静电场之均匀带电圆柱面圆柱体和圆柱壳的电场
第七章 静电场
er
r
q e ( r R ) 2 r E 4 0 r 0( r R )
q 4 0 R 2
O
R
r
7(14)
例7-7:【书P267例题7-8(1)】求均匀带电球体的电场分布。已 知R，q 。 （设q＞0） 解：电荷分布的球对称性 电场分布的球对称性 选取同心球面为“高斯面”
§7-3 静电场的高斯定理 （重点、难点）
一、静电场的高斯定理
e
S
E dS
q内
0
二、高斯定理的应用 （重点、难点）
解题步骤：
e
S
E dS
q内
0
E
重点：选择一个合适的闭合曲面作为高斯面
要求：高斯面首先应是通过待求场强点的闭合面，其次高斯 面上各点的场强应大小处处相等，方向与高斯面正交；若有的地 方场强大小不等，或不能肯定相等，则应使这部分高斯面上的场 强与高斯面相切。
7(2)
§7-2
静电场 电场强度
（SI）V/m ；1V/m = 1N/c
F 定义场强： E = q0
一、点电荷的场强
F 1 qq0 er 2 4πε0 r
F E q0
E
1 q e 2 r 4πε0 r
7(3)
二、电场强度的计算
1. 点电荷系的场强计算
上 下 侧
r
h
h 0 ( r R ) 0 0 E dS E 2 rh 2 2 侧 hr 0 R r R )
2 r er ( r R ) 0 E r e r R ) 2 0 R 2 r
应用高斯定理求静电场的场强
应用高斯定理求静电场的场强摘要：静电场的场强可以应用库仑定律及叠加原理、高斯定理、电势与场强间关系三种方法求得。
应用高斯定理求静电场场强具有简单易算的特点，但高斯定理只适用于求电荷对称分布的带电体静电场场强。
带电体电荷的对称性的正确分析和高斯面的恰当选取是应用高斯定理求静电场场强的关键。
其中带电体电荷分布的对称性一般可以分为轴对称、面对称和中心对称三类。
根据电荷分布的对称性通常选取可划分为几部分曲面的高斯面，且划分的曲面面矢量s d 的方向和场强E 的方向垂直或平行，可化矢量积分为标量积分以达到便于计算的目的。
关键词：场强；高斯定理；对称性；高斯面。
1引言已知静电场的高斯定理：静电场中任一闭合曲面的E 通量等于该曲面内电荷的代数和除以 ε，即ε内q S d E s =⋅⎰⎰ . (1)应用高斯定理可以计算闭合曲面的E 通量和求静电场的场强。
本文首先分析为什么高斯定理只适用于求电荷对称分布的带电体静电场场强，然后对应用高斯定理求静电场场强求解步骤中关于带电体电荷的对称性分析和高斯面选取两个问题加以分析和讨论。
3应用高斯定理求场强的适用范围高斯定理是关于闭合曲面E 通量的定理，反映的是闭合曲面E 通量与电荷的关系，而不是场强E 与电荷的关系。
只有带电体的电荷分布具有对称性，即静电场的分布具有对称性时，才可以通过选取合适的高斯面，化矢量积分为标量积分εθ内q dS E S d E s s =⋅⋅=⋅⎰⎰⎰⎰cos (2) 将场强的大小E 从积分号中提出。
所以高斯定理只适用于求电荷对称分布的带电体的静电场场强E 的大小，场强E 的方向需要根据对称性来判断。
4应用高斯定理求场强的求解步骤应用高斯定理求电场强度可以分为以下四个步骤。
第一，分析带电体电荷分布的对称性；第二，根据带电体电荷分布的对称性选取适当的高斯面；第三，计算高斯面内的E 通量和高斯面内电荷的代数和；第四，化矢量积分为标量积分，求出场强的大小，并根据对称性分析场强的方向。
静电场的高斯定理
例7-10 求电荷呈“无限长”圆柱形轴对称均匀分布时 所激发的电场强度。
解：电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。 作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,
高为h,半径为r
•当r>R 时，
sE dS 侧面 E dS E 2 r h 为什么?
