数学模型的应用
数学模型在科学研究中的作用和应用
数学模型在科学研究中的作用和应用数学模型是对现实世界中一些问题的抽象和化简，以便于科学家们能够更清晰地深入研究这些问题的本质，提高研究准确性和实验效率。
数学模型在科学研究中具有非常重要的作用和应用，本文将从几个不同的角度深入探讨数学模型的价值和应用。
1. 数学模型在自然科学中的应用数学模型在自然科学中的应用非常广泛，主要是以数学公式、方程组等形式来表达自然现象或物理规律。
例如，我们熟知的牛顿第二定律就是一个常见的数学模型： F=ma，描述了物体在受力作用下的运动规律。
除此之外，还有许多其他的数学模型，例如波动方程、热传导方程等，可以用来描述自然界中的现象和规律。
2. 数学模型在工程科学中的应用工程科学中更是离不开数学模型的使用。
例如在一个工程项目中，数学模型可以帮助设计者预测项目的成本、构造设计和性能参数，从而确定最佳的设计方案。
在建筑工程中，使用数学模型可以更好地理解结构的承载能力和最大荷载，从而确保建筑物的安全性和可靠性。
在电力和计算机科学领域，数学模型也被广泛应用于电路设计和数据分析，帮助工程师们更好地理解复杂的数据和信息。
3. 数学模型在社会科学中的应用数学模型的应用不仅局限于自然和工程科学领域，社会科学也同样需要数学模型的支持。
例如经济学中的供应与需求模型、博弈论模型等都是数学模型的应用。
疫情现象在社会科学中也是经常使用的例子，通过构建数学模型对疫情发展规律的探索，可以帮助决策者更好地制定疫情防控策略，精准地预测疫情发展趋势。
4. 数学模型在环境科学中的应用在环境科学的研究中，数学模型也发挥了重要作用。
例如构建大气环流模型的研究，需要考虑到多种因素对空气流动的影响，如地形、气压、气温等。
借助数学模型，科学家们可以对这些变量作出预测，开展大气环流的研究。
此外，数学模型还可以用于污染物传输和水文循环等环境问题的研究。
综上所述，数学模型是科学研究不可或缺的一部分，它的应用领域广泛，可以为研究者们提供更活跃、更有价值的思维方式和分析工具，使研究结果更加精准和有指向性。
数学模型在现代生产中的应用
数学模型在现代生产中的应用数学模型是数学原理在实际问题中的具体应用，它可以描述和解决各种复杂的生产问题。
数学模型的使用在现代生产中起着至关重要的作用，它能够帮助企业提高生产效率、降低成本、优化资源配置等。
本文将以几个实际案例为例，探讨数学模型在现代生产中的应用。
1. 产能规划和优化在现代生产中，合理的产能规划和优化对于企业的发展至关重要。
数学模型可以通过建立生产线模型，准确地计算出最佳的产能配置和维护策略。
例如，在汽车制造业中，数学模型可以通过考虑不同生产阶段的时间和资源限制，来确定最佳的生产速度和生产线配置，以达到最高的产能和效益。
2. 质量控制和过程改进数学模型在质量控制和过程改进方面也发挥着重要的作用。
通过建立质量控制模型，企业可以监测和分析生产过程中的各项指标，并及时采取措施进行调整和改进。
例如，在制药业中，数学模型可以通过分析影响产品质量的因素，优化生产过程中的温度、压力等参数，从而提高药品的质量和可靠性。
3. 供应链管理供应链管理是现代生产中不可忽视的一个环节。
数学模型可以通过建立供应链网络模型，优化物流和库存管理，降低物流成本和库存风险。
例如，在电子产品制造业中，数学模型可以对供应商的选择和订单的安排进行优化，从而提高供应链的效率和响应能力。
4. 设备维修和故障预测设备维修和故障是生产过程中常见的问题，也是影响生产效率和成本的重要因素。
数学模型可以通过建立设备维修模型，根据设备的使用寿命、运行数据等信息，预测设备的寿命和故障率，并提前采取维修措施，减少设备故障对生产的影响。
例如，在能源行业中，数学模型可以通过分析设备的温度、振动等数据，预测设备的寿命，并制定合理的维修计划，延长设备的使用寿命。
总结起来，数学模型在现代生产中有着广泛的应用。
它不仅可以帮助企业提高生产效率、降低成本，还可以优化资源配置、改进质量控制、管理供应链等方面。
随着科技的不断进步，数学模型的应用将会越来越广泛，为生产企业带来更多的机遇和挑战。
数学中的数学模型与实际应用
数学中的数学模型与实际应用在数学中，数学模型是指通过数学公式、方程或者算法等工具来描述现实世界中的各种问题和现象。
数学模型能够帮助我们理解和解决实际问题，从而为科学研究和工程应用提供支持。
本文将介绍数学模型在实际应用中的一些例子，并探讨它们对于解决问题和推动科学发展的重要性。
