填写正确结论的序号）解：令y＝0，则ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1＝0，解得x1＝1，x2=K1，所以，函数图象与x轴的交点为（1，0），（K1，0），故①④正确；当a＜0时，K1＞1，所以，函数在x＞1时，y先随x的增大而增大，然后再减小，故②错误；∵x=−2=−−(2K1)2=1−12，y=4a−24=4oK1)−(2K1)24=−14，∴y=12x−12，即无论a取何值，抛物线的顶点始终在直线y=12x−12上，故③正确；综上所述，正确的结论是①③④．答案：①③④．23．（易错题）定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1﹣m，2﹣m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当x＞12时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是①②③．解：由特征数的定义可得：特征数为[m，1﹣m，2﹣m]的二次函数的表达式为y＝mx2+（1﹣m）x+2﹣m．∵此抛物线的对称轴为直线x=−2=−1−2=K12，∴当m＝1时，对称轴为直线x＝0，即y轴．故①正确；∵当m＝2时，此二次函数表达式为y＝2x2﹣x，令x＝0，则y＝0，∴函数图象过原点，故②正确；∵当m＞0时，二次函数图象开口向上，函数有最小值，故③正确；∵m＜0，∴对称轴x=K12=12−12，抛物线开口向下，∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．即x＞12−12时，y随x的增大而减小．而12＜12−12，故④错误．答案：①②③．24．下列关于抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m+1（m为常数）的结论：①抛物线的对称轴为直线x＝m；②抛物线的顶点在直线y＝x+1上；③抛物线与y轴的交点在原点的上方；④抛物线上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2.其中正确结论的序号是①②③④．解：∵y＝x2﹣2mx+m2+m+1＝（x﹣m）2+m+1，∴开口向上，顶点坐标为（m，m+1），对称轴为直线x＝m，故①正确；∵顶点坐标为（m，m+1），∴抛物线的顶点在直线y＝x+1上，故②正确；当x＝0时，y＝m2+m+1＝（m+12）2+34＞0，∴抛物线与y轴的交点在原点的上方，故③正确；∵抛物线上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，x1+x2＞2m，∴1+22＞m，∴B（x2，y2）到对称轴的距离大于点A（x1，y1）到对称轴的距离，∴y1＜y2，故④正确；答案：①②③④．。
2021中考数学 专题训练：二次函数的图象及其性质(含答案)
2021中考数学 专题训练：二次函数的图象及其性质一、选择题1. 已知抛物线y ＝ax 2(a ＞0)过A (－2，y 1)，B (1，y 2)两点，则下列关系式一定正确的是( ) A ．y 1＞0＞y 2 B ．y 2＞0＞y 1 C ．y 1＞y 2＞0D ．y 2＞y 1＞02. 要将抛物线y ＝x 2＋2x ＋3平移后得到抛物线y ＝x 2，下列平移方法正确的是( )A. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位B. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位C. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位3. 函数y ＝ax 2＋2ax ＋m (a ＜0)的图象过点(2，0)，则使函数值y ＜0成立的x 的取值范围是( ) A ．x ＜－4或x ＞2 B ．－4＜x ＜2C ．x ＜0或x ＞2D ．0＜x ＜24. 已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴只有一个交点，且图象过A (x 1，m )、B (x 1＋n ，m )两点，则m 、n 的关系为( )A. m ＝12nB. m ＝14nC. m ＝12n 2D. m ＝14n 25. (2019•南通)如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB 是以B 为顶点的抛物线一部分，下列说法不正确的是A ．25 min~50 min ，王阿姨步行的路程为800 mB ．线段CD 的函数解析式为324002550s t t =+≤≤（）C ．5 min~20 min ，王阿姨步行速度由慢到快D ．曲线段AB 的函数解析式为23(20)1200(520)s t t =--+≤≤6. (2019•嘉兴)小飞研究二次函数y=–(x –m)2–m+1(m 为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=–x+1上；②存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A(x1，y1)与点B(x2，y2)在函数图象上，若x1<x2，x1+x2>2m ，则y1<y2；④当–1<x<2时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围为m≥2其中错误结论的序号是 A ．① B ．② C ．③ D ．④7. 若A (2，y 1)，B (－3，y 2)，C (－1，y 3)三点在抛物线y ＝x 2－4x －m 上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( ) A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 2＞y 3＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 28. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象如图所示，顶点为D(－1，2)，与x 轴的一个交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，有以下结论：①b 2－4ac ＜0；②a ＋b ＋c ＜0；③c －a ＝0；④一元二次方程ax 2＋bx ＋c －2＝0有两个相等的实数根．其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9. 2019·丹东如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－2，0)，对称轴为直线x ＝1.有以下结论：①abc ＞0；②8a ＋c ＞0；③若A (x 1，m )，B (x 2，m )是抛物线上的两点，当x ＝x 1＋x 2时，y ＝c ；④点M ，N 是抛物线与x 轴的两个交点，若在x 轴下方的抛物线上存在一点P ，使得PM ⊥PN ，则a 的取值范围为a ≥1；⑤若方程a (x ＋2)(4－x )＝－2的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2，则－2≤x 1＜x 2＜4.其中结论正确的有( )A．2个B．3个C．4个D．5个10. 二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是()二、填空题11. 如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2，4)，B(1，1)，则方程ax2=bx+c的解是.12. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1，其部分图象如图所示，下列说法中:①b>0;②a-b+c<0;③b+2c>0;④当-1<x<0时，y>0，正确的是(填写序号).13. 如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，点D(0，1)，点P在抛物线上，且△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为________．14. (2019•天水)二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若42M a b =+，N a b =-．则M 、N 的大小关系为M __________N ．(填“>”、“=”或“<”)15. 如图，抛物线y=-x 2+x+2与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，点D 在抛物线上，且CD ∥AB.AD 与y 轴相交于点E ，过点E 的直线PQ 平行于x 轴，与拋物线相交于P ，Q 两点，则线段PQ 的长为 .三、解答题16. 如图，足球场上守门员徐杨在O 处抛出一高球，球从离地面1 m 处的点A 飞出，其飞行的最大高度是4 m ，最高处距离飞出点的水平距离是6 m ，且飞行的路线是抛物线的一部分．以点O 为坐标原点，竖直向上的方向为y 轴的正方向，球飞行的水平方向为x 轴的正方向建立坐标系，并把球看成一个点．(参考数据：4 3≈7)(1)求足球的飞行高度y (m)与飞行的水平距离x (m)之间的函数关系式；(不必写出自变量的取值范围)(2)在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离是多少？(精确到1 m) (3)若对方一名1.7 m 的队员在距落地点C 3 m 的点H 处跃起0.3 m 进行拦截，则这名队员能拦到球吗？17. 设函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数)．(1)当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；(2)根据图象，写出你发现的一条结论；(3)将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值．18. 