r h
E 2 r h h 0
P点的场强
E 2 0 r
1
0
d V
V
关于高斯定理的几点讨论
以上是通过用闭合曲面的电通量概念来说明高斯 定理，仅是为了便于理解而用的一种形象解释， 不是高斯定理的证明
高斯定理是在库仑定律基础上得到的，但是前者 适用范围比后者更广泛。后者只适用于真空中的 静电场，而前者适用于静电场和随时间变化的场， 高斯定理是电磁理论的基本方程之一。
③ 场源电荷为无限长均匀带电直线、均匀带电直圆柱面、直 圆柱体或同轴导体圆筒等，则电场的分布具有柱对称性。
(2) 选取高斯面
用高斯定理求场强时，选取恰当的高斯面是解题的关键。
选取高斯面的原则：
① 选取的高斯面必须通过所考查的场点。 ② 应使高斯面上各点的场强大小相等， 方向与该处面元 的
法线平行(这样则可将Ｅ提到积分号外，只对面积积分)； 或者使高斯的部分面上各点场强大小相等，方向与 的法线 平行，另一部分面上各点场强为零或场强的方向与面元的 法线垂直(即通过这部分的Ｅ通量为零)。
高斯定理解题步骤： 总结
(1)分析电场的对称性
根据题意画出示意图，分析电场的分布情况 (最好画出电场 线)，看是否具有某种特殊的对称性，这可从产生电场的场 源电荷的分布看出。
常见的情况有以下几种：
① 场源电荷为均匀带电球面、均匀带电球体、同心的均匀带 电导体球壳等，则电场的分布具有球对称性；
静电场之均匀带电圆柱面圆柱体和圆柱壳的电场
电场的唯一性定理
在给定的边界条件下，对于一个封闭的静电场，其电场分布 是唯一的。
唯一性定理是静电场的基本性质之一，它确保了在给定电荷 分布和边界条件下，电场分布的唯一性和确定性。
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电场强度与电荷密度的关系
电场强度与电荷密度成正比，即电荷 密度越大，电场强度越大。
在均匀带电圆柱面中，电场强度的大 小与电荷密度的大小成正比，比例系 数为介电常数。
电场分布的几何解释
电场分布的几何解释可以通过高斯定理来理解，高斯定理表明，在静电场中，穿过任意闭合曲面的电场强度通量等于该闭合 曲面内所包围的电荷量。
电场线的疏密
由于电场强度与距离成反比，因此电 场线在靠近圆柱体的一侧较为密集， 远离圆柱体的一侧较为稀疏。
04
均匀带电圆柱壳的电场
均匀带电圆柱壳的电场分布
圆柱壳内
电场强度为零，因为内部没有电荷分布。
圆柱壳外
电场强度与电荷密度成正比，方向垂直于圆柱壳表面。
电场强度与电荷密度的关系
电场强度E与电荷密度ρ成正比，即E=kρ，其中k是常数。 电场强度的大小与电荷密度的分布范围有关，电荷密度越大，电场强度越高。
对于均匀带电圆柱面，由于电场分布是轴对称的，因此可以通过计算垂直于轴线的任意一个圆环上的电场强度通量来理解整 个圆柱面的电场分布。
03
均匀带电圆柱体的电场
均匀带电圆柱体的电场分布
圆柱体电荷分布
假设圆柱体长度Biblioteka L，半径为R，电荷线密度为λ，则电荷均匀分布在圆柱体的轴线 上。
电场分布
根据高斯定理，圆柱体外部的电场线与圆柱体轴线平行，且电场强度E与距离圆柱体 轴线的距离r成反比，即E=λ/2πrε0。
一圆柱形电场,电荷密度e
一圆柱形电场,电荷密度e
一个圆柱形电场是指一个具有圆柱形状的电场区域。
电荷密度（通常用符号ρ表示）是指单位体积内所包含的电荷量。
在圆柱形电场中，电荷密度可以是均匀的，也可以是非均匀的，这取决于圆柱内电荷的分布情况。
从电场的角度来看，圆柱形电场的电场强度会随着距离圆柱表面的距离而变化。
在圆柱表面附近，电场强度会受到电荷分布的影响而发生变化，而远离圆柱表面时，电场强度会趋向于均匀分布。
从电荷密度的角度来看，如果圆柱形电场中的电荷密度是均匀的，那么整个圆柱内的电荷总量可以通过电荷密度和圆柱的体积来计算。
如果电荷密度是非均匀的，那么需要对圆柱进行分段处理，然后计算每一部分的电荷量，最后将它们进行累加。
此外，圆柱形电场还涉及到高斯定律、电场线分布以及电势分布等问题。
通过高斯定律，可以求出圆柱形电场的电场强度分布情况。
电场线分布可以帮助我们直观地理解圆柱形电场的特性。