一、流体力学中的数学模型流体力学是研究流体运动和力学性质的学科，广泛应用于航空、航天、水利、能源等领域。
在流体力学中，数学模型可以用来描述流体的运动和流动行为，例如通过流体动力学方程可以确定流体的速度、压力和密度等参数。
这些数学模型不仅可以用来预测流体力学现象，还能够指导工程设计和控制流体流动，提高流体系统的效率和可靠性。
二、经济学中的数学模型经济学是研究人类经济活动的学科，也是应用数学较多的领域之一。
在经济学中，数学模型可以用来描述市场供求关系、产出增长、消费行为等经济现象。
例如，经济学家可以利用微观经济学模型来分析个体决策行为对整体经济发展的影响，也可以利用宏观经济学模型来预测宏观经济走势和政策效果。
这些数学模型不仅可以帮助我们理解经济现象，还可以为政府和企业决策提供依据。
三、物理学中的数学模型物理学是研究物质和能量的基本规律的学科，也是数学模型应用最广泛的领域之一。
在物理学中，数学模型可以用来描述物体的运动、电磁场的分布、量子力学的行为等现象。
例如，牛顿的运动定律可以用数学方程来描述物体在力的作用下的运动规律，电磁场方程可以用来描述电磁场的变化和传播。
这些数学模型不仅可以预测物理现象，还可以指导科学实验和技术应用，加深对自然规律的理解和认识。
四、生物学中的数学模型生物学是研究生命体及其现象的学科，也是应用数学较多的领域之一。
在生物学中，数学模型可以用来描述生物体的生长、繁殖、演化等行为和过程。
例如，人口模型可以用来预测人口的增长和分布，生物系统模型可以用来模拟生物体的生理过程和行为。
这些数学模型不仅可以帮助我们理解生物现象，还可以为农业生产、医学研究等领域提供参考和指导。
数学模型的应用案例分析
数学模型的应用案例分析数学模型在现代科学和工程领域中起着重要的作用。
通过建立数学模型，我们可以对复杂的问题进行定量分析和预测，为决策提供科学依据。
本文将通过分析几个数学模型在不同领域的应用案例，探讨数学模型的应用价值。
一、金融领域的数学模型应用在金融领域，数学模型被广泛应用于风险管理和投资决策。
例如，Black-Scholes期权定价模型是金融学中经典的数学模型之一。
它基于随机过程理论和假设市场中不存在套利机会，可以用来计算欧式期权的价格。
通过该模型，投资者可以评估期权的价值，并制定相应的投资策略。
此外，马尔可夫链模型也被广泛应用于金融市场的预测和分析中。
马尔可夫链是一种随机过程，具有“无记忆”的特性，即未来的状态只依赖于当前状态，与过去的状态无关。
通过构建马尔可夫链模型，可以对金融市场的走势进行建模和预测，为投资者提供决策参考。
二、物流领域的数学模型应用在物流领域，数学模型被广泛应用于优化运输和仓储管理。
例如，线性规划模型可以用于求解物流网络中的最优路径和最优分配问题。
通过线性规划模型，可以最大化运输效率，降低物流成本。
此外，整数规划模型也被应用于物流中的装箱问题。
装箱问题是指如何将一批货物装入尽量少的货柜或车辆中，以降低运输成本。
通过建立整数规划模型，可以确定最佳的装箱方案，实现最优的装箱效果。
三、生态学领域的数学模型应用在生态学领域，数学模型被广泛应用于研究生物种群动态和生态系统稳定性。
例如，Lotka-Volterra方程是描述捕食者和被捕食者相互作用的经典数学模型。
通过该模型，可以研究捕食者和被捕食者之间的数量关系和相互影响，进而预测生态系统的稳定性。
此外，扩散方程模型也被应用于研究物种扩散和生态系统的空间分布。
通过该模型，可以模拟物种在不同环境条件下的扩散过程，为保护生物多样性和生态系统管理提供科学依据。
总结：数学模型在不同领域的应用案例中发挥着重要作用。
通过建立数学模型，我们可以对复杂的问题进行定量分析和预测，为决策提供科学依据。
学习各种数学模型和应用
学习各种数学模型和应用数学作为一门基础学科，在现代社会中具有广泛的应用。
各种数学模型及其应用不仅在科学研究中发挥重要作用，也在日常生活中发挥着不可或缺的作用。
本文将介绍几种常见的数学模型及其应用，以帮助读者更好地理解和应用数学知识。
一、线性模型线性模型是数学中最简单、最基础的模型之一。
线性模型的基本形式为y = ax + b，其中y是因变量，x是自变量，a和b是系数。
线性模型被广泛应用于工程、经济学、统计学等领域，可以用于描述和预测各种现象和关系。
例如，在经济学中，线性模型可以用于分析供需关系、价格变动等；在统计学中，线性回归模型可以用于分析变量间的相关性。
二、指数模型指数模型是描述指数增长规律的数学模型。