如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A坐标为(4，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CK＋KN最小，并求出点K的坐标；(3)已知D是OA的中点，点P在第一象限的抛物线上，过点P作x轴的平行线，交直线AC于点F，连接OF，DF.当OF＝DF时，求点P的坐标．2021中考数学专题训练：二次函数的图象及其性质-答案一、选择题1. 【答案】C [解析] ∵y ＝ax 2(a ＞0)，∴抛物线的开口向上，对称轴为y 轴，当x ＝0时，函数取得最小值，最小值是0.∵A(－2，y 1)在对称轴的左侧，B(1，y 2)在对称轴的右侧，点A 到对称轴的距离大于点B 到对称轴的距离，∴y 1>y 2>0.故选C.2. 【答案】D【解析】y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2，该抛物线的顶点坐标是(－1，2)，抛物线y ＝x 2的顶点坐标是(0，0)，则平移的方法可以是：将抛物线y ＝x 2＋2x ＋3向右移1个单位，再向下平移2个单位得抛物线y ＝x 2.3. 【答案】A [解析] 抛物线的对称轴是直线x ＝－2a2a＝－1，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标是(－4，0)．∵a ＜0，∴抛物线开口向下，∴使y ＜0成立的x 的取值范围是x ＜－4或x ＞2.故选A.4. 【答案】D【解析】因为二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴只有一个交点，∴b 2－4c ＝0，即c ＝b 24，由题意知，点A ，B 关于抛物线的对称轴对称，∴12AB＝|n|2＝－b 2－x 1，b ＝－|n|－2x 1, ∴c ＝（－|n|－2x 1）24＝|n|2＋4|n|x 1＋4x 214，∵A(x 1，m)在y ＝x 2＋bx ＋c 上，∴m ＝x 21＋bx 1＋c ，∴ m ＝x 21＋(－|n|－2x 1)· x 1＋|n|2＋4|n|x 1＋4x 214，化简整理得m ＝14n 2，故选D .5. 【答案】C【解析】观察图象可知5 min~20 min ，王阿姨步行速度由快到慢，25 min~50 min ，王阿姨步行的路程为2000–1200=800 m ，故A 选项正确，C 选项错误； 设线段CD 的解析式为s=mt+n ，将点(25，1200)、(50，2000)分别代入得120025200050m n m n =+⎧⎨=+⎩，解得：32400m n =⎧⎨=⎩， 所以线段CD 的函数解析式为32400(2550)s t t =+≤≤，故B 选项正确； 由曲线段AB 是以B 为顶点的抛物线一部分，所以设抛物线的解析式为y=a(x –20)2+1200，把(5，525)代入得：525=a(5–20)2+1200， 解得：a=–3，所以曲线段AB 的函数解析式为23(20)1200(520)s t t =--+≤≤，故D选项正确，故选C．6. 【答案】C【解析】把(m，–m+1)代入y=–x+1，–m+1=–m+1，左=右，故①正确；当–(x–m)2–m+1=0时，x1=m x2=m若顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形，则1–m+(1–m)2+1–m+(1–m)2=4(1–m)，即m2–m=0，∴m=0或1时，∴存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；故②正确；当x1<x2，且x1、x2在对称轴右侧时，∵–1<0，∴在对称轴右侧y随x的增大而减小，即y1>y2，故③错误；∵–1<0，∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，∴m≥2，故④正确，故选C．7. 【答案】C[解析] ∵二次函数y＝x2－4x－m中a＝1＞0，∴其图象开口向上，对称轴为直线x＝－b2a＝2.∵点A(2，y1)的横坐标为2，∴y1最小．又∵B(－3，y2)，C(－1，y3)都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故y2＞y3.∴y2＞y3＞y1.8. 【答案】B9. 【答案】A10. 【答案】D[解析] 由一次函数y＝ax＋a可知，其图象与x轴交于点(－1，0)，排除A，B；当a＞0时，二次函数y＝ax2的图象开口向上，一次函数y＝ax＋a的图象经过第一、二、三象限；当a＜0时，二次函数y＝ax2的图象开口向下，一次函数y＝ax＋a的图象经过第二、三、四象限．排除C.二、填空题11. 【答案】x 1=-2，x 2=1 [解析]∵抛物线y=ax 2与直线y=bx +c 的两个交点坐标分别为A (-2，4)，B (1，1)，∴的解为即方程ax 2=bx +c的解是x 1=-2，x 2=1.12. 【答案】①③④[解析]根据图象可得:a<0，c>0，对称轴:直线x=-=1，∴b=-2a.∵a<0，∴b>0，故①正确;把x=-1代入y=ax 2+bx +c ，得y=a -b +c.由抛物线的对称轴是直线x=1，且过点(3，0)，可得当x=-1时，y=0，∴a -b +c=0，故②错误;当x=1时，y=a +b +c>0.∵b=-2a ，∴-+b +c>0，即b +2c>0，故③正确; 由图象可以直接看出④正确.故答案为:①③④.13. 【答案】(1＋2，2)或(1－2，2) 【解析】抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，则点C 坐标是(0，3)，∵点D(0，1)，点P 在抛物线上，且△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，∴易得点P 的纵坐标是2，当y ＝2时，∴－x 2＋2x＋3＝2，则x 2－2x －1＝0，解得方程的两根是x ＝2±222＝1±2，∴点P 的坐标是(1＋2，2)或(1－2，2)．14. 【答案】<【解析】当1x =-时，0y a b c =-+>， 当2x =时，420y a b c =++<，()42M N a b a b -=+--()420a b c a b c =++--+<， 即M N <，故答案为： ．15. 【答案】2[解析]当y=0时，-x2+x+2=0，解得x1=-2，x2=4，∴点A的坐标为(-2，0).当x=0时，y=-x2+x+2=2，∴点C的坐标为(0，2).当y=2时，-x2+x+2=2，解得x1=0，x2=2，∴点D的坐标为(2，2).设直线AD的解析式为y=kx+b(k≠0)，将A(-2，0)，D(2，2)代入y=kx+b，得解得∴直线AD的解析式为y=x+1.当x=0时，y=x+1=1，∴点E的坐标为(0，1).当y=1时，-x2+x+2=1，解得x1=1-，x2=1+，∴点P的坐标为(1-，1)，点Q的坐标为(1+，1)，∴PQ=1+-(1-)=2.三、解答题16. 【答案】解：(1)由题意，设y＝a(x－6)2＋4.∵A(0，1)在抛物线上，∴1＝a(0－6)2＋4，解得a＝－1 12，∴y＝－112(x－6)2＋4.(2)令y＝0，则0＝－112(x－6)2＋4，解得x 1＝4 3＋6≈13，x 2＝－4 3＋6＜0(舍去)，∴在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离约是13 m. (3)当x ＝13－3＝10时，y ＝83＞1.7＋0.3＝2， ∴这名队员不能拦到球．17. 【答案】解：(1)当k ＝0时，y ＝－(x －1)(x ＋3)，所画图象如解图所示．(2分)(2)①k 取0和2时的函数图象关于点(0，2)中心对称，②函数y ＝(x －1)[(k －1)x ＋(k －3)](k 是常数)的图象都经过(1，0)和(－1，4)．(5分)(3)由题意可得y 2＝(x －1)[(2－1)x ＋(2－3)]＝(x －1)2，平移后的函数y 3的表达式为y 3＝(x －1＋4)2－2＝(x ＋3)2－2， 所以当x ＝－3时，函数y 3的最小值是－2.(8分)18. 【答案】(1)∵抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c 经过点A (4，0)，C (0，4)，∴,40816⎩⎨⎧==+-c c a a 解得,421⎪⎩⎪⎨⎧=-=c a∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4； (2)∵y ＝－12x 2＋x ＋4＝－12(x －1)2＋92 ∴N (1，92)，如解图①，作点C 关于x 轴的对称点C ′，解图①则C ′(0，－4)，连接C ′N 交x 轴于点K ，则K 点即为使CK ＋KN 最小的K 点11 / 11 位置．设直线C ′N 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将点C ′(0，－4)，N (1，92)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4k ＋b ＝92，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝172b ＝－4， ∴直线C ′N 的解析式为y ＝172x －4，令y ＝0，即172x －4＝0，解得x ＝817，∴点K 的坐标为(817，0)； (3)如解图②，过F 作FM ⊥x 轴于M ，解图② ∵D 是OA 的中点，∴D (2，0)， ∵OF ＝DF ，∴OM ＝MD ，∴M (1，0)，∴点F 的横坐标是1.设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋n ，将点A (4，0)，C (0，4)代入，∴直线AC 的解析式为y ＝－x ＋4，∴点F 的坐标为(1，3)，设P (t ，－12t 2＋t ＋4)，则－12t 2＋t ＋4＝3，解得t ＝1＋3或t ＝1－3(舍去)，∴点P 的坐标为(1＋3，3)．。
中考数学专题复习二次函数试题(无答案)
中考数学专题复习二次函数试题（无答案）二次函数专题考点一：二次函数的解析式及其求解一般的，形如),0(2是常数、、c b a a c bx ax y ≠++=的函数叫做二次函数，其中，x 是自变量，c b a 、、分别为二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）一般式：c bx ax y ++=2。