而电势分布则可以告诉我们在圆柱形电场中任意点的电势大小。
总的来说，圆柱形电场以及其中的电荷密度问题涉及到电场理论、高斯定律、电势理论等多个方面的知识。
对于圆柱形电场中的电荷密度问题，需要综合运用这些知识，从多个角度进行分析和计算，以得出全面而准确的结论。
大学物理(第四版)课后习题及答案 静电场
证2：如图所示，取无限长带电细线为微元，各微元在点P激发的电场强 度dE在Oxy平面内且对x轴对称，因此，电场在y轴和z轴方向上的分量之 和，即Ey、Ez均为零，则点P的电场强度应为
积分得 电场强度E的方向为带电平板外法线方向。 上述讨论表明，虽然微元割取的方法不同，但结果是相同的。
（2）由于正、负电荷分别对称分布在y轴两侧，我们设想在y轴上能 找到一对假想点，如果该带电环对外激发的电场可以被这一对假想点上 等量的点电荷所激发的电场代替，这对假想点就分别称作正、负等效电 荷中心。等效正负电荷中心一定在y轴上并对中心O对称。由电偶极矩p 可求得正、负等效电荷中心的间距，并由对称性求得正、负电荷中心。 解：（1）将圆环沿y轴方向分割为一组相互平行的元电偶极子，每一元 电偶极子带电
行，对电场强度通量贡献为零。整个高斯面的电场强度通量为 由于，圆柱体电荷均匀分布，电荷体密度，处于高斯面内的总电荷 由高斯定理可解得电场强度的分布， 解：取同轴柱面为高斯面，由上述分析得 题7.16：一个内外半径分别R1为R2和的均匀带电球壳，总电荷为Q1，球 壳外同心罩一个半径为 R3的均匀带电球面，球面带电荷为Q2。求电场 分布。电场强度是否是场点与球心的距离r的连续函数？试分析。
题7.16分析：以球心O为原点，球心至场点的距离r为半径，作同心球面 为高斯面。由于电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面 上电场强度沿径矢方向，且大小相等。因而，在确定高斯面内的电荷 后， 利用高斯定理 即可求的电场强度的分布 解：取半径为r的同心球面为高斯面，由上述分析 r < R1，该高斯面内无电荷，，故
E=0 在距离圆孔较远时x>>r，则 上述结果表明，在x>>r时。带电平板上小圆孔对电场分布的影响可以忽 略不计。 题7.15：一无限长、半径为R的圆柱体上电荷均匀分布。圆柱体单位长 度的电荷为，用高斯定理求圆柱体内距轴线距离为r处的电场强度。
2015级大学物理-I-计算题-03电学-有答案
2015级大学物理I 复习题-03电学【重点考核知识点】1.电场强度的概念，由电场强度叠加原理求带电体的电场强度分布。
⑴ 公式① 点电荷的电场强度分布：r e r Q E204επ=② 由电场强度叠加原理求点电荷系的电场强度分布：∑=ir i i i e r Q E204πε③ 视为点电荷的q d 的电场强度分布：r e r q E204d d επ=④ 由电场强度叠加原理求连续带电体的电场强度分布：⎰⎰==Qr e r q E E204d d επ⑤ 由电荷密度表示的q d ： 电荷体分布： V q d d ρ= 电荷面分布： S q d d σ= 电荷线分布： l q d d λ=⑥ 均匀带电球面的电场强度分布：⎪⎩⎪⎨⎧><=)( 4)(020R r r Q R r E πε，方向：沿径向。
⑦ 无限长均匀带电直线的电场强度分布：rE 02πελ=，方向：与带电直线垂直。
⑧ 无限大均匀带电平面的电场强度分布：02εσ=E ，方向：与带电平面垂直。
⑵ 相关例题和作业题【例10.2.1】 求电偶极子轴线和中垂线上任意一点处的电场强度。
解：⑴ 以q ±连线中点为原点，由q -指向q +方向建坐标轴，如图10.2.3（a ）所示，在距 O 点为x 远处P 点，由场强叠加原理，-++=E E E其大小 -+-=E E E 其中 20)2/(41l x q E -=+πε 20)2/(41l x qE +=-πε ()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-=-+22202204/242/12/14l x xlql x l x q E E E πεπε 对于电偶极子来说，考虑到l x >>，上式中2224/x l x ≈-。