指数模型的基本形式为y = a * e^(bx)，其中y是因变量，x是自变量，a和b是系数，e是自然对数的底。
指数模型被广泛应用于自然科学、医学、金融等领域，可以用于预测和解释各种现象。
例如，在生物学中，指数模型可以用于分析生物种群的增长；在金融领域，指数模型可以用于分析股票市场的涨跌趋势。
三、概率模型概率模型是用概率论来描述和预测事件发生的数学模型。
概率模型的基本思想是通过建立事件与其发生概率之间的关系，来对未知事件进行推断和预测。
概率模型广泛应用于统计学、风险管理、人工智能等领域。
例如，在统计学中，概率模型可以用于描述随机变量的分布特征；在风险管理中，概率模型可以用于评估风险的大小和可能性。
四、优化模型优化模型是寻找最优解的数学模型。
优化模型的基本思想是通过建立目标函数和约束条件，来找到使目标函数取得最大或最小值的变量取值。
优化模型被广泛应用于工程优化、物流规划、资源分配等领域。
例如，在运输领域，优化模型可以用于找到最短路径或最佳路径；在供应链管理中，优化模型可以用于最优化物流和库存管理。
总结：数学模型是数学工具在实际问题中的应用体现，它们的使用可以帮助我们更好地理解和解决问题。
本文介绍了线性模型、指数模型、概率模型和优化模型这几种常见的数学模型及其应用。
数学模型在工程领域的应用
数学模型在工程领域的应用随着时代的发展，各个领域的科技越来越发达，数学在工程中的应用也越来越普遍。
数学模型在工程领域的应用不仅可以帮助工程师更准确地预估风险和成本，还能提高工程项目的效率和质量。
下面本文将结合实际案例，介绍一下数学模型在工程领域中的应用。
一、工业制造领域在工业制造领域中，数学模型的应用主要集中在制造流程的优化和产品质量的改善上。
例如，在汽车制造中，通过数学模型对车身制造过程进行优化，可以减少生产时间和成本。
同时，数学模型还可以对零件加工过程进行优化，增加零件的强度和耐久性，从而提高整车的质量。
二、航空航天领域在航空航天领域中，数学模型的应用涵盖了航线规划、飞行控制、航空设计等多个方面。
例如，在飞机设计中，数学模型可以帮助工程师准确地预估飞机的耐久性和安全性，并指导设计方案的制定。
同时，在飞行控制方面，数学模型也可以帮助飞行员制定更加科学和安全的飞行计划，提高飞行的效率和安全性。
三、城市规划领域在城市规划领域中，数学模型可以帮助城市规划师预测交通流量、人口增长和城市扩张等信息，为城市的规划和建设提供重要的参考。
例如，在城市道路规划中，数学模型可以帮助设计师更好地预测交通流量，从而制定更加科学合理的道路规划方案。
四、能源领域在能源领域中，数学模型主要应用于能源开发和利用的优化。
例如，在风电场中，数学模型可以帮助工程师预测风力的变化趋势，并帮助优化风电机组的设计方案。
同时，数学模型还可以帮助工程师优化能源系统，减少能源的浪费和损耗。
总之，数学模型在工程领域的应用非常广泛，涵盖了制造、航空、城市规划、能源以及其他多个领域。
数学模型带来了更加准确和高效的工程预测和控制工具，能够提高工程项目的风险管理和质量控制能力，为工程师及相关人员的工作提供了不可或缺的支撑。
数学模型的应用案例
数学模型的应用案例数学模型是数学在实际问题中的应用，可以通过建立各种方程和函数来描述、分析和解决现实生活中的各种问提。
这种模型可以用于解决自然科学、社会科学以及工程领域的问题。
下面是数学模型的一些应用案例：一、温度变化模型在气象领域，数学模型经常被用于对温度变化进行预测和分析。
例如，气象学家使用数学模型来建立气温和时间之间的关系，以便预测未来几天的气温。
这些模型考虑了大气压力、太阳辐射、地球自转等因素，通过数学方程表示温度的变化规律。
这样的模型能够提供准确的天气预报，帮助人们做出合理的安排。
二、股票市场预测模型在金融领域，数学模型被广泛应用于股票市场的预测和分析。
投资者可以使用数学模型来建立股票价格和各种因素之间的关系，如市场供求关系、公司业绩、宏观经济环境等等。
通过数学计算，可以预测股票价格的变化趋势，帮助投资者做出更明智的投资决策。
三、交通流量模型在城市规划领域，数学模型被用于分析和规划交通流量。
交通工程师可以使用数学模型来描述车流量、信号灯设置、道路拥堵等因素之间的关系。
通过观察和测量，可以将这些关系转化为数学方程，并根据模型的预测结果来优化交通流量，减少拥堵，提高交通效率。
四、传染病模型在公共卫生领域，数学模型被广泛用于传染病的控制和防控策略的制定。
数学家根据感染速率、康复率、致死率等参数，建立了各种传染病模型，如SIR 模型、SEIR 模型等。