已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2。
已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.（4）对称点式：已知图像上有两个关于y 轴对称的点()()k x k x ,,,21，那么函数的方程可以选用对称点式()()k x x x x a y +--=21，代入已知的另外的点就可以求出函数的方程来了。
例题1：根据题意，求解二次函数的解析式。
（1）求过点A(1,0)，B(2,3)，C(3,1)的抛物线的方程（2）已知抛物线与x 轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式．（3）已知二次函数的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x 轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。
（4）已知二次方程32=++c bx ax 的两个根是-1和2，而且函数c bx ax y ++=2过点（3,4），求函数c bx ax y ++=2的解析式。
（5）已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式.（6）已知二次函数当x ＝2时有最大值3，且它的图象与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。
变式1：（1）、已知二次函数的图像经过点A(2,1),B(3,4),且与y 轴交点为（0，7），则求函数的解析式（2）已知过点（2，0），（3，5）的抛物线c bx ax y ++=2与直线33+=x y 相交与x 轴上，求二次函数的解析式（3）已知二次函数c bx ax y ++=2，其顶点为（2,2)，图象在x 轴截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。
人教版九年级数学中考二次函数的图像与性质专项练习及参考答案
人教版九年级数学中考二次函数的图像与性质专项练习1．(2018·德州中考)给出下列函数：①y＝－3x ＋2；②y＝3x；③y＝2x 2；④y＝3x ，上述函数中符合条件“当x>1时，函数值y 随自变量x 增大而增大”的是( )A ．①③B ．③④C ．②④D ．②③2．(2018·威海中考)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)图象如图所示，下列结论错误的是( )A ．abc<0B ．a ＋c<bC ．b 2＋8a>4ac D ．2a ＋b>03．(2018·潍坊中考)已知二次函数y ＝－(x －h)2(h 为常数)，当自变量x 的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y 的最大值为－1，则h 的值为( )A ．3或6B ．1或6C ．1或3D ．4或64．(2018·烟台中考)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A(－1，0)，B(3，0)．下列结论：①2a－b ＝0；②(a＋c)2＜b 2；③当－1＜x ＜3时，y ＜0；④当a ＝1时，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y ＝(x －2)2－2.其中正确的是( )A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④5．(2018·天津中考)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a≠0)经过点(－1，0 (0，3)，其对称轴在y 轴右侧．有下列结论：①抛物线经过点(1，0)；②方程ax 2＋bx ＋c ＝2有两个不相等的实数根；③－3＜a ＋b ＜3.其中，正确结论的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．36．(2018·广州中考)已知二次函数y ＝x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而____________(填“增大”或“减小”)．7．(2018·自贡中考)若函数y ＝x 2＋2x －m 的图象与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为____________．8．(2018·淄博中考)已知抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，将这条抛物线向右平移m(m>0)个单位，平移后的抛物线与x 轴交于C ，D 两点(点C 在点D 的左侧)．若B ，C 是线段AD 的三等分点，则m 的值为______________．9．(2018·宁波中考)已知抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过点(1，0 (0，32)． (1)求该抛物线的函数表达式；(2)将抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．参考答案1．B 2.D 3.B 4.D 5.C6．增大 7.－1 8.2或89．解：(1)把(1，0)，(0，32)代入抛物线表达式得 ⎩⎪⎨⎪⎧－12＋b ＋c ＝0，c ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝32， 则抛物线的函数表达式为y ＝－12x 2－x ＋32. (2)y ＝－12x 2－x ＋32＝－12(x ＋1)2＋2， 将抛物线向右平移1个单位，向下平移2个单位，表达式变为y ＝－12x 2.。
九年级数学上册二次函数的图象和性质22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质课后作业
22.1. 2 二次函数y=ax²的图像和性质1.抛物线y=2x2，y=-2x2，y=21x2的共同性质是( )A.开口向上B.对称轴是y轴C.都有最高点D.y随x的增大而增大2.关于函数y=3x2的性质表述正确的一项是( )A.无论x为任何实数，y的值总为正B.当x值增大时，y的值也增大C.它的图象关于y轴对称D.它的图象在第一、三象限内3.已知点(-1，y1)，(2，y2)，(-3，y3)都在函数y=x2的图象上，则( )A.y1<y2<y3B.y1<y3<y2C.y3<y2<y1D.y2<y1<y34.已知二次函数y=(m-2)x2的图象开口向下，则m的取值范围是____.5.下列四个二次函数：①y=x2，②y=-2x2，③y=21x2，④y=3x2，其中抛物线开口从大到小的排列顺序是____.6. 已知是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k= .7.分别求出符合下列条件的抛物线y=ax2的解析式：(1)经过点(-3，2)；(2)与y=31x2开口大小相同，方向相反.8.二次函数y=ax2与直线y=2x-1的图象交于点P(1，m).(1)求a，m的值；(2)写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，该表达式的y随x的增大而增大？(3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴.9.已知 y =(m+1)是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式10.已知二次函数y= ．（1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=－x2的图象上吗？11.已知二次函数y＝2x2.(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则 y1_____ y2；(填“>”“＝”或“<”)；(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D 恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．参考答案1.B2.C3.A4.m<25.③①②④6. k=27.解：(1)∵y=ax2过点(-3，2)，∴2=a×(-3)2，则a=92.∴解析式为y=92x2.(2)∵y=ax2与抛物线y=31x2开口大小相同，方向相反，∴a=-31. ∴解析式为y=-31x2.8.解：(1)将(1，m)代入y=2x-1,得m=2×1-1=1.所以Ｐ点坐标为(1，1).将P点坐标(1，1)代入ｙ=ax2，得1=a×12，得a=1.即a=1,m=1.(2)二次函数的表达式：y=x2，当x>0时，y随x的增大而增大.(3)顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴.9.解: 依题意有:解②得:m1=－2, m2=1由①得:m>－1∴ m=1此时,二次函数为: y=2.10.解：（1）当x=2时，y==4，所以A（2，4）在二次函数图象上；（2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4），点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4），点A关于原点O的对称点D的坐标为（-2，-4）；（3）当x=－2时，y==4，所以C点在二次函数y=的图象上；当x=2时，y=－=－4，所以B点在二次函数y=－的图象上；当x=－2时，y=－=－4，所以D点在二次函数y=－的图象上11. (1)<(2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点B，∴当x＝2时，y＝2×22＝8.∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴，∴OA＝OB，∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.。