于是得点P 处的总的电场强度E的大小为3042xqlE πε=，E 的方向沿Ox 轴正方向。
⑵ 建立坐标轴如图10.2.3（b ）所示，同理在y 轴上离O 点y 远处P ′点的-++=E E E点电荷+q 和-q 在点P ′处产生的电场强度大小相等，其值为204r q E E πε==-+其中()222l y r r r +===-+，由分量式αααcos 2cos cos +-+-+-=--=+=E E E E E E x x x 0sin sin =-==-+-+ααE E E E E y y y ＋式中 42cos 22l y l +=α，所以-图 10.2.3（b ）电偶极子中垂线上一点的电场强度q - 图 10.2.3(a ) 电偶极子()23220441l y qlE E x +==πεE的方向沿Ox 轴的负向。
9.0静电场之基本内容
空间某点的所产生的场强等于各个 ri是电荷Qi到场点P的矢径。 点电荷在该点产生场强的矢量和 当电荷连续分布时，可将带电体分成许 dE = dq 3 r 4πε 0 r 多点电荷，每个点电荷产生的场强为 全部电荷产生 E = 1 dq r 4πε 0 ∫ r 3 的合场强为 点电荷dq可根据线密度λ， 面密度σ或体密度ρ决定 dq = λdl，dq = σdS和dq = ρdV。
4．典型源电荷的电场 (1)点电荷 E = 1 Q r 4πε 0 r 3 的电场为 其中r是点电荷 Q到场点的矢径。 Q>0 Q<0 r r P E EP
点电荷产生的场强与其电量Q成正比， 与场点到点电荷的距离的平方成反比， 方向在场点到点电荷的连线上。 正点电荷产生场强的方向沿径向向外， 负点电荷产生场强的方向沿径向向内。 (2)无限长均匀带 E = λ r 2 ε 2 π r 电直线的场强为 0
n
θ
E
∫
S
E ⋅ dS 对于封闭的曲面，通常取外
法线方向为曲面的正方向。
7．高斯定理：在静电场中，通过任一闭合曲面(称为高 斯面)的电通量等于该曲面包围的电量的代数和除以ε0
ΦE =
∫
S
E ⋅ dS =
1
ε0
高斯定理说明电场是有源场，正电荷 q ∑ i
i
是电场的源头，负电荷是电场的汇尾。
注意：任何一点的场强E是所有电荷在 该处产生的，而 ∑ qi 是高斯面内的电 i 荷，不包括高斯面外的电荷，因为高 斯面外的电荷产生的电通量为零。
湖南大学物电院周群益第九章第九章静电场静电场基本内容基本内容范例范例92电偶极子的电场电偶极子的电场范例范例93均匀带电线段的电场均匀带电线段的电场范例范例91点电荷的电场点电荷的电场范例范例94平行直线电荷的电场平行直线电荷的电场范例范例95均匀带电圆环圆盘和圆圈在轴线上的电场均匀带电圆环圆盘和圆圈在轴线上的电场范例范例98直线电荷与共面带电线段之间的作用力直线电荷与共面带电线段之间的作用力范例范例97均匀带电圆柱面圆柱体和圆柱壳的电场均匀带电圆柱面圆柱体和圆柱壳的电场范例范例99直线电荷与共面圆弧电荷之间的作用力直线电荷与共面圆弧电荷之间的作用力范例范例910点电荷在有孔带电平面轴线上的运动规律点电荷在有孔带电平面轴线上的运动规律范例范例96均匀带电球面球体以及球壳的电场均匀带电球面球体以及球壳的电场基本内容基本内容1
《真空中静电场》选择题解答与分析
《真空中静电场》选择题解答与分析12 真空中的静电场 12.1电荷、场强公式1. 如图所⽰，在直⾓三⾓形ABC 的A 点处，有点电荷q 1 = 1.8×10-9C ，B 点处有点电荷q 2 = -4.8×10-9C ，AC = 3cm ，BC = 4cm ，则C 点的场强的⼤⼩为(A) 4.5?104(N ?C -1). (B) 3.25?104(N ?C -1). 答案：(B)参考解答：根据点电荷的场强⼤⼩的公式，点电荷q 1在C 点产⽣的场强⼤⼩为)C (N 108.1)(4142011-??==AC q E πε，⽅向向下．点电荷q 2在C 点产⽣的场强⼤⼩为)C (N 107.2)(4142022-??==AC q E πε，⽅向向右．C 处的总场强⼤⼩为：),C (N 1025.3142221-??=+=E E E总场强与分场强E 2的夹⾓为.69.33arctan 021==E E θ对于错误选择，给出下⾯的分析：答案(A)不对。