通过这些模型，可以预测疫情的发展趋势，并评估各种干预措施的效果，从而制定出更有效的防控策略。
五、物理模型在物理学中，数学模型被广泛用于对物理现象的研究和解释。
例如，在力学中，可以使用牛顿定律来描述物体的运动，把质点的位移、速度和加速度等物理量表示为时间的函数。
这些数学模型可以帮助科学家理解物理世界的规律，预测天体运动、电磁场分布等现象。
总之，数学模型的应用范围非常广泛，几乎涉及到各个领域。
通过建立数学模型，可以对实际问题进行更深入的分析和研究，并提供相应的解决方案。
数学模型在解决实际问题中的应用
数学模型在解决实际问题中的应用数学模型是将实际问题抽象化并建立数学关系以描述问题的工具。
它在各个领域中的应用日益广泛，为实际问题的解决提供了有效的工具和方法。
本文将探讨数学模型在解决实际问题中的应用。
一、物理领域中的数学模型应用物理学是数学模型应用最为广泛的领域之一。
许多物理现象和实验都可以通过数学模型进行描述和解释。
例如，牛顿第二定律可以用数学模型F=ma表示，其中F代表力，m代表质量，a代表加速度。
通过这个数学模型，我们可以预测物体受力后的加速度变化。
二、经济领域中的数学模型应用经济学家常常使用数学模型来研究和解决经济领域的问题。
例如，供需模型可以用来描述市场的平衡价格和数量。
通过分析这个数学模型，我们可以预测市场上商品的价格和供应量的变化。
三、生物学领域中的数学模型应用生物学家经常使用数学模型来研究生物系统的行为和演化。
例如，生物钟的调节机制可以通过数学模型来描述和解释。
此外，传染病的传播也可以通过数学模型来研究和预测。
四、环境科学领域中的数学模型应用环境科学家使用数学模型来研究和分析环境系统的变化和影响。
例如，气候变化可以通过数学模型来模拟和预测。
此外，水资源管理和自然灾害风险评估也都离不开数学模型的应用。
五、工程领域中的数学模型应用在工程领域中，数学模型的应用尤为重要。
工程师常常使用数学模型来设计和优化工程系统。
例如，桥梁的强度分析和城市交通优化都可以通过数学模型来实现。
总结：数学模型在解决实际问题中的应用不仅仅局限于以上领域，它们在各个领域中都有广泛的应用。
通过数学模型，我们可以更好地理解和解决实际问题，提高问题解决的效率和准确度。
因此，培养数学建模能力是提高问题解决能力的关键之一。
数学模型的应用将为我们带来更多的发现和创新。
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数学建模数模作业（第一章）P21第一章6、利用节药物中毒施救模型确定对于孩子(血液容量为2000ml)以及成人(血液容量为4000ml)服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。
解：设孩子服用氨茶碱能引起严重中毒的最小剂量为1A ，则由节中的药物中毒施救模型可知:在胃肠道中药物的量为0.13861()tx t A e -=，而在血液系统中药物的量为0.11550.13861()6()t t y t A e e --=-，再令0.11550.13861()()/6()tt y t y t A ee --==-再做出()y t 的图像如下：《;由图可知()y t 具有最大值，设在这个最大值max ()y t 在孩子血液中容量的比例为严重中毒的比例100/g ml μ以及致命的比例200/g ml μ即为孩子服用氨茶碱的最小剂量。
于是可以去求这个最小剂量。
由上图可知最大值位于8t h =左右, 利用Mathematics 去找出这个最大值。
求得max ()=0.0669y t ，而7.892t h =。
于是孩子服用氨茶碱引起严重中毒的最小剂量1A 有式子1max 6()/2000100/A y t ml g ml μ=，从而得此时1498256.1A g μ=同理可以求的孩子服用氨茶碱致命的最小剂量为996512.2g μ。
而成人服用氨茶碱严重中毒与致命的最小剂量分别为996512.21993024.4g g μμ、。
7、对于节的模型，如果采用的是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血液中药量的变化并作图。
解：由题可算得：t=0:2:20y=275*exp*t)+*exp*t) plot(t,y,'b:')第二章3、根据节中的流量数据(表2)和(2)式作插值的数值积分，按照连续模型考虑均流池的容量(用到微积分的极值条件)。