初中中考复习之二次函数的图象和性质(精编含答案)
中考复习之二次函数的图象和性质一、选择题1.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示对称轴为21-=x 。
下列结论中，正确的是【 】A ．0abc >B ．0a b +=C ．20b c >+D ．42a c b +< 2.已知二次函数y=﹣x 2﹣7x+，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是【 】A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 2＞y 3＞y 1D ．y 2＜y 3＜y 13.如图，已知抛物线y 1=﹣2x 2+2，直线y 2=2x+2，当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1、y 2．若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M=y 1=y 2．例如：当x=1时，y 1=0，y 2=4，y 1＜y 2，此时M=0．下列判断：①当x ＞0时，y1＞y 2； ②当x ＜0时，x 值越大，M 值越小； ③使得M 大于2的x 值不存在； ④使得M=1的x 值是或．其中正确的是【 】A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④4.已知二次函数()()2y=a x 2+c a 0>-，当自变量x 3，0时，对应的值分别为123y y y ，，，则123y y y ，，的大小关系正确的是【 】A. 321y y y <<B. 123y y y <<C. 213y y y <<D. 312y y y <<5.关于x 的二次函数()()y=x+1x m -，其图象的对称轴在y 轴的右侧，则实数m 的取值范围是【 】 A. m <1- B. 1<m<0- C. 0<m<1 D. m >16.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c ＜0；④8a+c＞0．其中正确的有【 】A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个7. 已知抛物线y=ax 2﹣2x+1与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是【 】A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限8.抛物线2y x 12=-+（）的顶点坐标是【 】A ．（－1，2）B ．（－1，－2）C ．（1，－2）D ．（1，2）9.如图为二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，则下列说法： ①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x ＜3时，y ＞0 其中正确的个数为【 】A ．1B ．2C ．3D ．410.如图，已知抛物线与x 轴的一个交点A （1，0），对称轴是x=﹣1，则该抛物线与x 轴的另一交点坐标是【 】A ．（﹣3，0）B ．（﹣2，0）C ．x=﹣3D ．x=﹣211.二次函数y=ax 2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t=a+b+1，则t 值的变化范围是【 】A ．0＜t ＜1B ．0＜t ＜2C ．1＜t ＜2D ．﹣1＜t ＜112.若二次函数22y ax bx a 2=++-（a ，b 为常数）的图象如图，则a 的值为【 】A. 1B. 2C. 2-D. -213.设二次函数2y x bx c =++，当x 1≤时，总有y 0≥，当1x 3≤≤时，总有y 0≤，那么c 的取值范围是【 】A.c 3=B.c 3≥C.1c 3≤≤D.c 3≤ 14.对于二次函数y 2(x 1)(x 3)=+-，下列说法正确的是【 】A. 图象的开口向下B. 当x>1时，y 随x 的增大而减小C. 当x<1时，y 随x 的增大而减小D. 图象的对称轴是直线x=－1 15.如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点B 坐标（﹣1，0），下面的四个结论：①OA=3；②a+b+c＜0；③ac＞0；④b 2﹣4ac ＞0．其中正确的结论是【 】A ．①④B ．①③C ．②④D ．①② 16.抛物线234y x x =--+ 与坐标轴的交点个数是【 】 A ．3 B ．2 C ．1 D ．017.如图，二次函数的图象经过（－2，－1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是【 】A ．y 的最大值小于0B ．当x=0时，y 的值大于1C ．当x=－1时，y 的值大于1D ．当x=－3时，y 的值小于018.二次函数y=ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b 2－4ac>0；② 2a＋b<0；③ 4a－2b ＋c=0；④ a︰b ︰c= －1︰2︰3.其中正确的是【 】 (A ) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D)①④19.二次函数2y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为【 】A ．3-B ．3C ．6-D ．920.设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为【 】A ．213y y y >>B ．312y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >>21.二次函数()2y=ax +bx+c a 0≠的图象如图所示，下列结论错误的是【 】 A.abc ＞0 B.3a ＞2b C.m （am ＋b ）≤a－b D.4a －2b ＋c ＜0 22.已知二次函数y=2（x ﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有【 】 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个23.抛物线2y ax bx 3=+-经过点（2，4），则代数式8a 4b 1++的值为【 】A ．3B ．9C ．15D ．15-24.如图，抛物线y 1=a （x ＋2）2－3与y 2=12（x －3）2＋1交于点A （1，3），过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ，C ．则以下结论：①无论x 取何值，y 2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y 2－y 1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是【 】A ．①②B ．②③ C．③④ D．①④25.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则函数值y 0<时x 的取值范围是【 】 A ．x 1<- B ．x ＞3 C ．－1＜x ＜3 D ．x 1<-或x ＞3 26.抛物线y ＝－2x 2＋1的对称轴是【 】 A ．直线1x=2 B ．直线1x=2-C ．y 轴D ．直线x ＝2 27.已知二次函数y ＝a(x ＋1)2－b(a≠0)有最小值，则a ，b 的大小关系为【 】 A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．不能确定28.如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1，1)、(2，－1)．下列关于这个二次函数的叙述正确的是【 】A ．当x ＝0时，y 的值大于1B ．当x ＝3时，y 的值小于0C ．当x ＝1时，y 的值大于1D ．y 的最大值小于029.已知二次函数y=ax 2+bx+c(a≠O)的图象如图所示，现有下列结论：①abc>0 ②b 2－4ac<0 ⑤c<4b ④a＋b>0，则其中正确结论的个数是【 】 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个30.抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点坐标是(－l ，0)和(3，0)，则这条抛物线的对称轴是【 】．A ．直线x=－1 8．直线x=0 C ．直线x=1 D ．直线x= 3 31如图是二次函数2y=ax +bx+c 的部分图象，由图象可知不等式2ax +bx+c<0的解集是【 】A ．1<x<5-B ．x>5C ．x<1-且x>5D ．1<x -或x>5 二、填空题：1.二次函数622+-=x x y 的最小值是 ．2.已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y=（x －1）2+1的图象上，若x 1＞x 2＞1，则y 1 y 2. 3.若抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是A （2，1），且经过点B （1，0），则抛物线的函数关系式为 ． 4.对于二次函数2y x 2mx 3=--，有下列说法：①它的图象与x 轴有两个公共点；②如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小，则m 1=； ③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m 1=-；④如果当x 4=时的函数值与x 2008=时的函数值相等，则当x 2012=时的函数值为3-．其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上） 5.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象的对称轴是直线x ＝1，其图象的一部分如图所示．下列说法正确的是 (填正确结论的序号)．①abc＜0；②a－b ＋c ＜0；③3a＋c ＜0；④当－1＜x ＜3时，y ＞0．6.二次函数n x x y +-=62的部分图像如图所示，若关于x 的一元二次方程062=+-n x x 的一个解为11=x ，则另一个解2x = ．7.二次函数2y x 2x 3=--的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是 ．8.当x= 时，二次函数y=x 2+2x ﹣2有最小值．9.如图，在平面直角坐标系中，点A 是抛物线()2y=a x 3+k -与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且AB∥x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为 .10.若抛物线2y ax bx c =++经过点(－1，10)，则a b c -+= ． 11.已知二次函数y=－x 2－2x ＋3的图象上有两点A(－7，1y )，B(－8，2y )，则1y 2y .（用>、<、=填空）． 12.将抛物线y=x 2+x 向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ． 三、解答题1.已知二次函数23y (t 1)x 2(t 2)x 2=++++在x 0=和x 2=时的函数值相等。