你将)C (N 105.410)7.28.1(14421-??=?+=+=E E E 作为解答。
错误是没有考虑场强的叠加，是⽮量的叠加，应该⽤),C (N 1025.3142221-??=+=E E E进⼊下⼀题：2. 真空中点电荷q 的静电场场强⼤⼩为2041rqE πε= 式中r 为场点离点电荷的距离．当r →0时，E →∞，这⼀推论显然是没有物理意义的，应如何解释？参考解答：点电荷的场强公式仅适⽤于点电荷，当r →0时，任何带电体都不能视为点电荷，所以点电荷场强公式已不适⽤．若仍⽤此式求场强E ，其结论必然是错误的．当r →0时，需要具体考虑带电体的⼤⼩和电荷分布，这样求得的Ｅ就有确定值．进⼊下⼀题： 12.2⾼斯定理1. 根据⾼斯定理的数学表达式?∑?=Sq S E 0/d ε可知下述各种说法中，正确的是：(A) 闭合⾯内的电荷代数和为零时，闭合⾯上各点场强⼀定为零．(B) 闭合⾯内的电荷代数和为零时，闭合⾯上各点场强不⼀定处处为零．(C) 闭合⾯上各点场强均为零时，闭合⾯内⼀定处处⽆电荷．答案：(B) 参考解答：⾼斯定理的表达式：∑?==?ni i S q s E 101d ε .它表明：在真空中的静电场内，通过任意闭合曲⾯的电通量等于该闭合⾯所包围的电荷电量代数和的0/1ε倍。
静电场
麦克斯韦《电磁通论》A TREATISE ON ELECTRICITYAND MAGNETISM=⋅∇BtD j B ∂∂+=⨯∇t B E ∂∂-=⨯∇ρ=⋅∇D麦克斯韦方程组：)(cos 0u xt E E -=ω)(cos 0uxt H H -=ω00/1με=u 8100.3⨯=麦克斯韦方程组：电磁波函数：静电场（一）STATIC ELECTRIC FIELD点电荷的电场：(electric field due to a point charge)re rQq F⋅⋅=2041πεq F E /=电场强度：库仑定律：re rQ ⋅⋅=2041πε1201085.8-⨯=ε电场叠加原理：nE E E E+⋅⋅⋅++=21(electric field )(Coulomb’s law )(superposition principle of electric field )⎰=Ed E orx O q -q +0r Ax -E +E 电矩：0r q p=(electric dipole moment )i r x q E 200)2/(41-=+πεi r x qE 200)2/(41+-=-πε-++=E E E i r x q xr 220200)4/(241-=πεi x qr 300241πε≈30241x pE πε=q -q +0r xO By E-E +E 4/412020r y qE E +==-+πε4/2020r y r E E +=-2/3202002020)4/(414/r y qr r y r E E +=+=-πε3041ypE πε-=3041y qr πε-≈例1:求均匀带电圆环轴线上的场强。
圆环半径为R ，带电量为Q 。
ORxxdE⊥dE xdE θr P dl2041r dq dE πε=dlR Q dq π2=2028rdlR Q επ=2028cos r dl R Q dE x επθ=dl Rr Qx 3028επ=⎰⎰==dl Rr QxdE E x 3028επ2/3220)(4R x Qx+=πε⎪⎩⎪⎨⎧=>>≈0420x R x x Q πε带电体在外场中所受的作用力：点电荷：E q F =带电体：⎰=dqE F 电偶极子：qEF +=+qEF -=-q +Eq-θo θθθsin sin 2sin 2qlE lF l F M =+=-+E p M ⨯=可见：力矩最大；力矩最小。
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