解：可以将表2中的数据建立散点图以及平均值，如下： h=0:1:23 ，y=[,,,,,,,,,,,,,,,279,,,,,,,,] x1=0::23; t=sum(y)/24; plot(h,y,'-',x1,t) hold on0246810121416182050100150200250300350400plot(h,y,x1,'b.')0510152025另一方面由(1)()()c t c t f t g +=+-，经过转化(1)()()lim ()1c t c t c t f t g +-'≈=-，从而即可转为000()()(),()()tt c t f x dx g t t f x f t t =--⎰是的插值函数，是某个初始时刻。
又因为要求出均流池的最大容量max ()c t ，就要令()=0c t '，即().f t g =从中求出时间t 的值，再去求max ()c t 。
从书中可知23311()203.67/24t g f t m h ===∑，又有散点图中可知存在两个时间点12(8,9),(2223)t t ∈∈，使得().f t g =接下来我们来求出这两个时间12,t t ，不妨在时间段(89)(2223)，、，做插值并求出12,t t 即可求得128.45,22.208.t h t h ≈≈于是()c t 在1t 时刻或者2t 时刻达到最大值，显然不可能在1t 时刻。
事实上，在1t 之前()f t 均小于g 所以()c t 不可能达到最大值，故只能在222.208t h ≈达到最大值。
利用插值后的数值以及以直代曲的方法来求积分()tt f x dx ⎰，从而可以利用数学软件MATLAB 求得最大值(代码见附录4)为3917.08m .若要考虑25%的裕量，可按照31146.4m 来设计均流池。
数模作业（第二章插值法）P563、题目：根据节中的流量数据（表2）和（2）式作插值和数值积分，按照连续模型考虑考虑均流池的容量（用到微积分的极值条件）。
时间/h01234567流量/时间/h89101112131415流量/时间/h1617181920212223流量/分析：我们已知的只有数据的散点。
通过已学知识，用matlab画图，画出散点所形成的曲线。
建立matlab文件e。
m文件，输入的代码为：h=0:1:23y=[,,,,,,,,,,,,,,,279,,,,,,,,]x1=0::23;t=sum(y)/24;plot(h,y,'*-',x1,t)hold onplot(h,y,x1,'r+')在matlab工作区间运行结果为：现用插值进行运算：在matlab 中建立M 文件 x = 0:23;y = [ 261 279 ]; h = 0::23;t = interp1(x, y, h, 'spline') %一维插值利用插值后的数值来求积分()tt f x dx⎰，从而利用如下MATLAB 代码求得最大值为3917.0773m .若要考虑25%的裕量，可按照31146.346625m 来设计均流池。
在matlab 中建立M 文件clear; a = ; x = 0:23;y = [ 261 279 ]; h = 0::23;t = interp1(x, y, h, 'spline'); %一维插值 t1 = t(2:22209);m = * (sum(t1)') - * ; Max = m + a %容量数模作业（第四章）1、（1）解：根据题意及表格信息，可列出下列关系试。
设投资证券A ，B,C,D,E 的证券的金额分别为54321,,,,x x x x x ，则：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤++++≤+++++++≤++++++≥++++++=0,,,,1052341594.15224045.0022.0025.0027.0043.0max 54321543214321543214321532143254321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x z （1）整理后得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤++++≤---+≤+--+≥++++++=0,,,,1003210403644664045.0022.0025.0027.0043.0max 