九年级数学二次函数y=ax2(a≠0)的图像与性质(巩固篇)(专项练习)Word版含解析
专题2.6 二次函数y=ax2(a≠0)的图像与性质（巩固篇）（专项练习）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）专题2.6 二次函数y=ax2(a≠0)的图像与性质（巩固篇） （专项练习） 一、单选题知识点一、二次函数2y ax =的性质综合1．下列关于二次函数22y x =的说法正确的是（ ） A ．它的图象经过点(0，2) B ．它的图象的对称轴是直线2x = C ．当x <0时，y 随x 的增大而减小D ．当x =0时，y 有最大值为02．在同一直角坐标系中，二次函数23y x =-、213y x =、23y x =的图像的共同点是( )A ．关于y 轴对称，开口向上B ．关于y 轴对称，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小C ．关于y 轴对称，最高点是原点D ．关于y 轴对称，顶点坐标是（0，0） 3．下列关于抛物线2yx 和2y x =-的关系的说法中，错误的是（ ）A ．它们有共同的顶点和对称轴B ．它们都是关于y 轴对称C ．它们的形状相同，开口方向相反D ．点A （-2，4）在这抛物线2yx 上，也在抛物线2y x =-的图像上．4．同一坐标系中，抛物线222114,,24y x y x y x ===-的共同特点是（ ） A ．关于y 轴对称，开口向上B ．关于y 轴对称，y 随x 的增大而增大C ．关于y 轴对称，y 随x 的增大而减小D ．关于y 轴对称，顶点是原点5．下列关于二次函数22y x =的说法正确的是（ ） A ．它的图象经过点()1,2-- B ．当0x <时，y 随x 的增大而减小 C ．当0x =时，y 有最大值为0D ．它的图象的对称轴是直线2x =6．关于抛物线y ＝－x 2，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是原点；①当x ＞10时，y 随x 的增大而减小；①当－1＜x ＜2时，－4＜y ＜－1；①若(m ，p)、(n ，p)是该抛物线上两点，则m ＋n ＝0.其中正确的说法有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．下列说法中正确的是（ ） A ．抛物线2y ax =的顶点是原点 B ．抛物线2y ax =-的开口向下C ．抛物线2y ax =的开口向上D ．抛物线2y ax =的顶点是抛物线的最低点8．关于抛物线2y 2x =，下列说法错误的是 A ．开口向上 B ．对称轴是y 轴C ．函数有最大值D ．当x>0时，函数y 随x 的增大而增大 知识点二、二次函数2y ax =与一次函数y kx b =+图象位置9．函数y ＝ax －2 (a ≠0)．与y ＝ax 2(a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是A ．B ．C ．D ．10．在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2(a ≠0)与y ＝ax (a ≠0)的大致图象可能是( )A ．B ．C ．D ．11．已知a ≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知二次函数2y ax =的图象开口向上，则直线1y ax =-经过的象限是（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第二、三、四象限 C ．第一、二、四象限D ．第一、三、四象限知识点三、二次函数2y ax =的面积问题 13．下列图形中阴影部分面积相等的是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①14．如图已知A 1，A 2，A 3，…A n 是x 轴上的点，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=…=A n -1A n =1，分别过点A 1，A 2，A 3，…A n′作x 轴的垂线交二次函数212y x =（x ＞0）的图象于点P 1，P 2，P 3，…Pn ，若记△OA 1P 1的面积为S 1，过点P 1作P 1B 1①A 2P 2于点B 1，记△P 1B 1P 2的面积为S 2，过点P 2作P 2B 2①A 3P 3于点B 2，记△P 2B 2P 3的面积为S 3，…依次进行下去，最后记△P n -1B n -1P n （n ＞1）的面积为S n ，则S n =（ ）A ．214n -B ．24nC ．()214n - D ．214n + 15．如图，①O 的半径为2，C 1是函数y ＝x 2的图象，C 2是函数y ＝﹣x 2的图象，则阴影部分的面积是（ ）A ．πB ．2πC ．4πD ．都不对16．如图，菱形OABC 的顶点O 、A 、C 在抛物线y=13x 2上，其中点O 为坐标原点，对角线OB 在y 轴上，且OB=2．则菱形OABC 的面积是（ ）A．B ．C ．4D ．知识点四、二次函数2y ax 与几何综合问题17．如图，在平面直角坐标系中，A （1，2），B （1，﹣1），C （2，2），抛物线y=ax 2（a≠0）经过①ABC 区域（包括边界），则a 的取值范围是（ ）A ．a≤﹣1或a≥2B ．12≤a≤2C ．﹣1≤a ＜0或1＜a≤2D ．﹣1≤a ＜0或0＜a≤218．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点P 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC →CD 方向运动，当P 运动到B 点时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 点运动的时间为t ，APQ 的面积为S ，则S 与t 的函数关系图象是（ ）A．B．C．D．19．如图，菱形ABCD的边长为5cm，AB边上的高DE＝3cm，垂直于AB的直线l从点A出发，以1cm/s的速度向右移动到点C停止若直线l的移动时间为x（s），直线l扫过菱形ABCD的面积为y（cm2），则下列能反映y关于x函数关系的大致图象是（）A．B．C ．D ．20．如图，Rt ①OAB 的顶点A （-2，4）在抛物线y =ax 2上，将Rt ①OAB 绕点O 顺时针旋转90°，得到①OCD ，边CD 与该抛物线交于点P ，则点P 的坐标为（ ）A ．)B ．(2,2)C ．,2)D ．21．如图，分别过点P n (n ，0)(n 为正整数)作x 轴的垂线，交二次函数212y x =(x ＞0)的图象于点A n ，交直线12y x =- (x ＞0)于点B n ，则1122111n nA B A B A B +++的值为（ ）A ．21nn + B ．2C ．2(1)n n +D ．21n + 22．如图，①O 被抛物线y=12x 2所截的弦长AB=4，则①O 的半径为（ ）．A．2B．C D．423．如图，在平行四边形ABCD中，①A=60°，AB=6厘米，BC=12厘米，点P、Q同时从顶点A出发，点P沿A→B→C→D方向以2厘米/秒的速度前进，点Q沿A→D 方向以1厘米/秒的速度前进，当Q到达点D时，两个点随之停止运动．设运动时间为x秒，P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面积为y（cm2），则y与x的函数图象大致是（）A．B．C．D．24．如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=2cm，动点M自点A出发沿A→B的方向，以每秒1cm的速度运动，同时动点N自点A出发沿A→D→C的方向以每秒2cm 的速度运动，当点N到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为x（秒），①AMN 的面积为y（cm2），则下列图象中能反映y与x之间的函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题知识点一、二次函数2y ax =的性质综合25．抛物线24(3)y x =-+的开口方向是_____，顶点坐标是_____，对称轴是_____，顶点是图像的最____点（填“高”或“低”）． 26．下列说法中正确的序号是_____________ ①在函数y =﹣x 2中，当x =0时y 有最大值0； ①在函数y =2x 2中，当x ＞0时y 随x 的增大而增大①抛物线y =2x 2，y =﹣x 2，y =﹣212x 中，抛物线y =2x 2的开口最小，抛物线y =﹣x 2的开口最大①不论a 是正数还是负数，抛物线y =ax 2的顶点都是坐标原点 27．函数2y ax =的部分对应值如下表：根据表格回答：（1）=a _________，b = ________；（2）函数的解析式为 _________，定义域是 ________；（3）请再举一些对应值，猜测该函数的图像关于________轴对称．28．已知函数232y x =-，不画图像，回答下列各题.（1）开口方向为______； （2）对称轴为______； （3）顶点坐标为______；（4）当0x ≥时，y 随x 的增大而______； （5）当x ______时，0y =；（6）当x ______时，函数y 的最______值是______.29．抛物线y ＝2x 2的顶点坐标为______，对称轴是______．当x ______时，y 随x 增大而减小；当x ______时，y 随x 增大而增大；当x ＝______时，y 有最______值是______．30．抛物线y ＝15x 2的开口方向_____，对称轴是_____，顶点是_____，当x ＜0时，y随x 的增大而_____；当x ＞0时，y 随x 的增大而_____；当x ＝0时，y 有最_____值是_____． 31．函数223y x =，其图象是_________，开口向_____，对称轴是________，顶点坐标为_______，图象有最_______点，函数y 有最______值，是______，当0x >时，y 随x 的减小而_______.32．已知点A （–3，y 1），B （–1，y 2），C （2，y 3）在抛物线y=23x 2上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是__________（用“<”连接）．33．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0）其部分图象如图所示，下列结论：①b 2﹣4ac ＜0；①方程ax 2+bx +c 的两个根是x 1＝﹣1，x 2＝3； ①2a +b ＝0，①当y ＞0时，x 的取值范围是﹣1＜x ＜3：①当x ＞0，y 随x 增大而减小，其中结论正确的序号是_____．知识点二、二次函数2y ax =的面积问题34．如图，把抛物线y=12x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=12x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为______．35．如图，①O的半径为2，C1是函数y=2x2的图象，C2是函数y=－2x2的图象，则图中阴影部分的面积为_______．36．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=1 3x2与y=–13x2的图象，则阴影部分的面积是__________．37．如图，已知A1，A2，A3，…，An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An－1An＝1，分别过点A1，A2，A3，…，An作x轴的垂线交二次函数y＝12x2(x＞0)的图象于点P1，P2，P3，…，Pn，若记△OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1①A2P2于点B1，记△P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2①A3P3于点B2，记△P2B2P3的面积为S3……依次进行下去，则S3＝________，最后记△Pn－1Bn－1Pn(n＞1)的面积为Sn，则Sn＝________．38．下图是一个可以绕O 点自由转动的转盘，①O 的半径为2，1C 是函数212y x =的图象，2C 是函数212y x =-的图象，3C 是函数y 的图象，则指针指向阴影部分的概率__________.39．设直线2y =与抛物线2y x 交于,A B 两点，点P 为直线2y =上方的抛物线2y x 上一点，若PAB 的面积为P 的坐标为_________________．40．如图，正方形的边长为3，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y ＝2x 2与y ＝－2x 2的图像，则图中阴影部分的面积是______________．知识点三、二次函数2y ax =与几何综合问题41．在平面直角坐标系中，抛物线2y x 的图象如图所示．已知A 点坐标为()1,1，过点A 作1AA x ∕∕轴交抛物线于点1A ，过点1A 作12A A OA ∕∕交抛物线于点2A ，过点2A 作23A A x ∕∕轴交抛物线于点3A ，过点3A 作34A A OA ∕∕交抛物线于点4A ……，依次进行下去，则点2019A 的坐标为_____．42．如图，正方形OABC 的顶点B 在抛物线y ＝x 2的第一象限部分，若B 点的横坐标与纵坐标之和等于6，则正方形OABC 的面积为_____．43．二次函数y ＝23x 2的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，点A 1，A 2，A 3，…，A 2017在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…，B 2017在二次函数y ＝23x 2位于第一象限的图象上．若①A 0B 1A 1，①A 1B 2A 2，①A 2B 3A 3，…，①A 2016B 2017A 2017都为正三角形，则①A 2016B 2017A 2017的边长为____．44．如图分别过点(,0)(1,2,,)i P i i n =作x 轴的垂线，交2y x 的图象于点i A ，交直线y x =-于点i B ，则1122111n nAB ABA B +++=__________．45．二次函数2的图象如图所示，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B 、C 在函数图象上，四边形OBAC 为菱形，且①AOB=30°，则点C 的坐标为_______．46．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交函数21(0)y x x =≥与22(0)3x y x =≥的图象于B 、C 两点，过点C 作y 轴的平行线交1y 的图象于点D ，直线DE ∥AC ，交2y 的图象于点E ，则DE AB=_______．三、解答题知识点一、二次函数2y ax =的存在性问题47．抛物线y ＝ax 2与直线y ＝2x －3交于点(1，b )．(1)求a ，b 的值．(2)抛物线y ＝ax 2的图象上是否存在一点P ，使其到两坐标轴的距离相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．知识点二、二次函数2y ax =的面积问题48．在平面直角坐标系中，若抛物线22y x =与直线1y x =+交于点(,)A a b 和点(,)B c d ，其中a c >，点O 为原点，求ABO ∆的面积.知识点三、二次函数2y ax =的几何问题49．如图所示，已知函数y ＝ax 2(a≠0)的图象上的点D ，C 与x 轴上的点A(－5，0)和B(3，0)构成▱ABCD ，DC 与y 轴的交点为E(0，6)，试求a 的值．参考答案：1．C【分析】根据二次函数的图象性质即可判断．【详解】解：A 、当x =0时，y =0≠2，故此选项错误；B 、它的图象的对称轴是直线x =0，故此选项错误；C 、当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，故此选项正确；D 、当x =0时，y 有最小值是0，故此选项错误；故选：C ．【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．2．D【分析】根据二次函数2y ax =的图象和性质判断所给的三个二次函数的图象和性质．【详解】A 选项错误，二次函数23y x =-的开口向下；B 选项错误，二次函数23y x =-，当0x <时，y 随着x 的增大而增大；C 选项错误，二次函数23y x =和213y x =的最低点是原点； D 选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数2y ax =的图象和性质，解题的关键是熟悉它的图象和性质．3．D【分析】根据抛物线2y ax =的性质直接回答即可．【详解】解：抛物线2y x 和2y x =-的性质可知，二次项系数a 的绝对值相等，所以开口方向相反，并且都关于y 轴对称，顶点都为原点，但是点A （-2，4）在这抛物线2y x 上，但不在抛物线2y x =-的图像上，综上所述，A ，B ，C 选项都正确，只有D 错误，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解形如2y ax =的抛物线的性质．4．D【分析】形如y=ax 2的抛物线共同特点就是：关于y 轴对称，顶点是原点，a 正负性决定开口方向．a 的绝对值大小决定开口的大小． 【详解】解：因为抛物线222114,,24y x y x y x ===-都符合抛物线的最简形式y=ax 2， 其对称轴是y 轴，A 、214y x =-开口向下，故选项错误； B 、抛物线y=ax 2在x ＜0时和x ＞0，y 随x 的增大的变化情况不一样，故选项错误； C 、抛物线y=ax 2在x ＜0时和x ＞0，y 随x 的增大的变化情况不一样，故选项错误；D 、抛物线y=ax 2的顶点是原点，故选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的性质确定抛物线的开口、对称轴以及顶点坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质确定二次函数的图象是关键．5．B【分析】根据二次函数作出示意图，然后根据示意图逐一判断即可．【详解】由题意得：当x=-1时，y=2，故A 选项错误；当0x <时，y 随x 的增大而减小，故B 选项正确；当0x =时，y 有小值为0，故C 选项错误；图象的对称轴是直线0x =，故D 选项错误；故选B ．【点睛】本题考查了二次函数20y ax a 的图像和性质，正确的作出示意图是本题的关键．6．C【分析】直接根据二次函数的图象和性质逐项判断即可．