5432154321543215432143254321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z （2）在LINGO 中输入如下命令：model :max =*x1+*x2+*x3+*x4+*x5; x2+x3+x4>=4;6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0; 4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0; x1+x2+x3+x4+x5<=10; End运行后所得结果：Global optimal solution found.Objective value:Total solver iterations: 4Variable Value Reduced Cost X1 X2 X3 X4 X5Row Slack or Surplus Dual Price 1 2 3 4 5可得：A ，C ，E 分别投资百万元、百万元、百万元，最大税后收益为百万元。
（2）由于（1）可知，增加1百万元收益增加百万元。
以%借到1百万元资金需要税收百万元，故借钱合算，列出下列模型：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤++++≤---+≤+--+≥++++++=0,,,,1103210403644664045.0024.0025.0027.0043.0max 5432154321543215432143254321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z （3）在lingo 中输入如下命令：model :max =*x1+*x2+*x3+*x4+*x5; x2+x3+x4>=4;6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0; 4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0; x1+x2+x3+x4+x5<=11; end运行结果如下：Global optimal solution found.Objective value:Total solver iterations: 4Variable Value Reduced Cost X1 X2 X3 X4 X5Row Slack or Surplus Dual Price 1 2 3 4 5因此解得A ，C ，E 分别投资百万元、百万元、百万元，最大税后收益为百万元。
（3）若A 税前增加到%，则有： model :max =*x1+*x2+*x3+*x4+*x5; x2+x3+x4>=4;6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0; 4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0; x1+x2+x3+x4+x5<=10;end运行得到：Global optimal solution found.Objective value:Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostX1X2X3X4X5Row Slack or Surplus Dual Price12345所以不用改变投资方案。
若C税前收益减少为%，则有：model:max=*x1+*x2+*x3+*x4+*x5;x2+x3+x4>=4;6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;x1+x2+x3+x4+x5<=10;end运行结果为：Global optimal solution found.Objective value:Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostX1X2X3X4X5Row Slack or Surplus Dual Price13 4 5所以要改变投资方案。
3、假设储蓄所每天雇佣的全时服务员中从12点到1点中，为午餐时间的有名1x ，从1点到2点为午餐时间的有名2x 。
半时服务员中从9点、10点、11点、12点、1点开始工作的分别为：54321,,,,y y y y y 名。