【详解】解：①y ＝－x 2①①抛物线开口向下，顶点是原点，故该项正确；①对称轴为x=0，当x>10时，y 随x 的增大而减少，故该项正确；①当-1<x<2时，-4<y<0，故该项错误；①若(m ，p)、（n ，p ）是该抛物线上两点，则m+n=0，故该项正确．故选：C ．【点睛】此题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．7．A【分析】根据二次函数的性质直接作出选择．【详解】解：A.抛物线2y ax =的顶点是原点，正确；B.抛物线2y ax =-的开口不确定，因为a 不知是正是负；C.抛物线2y ax =的开口不确定，因为a 不知是正是负；D.抛物线2y ax =的顶点不确定，因为a 不知是正是负，故选A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握顶点坐标，对称轴以及开口方向等知识，此题难度不大．8．C【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、顶点坐标、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案．【详解】A. 因为a =2>0，所以开口向上，正确；B. 对称轴是y 轴，正确；C. 当x =0时，函数有最小值0，错误；D. 当x >0时，y 随x 增大而增大，正确；故选:C【点睛】考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键. 9．A【分析】由题意分情况进行分析：①当a＞0时，抛物线开口向上，直线与y轴的负半轴相交，经过第一、三、四象限，①当a＜0时，抛物线开口向下，直线与y轴的负半轴相交，经过第二、三、四象限，因此选择A．【详解】解：①在y=ax-2，①b=-2，①一次函数图象与y轴的负半轴相交，①①当a＞0时，①二次函数图象经过原点，开口向上，一次函数图象经过第一、三、四象限，①①当a＜0时，①二次函数图象经过原点，开口向下，一次函数图象经过第二、三、四象限，故选A．【点睛】本题主要考查二次函数的图象、一次函数的图象，关键在于熟练掌握图象与系数的关系．10．C【详解】①y=ax(a≠0)的图象是一条经过原点的直线，所以A不正确；①当a>0时，y=ax²(a≠0)的开口向上，y=ax（a≠0的的图象经过第一，第三象限，当a<0时y=ax²(a≠0)的开口向下，y=ax(a≠0)的图象经过第二，第四象限，①选项B,D不正确，选项C正确．故选C.11．C【分析】本题可先由一次函数y＝ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2的图象相比较看是否一致．【详解】解：A、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＞0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；B、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＞0，故B错误；C、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＜0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；D、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＜0，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与正比例函数的图象，解题的关键是熟练的掌握二次函数的图象与正比例函数的图象的相关知识点．12．D【分析】二次函数图象的开口向上时，二次项系数a＞0；一次函数y=kx+b（k≠0）的一次项系数k＞0、b＜0时，函数图象经过第一、三、四象限．【详解】解：①二次函数y=ax2的图象开口向上，①a＞0；又①直线y=ax-1与y轴负半轴相交，①y=ax-1经过的象限是第一、三、四象限．故选：D．13．D【详解】首先根据各图形的函数解析式求出函数与坐标轴交点的坐标，进而可求得各个阴影部分的面积，进而可比较出个阴影部分面积的大小关系．解答：解：甲：直线y=-x+2与坐标轴的交点坐标为：（2，0），（0，2），故S阴影=12×2×2=2；乙：图中的函数为正比例函数，与坐标轴只有一个交点（0，0），由于缺少条件，无法求出阴影部分的面积；丙：该抛物线与坐标轴交于：（-1，0），（1，0），（0，-1），故阴影部分的三角形是等腰直角三角形，其面积S=12×2×1=1；丁：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为：S=12xy=12×2=1；因此①①的面积相等，故选D．点评：此题主要考查了函数图象与坐标轴交点坐标的求法以及图形面积的求法，是基础题，熟练掌握各函数的图象特点是解决问题的关键．14．A【分析】根据二次函数上点的特征，求得当x=n和x=n-1时y的值，再利用三角形的面积公式求解即可.【详解】二次函数y=12x2，由图象知：当x=n时，y=12n2，当x=n-1时，y=12（n-1）2，①S n =12×1×[12n 2-12（n -1）2]=21 4n -． 故选A ．【点睛】本题二次函数规律探究题，求得当x=n 和x=n -1时y 的值是解决问题的关键.15．B【分析】根据函数y=x 2与函数y=-x 2的图象关于x 轴对称，得出阴影部分面积即是半圆面积求出即可．【详解】解：①C 1是函数y=x 2的图象，C 2是函数y=-x 2的图象，①两函数图象关于x 轴对称，①阴影部分面积即是半圆面积，①面积为：12π×22=2π． 故选B ．【点睛】此题主要考查了二次函数的对称性，根据已知得出阴影部分面积即是半圆面积是解题关键．16．B【分析】根据二次函数图象上点的坐标性质得出A ，C 点坐标，进而利用三角形面积求法得出答案．【详解】①菱形OABC 的顶点O 、A 、C 在抛物线y=13x 2上，对角线OB 在y 轴上，且OB=2， ①由题意可得：A ，C 点纵坐标为1，故1=13x 2， 解得：故1)，C(1)，故菱形OABC 的面积是：12AC ⋅OB=12故选：B ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及二次函数图象上点的坐标性质，得出A ，C 点坐标是解题关键．17．D【分析】分a<0和a>0两种情况，确定开口最小经过的点，代入解析式求出a 的取值范围即可.【详解】解：若a<0，则抛物线开口向下，开口最小过点B（1，-1）①-1=a×12①a=-1①-1≤a<0若a>0，则抛物线开口向上，开口最小过点A（1，2）①2=a×12①a=2①0<a≤2①a的取值范围是-1≤a<0或0<a≤2故选D【点睛】本题考查了二次函数的图象，有一定难度，进行分类讨论是解题的关键．18．B【分析】本题应分两段进行解答，①点P在AB上运动，点Q在BC上运动，①点P在AB上运动，点Q在CD上运动，依次得出S与t的关系式即可得出函数图象．【详解】解：①点P在AB上运动，点Q在BC上运动，此时AP＝t，QB＝2t，AP•QB＝t2，函数图象为抛物线；故可得S＝12①点P在AB上运动，点Q在CD上运动，此时AP＝t，△APQ底边AP上的高保持不变，为正方形的边长4，AP×4＝2t，函数图象为一次函数．故可得S＝12综上可得总过程的函数图象，先是一段抛物线，然后是一条线段．故选：B．【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，解答本题关键是分段求出函数解析式，利用解析式判断图象．19．C【分析】先由勾股定理计算出AE，BE，从而就可以得出0≤x≤4时的函数解析式，排除掉A和D；再得出当4＜x≤5时的函数解析式，进而排除B，从而得正确选项为C．【详解】解∵菱形ABCD的边长为5cm，AB边上的高DE＝3cm，∴在直角三角形ADE中，由勾股定理得：AE＝4cm，∴BE＝1cm，当0≤x≤4时，由相似三角形的性质及三角形的面积公式得：y＝13x24x⨯＝238x，从而函数图象应为开口向上的抛物线，因此排除选项A和D；当4＜x≤5时，y＝1433x43x62⨯⨯+（﹣）＝﹣，从而函数图象是直线的一部分，且y随x的增大而增大，因此排除选项B；综上，排除A，B和D．故选C．【点睛】本题是动点函数图象题型，当某部分的解析式好写时，可以写出来，结合排除法，答案还是不难得到的．20．C【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得D（0，2），且DC①x 轴，从而求得P的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得P的坐标．【详解】①Rt①OAB的顶点A（−2，4）在抛物线y=ax2上，①4＝4a，解得a＝1，①抛物线为y=x2，①点A（−2，4），①B（−2，0），①OB＝2，①将Rt①OAB绕点O顺时针旋转90°，得到①OCD，①D点在y轴上，且OD＝OB＝2，①D（0，2），①DC①OD，①DC①x轴，①P点的纵坐标为2，令y=2，得2=x2，解得：x①点P在第一象限，①点P的坐标为：，2）故答案为：C ．【点睛】考查二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化－旋转，掌握旋转的性质是解题的关键．21．A【分析】根据题意写出A n 、B n 的坐标，然后可得到21122n n A B n n =+，从而2121121n n A B n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，然后进行计算即可． 【详解】解：由题意可知A n 、P n 、B n 的横坐标相同，①P n (n ，0)，①B n (n ，12n -)，A n (n ，212n )， ①2211112222n n A B n n n n ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭， 2211211211122n n A B n n n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭+， ①11221111111121222231n n A B A B A B n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111212231n n ⎛⎫=--- ⎪+⎝⎭+++ 1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+ 故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数和一次函数图象上点的坐标，代数式的化简，得出11121n n A B n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭是解题的关键． 22．B【分析】由二次函数的性质以及在Rt①OCB 中，利用勾股定理求出OB 即可．【详解】解：如图，连接OB ，①AB=4，①BC=2，则点B的横坐标位，y=12，x2=2，①点B的坐标为（2，2），①OC=2，在Rt①OCB中，BC=2，OC=2,由勾股定理的，故选B．23．A【详解】解：当点P在AB上时，即0≤x≤3时，P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面积=122；；当点P在BC上时，高不变，但底边在增大，所以P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面积关系式为一个一次函数；当P在CD上时，表示出所围成的面积关系式，根据开口方向判断出开口向下，相应的图象为A．24．D【分析】根据动点移动是图形的面积变化，确定是属于哪一种函数，再选择图象.【详解】在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=2cm，AD+DC=AB+AD=4+2=6cm，①点M以每秒1cm的速度运动，①4÷1=4秒，①点N以每秒2cm的速度运动，①6÷2=3秒，①点N先到达终点，运动时间为3秒，①点N在AD上运动时，y=12AM∙AN=12x∙2x=x2（0≤x≤1）；①点N在DC上运动时，y=12AM∙AD=12x×2=x（1≤x≤3），①能反映y与x之间的函数关系的是D选项．故选D．【点睛】考核知识点：函数图象.25． 向下 (-3，0) x=-3 高【分析】根据二次函数的性质：当a<0时，抛物线的开口向下，顶点式：2()(ya x h k a ，h ，k 是常数，0)a ≠，其中(,)h k 为顶点坐标，对称轴为：x h =． 【详解】解：在抛物线24(3)y x =-+中，①40a =-<，①抛物线开口向下，顶点是图像的最高点；①3h =-，0k =，①对称轴为x=-3，顶点坐标是(-3，0)；故答案是：向下，(-3，0)，y 轴，高．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，熟悉相关性质是解题的关键．26．①①①【分析】根据二次函数y ＝ax 2的图象与性质逐一判断即得答案【详解】解：由函数的解析式y ＝－x 2，可知a =﹣1＜0，得到函数的开口向下，有最大值y =0，故①正确；由函数的解析式y ＝2x 2，可知其对称轴为y 轴，对称轴的左边（x ＜0），y 随x 增大而减小，对称轴的右边（x ＞0），y 随x 增大而增大，故①正确；根据二次函数的性质，系数a 决定抛物线的开口方向和开口大小，且a 越大开口越小，可知抛物线y ＝2x 2的开口最小，抛物线y ＝－x 2的开口第二小，而y 212x =-开口最大，故①不正确；不论a 是正数还是负数，抛物线y ＝ax 2的顶点都是坐标原点，故①正确．综上，正确的结论是：①①①．故答案为：①①①．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数y =ax 2的与性质是解题的关键．27． 2 8 22y x = 一切实数 y【分析】（1）把x=-1，y=2代入2y ax =，得a=2，可得22y x =，把x=2，y=b 代入22y x =中，得b=8；（2）由（1）可得函数解析式，定义域是一切实数；（3）当x=-2，x=-3，x=3时，分别计算出对应的y 值，然后观察数据即可得到结论．【详解】（1）把x=-1，y=2代入2y ax =，得a=2，①函数解析式为：22y x =，把x=2，y=b 代入22y x =中，得b=8，故答案为：a=2，b=8．（2）函数的解析式为22y x =，定义域是一切实数，故答案为：22y x =，一切实数．（3）当x=-2时，y=8；当x=-3时，y=18；当x=3时，y=18；可得该函数的图像关于y 轴对称．故答案为：y ．【点睛】本题主要考查了二次函数2y ax =的图象和性质，熟练掌握其图象和性质是解题的关键．28． 向下 y 轴 ()0,0 减小 0= 0= 大 0【分析】根据二次函数的解析式和图像性质即可依次写出. 【详解】对于232y x =- （1）①a=32-＜0，①开口方向为向下； （2）对称轴为y 轴；（3）顶点坐标为()0,0；（4）当0x ≥时，y 随x 的增大而减小；（5）当x =0时，0y =；（6）当x =0时，函数y 的最大值是0.故填：(1). 向下(2). y 轴 (3)()0,0(4).减小(5)0=(6)0=；大；0【点睛】本题主要考查二次函数的性质及图象，掌握二次函数的顶点式y ＝ax 2对应的开口方向、对称轴、顶点坐标是解题的关键．29． (0，0) y 轴 ≤0 ＞0 0 小 0．【详解】解：抛物线y ＝2x 2的顶点坐标为（0，0），对称轴是y 轴．当x ≤0时，y 随x 增大而减小；当x ＞0时，y 随x 增大而增大；当x ＝0时，y 有最小值是0．故答案为 （0，0） ； y 轴 ； ≤0 ；＞0 ； 0 ； 小； 0．30． 上， y 轴， （0，0）， 减小， 增大， 最小， 0．【分析】根据二次函数的性质，可得答案．【详解】解：y ＝15x 2的开口方向 上，对称轴是 y 轴，顶点是 （0，0），当x ＜0时，y 随x 的增大而 减小；当x ＞0时，y 随x 的增大而 增大；当x ＝0时，y 有最 最小值是 0， 故答案为上，y 轴，（0，0），减小，增大，最小，0．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题关键．31． 抛物线 上 y 轴 （0，0） 低 小 0 减小【分析】由函数图象与系数的关系及二次函数的性质，即可得到答案.【详解】解：函数223y x =的图像是抛物线，开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标是原点（0，0），图像有最低点，函数y 有最小值，最小值是0，当0x >时，y 随x 的减小而减小； 故答案为抛物线；上；y 轴；（0，0）；低；小；0；减小.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系及二次函数的性质，综合性较强．解题的关键是熟记二次函数的图像和性质.32．y2＜y3＜y1【详解】解：①点A （﹣3，y 1），B （﹣1，y 2），C （2，y 3）在抛物线y =23x 2，①y 1=23×（﹣3）2=6，y 2=23×（﹣1）2=23，y 3=23×22=8233．＜83＜6，①y 2＜y 3＜y 1．故答案为y 2＜y 3＜y 1． 点睛：本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．33．①①①【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：①由图象可知：抛物线与x 轴有两个交点，①①＝b 2﹣4ac ＞0，故①错误；①（﹣1，0）关于直线x ＝1的对称点为（3，0），①ax 2+bx +c ＝0的两个根是x 1＝﹣1，x 2＝3，故①正确；①对称轴为x ＝1， 故2b a- ＝1， ①2a +b ＝0，故①正确；①当y ＞0时，由图象可知：﹣1＜x ＜3，故①正确；①当x ＞1时，y 随着x 的增大而减小，故①错误；故答案为①①①．【点睛】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．34．272【分析】根据点O 与点A 的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P 的坐标，过点P 作PM ①y 轴于点M ，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPMO 的面积，然后求解即可．【详解】过点P 作PM ①y 轴于点M ，设PQ 交x 轴于点N ，①抛物线平移后经过原点O 和点A （﹣6，0），①平移后的抛物线对称轴为x =﹣3．①平移后的二次函数解析式为：y =12（x +3）2+h ， 将（﹣6，0）代入得出：0=12（﹣6+3）2+h ，解得：h =﹣92． ①点P 的坐标是（－3，﹣92）． 根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO 的面积，①S =9273=22⨯-， 故答案为：272。
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2、在抛物y=kx2+bx+c(a≠0)中：
①、当a>0时，y口向，当x< 时，y随x的增大而，当x时，y随x的增大而增大，
②、当a<0时，开口向当x< 时，y随x增大而增大，当x时，y随x增大而减小
注意2：注意几个特殊形式的抛物线的特点
a:开口方向向上则a0,向下则a0；｜a｜越大，开口越
b:对称轴位置，与a联系一起，用判断b=0时，对称轴是
c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c0负半轴上则c0，当c=0时，抛物点过点
【名师提醒：在抛物线y= ax2+bx+c中，当x=1时，y=当x=-1时y=,经常根据对应的函数值判考a+b+c和a-b+c的符号】
综上，正确的结论有②④．
故选C
点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
③由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）2-3过原点，当x=0时，y2= （0-3）2+1= ，故y2-y1= ，故本小题错误；
④∵物线y1=a（x+2）2-3与y2= （x-3）2+1交于点A（1，3），
∴y1的对称轴为x=-2，y2的对称轴为x=3，
∴B（-5，3），C（5，3）